Formulario de matemáticas III (preparatoria)
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1
FÓRMULAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
CONCEPTOS BÁSICOS
7
Condición para que dos rectas sean paralelas
13 Forma simétrica (intersección con los ejes)
Forma general (igualar a cero)
Pendiente de la recta Ordenada de la recta
1 Distancia entre dos puntos:
8 Condiciones para que dos rectas sean perpendiculares
14
2 División de un segmento en una
razón dada:
P(x,y)
!
x =x1+ rx
2
1+ r ,
9 Área de un polígono de n lados
15 Cálculo de la distancia de un punto a una recta
3 Punto medio de un segmento recta
P(x,y) ,
ECUACIONES DE LA RECTA
CÓNICAS
Pendiente de una recta Dado el ángulo Dado dos puntos
4
10 Forma ordinaria (pendiente / ordenada)
16 Ecuación general de las cónicas
5 Ángulo de inclinación de una recta
11 Forma punto / pendiente
17 Identificación de las cónicas
Discriminante:
Elipse: (negativo) Parábola: (cero)
Hipérbola: (positivo)
6 Ángulo entre dos rectas dadas sus pendientes
12 Forma cuando pasa por dos puntos
CIRCUNFERENCIA
!
m1
= m2
!
x
a+y
b=1
!
d = (x2" x
1)2
+ (y2" y
1)2
!
m1•m
2= "1 o m
2= "
1
m1
!
Ax + By + C = 0
!
m = "A
B
!
b = "C
B
!
"
!
y =y1+ ry
2
1+ r
!
A =1
2
x1y1
x2y2
M
xn yn
x1y1
=1
2
+ x1y2
+ x2y3
+K+ xn y1( )
" x2y1
+ x3y2
+K+ x1yn( )
#
$ % %
&
' ( (
!
d =Ax + By + C
A2
+ B2
!
"
!
x =x1+ x
2
2
!
y =y1+ y
2
2
!
y = mx + b
!
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
!
m = tan"
!
m =y2" y
1
x2" x
1
!
" = tan#1(m)
!
y " y1
= m(x " x1)
!
I = B2" 4AC
!
B2" 4AC < 0
!
B2" 4AC = 0
!
B2" 4AC > 0
!
" = tan#1 m
2#m
1
1+ m1•m
2
$
% &
'
( )
!
y " y1
=y2" y
1
x2" x
1
#
$ %
&
' ( x " x
1( )
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2
18
Datos importantes para obtener la
ecuación de la circunferencia:
C(h,k) = coordenadas del centro.
r = radio
22
Datos importantes para obtener la ecuación
de la parábola:
V(h,k) = coordenadas del vértice.
p = distancia del vértice al foco.
Eje focal = horizontal / vertical
26
Horizontal
(vértice fuera del origen)
Ecuación Vértice V(h,k)
Foco Directriz Lado recto
!
" LR = 4 p Eje focal
19 Ecuación ordinaria con centro en el origen
23 Horizontal (vértice en el origen)
Ecuación Vértice V(0,0) Foco
!
" (p,0) Directriz Lado recto
!
" LR = 4 p Eje focal
27 Forma general de la parábola
(caso con eje horizontal)
!
y2
+ Dx + Ey + F = 0 donde:
!
D = "4 p
E = "2k
F = k2
+ 4 ph
20 Ecuación ordinaria con centro fuera del origen
24 Vertical (vértice en el origen)
Ecuación Vértice V(0,0) Foco
!
" (0, p) Directriz Lado recto
!
" LR = 4 p
Eje focal
28 Forma general de la parábola
(caso con eje vertical)
!
x2
+ Dx + Ey + F = 0 donde:
!
D = "2h
E = "4 p
F = h2
+ 4 pk
21 Ecuación general o desarrollada
donde: , ,
25 Vertical (vértice fuera del origen)
Ecuación Vértice V(h,k)
Foco
Directriz Lado recto
!
" LR = 4 p
Eje focal
ELIPSE
PARÁBOLA
!
" y # k( )2
= 4 p x # h( )
!
"
!
"
!
h + p,k( )
!
" x = h # p
!
" y = k
!
x2
+ y2
= r2
!
" y2
= 4 px
!
"
!
" x = #p
!
" y = 0
!
(x " h)2
+ (y " k)2
= r2
!
" x2
= 4 py
!
"
!
" y = #p
!
" x = 0
!
x2
+ y2
+ Dx + Ey + F = 0
!
h = "D
2
!
k = "E
2
!
r =D2
+ E2" 4F
2
!
" x # h( )2
= 4 p y # k( )
!
"
!
"
!
h,k + p( )
!
" y = k # p
!
" x = h
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29 Datos importantes para obtener la ecuación de la elipse:
C
!
(h,k) = coordenadas del centro. a = longitud del semieje mayor. b = longitud del semieje menor. Eje mayor = Horizontal / Vertical
32 Forma ordinaria en el origen (eje mayor - vertical)
Ecuación
!
"
!
x2
b2
+y2
a2
=1 Centro
!
" C(0,0)
Vértices
!
"
!
Vmayor(0 ,±a)
Vmenor(±b,0)
Focos
!
"
!
F(0, ± c)
35 Forma general de la elipse (caso horizontal)
!
Ax2
+ Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 donde:
!
A = b2
C = a2
D = "2b2h
E = "2a2k
F = b2h2
+ a2k2" a
2b2
30 Ecuaciones importantes de la elipse
c = distancia del centro al foco.
!
c = a2" b
2
LR = Lado recto
!
LR =2b
2
a
e = excentricidad ( e < 1)
!
e =c
a=
a2" b
2
a
33 Forma ordinaria fuera del origen (eje mayor - horizontal)
Ecuación
!
"
!
(x " h)2
a2
+(y " k)
2
b2
=1 Centro
!
" C
!
h,k( )
Vértices
!
"
!
Vmayor(h ± a,k)
Vmenor(h ,k ± b)
Focos
!
"
!
F(h ± c,k)
36 Forma general de la elipse (caso vertical)
!
Ax2
+ Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 donde:
!
A = a2
C = b2
D = "2a2h
E = "2b2k
F = a2h2
+ b2k2" a
2b2
31 Forma ordinaria en el origen (eje mayor - horizontal)
Ecuación
!
"
!
x2
a2
+y2
b2
=1 Centro
!
" C(0,0)
Vértices
!
"
!
Vmayor(±a,0)
Vmenor(0 ,±b)
Focos
!
"
!
F(±c,0)
34 Forma ordinaria fuera del origen (eje mayor – vertical)
Ecuación
!
"
!
(x " h)2
b2
+(y " k)
2
a2
=1 Centro
!
" C
!
h,k( )
Vértices
!
"
!
Vmayor(h,k ± a)
Vmenor(h ± b,k)
Focos
!
"
!
F(h,k ± c)
HIPÉRBOLA
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37 Datos importantes para obtener
la ecuación de la hipérbola:
C
!
(h,k) = coordenadas del centro. a = long. del semieje transverso. b = long. del semieje conjugado. Eje Focal = Horizontal / Vertical
40 Forma ordinaria en el origen (eje focal - vertical)
Ecuación
!
"
!
y2
a2"x2
b2
=1 Centro
!
" C(0,0)
Asíntotas
!
"
!
y
a+x
b= 0
y
a"x
b= 0
Focos
!
"
!
F(0,±c)
43 Forma general de la hipérbola (caso horizontal)
!
Ax2
+ Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 donde:
!
A = b2
C = "a2
D = "2b2h
E = 2a2k
F = b2h2" a
2k2" a
2b2
38 Ecuaciones importantes de la hipérbola
c = distancia del centro al foco.
!
c = a2
+ b2
LR = Lado recto
!
LR =2b
2
a
e = excentricidad ( e > 1)
!
e =c
a=
a2
+ b2
a
41 Forma ordinaria fuera del origen (eje focal - horizontal)
Ecuación
!
"
!
x " h( )2
a2
"y " k( )
2
b2
=1 Centro
!
" C(h,k)
Asíntotas
!
"
!
x " h
a+y " k
b= 0
x " h
a"y " k
b= 0
Focos
!
"
!
F(h ± c,k)
Forma general de la hipérbola (caso vertical)
!
Ax2
+ Cy2
+ Dx + Ey + F = 0 donde:
!
A = "a2
C = b2
D = 2a2h
E = "2b2k
F = b2k2" a
2h2" a
2b2
39 Forma ordinaria en el origen (eje focal - horizontal)
Ecuación
!
"
!
x2
a2"y2
b2
=1 Centro
!
" C(0,0)
Asíntotas
!
"
!
x
a+y
b= 0
x
a"y
b= 0
Focos
!
"
!
F(±c,0)
42 Forma ordinaria fuera del origen (eje focal - vertical)
Ecuación
!
"
!
y " k( )2
a2
"x " h( )
2
b2
=1 Centro
!
" C(h,k)
Asíntotas
!
"
!
y " k
a+x " h
b= 0
y " k
a"x " h
b= 0
Focos
!
"
!
F(h,k ± c)