log 3 81 = x 3 x = 81 clase 119 x = 4 4 propiedades de los logaritmos

13
log log 3 3 81 81 = x = x 3 3 x x = 81 = 81 Clase 119 x = 4 x = 4 4 4 Propiedades Propiedades de los de los logaritmos logaritmos

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Page 1: Log 3 81 = x 3 x = 81 Clase 119 x = 4 4 Propiedades de los logaritmos

loglog338811

= x= x

33 xx= 81= 81

Clase 119

x = 4x = 444

PropiedadePropiedades de los s de los

logaritmoslogaritmos

Page 2: Log 3 81 = x 3 x = 81 Clase 119 x = 4 4 Propiedades de los logaritmos

loglogaabbloglogaab = x si y solo si b = x si y solo si

aaxx= b= b(a > (a > 00, a , a 11, b > , b > 00))

aa = b= bxx

Identidad Identidad fundamental fundamental logarítmicalogarítmica

loglogaa11 = =

00loglogaaa a = =

11

Page 3: Log 3 81 = x 3 x = 81 Clase 119 x = 4 4 Propiedades de los logaritmos

Ejercicio:Ejercicio:Ejercicio:Ejercicio:

Calcula y compara los resultados de la columna AA y BB A B

a)a) loglog22

((4·84·8)) b) 22 loglog2288

c)c) loglog22(16:8)(16:8)

loglog2216 – log16 – log2288

loglog224 + log4 + log2288

loglog228822d)d) loglog

8181 3344

loglog3381811144

Page 4: Log 3 81 = x 3 x = 81 Clase 119 x = 4 4 Propiedades de los logaritmos

Si aSi a>0, b>0, c>0 tal que >0, b>0, c>0 tal que aa1 entonces, se cumple: 1 entonces, se cumple: Si aSi a>0, b>0, c>0 tal que >0, b>0, c>0 tal que aa1 entonces, se cumple: 1 entonces, se cumple:

a) loga) logaa (b(b·c) = log·c) = logaa b + logb + logaa

cc

a) loga) logaa (b(b·c) = log·c) = logaa b + logb + logaa

cc

c) logc) logaa b bxx = x log = x logaabbc) logc) logaa b bxx = x log = x logaabb

d) d) loglogaa c c · log· logcc b = log b = logaa

bb

d) d) loglogaa c c · log· logcc b = log b = logaa

bb

(c (c 1)1)(c (c 1)1)

e) log b = e) log b =

loglogaabb

e) log b = e) log b =

loglogaabbaaxxaaxx

1111xxxx (x (x

0)0)(x (x 0)0)

b) logb) logaa = log= logaa b – log b – logaa cc

b) logb) logaa = log= logaa b – log b – logaa cc

bbbbcccc

Page 5: Log 3 81 = x 3 x = 81 Clase 119 x = 4 4 Propiedades de los logaritmos

aa loglogaa b + log b + logaa cc

= a= a loglogaa bb

a) loga) logaa (b(b·c) = log·c) = logaa b + logb + logaa

cc

a) loga) logaa (b(b·c) = log·c) = logaa b + logb + logaa

ccDemostraciónDemostración::Se tiene que :

·· aa loglogaa cc

==

b·cb·c(por (por definición)definición)

loglogaa (b(b·c) = log·c) = logaa b + logb + logaa

cc

loglogaa (b(b·c) = log·c) = logaa b + logb + logaa

cc l.q.q.d

Page 6: Log 3 81 = x 3 x = 81 Clase 119 x = 4 4 Propiedades de los logaritmos

EjercicioEjercicio 11 Expresa como un solo Expresa como un solo

logaritmo:logaritmo:Expresa como un solo Expresa como un solo logaritmo:logaritmo:

a) loga) loga a 50 + log50 + logaa 6 – log 6 – loga a 1515

aa>0, >0, aa11

b) logb) loga a 7 + 3 log7 + 3 logaa 2 2 – –

1122

loglogaa1616

c) (logc) (loga a 3,2 + log3,2 + loga a 40 40 – – loglogaa22))

1133

Page 7: Log 3 81 = x 3 x = 81 Clase 119 x = 4 4 Propiedades de los logaritmos

a) loga 50 + loga 6 – loga 15

= loga50 · 6

15= loga

30015

= log= logaa 20 20

b) loga 7 7 + 3 loga 2 –

12

loga16

= loga7· 23

16= loga

7· 8

4 = log= loga a 1414

22

Page 8: Log 3 81 = x 3 x = 81 Clase 119 x = 4 4 Propiedades de los logaritmos

c) (loga 3,2 + loga 40 – loga2)

13

==

loglogaa

3,2 ·402

3

= log= logaa 64643

= loga4

= 13 [loga (3,2 · 40 :

2)]

Page 9: Log 3 81 = x 3 x = 81 Clase 119 x = 4 4 Propiedades de los logaritmos

Ejercicio Ejercicio 22

¿Cuál es la relación que existe entre aa y b b (a>0,

a1, b >0) para que:

a) log10a + log10b = 0 b) log10 b = log10a – log10 5c) log10 a·loga b = log10a3

Page 10: Log 3 81 = x 3 x = 81 Clase 119 x = 4 4 Propiedades de los logaritmos

a) log10a + log10b = 0 log10(a·b) = 0

Como loga 11 = 0 entonces a·b = 1a·b = 1

a =

1 b

a y b tienen que ser a y b tienen que ser recíprocos.recíprocos.

Page 11: Log 3 81 = x 3 x = 81 Clase 119 x = 4 4 Propiedades de los logaritmos

loglog10 10 b = logb = log10 10 (a:5)(a:5) b = b = a:5a:5

luego luego bb es la quinta parte es la quinta parte

de de aa ó ó aa es el quíntuplo de es el quíntuplo de

bb

b) loglog10 10 bb = log = log1010a – loga – log1010 55

a = 5ba = 5b

Page 12: Log 3 81 = x 3 x = 81 Clase 119 x = 4 4 Propiedades de los logaritmos

c) log10 a · loga b = log10a3

loglog1010b = logb = log1010 a a33

b = ab = a33

luego luego bb es el cubo dees el cubo de aa

ó ó aa es la raíz cúbica de es la raíz cúbica de

bb

aa == bb3

Page 13: Log 3 81 = x 3 x = 81 Clase 119 x = 4 4 Propiedades de los logaritmos

Para el estudio Para el estudio individualindividualEjercicio Ejercicio 12 12 (a – e) pág.(a – e) pág.51 51 L.T. Onceno grado.L.T. Onceno grado.

1.1.

2.2. Sabiendo que log103 = 0,477 Calcula: log1030; log103000; log100,003