problemas aditivos con números negativos

8/19/2019 Problemas aditivos con números negativos

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PROCEDIMIENTOSDE R E S O L U C I ~ NDE PROBLEMAS ADITIVOSCON NÚMEROS NEGATIVOSBRUNO A.y MARTINÓN A.Universidad de La Laguna

SUMMARY

This paper presents some procedures for the problem solving, explanation and behaviours of the students in thesolution of additive problems with negative numbers. Special attention is paid to the different contexts, structures andpositions of the unknown.

Los alumnos usan diferentes formas para resolver pro-

blemas aditivos. Por ejemplo, tengamos este problema:Un edificio de 5 plantas tiene 5 plantas de sótano. Unascensor del edificio antes de moverse estaba en laplanta 8 y despu és de moverse estaba en la planta 3 delsótano. j Cuá l zde el movimiento del ascensor?Se puederesolver de varias maneras: a imaginarse un edificio ycontar los pisos que hay que bajar hasta llegar a la planta3 del sótano; b tener una imagen más abstracta y utilizaruna representación de la situación en la recta; c numé-ricamente, sin ninguna representación o imagen real,planteando operaciones, como 8+3=11 ó -3-(+8)=- 11.Como veremos, puede ocurrir que se utilicen varias deestas formas simultáneamente.

En este trabajo damos los resultados obtenidos en lasentrevistas realizadas a 1 1 alumnos de 7 de EGB (1 2- 13años) durante la resolución de problemas aditivos connúmeros negativos, analizando comportamientos y difi-cultades que surgen al resolver dichos problemas.

PROBLEMAS ADITIVOSTipos de problemas

En los usos de los números distinguimos: estados (e),expresan la medida de una cantidad de una cierta magni-tud asociada a un sujeto en un instante («debo 2)));variaciones (v), expresan el cambio de un estado con elpaso del tiempo, aunque puede ocurrir que no se expli-cite el intervalo temporal («perdí 2))); comparaciones(c), expresan la diferencia entre dos estados («tengo 2menos que tú»).

Describimos ahora las estructuras de los problemas quefueron propuestos a los alumnos. Usamos la clasifica-ción que se detalla en Bruno y Martinón (1997), inspira-da en la de Vergnaud (1982).

e e e: estado 1 + estado 2 estado total. Un estadototal es suma de dos estados parciales. Ejemplo: Juantiene 8 pesetas y debe 11 pesetas. ¿Cuál es su situacióneconómica?

ENSEÑANZADELAS CIENCIAS1997, 15 2), 249-258


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e v e: estado inicial variación estado final.Ejemplo: Un delfín estaba a 5,6 m etros bajo el nivel delmar y bajó8,7metros. ¿Cuál era la posición del delfíndespués de este movim iento?

e c e: estado 1 comparación estado 2. Ejemplo:Un coche está en el kilómetro 6 a la izquierda del cero yuna moto está 11 kilómetros a la derecha del coche.¿Cuál es la posición de la moto?

v v v: variación 1 +variación 2 variación total. Unavariación total eSSuma de dos variaciones parcialessucesivas. Ejemplo: En Tenerife la temperatura bajó 11gradosy luego subió 5 grados. ¿Cóm o varió la tempera-tura respecto a la que hacía antes de moverse?

Una m isma estructura da lugar a varios problemas segúncuál sea laposición de la incógnita. Por ejemplo, laestructura e v e da lugar a tres tipos de problem as:

que llamaremos de incógnita 1 Il ), de incógnita 2 12)y de incógnita 3 I3), respectivamente.

Los contextos fueron:deber-tener, tem peratura, niveldel mar, carretera, tiempo y ascensor.

Resultados previos

Este trabajo forma parte de un estudio más amplioque hemo s realizado sob re distintos aspectos de losnúmeros negativos. En una prim era experiencia en elaula, con alumnos de 12-13 años, analizamos lasdificultades de determinados problemas aditivos, se-gún los contex tos, las estructuras y la posición de laincógnita. En las respuestas de los alum nos que par-ticiparon en la experiencia encontramos q ue tienenpreferencia p or una determinada estrategia d e resolu-ción, la recta o la operación, y los problemas deincógnitas 1y 2 les presentó importantes dificulta-des. Los problemas q ue inventaron para dar sentido alas operaciones aditivas fueron casi siempre de in-cógnita en los contexto sdeber- tener, n ivel del m ary temperatura Bruno y Martinón, 1994a).

En una segunda experiencia en el aula se profundizósobre las anteriores conclusiones. En Bruno y Martinón1994b) analizamos el uso de la recta al representar

situaciones aditivas con números negativos, teniendo encuenta las respuestas dadas por los alumnos en pruebasescritas. Las entrevistas realizadas a 11 de los alumnosque participaron en esta experiencia nos han permitidoestudiar el uso de los números negativos en distintasdimensiones en la recta, con operacionesy con situacio-nes concretas), así como las transferencias entre ellasBruno y Martinón, 1996a,1996b). Los datos que se

exponen en el presente trabajo se han obtenido en lasentrevistas de la segunda experiencia y se correspondencon la resolución de problemas aditivos.

escripción de la experiencia de aula

La segunda experiencia tenía el objetivo de analalgunos aspectos de la enseñanza de los negativosrealizó con cinco grupos naturales de7 de EGB , de tresescuelas de Tenerife:

Escuela 1. Privada y urbana. Un grupo: Gl 23 alumn

Escuela2.Pública y de l extrarradio. Dos grupos:G 23alumnos) y G3 24 alumnos).

Escuela 3. Pública y urbana. Dos grupos: G4 33 alnos) y G5 33 alumnos).

Los gruposG1, G2 y G3 siguieron un material de trabadiseñado por nosotros, durante dos meses aproximmente. Los grupos G 4 y G5 fueron grupos de referey usaron su libro de texto. Durante el desarrollo dexperiencia en el aula, los alumnos respondieron a vpruebas escritas sobre los núm eros negativos conceopuesto, orden, operatoria, resolución de problemarepresentación en la recta). Al finalizar el trabajo eaula, 1 1 alumnos de estos grupos participaron e n envistas, cuyos resultados presentam os en este artículomaterial de trabajo seguido por los grupos G1, G2 yse fundamenta en lo siguiente:

a Tres dimensiones. Los alumnos trabajaron lo quellamamos dimensiones de conocim iento: abstracta, textualy de recta. Las actividades se enfocaron a resolución de problemas de enunciado verbal dimsión contextual) de modo que las situaciones diesentidoy justificaran las reglas operatorias de los negtivos dimen sión abstracta). Además se utilizó 13 resentación de los números, las operacionesy el orden enla recta dimensión de recta), tanto en las actividaabstractas como en las contextualizadas. La ideadimensiones, la hemos adaptado del trabajo de Pe1991).

b Ampliaciún a los reales. Es habitual introducir losnúmeros negativos en varias etapas: los enteros, racionalesy finalmente los reales. No fue así con logrupos G1y G2, a los que se situó en la idea de quconocían los números positivos, que son todas las exsiones decimalesy se representan como puntos sobreuna sem irecta. A partir de aquí, se introdujeron los renegativos, que se presentaron como los números llenan la recta a la izquierda del cero. E l grupo G3 silas mismas actividades, pero los números en forfraccionaria o decima l fueron sustituidos por enteromodo que se realizó la extensión a los enteros. Lgrupos G4 y G5 también hicieron esa extensión.

c Identificación de la suma y la resta. Al introducir losnúmeros negativos surge la novedad en ocasiones, cultad) de laidentificación de la suma y la resta. Es dsumar restar) un núm ero a otro es restarle sumarleopuesto. Resulta bastante complejo comprender eidentificación en cada una de las dimensiones: abstra

ENSEÑANZADELAS CIENCIAS,1997 15 2)


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contextual y de recta. En la dimensión contextual los nes que sirve para resolver los problemas. S e planteó unalumnos tienen fuertemente arraigada la idea de que problema d el tipo e d = e señalado en la tabla con : :),sumar es «añadir», «ganar»..., mientras que restar signi- donde la d significa distancia entre dos estados, por lofica lo contrario: «quitar», «perder»..., Ahora ambas que los alumnos debían dar una respuesta con un núm eroideas se confunden. Es lo mismo decir «gané -3» que positivo.«perdí3»; «perdí -3» significa «gané 3» . Aparece as íun adoble forma de expresar las situaciones numéricas yresulta básica la integración d e las dos ideas contrapues- Tabla 1tas de sumar y restar, propias de los núm eros positivos, Distribución de los 11 alumnos por niveles y grupos.en una única idea de adición de números Bruno yM a rt in ón , 1 9 9 6 ~ ) .

Entrevistas

Finalizado e l trabajo de aula y analizados las datos de laspruebas escritas, se seleccionaron 12 alumnos para serentrevistados, aunque por enfermedad de uno de ellossólo se entrevistó a 11. Se eligieron teniendo en cuentael nivel de éxito en las pruebas escritas, las cuales fueronpuntuadas cada una con un máximo d e 10 puntos. Clasi-ficamos de nivel bajo a los alumnos que habían obtenidomenos de en todas las pruebas, de nivel medio-bajo losque habían obtenido menos de un en alguna de laspruebas, de nivel medio a los que habían obten ido entre

y 7 en todas las pruebas, de nivel m edio-alto los queobtuvieron entre y7 en algunas pruebas y más de7 enotras y, por último, de nivel alto los que obtuvieron másde 7 en todas las pruebas. A partir de ahí, seleccionamoslos alumnos en función de que en clase manifestaranalgún rasgo qu e resultara interesante analizar. S e asegu-ró la presencia de alumnos de los tres grupos, comopuede verse en la tabla1. Las actividades planteadas enlas entrevistas trataron los aspectos vistos durante laexperiencia: concepto de número negativo, clasifica-ción, opuesto, orden, representación en la recta, operato-ria y resolución de problemas.

Entre las actividades propuestas, planteamos14 proble-mas aditivos a cad a uno d e los 1 1 alumnos. En l a elecciónde los problemas se tuvo e n cuenta tres aspectos, contex-to, estructura y posición de la incógnita, de modo quehubiese al menos u no por con texto, que fueran distintosen estructura y posición de la incógnita. En la tabla11 seindican los problemas planteados y una de las operacio-

En las entrevistas siempre esperábamos q ue los alumnosdieran una solución a los problemas antes de hacerlescualquier pregunta. Por esa razón, analizamos las estra-tegias y procedimientos usados en la resolución d e losproblemas antes y d espués de que el entrevistador inter-viniera.

RESPUESTA INICIAL DE LOS ALUMNOS

Exponemos ahora las respuestas iniciales de los alumn osantes de que el entrevistador interviniera, fijándonos endos aspectos: el éxito en la respuesta y la estrategiautilizada.

En la tabla111 se indica el número de problemas resueltoscorrectamente por cada uno de los alumnos. S e observandiferencias de éx ito en alumnos de un mismo nivel.

Las respuestas de los alumnos se concentran en dosestrategias de resolución:usar la recta y plantear unaoperación. Problemas con la misma estructura son re-sueltos por los alumnos con distinta estrategia según elcontexto. Por ejemplo , los problemas d e estructurae v= e 12) se resuelven m ayoritariamente endeber tener ycronología con operación, mientras que enascensor seresuelven con la recta. En el uso de la recta hay tenden-

Tabla 11Tipos de problemas aditivos planteados en las entrevistas.

ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS 1997 15 2) 5 1

-4- -8)Ascensor -3-8


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Tabla 111Número d e problemas resueltos correctamente por cada alumno.

cias de los alumnos. Como se observa en la tabla IV,algunos tienden a resolver los problemas con la rectaA2, A3, A7 y Al l) , otros no suelen utilizarla A l y A4)

y el resto de los alumnos depende de los problemas. Enel uso de la recta no parece influir el nivel de losalumno s. Utilizar las dos estrategias, recta y operación ,al mismo tiem po, no implica éx ito en las dos. En general,hay más éx ito cuando se emplea la recta que cuando seemplea s610 la operación. Lo s problemas de incógnita 3que se resuelven con operación suelen hacerse de formacorrecta, mientras que en los de incógnitas 1 y 2 laoperación se plantea incorrectamente la m ayoría de lasveces más adelante se analizarán las causas de ello). Larecta presenta más dificultades en los problemas connúmeros decimales y en el de estructurav v v 13). Eneste último problema por la tendencia a interpretar elresultado final como un estado en lugar de como unavariación. Este fenóm eno ya ha sido descrito por Conne1985) en problemas deber-tener.

mom entos del proceso de resolución o al pedirles algunaexplicación. Los denom inamos de la siguiente forma:1)orden de los datos 2) adaptar la operación 1 la rectay 3) usar núme ros positivos con o sin recta).

A l

B

7

l Orden de los datos

A3

10

A2

3

A veces los alumnos escriben los números siguien do elorden en el que aparecen en el enunciado del problemay con los signos que indican las situaciones. Por ejem-plo, en el problema «Juan tiene en su casa8 pesetas ydebe a un amigo 11 pesetas, ¿cuál es su situación econó-mica?)) 9 de los 11 alumno s plantean 8 11 3. Esteprocedimien to, válido en los problemas de incógnita 3,lleva a respuestas erróneas en los problemas de incógni-tas 1 y 2. Con el siguiente ejemplo, podemos observareste comportam iento en una alumna de nivel bajo a unproblema de estructurae v e 12).

E. Una persona nació en el año 5 antes de Cristo y

RESULT DOS DUR NTE L ENTREVIST murió en el año7 antes de Cristo. 2 Cuán tos año s vivió.?

A4

Dada la respuesta inicial de los alumnos al problema,usando una de las dos estrategias recta u operación), lespedíamos que los resolvieran c on la otra y les hacíamospreguntas d estinadas a con ocer si la resolución de pro-blemas en las dimensiones abstracta y de recta se com-prendía completamente. Para ello seguimos cada uno desus pasos para llegar a la solución. Es importante señalarque no sólo nos hemos interesado en estudiar si se lleg6o no a la solución correcta, sino en có mo se llegó a ella.

Procedimientos de resolución

A5

B M B M B M M M M A A

5 1 3 7 7

A l . -15 7 -22

Nació en el 15 antes de Cristo, sería negativo, y murió enel año 7 antes de Cristo sería negativo. Como menos ymenos se suman, y se pone el signo del mayor. i lu án to saños vivió? Vivió 22 años.

A6

E. Y los años que vivió ¿se pueden poner n egativos?

A l . S í porque vivió en pasado, es -22.

A7

E. Qué significa que una persona vivió -22 año s?

A l . Que, como ya está muerta, es -22.

A8

13

Describimos a continuación tres procedimientos, 10s En este caso , ademá s de seguir el orden de 10s datos, lamás persistentes, que usaron 10s a h n n o s en alguna de alumna interpreta incorrectamente el resultado negati-las estrategias de resolución. Aparecen en determinados vo. Esta forma de proceder nos parece muy importante

Tabla IVNúmero de problemas realizados con la rectay con operación por cada alumno

A9

12

252 ENSENANZA DE LAS CIENCIAS,1997 15 2)

A10

A

12

Alumnos

Niveles

Recta

Operación

A l 1

A

13

Al

B

3

11

A2

B

11

3

A4

M B M B M

4

1

A3

12

2

A5

6

6

A6

M

6

8

A7

11

3

A8

M M A A

6

8

A9

6

8

A1

A

8

6

Al1

A

1

4


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porque explica el m ayor grado de é xito en los problemasde incógnita 3 frente a los de incógnitas 1 y 2. Por elconocimiento que los alumnos tienen de los númerospositivos, la resta se asocia con la idea de «quitar» y enmucho m enor grado con la idea de «diferencia». La idea

de resta como «quitar» se sigue usando en los problemascon negativos, de ahí que sea costoso entender las ope-raciones en las que la resta indica una diferencia y setiende a ignorar el « N de la operación identificándolocon el signo del número. En el ejem plo anterior, aparecela diferencia -7- -15) y hay alumnos, como A l , queescriben -15-7, asociando el signo« » de la resta con eldel significado del 7 aC. Seguir este procedimiento entodos los problemas indica una ausencia de comprensiónde las estructuras de los problemas.

2 Adaptar la operación a la recta

Este procedimiento se puede resumir así: primero elalumno resuelve el problema en la recta y, a continua-ción, busca una operación cuy o resultado coincida co n elya obtenido. Esta forma de actuar se produjo, especial-mente, en aquellos problemas en los que los alumnos noveían la operación inmediatamente, sobre todo en losproblemas de incógnitas 1 y 2 Aunque consiguiesen laoperación correcta con números nega tivos, en ocasionesno implicó que relacionasen significativamente dichaoperación con el enunciado del problema. Veamos unejemplo de un problema con estructurae v = e 12)resuelto por un alumno de nivel alto.

E Un edificio t iene 25p lantas más5 plantas del sótanoEl ascensor del edificio antes de moverse estaba en laplanta y después de m overse estaba en la planta 3 delsótano Cuál fue el movimiento del ascensor?

E Qué pensaste exactamente ?

A9. Estaba pensando e n el ascensor de mi e dificio, queestaba en la planta 8 y bajó a la planta 3 del sótano,entonces bajó 1 .

E Tu edificio tiene plantas de sótano?

A9. S í, tiene 2.

E Te lo imaginaste?

A9. S í, en la recta.

E j Puedes plantearlo co n una operación?

A9. -3 8 = -1 1. -3 porque estaba en la3 del sótano y ...no sé, le resto 8.

Este tipo de comportamiento muestra que los alumnostienen más seguridad en los resultados que obtienen enla recta que en el que encuentran con la operación, eindica la dificultad para dar sentido a las operaciones connúmeros neg ativos. En los problemas de incógnitas 1 y2 los alumnos mostraron dificultades para encontrar unaoperación adecuada con núm eros negativos, en este caso-3- +8), y entender por qué es ésa la operación ade-cuada. En los de incógnita 3, cuando se llegaba a laoperación, normalmente se sabía explicar por qué sehabía planteado una suma o una resta.

Esta forma de resolver los problemas tiene variantes,que tienen en común la búsqueda de una operaciónsabiendo de antemano el resultado, una de las cualesdescribimos a continuación.

Falsear el resultado de la operación A veces, al adaptarla operación a la recta, se plantean operaciones inade-cuadas, pero la seguridad de que e l resultado obtenido enla recta es el correcto lleva a escribir un resultado fals o.Así se ve en larespuesta de A5 nivel medio) al problemae c = e 12).

E La temp eratura en Londres es de 5 grados sobre ceroy en Moscú de 8 grados bajo cero Qu édebe ocurrir conla temperatura en Londres para que sea igual a la deMoscú?

A5. Tendría que bajar... Tendría que bajar 13.

E ¿Podrías resolverlo con una operación ?

A 5. 5 -8), se sumany me da 13. No, pero no... ése esotro problema, me tiene que dar negativo.5 -8) = 13.

E Pero si pones -13, ¿está bien?

A5. No, pero es que a m í el truco me va a salir. Yo leañado el menos.

El alumn o es consciente de que el cálc ulo es erróneo y,a pesar de eso, no le importa d ar una solución errónea,porque su confianza en la solución correcta está porencima de un asunto de notación. El error lo produce e ldeseo de obtener la misma solución en los dos m étodosde resolución.

3 Usar núm eros positivos

Algunos alum nos resuelven los problemas aditivos plan-teando una operación c on números positivos e interpre-tando la solución de forma cua litativa; es decir,indican-

ENSEÑ ANZA DE LAS CIENCIAS1997 15 2 )


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do cóm o es el estado, la variación o la comparación. Enocasiones, previamente lo han resuelto en la recta, y enotras parecen tener una imagen d el problema; por ejem-plo, se imaginan un ascensor o un termómetro.

Veamos un ejemplo en el que una alumna resuelve elproblema con núm eros positivos y muestra la seguridadque le produce la solución encontrada en la recta, lo quele lleva a falsear el resultado de la operación siendoconsciente de qu e no e s el resultado correcto. El proble-ma tiene la estructurae v = e 11) y e l alumno es d e nivelmedio.

E. Una persona vivió 15 años y murió en el año 3 antesde Cristo. En que año nació?

A5. En e l año 18 antes de Cristo.

E. Qué hiciste?

A5. Un truco

E. ¿Por qué los añades?

A5. Porque és a es la forma de hacerlo, es otro trucovive aquíseña la e1 15 ),después añado 3 y me da 18.Nohay explicación; pongo 3 para que me dé 18.

E. Tú sabes que tiene que dar 18?

A5. Sí, porque 153 es 18. Sólo me sale así, no me sa lede otra manera.

Se puede observar que el alumno no utiliza númenegativos en ningún m omento, ni siquiera en la repsentación en la recta. Sitúa los datos en la recta aizquierda del cero y averigua si los números debsumarse o restarse. Esta forma de resolver los probleindica que determinados alumnos no ven la necesidadar un resultado en el que aparezcan los númernegativos, y también es una forma de evadir la dcultad de poner una op eración con números negavos, ya que los alumn os que siguen este procedimito en otros problemas han planteado operaciones números negativos.

E. Por qué pones esa operación?

AS. Dame una recta. Yo lo sé, pero no sé explicarlo.

E. 2 Lo haces pensando en la recta?

A5. Yo pienso en la operación y sé que me da bien. Alprincipio lo hacía con la recta, pero ya no.

Aquí m urióse refiere e n la posición 3 . Le añado 15 yda 18 aunque escr ibe «15 »)

Estamos aquí, enei 18; vamos 15 puestosy me da3

Duda y lo repite.)

Aquí es donde nació; entonces aquí añado estos3

rocedimientos de resolución según los alumnos

En la tabla V figuran los procedimientos de cada unlos alumnos en los diferentes problemas y se han sbreado d e gris las casillas correspondientes cuando empleado un procedimiento concreto. Hay problemalos que el alumno no ha utilizado ninguno de los tprocedimientos.

Una observación detenida de los resultados lleva a apar a los alumnos de la siguiente forma:

Grupo X. Los alumnos Al , A2, A4, A6 y A7 siguen, algún mom ento de la resolución del problema, el prodimiento 1,orden de los datos, y esto en casi todos lostipos d e problemas. Como queda dicho, esto les llevuna solución errónea en los problemas de incógnitas2. Muchas veces en estos últimos problemas, al segeste procedimiento, llegan a un resultado que no coide con el que han obtenido en la recta, por lo que sigel procedimiento 2,adaptar la operación a la recta.Obsérvese cómo estos dos procedimientos aparecen jtos en los problemas de incógnitas 1 y2. Ninguno deestos alumnos resuelve los problemas utilizando núros positivos, es decir, siempre tienden a dar una opción con núm eros negativos.

Grupo Y.Los alumnos A3, A5 y A8 resuelven muchos los problemasusando números positivos procedimien-to 3), con independencia de la incógnita. En o casiopreviamente han hech o una representación en la recotra veces parecen tener una intuición de cóm o se resve. Sin em bargo, hay algunas diferencias entre ellosE1alumno A3 resuelve los problemas de incógnita3 connúmeros positivos, ayudado muchas veces por 1s rey nunca emp lea el métodoorden de los datos. Los otrosdos alumno s en los problemas de incógnita3 mezclan losprocedimiento 1 y 3.

ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS,1997, 15 S)


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I N V E S T I G A C I ~ NDIDÁCTICA

TablaVProcedimientos empleados por los alumnos.

ENSBÑANZADELAS CIENCIAS 1997 152) 255


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Grupo Z. Los tres alumnos de nivel alto A9, A10, A l 1)se caracterizan por usar el orden de los datos en losproblema s de incógnita y adaptar la operación a la rectaen los de incógnitas 1 y 2. Además, alguno de losproblemas, los resuelven con números positivos. Pode-

mos dec ir, por tanto, que estos alumnos se sitúan en otronivel de comprensión de los problemas, ya que, en ciertaforma, son conscientes de que la estrategia de orden delos datos no es válida en los problemas de incógnitas 1Y 2.

Si se observa la tabla 111, se puede comp robar que son losalumnos de los gruposY y Z los que obtienen más éxito,mientras que los alumnos del grupo X logran menoséxito. Los resultados muestran que los problemas deincógnita 1 y 2 presentan una dificultad didáctica impor-tante, que sólo determinados alumnos son capaces desuperar utilizando su conocimiento de los números ne-

gativos, y también cóm o otros alumn os tienen un cono-cimiento n umérico, en cierta manera m ás flexible, por-que ante esta dificultad recurren a sus conocimientos delos números positivos.

Los problemas aditivos, que con números positivos seconsideran perfectame nte asim ilados por los alumnos deestas edades, presentan g randes dificultades cuando losnúmeros son negativos, lo cual indica que su uso en laenseñanza de los números negativos necesita de untrabajo que ponga énfasis en distinguir unos tipos deotros.

Otros comportamientos en la resolución de problemas aditivos

Además de los descritos, se observaron también otroscomportamientos de los alumnos que son indicadores dela comprensión de los problemas. Los que se destacan acontinuación muestran dificultades, razonamientosyrepresentaciones m entales de los problemas.

Interpretar incorrectamente el resultado. Ciertas res-puestas evidencian mala relación entre el significado ylo abstracto, lo que lleva a explicaciones forzadas. Así

por ejemplo en el problema de estructurae d=

e I2),con enunciado: Una persona nació el año 18 antes deCristo y otra persona el año 5 antes de C risto. j Cuál esla diferencia d e edad entre ellos?, el alumno A4 escribe-18-5=-23 y dice que «-23» indica que «es antes deCristo», aunque lo que se le pedía era una diferencia.

Representa r los números de forma aislada en la recta.Varios alumnos tuvieron dificultades al realizar lasrepresentaciones en la recta . Por e jemplo, e l a lumnoA3 tuvo dudas debido a problemas de la teral idad y encier tos momentos representaba los números posi t i -vos a la izquierda del cero, o las flechas hacia la

derecha con negat ivos. Hubo alumnos que, a veces ,no relacionaron la representación en la recta con lasituación problemática, ya que situaron los tres nú-meros d el problema d e forma aislada en la recta, sinninguna relación entre e l los . Por e jemplo, la a lumnaA l represen tó e l p rob lemae c = e 13) con e nuncia-

do: La temperatura en Madrid es de 5 5 grados sobrecero, en Par ís hay 9 3 grados menos que e n Madrid .¿Cuál es la temperatura en Par ís? de la siguienteforma

Esto no está provocado porque la situación sea connúme ros negativos, ya que en las pruebas iniciales tam-bién se dieron representaciones de este tipo en situacio-nes sim ilares con números positivos. Este tipo de repre-sentación se analiza con más detenimiento en Bruno yMartinón 1 994b).

Llegar al cero. En los problemas que implican cruzar elcero porque los estados son positivo y negativo, encon-

tramos que algunos alumnos razonan averiguando elnúme ro necesario para llegar a cero y contando el restoal otro lado del cero. Por ejemplo, en el problema deestructura e c = e 13) con enunciado: Un camión es táen el kilómetro 6 a la izquierda del ceroy una moto estú

kilómetros a la derecha del coche. iC ~d á1 s laposición de la moto?,el alumno A7 dijo: «M e imaginé larecta y lo que iba desde-6 a cero y luego lo que faltaba,que son 5.» El alumno descompone la com paración endos números, uno de los cuales da la soluc ión al proble-ma. Este tipo de razonam iento fue descrito por Peled yotros 1989) llamándo lomodelo de recta dividida, aun-que en dicha investigación se analizaron los razona-

mientos al efectuar operaciones y no se trataron losproblemas aditivos. Al investigar sobre los problemas,hemos encontrado que este razonamiento no implica, entodos los casos, descomponer uno de los números delenunciado; en ocasiones, es necesario sumarlos. Estopuede observa rse en el siguiente extracto de entrevistas,que corresponde a un problema de estructurae v = e12).

E. Un edificio de 2 5pla ntas tiene 5pl an ta s de scítano. Elascensor del edificio antes de moverse estaba ea laplanta 8 y después de moverse estaba en la planta delsótano. ¿Cuál fue el movimiento del ascensor?

A7. Del 8 alO van 8, y del O al -3 van 3. Los sumo y dan11. Bajó 11.

También observamos, en algunos problemas que impli-can cruzar el cero que los alumnos razonan cam biando laestructura del problema, como puede observarse en elsiguiente problema de estructurae v = e 12).

E. Un niño empieza una partida con 6p eseta sy terirtinala partida d ebiendo Spe setas . j Qu é ha o currido durantela partida?

A5. - 6 5=

1 1. Primero pierde6 y se llega a la parte dedeber, luego pierde otras 5 y se queda en la parte dedeber.

El alumno A5 explica el problema transformándolo enuno de estructura v v = v 13).

ENSEÑANZADE LAS CIENCIAS, 1997 15 2)


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El razonamiento de «llegar al cero» se ob servó en losalumnosA3, A5, A7, A8y A10; en concreto son los tresalumnos del grupoY,es decir, los que resuelven muchosproblemas con números positivos.

Cam biar la estructzua del problema . El último ejem ploexpuesto muestra que ciertos alumnos cambian la es-tructura del problema porque les resulta más fácil deentender o de plantear. Veamos ahora otro ejemplo en elque un alum no cambia dicha estructura. S e trata de unproblema co n estructurav v v 13)y que algunosalumnos transformaron en uno de estructurae v vv e 14).

E. La temperatura por la maña na bajó grados y porla tarde subió 5 grados. ¿Cómo varió la temperaturarespecto a la que hacia antes de moverse?

A7.Bajó6. Me im aginé la recta; por ejemplo, estaba enel 35,bajó11, subió5 , se quedó en el 29.

E. Pero la temperatura, bajó o subió?

A9.Bajó, porque sería29grados.

En otros problemas, hemos observado que se puedeexplicar un problema asociándolo a una estructura cuan-do se usa una operación, y a otra estructura cuando sehace en l a recta.

CONCLUSIONES

Los resultados expuestos en este trabajo ratifican algobien sabido: problemas aditivos que son perfectamenteasimilados con números positivos presentan dificulta-des cuando en ellos hay negativos.

Una gran variedad de razonamientos surge en la resolu-ción de los problemas con números negativos. Los alum-

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nos usan dos estrategias bás icas, la recta y las opciones, pero no se emplean siempre de la miforma. Hem os descrito tres procedimientos prinles de resolución:orden de los datos , adaptar laoperación a la recta y usar números posit ivos. Laestructura, la posición de la incógnita y e l continfluyen en la dificultad y en la estrategia usad aresolver los problemas, habiendo notables difecias entre la resolución de los problemas de incó1 y los d e incógnitas 2 y3. El p rocedimientoorden delos datos lleva aresultados erróneos en los problemde incógnitas1 y 2, lo que no fue diferenciado povarios alumnos de niveles bajo y m edio-bajo, mtrando poca capacidad para distinguir la estructuun problema de la de otro.

Hay una cierta desconexión entre la resolución deblemas utilizando las operaciones y la recta. Hay m

facilidad y seguridad para resolver los problemas zando la recta que con operaciones, tal como hedescrito en el procedimientoadaptar la operación a larecta. Los alumnos, después de un trabajo de clase que se familiarizaron con la representación en la rpudieron resolver la mayoría de los problemas sobrecta con un grado de éxito alto. Hubo dificultades, la que hemos denominadorepresentar los números deforma aislada, pero, en general, casi todos los alum ncon independencia del nivel, pudieron dar sentidoproblemas en la recta. No ocurrió lo m ismo al reslas problemas con operaciones. Muchos de los paexplicaciones indicaron que les resultó complejo

nocer las operaciones adecuadas a determinados prmas, especialmente, en los problemas de incóg1 y 2 .

Pensamos que la utilización de los problemas cmétodo de enseñanza de las operaciones aditivas dnúmeros negativos exige que los alumnos se famicen lo suficiente con determinadas situaciones prmáticas o con determinadas estructuras de probletal como indicaBe11(1 986 .

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[Artícu lo recibido en noviembre de 1995 y aceptado en abril de 1997.1

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problemas aditivos con números negativos

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