Sec. 3.1 Derivadas de Polinomios y Funciones Exponenciales
En esta sección vamos a aprender a derivar funciones
constantes de potencias, polinomiales y exponenciales.
Vamos a empezar con la función más sencilla la función constante.
( )f x c= .
y=c
Derivada de una función constante
( ) 0d cdx
=
Funciones de Potencias
Vamos a ver las funciones ( ) nf x x= , donde n es entero
positivo.
n=1 ( )d xdx
=
y=x
n=2
( )2d xdx
=
Ejemplo
Deriva:
1. ( ) 5f x x=
2. ( )7d tdt
En general: Si n es cualquier número real, entonces
( ) 1n nd x nxdx
−=
Ejemplo
Deriva:
1. ( ) 1f xx
=
2. 35y x=
3. ( ) 53f x =
4. ( ) 7f x x−=
Ejemplo
Halla la ecuación de la recta tangente y a la recta normal
a la gráfica de 3y x x= en 1.x =
Nuevas derivadas
Regla del múltiplo constante Si c es constante y f es
una función diferenciable, entonces
( ) ( )d dcf x c f xdx dx
=
Demostración
Regla de suma Si f y g son funciones diferenciables,
entonces
( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g xdx dx dx
+ = +
Regla de diferencia Si f y g son funciones
diferenciables, entonces
( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g xdx dx dx
− = −
Ejemplo
Deriva:
1. 3y x=
2. ( ) 45 32
f x x x π= − +
3. 25
34y tt
= −
4. ( ) ( )23 1g a a= +
Ejemplo
Halla '''y si 25 3 7y x x= − + .
Ejemplo
La ecuación de movimiento de una partícula es 4 3 23 2 12s t t t t= − − + donde s es medido en metros y t en
segundos.
1. Encuentra la velocidad y la aceleración como
función de t.
2. Encuentra la aceleración después de 2 segundos.
3. Encuentra la velocidad cuando la aceleración es 0.
Ejemplo
Encontrar los puntos de la curva 2
3 2 52xy x x= + − +
donde la recta tangente es horizontal.
Funciones exponenciales
Vamos a derivar la función exponencial ( ) xf x a= usando
la definición de la derivada.
Definición del Número e
e es el número tal que 0
1lim 1h
h
eh→
−=
Derivada de la Función Exponencial Natural
( )x xd e edx
=
Ejemplo
Halla la derivada:
1. 321 3
2xy x e
−= − −
2. ( ) 1 3xf x e e−= +
Ejemplo
Encuentre los puntos de la curva xy e= donde donde la
tangente es paralela a recta con ecuación. 2y x=