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Dossier 2º ESO Matemáticas Académicas: “VOLUNTARIO”

by Javi Aura 1

Dossier 2º ESO

“VOLUNTARIO”

Índice • Tema 1: divisibilidad y números enteros • Tema 2: fracciones • Tema 3: potencias y raíces • Tema 4: magnitudes proporcionales, porcentajes y Tales • Tema 5: expresiones algebraicas • Tema 6: ecuaciones • Tema 7: sistemas de ecuaciones • Tema 8: funciones • Tema 9: áreas, volúmenes y Pitágoras • Tema 10: estadística y probabilidad


by Javi Aura 2

Tema 1: divisibilidad y números enteros Ejercicio 1: Seguro que conoces perfectamente los criterios de divisibilidad de 2, 3, 5, 9, 10 y 11, pero existen otros. Por ejemplo, ¿serías capaz de descubrir el criterio de divisibilidad del 7?

Ejercicio 2: Un acertijo tradicional dice así: ¿qué cifra hay que poner en lugar de la X para que el número 58 4X7 439 sea múltiplo de 11? Ejercicio 3: Sustituye los guiones por cifras para que los números que resulten sean divisibles entre 4, 9 i 11 al mismo tiempo a) _ _ 21_ 8 b) 3 _ _ 1 _ 0 c) 1 _ _ 3 _ 4 d) _ 3 _ 20 _ e) _ 3 _ 41 _ f) _ _ 25 _ 4

Ejercicio 4: Resuelve:

(−24) : ( −2 )( −8) : ( - 2 ) −3 – 2 [( −1 + 5 – 4 + 6 –8 ) 2 – 3 ( - 4 + 9 – 8 – 4 +7 ) − 6 − ( −5 – 6 )] =

Ejercicio 5: María tiene en el jardín un termómetro que deja marcadas las temperaturas máxima y mínima. Cada mañana toma nota y esta semana registró los siguientes datos:

Lunes: 22º y 5º. Martes: 18º y -2º. Miércoles: 15º y -4º. Jueves: 17º y 0º. Viernes: 23º y 4º. Sábado: 20º y 5º. Domingo: 22º y 4º.

a) Calcula la amplitud térmica de cada día.

b) ¿Cuál es la amplitud térmica mayor de la semana?

Ejercicio 6: Coloca el paréntesis donde corresponda para que las operaciones sean correctas:

a) 7 + 3 – 5 · 2 + 4 · 3 – 1 + 3 = 24 d) 7 + 3 – 5 · 2 + 4 · 3 – 1 + 3 = –10

b) 7 + 3 – 5 · 2 + 4 · 3 – 1 + 3 = –30 e) 7 + 3 – 5 · 2 + 4 · 3 – 1 + 3 = 17

c) 7 + 3 – 5 · 2 + 4 · 3 – 1 + 3 = 14

Ejercicio 7: Un caracol sube por un palo de 20 metros de altura, ascendiendo 3 metros durante el día y resbalando 2 metros por la noche. ¿Cuánto tarda en llegar a la punta del palo?

Ejercicio 8: Con seis bolas de billar, numeradas del 1 al 6, ¿será posible construir un triángulo invertido como el de la figura, utilizando todas las bolas, de tal modo que el valor de las bolas inferiores sea la diferencia en valor absoluto de las dos bolas superiores?


by Javi Aura 3

Tema 2: fracciones



a) =

+

−

−

−

335:2

1

34

2:213

2 b)

!!

!!!

!

!!!!

Ejercicio 3: Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

67,

23,

107,

56,

35

Ejercicio 4: Un motorista recorre en un día los 2/5 de los 3/4 de los 2560 Km. que tenía que recorrer. Al día siguiente su amigo recorre los 3/4 de los que faltaban por recorrer. Si el tercer día recorren entre los dos, a partes iguales, los que faltaban, ¿cuántos km ha recorrido cada uno en total?


by Javi Aura 4

Tema 3: potencias y raíces Ejercicio 1: Calcula:

[ ( -2)4 – 3 ( - 5 + 2 ):(- 3 + 2 + 1) – ( - 3 )3] – 2 – 3[ 4 - (- 5 )2 + 9 – 7+ 2(- 24)0 – (- 2 )3] =

Ejercicio 2: Expresa como potencia:

Ejercicio 3: Escribe el resultado lo más simplificado posible.

Ejercicio 4: Calcula:

2− 2!! ∙59+

19−12 −

3616

!!

∙ 3−43 =


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Tema 4: magnitudes proporcionales, % y Tales

Ejercicio 1: Una tripulación de 250 hombres tiene provisiones para 94 días de navegación, siendo la ración por persona y día de 1200 grs. ¿Cuántos grs tendrá la ración de las mismas provisiones, si la travesía durara 115 días y la tripulación fuera de 75 personas más?

Ejercicio 2: Seis tejedores tejieron 60 m de tela de 1'5 m de ancho. ¿Cuántos m tejerán 12 obreros de una tela de 2 m de ancha?

Ejercicio 3: En una granja, para alimentar a 30 cerdos durante 10 días se necesitan 450 kilos de pienso. ¿Cuánto pienso será necesario para alimentar a 50 durante un mes?

Ejercicio 4: Cinco máquinas trabajando 16 horas diarias fabrican 9600 tornillos. ¿Cuántos tornillos fabricarán 4 máquinas trabajando 24 horas al día?

Ejercicio 5: Ocho obreros realizan una obra en 5 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 10 horas diarias?

Ejercicio 6: Dos pintores emplean 5 horas en pintar un muro de 6 metros de alto por 15 de largo. Para pintar un muro de 5 metros de alto por 27 de largo se han contratado 3 pintores ¿Cuánto tardarán en pintarlo?

Ejercicio 7: En una liquidación se rebaja en 1500 euros un coche, cuyo precio era de 16000 euros. ¿Qué tanto por ciento he pagado?

Ejercicio 8: Durante cuántos días ha prestado Jaume 4800 euros. Al 5%, si al cabo de un tiempo le devolvieron 5036 euros?


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Tema 5: expresiones algebraicas

Ejercicio 1: Vamos a buscar una fórmula para encontrar el cuadrado de un trinomio: desarrolla la expresión ( )2a b c+ + , encontrando una fórmula general para este tipo de expresiones. Aplica dicha fórmula para calcular los siguientes cuadrados.

a) ( )22 3 4x x+ + b) ( )23 2 1x x+ +

Ejercicio 2: Obtén la expresión algebraica de las siguientes frases, utilizando una o dos letras:

a) Volumen de un cubo desde su arista.

b) Valor resultante de restar 3 del cuadrado de un número.

c) Cuadrado de un número sumado con el cubo de otro.

d) Cuadrado de la suma de dos números.

e) Suma de los cuadrados de dos números.

f) Resta de un número la raíz de la suma de otros dos.

g) Mitad del triple de un número.

Ejercicio 3: Extrae factor común en las siguientes expresiones:

a) 5x3 + 15x2

b) 4x3 - 2x2 + 5x

c) 8x3y4 + 4x2y

d) 2a4b3 – a2b3

Ejercicio 4: Se considera la expresión algebraica a2 + b2 + (ab)2.

a) Calcula el valor numérico de esta expresión para a = 0, b = 1.

b) Calcula el valor numérico de esta expresión para a = 7, b = 8.


by Javi Aura 7

c) Calcula el valor numérico de esta expresión para a = 5, b = 6.

Ejercicio 5: Expresa como una igualdad notable.

a) 122 ++ xx

b) 122 +− xx

c) 144 2 +− xx

d) 25102 ++ xx

e) 252 −x

f) 24 94 xx −


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Tema 6: ecuaciones Ejercicio 1: Se quiere mezclar café de 4,50 euros/kilogramo con café de 7,75 euros/kilogramo produciendo un café que se venderá a 6 euros por kilogramo. ¿Qué cantidad de cada café hay que mezclar si se quieren vender 500 kilogramos de la mezcla?

Ejercicio 2: Si el lado de un triángulo es la tercera parte del perímetro, el segundo lado es un cuarto del perímetro y el tercer lado mide 5 centímetros, ¿cuál es el perímetro?

Ejercicio 3: Encuentra dos números enteros pares positivos y consecutivos cuyo producto es 168.

Ejercicio 4: Halla el número cuyo doble más su triple es 150.

Ejercicio 5: Halla la solución de las siguientes ecuaciones.

a) 2x + 3(x – 1) = 4x + 7

b) 5 2( 3)7 310 5x x+ −

+ = +

c) 5x + 1 – 2(x – 3) = 2x + 3(4x – 5)

d) 4 5 2 3( 2)1 26 12 4x x x+ + −

+ − + =

Ejercicio 6: Si, desde el suelo, se lanza un objeto verticalmente, con una velocidad de 5,3 kilómetros/segundo, su altura en kilómetros después de t segundos es h = 5,3t – 0,5t2.

a) Encuentra el tiempo en que h = 0 e interpreta el resultado obtenido.

b) Encuentra los tiempos en que el objeto está a 500 metros del suelo.

c) Construye una tabla de valores e intenta deducir la altura máxima que alcanza el objeto.

Ejercicio 7: Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2 7 6 0x x− + =

b) ( 3) 4x x − =

c) 23 21 24 0x x+ − =

d) 2 22 5( 1) 9x x x+ − = +


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Tema 7: sistemas de ecuaciones Ejercicio 1: Resuelve el sistema siguiente: {2 5

2x yxy

+ ==

Para ello sigue los siguientes pasos:

• Despeja y de la primera ecuación.

• Sustituye en la segunda.

• Opera y obtén una ecuación de segundo grado.

• Resuelve la ecuación.

Ejercicio 2: Sigue los pasos de la actividad anterior para resolver los sistemas siguientes.

a) 2 110

x yxy− =⎧

⎨ =⎩ b) 5 2 14

4x yxy

+ =⎧⎨ =⎩

Ejercicio 3: Resuelve los siguientes sistemas.

a) 2 2 1 0

5x xx y⎧ − + =⎨

+ =⎩ b)

2 2 3 03

x xxy⎧ + − =⎨

= −⎩

Ejercicio 4: Resuelve el sistema siguiente: 1

2 22 2 1

x y zx y zx y z

− + =⎧⎪

+ − =⎨⎪ − + =⎩

Aplicamos el método de sustitución que conocemos, pero ahora para tres incógnitas.

• Despeja z en la primera ecuación.

• Sustituye z en las otras dos ecuaciones.

• Opera y obtén un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

• Resuelve el sistema por el método que prefieras.

Ejercicio 5: Realiza las operaciones con las ecuaciones de cada sistema y resuélvelo por el método más

adecuado.

( )5 2 2 42 22

x y xx y x y

− + =⎧⎪

−⎨= −⎪⎩


by Javi Aura 10

Ejercicio 6: La base de un rectángulo es el doble de la altura y su perímetro es de 42 centímetros. Halla

las dimensiones del rectángulo.

Ejercicio 7: La edad actual de un padre es dos veces la de su hijo. Si hace 20 años la edad del padre era 6 veces la del hijo, ¿cuántos años tiene cada uno?

Ejercicio 8: La diferencia entre la cifra de las unidades de un número y la de las decenas es 2. Si al número le añadimos 18 unidades, el número resultante es el formado por las cifras en orden inverso. Halla el número


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Tema 8: funciones

“En proceso”

Seguramente este tema lo demos al final del curso

Ejercicio 1: Se muestran en la siguiente gráfica los gastos e ingresos de 6 familias en un año.

a) ¿Qué familias tuvieron los mismos gastos? ¿Y los mismos ingresos?

b) Ordena las familias por orden de menor a mayor gasto, y después, de menores a mayores ingresos.

c) ¿Qué familia consiguió ahorrar más?

Ejercicio 2: Dibuja una gráfica con las siguientes características.

• Dominio de x = –8 hasta x = 7

• Recorrido de x = 1 hasta x = 5 • Continua

• Mínimo en (–4, 1) y en (4, 2)

• Máximo en (–1, 4)

• Un tramo constante desde x = 1 hasta x = 3


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Ejercicio 3: Un caracol quiere subir una pared de 28 metros. En la primera hora sube 12 metros, pero en la segunda descansa y se escurre 4 metros hacia abajo. Después vuelve a subir 12 metros en la tercera hora y a bajar 4 en la cuarta. Siguiendo este proceso:

a) Representa la función que relaciona el tiempo, en horas, con la distancia, en metros, a la que se encuentra del suelo.

b) ¿Cuántas horas tarda en lograr ascender toda la pared?

Ejercicio 4: Una función transforma cada número en su cuádruplo y le resta una unidad.

a) Escribe la fórmula que corresponde a la función y elabora una tabla.

b) Representa la función y razona si es continua.

c) Estudia su crecimiento y decrecimiento e indica si tiene máximo o mínimo.

d) Halla los puntos de corte con los ejes.


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Tema 9: áreas, volúmenes y Pitágoras Ejercicio 1: Queremos dividir un círculo en 7 sectores circulares iguales. ¿Cuánto medirá cada ángulo central?

Ejercicio 2: Clasifica según sus ángulos los siguientes triángulos de los que se conocen sus lados.

a) a = 8 cm, b = 14 cm, y c = 16 cm c) a = 7 cm, b = 24 cm, y c = 26 cm b) a = 11 cm, b = 60 cm, y c = 61 cm d) a = 20 cm, b = 29 cm, y c = 21 cm

Ejercicio 3: Tres ciudades A, B y C están comunicadas entre sí por tres carreteras que forman un triángulo equilátero. Si la distancia más corta desde B hasta la carretera que une A y C es de 30 km, ¿cuál es la longitud de dichas carreteras?

Ejercicio 4: En el semicírculo de la figura se han inscrito los ángulos ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , yA B C D E F .

¿Cuánto miden todos los demás ángulos?

Ejercicio 5: En un triángulo rectángulo, sus catetos, a y b, miden, respectivamente, 9 y 12 cm.

Sobre cada lado del triángulo se construyen tres triángulos equiláteros.

Calcula sus áreas y observa qué relación existe entre ellas. (Redondea tus cálculos a décimas).


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Tema 10: estadística y probabilidad

Si el comportamiento es adecuado este tema se realizará mediante un trabajo en equipo.

Observa la imagen y responde a las cuestiones que se plantean en los cuatro primeros problemas.

Ejercicio 1: Indica si los siguientes caracteres son cualitativos o cuantitativos, y en su caso, indica si la variable estadística es discreta o continua.

a) Sexo de las personas que aparecen en la imagen.

b) Lo que mide en cm cada persona.

c) El número de hermanos que son en su familia.

Ejercicio 2:¿Cuáles son los colores de sus jerséis?

a) Completa una tabla de frecuencias como la siguiente con los colores de sus jerséis.

Color del jersey (xi) Frecuencia absoluta

(fi) Frecuencia relativa

(Fi)

b) Añade una columna a la tabla y calcula el porcentaje de personas que llevan cada tipo de jerséis.

c) ¿Podrías indicar cuál es el color de moda en esta distribución de datos?

d) Realiza el diagrama de sectores de esta distribución de datos.


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Ejercicio 3: Ahora estudiamos el número total de hijos que tienen sus padres.

a) Realiza la tabla de frecuencias correspondiente a esta variable. Dibuja el diagrama de barras.

b) Calcula la media y la moda.

Ejercicio 4: Observa sus estaturas. ¿Cuánto mide el más alto? ¿Cuánto mide el más bajo? ¿Qué rango tiene esta variable?

Ejercicio 5: Sacamos una bola de la urna y observamos su color.

Completa la siguiente tabla, aplicando la ley de Laplace:

Sucesos elementales Casos favorables P

Bola azul = {A}

Bola negra = {N}

Ejercicio 6: Realizamos la siguiente experiencia, hacemos girar la flecha y observamos “en qué número se detiene”.

Completa una tabla como la del ejercicio anterior para este caso.

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