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MATE 3031

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 17

MATE 3031

Continuidad

Recuerde que en sección 2.3, en algunos casos se podía calcular el límitede una función f cuando x se aproxima a a, simplemente calculando f (a) .

x

y

a

f(a)f(x) se aproxima a f(a)

Definición: Una función f es continua en un número a silimx!a

f (x) =


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Nota: La definición implica que se debe cumplir:

1 f (a) está

2 limx!a

f (x)

3 limx!a

f (x) = .

Nota: Si f está definida cerca a a, (f está definida en un intervalo abiertoque contiene a, excepto posiblemente en a), se dice que f es discontinuaen a (o f tiene una discontinuidad en a) si f no es continua en a.

Tipos de discontinuidadRemovible:Si el límite existe, pero es diferente al valor de f en a, se puederemover la discontinuidad definiendo el valor del límite igualándolo a f (a) .Infinita: Si la gráfica de la función tiene una asíntota vertical.De salto: Si el límite de f no existe.


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.

−2 −1 1 2 3 4

−1

1

2

3

4

x

y

−2 −1 1 2 3 4

−1

1

2

3

4

x

y

−2 −1 1 2 3 4

−1

1

2

3

4

x

y

−3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y


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Definición Una función f es continua por la derecha en un número a si:

limx!a+

f (x) = f (a)

y f es continua por la izquierda en un número a si:

limx!a−

f (x) = f (a)

Definición Una función f es continua en un intervalo si es continua encada número del intervalo.

Nota: Si f está definida solamente en uno de los extremos del intervalo,entonces se entiende por continuidad en los extremos como continuidadpor derecha o por izquierda.


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Ejemplo1. 4 (pág. 124) De la gráfica de g , identifique los intervalos de continuidadde g , además los puntos de discontinuidad y el tipo de discontinuidad.

2. 6 (pág. 124) Trace la gráfica de una función continua, excepto quetiene una discontinuidad por derecha en 2.

−3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y


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3. 8 (pág. 124) Trace la gráfica de una función continua, excepto que notiene continuidad por derecha ni izquierda en −2, y solo es continua porderecha en 2.

−3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

4. 12 (pág. 124) Suponga f y g son funciones continuas tal que g (2) = 6y limx!2

[3f (x) + f (x) g (x)] = 36. Halle f (2) .


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5. 16 (pág. 124) Use la definición de continuidad y propiedades de límite

para demostrar que la función h (t) =t − 13t + 6

es continua en (−•,−2)

6. Determine el intervalo de continuidad de h (x) = 3px2 − 9


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7. Explique porque la función f (x) =

8<

:

x2 − xx2 − 1

si x 6= 1

1 si x = 1es

discontinua en a = 1, trace la gráfica de f

−3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

8. Remueva la discontinuidad de f (x) =x3 − 8x2 − 4

en x = 2


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TheoremSi f y g son continuas en a y c es una constante, entonces las siguientesfunciones también son continuas en a :1. f + g 2. f − g 3. cf4. fg 5. fg si g (a) 6= 0

Theorem

a. Todo polinomio es continuo en R = (−•,•)b. Toda función racional es continua en todo su dominio

TheoremLos siguientes tipos funciones son continuas en todo número de sudominio:polinomios funciones racionalesfunciones trigonometricas funciones trigonometricas inversasfunciones exp onenicales funciones log ar ıtmicasfunciones radicales


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Theorem

Si f es continua en b y limx!a

g (x) = b, entonces limx!a

f (g (x)) = f (b), en

otras palabras:limx!a

f (g (x)) = f(limx!a

g (x))

Theorem

Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces la funcióncompuesta f ◦ g dada por (f ◦ g) (x) = f (g (x)) es continua en a.

9. Use continuidad para evaluar limx!p

3px 2−2x−4

10. Use continuidad para evaluar limx!2

arctan(

x 2−43x 2−6x

)


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11. Determine los valores para los cuales la función

f (x) =

8<

:

2x si x ≤ 13− x si 1 < x ≤ 4px si x > 4

es discontinua y trace la gráfica de f

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y


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11. Determine los valores de a y b la función

f (x) =

8>><

>>:

x2 − 4x − 2

si x < 2

ax2 − bx + 3 si 2 ≤ x ≤ 32x − a+ b si x > 3

es continua en todo su

dominio


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Theorem

(Teorema valor intermedio) Suponga que f es continua en el intervalocerrado [a, b] y sea N cualquier número entre f(a) y f(b), dondef (a) 6= f (b) . Entonces existe un número c en (a,b) tal que f (c) = N.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y


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12. Si f (x) = x2 + 10 sin x , demuestre que existe un número c tal quef (c) = 1000.

13. Use el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raízde la ecuación ex = 3− 2x en el intervalo (0, 1)


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14. Pruebe que la ecuación ln x = 3− 2x tiene al menos una raíz real yluego use su calculadora para encontrar un intervalo de longitud 0.1 quecontenga a la raíz.


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