Download - DIVISIÓN ALGEBRAICA
1 División Alg- C. Notables
2
División Alg- C. Notables
División Algebraica
1. Calcular “a + b + c”; si 𝑥3 − 3𝑥2 −
𝑥 + 3 divide en forma exacta al
polinomio:
𝑥5 − 2𝑥4 − 6𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
A) 12 B) 14 C) 7 D) 9
E) 15
2. Si el polinomio:
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥7 + 𝑏𝑥5 − 1
es divisible por el polinomio:
𝐹(𝑥) = 𝑚𝑥5 + 𝑛𝑥4 + 𝑐𝑥3 − 𝑥 − 1
Calcular: 𝑎𝑏 + 𝑚𝑛 + 𝑐
A) 1 B) 2 C) 3 D)
4 E) 5
3. ¿Cuál es la suma de los
coeficientes de aquel polinomio
P(x) mónico de tercer grado
divisible separadamente por
(𝑥 + 2) y (𝑥 + 1) que carece
de término cuadrático?
A) 2 B) -5 C) -4 D) 8
E) -3
4. Halle un polinomio cuadrado
perfecto de segundo grado y de
coeficientes enteros tal que su
término lineal es 6x.
A) 2𝑥2 + 5𝑥 − 6 B) 3𝑥2 +
9𝑥 + 12
C) 9𝑥2 + 6𝑥 + 1 D) 5𝑥2 +
𝑥 + 4
E) 8𝑥2 + 𝑥 − 13
5. Dado un polinomio P(x), tal que:
I. 𝑃(𝑥) − 2 es divisible por
(𝑥 − 2)
II. 𝑃(𝑥) + 2 es divisible por
(𝑥 + 2)
Calcule el resto de dividir P(x)
entre 𝑥2 − 4.
A) x – 1 B) 2 C) x D)
– x E) 1
6. Al dividir P(x) entre (𝑥 − 1) se
obtuvo como resto 2. ¿Qué resto
se obtendrá al dividir
(𝑃(𝑥))10entre (𝑥 + 1)?
A) 120 B) 2000 C)
1123 D) 1024 E)
1450
7. Al dividir un polinomio P(x) entre
(𝑥 − 5) se obtiene como resto 10
y un cociente cuya suma de
coeficientes es 2. Encontrar el
residuo de dividir dicho
polinomio por (𝑥 − 1).
A) 2 B) 8 C) 10 D)
18 E) 12
8. Halle un polinomio mónico
cuadrático que sea divisible por
(𝑥 + 2) y que tenga por suma de
coeficientes a: - 4
A) 𝑥2 + 𝑥 − 6
B) 2𝑥2 − 𝑥 − 6
C) 𝑥2 + 𝑥 + 6
D) 𝑥2 + 𝑥 − 5
E) 𝑥2 − 𝑥 − 5
3
División Alg- C. Notables
9. Al dividir P(x) entre (𝑥 + 1); (𝑥 +
2) 𝑦 (𝑥 − 3) separadamente se
obtuvo el mismo residuo 4.
Indicar el residuo de dividir P(x)
entre (𝑥3 − 7𝑥 − 6).
A) 12 B) 16 C) 2 D)
4 E) 0
10. Si al dividir P(x) entre (𝑥2 + 1) el
residuo es (𝑥 + 3) indicar el
residuo de dividir 𝑃2(𝑥) entre
(𝑥2 + 1).
A) 3𝑥 + 4 B) 6𝑥 + 8 C)
3𝑥 − 4
D) 𝑥 + 3 E) 𝑥2 + 3
11. Mostrar el polinomio de segundo
grado P(x) tal que: P(0) = 1; que
sea divisible por (𝑥 + 1) y
que al dividirlo entre (2𝑥 + 1) el
resto sea -1.
A) 𝑥2 + 𝑥 − 1 B) 2𝑥2 −
𝑥 − 1
C) 2𝑥2 − 3𝑥 − 1 D) 2𝑥2 +
𝑥 − 1
E) 6𝑥2 + 7𝑥 + 1
12. Si: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥5 + 3𝑥4 + 𝛼𝑥3 + 3𝑥2 −2𝑥 − (𝑎 + 5) es divisible por:
𝑔(𝑥) = 𝑥4 − 𝑏𝑥3 + 2𝑥2 +𝑏𝑥 − 𝛽
además 𝑔(𝑥) es divisible por ℎ(𝑥), donde:
ℎ(𝑥) = (𝑥2 − 1)(𝑥2 + 𝜆) Calcule el valor de (𝛼 + 𝛽). A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 13. Determine un polinomio de
quinto grado que sea divisible
entre 2𝑥4 − 3 y que al dividirlo
separadamente por (𝑥 +
1) 𝑦 (𝑥 − 2) los restos obtenidos
sean, respectivamente 7 y 232.
A) (2𝑥4 − 3)(5𝑥 − 2) B)
(2𝑥4 + 3)(6𝑥 − 2)
C) (𝑥4 − 5)(2𝑥 − 2) D) (2𝑥4 +
3)(6𝑥 + 2)
E) (𝑥4 + 3)(𝑥 + 1)
14. Un polinomio P(x) disminuido en
5 es divisible por (𝑥 + 5) y
aumentando en 5 es divisible por
(𝑥 − 5). Cuál es el residuo de
dividir:
𝑃(𝑥) ÷ (𝑥2 − 25)
A) 0 B) x – 2 C) 3x D)
– x E) x
15. El cociente de dividir un
polinomio P(x) de tercer grado
entre (2𝑥 − 1) es (𝑥2 + 2𝑥 − 3) y
el resto de dividirlo entre (2𝑥 +
1) es 1. Determinar el resto de
dividir P(x) entre (2𝑥 − 1).
A) –7 B) –6,5 C) –7,5 D)
–8 E) F.D.
16. Si:
𝑃(𝑥) = 𝑥7 − 5𝑥4 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
es divisible por:
𝐹(𝑥) = (𝑥2 − 1)(𝑥 − 3)
Calcular: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
A) 5 B) – 5 C) 4 D)
– 4 E) 3
17. Un polinomio mónico P(x) de
tercer grado es divisible
separadamente por (𝑥 + 2) y
(𝑥 − 1) y al dividirlo por (𝑥 − 3)
origina un resto igual a 20.
Determine su término
independiente.
A) 7 B) 10 C) 12 D)
14 E) 20
18. Encontrar un polinomio P(x) de
3° grado que sea divisible en
4
División Alg- C. Notables
forma separada por (𝑥 +
2) 𝑦 (𝑥 + 1), sabiendo además
que la suma de sus coeficientes
es 24 y que su término
independiente es 2.
A) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 10𝑥2 + 9𝑥 + 2
B) 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 − 10𝑥2 + 7𝑥 − 2
C) 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 11𝑥2 + 12𝑥 − 4
D) 𝑃(𝑥) = 5𝑥3 + 10𝑥2 + 2𝑥 + 2
E) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 14𝑥2 + 7𝑥 + 21
19. Encontrar un polinomio P(x) de
2° grado, que sea divisible en
forma separada por (𝑥 −
2) 𝑦 (𝑥 + 1) cuya suma de
coeficientes es – 6.
A) 𝑃(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 + 5
B) 𝑃(𝑥) = 3𝑥2 − 3𝑥 − 6
C) 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 + 12
D) 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 − 2𝑥 − 5
E) 𝑃(𝑥) = 4𝑥2 − 2𝑥 + 11
20. Encontrar un polinomio P(x) de
tercer grado sabiendo que al
dividirlo separadamente por (𝑥 +
3); (𝑥 + 2) 𝑦 (𝑥 + 1) se obtiene el
mismo residuo 8 y al dividirlo por
(𝑥 + 4) se obtiene como residuo
20.
A) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 𝑥2 − 22𝑥 + 5
B) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 11𝑥2 − 5𝑥 + 12
C) 𝑃(𝑥) = −3𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 + 1
D) 𝑃(𝑥) = −2𝑥3 − 12𝑥2 − 22𝑥 −
4
E) 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 12𝑥2 − 2𝑥 + 5
21. Un polinomio P(x) de cuarto
grado es divisible
separadamente por (𝑥2 + 1) y
(𝑥2 + 2𝑥 + 2) si se divide P(x)
entre (𝑥3 − 1) el residuo es
6𝑥2 + 6𝑥 + 8, luego el término
independiente de x en P(x) es:
A) 1 B) 2 C) 3 D)
4 E) 5
22. Un polinomio P(x) mónico y de
segundo grado al ser dividido
entre (𝑥 − 3) da como resultado
un cierto cociente Q(x) y un resto
12. Si se divide P(x) entre el
mismo cociente aumentado en
4, la división resulta ser exacta.
Halle el resto de dividir P(x) entre
(𝑥 − 5).
A) 15 B) 20 C) 25 D)
30 E) 35
23. Los polinomios:
𝑃(𝑥) = 3𝑥6 − 𝑥5 − 9𝑥4 − 14𝑥3
− 11𝑥2 − 3𝑥 − 1
𝑄(𝑥) = 3𝑥5 + 8𝑥4 + 9𝑥3 + 15𝑥2 +
10𝑥 + 9
Son divisibles por 𝑥2 + 𝑥 + 1.
Halle el resto de dividir [𝑓(𝑥)𝑃(𝑥) +
𝑔(𝑥)𝑄(𝑥)] entre 𝑥2 + 𝑥 + 1,
sabiendo que 𝑓(𝑥); 𝑔(𝑥) son
polinomios no constantes.
A) 0 B) 2 C) 3 D)
6 E) 7
Cocientes Notables
24. Simplificar:
(𝑥44+𝑥33+𝑥22+𝑥11+1
𝑥4+𝑥3+𝑥2+𝑥+1) (
𝑥10+𝑥9+⋯+𝑥+1
𝑥50+𝑥45+⋯+𝑥5+1)
A) 1 B) 2 C) 3 D)
4 E) 5
25. Calcular “m” para que la división
notable:
𝑥4𝑚+4 − 𝑦5𝑚
𝑥𝑚+1 − 𝑦2𝑚−3
Origine un cociente notable.
A) 1 B) 2 C) 3 D)
4 E) 5
5
División Alg- C. Notables
26. El desarrollo de la división
notable:
𝑥2𝑚 − 𝑦3𝑛
𝑥3 − 𝑦2
Origina un C – N de 30 términos.
Halle: m – n
A) 15 B) 20
C) 25
D) 35 E) 30
27. Hallar el tercer término de del
cociente notable originado por:
𝑎𝑛 − 𝑏5𝑛−18
𝑎2 − 𝑏9
A) 𝑎10𝑏16 B) −𝑎10𝑏18
C) 𝑎30𝑏18
D) 𝑎15𝑏6 E) 𝑎32𝑏20
28. ¿Cuál es el cuarto término del C
– N de:
𝑥4𝑛+5 + 𝑦4𝑛−6
𝑥𝑛−4 + 𝑦𝑛−5?
A) 𝑥21𝑦6 B) −𝑥21𝑦5
C) 𝑥22𝑦6
D) −𝑥10𝑦6 E) −𝑥21𝑦6
29. Determinar el grado absoluto del
sexto término del cociente
notable al dividir:
𝑥42 + 𝑦63
𝑥2 + 𝑦3
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
E) 7
30. Calcular “a.b” sabiendo que el
tercer término del C – N de:
𝑥𝑎+𝑏 − 𝑦𝑎+𝑏
𝑥𝑎−𝑏 + 𝑦𝑎−𝑏
es 𝑥60𝑦40.
A) 600 B) – 2400
C) 4200 D) 35 E)
3500
31. Halle el valor numérico del
término central en el desarrollo
de:
(𝑎 + 𝑏)4𝑝 − (𝑎 − 𝑏)4𝑝
𝑎𝑏𝑝
siendo 𝑎 = 2√7 𝑦 𝑏 = 3√3,
además
𝑝 = 𝑎2 + 𝑏2
A) 5 B) 6 C) 7 D)
8 E) 9
32. Reduzca la expresión S:
𝑆 =𝑥78 − 𝑥76 + 𝑥74 − 𝑥72 + ⋯ + 𝑥2 − 1
𝑥38 − 𝑥36 + 𝑥34 − 𝑥32 + ⋯ +2
𝑥2 + 1
A) 𝑥40 − 1 B) 𝑥 − 1
C) 𝑥40
D) 𝑥38 − 1 E) 𝑥42
33. Calcular el grado absoluto del
sexto término del cociente
notable originado por:
𝑥𝑛−2 + 𝑦18
𝑥 + 𝑦2
A) 2 B) 10 C) 11 D)
12 E) 13
34. En el desarrollo de:
𝑥𝑎 + 𝑎27
𝑥15 − 𝑎9
hay un término de grado 24, la
diferencia de los exponentes de
“x” e “y” en ese término es:
A) 5 B) 6 C) 7 D)
8 E) 9
35. Si la división notable:
𝑥𝑛 − 𝑥−𝑛
𝑥 − 𝑥−1
Origina un cociente notable que
sólo tiene 15 términos enteros,
determinar la suma de los
valores que asume “n”.
A) 49 B) 59 C) 69 D)
79 E) 89
6
División Alg- C. Notables
36. Determine el término de lugar
21 en el cociente notable de
dividir:
2𝑥 − 𝑥2
1 − √𝑥 − 120
A) 𝑥 + 1 B) 𝑥2 − 1
C) (𝑥 − 1)2
D) 𝑥 − 1 E) (𝑥 + 1)2
37. Calcular el valor numérico del
término central del C – N de
dividir:
(𝑥 + 1)𝑛 + (𝑥 − 1)𝑛
2𝑥; 𝑛 = 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
para x = 1
A) 2𝑛 B) 2𝑛+1 C) 2𝑛−1 D)
0 E) 2𝑛−2
38. Cuantifique al término central
del C – N de dividir:
(𝑥 + 1)20 − (𝑥 − 1)20
8𝑥(𝑥2 + 1)
para x = √3
A) 16 B) 32 C) 64 D)
28 E) 256
39. Si el tercer término del cociente
notable de:
1
2[(𝑥 + 2)𝑚 − 𝑥𝑚
𝑥 + 1]
tiene como valor numérico 212
para x = 2.
Calcular “m”
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9
E) 10
40. La siguiente división genera un
cociente notable.
16√43
− 8√2
√43
− √2
Calcule su término racional
A) 8 B) 12 C) 16 D) 18
E) A y C
41. En el cociente notable generado
por la división:
√𝑥35
− √𝑥3 35
√𝑥 − √𝑥3
¿Cuántos términos son
racionales enteros?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8
E) 9
42. Si la división algebraica
(5𝑥 − 1)99 + (5𝑥 + 1)99
𝑥
Origina un cociente notable en
el cual un término tiene la forma
𝐴(25𝑥2 − 1)𝐵; calcule A + B.
A) 35 B) 32 C) 39 D)
23 E) 4
43. En la división notable exacta:
𝑥𝑎 − 𝑦𝑏
𝑥5 − 𝑦7
Calcular “a + b”, si el quinto
término de su cociente es:
𝑥𝑚𝑦𝑛, además: 𝑛 − 𝑚 = 3.
A) 120 B) 118
C) 124
D) 116 E) 128
44. Si la división:
(𝑥 + 𝑦)100 − (𝑥 − 𝑦)100
8𝑥𝑦(𝑥2 + 𝑦2)
genera un cociente notable,
calcule el valor numérico del
término central.
Para 𝑥 = 3 𝑒 𝑦 = 2√2
A) 1 B) 2 C) 3 D)
4 E) 5
45. Sabiendo que al dividir:
𝑥25𝑛− 𝑦25𝑛
𝑥3𝑛−1 + 𝑦3𝑛−1
7
División Alg- C. Notables
se obtiene como segundo
término −𝑥16𝑦8, ¿De cuántos
términos estará compuesto su
cociente notable?
A) 2 B) 3 C) 4 D)
5 E) 6
ESCUELA DE TALENTOS CALLAO
Mat. Aldo Huayanay Flores
Publicado en Mayo