loglog338811
= x= x
33 xx= 81= 81
Clase 119
x = 4x = 444
PropiedadePropiedades de los s de los
logaritmoslogaritmos
loglogaabbloglogaab = x si y solo si b = x si y solo si
aaxx= b= b(a > (a > 00, a , a 11, b > , b > 00))
aa = b= bxx
Identidad Identidad fundamental fundamental logarítmicalogarítmica
loglogaa11 = =
00loglogaaa a = =
11
Ejercicio:Ejercicio:Ejercicio:Ejercicio:
Calcula y compara los resultados de la columna AA y BB A B
a)a) loglog22
((4·84·8)) b) 22 loglog2288
c)c) loglog22(16:8)(16:8)
loglog2216 – log16 – log2288
loglog224 + log4 + log2288
loglog228822d)d) loglog
8181 3344
loglog3381811144
Si aSi a>0, b>0, c>0 tal que >0, b>0, c>0 tal que aa1 entonces, se cumple: 1 entonces, se cumple: Si aSi a>0, b>0, c>0 tal que >0, b>0, c>0 tal que aa1 entonces, se cumple: 1 entonces, se cumple:
a) loga) logaa (b(b·c) = log·c) = logaa b + logb + logaa
cc
a) loga) logaa (b(b·c) = log·c) = logaa b + logb + logaa
cc
c) logc) logaa b bxx = x log = x logaabbc) logc) logaa b bxx = x log = x logaabb
d) d) loglogaa c c · log· logcc b = log b = logaa
bb
d) d) loglogaa c c · log· logcc b = log b = logaa
bb
(c (c 1)1)(c (c 1)1)
e) log b = e) log b =
loglogaabb
e) log b = e) log b =
loglogaabbaaxxaaxx
1111xxxx (x (x
0)0)(x (x 0)0)
b) logb) logaa = log= logaa b – log b – logaa cc
b) logb) logaa = log= logaa b – log b – logaa cc
bbbbcccc
aa loglogaa b + log b + logaa cc
= a= a loglogaa bb
a) loga) logaa (b(b·c) = log·c) = logaa b + logb + logaa
cc
a) loga) logaa (b(b·c) = log·c) = logaa b + logb + logaa
ccDemostraciónDemostración::Se tiene que :
·· aa loglogaa cc
==
b·cb·c(por (por definición)definición)
loglogaa (b(b·c) = log·c) = logaa b + logb + logaa
cc
loglogaa (b(b·c) = log·c) = logaa b + logb + logaa
cc l.q.q.d
EjercicioEjercicio 11 Expresa como un solo Expresa como un solo
logaritmo:logaritmo:Expresa como un solo Expresa como un solo logaritmo:logaritmo:
a) loga) loga a 50 + log50 + logaa 6 – log 6 – loga a 1515
aa>0, >0, aa11
b) logb) loga a 7 + 3 log7 + 3 logaa 2 2 – –
1122
loglogaa1616
c) (logc) (loga a 3,2 + log3,2 + loga a 40 40 – – loglogaa22))
1133
a) loga 50 + loga 6 – loga 15
= loga50 · 6
15= loga
30015
= log= logaa 20 20
b) loga 7 7 + 3 loga 2 –
12
loga16
= loga7· 23
16= loga
7· 8
4 = log= loga a 1414
22
c) (loga 3,2 + loga 40 – loga2)
13
==
loglogaa
3,2 ·402
3
= log= logaa 64643
= loga4
= 13 [loga (3,2 · 40 :
2)]
Ejercicio Ejercicio 22
¿Cuál es la relación que existe entre aa y b b (a>0,
a1, b >0) para que:
a) log10a + log10b = 0 b) log10 b = log10a – log10 5c) log10 a·loga b = log10a3
a) log10a + log10b = 0 log10(a·b) = 0
Como loga 11 = 0 entonces a·b = 1a·b = 1
a =
1 b
a y b tienen que ser a y b tienen que ser recíprocos.recíprocos.
loglog10 10 b = logb = log10 10 (a:5)(a:5) b = b = a:5a:5
luego luego bb es la quinta parte es la quinta parte
de de aa ó ó aa es el quíntuplo de es el quíntuplo de
bb
b) loglog10 10 bb = log = log1010a – loga – log1010 55
a = 5ba = 5b
c) log10 a · loga b = log10a3
loglog1010b = logb = log1010 a a33
b = ab = a33
luego luego bb es el cubo dees el cubo de aa
ó ó aa es la raíz cúbica de es la raíz cúbica de
bb
aa == bb3
Para el estudio Para el estudio individualindividualEjercicio Ejercicio 12 12 (a – e) pág.(a – e) pág.51 51 L.T. Onceno grado.L.T. Onceno grado.
1.1.
2.2. Sabiendo que log103 = 0,477 Calcula: log1030; log103000; log100,003