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E

STRUCTURAS

ARITMÉTICASELEMENTALES

Y

SU

MODELIZACIÓN

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NCARNACIÓN

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ASTRO

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E

NRIQUE

C

ASTRO

Bogotá, 1995

una empresa docente

ii

Primera edición, julio de 1995

Contenido

ESTRUCTURAS ARITMÉTICAS ELEMENTALES Y SU MODELIZACIÓNAutores: Encarnación Castro, Luis Rico y Enrique Castro

D. R. © 1995 una empresa docente ® & Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V.

Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, archivada o transmitida en forma algu-na o mediante algún sistema, ya sea electrónico, mecánico, de fotorreproducción, de almacena-miento en memoria o cualquier otro, sin el previo y expreso permiso por escrito de "una empresadocente", del Grupo Editorial Iberoamérica y de los autores.

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ISBNImpreso en México /

Printed in Mexico

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Contenido

1. Adquisición del concepto de número 1

Introducción 1Contextos numéricos 2

Contexto cardinal 3Contexto de medida 4

Secuencia numérica 5Aspecto cardinal del número 6El proceso de contar 7Puntos de vista sobre la acción de contar 8Algunas investigaciones 9

Primer estadio de Schaeffer 11Segundo estadio de Schaeffer 11Tercer estadio de Schaeffer 12Cuarto estadio de Schaeffer 12Conclusiones de otros investigadores 12

Influencias en el currículo 13

Capacidad para hacer comparaciones cuantitativas entre dos grupos de objetos 13Comprensión global de los efectos de añadir objetos a un grupo o de quitar objetos de ese grupo 14Capacidad para distinguir números de atributos como: disposición de color, tamaño 14Comprender como funciona el sistema decimal 14

Aprendizaje de los símbolos 16Consideraciones sobre el cero 17Carácter operatorio de los números 17Etapas en el aprendizaje de las operaciones 18

Las acciones 18

iv

Uso de modelos 19Simbolización 19Hechos numéricos y tablas 19Algoritmos 19Aplicación a la resolución de problemas 20

Resolución de problemas 20

Niveles de abstracción 22Tipos de variables 24

2. Estructura aditiva 27

Introducción 27Estrategias para sumar y restar 29

Para la suma 29Para la resta 29

Modelos para la suma 30

Modelos lineales 30Modelos cardinales 31Modelos con medidas 31Modelos funcionales 31

El análisis de cada número 32Relaciones entre números 33Aprendizaje de los hechos numéricos. Las tablas 34Elaboración de la tabla de sumar 35Resolución de problemas verbales aditivos 36Clasificación de los problemas aditivos simples 37

Categoría de cambio 38Categoría de combinación 39Categoría de comparación 39Categoría de igualación 40

Dificultades de aprendizaje 41

v

Tareas y situaciones problemáticas para niños 43Juegos 44

3. Estructura multiplicativa 45

Introducción 45Modelos para el producto y división 46

Modelos lineales 46Modelos cardinales 47Modelos con medida 48Modelos numéricos 49Modelos de razón aritmética 49Modelos funcionales 50

La tabla de multiplicar 50Iniciación a la división 51Elaboración de la tabla de multiplicar 52La estructura multiplicativa como campo conceptual 53Clases de problemas de estructura multiplicativa 54

El ísomorfismo de medidas 54El producto de medidas 57

Estructura multiplicativa y simetría 58Enfoque de estructura de cantidades 59Enfoque textual 61

Problemas que denomina “mapping rule” 61Problemas de comparación multiplicativa 61Problemas de multiplicación cartesiana 62

Modelos implícitos 62Errores asociados a la estructura multiplicativa 63

vi

4. Trabajo con patrones 65

Introducción 65Conceptos a utilizar 67

Modelo 67Símbolo 68Patrón 70Configuración puntual 71Patrón de puntos 72Números figurados 72Número poligonal 72Número piramidal 73Números triangulares 73Números cuadrados 75

Ejemplos de tareas 76

5. Referencias 81

1

Adquisicióndel concepto de número

I

NTRODUCCIÓN

Cuando al hablar se dice “tres”, o cualquier otra palabra numérica pa-rece que nos estamos refiriendo a una cuestión muy sencilla (quizá seapor la costumbre que tenemos de utilizarla), sin embargo un análisiscuidadoso de la cuestión nos hace ver que la expresión “tres” o cual-quiera otra expresión numérica encierran múltiples conceptos algunosde ellos complejos debido en parte a los distintos contextos en los quese utilizan los números.

Vamos a tratar los distintos contextos numéricos y los procesos quesiguen los niños en la adquisición de cada uno de ellos hasta llegar alconcepto de número, en este tratamiento partimos de los siguientes su-puestos:

Consideramos el aprendizaje del número como una base de apren-dizaje informal, sobre el que se van a apoyar los conceptos de Aritmé-tica formal que posteriormente el niño va a desarrollar.

Estamos de acuerdo con Baroody cuando asegura que el aprendi-zaje informal es la base fundamental para comprender y aprender lasmatemáticas que se estudian en la escuela, ya que los niños tienden a

Castro E. Rico L. y Castro E.

2

abordar la matemática formal en función de la matemática informal queconocen.

Creemos que la etapa infantil es de enorme trascendencia para laeducación matemática posterior del niño. En ella se van a formar losconceptos básicos o primarios y los primeros esquemas sobre los que,posteriormente, se construirá todo el aprendizaje. Si estos esquemas bá-sicos están mal formados o son frágiles, pueden llegar a impedir o a di-ficultar (en el mejor de los casos) el aprendizaje posterior.

En la escuela infantil, el niño ha de ser encauzado para que evolu-cione hacia procesos más abstractos de pensamiento. Está demostradoque, desde pequeños, los niños son capaces de desarrollar métodos, aveces sofisticados, de contar y de resolver problemas sencillos.

Cerramos este apartado con la siguiente cita de Montessori (1934).“Se ha repetido siempre que la Aritmética y en general la ciencia mate-mática, tiene en la educación el oficio importante de ordenar la mentejuvenil, preparándola, con rigurosa disciplina, para ascender a las altu-ras de la abstracción”. Mas adelante añade: “El cálculo, después, no essino una ulterior abreviación de la operación de contar”.

C

ONTEXTOS

NUMÉRICOS

Las palabras numéricas se utilizan en distintos usos y contextos así:• Uso en la secuencia convencional numérica• Empleo de dicha secuencia para contar• Asociación de cada palabra con un símbolo• Utilización para indicar la numerosidad de un conjunto• Utilidad para indicar la posición relativa de los objetos• Función de código• En contexto de medida

Según el uso, o el contexto, en el que se utilicen las palabras numéricas,tendrán un significado distinto.

La secuencia.

En un contexto de secuencia se emplean los números en suorden habitual (uno, dos, tres, cuatro,...) sin referirlos a ningún ente uobjeto externo. Se suelen emplear las secuencias numéricas para conse-guir distintos propósitos, como pueden ser los de practicarla, cronome-

Adquisición del concepto de número

3

trar el tiempo (por ejemplo, diciendo los números hasta 30 en el juegodel escondite), atraer la atención de los demás, sugerir otros contextosnuméricos (hallar el cardinal, el ordinal y la medida) y efectuar opera-ciones (sumar, restar, multiplicar y dividir).

El recuento.

En el contexto de contar, a diferencia del de secuencia, cadanúmero se asocia con un elemento de un conjunto de objetos discretos.En la vida real ambos contextos están identificados con el contar. Más,para nuestras consideraciones importa resaltar esta diferencia, puestoque el contexto de contar conlleva el correcto empleo de la correspon-dencia biunívoca que a cada número asocia un objeto. En objetos queno estén fijados a una posición, la acción de indicar se puede sustituirpor trasladar al objeto que se cuenta del montón de los no contados alde los contados.

Contexto cardinal

Un contexto cardinal es aquel en el que un número natural describe lacantidad de elementos de un conjunto bien definido de objetos discre-tos (aislados) o sucesos.

Nuestro idioma, como muchos otros, dispone de palabras especia-les para indicar los cardinales en determinadas situaciones: duo, trío,cuarteto, etc. (en música); gemelos, trillizos, cuatrillizos, etc.; doble, tri-ple, cuádruple, etc.; par, terna, cuaterna, etc.

Para hallar el cardinal de un conjunto se puede proceder de distin-tas formas. La primera es preguntar a alguien para que nos lo diga. Encaso de que esta vía no sea posible o necesaria, nos vemos obligados adeterminarlo por nosotros mismos, y dependiendo del tamaño delconjunto actuamos de cuatro formas distintas.

• Si el tamaño se puede percibir “de una ojeada” (caso delos puntos del dominó) el número aparece en nuestramente de forma instantánea. Esta forma de obtenerlo sellama

subitización

, derivado de la palabra latina

subitus

(súbito)• Para conjuntos más numerosos en los que nos falla la su-

bitización empleamos el proceso de contar; el númerocon el que finalizamos el proceso de contar un conjuntodeterminado nos da su cardinal


4

• En los casos en que la aproximación numérica es suficien-te se suelen emplear técnicas de estimación (número deasistentes a una manifestación)

• Y finalmente, si disponemos de la suficiente informaciónadicional, el cardinal de un conjunto también podrá ha-llarse empleando con sentido las cuatro operaciones ele-mentales y sus propiedades (así, conocidos los cardinalesde una partición de un conjunto, podemos hallar porsuma el cardinal de éste)

Hay situaciones en que sólo se necesita conocer el “tamaño” de un con-junto, y otras en las que comparamos los de dos conjuntos. Se trata eneste caso de decidir si los “tamaños” son iguales, o si uno es mayor omenor que otro. La decisión se puede tomar:

• Comparando perceptualmente los conjuntos• Estableciendo correspondencias biunívocas entre los ele-

mentos de los dos conjuntos• Y contando los objetos y comparando los cardinales

Contexto de medida

En los contextos de medida los números describen la cantidad de uni-dades de alguna magnitud continua como longitud, superficie, volu-men, capacidad, peso, tiempo, etc. La magnitud se supone dividida enmúltiplos de la unidad correspondiente y nos permite responder a lapregunta ¿Cuántas unidades hay?. La división puede estar ya hecha ono, por lo que las técnicas que usemos para determinar la medida esta-rán subordinadas a este hecho. Si la magnitud está dividida en múlti-plos de la unidad la situación es análoga a un contexto cardinal ypodemos utilizar las mismas estrategias. Si no lo está, se requieren téc-nicas más complejas, específicas del tipo de magnitud. El proceso de di-visión puede requerir llenar la unidad (por ejemplo, en capacidad) orecubrir la cantidad que va a ser medida con unidades (por ejemplo, unárea con el centímetro cuadrado) y además contar. Si solo tenemos unaréplica de la unidad (por ejemplo un solo centímetro cuadrado) estosprocedimientos de recubrir se tienen que sustituir por una reiteraciónde la unidad en la que, al mismo tiempo que la unidad se coloca correc-tamente, se tiene que ir contando.


5

Se supone que, en un principio, el niño va aprendiendo estos térmi-nos numéricos como palabras que están asociadas a varios contextosdistintos. Poco a poco, estos significados diferentes del término se vanfusionando y darán lugar a un bloque, conformado por los distintossignificados de la palabra. Este proceso le llevará a un niño, medio, cin-co o seis años de su vida.

Parece que no hay duda de que es durante el período de la

educa-ción infantil

cuando se va desarrollando lentamente la noción de nú-mero y la escuela tiene influencia sobre los niños durante este período,por lo que los profesionales de la enseñanza han de estar preparadospara ayudar a sus alumnos en este aprendizaje de manera que se llevea cabo de forma significativa.

Muchas investigaciones se han realizado sobre la noción de núme-ro y la forma en que los niños llegan a adquirir dicha noción. Los resul-tados de las mismas constituyen una valiosa aportación para laformación de los profesores, que las pueden tomar de guía y conseguirasí un mejor desarrollo en el aprendizaje de sus alumnos.

S

ECUENCIA

NUMÉRICA

Fuson y Hall (1980) establecen que de las primeras experiencias que losniños tienen con los números está la que surge del contacto con los tér-minos o palabras numéricas. Se trata de la sucesión convencional: uno,dos, tres... como palabras que en un primer momento no tiene por quéser utilizadas para contar.

Alrededor de los 6 o 7 años, el niño debe de dominar la sucesiónhasta 100, correctamente, y lo conseguirá incorporando distintos tra-mos de la sucesión convencional. Alrededor de los cuatro años dominaun primer tramo “uno, dos, tres, cuatro cinco” y tiene un segundo tra-mo de forma no convencional estable “cinco, ocho, nueve, doce” (porejemplo) y un tercer tramo no convencional de forma no estable.

Para lograr el dominio de la secuencia el niño recorre cinco niveles:

Nivel Cuerda.

La sucesión empieza en uno y los términos no están di-ferenciados.


6

Nivel Cadena Irrompible

. La sucesión comienza en uno y los términos es-tán diferenciados.

Nivel Cadena Rompible.

La sucesión puede comenzar en un terminocualquiera.

Nivel Cadena Numerable.

Contar n términos desde a hasta b.

Nivel Cadena Bidimensional.

Desde un termino cualquiera, a, se puederecorrer la sucesión en ambas direcciones.

Una vez alcanzado este nivel (en un tramo de la secuencia) es posibleobtener relaciones entre estos números tales como: “después del núme-ro a viene el b”; “delante del número c está el d”; “antes de”, “despuésde”. El dominio de la secuencia permitirá utilizar el número en los de-más contextos.

A

SPECTO

CARDINAL

DEL

NÚMERO

El número tiene un contexto cardinal cuando se está indicando con él,la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Los niños toman pron-to contacto con el cardinal del número. Para el termino

dos

, por ejem-plo, como muy tarde, cuando cumple dos años y se le indica con dosdedos mientras se le repite “dos años”; no obstante tendrá experienciasdiferentes asociadas con el número

dos

en su contexto cardinal, cadauna de ellas le aportará un significado distinto que posteriormente re-unidos darán lugar a un concepto de

dos

más general.Se considera un momento importante en el desarrollo del concepto

de número aquel en que el niño descubre la cardinalidad: El último nú-mero que dice al contar un conjunto de objetos es el cardinal de ese con-junto. Se admite que un niño ha adquirido la regla de la cardinacióncuando es capaz de realizar uno de estos comportamientos.

• Responder inmediatamente a la pregunta ¿Cuántos hay?• Enfatizar la ultima palabra al contar los elementos de un

conjunto• Repetir el último término al realizar un recuento


7

Se supone que un niño no ha adquirido la regla, si comienza, a contarde nuevo cuando se le pregunta ¿Cuantos hay? La mayoría de los ni-ños, de desarrollo normal, son capaces de aplicar la regla de la cardina-lidad a la edad de 4 años. Se reconocen tres fases en la consolidación dela regla de cardinación.

• Transición de contar a cardinal, en donde el ultimo tér-mino contado se convierte en el adecuado para el cardi-nal

• Comprensión de que el cardinal puede estar asociado aun recuento

• Integración de ambos significados: cada término obteni-do al contar lleva simultáneamente un sentido de cardi-nación

E

L

PROCESO

DE

CONTAR

Contar

consiste en asignar cada uno de los nombres de los términos dela secuencia a un objeto de un conjunto. Se establece, en un principioun apareamiento término-objeto mediante la acción de señalar. La ac-ción de señalar interiorizada dará lugar al proceso de contar.

Sobre los tres años, el niño toca, normalmente, los objetos con lamano mientras que los cuenta. Alrededor de los 5 años no necesita to-car los objetos sino que los señala en un principio con el dedo y poste-riormente con la mirada. De esta forma, en la acción de contar aparecenimplicadas tres tipos de correspondencias.

• Un apareamiento temporal del término con la acción deseñalar

• Un apareamiento entre la acción de señalar y un objetoconcreto

• Un apareamiento entre el término y el objeto

Así, en la acción de señalar se crea una unidad espacio-temporal queconecta el objeto (que existe en el espacio) con la palabra (que existe enel tiempo).

Se han llegado a determinar cinco principios lógicos implícitos en elproceso de contar que son los siguientes.


8

Principio de orden estable

. Para contar, los términos de la secuencia se hande recitar, siempre, en el orden establecido.

Principio de correspondencia.

Al contar los elementos de un conjunto, yahemos dicho, se va recitando la secuencia y a la vez, se van señalandolos elementos del conjunto.

Principio de biunivocidad.

En el proceso anterior, no basta solo con esta-blecer una correspondencia entre palabra numérica y objeto, sino quedicha correspondencia ha de ser biunívoca. Esto supone que; a cada ele-mento del conjunto se le asignará una palabra numérica y recíproca-mente; cada palabra estará asociada con un elemento.

Principio de cardinalidad.

El último término obtenido, al contar todos losobjetos de la colección, indica el número de objetos que tiene dicha co-lección.

Principio de irrelevancia del orden.

El cardinal de un conjunto, o sea, elnúmero de elementos obtenidos al contar, no depende del orden en queestén dispuestos los elementos para contarlos.

Principio de abstracción.

Cualquier conjunto o colección de objetos escontable. Puede suceder que los elementos que forman el conjunto seantodos homogéneos (lápices), o que no lo sean (lápices y bolígrafos), eneste último caso puede haber problemas, pues el resultado de contarhabrá que expresarlo en una categoría superior que comprenda a lasdos anteriores como subconjuntos (útiles para escribir).

P

UNTOS

DE

VISTA

SOBRE

LA

ACCIÓN

DE

CONTAR

Los investigadores no se ponen de acuerdo sobre la importancia quetiene el acto de

contar

en el desarrollo de la noción de número. Piaget y sus colaboradores dan poca importancia a la acción de con-

tar en la construcción del número. Sostienen que dicha construcción sebasa en los conceptos lógicos de seriación y clasificación y estos concep-tos pertenecen a un estadio algo avanzado del desarrollo del pensa-


9

miento, el test de la conservación determinará si un niño ha llegado, ono, a ese estadio.

El número se construye, según Piaget, mediante una síntesis de dostipos de relaciones que el niño establece entre los objetos por abstrac-ción reflexiva:

el orden y la inclusión jerárquica de clases

.El conocimiento del número, para esta teoría, está subordinado a la

evolución del pensamiento lógico. Para contar significativamente, elniño ha de entender tareas como

la conservación de cantidades y lasequivalencias entre conjuntos establecidas mediante corresponden-cias biunívocas

. Otros investigadores, entre los que se encuentran Gelman, Schae-

ffer, Clements, aseguran que contar es esencial para el desarrollo de lacomprensión del número y que la dificultad del niño para entender laconservación se debe, a que el niño no sabe contar.

La enseñanza que se desarrolle teniendo en cuenta uno u otro de losdos puntos de vista anteriores será distinta. Los seguidores de la pri-mera teoría, propondrán al niño actividades que le ayuden en el desa-rrollo de sus capacidades lógicas y pospondrán las tareas de contar, yaque estas no tienen significado para el alumno. Los seguidores de la se-gunda teoría, por el contrario, piensan que es bueno centrar la atenciónen actividades que desarrollen técnicas específicas de contar y tareasque fomenten su aplicación. Así, para unos la enseñanza del númerohabrá de hacerse formalmente sobre una base lógica, para otros, habráde hacerse de manera informal, contando.

A

LGUNAS

INVESTIGACIONES

Las investigaciones que Piaget, y sus discípulos, realizaron en estecampo estaban montadas sobre tareas en las cuales el niño tenía quecomparar conjuntos a través de correspondencias o formar conjuntosequivalentes a un dado (botellas y vasos, jarrones y flores, etc). Se iden-tificaron tres estadios examinando la ejecución de las tareas por niños.

Estadio I(niños de edad entre 3,6 y 5,6 años).

Hay una comparación glo-bal entre los conjuntos, no se forma la correspondencia biunívoca, nihay equivalencia.


10

Estadio II (niños cuya edad estaba entre 4,6 a 6 años).

Hay una correspon-dencia biunívoca, sin equivalencia perdurable. El niño obtiene una co-lección equivalente a la primera, pero piensa que una colección esmayor cuando se cambia de forma y adquiere mayor extensión.

Estadio III (niños de edad entre 4,11 y 5,6 años).

Crean colecciones equiva-lentes a las dadas y además están seguros de que el número no cambia,aunque cambie la posición de una de sus colecciones.

Una de las conclusiones a las que llegan a partir de la hipótesis de quela construcción del número es una síntesis de las estructuras de agrupa-miento y de la inclusión de clases fue que no hay una construcción delnúmero cardinal separadamente de la del número ordinal sino que am-bas se constituyen de manera indisociable, a partir de las clases y de lasrelaciones de orden que estará consolidada para los primeros númerosalrededor de los 7 u 8 años y posterior y progresivamente para el restode la serie.

Clements (citado por Van de Valle, 1988) realizó un estudio con ni-ños de 4 años y llega a la conclusión que las actividades de contar debi-damente estructuradas llevan al niño a mejorar su formación tanto enhabilidades numéricas como en operaciones lógicas. Sus resultadosfueron:

• Niños entrenados en tareas lógicas ganan significativa-mente a niños que no han sido entrenados en estas opera-ciones

• Niños entrenados en estrategias de contar ganan signifi-cativamente en test de criterios numéricos a niños que nohabían sido entrenados

• Niños entrenados en tareas lógicas, ganan poco en test decriterios numéricos a los que no habían sido entrenados

• Niños entrenados en estrategias de contar ganan especta-cularmente en test de tareas lógicas a los que no habíansido entrenados

Explica estos resultados en el hecho de que considera que todos losprincipios implícitos en la tarea de contar son operaciones lógicas. En lamisma línea están Donalson, Gelman, Schaeffer. Este último, como re-sultado de sus investigaciones, divide en cuatro estadios el proceso deadquisición del número, cada uno de los cuales presenta unas caracte-


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rísticas propias, en cuanto al tipo de acciones que los niños son capacesde realizar. Las explicaciones que dan Gelman y Schaeffer sobre unmismo hecho, en algunos de los casos, son distintas. A continuación sedescriben los estadios de Schaeffer.

Primer estadio de Schaeffer

Edad de los niños, de 2 a 5 años. Se caracteriza porque los niños no soncapaces de contar un conjunto de más de cinco objetos. Según Sche-affer, distinguen como diferente el número de objetos de dos conjuntosbasándose en su configuración perceptual. Gelman, sin embargo, ase-gura que en este estadio el niño es capaz de reconocer colecciones pe-queñas de objetos contando. En su opinión los niños han captado elaspecto cardinal del número en colecciones muy pequeñas pero no dis-ponen de un aspecto ordinal implícito que le permita asignar una se-cuencia de nombres de números a una serie de objetos.

En este estadio las tareas que los niños son capaces de realizar son:• Reconocer el número de elementos de un conjunto cuyo

cardinal sea menor que cinco• Distinguir qué colección es mayor, en el caso que al me-

nos una de ellas tenga menos de cinco elementos• Reconocer entre colecciones más amplias, relaciones de

mayor y menor cuando los objetos están alineados y veala existencia o no de correspondencias biunívocas

Segundo estadio de Schaeffer

Niños de 3,9 años. La edad de los niños es en algunos casos menor quela de los niños del estadio anterior. En este estadio los niños:

• Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos enfila

• No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los ca-sos

• Con números mayores el recuento no está dominado; co-meten errores en la separación de los elementos ya conta-dos o en la coordinación entre palabra y objeto

• No se ha captado aún la conexión entre el proceso de re-cuento y su resultado, que es el último número recitadoy que representa la numerosidad de la colección, ni que


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dicho número es invariante frente al orden que presentenlos elementos del conjunto

• Para números pequeños, cuentan siempre la colecciónpara dar el resultado, no subitizan. La explicación deScheaffer a este hecho es que el recuento les da mayor se-guridad a no equivocarse. La de Gelman es que el niño to-davía no ha aprendido a reconocer grupos deconfiguraciones; esto ocurrirá cuando esté familiarizadocon el número

Tercer estadio de Schaeffer

Niños de edad entre 3,3 y 5,3 años. En este estadio los niños:• Saben aplicar la regla de cardinalidad, pero todavía no co-

nocen cuando un número es mayor que otro (ejemplo 7mayor que 5)

• Conectan el proceso de recuento con la regla de cardina-lidad

• Los niños muestran mayor disposición para reconocer elnúmero de elementos de una colección pequeña de obje-tos, sin contarlo

Cuarto estadio de Schaeffer

Niños de 5 a 5,11 años. Se caracteriza por la capacidad que presentanlos niños para:

• Reconocer el mayor de dos números• Contar sin cometer errores• Comparar el tamaño de dos colecciones

En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que losconjuntos no sobrepasan los diez elementos.

Conclusiones de otros investigadores

Case, citado por Fuson y Hall, asegura que las tareas de contar dan alniño capacidad para aplicar el recuento automáticamente por lo que elniño se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numéricas,como por ejemplo, establecer relaciones entre recuento y tamaño deuna colección. Brianerd (citado por Dickson y col) asegura que la ideade ir emparejando los objetos de dos colecciones, con el fin de comparar


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sus tamaños, es un logro relativamente tardío. Want señala que el em-parejamiento biunívoco y las destrezas de recuento se desarrollan si-multáneamente.

Hay varias consecuencias de estos estudios: los niños, a las cincoaños, poseen una comprensión adecuada y operativa de los diez pri-meros números naturales, al menos en su forma oral; el conocimientooral da suficiente capacidad para resolver problemas aritméticos sen-cillos expuestos oralmente; y es muy importante el papel del recuentopara adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del número.

Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de lacantidad de dificultades con las que tropieza el niño en su camino haciala comprensión de la idea de número. Se detecta (como señalan Diksony col., 1991) que en los últimos años se ha concedido una excesiva im-portancia a las correspondencias biunívocas en el aprendizaje infantil,en detrimento de uso de la práctica de contar.

I

NFLUENCIAS

EN

EL

CURRÍCULO

En línea con la Escuela de Ginebra, en el Informe Piagetiano editadopor el M.E.C. en 1987, se hace un listado de las capacidades que un niñodebe de adquirir en relación con el concepto de número y las tareas quelos mismos pueden desarrollar para conseguirlas. A continuación lasenumeramos.

Capacidad para hacer comparaciones cuantitativas entre dos grupos de objetos

Se caracteriza por:• Comparaciones brutas, mucho comparado con poco,

comparado con la misma cantidad• Hacer comparaciones exactas, colocando dos grupos de

cinco a diez elementos en correspondencia provocada deuno a uno

• Hacer comparaciones exactas, colocando dos grupos decinco a diez objetos en correspondencia no provocada deuno a uno. En este caso, los grupos de objetos no van jun-tos, necesariamente


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Comprensión global de los efectos de añadir objetos a un grupo o de quitar objetos de ese grupo

A nivel de esta tarea se comprende que:• Añadir objetos a una colección aumenta su número (lo

hace mas) de modo que si se cuentan los números llega-mos a un número mas alto

• Si se quitan objetos de un grupo reduce el número (lohace menos)

Capacidad para distinguir números de atributos como: disposición de color, tamaño

Esto permite al niño conservar el número, es decir, el número permane-ce igual a pesar de cambios perceptivos. Esto es aplicable tanto a condi-ciones de identidad (realizando cambios dentro de un solo grupo)como a condiciones de equivalencia (involucrando cambios en un gru-po cuando para empezar, hubo varios grupos equivalentes.

•

Identidad I.

El número de objetos de un grupo que se hamodificado, puede ser reestablecido cuando se vuelvan acolocar los objetos en su forma original. Un niño que se decuenta de esto no tiene por qué darse cuenta que el núme-ro ha permanecido invariable todo el tiempo

•

Identidad II.

El número de objetos es el mismo inclusocuando se modifique la disposición original y no se vuel-va a restablecer

•

Equivalencia I.

El número de objetos en colecciones equi-valentes permanece igual cuando se construye la corres-pondencia destruida

•

Equivalencia II.

El número de objetos en grupos equivalen-tes permanece igual cuando ya no exista una correspon-dencia “uno a uno”. El niño no tiene la necesidad dereconstruir la correspondencia

Comprender como funciona el sistema decimal

Se caracteriza por:• Saber contar de uno a veinte en secuencia• Sumar uno a cualquier número da el siguiente• Todos los números menores que uno determinado, están

incluidos en ese número. Si tienen cuatro canicas, es cierto


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que tienen dos canicas. Para darse cuenta de esta propie-dad es necesario saber que cuando señala un objeto y di-cen “siete” están identificando a todo el grupo de objetos.El señalado es solamente es, solamente, el séptimo objetocontado

Complementarias a estas actividades hay otras tareas que ayudan alniño en su proceso de adquisición del número. A continuación propo-nemos una serie de actividades para desarrollar la capacidad de contary la utilización de números para representar una cantidad. (de RobertRobinson, 1989).

• Alumnos y profesor con los brazos levantados, empezan-do por la izquierda, doblar atrás cada dedo mientras sedicen los números

• Cuando el alumno está contando junto con el profesor,dejarle contar solo mientras el profesor dobla los dedos

• Invertir los papeles. El niño contará los dedos del profe-sor

• Batir palmas y contar a la vez, marchar y contar a la vez• El profesor empieza a contar, llegado un momento se

para y señala a un niño para que diga el número siguien-te. Sigue contando y repite la operación con otro niño

• Con un recipiente de metal y objetos que suenen al caer:Dejar caer los objetos en el recipiente, de uno en uno, e ircontando a medida que estos suenen

• Se hace rebotar una pelota y se va contando cada bote.Otra posibilidad es tratar de adivinar el número de botesque va a dar

• Se hace rebotar la pelota y se le pide a un niño que batatantas palmas como botes haya dado la pelota

• Los niños escuchan mientras el profesor bate palmas,después se les piden que digan cuantas palmadas se handado

• Y tareas en donde se familiarice el signo con el nombre delos números tales como inventar un teatro o cuento paraescenificar en donde los personajes sean los números. Lapuesta en escena se puede hacer colocando a un grupo deniños pegatinas de números en las manos el profesor va


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narrando el teatro, o cuento, y los niños sacarán la manoadecuada en el momento que le corresponda

A

PRENDIZAJE

DE

LOS

SÍMBOLOS

Dada la complejidad que supone leer y escribir los signos de los núme-ros, se aconseja que su aprendizaje se inicie al comenzar el período deenseñanza primaria. No obstante hay niños que ya a los cinco años soncapaces de leer y escribir signos numéricos por lo que vamos a dar al-gunas ideas que consideramos de interés en este proceso. La habilidadde escribir cifras, al igual que la de escribir letras, es una destreza querequiere una maduración del sistema motor y una coordinación entrela vista y el movimiento de la mano. En algunos individuos existe des-coordinación entre estas dos destrezas por lo que se requerirá másadiestramiento en una de ellas para conseguir su dominio.

Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinación entre lavista y la mano:

• Pintar con los dedos siguiendo un camino• Alinear objetos sobre una marca• Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras• Dibujar las cifras sobre algún material continuo (ejemplo

arena) o en el aire• Moldear las cifras con plastilina o arcilla

No debemos pensar que este es un aprendizaje matemático ya que lahabilidad para escribir cifras no tiene nada que ver con la capacidadpara comprender su valor y utilizarlas correctamente, así mismo, la in-capacidad para escribir un número no debe confundirse con la incapa-cidad para comprender las matemáticas.

La numeración y los cálculos son, ante todo, una manera de codifi-car y comunicar información resumida por lo que requiere gran impor-tancia el que dicha escritura sea legible, esto obliga a cuidar el dominiode las técnicas de preescritura necesarias para conseguir el éxito. Entreestas técnicas podemos señalar:

• Coger el lápiz correctamente• Colocar el papel de forma adecuada• Copiar de un modelo, etc.


17

Una vez que los niños comienzan a realizar preescritura de números sehace necesario una gran atención con objeto de corregir los malos há-bitos, si se producen, antes de que lleguen a estar consolidados.

CONSIDERACIONES SOBRE EL CERO

El número cero fue la última cifra que se incorporó a nuestro sistemade numeración. Durante mucho tiempo se pensó que los números ex-presaban la esencia de lo existente, por ello lo que “no es” no puede serexpresado de aquí que para el cero no se tuviera ninguna razón que im-pulsara su aparición. Esto nos puede dar idea de la dificultad, de tipológico, que su aprendizaje representa para el niño. Otro motivo que au-menta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoría de loscontextos numéricos, veamos.

• En la secuencia numérica, no se suele comenzar por elcero

• En el recuento, lo usual es empezar a contar desde el uno• El contexto cardinal es el único que lo contempla al con-

siderarlo como cardinal del conjunto vacío• En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una

medida cero

Sin embargo, hay un contexto en donde resulta muy gráfico hablar decero, la calificación de cero dada a algo indica su falta de valor.

Estas consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la enseñanzadel cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos puedefacilitar su introducción e incorporación al resto de los números.

CARÁCTER OPERATORIO DE LOS NÚMEROS

El interés por expresar numéricamente distintas situaciones o contex-tos no se agota con la simbolización de las cantidades mediante núme-ros pues la Aritmética surgió junto a un sistema de numeración parasatisfacer necesidades primordiales y no sólo de recuento sino tambiénoperatorias; con los números no sólo se simbolizan cantidades, tam-bién las acciones, relaciones y transformaciones cuantitativas, que pue-


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den realizarse sobre los objetos tienen un reflejo en las operacionesnuméricas.

El interés del carácter operatorio del número presenta un doble ver-tiente. En primer lugar el número representa simbólicamente determi-nadas características del mundo real, en particular la cantidad, el ordeny la medida, según hemos visto. Sobre los objetos reales y relacionadocon la cantidad, hay acciones básicas: agregar, separar, reiterar, repar-tir, que expresan multitud de transformaciones con los objetos. Tam-bién entre los objetos se pueden establecer relaciones como comparar,igualar, determinar las veces que uno abarca al otro, etc. Se trata de ope-raciones en el sentido físico del término, pero también en el sentido psi-cológico en cuanto conjunto de situaciones coordinadas y reversibles.

Este cúmulo de acciones del mundo real tiene su expresión simbóli-ca correspondiente en las operaciones numéricas básicas: suma, resta,producto y división. Las operaciones numéricas son las que dan poten-cialidad al número: sin ellas, dice Vergnaud, el concepto de número po-dría no existir.

En segundo lugar, las operaciones establecen una red de conexionesentre los distintos números dando lugar a un sistema de relaciones in-terno dentro del conjunto de los números y dotándole de una estructurarespecto de dichas operaciones fundamentalmente de la adición y de lamultiplicación y sus operaciones inversas la sustracción y la división.

ETAPAS EN EL APRENDIZAJE DE LAS OPERACIONES

En el proceso de aprendizaje de las operaciones se distinguen variasetapas.

Las accionesEn primer lugar hay que considerar las acciones y transformacionesque se realizan en los distintos contextos numéricos considerandoaquellos que presentan rasgos comunes y que darán lugar a un concep-to operatorio, según la idea de Piaget de considerar las operacionesmentales como acciones interiorizadas.


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Uso de modelos En segundo lugar al abstraer las diferentes relaciones y transformacio-nes que ocurren en los contextos numéricos aparecen diferentes esque-mas o ilustraciones, surgen lo que se denominan modelos. “unaoperación puede ser caracterizada como la colección de todos los mo-delos a los que representa” (Vest, 1969). Cada operación tiene sus pro-pios modelos que ponen de manifiesto los contextos generales delnúmero y la peculiaridad de cada operación.

SimbolizaciónLa utilización de los modelos da paso a un nivel más alto de abstrac-ción en el nivel operatorio y es la expresión simbólica de la operación;la notación simbólica de una operación, como por ejemplo 3+2=5, re-presenta todos los modelos y todas las situaciones que puedan imagi-narse en las que se reunan 3 y 2 elementos. La simbolización constituyeuna tercera etapa del aprendizaje de las operaciones.

Hechos numéricos y tablasUsualmente se conocen dos números y la relación entre ellos y es nece-sario hallar un tercero realizando la operación. El número que corres-ponde hallar en cada caso se le llama conocer un dato o hechonumérico, en el caso de 3+2 el hecho numérico es conocer que el resul-tado es 5. La cuarta etapa es el aprendizaje, memorístico o no, de los he-chos numéricos esenciales en cada operación. Esto usualmente se hacemediante el descubrimiento, invención y empleo de una serie de des-trezas básicas y la memorización de algunos datos destacados, nuncaes posible aprenderlos todos, cuya expresión canónica es la tabla decada operación.

AlgoritmosLa quinta etapa es aquella en la que el conocimiento de los hechos nu-méricos, unas pocas destrezas y reglas básicas permiten calcular el re-sultado de la operación con dos números cualesquiera. Es la etapa deadquisición del algoritmo correspondiente.

La utilidad del algoritmo en la realización de una operación radicaen la simplificación que se hace de la misma sobre todo en aquellos ca-sos en los que la operación es compleja debido a la magnitud de los nú-


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meros; esto es debido a las propiedades que caracterizan a losalgoritmos, que son:

Nitidez. Gracias a esta propiedad la realización del algoritmo se trans-forma en un proceso mecánico.

Eficacia. Conduce a los resultados deseados mediante un número finitode pasos, suficientemente simples.

Universalidad. El mismo algoritmo se aplica a todas las situaciones deuna misma clase.

Aplicación a la resolución de problemasEn sexto lugar aparecen las aplicaciones de las operaciones a la resolu-ción de problemas. El hecho de colocar los problemas en la sexta etapano quiere decir que los alumnos no puedan resolver problemas antes depasar por todas las etapas anteriormente descritas, de hecho hay auto-res que señalan que la resolución de problemas hay que trabajarla des-de la etapa de la acción.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Según Lester un problema es una tarea para la cual: • El individuo o grupo se que se enfrenta a ella quiere o ne-

cesita encontrar una solución• No hay un procedimiento fácilmente accesible que garan-

tice o determine completamente la solución• Y el individuo o grupo debe de hacer un intento para en-

contrar la solución

Estas tres componentes tienen implicaciones especiales para la instruc-ción matemática. Elegir los problemas más inteligentes no es producti-vo si los estudiantes no están interesados o no quieren intentarresolverlos. La segunda componente requiere el fracaso inicial por par-te de los estudiantes, al menos en el sentido de que el recuerdo de he-chos o la aplicación de un algoritmo de cálculo previamente aprendidono de la solución. Desgraciadamente muchos de nuestros profesores


21

tienen la idea de que el fracaso perjudica la confianza de los alumnos,consideramos con Lester la importancia que tiene el que los profesorescomprendan que algo de fracaso no es solamente una buena cosa sinoparte necesaria de la resolución de problemas. El estudiante puede noencontrar la solución inmediatamente, aunque dicha solución puedaestar al alcance de la mano. Los alumnos no deben de ser conducidosa creer que si una tarea no puede hacerse fácilmente entonces no puedehacerse en absoluto.

Investigaciones centradas en el resolutor han dado como conse-cuencia algunas diferencias entre buenos y malos resolutores de pro-blemas, así Dodson identificó características discriminantes del éxitoen la resolución de problemas e indica que los buenos resolutores sonsuperiores respecto a la competencia matemática, habilidad para el ra-zonamiento verbal y general, habilidad espacial, actitud positiva, resis-tencia a la distracción, ámbito de independencia y pensamientodivergente. Por su parte Krutetskii sostiene que los buenos resolutoresde problemas son superiores a los malos en su habilidad para percibirla estructura matemática de un problema y generalizar situaciones quepresentan una estructura similar.

La habilidad para resolver problemas no puede enseñarse, peropuede desarrollarse resolviendo problemas, no hay ninguna duda quela habilidad de resolución de problemas aumenta con la práctica.

Wheatley indica que una buena disposición para resolver proble-mas se puede alcanzar dentro del marco de la escuela, para lo que se-ñala las siguientes recomendaciones:

• Crear una atmósfera propicia para la exploración, ya quelos alumnos responden de forma positiva

• Fomentar posturas de interés y desafío hacia la explora-ción de problemas orales. Trabajando en grupo, presen-tando los problemas a través de material, relacionandolos problemas con el juego, etc.

• Presentar situaciones problemáticas variadas. Situacio-nes que den al niño posibilidad de observar, describir,clasificar, ordenar, comparar, conjeturar, preguntar orealizar una representación deberán de formar las basesde un buen desarrollo mental

• Animar a los niños a desarrollar estrategias de resoluciónde problemas. Utilización de modelos, conjeturas y prue-


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bas, ordenación de los datos y/o representación de losmismos

• Dar importancia a la actividad de contar y a la formaciónde patrones

• Facilitar a los niños material manipulativo. El materialproporciona modelos que ayudan a la resolución de pro-blemas de forma concreta, poco a poco se realizará el pasodesde la manipulación y asociación de actividades menta-les hasta la abstracción

• Fomentar la interacción entre los niños. El aprendizaje seconsigue por el intercambio de ideas en un grupo, favore-ciéndose así mismo el paso del egocentrismo al respetodel punto de vista del otro

Niveles de abstracciónEn relación con la resolución de problemas aritméticos elementales nu-merosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de diferentesfactores intervinientes. Riley y otros (1983) diferencian entre factoresglobales y factores específicos, refiriéndose estos últimos a las caracte-rísticas estructurales de las oraciones de los problemas, a la habilidadlectora, a la repercusión del método de instrucción seguido y, sobretodo a la presencia de ayuda en el momento de dar solución a un pro-blema. Con respecto a la influencia de las ayudas, dichos autores consi-deran que la presencia de objetos manipulables conduce a una mejoraen la ejecución de los niños, siendo incluso necesaria en algunos casos.

Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de lapresencia de ayudas (como fichas, bloques etc.) durante la resoluciónde problemas, tanto si se manipulan como cuando se trata de una meraobservación de los mismos. Quizá la incidencia de la presencia de obje-tos en la resolución de problemas aritméticos elementales sea más no-table en la etapa prenumérica, durante la cual se hace patente lanecesidad de apoyos externos de representación.

Fucson (1986) considera que la utilización simultánea de materialesconcretos resulta bastante efectiva en la instrucción de la estrategia decontar a partir de un sumando, el manejo de los materiales parece orga-nizar el conocimiento de algunos niños y facilitar el cambio hacia la es-trategia más avanzada de contar a partir de uno de los sumandos.


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Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguenlos niños hasta llegar a la abstracción en la resolución de problemas.

Nivel conceptual

Es el nivel más primitivo, es aquel en el que los niños modelan comple-tamente la acción o las relaciones que se dan en el problema usando ob-jetos físicos o dedos. En este nivel se caracteriza por el uso demateriales concretos y descripciones verbales.

Por ejemplo, con una situación de “quitar”, un niño cuenta en vozbaja una colección de objetos y los coloca debajo de un recipiente, acontinuación saca de debajo del recipiente y desplaza algunos objetospara que un compañero vea lo que ha sacado. El segundo niño ha dedescribir verbalmente la acción realizada por el primero así como el re-sultado de la misma. Puede ser “tu has puesto cinco bolas debajo de tupañuelo y después has sacado tres, por lo que debajo del pañuelo que-dan dos bolas”. El primer niño retira el pañuelo y se verificará la res-puesta.

Nivel de conexión

En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y descripcionesverbales, pero además se van introduciendo los símbolos escritos co-rrespondientes. Los niños tenderán a no representar físicamente lascantidades descritas en el problema y, poco a poco, serán capaces derealizar la operación de recuento por sí sola.

En la situación de juego descrita anteriormente uno de los niños hade crear la sentencia numérica correspondiente a la situación utilizan-do algún tipo de material como pueden ser tarjetas en las que aparez-can los números y los signos implicados en el problema.Posteriormente se creará la sentencia numérica escribiéndola sobre elpapel.

Nivel abstracto

En este tercer nivel las técnicas de recuento han dado paso a la utiliza-ción de los algoritmos para llegar a la solución del problema. Se pre-senta una sentencia numérica como 5-3 = ( ) y se les anima a quepiensen y describan acciones asociadas a la misma.


24

Tipos de variables La dificultad que pueden plantear los problemas aritméticos va másallá de cual sea la operación que los resuelve. Una resolución adecuadade los problemas aritméticos está condicionada por un gran número devariables, que se pueden clasificar en tres grupos: variables según la in-formación en que se sitúa el problema, según la pregunta que se planteay según la operación que lo resuelve.

Según la información que proporcionanTransmisión de la información. Acción, representación, expresión verbaly expresión simbólica.

Datos numéricos de la información. Contándolos o midiendo, expresiónsimbólica o verbal, números o resultados de medidas, tipos de números(N, Z, Q, etc.), tamaño de los datos, orden en que aparecen los datos einclusión o no de datos superfluos.

Relación entre los datos de la información. Relación explícita o tácita, rela-ción por descripción o acción, relación de tipo lógico (unión, intersec-ción, etc.) y encadenados o independientes.

Contexto de información. Situación más o menos real, estilo de la redac-ción, extensión, connotaciones que pueda implicar participación o node los individuos en su obtención y vocabulario.

Según la pregunta planteadaTipo de información que se pide. Dato exacto o aproximado, gráfica de da-tos o dato de un gráfico, elección de entre varias respuestas, relación en-tre los datos y acción para conseguir un objetivo.

Estructura de la pregunta. Combinación (relación estática entre los da-tos), cambio (relación dinámica), comparación (cuanto más, etc.), igua-lación (cuanto falta para, etc.) y tasa (en problemas de estructuramultiplicativa).

Posición y extensión de la pregunta. Situación dentro del enunciado, ex-tensión (todo o parte del enunciado) y única o varias dirigidas a unacuestión final.


25

Sentido de la pregunta. Si la pregunta está dentro de las cuestiones queel individuo puede presentarse, si la pregunta da o no respuesta a unanecesidad real y si el dato que se obtenga se integra o no de modo co-herente en el contexto informativo.

Según la operación que lo resuelve

Operaciones implicadas. Operaciones para cambio de unidades, opera-ciones para obtener el resultado, algoritmos empleados (o calculado-ra), cálculo mental y conveniencia o no del redondeo de los datos.

Conjunto numérico. Conjunto donde se realizan las operaciones, sub-conjunto dentro del cual aparecen los datos, pertenencia o no del resul-tado al mismo subconjunto que los datos y empleo o no de un únicosistema de símbolos.

Sentencia abierta que proporciona el resultado. Tipo de sentencia (a+b=?,a+?=c, etc.), número de sentencias, orden y resolución de las senten-cias, sentencias complejas y posibilidad de que varias sentencias pro-duzcan el mismo resultado.

Recursos auxiliares. Empleo de material, apoyo gráfico, empleo o elabo-ración de tablas o esquemas, consideración de estructuras implícitas(por ejemplo, proporcionalidad), empleo de fórmulas, tanteo del resul-tado y verificación de resultados.

Todo lo expuesto en este punto hace referencia a los problemas aritmé-ticos escolares de los que Nesher critica el hecho de no estar dados enlenguaje ordinario y no tener relación con las experiencias de los niños.Son estereotipados en su estilo y en su interpretación semántica y des-criben objetos y acontecimientos que no tienen ninguna realidad ni pa-recido con el mundo real, esto es debido, según la autora a la necesidadde dar toda la información requerida y la tendencia a elaborar un textotan abreviado como sea posible; lo que da lugar a un texto lacónico,conciso y que en muchos casos emplea estructuras sintácticas muy di-fíciles.

2

Estructura aditiva

I

NTRODUCCIÓN

La estructura aditiva, de la que la suma y la resta son sus representa-ciones más sencillas, subyace (según Carpenter y Moser) en gran nú-mero de conceptos matemáticos, y su desarrollo en el niño ocupa unextenso período de tiempo ya que ha de cubrir la transición desde losrecuentos informales y las estrategias propias que los niños realizan almargen de su instrucción hasta el uso de datos numéricos memoriza-dos y los algoritmos formales de la adición y sustracción. Este es un pe-ríodo crítico para el aprendizaje de las matemáticas por los niños y secreé que algunas de las dificultades posteriores en matemáticas tienensu origen en la deficiente instrucción inicial de la suma y la resta.

Según Piaget, los conceptos más elementales del número no estáncompletamente desarrollados en los niños antes de los 7 años de edad(aproximadamente) aún cuando los conceptos de adición y substrac-ción, que suponen conocimientos de conceptos numéricos básicos em-piecen a la edad de 6 años. Muy pronto los niños entienden que lasecuencia numérica se puede utilizar para realizar operaciones aritmé-ticas. Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones del tipon + 1 y n - 1 (con n menor que 5), más tarde aparecerán situaciones dela forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las del tipo n + m.

Castro E., Rico L. y Castro E.

28

Las situaciones de suma y resta, entre números naturales, está basa-da en la idea de que juntando elementos a una colección dada aumentasu número y separando elementos disminuye su número. Pero unacomprensión operatoria de la adición requiere (según Piaget) que unniño reconozca que el todo permanece constante independientementede la composición de sus partes. Sus estudios le llevaron a señalar unaserie de estadios, en el desarrollo de este concepto, paralelo al desarro-llo de la conservación.

I estadio.

Los niños no entienden que un conjunto de ocho objetos divi-dido en dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ochoobjetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos.

II estadio.

Se resuelve bien la tarea después de verificaciones empíricas

III estadio.

Reconoce que la composición de las colecciones no afecta alconjunto final.

En principio, los niños no reconocen que el efecto de añadir elementosa una colección pueda ser neutralizado separando el mismo número deelementos y que añadir elementos a una colección equivalente a otrapuede compensarse añadiéndole a la otra el mismo número de elemen-tos.

Las investigaciones realizadas sobre las dificultades que los niñosencuentran cuando realizan operaciones de suma y resta han dado lossiguientes resultados:

• Las dificultades aumentan a medida que aumentan losnúmeros

• Las sumas en las que el primer sumando es mayor que elsegundo ofrecen menos dificultad que aquellas en las queel primer sumando es menor que el segundo

• Las sumas cuyos sumandos son pares son más sencillasque aquellas que presentan algunos de ellos impar

• El caso de tener los dos sumandos iguales, presenta me-nos dificultad que en cualquier otro caso

Estructura aditiva

29

E

STRATEGIAS

PARA

SUMAR

Y

RESTAR

Se han determinado y clasificado las estrategias que los niños utilizancuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta.

Para la suma

Elaboración de un modelo con dedos u objetos.

Se presentan dos casos, en elprimero, se construyen dos colecciones cuyo número de elementossean los números dados y se precede de dos formas distintas: juntar lasdos colecciones y contar todo o contar sin hacer la unión física de lascolecciones; en el segundo, se construye una sola colección y se incre-menta en tantos elementos como indique el segundo sumando.

Secuencias de recuento.

Se cuentan los objetos que se supone se debende reunir sin realizar ninguna acción física, se trata de conductas pura-mente verbales y se puede proceder de varias formas: contar todo (elniño cuenta todos los objetos), contar a partir del primero de los núme-ros dados o contar a partir del mayor de los números.

Datos numéricos recordados

.Emplean combinaciones numéricas que re-cuerdan como son: aplicación de la idea de doble o aplicación de sumasconocidas como 6 + 4 = 10.

Para la resta

Modelos directos con objetos.

Se construye una colección de objetos querepresente al minuendo y de esta se van quitando objetos, esto se pue-de realizar de varias formas: quitando de (se quitan tantos objetoscomo indica el substraendo), quitando hasta (se van quitando al mi-nuendo elementos hasta que quede el substraendo, el recuento de loque se ha quitado dará el resto), añadiendo hasta (se forma un conjuntoque representa al substraendo, se van añadiendo objetos hasta tener elminuendo el numero de objetos añadidos es el resto), emparejamiento(los conjuntos formados se tratan de emparejar, contando los elemen-tos no emparejados se obtiene la respuesta).

Recuento.

Sin utilizar objetos físicos, se pueden considerar varias: con-tar hacia atrás desde (contar hacia atrás desde el minuendo tantas ve-ces como indica el substraendo, el número anterior al último contado


30

es la diferencia), contar hacia atrás hasta (contar hacia atrás desde el mi-nuendo hasta alcanzar el substraendo, el número de pasos dados es elresto), contar hacia delante desde (se cuenta desde el substraendo hastael minuendo, el número de pasos dados es la diferencia).

Datos numéricos recordados

. Utilización de algún hecho numérico que co-nozcan.

Estas estrategias no se enseñan ni se aprenden en la escuela, el niño laselabora para resolver los problemas que encuentra en su medio y a ve-ces las mantiene por encima de su aprendizaje escolar. Es convenienteque el profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasión y para cadaniño su campo de utilidad.

M

ODELOS

PARA

LA

SUMA

Son muchos los modelos posibles que se pueden considerar para cadaoperación ya que son distintas las variables que pueden combinarse.Por un lado están los distintos contextos numéricos; por otra parte hayque considerar si el modelo es estático e incluye sólo estados, o es diná-mico y comprende también operadores; el modelo puede ser gráfico ofísico y en cada uno de estos casos los materiales utilizados pueden va-riar. A continuación vamos a describir algunos modelos gráficos.

El estudio de la adición y sustracción debe de realizarse en simulta-neidad con el trabajo sistemático sobre los diferentes números, demodo integrado. Cada número debe aparecer como un sistema integra-do de relaciones y no como algo puramente estático. Así conocer 5 essaber que 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 9 - 4 etc. En el estudio de cada número esimportante trabajar sobre expresiones gráficas que modelicen cada unode los contextos del número.

Modelos lineales

El primer modelo que vamos a considerar es la línea numérica. SegúnResnick (1983) la línea numérica es un esquema mental que integra lasucesión de términos que sirven para contar, y que a su vez expresan elcardinal, al menos con pequeñas cantidades que se perciben con un sólogolpe de vista.

Estructura aditiva

31

La línea numérica suele estar bastante consolidada en preescolar yse utiliza para realizar operaciones, como hemos descrito, o bien paracomparar directamente cantidades. Modelos físicos de línea numéricason: plantillas, reglas numeradas, etc.

Modelos cardinales

Una segunda clase de modelos corresponde a los contextos cardinales,y en ellos suelen aparecer los diagramas de la teoría de conjuntos. Estosesquemas se pueden emplear con carácter estático no hay acción-, ocon carácter dinámico -la operación es el resultado de una acción. En elprimer caso se trata de esquemas en los que se expresa la relación par-te/todo descrita bien por un conjunto dividido en dos partes disjuntas,o bien, un conjunto en el que hay señalado un subconjunto y por com-plementación se considera el otro.

Modelos con medidas

El contexto de medida tiene también varios modelos entre los que des-tacan los modelos longitudinales como son las regletas de Cuisenaire obien modelos sobre otras magnitudes como la balanza para la compa-ración de pesos. Con las regletas Cuisenaire se pueden hacer activida-des aditivas como la construcción de trenes con dos o más regletas yluego medir su totalidad con una única regleta; también se pueden ha-cer actividades de sustracción como determinar el complemento deuna regleta respecto de otra mayor.

El modelo de la balanza parece especialmente adecuado para laadición, y la situación de equilibrio de la balanza expresa la igualdadentre los sumandos (cantidades colocadas en un brazo) y el resultado(cantidad única colocada en el otro brazo). Existen varios modelos co-merciales de balanza, algunos de los cuales hacen uso de la distancia ala que se colocan los pesos del fiel mientras que otros sitúan los pesosen ambos casos a distancias iguales, sin hacer uso del principio o leygeneral de la balanza.

Modelos funcionales

Un último modelo es el modelo funcional u operatorio en el que se con-sidera que el primer sumando (o el minuendo) es un estado inicial o departida, el segundo sumando (o el substraendo) es un operador o


32

transformación de aumento/disminución que se realiza sobre el estadoinicial; el resultado, en cualquier caso, es el estado final. En este modelose supone que la operación es una máquina que transforma números enotros números, mediante una ley determinada.

Así, en este modelo, la operación 2 + 5 = 7 se esquematiza por:

y la operación 7 - 5 = 2 se esquematiza por:

Supone una iniciación al concepto de función, y va a resultar de muchautilidad en operaciones posteriores.

E

L

ANÁLISIS

DE

CADA

NÚMERO

Al estudiar cada número en concreto hay que trabajar con todas las su-mas cuyo resultado sea ese número, por ejemplo, al estudiar el número5 se debe de tener en cuenta que:

0 + 5 = 5; 1 + 4 = 5; 2 + 3 = 5;

3 + 2 = 5; 4 + 1 = 5; 5 + 0 = 5;

estas son las

composiciones

del número 5. También debe trabajarse lacomposición mediante unidades: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5.

estado inicial operador estado final


+52 7

-57 2

Estructura aditiva

33

Aquí nos estamos refiriendo sólo a la expresión simbólica de lascomposiciones, pero éstas hay que comenzar a trabajarlas desde la ma-nipulación, pasando por el relato, el modelo -en particular las repre-sentaciones gráficas- hasta llegar a la simbolización. En todas estasetapas hay problemas para resolver.

También hay que trabajar los

desarrollos

del número:

5 = 5 + 0; 5 = 4 + 1; 5 = 3 + 2; 5 = 4 + 1; 5 = 0 + y

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Los desarrollos tienen un interés destacado porque suponen un primerpaso en la inversión o reversibilidad piagetiana de las operaciones.

Si 3 + 2 = 5 resulta que 5 = 3 + 2: se puede volver al punto de partida.De igual modo hay que estudiar todas las sentencias abiertas que

tengan 5 como resultado:

3 + ? = 5; ? + 2 = 5; 2 + 3 = ?, etc.

Con el mismo proceso: composición-desarrollo-sentencias abiertas setrabajan todas las restas con minuendo el número estudiado, 5, en estecaso:

5 - 0 = 5; 5 - 1 = 4; 5 - 2 = 3; 5 - 3 = 2;

5 - 4 = 1; 5 - 5 = 0, etc.

R

ELACIONES

ENTRE

NÚMEROS

Se llega así a establecer la red completa de relaciones en las que está im-plicado el número en cuestión. Estas relaciones se estudian en el nivelmás alto de abstracción: el simbólico. Por ello en cualquier momentoconviene realizar el camino de vuelta e inventar, dibujar o localizar si-tuaciones que respondan a cada una de las expresiones simbólicas es-tudiadas.

Hay otras relaciones entre números que también deben estudiarse:Como 4 + 1 = 5, por eso 5 es el

sucesor

o

siguiente

a 4, va

después

de 4. Como 6 - 1 = 5, por eso 5 es el

anterior

a 6, va

delante de

6.


34

Además 5 es

mayor que

0, 1, 2, 3 y 4 y también es

menor

que

6, 7, 8,9, 10, etc. De nuevo estas relaciones se expresarán con situaciones realesy se aplicarán en la Resolución de problemas.

A

PRENDIZAJE

DE

LOS

HECHOS

NUMÉRICOS

. L

AS

TABLAS

Cada una de las relaciones señaladas entre números se conoce como un

dato

o

hecho

numérico. Uno de los objetivos usuales de la enseñanzade la Aritmética es el aprendizaje por parte del niño de los hechos nu-méricos básicos de cada una de las operaciones. Estos hechos suelendisponerse en un cuadro de doble entrada en donde las filas y las co-lumnas -para el caso de la suma- vienen señaladas de 0 a 9, y en el crucede cada fila se encuentra el resultado de sumar los dígitos correspon-dientes. La memorización de estos resultados se llama “aprendizaje dela tabla de sumar”, y va desde 0 + 0 hasta 9 + 9. En el caso de la tabla derestar aparecen como datos básicos también desde 9 - 9 hasta 0 - 0, perono se incluyen aquellos casos en los que el minuendo sería menor queel substraendo.

Las primeras investigaciones sobre adición y sustracción intentaronordenar la dificultad relativa de las 100 combinaciones numéricas bási-cas para estas operaciones. La conclusión obtenida es que no hay ordenintrínseco de dificultad entre combinaciones numéricas; la dificultad esrelativa a muchas condiciones, la principal de las cuáles es el método deenseñanza seguido. [Carpenter y Moser, 1983].

En términos generales, la dificultad aumenta cuando los númerosson mayores. Si el sumando mayor aparece en primer lugar la suma re-sulta más sencilla; dos sumandos pares combinan mejor que uno par yotro impar; cuando los dos sumandos son iguales el resultado se man-tiene más fácilmente en la memoria.

Todas estas causas permiten que el niño no necesite memorizar to-dos los datos de la tabla, al menos en su comienzo, sino que utilice di-ferentes estrategias para alcanzar un resultado, en donde jueguen otrasrelaciones de la tabla.

Ya hemos comentado algunas estrategias para sumar y restar con-tando, que el alumno conoce desde Preescolar; no conviene desalentar

Estructura aditiva

35

estas estrategias sino procurar que se perfeccionen y se empleen paraoperar. No es conveniente exigir la memorización de las tablas. En elcaso de la suma y de la resta el aprendizaje se realiza sobre unos pocoshechos básicos y la utilización de estrategias adecuadas. Sí convieneque demos a nuestros alumnos un entrenamiento suficiente y no ruti-nario.

E

LABORACIÓN

DE

LA

TABLA

DE

SUMAR

Aunque no es de uso frecuente la tabla de sumar, esta puede elaborarsepor los niños a partir del proceso de contar de la siguiente forma:

Se construye una tabla de doble entrada, en la primera fila y en laprimera columna se colocan los números de 0 a 9.

El proceso para rellenar la tabla puede hacerse por filas o por co-lumnas pero en orden y siguiendo esta regla: cada fila comienza con elmismo número que presenta ya escrito de haber hecho la primera co-lumna y se continua siempre aumentando de uno en uno sea, contan-do.

El uso de esta tabla se hace de la siguiente manera: para conocer cuales el resultado de una suma cuyos sumandos son menores que 10 sebusca la unión de la fila y la columna encabezada por dichos suman-dos; para sumandos mayores que diez hay que seguir el mismo proce-dimiento dentro de las reglas propias del algoritmo.

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 2 3 4 5 6 7 8 9 10 113 3 4 5 6 7 8 9 10 11 124 4 5 6 7 8 9 10 11 12 135 5 6 7 8 9 10 11 12 13 146 6 7 8 9 10 11 12 13 14 157 7 8 9 10 11 12 13 14 15 168 8 9 10 11 12 13 14 15 16 179 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18


36

Se puede utilizar también la tabla para conocer el resultado deuna diferencia de la siguiente manera: se localiza el minuendo en el in-terior de la tabla de manera que el lugar que ocupa corresponda a la filaencabezada por el substraendo, el número que encabeza la columna esla diferencia.

R

ESOLUCIÓN

DE

PROBLEMAS

VERBALES

ADITIVOS

Se considera un problema matemático a toda situación que entrañe unameta a lograr y en donde casi siempre existirá un obstáculo para alcan-zar dicha meta. La situación es normalmente cuantitativa y casi siemprese requieren técnicas matemáticas para su resolución pero es posible aveces resolverlos por una deliberación caso de no conocer el algoritmonecesario para tal ocasión.

Tradicionalmente en los programas de cálculo elemental los proble-mas se introducen después del estudio de las operaciones y los algorit-mos a aplicar para resolver dichos problemas pues se piensa en losproblemas como ejercicios sobre los que se aplican técnicas de cálculobien conocidas.

Actualmente se aconseja introducir los problemas a la vez que lasoperaciones apropiadas para resolverlos, y esto por dos razones, consi-dera Kamii: a) los niños construyen su conocimiento aritmético a partirde la realidad. b) la investigación ha demostrado que los niños peque-ños son capaces de resolver problemas, a veces, mejor que los que yahan sido sometidos a un aprendizaje para tal efecto. Los problemas ver-bales son fácilmente solucionados por los niños sin que haga falta unaenseñanza formal. Para estas ocasiones los problemas habrá que tomar-los de la vida real de los niños y de su entorno propio.

Empezar el cálculo sin sentido para pasar después de estas téc-nicas al mundo real, es contrario a lo que sabemos de la mane-ra de pensar de los niños (...) si uno de los fines de laenseñanza de la aritmética es capacitar a los niños para la re-solución de problemas de la vida real hemos de animarles atratar con problemas desde el primer día de entrar en clase.(Kamii, 1985).

Estructura aditiva

37

C

LASIFICACIÓN

DE

LOS

PROBLEMASADITIVOS

SIMPLES

Problemas de estructura aditiva son aquellos que se resuelven con unaoperación de suma o de resta. De ellos podemos hacer varias clasifica-ciones dependiendo del tipo de variable que consideremos. Los pro-blemas simbólicos de estructura aditiva variarán según la sentenciaabierta dada en el problema. Cambiando la incógnita se generan seissentencias abiertas para la suma y otras seis para la diferencia.

El estudio sobre la dificultad que presentan las diferentes sentencias hadado las siguientes conclusiones.

• Las sentencias canónicas de adición y sustracción (a + b= ?, a - b = ?) presentan menos dificultad que las no canó-nicas

• Las sentencias de sustracción son generalmente mas difí-ciles que las de adición

• No hay diferencias notables entre las sentencias a +? = c,? + b = c y a - ? = c en cuanto a dificultad

• La sentencia minuendo desconocido ? - b = c, es signifi-cativamente más difícil que las otras cinco

• Las sentencias con la operación al lado derecho del signoigual son significativamente más difíciles que las otras

Muchas de las dificultades que tienen los niños al resolver problemasverbales de adición y sustracción se debe a su limitada comprensión delas operaciones aritméticas con las que estos se resuelven. A menudono saben cuando se debe utilizar una de estas operaciones porque les

Tipos de sentencias abiertas

Para la suma Para la resta

a + b = ?a +? = c? + b = c? = a + b c = ? + b c = a + b

a - b = ?a -? = c? - b = c? = a - bc =? - bc = a -?


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falta el conocimiento específico referente a las variadas situaciones quedan lugar a estas operaciones. Se les suele enseñar la adición solamentecomo “poner juntos” y la sustracción como “quitar” a pesar de las otrascircunstancias que implican operaciones de sumar y de restar. Los ni-ños necesitan recibir instrucción específica en diferentes situaciones siqueremos que consigna buenos resultados en la resolución de este tipode problemas verbales.

De aquí que consideremos de gran interés la clasificación de proble-mas que realiza Nesher atendiendo a la estructura semántica de los mis-mos. Cuatro categorías se pueden considerar en los problemas verbalesescolares que sugieren las operaciones de adición y substracción:

Categoría de cambio

La categoría de

cambio

en la que los problemas implican un incremen-to o disminución de una cantidad inicial hasta crear una serie final. Enestos problemas hay implícita una acción. Intervienen tres cantidades,una inicial, otra de cambio y una final. La cantidad desconocida puedeser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres tipos de problemas. Elcambio puede ser de aumento (cambio-unión) o de disminución (cam-bio-separación) por lo que hay dos modalidades para cada uno de loscasos anteriores lo que hace un total de doce el número de problemasde cambio que se pueden formular.

En todos los casos el cambio ocurre en el tiempo, la condición inicialse da en un tiempo T

1

el cambio se produce en un tiempo T

2

y el resul-tado se alcanza en un tiempo T

3. A continuación se presentan algunosejemplos.

La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas. Ana tenía 5 cro-mos y compra 3 cromos más, ¿cuántos cromos tiene ahora? María tenía9 cromos dio 5 a su amiga Pilar, ¿cuántos cromos le han quedado?

La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos, la incógnita en este caso es la magnitud del cambio. Juan tiene 6 bolas y quiere comprar algu-nas para tener 9, ¿cuántas bolas ha de comprar? Susana tiene 7 bolas, daalgunas a su primo y le quedan 4, ¿cuántas bolas da Susana a su primo?

Estructura aditiva

39

La incógnita es la magnitud inicial conociéndose la magnitud del cambio y elresultado final. Ana tenía algunos lápices, su hermano le dio 4 y ahoratiene 7, ¿cuántos lápices tenía Ana? Pepe tenía algunos lápices, dio 3 asu hermano y le han quedado 4, ¿cuántos lápices tenía Pepe?

Categoría de combinaciónLa segunda categoría son los problemas de combinación o parte-parte-todo. Hacen referencia a la relación que existe entre una colección y dossubcolecciones disjuntas de la misma. La diferencia fundamental entreestas dos categorías de problemas es que la combinación no implica ac-ción. Un problema de combinación tiene tres cantidades relacionadaslo que da lugar a dos tipos de problemas. Por ejemplo:

Conocer la colección total y una de las subcolecciones y desconocer la otra sub-colección. Luis tiene 10 bloques, de ellos 3 son azules y el resto son ama-rillos, ¿cuántos bloque amarillos tiene Luis?

Conocer las dos subcolecciones y desconocer la colección total. Irene tiene 4bloques rojos y 5 azules, ¿cuántos bloques tiene Irene?’

Categoría de comparaciónLa tercera categoría, de comparación, implican una comparación entredos colecciones. La relación entre las cantidades se establece utilizandolos términos “más que”, “menos que”. Cada problema de comparacióntiene tres cantidades expresadas: Una cantidad de referencia, una can-tidad comparativa y otra de diferencia. Hay seis tipos de problemas decomparación. La cantidad desconocida puede ser la cantidad de refe-rencia, la comparativa o la diferencia, para cada una de estas posibili-dades la comparación puede hacerse de dos formas: la cantidadcomparada (más grande) es más que la cantidad de referencia (más pe-queña), la cantidad comparada es menos que la de referencia. Porejemplo:

Referente y referido conocidos, se desconoce la comparación. Antonio tiene6 galletas y Jaime 4 galletas, ¿cuántas galletas tiene Antonio más queJaime? Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3, ¿cuántas galletas tieneCarlos menos que Jaime?


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Referente y comparación conocidos, se desconoce el referido. Ignacio tiene 5caramelos y María tiene 3 caramelos más que él, ¿cuántos caramelos tie-ne María? Nuria tiene 8 caramelos y Alberto tiene 4 caramelos menosque ella, ¿cuántos caramelos tiene Alberto.

Referido y comparación conocidos, referente desconocido. Pilar tiene 3 galle-tas, ella tiene 2 galletas más que Pedro, ¿cuántas galletas tiene Pedro?Lola tiene 4 galletas y Jesús tiene 3 galletas menos que ella, ¿cuántas ga-lletas tiene Jesús?

Categoría de igualaciónUna cuarta categoría llamada de igualación puede considerarse “a ca-ballo” entre las de cambio y comparación ya que se produce alguna ac-ción relacionada con la comparación entre dos colecciones disjuntas.Hay que responder qué hacer con una de colecciones para que presenteel mismo número de elementos que la otra. Por ejemplo:

La acción hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo caso se tiene una separación-igualación. Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6,para tener tantos globos como Cesar, ¿cuantos globos ha de romperCarmen? Andrés tiene 5 globos y Tomás tiene unos cuantos, si Tomásrompe 3 globos tendrá tantos como Andrés, ¿cuántos globos tiene To-más? Lucía tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos, si Lucía rompe4 globos tendrá el mismo número que Miguel, ¿cuántos globos tieneMiguel?

La acción se realiza sobre la menor de las colecciones en este caso se tiene una unión-igualación. Inés tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos, ¿cuántoscromos tiene que ganar Pablo para tener tantos como Inés? Enrique tie-ne 5 cromos y Elena tiene unos cuantos, si Elena gana 2 cromos tendráel mismo número que Enrique, ¿cuántos cromos tiene Elena? Margaritatiene 6 cromos y Julián tiene unos cuantos, si Margarita gana dos cro-mos tendrá tantos como Julián, ¿cuántos cromos tiene Margarita?

Estructura aditiva

41

DIFICULTADES DE APRENDIZAJE

Algunos de los resultados proporcionados por los estudios realizadossobre dificultades en la resolución de problemas son:

• En los primeros niveles resultan más sencillos los proble-mas, si se presentan con materiales, grabados o dibujos

• La longitud del enunciado, el número de oraciones, laposición de la pregunta, son variables útiles para explicarla dificultad del problema

• El tamaño de los números y la presencia del símbolo envez de números concretos incrementa la dificultad delproblema

• La relación entre el orden de aparición de los datos en elenunciado y el orden en que deben de ser colocados a lahora de realizar con ellos la operación necesaria para re-solver el problema, es también una fuente de dificultad

Por lo que se refiere a los distintos clases de problemas verbales a losque hemos hecho mención anteriormente Thompson y Hendickson(1986) del examen de los distintos tipos de problemas y la observaciónde cómo los niños los resuelven concluyen que hay problemas más di-fíciles de resolver que otros. En general parece que la estructura inhe-rente del problema es el factor crucial para determinar su dificultad.

Los problemas de combinación 1 son estructuralmente directos. Sedan las dos colecciones. Los niños pueden contarlas separadamente,después solamente deberán de volver a contar la colección entera paradeterminar la solución del problema. O, dependiendo de la instrucciónque hayan recibido, podrán usar “todo” o “todo junto” para transfor-marlo en un problema de cambio.

Los problemas de combinación no son directos. Las cantidades quehan de ser consideradas no están separadas una de otra. Los niños hande tener un buen desarrollo de la comprensión parte-todo. Se da la co-lección entera y una parte de la colección. Para resolver este tipo deproblemas los niños han de saber que la subcolección dada está dentrode la colección mental o psíquicamente para separar la subcolección dela colección completa y contar la otra subcolección. Este problema pue-de ser transformado en un problema de cambio 2 por algunos niños.


42

Otros niños lo transforman erróneamente en un problema de compara-ción entre las dos subcolecciones.

En los problemas de comparación en los que se conoce la colecciónmayor y la diferencia y se ha de determinar la colección menor comopor ejemplo “María tiene 7 lápices y Juan tiene 3 lápices menos que Ma-ría ¿Cuantos lápices tiene Juan? Para resolver este problema si el niñocrea lo que está escrito, formará una colección de 7 lápices y le quitará3 lo que le convertirá en un problema de cambio. En el caso de que elproblema sea “María tiene 5 caramelos, ella tiene tres más que Pepe.¿Cuantos caramelos tiene Pepe? Para resolver este problema el niño hade utilizar una estructura cognitiva diferente para determinar el proce-so a seguir. No se pueden agregar tres caramelos a los que se tienenpues se desconoce cual es esta cantidad. El niño ha de comprender quesi la colección mayor es tres más que la menor, esta a su vez es tres me-nos que la anterior, lo que exige un desarrollo de lo estructura cognitivadenominada reversibilidad. Debe de entender que la expresión “x esmás que y” es equivalente a “y es menos que x”. Sólo de esta forma elniño puede saber que quitando objetos a la colección mayor se da cum-plimiento a la relación más que, esta reversibilidad capacita a algunosniños a transformar los problemas de combinación 2 en problemas decambio 2.

Otro factor que afecta a los problemas de comparación es que la can-tidad de referencia debe de ser construida mentalmente por el niño eigualmente debe de sumarla o restarla mentalmente a la colección dadapara obtener la colección desconocida. Otra dificultad de los problemasde comparación se debe al uso de las expresiones “más que” (que enocasiones se asocia con suma) y “menos que” (asociado en otras ocasio-nes con resta).

Las investigaciones hasta ahora realizadas sobre las dificultades quepresentan los distintos tipos de problemas han determinado un ordende dificultad para los mismos: de más fácil a más difícil.

1°. Ver los dos ejemplos donde la cantidad inicial y la magnituddel cambio son conocidas, y el ejemplo donde se conoce la co-lección total y una de las subcolecciones y se desconoce la otrasubcolección.

2°. Ver los dos ejemplos donde la cantidad inicial y el resultado delcambio son conocidos y donde la incógnita en este caso es la

Estructura aditiva

43

magnitud del cambio, y los dos ejemplos donde el referente yel referido son conocidos y se desconoce la comparación.

3°. Ver el ejemplo donde se conocen las dos subcolecciones y sedesconoce la colección total, los dos ejemplos donde la compa-ración y el referido son conocidos y el referente es desconoci-do, y los dos ejemplos donde la comparación y el referente sonconocidos, y donde se desconoce el referido.

TAREAS Y SITUACIONES PROBLEMÁTICASPARA NIÑOS

Asegura Kamii que las situaciones de cada día y los juegos colectivosproporcionan muchas oportunidades para que los niños piensen y re-suelvan problemas.

“Hay muchos momentos en el desarrollo de la clase en los que sepuede plantear una votación o cualquier otra situación en cuya resolu-ción interviene aspectos aritméticos, entonces hay que detenerse y dis-cutir ya que los niños se encuentran emocionalmente implicados y sumente es mas activa para el aprendizaje.” Asegura, que no creé que losejercicios repetitivos y mecánicos que se realizan en los cuadernos pro-voquen una actividad mental tan rica, aunque no quiere esto decir quelos niños no aprendan a través de los cuadernos de ejercicios, sino queel aprendizaje es de carácter distinto.

En su libro “El niño reinventa la Aritmética” presenta una serie desituaciones cotidianas en las que analiza los aspectos numéricos quecontienen. Así por ejemplo situaciones de votaciones por distintas cau-sas, control de asistencia a clase, control sobre el material utilizado enun juego o actividad, distribución de un material, etc. Además de unaserie de juegos colectivos de entre ellos hemos tomado el siguiente.

Un niño piensa un número y sus compañeros han de adivinarlo. Elniño que ha pensado el número debe de escribirlo sus compañeros dejuego han de adivinarlo, para ello uno de los compañeros dice un nú-mero y el que lo ha pensado responderá es mayor o menor. El niño queconsigna adivinar de que número se trataba será el encargado de pen-sar otro número.


44

JUEGOS

Disponemos de una colección de objetos, los niños han de conocerlosbien, para ello se procederá a una etapa de juego libre, posteriormentese pasará al juego que consiste en esconder varios objetos en la clase ytratar de encontrarlos. Se pueden ir planteando preguntas sobre el nú-mero de objetos encontrados el número de los mismos que falta por en-contrar, introduciendo así a los niños en las nociones de suma y resta.

El juego de las canicas o los bolos se prestan también a planteamien-tos de preguntas sobre cuantificación cuya respuesta por parte del niñorequiere que este resuelva un verdadero problema de estructura aditi-va. Los juegos de cartas son útiles para el desarrollo del pensamientonumérico. Estos pueden ser muy variados tanto por la cantidad de losmismos que se pueden realizar como por el grado de complejidad delos mismos. Como ejemplo tomamos el siguiente de Garzón y Martínez.Se eligen las cartas de menor puntuación (del uno al siete) barajadas yamontonadas en el centro de la mesa, cada jugador tomará una carta yla pondrá boca arriba, el que saque la carta más alta se llevará todas lasdemás.

Los juegos del dado y del dominó ayudan al niño a adquirir la ha-bilidad de conocer los números que están representados en las caraspor la disposición que presentan los puntos sin necesidad de contar. Lavariedad de ellos es también muy grande y las posibilidades también,pues se pueden utilizar un solo dado o más de uno. Por ejemplo parados jugadores. Con dos dados y unas fichas para apostar, los dos juga-dores tiran los dos dados gana el que sume mayor puntuación este jue-go permite desarrollar gran cantidad de relaciones entre los números.Así por ejemplo, si uno de los jugadores ha obtenido un tres y un cincoy el otro un tres y un seis los niños llegan a darse cuenta que no es ne-cesario contar ni sumar ya que tienen un sumando igual por tanto ganael que tenga mayor el otro sumando.

3

Estructura multiplicativa

I

NTRODUCCIÓN

Al igual que en el caso de la suma y resta, el aprendizaje del productoy la división es el comienzo de la construcción de una nueva estructura:la estructura multiplicativa, que es una de la más ricas de la matemáti-ca. Sin embargo existen algunas diferencias con respecto a la estructuraaditiva. Comenzar a trabajar en el producto y en la división exige queel niño tenga un nivel de uso y dominio de los números, que conozcasu simbolización, todo ello en un grado más completo que en el caso dela suma y la resta.

La adición y la sustracción se estudian con simultaneidad a la ad-quisición del concepto de número. El producto y la división son opera-ciones que necesitan un dominio previo de los números y de susimbolización. La razón de esto la encontramos en el propio conceptode cada operación. Multiplicar es reiterar una cantidad, en su nivel másintuitivo. Los dos términos del producto responden a contextos dife-rentes; uno de ellos es la cantidad que se repite – multiplicando–, y esun número cardinal concreto, con objetos que se ven. El otro factor nosdice las veces que se repite la cantidad inicial –multiplicador-, y es unaespecie de cardinal de segundo orden o cardinal de cardinales, muchomás abstracto que el anterior, y por eso mismo se debe simbolizar deinmediato.


46

Igual ocurre con la introducción a la división. Dividir es repartir unacantidad en partes iguales. El dividendo es la cantidad a repartir, y setrata usualmente de un número en contexto cardinal, expresado me-diante objetos concretos. El divisor es el número de partes, también unnúmero cardinal, pero más abstracto, que de inmediato pasa a escribir-se simbólicamente. Tanto en un caso como en el otro se utilizan dos ni-veles diferentes de cardinación, y por ello es necesario utilizar lossignos numéricos propios casi desde el comienzo. Este es uno de losmotivos por los que se suele esperar al segundo año de escolaridad parainiciar el estudio del producto y la división.

Hay una segunda razón de tipo práctico. Como el producto se pre-senta como una suma reiterada, conviene tener un cierto dominio deesta operación, que permita un cálculo más rápido en los productos.Para no entorpecer la multiplicación con dificultades propias de la su-ma, es por lo que se suele dejar uno o dos cursos de diferencia entre elestudio de ambas operaciones. Así, los algoritmos y destrezas de lasuma habrán madurado lo suficiente como para permitir un comienzomás firme y seguro en el producto.

M

ODELOS

PARA

EL

PRODUCTO

Y

DIVISIÓN

Son muchos los modelos posibles para estudiar la multiplicación y di-visión y, como ya hemos observado anteriormente, cada uno de los mo-delos enfatiza un contexto particular del número.

Modelos lineales

En primer lugar podemos considerar modelos de recuento, en los quese utiliza la línea numérica. Si la línea numérica tiene un soporte gráfi-co, el producto n x a (“n veces a”) se modeliza formando un intervalode longitud a-unidades y contándolo n-veces:

Cuando la recta no tiene soporte material se cuenta sobre la suce-sión numérica de a en a, hasta hacer n veces ese recuento. Esta destrezase ha estimulado con trabajo previo sobre recuentos en la recta de 2 en2, de 3 en 3, de 4 en 4, etc.

El esquema de la división es similar; consiste en contar hacia atrásdesde el dividendo, y de tanto en tanto, según indique el divisor. El nú-


47

mero de pasos dados es el cociente. En este caso se cambia el modelousual de la división, ya que el divisor no es ahora el número de partesque se hacen, sino la cantidad igual a que toca cada parte. Si el divisores pequeño, 2 ó 3, puede intentarse con el modelo de la línea numérica,su división en las partes iguales correspondientes, sin cambiar así lospapeles del divisor y cociente. Pero la utilización más sencilla de estemodelo es como resta reiterada y contando hacia atrás, y no tanteandolos puntos en los que la longitud total del dividendo queda partida enpartes iguales.

Modelos cardinales

La segunda familia de modelos utiliza el contexto cardinal para repre-sentar uno o los dos factores. Entre los tipos más utilizados tenemos:

• La unión repetida de conjuntos cardinales, usualmentecon los mismos objetos

• La distribución de objetos en un esquema rectangular.Para ello se hace una fila con tantos objetos como nos in-dica el multiplicando y se forman tantas filas como diceel multiplicador. En este modelo cada uno de los factoresse puede reconocer en la representación

• Más formalizado que el caso anterior es la representaciónmediante producto cartesiano de dos conjuntos. Así elproducto 2 x 3 se puede representar tomando un conjun-to de 2 blusas y otro de 3 pantalones, y formar todos lospares ordenados de blusa y pantalón, normalmente me-diante un cuadro de doble entrada. El total de pares or-denados nos da el resultado del producto 2 x 3

• La otra forma convencional de representar un productoutilizando conjuntos es mediante un diagrama de fle-chas. Se dibujan tantas flechas como puedan trazarse des-de un conjunto al otro conjunto. Por ejemplo, de unconjunto de 2 elementos a otro de 3 elementos nos da elproducto 2 x 3

En el caso de la división el modelo más usual es el de repartir en partesiguales. Se tiene un conjunto con 12 elementos y se abren a partir de él3 subconjuntos. Hay que repartir los elementos iniciales a partes igua-les entre los tres subconjuntos, lo que toca a cada parte es el cociente.


48

También se puede utilizar el modelo inverso: sobre el conjunto de 12elementos, se van haciendo subconjuntos de 3 elementos hasta que to-dos quedan distribuidos. En este caso el divisor es la cantidad que tocaa cada parte y el cociente el número de partes. Este modelo y el anteriorson iguales de sencillos de realizar, e incluso en este segundo caso se ne-cesita una representación menos complicada. Sin embargo la idea intui-tiva de reparto en partes iguales parece quedar mejor expresada en elprimer caso que en el segundo.

La distribución rectangular de un total de elementos, dados por eldividendo, en tantas filas (o columnas) iguales como indique el divisores otro modelo adecuado. El cociente se determina contando el númerode columnas (o filas) obtenidas. En cada uno de estos casos los elemen-tos sobrantes en el reparto o distribución dan el resto de la división.

Modelos con medida

Las regletas de Cuisenaire nos proporcionan un modelo adecuado delnúmero como longitud. Para realizar un producto con regletas 2 x 3, porejemplo, se toman las regletas 2 y 3 respectivamente y se colocan encruz y a continuación se toman tantas regletas abajo como indique lalongitud de arriba, en este caso se toman dos regletas de tres, y ya po-demos prescindir de la regleta superior cuya función era indicar cuan-tas de tres había que tomar. El resto del proceso es el conocido: realizarla suma de las dos regletas de tres.

• Con la balanza utilizamos el contexto número/medida/peso

• Realizar un producto consiste en colocar tantas veces unaunidad de peso indicada (multiplicando) como veces nosindique otro número (multiplicador)

• El resultado es el peso global en el otro platillo para equi-librar la balanza

La división con estos dos materiales resulta muy sencilla. Consiste enestablecer la equivalencia entre una longitud o peso global (dividendo)y otro más pequeño (divisor) que hay que reiterar varias veces hastaconseguir dicho equilibrio. El número de veces en ambos casos se obtie-ne contando y nos da el cociente.


49

Modelos numéricos

Un cuarto tipo de modelos aparece cuando se considera en contexto es-trictamente simbólico, y los números aparecen únicamente simboliza-dos. En este caso el producto es una suma reiterada 3 x 4 = 3 veces 4 =4 + 4 + 4. Esta idea subyace a muchos de los modelos en los que se em-plea material o representaciones gráficas.

La división se interpreta como una resta reiterada 12: 4 consiste enver cuantas veces puede restarse 4 de 12, hasta llegar a 0, así:

12 - 4 = 8

8 - 4 = 4

4 - 4 = 0

de esta manera hemos conseguido restar 3 veces 4 de 12, luego 12: 4 = 3.Pero también puede interpretarse como suma. En un problema pro-

puesto por nosotros a alumnos de 6º Nivel que decía: “Queremos re-partir 2.000 Ptas. en monedas de 100 Ptas., ¿cuántas monedasnecesitaremos?” muchos niños hicieron sumas de sumandos 100 hastaalcanzar 2.000.

Modelos de razón aritmética

Hay un quinto tipo de modelos en los que se abre un amplio campo deaplicaciones a la estructura multiplicativa. Se trata de los modelos derazón o comparación. En ellos hay que realizar la comparación de dosconjuntos, o dos cantidades, en términos de “cuantas veces más”. Elcaso más sencillo se da al comparar dos conjuntos disjuntos de objetosdiscretos. Una técnica usual de comparación es establecer una corres-pondencia de varios a uno que nos da el factor de conversión o compa-ración.

Dentro de esta misma clase de modelos de razón podemos conside-rar el que se fundamenta en la semejanza de triángulos y que puedeutilizarse con dos líneas numéricas convergentes. Si queremos realizarel producto 3 x 4 tomamos sobre una de las rectas, por ejemplo, la ho-rizontal, el valor 3. Sobre la otra señalamos el punto 1, que unimos me-diante trazo con el 3 anterior. Sobre la segunda recta señalamostambién el punto 4 y trazamos por él una paralela a la que se trazó. El


50

punto de corte con la recta horizontal señala el resultado del producto.El Teorema de Thales nos justifica este resultado.

Modelos funcionales

Finalmente, nos queda una quinta familia de modelos: se trata de todosaquellos casos en los que el producto aparece con carácter de función uoperador. De nuevo el caso más sencillo consiste en considerar cadaoperación como una máquina-operador que transforma números-esta-dos en números-estados. Así:

o bien:

Se suele decir que cada máquina es inversa de la otra.

L

A

TABLA

DE

MULTIPLICAR

El aprendizaje de la multiplicación debe llevar a la construcción de latabla de multiplicar. Para ello se va trabajando sistemáticamente con to-dos los productos que tienen el mismo multiplicador, comenzando apartir del 2: desde 2 x 1 hasta 2 x 9. Al principio no se utiliza el símbolox o el ., sino el término “veces”, que progresivamente se irá sustituyen-do por el símbolo. Sea cual sea el modelo elegido para elaborar el con-cepto de producto sí conviene utilizar la suma reiterada como



x43 12

:412 3


51

algoritmo adecuado para alcanzar el resultado. En este sentido se vaconstruyendo una tabla con todos los resultados obtenidos con un mis-mo multiplicador al variar el multiplicando. Así se construye la tablade cada número.

A partir de la tabla del 5 conviene ir comprobando que el productoes conmutativo, es decir, se debe verificar en cada caso que n veces kda el mismo resultado que k veces n. Conforme se avanza en la tablaeste resultado va teniendo mayor utilidad. Se incorporan a partir deaquí los productos con multiplicando 0 y 1, lo cual justifica posterior-mente, junto con la conmutatividad, que se construyan las tablas del 0y del 1, para las que el niño no encuentra dificultad.

Se debe dedicar un curso completo a la construcción de la tabla demultiplicar y a su empleo en la resolución de todo tipo de problemas.No debe importar que los datos numéricos sean pequeños, lo realmen-te importante es la comprensión de todas las relaciones que pueden ex-presarse mediante la estructura multiplicativa y la variedad designificados –variables semánticas– con las que dichas relaciones pue-den expresarse. Al igual que con la suma y resta, no existen combina-ciones más sencillas para el producto, salvo la regla general queaumenta la dificultad conforme aumentan los factores. Por razones ob-vias resultan más fáciles de memorizar las tablas de 5 y 10.

La tabla de multiplicar, una vez construida, se olvida. Por ello alcurso siguiente conviene recordarle al niño de nuevo cuáles son los sig-nificados más usuales del producto y cómo se construye la tabla. Apartir de ahí debe irse exigiendo cierto grado de memorización en elque se combinen la fijación de algunos datos, y el uso de la estructurainterna de relaciones entre la totalidad de ellos. Carece de todo sentidoel exigir una memorización mecánica total de la tabla. El énfasis no hayque ponerlo en la repetición sino en la comprensión. Aún así, convieneque el alumno recuerde el mayor número posible de resultados o almenos sepa cómo obtenerlos.

I

NICIACIÓN

A

LA

DIVISIÓN

El aprendizaje de la división debe ir en simultáneo con el de la multi-plicación. Su mayor dificultad se encuentra en el doble papel que pue-de representar el divisor en los diferentes modelos: número de partes


52

en las que se divide la cantidad inicial o bien cantidad fija que sirve parair formando las diferentes partes en las que se divide la cantidad total.

Hay que decir que, a diferencia del aprendizaje de su algoritmo, loscasos simples de división resultan sencillos y los diferentes modelos lle-gan a manejarse con soltura. La dificultad real de la división aparece enla mecanización de su algoritmo y en el paso a conceptos más elabora-dos como los de fracción, razón y número racional, que el alumno estu-diará más adelante.

E

LABORACIÓN

DE

LA

TABLA

DE

MULTIPLICAR

La tabla de multiplicar es más utilizada que la de la suma y a veces elniño ha de recurrir a ella si no la ha memorizado suficientemente. Deforma análoga a la tabla de la suma vamos a elaborar la tabla de multi-plicar.

Se hace una tabla de doble entrada colocando en la primera fila y enla primera columna los números de 1 a 9 ordenadamente (prescindimosdel número 0 pues creemos que de todos es conocido que el productode un número por 0 siempre es 0). Se rellena toda la tabla de forma or-denada bien por filas o bien por columnas, siguiendo el siguiente crite-rio: al continuar una fila (o columna) se escribe el mismo número queaparece en su cabecera y se continuará contando (o añadiendo) a “sal-tos” iguales a los que indique dicho número, por ejemplo, si tratamosde rellenar la fila encabezada por dos escribimos dos en el cuadro si-guiente y los restantes los rellenamos contando de dos en dos (o suman-do dos cada vez).

Para conocer el producto de dos números menores que 10 se busca-rá el número colocado en el punto de encuentro de la fila y la columnaencabezadas por los dos factores que componen el producto. El produc-to de números mayores que 10 se regirá además por las leyes del algo-ritmo.

La tabla permite conocer el cociente entero de dos números cuandoun de ellos es divisor del otro. Hay que buscar el dividendo en el inte-rior de la tabla de manera que el número que encabeza la fila coincidacon el divisor, el cociente es el número que encabeza la columna.


53

L

A

ESTRUCTURA

MULTIPLICATIVACOMO

CAMPO

CONCEPTUAL

En los últimos años, ha surgido un gran interés en realizar análisis teó-ricos de la estructura multiplicativa y en investigar la adquisición delos conceptos y relaciones de tipo multiplicativo por parte de los esco-lares de Enseñanza Primaria.

Tal como se utiliza en la investigación educativa el concepto de es-tructura multiplicativa no es un concepto indefinido, aunque no siem-pre se utiliza con el mismo significado. El autor que ha utilizado elconcepto de estructura multiplicativa con un significado más extensoha sido Vergnaud (1983, 1988).

Como resultado de análisis teóricos Vergnaud define la noción de

campo conceptual

.

Un campo conceptual es un espacio de problemas o de situa-ciones-problema en los que el tratamiento implica conceptosy procedimientos de varios tipos en estrecha conexión.

(Verg-naud, 1981).

.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 8 16 24 32 40 45 56 64 72

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81


54

Centra su interés fundamentalmente en dos campos conceptuales “laestructura aditiva” y “la estructura multiplicativa” “consideradoscomo conjunto de problemas que comportan operaciones aritméticas ynociones de tipo aditivo (tales como adición, sustracción, diferencia, in-tervalo, traslación) o de tipo multiplicativo (tales como multiplicación,división, fracción, razón, semejanza)” (Vergnaud, 1983).

La estructura multiplicativa se basa en la aditiva, pero hay aspectosintrínsecos de la estructura multiplicativa no reductibles a aspectos adi-tivos y estos son los propios de la estructura multiplicativa. Caracterizael campo conceptual de la estructura multiplicativa como un conjuntode situaciones problema cuya resolución requiere la multiplicación o ladivisión y las clasifica en tres categorías: proporción simple, productode medidas, y proporción múltiple. El desarrollo de la comprensión deeste campo conceptual abarcaría, según él, desde los 7 a los 18 años.

C

LASES

DE

PROBLEMAS

DE

ESTRUCTURA

MULTIPLICATIVA

El análisis que hace Vergnaud (1983) de los problemas que conllevanoperaciones de multiplicación y división muestra que los problemas“simples” de este tipo se sitúan casi siempre en el marco de dos grandescategorías:

• Categoría

isomorfismo de medida

• Categoría

producto de medida

La otra gran estructura que considera Vergnaud la

proporción múltiple

serefiere a problemas de proporcionalidad en los que intervienen al me-nos tres magnitudes y que son por tanto problemas compuestos en losque para su resolución hay que emplear más de una operación. En estetrabajo no analizamos este último tipo de problemas.

El isomorfismo de medidas

El isomorfismo de medidas es una estructura que engloba a los proble-mas en los que subyace una proporcionalidad simple directa entre lasdos magnitudes implicadas. En ella se incluyen los clásicos problemastipo referidos a:

repartos iguales

(personas y objetos),

precios constantes


55

(bienes y costos), movimiento uniforme (espacio y velocidad), densi-dades constantes a lo largo de una línea (árboles y distancias), en unasuperficie o en un volumen. Para representar de forma cómoda esta es-tructura Vergnaud utiliza las tablas de correspondencia:

en las que la función f: M

1

!

M

2

es una proporcionalidad simple directaentre dos magnitudes M

1

y M

2

.Vergnaud (1983) identifica cuatro grandes subclases de problemas

dentro de la estructura de isomorfismo de medidas: una subclase mul-tiplicación, dos subclases de división y una cuarta subclase que llamaproblemas generales de regla de tres. Estas subclases las analiza desdedos puntos de vista.

Subclase de multiplicación

Esta subclase de problemas responde al esquema específico

Ejemplo: Juan compra 6 caramelos al precio de 12 pesetas cada uno,¿cuánto tiene que pagar?.

a = 12, b = 6, M

1

= [número de caramelos], M

2

= [pesetas].

Subclase de división: Primer tipo

El primer tipo de la subclase división corresponde al esquema a

M1 M2

y = f(x)x...

x’ y’ = f(x’)

M1 M2

a1...

b x

M1 M2

x = f(1)1...

a b = f(a)


56

y consiste en hallar el valor unidad f(1) conociendo “a” y f(a).Ejemplo: Elena quiere repartir sus caramelos con María y Carmen

en partes iguales. Su madre le da 12 caramelos, ¿cuántos caramelos re-cibirá cada una?

a = 3, b = 12, M

1

= [nº de niñas], M

2

= [nº de caramelos]

Subclase división: Segundo tipo

El segundo tipo de problema de división queda reflejado en el siguienteesquema

y consiste en hallar x conociendo f(x) y f(1).Ejemplo: Juan tiene 1500 ptas. y quiere comprar juegos de ordena-

dor. Cada uno de ellos cuesta 300 ptas., ¿cuántos juegos puede com-prar?

a = 300, b = 1500, M

1

= [nº de juegos], M

2

= [coste].

Problemas de regla de tres: Caso general

El caso general de los problemas de regla de tres viene esquematizadopor

En estos problemas intervienen tres datos a, b, c; por tanto, no son pro-blemas simples de estructura multiplicativa. Vergnaud los utiliza parahacer constar al respecto que:

debería quedar ya claro que los problemas de multiplicación ydivisión son casos simples de los problemas más generales deregla de tres y se distinguen de estos en que uno de los cuatrotérminos implicados es igual a uno.

(Vergnaud, 1983).

M1 M2

a = f(1)1...

x b = f(x)

M1 M2

ba...

c x


57

El producto de medidas

El producto de medidas es una estructura que engloba a tres magnitu-des M

1

, M

2

y M

3

, de tal manera que una de ellas, M

3

es el producto car-tesiano de las otras dos

M1 x M2 = M3

Esta estructura describe un buen número de problemas relativos aáreas, volúmenes, y a productos cartesianos de conjuntos discretos. Suforma general es una relación ternaria entre tres cantidades una de lascuales está definida como un par ordenado cuyas componentes son lasotras dos cantidades. Por ello la forma más natural de representar estarelación ternaria es mediante una representación cartesiana.

Dentro de la estructura producto de medidas se pueden distinguirdos subtipos de problemas.

MultiplicaciónEn estos problemas se debe encontrar la medida producto, conocidaslas medidas que lo componen. Por ejemplo, ¿cuál es el área de una ha-bitación rectangular que mide 5 metros de largo por 3 metros de an-cho?

M1 = [largo] M2 = [ancho] M1 x M2 = [área]

DivisiónEn estos problemas se debe encontrar una de las cantidades elementa-les que se componen, conociendo la otra y la cantidad compuesta. Porejemplo, la superficie de una habitación rectangular es de 24 metroscuadrados y el largo de la habitación es de 6 metros, ¿cuál es el anchode la habitación que responde a las mismas magnitudes del problemaanterior?

En el campo conceptual de las estructuras multiplicativas se pue-den distinguir subclases de problemas sin más que considerar el tipode magnitud elemental implicado: discreta, continua; el tipo de núme-ros: enteros, decimales, números grandes, números inferiores a 1, ytambién teniendo en cuenta los conceptos implicados.


58

ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA Y SIMETRÍA

La distinción que hace Vergnaud entre isomorfismo de medidas y pro-ducto de medidas la expresan Bell y otros (1989) en función de si el pro-ducto es o no simétrico. En el producto de medidas, (por ejemplo, en losproblemas de áreas) las dos cantidades elementales (el largo y el ancho)juegan el mismo papel y pueden ser intercambiadas. En este caso Bell ycolaboradores consideran que el producto puede ser denominado si-métrico. Sin embargo, en el isomorfismo de medidas las dos cantidadesque aparecen como datos en el problema desempeñan papeles distin-tos. Por ejemplo, si tenemos 3 cajas y cada una contiene 4 lápices, la es-tructura consiste en repetir 3 veces un conjunto de 4 objetos, o 4+4+4; ysegún este grupo de investigadores no tiene sentido expresar esta es-tructura como 4 lotes de 3 elementos. En este caso dicen que la multipli-cación es asimétrica. Otro ejemplo, lo constituirían los problemas develocidad y tiempo empleado. En estos problemas uno de los datos ac-túa como multiplicando y el otro como multiplicador, pero no son inter-cambiables.

Bell y otros (1989) estudian sólo problemas multiplicativos asimétri-cos y hacen previamente una clasificación de ellos en siete categorías,que hemos recogido en la siguiente tabla.

Clasificación de los problemas multiplicativos asimétricos según Bell y otros (1989)

Estructura Problema Multiplicativo

Grupos múltiples Hay 3 cartones de huevos a 6 huevos cada uno. ¿Cuántos huevos hay en total?

Medida repetida Un sastre necesita 3 piezas de tela de 4.6 metros de largo. ¿Cuánta tela comprará?

Razón (Tasa) Un hombre camina a la velocidad de 4.6 kms/h durante 3.2 horas. ¿Cuánto caminará?

Cambio de tamaño (la misma unidad)

Una fotografía se amplia según el factor 4.6. Si la altura original era 5.2 centímetros, ¿cuánto medirá

la altura de la fotografía ampliada?

Cambio de tamaño (unidades distintas)

La maqueta de un bote está hecha a escala de 4.6 metros por pulgada. Si la maqueta es de 5.2

centímetros de larga, ¿cuál es la longitud del bote?


59

A cada tipo de problema de multiplicar de la tabla anterior, Bell y otros(1989) consideran que hay asociados dos tipos de problemas de dividir.Un tipo corresponde a la división como partición, en el que se dan lacantidad total y el número de partes, hay que hallar el tamaño de cadaparte; y el segundo tipo de problemas de división cuotición, en el quese dan como datos el total y el tamaño de cada parte, debiéndose hallarel número de partes.

ENFOQUE DE ESTRUCTURA DE CANTIDADES

Schwartz (1988) resume los supuestos de este enfoque teórico. En lospárrafos siguientes se presentan.

Apuesta por la matemática como una actividad de modelización ypiensa que los problemas aritméticos contribuyen a proporcionar a losestudiantes un conjunto de herramientas analíticas con las que com-prender mejor el mundo en que vive. En esta concepción de la mate-mática como una actividad de modelización juega un papelfundamental la interpretación física del entorno modelizado y comoconsecuencia las cualidades físicas de ese entorno a las que llamamosmagnitudes.

Las cantidades usadas en matemáticas se derivan de las acciones decontar y de medir, dependiendo de que estemos cuantificando propie-dades continuas o discretas del entorno. Alternativamente, pueden serderivadas de contar o medir cantidades por la sucesiva aplicación deoperaciones matemáticas que estén definidas. Todas las cantidadesque surgen en el curso de medir, o en el subsecuente cálculo con estascantidades, tienen unidades de referencia y Schwartz se refiere a ellascomo cantidades adjetivadas. Un axioma de este enfoque es que esta

Mezcla (con la misma unidad)

Un pintor obtiene un determinado color usando 4.6 veces más rojo que amarillo. ¿Cuánta pintura roja necesitará para obtener 3.2 litros de amarillo?

Mezcla (unidades distintas)

Se mezclan 4.6 gramos de polvo por litro de agua. ¿Cuántas gramos se necesitarán para mezclar con

3.2 litros?

Clasificación de los problemas multiplicativos asimétricos según Bell y otros (1989)


60

unión entre números y sus unidades de referencia es un componenteesencial de las matemáticas usadas para el propósito de modelizar.

En el conjunto de las cantidades resultantes de contar o medir es po-sible definir un conjunto básico de operaciones binarias. Estas operacio-nes pueden ser usadas para generar nuevas cantidades que puedentener o no nuevas unidades de medida. La composición de dos cantida-des matemáticas para producir una tercera cantidad derivada puede to-mar cualquiera de las dos formas, composición conservando el referente ocomposición transformando el referente.

La composición de dos cantidades similares para producir una ter-cera del mismo tipo es fundamentalmente la manera de componer can-tidades que las operaciones aritméticas de adición y sustracciónproporcionan. Tales composiciones se refieren como composición pre-servando el referente.

La composición de dos cantidades, similares o no, para produciruna tercera cantidad que es, en general, no similar a las dos cantidadesoriginales se conoce como composición transformando el referente. Lamultiplicación y la división son composiciones que transforman el refe-rente.

Las composiciones que transforman el referente obligan a distinguirentre dos tipos de cantidades en cierto modo diferentes, cantidades ex-tensivas y cantidades intensivas (Schwartz, 1988, p. 41). Las cantidadesque aparecen en los problemas de estructura multiplicativa pueden serextensivas o intensivas. Las cantidades extensivas se pueden clasificaren discretas (D) y continuas (C) y puesto que, en general, las intensivasson el cociente indicado de dos extensivas, podemos clasificarlas en loscuatro tipos siguientes: D/D, C/D, D/C, C/C.

Los enunciados de los problemas de estructura multiplicativa sim-ples contienen dos cantidades conocidas, los datos, y una cantidad porhallar. Cada una de ellas puede ser de uno de los tipos citados. Pero esteaspecto es secundario en la clasificación que hace Schwartz. El aspectofundamental es la distinción entre cantidades extensivas y cantidadesintensivas. A partir de ella establece tres tipos de ternas de cantidadesque corresponden a categorías distintas de problemas:

Problemas asociados a la terna (I, E, E'). Estos problemas corresponden ala categoría que Vergnaud llama isomorfismo de medidas. Hay tres ti-pos de problemas asociados a esta terna:


61

I x E = E' E'/E = I E'/I = E

Problemas asociados a la terna (E, E', E"). Estos problemas correspondena la categoría que Vergnaud llama producto de medidas. A esta terna co-rresponde el problema IxE=E” y las divisiones asociadas:

E"/E = E' o E"/E' = E.

Problemas asociados a la terna (I, I', I"). A esta terna corresponde el pro-blema IxI' = I" y las divisiones asociadas.

ENFOQUE TEXTUAL

Para Nesher (1988), los análisis tanto de Vergnaud como de Schwartzse apoyan en el concepto físico de análisis dimensional. La diferenciaentre ellos consiste en que Schwartz considera que en la estructuramultiplicativa hay una relación entre tres cantidades mientras queVergnaud considera que la relación es cuaternaria. Nesher se sitúa enuna perspectiva lingüística y, al igual que hizo con los problemas de es-tructura aditiva (Nesher y Katriel, 1977), en primer lugar formula lascondiciones lógicas de los textos correspondientes a los problemas demultiplicar o dividir, para buscar después las relaciones semánticas en-tre las proposiciones subyacentes en el texto.

Distingue tres grandes categorías de PAEV de estructura multipli-cativa.

Problemas que denomina “mapping rule”Se corresponden con los problemas que Vergnaud denomina “isomor-fismo de medidas” y con el tipo I x E = E' de Schwartz. En esta categoríaconsidera dos subtipos: problemas de multiplicación y de división. Enlos problemas de división considera dos tipos: cuotitivos y partitivos.

Problemas de comparación multiplicativa No están contemplados como categoría independiente en el análisis deVergnaud (que los engloba como isomorfismo de medidas) ni en el deSchwartz (que los engloba en el tipo I x E' = E"). Brown (1981) los llamaproblemas de “factor multiplicativo”, Bell y otros (1989) los denomi-


62

nan “cambio de tamaño con la misma unidad”, y Brekke (1991) los em-plea como “problemas de factor escalar” (scale factor problems). Losejemplifica con el siguiente problema:

• Dan tiene 5 canicas• Ruth tiene 4 veces tantas canicas como Dan• ¿Cuántas canicas tiene Ruth?

En el que cada una de las oraciones expresa lo siguiente: en la primeralínea dice que hay un conjunto referente que contiene n objetos “y”(Dan tiene 5 canicas); en la segunda línea dice que hay una función es-pecífica que aplica cada elemento “y” del conjunto referente en un con-junto comparado de objetos “x” (por cada canica de Dan, hayexactamente 4 canicas de Ruth); y en la tercera línea, en la que se enun-cia la cuestión del problema, pregunta cuántos objetos “x” hay en elconjunto comparado (¿Cuántas canicas tiene Ruth?).

Problemas de multiplicación cartesiana Están incluidos en la categoría “producto de medidas” de Vergnaud yen la categoría E x E' = E" de Schwartz, y son considerados como pro-blemas simétricos por Bell y otros (1989).

MODELOS IMPLÍCITOS

Fischbein, Deri, Nello y Marino (1985) proponen una teoría, basada enmodelos implícitos para explicar las respuestas de los niños cuando re-suelven problemas verbales simples de multiplicar o dividir. Segúnesta teoría, el modelo primitivo asociado con la multiplicación es el deadición repetida, en el cual un número de conjuntos de igual tamaño seponen juntos. Simbólicamente bajo la interpretación de adición repeti-da, 3 x 4 significa 4 + 4 + 4 ó 3 + 3 + 3 + 3, según cual sea el factor que seconsidera como operador (número de conjuntos) y cual como operando(número de objetos en cada conjunto). El modelo de adición repetida noes conmutativo y el multiplicador y el multiplicando juegan papeles di-ferentes, y como consecuencia de ello, este modelo de multiplicaciónlleva asociados dos modelos de división: división partitiva y divisióncuotitiva.


63

En la división partitiva un conjunto de objetos se divide en un nú-mero de partes iguales. La finalidad es obtener la cantidad que corres-ponde a cada parte. En la división cuotitiva se trata de determinarcuántas partes del mismo tamaño podemos formar de un conjunto da-do. Si el cociente es un número entero, este modelo se corresponde conuna substracción repetida.

Fischbein y otros sostienen la hipótesis de que estos son los dos mo-delos implícitos en la resolución de problemas verbales de divisiónpero los resultados les llevan a la conclusión de que “hay solamente unmodelo primitivo intuitivo para los problemas de división –el modelopartitivo”. Y que “Con la instrucción, los niños adquieren un segundomodelo intuitivo –el modelo cuotitivo”.

ERRORES ASOCIADOS A LA ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

Los problemas verbales que incluyen multiplicación y división son di-fíciles de resolver por los niños, algunas de estas dificultades se debena la comprensión limitada que tienen de estas operaciones aritméticasy su poca experiencia con los distintos tipos de situaciones que exigenutilizar estas operaciones. Por otra parte hemos visto la gran variedadde situaciones que dan lugar a estos problemas y la dificultad, de haceruna clasificación de las mismas, como se desprende de las distintas cla-sificaciones realizadas.

En muchas ocasiones se señala que la comprensión del significadode la multiplicación y de la división es considerablemente más difícilque el de la adición y la sustracción, una explicación a este fenómenose da en términos de las palabras que comúnmente se asocian a los sig-nos de las operaciones; así:

+ significa “sumar”, “añadir” o “y”- significa “restar”, o “quitar”: significa “repartir”x significa “tantas veces”

Mientras que añadir, quitar y repartir son acciones concretas y fácilesde visualizar, no ocurre lo mismo con tantas veces que no presenta unareferencia activa tan clara.


64

Señalan Dikson y col. que en una experiencia realizada por Brown(1981) se les pidió a niños de 11 años que inventaran una historia quejustificase una serie de operaciones. Las respuestas quedan recogidas acontinuación:

A su vez tenían que elegir la expresión que correspondía a una situa-ción dada a través de una historia, los resultados de esta tarea fueronlos siguientes:

El orden de dificultad de las operaciones resultó el mismo en ambas si-tuaciones. Los resultados correspondientes a adición y sustracción fue-ron más altos que los correspondientes a multiplicación y división. Porotra parte la dificultad de la división se manifiesta inferior a la de lamultiplicación.

Fischbein y col. argumentan que los errores que aparecen en la re-solución de problemas de estructura multiplicativa pueden ser conse-cuencia de considerar en la enseñanza como modelo único para lamultiplicación la suma repetida y el modelo de partición para la divi-sión. Por lo que aconseja el trabajo en todos los tipos de problemas aso-ciados a esta estructura.

operación porcentajes de éxitos

84 - 289 : 3

84 : 289 x 3

84 x 28

7760424531

operación porcentaje de éxitos

+-:x

88676353

4

Trabajo con patrones

I

NTRODUCCIÓN

Una línea de investigación fecunda para la educación matemática, queha permitido una colaboración estrecha con los psicólogos, ha consisti-do en el estudio de las representaciones mentales en el aprendizaje delas matemáticas (Resnick, L.; Ford, W.; 1990).

La importancia de representaciones sencillas matemáticamente co-rrectas, como base para la comprensión de conceptos matemáticoscomplejos, ha sido una idea destacada tanto por psicólogos guestaltis-tas (Wertheimer, 1991) como, posteriormente, por psicólogos cogniti-vos (Bruner, 1984).

El uso de modelos físicos para presentar de manera útil determina-dos conceptos matemáticos, como las regletas de Cuisenaire, los ába-cos o los bloque multibásicos de Dienes, ha sido objeto de estudios einvestigaciones; igualmente ha formado parte de manera sistemáticade innovaciones curriculares y diseño de actividades para el aula. Unaspecto esencial de estos estudios ha consistido en establecer el papelde las representaciones físicas que permiten una manipulación directa,que pueden emplearse como metáforas de conceptos y procedimientosmatemáticos, y que pueden ayudar en su comprensión.

Estos materiales han desempeñado y desempeñan un papel impor-tante en la comprensión de los primeros conceptos aritméticos; y se


67

raciones puntuales. Las relaciones numéricas consideradas son las pro-pias de las estructuras aditiva y multiplicativa.

C

ONCEPTOS

A

UTILIZAR

Modelo

La definición de modelo como “esquematización construida con unamultiplicidad de datos de la experiencia (de la realidad) que propor-ciona una abstracción satisfactoria de como funcionan las cosas” secomplementa con esta otra definición, en términos matemáticos, dadapor Fischbein:

Un sistema B representa un modelo del sistema A si, sobre labase de cierto isomorfismo, una descripción o una soluciónproducida en términos de A puede reflejarse consistentemen-te en términos de B y viceversa.

Un modelo ofrece al usuario (generalmente resolutor de un problema)un sustituto del original el cual por sus cualidades, está mejor adapta-do a la naturaleza del pensamiento humano que el original. Pensamosmejor con lo perceptible, lo manipulable prácticamente, lo familiar,que con lo abstracto, no representable, desconocido. Esto hace de unmodelo un poderoso instrumento mental, especialmente apto para lacomprensión de las estructuras de la realidad, cuando su complejidadno nos permite alcanzar y representar directamente sus múltiples rela-ciones de conexión, y también para lograr un control directo del signi-ficado de los hechos.

La utilidad general de un modelo es doble: por una parte facilitar lainterpretación de hechos y por otra ayudar a resolver los problemas deacuerdo con los hechos originales. Esto hace que el uso de modelosdeba potenciarse en la enseñanza pues se trata de una herramientaesencialmente heurística. En este caso, el problema a resolver, se tras-lada a los términos específicos del modelo y a través de este se debe en-contrar la solución usando sólo sus propias reglas y elementos.

El modelo deberá codificar los datos del original (sus propiedades,procesos y relaciones) en sus propios términos que son específicos e in-


69

Para algunos autores lo característico del hombre y que le ha dadomucho poder es su capacidad destacada de simbolización, que comien-za con la palabra y que termina en una simbolización general de todoslos modos de tratamiento humano de las cosas. En el uso inteligente delos símbolos el hombre los utiliza en lugar de objetos, preocupándosede que las manipulaciones de los símbolos puedan trasladarse en todomomento a manipulaciones sobre los objetos.

Los símbolos que han sido conectados con ideas pueden ser usadospara pensar sobre los conceptos que representan. Uno de los hechosmás potentes de la matemática es la facilidad con que pueden ser ma-nipuladas ideas complejas a través de símbolos. Un sistema de símbo-los matemáticos constituye un lenguaje específico de la materia quetiene como funciones principales las siguientes de acuerdo con Skemp:

Facilitar la comunicación.

Dado que los conceptos son objetos puramen-te mentales y no hay forma de observar directamente el contenido dela mente es necesario un medio visible que permita el acceso a los pro-ductos de la mente. El símbolo es un medio visible que está conectadoa una idea esta idea el significado del símbolo.

Registrar el conocimiento.

Entre las características de las ideas están elser invisibles inaudibles y perecederas, esto hace necesario un registrode las mismas que asegure la comunicación.

Formación de clasificaciones múltiples correctas.

Un mismo objeto se pue-de clasificar de múltiples formas. Por la asignación de un símbolo a laclasificación somos capaces de concentrar nuestra atención sobre pro-piedades diferentes del mismo objeto. Cuantos más símbolos se pue-dan ligar a una objeto mayor será el número de clasificaciones en quepueda intervenir el mismo.

Hacer posible la actividad reflexiva.

Por esta actividad se llega ser cons-cientes de los propios conceptos y esquemas; percibir sus relaciones yestructuras y llegar a manipular todo esto de diversas maneras. El ha-cer que una idea se haga consciente parece estar conectada estrecha-mente con su asociación a un símbolo.

Ayudar a mostrar las estructuras.

Por la reflexión somos conscientes denuestras ideas y la relación que existe entre ellas. La selección correcta


71

“Las computadoras son a las matemáticas como el telescopio o elmicroscopio es a la ciencia” (Steen). Gracias a las computadoras se handescubierto patrones que han permitido el avance de la Ciencia Mate-mática.

La importancia del uso de patrones en la enseñanza escolar se ponede manifiesto por dos hechos relevantes. Por un lado, el mundo en quevivimos está lleno de patrones y regularidades. Por otro, los patronesabundan en matemáticas, y la habilidad para reconocer patrones ma-temáticos puede ayudar a llegar intuitivamente a fórmulas y relacionesque pueden ser usadas en posteriores estudios de matemáticas.

El trabajo matemático con patrones en los primeros niveles educa-tivos se puede desarrollar de dos formas diferentes. Reconociendo co-lecciones que presentan alguna semejanza y reconociendo yordenando secuencias de objetos de acuerdo con una regularidad. Elreconocimiento de patrones lleva implícitos muchos otros conceptoscomo identificación de forma, color, tamaño, dirección, orientación orelaciones numéricas. Crear y reconocer patrones es una estrategia im-portante en la resolución de problemas matemáticos, sobre todo enaquellos casos en los que las cuestiones pueden ser resueltas exami-nando casos especiales organizando a continuación los datos sistemá-ticamente determinando un patrón y usándolo para obtener larespuesta. Por ejemplo en el caso de hacer generalizaciones en proble-mas que entrañan patrones de tipo lineal o cuadrático en sus generali-zaciones a través de expresiones algebraicas.

Consideramos que estos factores justifican la importancia del traba-jo con patrones de los escolares y que debe de ser parte integrante delcurrículo de Matemáticas.

Configuración puntual

Se llama así a una colección de puntos colocados con cierta intenciona-lidad. Ejemplo: Grupos de puntos dispuestos en la misma forma quelas constelaciones.

AquariusCapricornus

SagitariusScorpius

Libra


73

Número piramidal

De igual manera,

piramidal

es aquel número cuyos puntos se puedendisponer en forma de pirámide,

cúbico

es el que admite una forma decubo.

De estas precisiones se desprenden las siguientes consideraciones:• Cualquier número natural admite una representación

como configuración puntual • Para varios números, siempre podremos encontrar un

patrón de formación tal que se vea la relación existenteentre ellos

• Números figurados sólo lo serán aquellos que admitanuna representación puntual en forma de figura, funda-mentalmente geométrica

• Números poligonales son aquellos que admiten una re-presentación en forma de polígono

• Igualmente se pueden definir los números piramidales ylos cubos

Centramos nuestra atención en los números triangulares y cuadradospara hacer algunas consideraciones e iremos poniendo de manifiestolos patrones tanto geométricos como aritméticos que presentan en suformación.

Números triangulares

Los números triangulares reciben su nombre del hecho de presentaruna configuración puntual en forma de triángulo.


75

La construcción es de la siguiente forma: • Se coloca una primera fila, donde solo se escribe el núme-

ro uno, tantas veces como números triangulares quera-mos hallar

• Se forma la segunda línea con el criterio siguiente: en laprimera columna se escribe un uno, en la segunda colum-na se escribe la suma de ese uno con el número que le vaa quedar encima, el número de la tercera columna se for-ma sumando el obtenido en la segunda y el número quele va a quedar por encima y así sucesivamente

• Para formar la tercera fila se realiza el mismo procedi-miento, la cual está formada por los números triangula-res

Números cuadrados

Los números cuadrados se obtienen de contar los puntos que se pue-den disponer en forma de tablero, o cuadrado.

Los números cuadrados son por tanto los cuadrados perfectos.

En esta secuencia numérica el patrón de formación es: sumar los núme-ros impares consecutivos, empezando en 1 que es el primer término.

Observando la figura descubrimos el patrón de formación de uncuadrado a partir de su anterior. Tomando el primero, se van añadien-do filas de puntos en forma de ángulo recto, las cuales contienen 3, 5,7, 9, etc. puntos respectivamente, esta regla de formación y paso de uncuadrado al siguiente proporciona el patrón aritmético de sumas desumandos impares consecutivos para obtener un número cuadrado.

1 4 9 16 25 36 o bien

C

1

= 1, C

2

= 4, C

3

= 9, C

4

= 16, C

5

= 25, C

6

= 36


77

En la primera “se ve” el siguiente desarrollo del número 9 = 4 + 1 + 4.• Escribe el desarrollo del número 9 que ves en las otras

dos representaciones

Tarea 2.

El número 15 tiene varios desarrollos, por ejemplo:

15 = 3 + 5 + 7 y 15 = 3 x5

• Escribe otros tres desarrollos distintos del número 15• Realiza una representación puntual de 15 en donde se

vea uno de los desarrollos anteriores

Tarea 3.

En la siguiente tabla se presenta una secuencia de representa-ciones.

• Escribe a que números corresponden cada una de estasrepresentaciones y el desarrollo de la expresión que indi-can

Tarea 4.

En la siguiente tabla se presenta una secuencia de representa-ciones que no esta completa.

Representación • • •

• • • • •

• • • • • • •

Número Expresión

Representación

• •

• • • • • • • • • •

NúmeroExpresión


79

• Dibuja el término siguiente

• Indica cómo es el de lugar n

• Escribe debajo de cada figura el número que representa

• Debajo de cada número escribe su desarrollo

Tarea 10.

Tienes la siguiente secuencia:

• Escribe el 5º término

• Escribe el término enésimo

• Realiza una representación puntual de cada uno de lostérminos

Tarea 11.

Dada la siguiente sucesión numérica: 2, 5, 8, 11...

• Realiza una representación puntual de los cuatro prime-ros términos

• Escribe su término general

Tarea 12.

Desarrolla esta tarea de la siguiente manera:

• Inventa el término general de una sucesión

• Señala la propiedad común de sus términos

• Haz una representación puntual de los tres primeros tér-minos

1º 2º 3º 4º

• • •• • • • • •

• • • • • • • •• • • • • • • • •

1º 2º 3º 4º

1 1+2 1+2+3 1+2+3+4

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