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2. Las edades de 80 pacientes aleatoriamente de los hospitales de cierta área metropolitana son los siguientes:a. Constrúyase una distribución de frecuencias relativas y una distribución de frecuencias relativas acumuladas con intervalos de clases 0.5 a 15.5, 15.5 a 30.5, etc.b. Trácense un histograma de frecuencias relativas y una grafica de frecuencias relativas.c. Obténganse la media, la mediana y la moda.d. Calcúlese la varianza s², desviación estándar.e. Obténgase la proporción de observaciones que caen en el intervalo formado al medir una y dos desviación típica a partir de la media.

1 7 17 38 49 57 64 681 8 17 39 50 59 65 691 10 17 40 52 62 65 691 14 18 41 52 62 65 691 14 19 42 52 62 65 702 16 21 44 53 63 67 713 16 25 44 53 63 67 724 16 26 49 54 63 67 845 16 34 49 55 64 68 846 16 35 49 56 64 68 99

El primer paso consiste en la construcción de una tabla de distribución de frecuencias y a continuación tendremos un repaso del procedimiento junto con un ejemplo.

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

A partir de los datos ordenados en un arreglo se puede presentar los datos en una DISTRIBUCION DEFRECUENCIAS. Para realizar la distribución de frecuencias se puede seguir el siguiente procedimiento:a) Localice el valor máximo (xMax) y mínimo (Xmin) del conjunto de datos, y a partir de ellosObténgase el RANGO como:R = Xmax - Xminb) Ahora proceda a dividir el rango en INTERVALOS DE CLASE, se sugiere que el número de intervalosde clase no sea menor a 6 ni mayor a 20.c) La LONGITUD DE EL INTERVALO de cada clase debe ser la misma en todas las clases y deberá serde tal que el punto medio de cada intervalo tenga el mismo número de dígitos y precisión que los datosoriginales.

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d) Una vez definidos adecuadamente los intervalos proceda a contar los datos que se encuentren dentrode su límite inferior y su límite superior, el número de datos que caen dentro de dicho intervalo,constituye la FRECUENCIA DE CLASE.e) Tome en cuenta que cada dato solo pertenece solamente a una clase, por lo que no debe haberambigüedad en su pertenencia a alguna clase.f) El punto medio de cada intervalo es llamado LA MARCA DE CLASE y representará a todos los puntosque caigan dentro del intervalo.g) LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA se construye colocando en la primera columna (ófila) los intervalos de clase y/o las marcas de clase y en la siguiente columna (ó fila) las frecuenciascorrespondent

Por la naturaleza de los datos presentados en la tabla se puede optar por que cada uno de los valores: 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11 y 12 sean los “intervalos”, entonces

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El rango es R = 7.1-2.3=4.8.Dividiendo el rango en N = 7 intervalos ancho =4.8/7=0.6857Como el ancho tiene muchos dígitos, el ancho se puede redefinir como ancho =0.7Pero en este caso la longitud total de los intervalos es Longitud = (7) (0.7)=4.9Esta longitud excede en 4.9 -4.8= 0.1 al rango, este excedente se puede repartir entre las claseextremas, por ejemplo, el límite inferior de la primera clase es 2.25 y el superior 2.25+0.7= 2.95. Para lasegunda clase se considera como límite inferior el límite superior de la primera clase, su correspondienteLímite superior es 2.95+0.7= 3.65, el proceso anterior se repite para cada una de las clases posteriores.

Los resultados son colocados en la siguiente tabla:

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Ahora seguimos con nuestro problema, en el cual nos indican cuales deben de ser los intervalos y automáticamente nos podemos saltar los pasos anteriores, como lo establecimos fue a manera de repaso para cuando el lector pueda realizarlo cuando no se le indiquen los intervalos y tenga que construirla por sí solo.

Intervalos mi fi fai fi rel. f.r.a. mifi fi(mi- )²0.5-15.5 8 15 15 0.1875 0.1875 120 1944015.5-30.5 23 13 28 0.1625 0.35 299 573330.5-45.5 38 9 37 0.1125 0.4625 342 32445.5-60.5 53 15 52 0.1875 0.65 795 121560.5-75-5 68 25 77 0.3125 0.9625 1700 1440075.5-90.5 83 2 79 0.025 0.9875 166 304290.5-105.5 98 1 80 0.0125 1 98 2916

3520 47070

Pasemos con la revisión de las formulas de medidas de tendencia central.

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Fórmulas de Medidas de Dispersión: Recorrido: Es la diferencia entre el valor más alto y el más bajo observado.

Xmínimo Xmáximo R

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Retomando nuestro problema y gracias al uso de la tabla de distribución de frecuencias tenemos que la fixi=3520 que se refiere a la suma de la multiplicación de las marcas de clases por las frecuencias absolutas.

Media =3520/80=44

Dado que son datos agrupados, la formula qu se utiliza para obtener la moda es la siguiente y L₁=60.5 porque es el límite inferior del intervalo en el cual se concentra el mayor numero de frecuencias relativas.

60.5-75-5 68 25 77 0.3125 0.9625 1700 14400

El vendría siendo el resultado de restar 25-15=10 y el consiste en 25-2=23. Ahora L es la amplitud de la clase y sabemos que L=15.

Moda L = 60.5 + 10/10+23 15= 65

Dado que los datos son agrupados se utiliza la siguiente formula, en donde se debe de calcular N/2=40 y ahora regresamos a la tabla de distribución de frecuencias para observar que el intervalo de la mediana se encuentra en

45.5-60.5 53 15 52 0.1875 0.65 795 1215Así que la frecuencia acumulada anterior a este intervalo es =37 y es la frecuencia absoluta del intervalo de la mediana siendo 15 y ahora w es la amplitud de la clase que es igual a 15.

Mediana = 45.5 + 40-37/15 15 = 48.5

Respecto a la varianza, se construye el valor y se refiera a la sumatoria de la multiplicación de la frecuencia absoluta por la diferencia entre la marca de clase y la media elevada al cuadrado.

Varianza = 47070/79 = 595.82

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Para la desviación estándar solo basta con sacar la raíz del valor de la varianza y así obtenemos:

Desviación std. = 595.82 =24.4

REPRESENTACIONES GRÁFICASAún con una adecuada presentación de los datos en una tabla, algunas veces el lectortiene dificultades para la interpretación de la información, especialmente a aquel que no estáfamiliarizado con la información cuantitativa. La presentación de la misma informaciónmediante un gráfico, a menudo, provee de considerable ayuda. Hay muchas clases de gráficos,pero el conocimiento de algunos tipos generales, será suficiente en una primera etapa delaprendizaje sobre este tema.La elección del tipo de gráfico depende fundamentalmente de qué es lo que se pretendemostrar con el mismo y del tipo de variables que se quiera representar, como así también de laspreferencias personales

HISTOGRAMAEl histograma es particularmente adecuado pararepresentar una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa continua.

Este es un diagrama donde los intervalos de clase se representan en el eje horizontal ysobre ellos se grafican rectángulos adyacentes con áreas iguales o proporcionales a lasfrecuencias de los intervalos de clase. Así, el área total de los rectángulos resulta igual N(número total de observaciones) en caso de usar las frecuencias absolutas, y resulta igual al100% cuando se usa las frecuencias relativas expresadas en porcentajes. La altura de cadarectángulo se logra dividiendo la frecuencia del intervalo de clase por la longitud o amplitud dedicho intervalo. Cabe destacar que si todos los intervalos de clase tienen la misma longitud,entonces la altura de los rectángulos resultaría iguales o proporcionales a las frecuenciasobservadas.Laescala vertical muestra la frecuencia absoluta, es decir, el número de observaciones en cada

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intervalo. En el eje horizontal se representó el punto medio de cada intervalo de clase. Al igualque el gráfico de barras, también se puede representar la frecuencia en porcentajes sobre laescala vertical

Asi pues obtenemos nuestro histograma de frencuencias relativas

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POLÍGONOS DE FRECUENCIASAl igual que el histograma, sirve pararepresentar la distribución de frecuencia de una variable cuantitativa continua, pero es particularmente útil para comparar distribuciones, de estetipo de variables, para dos o más grupos

Este gráfico consiste en reemplazar los rectángulos por un polígono que une los puntosmedios de sus bordes superiores de esta manera las áreas de los distintos rectángulos se vecompensada aproximadamente.Cuando los grupos a comparar son de tamaño diferente, las frecuencias absolutasdeberán convertirse en frecuencias relativas porcentuales.

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Por lo tanto podemos obtener nuestro polígono de frecuencias:

Para obtener la proporción de observaciones que caen en el intervalo formado al medir una y dos desviación típica a partir de la media se debe considerar que:

La desviación estándar como se ha indicado anteriormente es una medida de la dispersión de los datos,está dispersión se mide a partir de la media de la distribución de datos; por ejemplo, supóngase que secomparan dos conjuntos de datos obtenidos a partir de la misma población, los cuales tienen el mismonúmero de datos ( 1 2 N = N ),el mismo promedio ( 1 2 x = x ), entonces, si la desviación del primerconjunto es menor que la del segundo conjunto, ( 1 2 s < s ), es posible afirmar que los datos del primerconjunto se encuentran más concentrados que los de la segundo y la altura del primer conjunto de datoses mayor que la del segundo. La figura siguiente compara dos distribuciones continuas con lascaracterísticas descritas anteriormente.

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La desviación estándar se puede emplear también para medir las variaciones con respecto a la mediade los valores con respecto a la media. Un valor pequeño de la desviación típica ó estándar indica unamayor probabilidad de obtener un valor más cercano a la media. Esta idea se expresa en un teoremaenunciado por el matemático ruso Tchebycheff.

Teorema de TchebycheffLa proporción de cualquier conjunto de valores que caerá dentro k desviaciones típicas a partir de lamedia es al menos 1-1/k2, donde k es cualquier número mayor que 1.Por ejemplo, para el caso de k = 2, el teorema anterior garantiza que sin importar como es la distribuciónde frecuencias, existe 1-1/22=0.75 de los datos se encuentran dentro del intervalo comprendido por[x − 2s, x + 2s]. En la figura 1, se muestra la idea del teorema de Tchebycheff para k = 2..

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En nuestro problema nosotros contamos con los siguientes datos:S= 24.4= 44

1era Desviación estándar 2da Desviación estándar ± 1s ±2s44+24.4=68.4 44+48.8=92.844-24.4=19.6 44-48.8=-4.8

Comparacion de las dos distribuciones de frecuencias de nuestro problema.

Y aunque el problema no lo dice, decidimos incluir:

Regla de la normalEn muchas ocasiones el histograma que representa la distribución de frecuencia tiene una forma decampana simétrica, este tipo de distribución puede ser comparada con una distribución teórica continuallamada curva normal. Es posible aplicar las características de la curva normal a este tipo dedistribuciones muestrales para determinar la proporción de datos contenidos dentro de una, dos y tresdesviaciones estándar. A continuación se enuncia la regla de la normal.

62

80

92.8-4.868.419.6

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Para distribuciones de frecuencia simétricas en forma de campana, aproximadamente el 68 % de losdatos caerán en el intervalo [X − S, X + S], el 95 % de los datos caerán en el intervalo[X − 2S, X + 2S], y casi el 100 % de los datos caerán en el intervalo [X − 3S, X + 3S].

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7.- Sea A un conjunto de cinco elementos a, b, c, d y e. ¿Cuántas permutaciones hay si se seleccionan cada vez dos elementos de A? Lístense las permutaciones del espacio muestral.

Permutaciones sin combinación.

La permutación aparece cuando se tienen N objetos DISTINGUIBLES SIN REEMPLAZO y estos puedenocupar r lugares o posiciones. Lo anterior se representa gráficamente como

Aplicando el principio fundamental del conteo y recordando que en el primer lugar pude ser ocupado porlos n objetos, el segundo lugar por los N-1 restantes y así sucesivamente hasta el lugar r dondesolamente puede ser ocupado por n-r objetos

Permutaciones = n(n-1)(n-2)(n-3)(n.-r)…1Este producto particular es conocido como el FACTORIALn! = n(n-1)(n-2)(n-3)(n.-r)…..1

Ejemplo:

8. Determinar cuantas formas hay de acomodar las letra A,B,C sin reemplazo en tres lugaresconsecutivos. Muestre explícitamente cuales son estas posibilidades.Para el problema n =3 y r =3,3P 3 = 3!= 1 ⋅ 2 ⋅3 = 6Explícitamente las permutaciones se pueden obtener a partir del diagrama de árbol siguiente

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Así para nuestro problema establecemos n como el número total de objetos y r como el numero de selecciones del conjunto A.

A={a, b, c, d, e}

..n=5 ..r=2

5!/(5!-2!)=5!/3!=20

20 posibles permutaciones

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12.- En una votación preliminar simulada para determinar la probabilidad de cierto candidato para la presidencia de los E.U.A., se encontró que 495 de 1000 votantes seleccionados aleatoriamente están a favor de dicho candidato. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquiera de los votantes favorezca a este candidato?

Es de mencionar que la definición anterior está dada particularmente para conjuntos finitos y existenotras definiciones para conjuntos infinitos, por ejemplo par el caso de conjuntos representados medianteáreas, la probabilidad se puede definir como el cociente de el área que representa al evento E entre elárea total que representa al espacio muestral.La probabilidad se puede interpretar como la medida de la ocurrencia de un evento que es parte de unevento E que es parte de un espacio muestral ó experimento aleatorio.

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17.- Un club femenino conste de 30 miembros. ¿De cuantas formas pueden seleccionarse 3 dirigentes: presidenta, vicepresidenta y secretaria?

Dado que en la elección únicamente se pueden elegir a tres personas sin reemplazo, es decir que no habrá 2 presidentas o 5 vicepresidentas solo habrá una de cada una, la forma de saber cuántas posibilidades de orden habrá para escogerlas es la siguiente:

Aplicando una permutación en la cual sabemos que n es el número total de miembros y r es la forma de acomodo.

..n=30

..r=3

P₃^30= (30)!/(30-3)!= 30!/27!= 24360

Hay 24360 formas de elegir a los 3 candidatos

22.- Un vendedor de aparato electrodomesticos ofrece 5 marcas diferentes de hornos de microondas, cada uno en cuatro modelos distintos. Todos se producen en tres colores diferentes. ¿Cuántos tipos diferentes de hornos de microondas ofrece en venta?

TÉCNICAS DE CONTEOPRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO.Si un evento n1 se puede realizar de N1 formas y otro evento se puede realizar de N2 formas, entonces elevento conjunto se puede realizar de N1.N2 formas.N = N1.N2 (2.1)El principio fundamental del conteo se puede representar gráficamente mediante el llamado diagramade árbol. Cada trayectoria en el diagrama de árbol representa un posible resultado o forma de realizarseel experimento.En la figura 1 se muestra el diagrama de árbol para el caso de N1=4 y N2 = 2, con lo que se obtienenN1*N2=4*2= 8 trayectorias ó formasPor otra parte el principio fundamental del conteo se puede generalizar a k eventos, esto es, si el evento

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i puede ocurrir de Ni formas, entonces el evento total conjunto de los k eventos, se puede realizar deN1.N2…. Ni……Nk formas.

Del problema obtenemos las formas en el que los eventos pueden ocurrir, se decidió comenzar por las marcas de los hornos después por los modelos de los hornos y por ultimo para quien estaba dirigido indicado en las tres diferentes edades. Nota: El orden de esto pudo variar.

N₁=5 marcas de hornosN₂=4 modelos distinosN₃=3 edades diferentes

T=(N₁)(N₂)(N₃)=5*4*3= 60

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Diagrama del primer bloque comenzando por la marca de clases del cual obtenemos 12 formas de en las que se ofrece en venta el horno, por lo cual cm son 5 marcas de hornos el total son 60 formas.

5

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AXIOMAS BÁSICOS DE LA PROBABILIDADAunque la definición dada anteriormente de la PROBABILIDAD permite calcularla a partir del conteo deLos conjuntos, es necesario definir nuevas propiedades que permitan calcularla para los casos en que noSea posible aplicar dicha definición.

Es importante resaltar la propiedad c) ya que señala que ningún evento puede de ninguna manera teneruna probabilidad negativa ni nunca puede ser mayor que la unidad. Por lo tanto, si al resolver algúnproblema se obtiene una probabilidad que no cumpla la propiedad c) se pude afirmar que el problemaestá mal resuelto.

REGLA DE LA ADICIÓN DE PROBABILIDAD PARA EVENTOS AJENOS

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REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN DE PROBABILIDAD.

Nota: La regla (f) se reduce a la regla (c) en el caso de conjuntos ajenos.La regla es difícil de generalizar para un número grande de conjuntos. Por ejemplo, a continuación se muestra la regla de adición para el caso de tres conjuntos A, B, C cualquiera, no necesariamente ajenos

EJEMPLO:35. En el experimento de arrojar tres monedas, se considera que los ocho posibles resultados sonequiprobables. Si E1 denota al evento de que ocurran dos soles y E2 al evento de que ocurran tres soles,¿Cuál es la probabilidad de que ocurra ya sea E1 ó E2? Esto es, ¿cuál es P(E1U E2)?SOLUCIONEl espacio muestral del problema y cada uno de los eventos E1 y E2 son mostrados a continuaciónS = {arrojar 3 monedas}= {SSS, SSA, SAS, SAA, ASS, ASA, AAS, AAA}E1= {dos soles}=}= {SSA, SAS, ASS}E2= {3 soles}=}= {SSS}P(E1)=3/8, P(E2)=1/8,E1 U E2= {dos soles ó tres soles}=}= {SSA, SAS, ASS, SSS}E1∩E2=ФP(E1 U E2)=P(E1) +P (E2) =3/8 + 1/8 = 4/8 =1/2

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Retomando nuestro ejercicio:

27.- El experimento de tirar dados, considérese que los 36 posibles resultados con equiprobables. Denótese con A al evento de que ocurran cuatro o menos puntos y B al evento de que ocurran 10 o más puntos. ¿Son mutuamente excluyentes Ay B? Obténgase la probabilidad de que ocurran A y B, si A denota al evento de que ocurra un numero non de puntos y B al evento de que ocurran más de 7 puntos, ¿Cuánto vale P(AUB)?. Utilícese un diagrama para mostrar la unión de A y B, Obténgase la probabilidad de que ocurra un punto o cuatro o siete o nueve puntos.

Evento A (4 o -4 pts.)

1-{1,2,3}

2-{1,2} 6 posibles casos

3-{1}

Evento B (10 o +10 pts.)

4-{6}

5-{5,6} 6 posibles casos

6-{4,5,6}

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S= {arrojar 2 dados al aire}= {[1,1], [1,2]… [6,6]}

A₁= {4 o -4 pts.}= {[1,1], [1,2], [1,3], [2,1], [2,2], [3,1]}

B₁= {10 o +10 pts.}= {[4,6], [5,5], [5,6], [6,4], [6,5], [6,6]}

Entonces se tiene que:

P(A₁)=6/36

P(B₁)=6/36

A₁UB₁={[1,1],[1,2],[1,3],[2,1],[2,2],[3,1],[4,6],[5,5],[6,4],[6,5],[6,6]}

Además A₁ΠB₁=ф

P(A₁UB₁)=P(A₁)+P(B₁)=6/36+6/36=12/36=2/6=1/3

Evento A’ (numero non de pts.)

1-{2,4,6}

2-{1,3,5}

3-{2,4,6} 18 posibles casos

4-{1,3,5}

5-{2,4,6}

6-{1,3,5

Evento B’ (+7 pts.)

2-{6}

3-{5,6}

4-{4,5,6} 15 casos posibles

5-{3,4,5,6}

6-{2,3,4,5,6}

Así:

A’= {numero non de pts.}=

{[1,2],[1,4],[1,6],[2,1],[2,3],[2,5],[3,2],[3,4],[3,6],[4,1,[4,3],[4,5],[5,2],[5,4],[5,6],[6,1],[6,3],[6,5]}

B’= {+7 pts.}= {[2,6],[3,5],[3,6],[4,4],[4,5],[4,6],[5,3],[5,4],[5,5],[5,6],[6,2],[6,3],[6,4],[6,5],[6,6]}

A’ΠB’= {[3,6], [4,5], [5,4], [5,6], [6,3], [6,5]}

P(A’UB’)=P(A’)+P(B’)-P(A’ΠB’)= 18/36+15/36-6/36= 27/36

Probabilidad de que caiga en un punto, en 4 pts., en 7 pts. y en 9 pts.

Dado que son 2 dados, la probabilidad de que solo salga un punto es imposible así que se descarta.

P(4pts) +P (7pts) +P(9pts) =

3/36+6/36+4/36=13/36

32.- Una caja contiene 10 esferas. Cinco de ellas son blancas, tres rojas y dos negras. Se selecciona aleatoriamente una esfera sin reemplazo.

a. ¿Cuál es la probabilidad extraer dos esferas blancas una después de otra?b. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una esfera roja y después una negra?c. ¿Cuál es la probabilidad de extraer 3 esferas rojas, una después de otra?d. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una esfera negra, después de una roja y finalmente una blanca?

PROBABILIDAD CONDICIONALEventos independientes y dependientes

Se dice que dos eventos A y B son EVENTOS INDEPENDIENTES si y solo si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia del otro.

Si A y B son EVENTOS INDEPENDIENTES entonces, la probabilidad de que ocurran tanto A como B es igual al producto de sus probabilidades respectivas, esto es:

En el caso de que la ocurrencia de un evento A afecte la ocurrencia del evento B entonces se tiene el caso de EVENTOS DEPENDIENTES ó de la PROBABILIDAD CONDICIONAL, la cual se denota por:P(B A) “ La probabilidad de B dado que ha ocurrido A”En general la probabilidad de la intersección de los eventos A∩B, cuando son dependientes se obtieneMediate la expresion:

EJEMPLOS

1. Determine si los eventos A = {sol en la primera tirada} B = {sol en la segunda tirada} son independientes en el experimento de arrojar una moneda dos veces.

SOLUCION

El espacio muestral del problema es S = {(S, S), (S, A), (A, S), (A, A)}

Para la parte izquierda de la ecuación (10)

E = {dos soles al arrojar una moneda dos veces} = A∩B = = {(S, S)}

P (A∩B)=N (E)/N(S)= 1/4

Para la parte derecha de la ecuación (10) P {A}=1/2 P {B}= 1/2

P(A).P(B)=(1/2)(1/2)=1/4

Entonces se cumple que P (A∩B) = P(A).P (B), por lo que los eventos son independiente.

Regresando a nuestro problema:

Total de esferas..n=10Repetidas en: 5 blancas 3 rojas 2 negras

Experimento se realiza sin reemplazoDeteniendo los siguientes conjuntos

B₁= {sacar bola blanca en 1era extracción}B₂= {sacar bola blanca en 2da extracción}B₃= {sacar bola blanca en 3era extracción}R₁= {sacar bola roja en 1era extracción}R₂= {sacar bola roja en 2da extracción}N₁= {sacar bola negra en 1era extracción}N₂= {sacar bola negra en 2da extracción}

Dado que se cuentan con 5 canicas en la bolsa y se pretenden sacar 2 bolas una seguida de la otra, al principio la probabilidad de sacar una bola blanca es de 5/10, 5 casos requeridos sobre 10 casos posibles así que cuando se logra sacar la primera bola blanca, la probabilidad de que salga otra bola blanca se reduce a 4/9 ya que solo quedan 4 bolas blancas y 9 bolas en total puesto que no se regresa la bola blanca que se extrajo el principio, por lo cual es un experimento que se realiza sin reemplazo.

a) P({2 blancas una después de la otra})=P(B ₁ ΠB ₂ )= P(B ₁ ) P(B ₂ /B ₁ )= (5/10) (4/9)=2/9

Lo mismo sucede con la probabilidad de sacar una bola roja, ya que se cuentan con 3 bolas rojas la probabilidad es dada por 3/10, cuando se logra extraer esa bola roja, la probabilidad de que se obtenga una negra solo se ve afectada por el hecho de que salió una bola de otro color y el número de casos posibles se reduce en uno quedando la probabilidad de esta manera 2/9.

b) P({una roja y una negra})=P(R ₁ ΠN ₂ )=P(R ₁ ) P(N ₂ /R ₁ )= (3/10) (2/9)= 1/15

Cuando se tienen que sacar 3 bolas rojas de manera consecutiva, el análisis es muy similar, cuando sacas la primera bola roja, la probabilidad se reduce a 2/9 ya que ahora solo quedan 2 bolas rojas y 9 bolas en total, y si aun falta una tercera bola, la probabilidad tras sacar la segunda bola roja es de 1/8 ya que solo que una bola roja en 8 bolas totales.

c) P {3 rojas una después de otra})=P(R ₁ /P(R ₂ /R ₁ )*P(R ₃ /R ₂ ΠR ₁ )= (3/10) (2/9)(1/8)=1/20

Este caso pareciera ser especial, ya que cuando se tienen todas las bolas, al principio la probabilidad de sacar una bola negra es de 2/10 porque se cuenta con 2 bolas negras dentro de las 10 totales, cuando se saca la bola negra, la probabilidad de sacar una bola roja es 3/9 porque aun se encuentran las 3 bolas rojas pero ahora que ha salido una bola de otro color, el número total de bolas se reduce a 9, cuando se tiene que sacar la bola blanca, la probabilidad es 5/8 ya que dentro de la bolsa continúan estando las 5 bolas blancas iniciales y lo único que ha cambiado es la cantidad de bolas ya que se han extraído de otro color. Así la probabilidad de sacar una bola blanca al final es más alta que al principio.

d)P({negra, después roja y blanca})=P(N ₁ )-P(R ₂ /N ₁ )*P(B ₃ /R ₂ ΠN ₁ )=(2/10)(3/9)(5/8)=1/24

37.- Como muchos saben la hepatitis se detecta comúnmente realizando pruebas sanguíneas. Supóngase que en un cierto grupo de personas, el 3% realmente tiene hepatitis (H) y el 97% no(H’). Supóngase además que si una persona tiene la enfermedad, el 95%de las pruebas sanguíneas la detectan (p), pro el 5% no la detectan (N). Para las personas que no tienen la enfermedad, el 6% de las pruebas muestran resultados positivos y el 94% muestran resultados negativos. Si la prueba sanguínea de una persona es negativa, ¿Cuál es la probabilidad de que en realidad tenga la enfermedad?

Ejemplo 8:El 60% de los tornillos producidos por una fabrica proceden de la máquina A y el 40% de la

Máquina B. La proporción de defectuosos en A es 0.1 y en B es 0.5. .Cual es la probabilidad de queUn tornillo de dicha fabrica sea defectuoso? .Cual es la probabilidad de que, sabiendo que un tornillo¿Es defectuoso, proceda de la máquina A?Estadıstica 45En este ejemplo, tenemos un experimento en dos etapas; en la primera, los sucesos son:

A: tornillo fabricado por la máquina AB: tornillo fabricado por la máquina BLos valores de las probabilidades de estos sucesos son conocidos: p(A)=0,6 y p(B)=0,4.Los resultados de la segunda etapa son:

D: tornillo defectuosoD: tornillo no defectuosoLas probabilidades de estos sucesos dependen del resultado de la primera etapa:

p(D/A)=0,1 p(D/B)=0,5A partir de estos valores podemos determinar también:

p(￣D/A)=1-P(D/A)=1-0,1=0,9 p(￣D/B)=1-P(D/B)=1-0,5=0,5El suceso D se puede poner como: D=DA+DB, sucesos mutuamente excluyentes; luego utilizando el teorema de las probabilidades totales:

p(D)=p(D/A)p(A)+p(D/B)p(B)=(0,1)(0,6)+(0,5)(0,4)=0,26

La otra probabilidad es p(A/D), probabilidad de un resultado de la primera etapa condicionada a un resultado de la segunda; podemos aplicar el teorema de Bayes para resolverlo:

P(H)=0.03

P(H’)=0.97

P(P/H)=0.95

P(N/H)=0.05

P(P/H’)=0.06

P(N/H’)=0.94

Regresando a nuestro problema:

Gracias a los datos expresados en el problema, se puede construir este diagrama en el que se representa

=1

P(HΠN)+P(H’ΠN)

Si la prueba sanguínea de una persona es negativa, ¿Cuál es la probabilidad de que en realidad tenga la enfermedad?

P(H)*P(P/H)=(0.03)(0.95)=0.0285

P(H)*P(N/H)=(0.03)(0.05)=0.0015

P(H’)*P(P/H’)=(0.97)(0.06)=0.0582

P(H’)*P(N/H’)=(0.97)(0.94)=0.9118

P(H)*P(N/H)+P(H’)*P(H’/N)=(0.0015)(0.9118)=0.9133

Teorema de Bayes

P (HΠN)= P(H)*P(N/H) P(H’)*P(N/H)+P(H)*P(N/H)

P (HΠN)= 0.0015 = 0.9133