diseño de actividades de aprendizaje orientadas al

Diseño de actividades de aprendizaje orientadas al desarrollo del

pensamiento variacional en el contexto de las funciones y ecuaciones trigonométricas

haciendo uso de la GD

Karen Tatiana Gómez Coronado

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Manizales, Colombia

Año 2020

Diseño de actividades de aprendizaje orientadas al desarrollo del

pensamiento variacional en el contexto de las funciones

trigonométricas haciendo uso de la GD


Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:

Magíster en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director:

MS.c Jaider A. Figueroa Flórez

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Ciudad, Colombia

2020

Dedicatoria

A Dios, por permitirme incursionar en esta

bella labor de educar y transformar la vida de

los jóvenes a través de las matemáticas.

A mis padres, por su apoyo y confianza al

emprender este reto personal y profesional.

A mi hermana, por ser ejemplo a seguir en la

práctica docente y por motivarme e emprender

este nivel de formación.

Agradecimientos

Agradecimiento a Dios, por permitirme gozar cada día de su inmenso amor y bondad, a

través de las personas que coloca a mi alrededor y situaciones que vivo.

A mi familia, por apoyarme y motivarme a preservar en los momentos difíciles. Pero

sobre todo, por ser mi motor para esforzarme a dar siempre lo mejor de mí en todo lo que

hago.

A mi tutor Jaider Figueroa, por despertar en mí el interés por el uso del Geogebra como

un recurso altamente valioso dentro del aula. Además, por su gran compromiso y

motivación para la culminación de este proyecto.

A los directivos de la Institución Educativa Ana Elisa Cuenca Lara, por su apoyo para

avanzar en mi cualificación docente.

Resumen

Este trabajo tiene como objetivo el diseño de actividades de aprendizaje que incorporen el

uso y aprovechamiento de las potencialidades de la geometría dinámica (GD)

(especialmente la dinámica entre la exploración y la sistematización) como estrategia de

mediación cognitiva para alcanzar el desarrollo de los procesos ligados al pensamiento

variacional, bajo el contexto de las funciones y ecuaciones trigonométricas. El tipo de

trabajo se enmarca dentro del modelo investigativo de tipo cualitativo, cuyo alcance es de

carácter descriptivo. Como apoyo a los instrumentos metodológicos se diseñaron 18

aplicativos de Geogebra, sobre los cuales se elaboraron 9 talleres de tipo: diagnóstico, de

familiarización, afianzamiento y profundización. Dentro de los resultados del trabajo se

percibe el diseño de actividades de aprendizaje mediadas con instrumentos digitales, cuya

implementación adecuada por parte del docente permite al estudiante fortalecer procesos

asociados al pensamiento variacional tales como: el reconocimiento y comprensión de

variables, el tratamiento y conversión de sistemas de representación semiótica, la

modelación y la generalización en situaciones relacionadas o en contexto con las funciones

y ecuaciones trigonométricas.

Palabras clave: Pensamiento variacional, geometría dinámica, mediador cognitivo,

geogebra, funciones y ecuaciones trigonométricas, actividades de aprendizaje,

representaciones semióticas.

Resumen y Abstract IX

Design learning activities oriented to the development of processes linked

to variational thinking under the context of trigonometric and

equations using GD


National university of Colombia

Faculty of Exact and Natural Sciences

Master in Teaching of Exact and Natural Sciences

Manizales, Colombia

Año 2020

X

Abstract

This work aims to design learning activities that incorporate the use and exploitation of the

potentialities of GD (especially the dynamics between exploration and systematization).

Likewise, it implements as a cognitive mediation strategy, to achieve the development of

processes, linked to variational thinking, under the context of trigonometric functions and

equations. In addition, the type of work is framed within the qualitative research model,

whose scope is descriptive. Thus, to support the methodological instruments, 18 Geogebra

applications were designed, which were developed 9 type workshops: diagnosis,

familiarization, strengthening and deepening. That is why, within the results of the work, the

design of learning activities mediated with digital instruments is perceived. Similarly, proper

implementation by the teacher allows the student to strengthen processes associated with

variational thinking, such as: the recognition and understanding of variables, the treatment

and conversion of semiotic representation systems, modeling, and generalization in

situations related to or in context with trigonometric equations and functions.

Keywords: Variational thinking, dynamic geometry, cognitive mediator, geogebra,

trigonometric equations and functions, learning activities, semiotic representations.

XI

Contenido

Pág.

Resumen ........................................................................................................................... VIII

Abstract ................................................................................................................................ X

Lista de figuras ................................................................................................................. XV

Introducción ........................................................................................................................ 1

1. Capítulo I. Horizonte del trabajo ................................................................................ 3

1.1 Descripción y planteamiento del problema............................................................ 3

1.1.1 Descripción del área problemática ..................................................................... 4

1.2 Justificación ............................................................................................................ 7

1.3 Objetivos ............................................................................................................... 11

1.3.1 Objetivo General ............................................................................................... 11

1.3.2 Objetivos específicos........................................................................................ 11

2. Capítulo II. Marco referencial ................................................................................... 13

2.1 Marco epistemológico .......................................................................................... 13

2.2 Marco de antecedentes........................................................................................ 19

2.2.1 Secuencia didáctica para enseñar trigonometría con el sofware Geogebra,

elaborado por María Maroni Lopes en el programa de maestría en Enseñanza en

Ciencias Naturales y Matemáticas en la Universidad Federal de Río Grande del Norte

(UFRN)......................................................................................................................... 19

2.2.2 Caracterización de los niveles de razonamiento de Van Hiele específicos a los

procesos de descripción, definición y demostración en el aprendizaje de las razones

trigonométricas ............................................................................................................ 21

2.2.3 Representaciones semióticas como dispositivos para facilitar el desarrollo del

pensamiento matemático y científico .......................................................................... 22

2.2.4 Los sistemas cognitivos artificiales en la enseñanza de la matemática ......... 23

XII Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría

2.2.5 El uso comprensivo de las razones trigonométricas en el planteamiento y

resolución de problemas ............................................................................................. 24

2.2.6 Diseño de una propuesta didáctica en la enseñanza y evaluación de la

trigonometría en el grado 10º, mediada por una plataforma virtual en la Institución

Educativa Orestes Sindicce ........................................................................................ 25

2.2.7 Geogebra, una herramienta para la enseñanza de las razones trigonométricas

en grado décimo en la IED Leonardo Posada Pedraza ............................................. 26

2.2.8 Diseño e implementación de un curso virtual de trigonometría básica utilizando

redes sociales y otras herramientas TIC: estudio de caso en grados undécimo de dos

colegios oficiales de Puerto Asís ................................................................................ 27

2.2.9 Enseñanza de los conceptos básicos de la trigonometría mediante el uso de

tecnología informática ................................................................................................. 28

2.2.10 Ruta de apoyo pedagógico para la enseñanza de geometría y trigonometría, en

el curso ‘Matemáticas básicas’ ................................................................................... 28

2.2.11 Reflexión sobre el marco de antecedentes ..................................................... 29

2.3 Marco teórico ........................................................................................................ 30

2.3.1 Teoría de la educación según Vygotsky .......................................................... 30

2.3.2 Fundamentación cognitiva del currículo de matemáticas ............................... 31

2.3.3 Uso de las tecnologías en el aula .................................................................... 32

2.3.4 Potencial didáctico de la geometría dinámica ................................................. 33

2.3.5 La visualización como recurso ......................................................................... 35

2.3.6 Teorías de la presentación de Raymond Duval............................................... 35

2.3.7 Pensamiento matemático en la estructura curricular de la educación

matemática .................................................................................................................. 39

2.3.8 Pensamiento variacional en la enseñanza aprendizaje de las matemáticas .. 40

2.3.9 Procesos asociados al pensamiento variacional ............................................. 41

2.3.10 Errores y dificultades de los estudiantes ......................................................... 42

2.3.11 Reflexión sobre el marco teórico ...................................................................... 43

2.4 Marco conceptual ................................................................................................. 43

2.4.1 Pensamiento matemático ................................................................................. 44

2.4.2 Procesos asociados a la actividad matemática ............................................... 45

2.4.3 Pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos ........................... 46

2.4.4 Representaciones ............................................................................................. 47

2.4.5 Proceso de variación y cambio ........................................................................ 48

Contenido XIII

2.4.6 Modelación ....................................................................................................... 49

2.4.7 Herramientas de medición cognitiva ................................................................ 50

2.4.8 Geogebra .......................................................................................................... 50

2.4.9 Aprendizaje con geometría dinámica ............................................................... 51

2.4.10 Taller ................................................................................................................. 52

2.4.11 Reflexión sobre el marco conceptual ............................................................... 52

3. Capítulo : Metodología .............................................................................................. 53

3.1 Tipo de trabajo ..................................................................................................... 53

3.2 Instrumentos metodológicos ................................................................................ 54

3.2.1 Taller diagnóstico ............................................................................................. 54

3.2.2 Taller de familiarización con Geogebra ........................................................... 54

3.2.3 Taller de afianzamiento .................................................................................... 54

3.2.4 Taller de profundización ................................................................................... 55

3.3 Descripción de la población ................................................................................. 55

3.4 Fuentes de información........................................................................................ 56

3.5 ¿Cómo se analizarán los resultados? ................................................................. 56

4. Capítulo IV. Resultados y discusión ....................................................................... 59

4.1 Análisis sobre coherencia interna del taller diagnóstico sobre conceptos previos

de trigonometría .............................................................................................................. 59

4.2 Análisis sobre coherencia interna del taller de familiarización sobre el uso de

Geogebra......................................................................................................................... 60

4.3 Análisis sobre coherencia interna en los talleres de afianzamiento ................... 61

4.3.1 Taller de afianzamiento, para la comprensión de las razones trigonométricas y

circunferencia unitaria ................................................................................................. 61

4.3.2 Aller de afianzamiento, para la comprensión de las funciones

trigonométricas

.......................................................................................................................... 63

4.3.3 Taller de afianzamiento, para la comprensión de la traslación de funciones

geométricas ................................................................................................................. 66

4.3.4 Taller de afianzamiento, para la comprensión de ecuaciones trigonométricas

lineales ......................................................................................................................... 67

4.3.5 Taller de afianzamiento, para la comprensión de ecuaciones trigonométricas

cuadráticas .................................................................................................................. 70

XI

V

Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría

4.4 Análisis sobre coherencia interna en los talleres de profundización .................. 71

4.4.1 Taller de profundización sobre el movimiento armónico simple...................... 71

4.4.2 Taller de profundización sobre la cinemática del movimiento armónico

simple

.......................................................................................................................... 72

5. Capítulo V. Conclusiones y recomendaciones ...................................................... 75

5.1 Conclusiones ........................................................................................................ 75

5.2 Recomendaciones ............................................................................................... 76

Bibliografía ........................................................................................................................ 77

Anexos ............................................................................................................................... 83

Anexo A: Taller diagnóstico sobre conceptos previos de trigonometría .................. 83

Anexo B: Taller de familiarización sobre el uso de Geogebra .................................... 91

Anexo C: Taller de afianzamiento sobre razones trigonométricas y circunferencia

unitaria ............................................................................................................................... 99

Anexo D: Taller de afianzamiento sobre funciones trigonométricas ....................... 109

Anexo E: Taller de afianzamiento sobre traslación de funciones trigonométricas 119

Anexo F: Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas lineales ...... 129

Anexo G: Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas cuadrática . 137

Anexo H: Taller de profundización sobre el movimiento armónico simple ............ 145

Anexo I: Taller de profundización sobre cinemática del movimiento armónico

simple

................................................................................................................................... 149

Contenido XV

Lista de figuras

Pág.

Figura 1. Esquema de la situación. Fuente: ...................................................................... 37

Figura 2. Representación gráfica y numérica de la función seno. .................................... 38

Figura 3. App 1. Imagen Apps: Taller de familiarización. ................................................. 60

Figura 4. Imagen Apps: Taller de afianzamiento – Actividad 1. ....................................... 61

Figura 5. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 2. ......................................... 62

Figura 6. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 3. ........................................ 62




Figura 10. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 7. ...................................... 65

Figura 11. Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 8. ................................................... 65

Figura 12. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 9. ...................................... 66

Figura 13. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 10. .................................... 67




Figura 17. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 14. ..................................... 70


Figura 19. Imagen Apps: Taller de profundización - Actividad 17. ................................... 72



X

VI


Abreviaturas

Abreviatura Término

GD Geometría dinámica

TIC Tecnologías de la información y comunicación

MEN Ministerio de Educación Nacional

PV Pensamiento variacional

ICFES Instituto colombiano para la evaluación de la educación

M.A.S. Movimiento armónico simple

Introducción

Este trabajo se centra en el desarrollo del pensamiento variacional, considerado como uno

de los más lentos y complejos de alcanzar, pues implica de forma simultánea la integración

del pensamiento numérico, espacial, métrico y aleatorio. Este pensamiento se evidencia

cuando el individuo logra identificar fenómenos de cambio, en los cuales describe e

interpreta las características y comportamiento de las variables relacionadas. A partir de

estas, logra predecir sus consecuencias de manera cualitativa y cuantitativa, hasta llegar

a la modelación de esta situación en cualquiera de los sistemas de representación

semiótica.

Lo anterior, se hace posible a través del uso de la tecnología como herramienta de

mediación cognitiva, la cual constituye un poderoso recurso en la educación matemática.

Por ello, este trabajo está orientado hacia el diseño de actividades de aprendizaje que

incorporen el uso de la GD y sus potencialidades como estrategia de mediación para el

desarrollo de los procesos inherentes al pensamiento variacional en el contexto de trabajo

con funciones y ecuaciones trigonométricas. Para el alcance de este objetivo se diseñaron

aplicativos en Geogebra sobre los cuales se estructuraron distintos talleres de tipo:

diagnóstico, de familiarización, afianzamiento y profundización; posteriormente se les

realizó un estudio de coherencia interna acorde a los procesos y las básicas matemáticas

relacionadas.

Este documento consta de cinco capítulos, en donde el capítulo I, se definen los límites y

dirección del horizonte del trabajo, establecidos a partir del planteamiento del problema, la

justificación y la presentación de los objetivos. El capítulo II presenta el marco referencial

que incluye el recorrido epistemológico, de antecedentes, teórico y conceptual. Con

respecto a la revisión de antecedentes o investigaciones afines a esta, fue posible nutrir

este proyecto conforme a los elementos de dirección, componentes metodológicos,

necesidades y herramientas que potencialmente facilitan el proceso de enseñanza-

2 Pensamiento variacional y GD en el contexto de la trigonometría

aprendizaje de los contenidos temáticos relacionados con la trigonometría, a través del uso

mediador de Geogebra como Software libre.

El trabajo se apoya en referentes teóricos como: la fundamentación psicológica del proceso

de enseñanza-aprendizaje contemplada desde el componente social y cultural de los

estudiantes, el carácter constructivista del ambiente cognitivo, el uso de la visualización

como recurso dinamizador de las potencialidades de la GD con el Geogebra, a través del

cual se aporta sentido y significación a las representaciones semióticas propuestas por

Duval.

El componente conceptual del trabajo se apoya en los ejes que integran y propician el

desarrollo del pensamiento variacional, los procesos asociados a este tipo de

pensamiento, sistemas algebraicos y analíticos principalmente, representaciones,

procesos de variación y cambio, modelación y uso del Geogebra como herramienta de

mediación en un ambiente de geometría dinámica.

En el capítulo III se definen los elementos metodológicos utilizados a lo largo del proyecto.

De forma seguida, en el capítulo IV, se presenta el análisis de coherencia interna de los

talleres diseñados. En general se diseñaron actividades que requerían de un mayor grado

de comprensión de los conceptos estudiados previamente. Finalmente se elaboran las

conclusiones y recomendaciones para una eventual aplicación y ampliación del proyecto,

en el capítulo V.

1. Capítulo I. Horizonte del trabajo

1.1 Descripción y planteamiento del problema

El MEN, desde los estándares básicos de aprendizaje, ha reconocido la pertinencia de la

formación matemática en relación al: desarrollo de las capacidades de razonamiento

lógico, el ejercicio de la abstracción, rigor y precisión que contribuyen al avance de la

ciencia y tecnología en el país, a partir de contextos de aprendizaje particulares, que le

permita a un estudiante la formación en la toma de decisiones desde las realidades que

viven.

Sin embargo, la búsqueda por la consecución de este objetivo resulta difícil de alcanzar

cuando se abordan temáticas relacionadas con la trigonometría, las cuales se suelen

trabajar de forma muy estática y rutinaria, tal como lo manifiesta Fiallo y Gutiérrez (2007)

de que la enseñanza de la trigonometría en el aula de clase ha estado dominada por un

factor netamente tradicional. Debido a lo mencionado previamente, se limita de forma

considerable la generación de nuevas capacidades ligadas a la explicación, demostración

y generalización, por cuanto, no se enseña desde el dinamismo, el cual resulta más fácil

de capturar para la capacidad humana.

Por otra parte, la dificultad para comprender los conceptos trigonométricos, obedece a que

estos suelen ser percibidos como abstractos y de poca o nula aplicabilidad (debido al uso

del lenguaje algebraico de la letra como incógnita, como número generalizado y como

variable), la falta de interés o apatía por los mismos, la carencia en el conocimiento y

manejo de variadas herramientas didácticas para abordar de forma no convencional este

tipo de contenidos temáticos por parte de los docentes. Lo anteriormente expuesto, reduce

las oportunidades de colocar a un nivel práctico y concreto la construcción de conocimiento

en los estudiantes. Además, en el caso de los docentes, no tenemos mucho conocimiento

acerca de las distintas estrategias TIC que pueden ser utilizadas para facilitar el proceso


de enseñanza – aprendizaje, incluso en algunos casos, existe una resistencia a

reinventarse y establecer nuevas herramientas dinámicas en nuestro quehacer diario.

Las representaciones de los objetos y lugares geométricos ocupan un lugar central en la

enseñanza de la trigonometría, por ello es tan importante, lograr la integración dinámica

del componente gráfico, algebraico y de cálculo. La razón de tal interés se debe a la

relación directa entre: el conocimiento, el significado, la comprensión y modelización. Es

precisamente, a través de la capacidad que desarrolla la persona de vincular un problema

con las representaciones que conoce, lo que incrementa su capacidad de procesamiento

seguido de las posibilidades de establecer una solución a la situación que se le presenta,

tal como hacen mención Toro et al. (2012).

En ocasiones el docente, en su preocupación por abarcar los densos contenidos temáticos

propuestos en la malla curricular, enuncia las relaciones geométricas a las cuales el

estudiante debería de llegar a construir por sí solo. Es precisamente acá donde se debe

aprovechar el potencial didáctico de la geometría dinámica como mediador que va más

allá de su poder ilustrativo hasta crear la necesidad de exploración en los jóvenes.

1.1.1 Descripción del área problemática

En la I. E. Ana Elisa Cuenca del municipio de Yaguará en el departamento del Huila, se

presentan variadas situaciones que constituyen en un verdadero reto la consolidación del

aprendizaje significativo en lo que respecta a las matemáticas. Estas dificultades están

relacionadas con los distintos actores dentro del proceso de enseñanza como lo son

principalmente: los docentes, los estudiantes y los medios para facilitar la construcción del

conocimiento.

En lo que respecta al cuerpo docente se hace evidente, en un alto grado, la falta de

preocupación por reinventar la práctica pedagógica dentro del aula, lo cual se ve reflejado

en la ausencia de material concreto para la enseñanza de este tipo de temas que resultan

abstractos y la instrucción del conocimiento matemático sin contexto.

Por otra parte, la premura por abarcar la mayor cantidad de temas, restringe el tiempo

disponible para permitir que el carácter y el significado del conocimiento que los

Capítulo 1 5

estudiantes construyen esté cambiando. Además, el error no es aprovechado como un

elemento constitutivo del conocimiento, sino que es visto exclusivamente como algo que

debe ser corregido rápidamente.

Es recurrente ver como en ocasiones los docentes no cuentan con la preparación suficiente

para crear, diseñar y aplicar estrategias didácticas y pedagógicas que hagan que los

contenidos curriculares estén al nivel de la comprensión de sus estudiantes. Lo anterior

obedece a que, con frecuencia el licenciado en matemáticas durante su pregrado se

convierte en un experto en dar solución a problemas de alta complejidad de carácter

predominantemente demostrativo. Mientras es débil en la preparación o elaboración de

material didáctico manipulable en el proceso de enseñanza de contenidos trigonométricos,

el cual, suele estar asociado en gran medida a la falta de conocimiento de las

consideraciones epistemológicas, históricas y funcionales que dieron origen a dichos

conceptos. Por otra parte, frecuentemente se encuentra que algunos docentes no conocen

ni emplean las nuevas plataformas educativas, ni herramientas tecnológicas ya diseñadas

que facilitan la consolidación de un aprendizaje significativo.

Bajo este contexto, los docentes requieren contar con un inventario suficientemente

variado de material bibliográfico enriquecido en estrategias didácticas para la enseñanza

de la matemática, la cual es una necesidad urgente para los docentes que orientan la

trigonometría en cualquier institución educativa. Donde el uso del lenguaje visual resulta

ser de gran importancia en la educación matemática, para llevar a los estudiantes una

representación concreta de las ideas abstractas, de allí el valor que toma el uso de

instrumentos tecnológicos que posibiliten el empleo de representaciones ejecutables.

En relación a los estudiantes, se considera que, al ir avanzando en el aprendizaje de la

geometría, ellos deben ir modificando la organización discursiva de su razonamiento a fin

de ir alcanzando un mayor y mejor uso del lenguaje geométrico, construcción de

estructuras lógicas deductivas. Sin embargo, en los estudiantes del grado décimo de la I.

E. Ana Elisa Cuenca Lara no se evidencia este tipo de avances, por el contrario, es clara

la existencia de una amplia grieta entre la argumentación informal y la justificación formal

en sus comunicaciones al interior del aula.


Lo anterior, se hace notable a través de la obtención de puntajes entre 52 y 56 en las

pruebas de matemáticas saber 11 para las dos sedes que ofrecen hasta el nivel de la

media técnica. Por otra parte, en el 2019 se presentó la reprobación de 120 estudiantes

en el área de matemáticas para una población de 1.120, es decir, más del 10 %. Es

importante resaltar que estos estudiantes, se encuentran en un nivel de desempeño bajo

tras obtener valoraciones entre 1,0 y 2,9 en una escala hasta 5,0. Si bien la anterior

situación presenta una gran preocupación, también exhibe un gran reto, más aún, teniendo

en cuenta que la institución educativa implementa actividades como: la realización de

planes de nivelación, seguimiento y profundización los días jueves, uso de equipos y

herramientas tecnológicas para mejorar la didáctica dentro del aula, comunicación y

vinculación permanente de los padres de familia a través de las actividades del aula hogar,

todas estas, orientadas hacia la disminución de las debilidades académicas.

Lo expuesto previamente, muestra que el afianzamiento de los contenidos temáticos es

muy pobre y con ello también se da una insuficiente profundización de los mismos asociada

a la poca claridad de estos, en los cuales el pensamiento variacional no se le otorga la

importancia que requiere, sobre todo, bajo el entendido de que este tipo de pensamiento

es el resultado de integrar otros. Dicha situación se refleja cuando después de un intervalo

de tiempo corto, se indaga al estudiante acerca de un problema en el cual se requiere la

utilización de temáticas que han sido abordadas previamente y este no logra establecer la

conexión entre el modelo que describe el escenario que se le presenta y la situación.

Algunas de las causas de errores y dificultades que se presentan con mayor frecuencia en

los estudiantes son aquellas relacionadas con: los contenidos matemáticos, la motivación,

la falta de dominio de los contenidos previos y aquellas causadas por la secuencia de las

actividades propuestas. En relación con el uso de las ecuaciones y funciones

trigonométricas encontramos:

Confusión en los conceptos y algoritmos básicos como: división, razón, proporción,

función, ecuación, ángulo y sistemas de medición, valor numérico.

Dificultades asociadas a la poca profundización en los fundamentos epistemológicos

relacionados con la trigonometría.

No identificación de los parámetros y su naturaleza, que se involucran en una expresión

trigonométrica.

Capítulo 1 7

Dificultad en la interpretación y sentido que recibe un conjunto de datos de

comportamiento trigonométrico. Lo cual, hace que sea reducida su comunicación y

modelación de situaciones particulares a través del uso de un lenguaje matemático.

No reconocen la equivalencia entre los diferentes sistemas de representación como:

figural, fenomenológica, gráfica, tabular, simbólico, algebraico, numérico variacional y

el tránsito a través de cualquiera de estas bajo un contexto trigonométrico.

Poco desarrollo del razonamiento de habilidades y procedimientos relacionados con la

resolución de problemas de carácter trigonométrico aplicados a variadas áreas del

conocimiento

En cuanto a los medios tecnológicos y de comunicación, en la Institución Educativa Ana

Elisa Cuenca Lara carece del servicio de conexión a internet. No obstante, sí es posible

diseñar e implementar otro tipo de estrategias que involucren la tecnología y material

manipulable que hagan del aprendizaje uno significativo para el grupo de estudiantes.

Por todo lo anterior y en la búsqueda continua de mejoramiento, se propone un trabajo que

intenta fortalecer el desarrollo del pensamiento variacional en lo que respecta a los

procesos de reconocimiento y comprensión de variables, tratamiento y conversión de

sistemas de representación, la modelación y la generalización asociados al estudio de las

funciones y ecuaciones trigonométricas, a partir, del diseño y aplicación de actividades de

aprendizaje que incorporan el uso de Geogebra como instrumento de mediación cognitiva.

1.2 Justificación

Importancia

En la actualidad, las investigaciones orientadas al fortalecimiento de los procesos

asociados al pensamiento variacional desde el potencial de la geometría dinámica para la

enseñanza de las funciones y ecuaciones trigonométricas son escasas a nivel local y

regional. Por otra parte, su desarrollo podría generar nuevas inquietudes en futuros

estudios de investigación.

Es preciso insistir en que la implementación de la geometría dinámica como mediador en

el proceso de enseñanza-aprendizaje, da la posibilidad de colocar el conocimiento al


alcance del estudiante. De tal manera que estos puedan interactuar y manipular las

representaciones de conceptos que resultan abstractos. Este trabajo pretende aprovechar

el potencial didáctico de esta naciente metodología que se desarrolla a través de la

exploración (problematizar la visualización), construcción (hacer operativa la construcción),

argumentación y demostración.

El uso de esta herramienta ha cobrado especial importancia al mostrar cómo el entorno de

la geometría dinámica constituye un campo de experimentación hasta convertirse en el

motor del pensamiento deductivo, en el cual los estudiantes realizan secuencias de

exploración a través de construcciones dinámicas y al interior del cual pueden sistematizar

sus argumentos, crear nuevas relaciones entre piezas de conocimientos ya existentes.

Este proceso es igualmente enriquecedor cuando se realiza en equipos de trabajo, donde

se fomente la comunicación, interacción como escenario propicio para contrarrestar la

apatía y rechazo a la trigonometría, situación que se ha convertido en un verdadero

problema a la hora de enseñar.

Con la realización de este proyecto de investigación se busca reforzar la apropiación de

los temas a partir de la interacción con el software libre Geogebra hasta el fortalecimiento

de una progresiva confianza para resolver situaciones problemas asociados al

pensamiento variacional que involucren este tipo de conceptos, incluso hasta llegar a la

comprensión y resolución de problemas con situaciones asociadas al movimiento armónico

simple.

Además de lo anterior, el trabajo considera su relevancia por cuanto con su aplicación se

espera que el estudiante fortalezca los siguientes estándares básicos de competencia:

Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos

matemáticos y en otras ciencias.

Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y

funciones trigonométricas.

Reconozco y describo curvas y/o lugares geométricos.

Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y

utilizo sus derivadas.

Capítulo 1 9

Por último, con el desarrollo de este trabajo se proporciona una guía de trabajo para lograr

disminuir algunas de las limitaciones a las cuales se enfrentan los docentes como la ruptura

y cambio de paradigmas de lo tradicional. De igual forma, el docente enriquece su gama

de estrategias dirigidas al uso de un lenguaje visual que le dé sentido a las abstracciones,

para potencializar las habilidades de sus estudiantes en relación a demostrar, explicar,

ejemplificar, modelar y generalizar a partir de analogías, es decir, recapturar el mundo real

y abrirlo al estudiante en el interior del aula con amplias posibilidades de interacción y

manipulación de representación de conceptos y modelos abstractos.

Pertinencia

El pensamiento matemático asociado al componente variacional implica un proceso lento

y complejo, debido a que integra otros de tipo numérico y geométrico. Es precisamente por

lo anterior, que resulta tan importante su desarrollo, por cuanto es la base para la

generalización y modelamiento de otras situaciones de la vida cotidiana como las que se

pretenden alcanzar a través de este proyecto de investigación que se centra en las

funciones y ecuaciones trigonométricas.

El MEN (2006) sostiene en los Estándares básicos de competencias en matemáticas que:

En las situaciones de aprendizaje que fomentan el desarrollo de este tipo de

pensamiento, también se dan múltiples oportunidades para la formulación de

conjeturas, la puesta a prueba de las mismas, su generalización y la argumentación

para sustentar o refutar una conjetura o una propuesta de generalización, todo lo

cual se relaciona con el pensamiento lógico y científico (p. 68).

Para poder alcanzar lo propuesto por el MEN es necesario partir del uso de las diferentes

representaciones matemáticas como: gráficas, tablas, ecuaciones, inecuaciones que

hacen posible el tratamiento con situaciones de variación y dependencia en la resolución

de problemas desde una perspectiva más práctica y dinámica.

La enseñanza de las funciones, ecuaciones y aplicaciones de la trigonometría ha estado

marcada por un predominante modelo de enseñanza tradicional, en el cual el análisis y

solución de casos en contextos no toman la profundidad y trascendencia que deberían

1

0


merecer. En contraste, la utilización del Geogebra como mediador del conocimiento,

permite visualizar el comportamiento de los lugares geométricos, variación de parámetros

en tiempo real, de tal manera que el estudiante tenga la posibilidad a partir de la

visualización de encontrar las regularidades geométricas asociadas a dichos movimientos.

En el mundo de las nuevas tecnologías en el que nos encontramos, se debe promover un

creciente interés por diseñar, desarrollar e implementar variadas herramientas didácticas

o tecnológicas que dinamicen el proceso de enseñanza y estén al alcance y acceso de los

docentes. Además, con el presente trabajo se busca incrementar el material disponible

para convertir las actividades en clase en verdaderas experiencias significativas.

Académicos como Gravina (1996) y Zulatto (2002), citado en Maroni (2013) aseguran que

los ambientes de geometría dinámica pueden ser herramientas riquísimas en la superación

de las dificultades de los alumnos, los cuales son inherentes al proceso de enseñanza y

de aprendizaje de contenidos matemáticos. Para lograr establecer un puente entre las

ideas intuitivas y los conceptos formales se hará uso de las potencialidades didácticas del

Geogebra como mediador de la construcción del conocimiento.

Viabilidad

En relación a los medios tecnológicos y audiovisuales con los cuales cuenta la Institución

Educativa Ana Elisa Cuenca Lara, esta posee un aula de clase por docente dentro de las

aulas hay un televisor de 54 pulgadas, computadores minis por cada estudiante y no se

cuenta con el servicio de conexión a internet. Con los recursos suministrados por la

Institución Educativa es posible enfrentar el reto de diseñar e implementar estrategias que

involucren la tecnología, elaborar material manipulable, que permitan la construcción de

un aprendizaje significativo para el grupo de estudiantes.

Adicionalmente, se tiene el apoyo de los directivos docentes y padres de familia de la

institución educativa para la planeación, diseño, implementación y ejecución de este

proyecto. Al igual, se cuenta con el recurso humano para el desarrollo de este, es decir,

del grupo estudiantil. Por otro lado, también se dispone del tiempo suficiente para el

desarrollo completo del mismo.

Capítulo 1 11

1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo General

Diseñar actividades de aprendizaje que incorporen el uso de la GD como estrategia de

mediación cognitiva para el desarrollo del pensamiento variacional en lo que respecta a los

procesos de reconocimiento y comprensión de variables, tratamiento y conversión de

sistemas de representación, la modelación y la generalización asociados al estudio de las

funciones y ecuaciones trigonométricas.

1.3.2 Objetivos específicos

Diseñar una propuesta didáctica que implique el diseño de actividades de aprendizaje

que contribuyan al fortalecimiento de procesos asociados al PV, mediante el abordaje

y solución de situaciones que involucren el uso de funciones y ecuaciones

trigonométricas y la incorporación de la GD.

Realizar un estudio de coherencia interna de las actividades de aprendizaje propuestas

de acuerdo a los procesos asociados al pensamiento variacional que son objetos de

estudio.

2. Capítulo II. Marco referencial

2.1 Marco epistemológico

A lo largo de este componente de trabajo se aborda la construcción epistemológica que

dio lugar a la consolidación del concepto de la trigonometría. De esta manera, es posible

reconocer y ampliar la base de significaciones dadas a los conceptos y procesos

matemáticos a partir del análisis de las situaciones señaladas en la historia y en la

epistemología.

Por lo tanto, hace referencia algunos de los problemas del conocimiento científico

relacionados con las circunstancias históricas y funcionales que conllevaron a su

obtención. De acuerdo a lo que afirma Klimovsky, G. (1994), cualquier saber científico ha

sido el resultado de una construcción que involucra problemas particulares producto del

pensamiento de la humanidad, en nuestro caso el de las razones y funciones

trigonométricas.

Es a través de un análisis detallado de los distintos estudios especializados en torno a los

conceptos trigonométricos como pretendemos comprender las condiciones y

problemáticas que facilitaron la emergencia y evolución de dicho conocimiento. Estos

nacen ante la necesidad de explicar fenómenos de la naturaleza que inicialmente

estuvieron relacionados con la astronomía, física y química, seguidos por el análisis del

movimiento, el calor, el sonido y otros más.

Lo anterior, indudablemente implica, la clasificación en el tiempo de las diferentes épocas

y culturas que dominaron el desarrollo de la trigonometría, además de la ubicación de los

personajes más representativos y las preguntas que fueron planteadas. Este fenómeno

permite el avance de nuevos conceptos científicos que tienen como cimiento nociones

previas o incluso en oposición a estas.


Época empírica:

Los babilonios, alrededor de los 3500 a.C., logran realizar la división de la circunferencia

en 360 arcos iguales, de esta manera, se da origen al grado, pues tenían un amplio

desarrollo del sistema de numeración posicional en base 60 o sexagesimal. Es así como

se van sentando los fundamentos de la trigonometría. Más adelante, esta cultura intentaría

establecer una relación entre el curso del Sol y la Luna, puesto que estos astros no tienen

un periodo entero de días. Con la anterior correlación, pretendían conocer y predecir el

tiempo cronológico de las estaciones.

Desde hace 4 milenios de nuestra era, la civilización egipcia nutrió el camino del progreso

de la trigonometría a través de los siguientes eventos: la construcción de grandes

pirámides y monumentos, el acercamiento al valor de 𝝅 (3,160), la dedicación por resolver

problemas de geometría a partir de la medida de áreas de figuras planas (cuadradas,

triangulares, circulares, etc. ) y el volumen de cuerpos semiesféricos como los planteados

en los papiros de Rhind y Moscú. Al igual que los babilonios encontraron varios obstáculos.

Para dar solución a esto, fijaron que un año solar contenía 12 meses de 30 días, lo cual

implicaba que al cabo de 120 años el retraso sería de 1 mes, razón por la que deciden

agregar 5 días para un total de 365 días.

El interés que ha suscitado en los seres humanos el intento por explicar y comprender los

fenómenos celestes (leyes que rigen su comportamiento), el origen del universo y conocer

todo lo que este contiene, han sido preguntas que han desarrollado el pensamiento

científico de la especie humana, tanto de manera práctica como teórica.

Época concreto-abstracta:

Esta etapa corresponde a la ubicada en el periodo de tiempo del nacimiento de la

civilización griega, la cual se caracterizó por la formulación de hipótesis en el método

científico, por ello, la lógica es introducida a la geometría, hasta incluso llegar a convertirse

en lo que luego se conocerá como demostración con un buen desarrollo axiomático y

deductivo. De modo similar a la cultura egipcia y babilónica, la geometría sirve de base

para lograr un entendido de la visión cosmológica.

Capítulo 15

Entre los años 640 y 569 a. C., el mayor avance en el desarrollo de la ciencia estuvo en

manos de la creación de grupos de estudio o instituciones académicas. En estas, a

filósofos como Tales de Mileto se le atribuye la introducción de la geometría en Grecia a

través de nociones como: todo círculo queda dividido en dos partes iguales por su

diámetro, los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales, los ángulos

opuestos al vértice son iguales, los lados de dos triángulos semejantes son proporcionales,

aunque sus áreas no lo sean y la demostración de varios teoremas.

Entre los discípulos de Mileto se tienen a: Anaximandro, reconocido por afirmar que la

tierra era cilíndrica y estaba en el centro del universo; Anaxágoras, quien sostenía que el

sol era una masa similar en tamaño a Grecia constituido de un metal incandescente;

Pitágoras de Samos, conocido por acercar la astronomía a la geometría a través de la

construcción de las “figuras cósmicas” o también llamadas poliedros regulares como el

tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Por otra parte, la escuela

Pitagórica posiblemente influyera sobre Hipócrates de Chíos, quien se destacó por realizar

distintos avances en tres grandes problemas matemáticos como: la duplicación del cubo,

la cuadratura del círculo y la trisección de un ángulo.

Época de la experimentación:

En este momento de la historia, los pensadores griegos manifiestan abiertamente sus

posturas ideológicas en concordancia con un fundamento que para ellos resultaba válido,

el cual correspondía a la elaboración de experimentos y formulación de reflexiones que

luego se consolidarán como teorías.

Uno de los grandes expositores de esta época es Platón, discípulo de Sócrates, quien

cerca del año 428 a.C se formó en Egipto en Astronomía y junto a los Pitagóricos de

Tarento en geometría, fundando así la Academia. Su concepto de universo está regido por

la idea de que la Tierra (con forma esférica) se encuentra en el centro una esfera de mayor

tamaño que corresponde al cosmos, lo cual, defiende el postulado de que todo aquello que

sea invariable es verdadero, excluyendo la física del dominio de la ciencia.

Su pupilo Eudoxo, hace su mayor contribución a las matemáticas a través del desarrollo

de la teoría de proporciones. Según Boyer (1999), es altamente posible que este


astrónomo griego hubiese utilizado las razones y medida de los ángulos para intentar

calcular el tamaño de la Tierra y las distancias relativas del sol y la luna.

Época del análisis:

Este periodo de tiempo es considerado la cúspide de la naciente trigonometría, pues

estuvo caracterizado por la mezcla entre el saber Helénico y las escuelas filosóficas con

el saber oriental en las áreas de matemáticas y la astronomía egipcia.

Con Aristarco de Samos, en el año 310 a. C. se tiene la primera evidencia del empleo de

la geometría con fines trigonométricos, al interesarse por investigar los tamaños relativos

del Sol, la Luna y la Tierra. Además, encontró que el único astro capaz de eclipsar a todos

los demás, incluso a las estrellas, era la Luna.

Otra de las evidencias en el avance de la trigonometría, está marcada por los estudios

adelantados por Euclides en el año 300 a.C., los cuales, a pesar de no ser estrictamente

trigonométricos, sí fueron elaborados bajo un lenguaje geométrico de teoremas

equivalentes a leyes o expresiones trigonométricas hoy conocidas. No obstante, según lo

señalado por Ortiz (2000, citado por Caballero, 2013), Euclides no trabajó con rigurosidad

científica en su anhelo por comprender los fenómenos desde una perspectiva geométrica.

Hiparco de Nicea es considerado como el creador de la astronomía matemática y de la

trigonometría. Presenta grandes aportes como: introducción a la noción de latitud y

longitud, método para resolver triángulos a partir de la tabla de cuerdas, y la división del

círculo en 360 grados. En astronomía, describió el movimiento aparente de las estrellas,

calculó un periodo de eclipses, la distancia a la luna a partir de la observación de un eclipse

y desarrolló un modelo teórico para el movimiento de la luna apoyado en epiciclos.

En los siguientes 2 siglos la producción científica fue escasa. Los aportes de Tolomeo en

relación al desarrollo de la trigonometría esférica son destacables. Puesto que alrededor

del siglo II d.C. desarrolla la obra Almagesto (libro referencia de la astronomía), en esta se

demuestran teoremas necesarios para la solución de problemas relacionados con el

movimiento de los cuerpos celestes. Además, estableció una tabla que fijaba los valores

Capítulo 17

de la longitud de las cuerdas en función de los arcos de la circunferencia que subtiende,

hoy conocida como la tabla de senos.

Época del verdadero espíritu científico:

Algunos analistas consideran que la trigonometría, tal como se conoce hoy en día, fue

establecida por los árabes, quienes apoyados en los adelantos logrados por los hindúes,

le dieron forma a las funciones trigonométricas, dedujeron el teorema del coseno y

establecieron tablas muy precisas y útiles en otros campos como la astronomía. Quizás

uno de sus aportes más notable fue la de tomar r=1 en la circunferencia con centro en el

origen.

Cerca del siglo IX, por cuenta de Al-Kwarizmi se construyen las primeras tablas de valores

del seno, coseno y tangente con alta precisión. Tiempo después, el matemático árabe Al-

Marwazi elabora la primera tabla de contangentes. Al astrónomo Al-Battani se le reconoce

por dar los primeros pasos hacia la incorporación del álgebra y no solo de la geometría en

la trigonometría (Bell, 2016). Por ello, su trabajo se centra en el estudio e indagación de

las relaciones matemáticas trigonométricas, entre ellas se destacan: la definición de las

razones tangente, secante, cosecante y la expresión pitagórica de la secante.

En particular, el matemático Abu Al-Wafa, en el siglo X, había realizado un estudio

minucioso de las 6 funciones trigonométricas hasta llegar a compilar tabla de valores con

8 decimales de precisión para intervalos de 4°. Además, estableció la relación algebraica

del seno de la suma o resta de dos ángulos, la fórmula del seno para la geometría esférica,

el seno y coseno de ángulos dobles, preparando el terreno para un cambio en la

percepción del mundo.

En la plenitud del ocaso de la ciencia árabe del siglo XIII, el matemático y astrónomo iraní

Nasir al Din Tusi desvincula la trigonometría de la astronomía, haciéndola una ciencia

completamente independiente a partir de su obra: Tratado del cuadrilátero, en la que se

presentaban los 6 casos distintos de ángulos rectos en un triángulo esférico.

En 1467, durante la renovación cultural propia del renacimiento, el alemán Müller

Regiomontano continúa profundizando en la consolidación de las bases de la


trigonometría. Logra establecer la definición del seno a partir de los conceptos geométricos

básicos, incluso, expone cómo resolver un triángulo plano o esférico usando el seno del

ángulo o el seno de su complemento, también conocido como el coseno.

Próximos a la primera mitad del siglo XVI, la astronomía incursiona en los terrenos de la

física, dejando atrás la geometría. Mientras tanto, el matemático francés Fraçois Viète da

a la trigonometría un cambio importante al admitir procesos infinitos en su tratamiento con

métodos algebraicos. Simultáneamente, en 1614 John Napier inventó los logaritmos, lo

cual simplificó considerablemente los cálculos trigonométricos.

Época de la verdadera revolución del pensamiento científico:

Para cerca del siglo XVII, la ley de variación y la función se convierten en el corazón de la

investigación de la ciencia, por ello, la matemática redefine su objeto, fundamentos y

métodos. Una muestra de lo anterior fueron los trabajos adelantados por Newton en la

ciencia del movimiento. Allí es notorio el cambio en la manera del empleo de la

trigonometría, puesto que Newton sustituye las tablas por la relación entre el ángulo y el

área bajo la curva, al realizar estudio de las curvas, trayectorias y expresiones analíticas

(Cantoral y Farfán, 2003); además, aplica métodos diferenciales a las curvas de las

circunferencias y a la elipse como trayectoria.

Un siglo más tarde, sería Euler quien definiría la función exponencial para números

complejos y descubrió su relación con las funciones trigonométricas. También, reconoce

las cantidades trigonométricas como relaciones funcionales trascendentes, investiga las

propiedades periódicas de este tipo de funciones y establece relaciones trigonométricas

básicas. Katz (1987) da una apreciación diferente a las propiedades como la periodicidad

y los valores de las cuerdas en las relaciones trigonométricas, los cuales estaban ligadas

a la explicación y descripción de fenómenos astronómicos como la posición de los

planetas.

Montiel (2011) manifiesta que esta rama de la matemática junto con la medición se sirve

de base para el desarrollo de la astronomía, especialmente, a través de la identificación

de los periodos en los fenómenos celestes en conjunto con la práctica empírica y la teoría

predictiva. De esta manera, la trigonometría analítica le da un gran impulso al estudio del

Capítulo 19

infinito como quehacer de la matemática, esta última, constituye el mecanismo para

describir y analizar el mundo físico.

Luego de hacer una revisión de los variados eventos culturales desde sus inicios en torno

al intento por construir un modelo a escala de acuerdo a la reunión de datos empíricos de

una realidad que está fuera del alcance de sus manos, van consolidando las bases de todo

un cuerpo teórico que más adelante se llamaría trigonometría.

Reconstruir la historia constituye un potencial en el recurso didáctico muy amplio, pues

como menciona De Guzmán (2001) “la historia le puede proporcionar (al maestro) una

visión verdaderamente humana de la ciencia y de la matemática, de lo cual suele estar

también el matemático muy necesitado” (p. 14). Lo anterior permite “al docente realizar

aquello que Chevallard (1991) califica como ‘transposición didáctica’” (Caballero, 2013, p.

2), es decir, colocar al nivel de los estudiantes dentro del aula, las complejas teorías propias

de la disciplina científica.

2.2 Marco de antecedentes

En este apartado se realizará una recopilación en el ámbito internacional, nacional y local,

de los proyectos de investigación más representativos y afines al trabajo en cuanto a

temáticas trigonométricas, enfoque metodológico y los recursos empleados, como lo es el

uso de sofware libre de geometría dinámica.

2.2.1 Secuencia didáctica para enseñar trigonometría con el sofware Geogebra, elaborado por María Maroni Lopes en el programa de maestría en Enseñanza en Ciencias Naturales y Matemáticas en la Universidad Federal de Río Grande del Norte (UFRN)

En el trabajo titulado: Secuencia didáctica para enseñar trigonometría con el software

Geogebra, elaborado por Maria Maroni Lopes en el programa de maestría en enseñanza

en ciencias naturales y matemáticas en la universidad federal de Río Grande del Norte

(UFRN) en el 2013. El cual tiene como objetivo la presentación de un cuaderno de

actividades para su uso en el aula en los niveles de primaria y secundaria, además, del


análisis de las potencialidades y limitaciones del software Geogebra en los procesos de

enseñanza y aprendizaje.

En el desarrollo de este proyecto, se adoptan los conceptos de didáctica de las

matemáticas a partir del uso de tecnologías de la información y comunicación empleando

recursos relacionados con la geometría dinámica, tales como la construcción, dinamismo,

indagación, visualización y argumentación.

Para ello, los datos fueron recolectados de estudiantes de segundo grado de secundaria

en una institución pública a través de un cuestionario sobre sus conocimientos en relación

con las herramientas TIC. Previamente, y debido a la poca profundidad de los

conocimientos de los conceptos básicos de geometría, se hizo necesaria la interacción con

actividades de familiarización con Geogebra referida a algunas propiedades características

de los triángulos. El siguiente bloque de actividades con contenidos trigonométricos.

Otras de las actividades estaban orientadas a la participación en discusiones entre pares

estudiantiles, las cuales, influyen significativamente, para ello, básicamente debían discutir

y analizar las construcciones proporcionadas, plantear hipótesis e intentar establecer

regularidades.

En definitiva, tal como expone Zulatto (2002), “los entornos de geometría dinámica pueden

ser herramientas muy ricas para superar las dificultades de los estudiantes inherentes al

proceso de enseñanza y aprendizaje del contenido matemático” (citado en Maroni 2013,

p. 635 ), en contraste con el uso de instrumentos como regla y compás que permite la

construcción estática y limita la deducción de generalidades.

Por otra parte, en general, la implementación de recursos informáticos como parte

fundamental de las actividades dentro del aula, posibilita la apertura a nuevos

descubrimientos, desde la comprensión que da sentido al conocimiento matemático.

Lo anterior, se hace posible a través del análisis, observación de regularidades y

establecimiento de relaciones propias de la interacción con representaciones geométricas

dinámicas en el tiempo.

Capítulo 21

2.2.2 Caracterización de los niveles de razonamiento de Van Hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración en el aprendizaje de las razones trigonométricas

En la facultad de Ciencias de la Universidad Industrial de Santander, Danny Luz Algarín

Torres (2013) realizó el trabajo de grado: Caracterización de los niveles de razonamiento

de Van Hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración en el

aprendizaje de las razones trigonométricas. Su objetivo era caracterizar los niveles de

razonamiento de Van Hiele específicamente relacionado con los procesos de descripción,

definición y demostración en el tema de las razones trigonométricas.

La investigación está enmarcada en un enfoque cualitativo, fundamentada en la

recopilación de la información de datos cualitativos como video, grabaciones, hojas de

ejercitación y actuaciones de los estudiantes registrados tanto de forma individual como en

su interacción con los compañeros y docente, los cuales permitan la caracterización de su

avance a través de los niveles de razonamiento en las actividades de enseñanza.

La unidades de enseñanza diseñadas está relacionada con: razones trigonométricas para

triángulos rectángulos; razones trigonométricas de ángulos en posición normal;

representaciones lineales y visualización de las razones trigonométricas y las identidades

Pitagóricas. Estas actividades están encaminadas a lograr la comprensión de conceptos y

relaciones matemáticas luego de que el estudiante pase por procesos de descripción,

definición y demostración.

En general, la implementación de las actividades permitió el avance de los niveles de

razonamiento en los estudiantes, desde la descripción de los objetos matemáticos, con la

generalización de sus características hasta el uso de definiciones para argumentar una

demostración.

Por otra parte, se logró evidenciar que el uso de la tecnología favorece el análisis, la

generalización, validación de conjeturas, la deducción de propiedades, al facilitar la

discusión de ideas entre iguales, mientras el docente orienta hacia la construcción de los

conocimientos matemáticos.


Cabe destacar que se confirma que el uso de la tecnología complementaria al rol del

docente como orientador, exhibe un eficiente en el avance de los niveles de razonamiento

de los estudiantes.

2.2.3 Representaciones semióticas como dispositivos para facilitar el desarrollo del pensamiento matemático y científico

Bajo la línea de investigación en educación y sociedad de la Universidad Militar Nueva

Granada, en el 2014, Ciro Antonio Garzón Castillo y Nubia Viviana Rojas Alarcón, elaboran

un proyecto de maestría titulado: Representaciones semióticas como dispositivos para

facilitar el desarrollo del pensamiento matemático y científico, en la cual, se evidencia la

necesidad del uso de estos dispositivos de enseñanza-aprendizaje.

El trabajo depende de los aportes teóricos de algunos autores como: Bruno D’ Amore,

Raymon Duval, Edgar Morín, entre otros fijados dentro del texto, los cuales serán

confrontados con la realidad, lo que corresponde a una investigación aplicada con enfoque

cualitativo y enfoque explicativo.

Los reconocimientos realizados por estos académicos, son considerados como punto de

partida, los cuales están marcados por el empleo de representaciones semióticas como

pilares esenciales para el desarrollo de procesos de enseñanza-aprendizaje en

matemáticas y ciencias naturales.

Las etapas metodológicas avanzaron de la siguiente manera: instrumentos de recolección

de información, conexión entre la dinámica tricerebral del ser humano en los procesos de

aprendizaje mediados por las representaciones semióticas y el diseño de una propuesta

dinamizadora del pensamiento científico y matemático cuyas bases son las dos fases

previas.

En conclusión, resulta conveniente profundizar en el uso y aplicación de las

representaciones semióticas como un recurso pedagógico y didáctico que a través del

constructivismo hace posible el acercamiento a la conceptualización en los estudiantes.

Capítulo 23

Por otra parte, la impresión cerebral dejadas por estos dispositivos representacionales,

transfiriendo este dinamismo cerebral triádico a la conceptualización o interiorización de

los objetos de estudio.

2.2.4 Los sistemas cognitivos artificiales en la enseñanza de la matemática

Luis Alberto Toro, Hugo Hernán Ortíz, Francy Nelly Jiménez y Jairo de Jesús Agudelo

adelantaron la investigación titulada: Los sistemas cognitivos artificiales en la enseñanza

de la matemática con apoyo de la Universidad de la Sabana, tienen por objetivo la

implementación de tecnologías en la enseñanza de la matemática, entendidas como

herramientas de amplificación o reorganización.

La metodología de este trabajo, se centra en el uso de representaciones de carácter

algebraico, gráfico y numérico. Particularmente, se emplea el modelo computacional

representacional de mente (MCRM) propuesto por Thagard (2006), el cual establece la

manera en la cual los individuos realizan diversos procesos cognitivos mientras aprenden

los conceptos.

Teniendo en cuenta que las matemáticas están vinculadas a un alto nivel representacional,

propias de un amplio uso de símbolos para nombrar cualquier objeto matemático, el

referente teórico del trabajo, se fundamenta en la ciencia Cognitiva (CC) propuesta por

Friedenberg (2006), definida como el análisis científico e interdisciplinario del pensamiento.

Por otra parte, volviendo al término de representación, este es equivalente a los términos:

conocimiento, significado, comprensión y modelización. El uso de sistemas de

representación artificial de tipo numérico, gráfico y algebraico permite el estudio de una

situación matemática desde variados enfoques, facilitando el establecimiento de nuevas

relaciones, a partir de la reorganización del pensamiento cognitivo.

En general, la implementación de sistemas cognitivos artificiales (SCA) permite una

comprensión completa del proceso enseñanza-aprendizaje, al lograr una correcta

interiorización y aplicación de los conceptos matemáticos, especialmente en aquellos con

una diversificada forma de representación.


2.2.5 El uso comprensivo de las razones trigonométricas en el planteamiento y resolución de problemas

En el trabajo titulado: El uso comprensivo de las razones trigonométricas en el

planteamiento y resolución de problemas, elaborado por Dwight Oswaldo Escalante Godoy

en la Universidad Nacional de Colombia sede Manizales en el 2018. Su objetivo se centra

en posibilitar la comprensión en el uso de las razones trigonométricas, para plantear y

resolver problemas en los contextos espaciales, de medidas y variación. Además, de

proponer un trabajo de aula que considera el desarrollo de actividades de aprendizaje en

diversos estadios de avance cognitivo, que posibiliten al estudiante un uso comprensivo

de las razones trigonométricas, a partir del planteamiento y resolución de problemas. Y

finalmente, analizar los avances y/o dificultades de los estudiantes, en cuanto a sus

progresos en competencias y procesos asociados al pensamiento matemático.

La investigación propuesta es de corte cualitativo, categoría descriptiva. Para ello, usa

diferentes técnicas estadísticas para describir los datos obtenidos a partir de la búsqueda

de respuestas a preguntas de un fenómeno social, mediante la observación, organización,

representación y análisis de estos. La selección de las variables de estudio, se escogieron

con base en la teoría de George Póyla sobre el planteamiento y resolución de problemas

en 1957, para dar una interpretación y sentido las dificultades a las cuales nos enfrentamos

en el aula en el momento de la enseñanza de las matemáticas. De acuerdo a este modelo,

se trabajó con talleres, para mejorar las destrezas asociadas a la resolución de problemas

típicos de la trigonometría.

Para ello, se aplicaron tres talleres: Construcción de la razón y función trigonométrica, uso

de material manipulativo en el uso comprensivo de las funciones y razones trigonométricas,

resolución de problemas que involucran el uso de las razones y funciones trigonométricas.

El desarrollo de esta propuesta de investigación permitió el aumento de la motivación y el

avance en diferentes estadios cognitivos de los estudiantes, asociados con el pensamiento

espacial, métrico y variacional. Lo anterior, se ve reflejado en la mejora de la comprensión

del uso de las razones trigonométricas, posibilitando a los estudiantes frente a las formas

de enfrentarse a un problema relacionado. El uso de herramientas tecnológicas y la

manipulación de material didáctico, facilita el proceso de aprendizaje, el trabajo en equipo

y el desarrollo de competencias matemáticas.

Capítulo 25

La enseñanza de las matemáticas en la actualidad debe romper los paradigmas del modelo

tradicional, incorporando y utilizando herramientas tecnológicas e informáticas, en la cual

se le dé un sentido y significado a los conocimientos que se aprenden, desde la solución

de problemas de su contexto.

2.2.6 Diseño de una propuesta didáctica en la enseñanza y evaluación de la trigonometría en el grado 10º, mediada por una plataforma virtual en la Institución Educativa Orestes Sindicce

En el 2015, la Universidad Nacional de Colombia con sede en Medellín, desarrolla en

cabeza de Doris Belén Gelves Díaz, el trabajo de investigación titulado: Diseño de una

propuesta didáctica en la enseñanza y evaluación de la trigonometría en el grado 10°,

mediada por una plataforma virtual en la Institución Educativa Orestes Sindicce, el cual se

centró en el uso de la herramienta Moodle. Además, de la identificación de las debilidades

más notorias de los estudiantes en las temáticas de conceptos trigonométricos.

Con respecto al diseño metodológico, el trabajo está enmarcado bajo la concepción de

monografía o estudio de caso, en el cual, se trabajó con un grupo experimental y otro de

control de grado décimo, cuyo enfoque es cualitativo de corte etnográfico.

Las etapas de aplicación del proyecto se estructuraron de la siguiente manera: Inicialmente

se aplicaron encuestas a estudiantes, seguido por encuestas a profesores, la propuesta

de intervención medida por las TIC y simulacro de evaluación. Las actividades educativas

involucran las siguientes temáticas: ángulos dobles y medio, identidades y ecuaciones

trigonométricas, circunferencia y parábola.

A través del análisis estadístico, se logra establecer que hay evidencia de una marcada

diferencia en el promedio de calificación en la evaluación bimestral de los grupos

experimental y de control. Además, al confrontar las notas definitivas para el tercer periodo,

se observa un mejor desempeño académico en el grupo experimental.

Por otra parte, se encontró que se desarrolló otro estilo de aprendizaje, donde los

estudiantes tuvieran mayor concentración y autonomía en sus actividades educativas. El

uso de las herramientas TIC y acceso de una plataforma virtual constituye una novedosa


revolución pedagógica que lleva al estudiante a encontrar nuevas formas de pensar,

aprender y enseñar

2.2.7 Geogebra, una herramienta para la enseñanza de las razones trigonométricas en grado décimo en la IED Leonardo Posada Pedraza

El trabajo de grado titulado: Geogebra, una herramienta para la enseñanza de las razones

trigonométricas en grado décimo en la IED Leonardo Posada Pedraza, elaborado por

Néstor Javier Matta Gualtero en el 2014, con la Universidad Nacional de Colombia en la

sede de Bogotá, el cual tiene por objetivo diseñar y aplicar una propuesta didáctica que

favorezca la enseñanza de las Razones Trigonométricas a partir del uso del GeoGebra.

En coherencia con el enfoque pedagógico de la institución, esta propuesta de investigación

didáctica está enmarcada en un modelo pedagógico de la enseñanza para la comprensión

desde lo curricular. Además, esta fue fundamentada en la mediación de las TIC. Este tipo

de enfoque, no significa únicamente adquirir conocimientos y desarrollar algunas

habilidades mecánicas, además, fortalecer el desarrollo de capacidades asociadas a la

explicación, demostración, ejemplificación, generalización, establecimiento de relaciones

similares, etc.

En lo que respecta al uso de las TIC, esta herramienta está orientada a recapturar el mundo

real y colocarlo al nivel de los estudiantes desde la posibilidad que tiene de interacción y

manipulación con diferentes y variadas representaciones de conceptos y modelos que

frecuentemente resultan abstractos para los estudiantes.

El diseño de la propuesta didáctica consta de una primera etapa de experimentación y

familiarización con el ambiente de Geogebra. La siguiente etapa contiene el diseño de 5

applets buscando la conceptualización a partir de preguntas enfocadas en temas como

razones trigonométricas de un ángulo agudo, signos de las razones en cada cuadrante,

razones para ángulos de referencia y gráfica de las funciones trigonométricas.

En general, esta estrategia constituye una alternativa innovadora para la enseñanza de la

trigonometría, pues, facilitó el proceso de enseñanza del docente y el de aprendizaje de

los estudiantes, al interactuar con representaciones dinámicas. Por otra parte, la

Capítulo 27

implementación de este tipo de Software resulta motivador para la construcción de

conocimiento significativo en los estudiantes, puesto que favoreció la transición a través

de los distintos sistemas de representación gráfico-analítico a lo numérico-simbólico.

2.2.8 Diseño e implementación de un curso virtual de trigonometría básica utilizando redes sociales y otras herramientas TIC: estudio de caso en grados undécimo de dos colegios oficiales de Puerto Asís

En el trabajo titulado: Diseño e implementación de un curso virtual de trigonometría básica

utilizando redes sociales y otras herramientas TIC: estudio de caso en grados undécimo

de dos colegios oficiales de Puerto Asís en el 2014, por parte del docente Alexandro

Damián Solarte Pérez en la Universidad Nacional de Colombia con sede en Manizales,

estaba orientado a analizar el impacto en los procesos de enseñanza aprendizaje, a través

de la implementación de un curso virtual de trigonometría básica haciendo uso de las redes

sociales y otras herramientas TIC.

El enfoque de ese trabajo de investigación acción es de carácter cuantitativo, en la cual,

se realiza de forma preliminar una prueba diagnóstica y luego de culminado el curso virtual

de trigonometría básica se realizó una evaluación final para medir la apropiación de

conceptos asociados a un aprendizaje significativo.

Las etapas del proceso se desarrollaron de la siguiente forma: prueba diagnóstica,

inducción al curso, avance de la parte conceptual de trigonometría, ángulos, triángulos,

clasificación, propiedades, teorema de Pitágoras, razones, funciones, lineales y

ecuaciones trigonométricas, a través de la manipulación de aplicaciones en Geogebra.

Finalmente, se realiza una evaluación, con el fin de confrontar los datos obtenidos con los

iniciales.

Es importante destacar el uso de la plataforma de Facebook, diseño de mapas mentales

en la herramienta CmapTools, Geogebra, You Tube y formularios de Google.

En general, se evidenció que los estudiantes requieren de la supervisión personalizada

debido a que solo la tercera parte de los que se inscribieron, culminaron el curso. Por otra


parte, es fundamental concientizar a los estudiantes en ser participantes activos en su

proceso de aprendizaje.

2.2.9 Enseñanza de los conceptos básicos de la trigonometría mediante el uso de tecnología informática

Este trabajo hace parte de la amplia gama de investigaciones orientadas por la Universidad

Nacional de Colombia sede Manizales, en la facultad de Ciencias Exactas y Naturales,

desarrollada en el 2013 por Héctor Herney Herrera Castañeda.

Establece como objetivo, el diseño de una propuesta didáctica para fortalecer los procesos

de enseñanza-aprendizaje de la trigonometría a partir del uso de herramientas informáticas

en la plataforma e-learning. La investigación tiene un corte cualitativo en el que vincula el

entorno natural de los estudiantes y su contexto, con un alcance exploratorio-descriptivo,

puesto que pretende describir o analizar la perspectiva de una población estudiantil acerca

de la repercusión actitudinal y cognitiva del conjunto de herramientas metodológicas

aplicadas.

En lo que respecta a la estructura de las actividades interactivas, estas se encuentran

relacionadas fundamentalmente con las funciones trigonométricas, además de una

evaluación permanente durante la realización de las unidades de aprendizaje diseñadas.

A partir de la aplicación de esta propuesta de investigación se evidencia que el uso de

herramientas digitales hace de las clases, muy productivas, participativas en las cuales se

puede avanzar didácticamente en las temáticas planteadas. Además, el estudiante gana

confianza a través de la exploración de variados escenarios donde pueden verificar o

confrontar sus hipótesis de forma rápida sin necesidad de realizar construcción engorrosa

con lápiz y papel.

2.2.10 Ruta de apoyo pedagógico para la enseñanza de geometría y trigonometría, en el curso ‘Matemáticas básicas’

Omar Gómez, en el 2011, en apoyo de la facultad de ciencias realiza un informe de práctica

titulado: Ruta de apoyo pedagógico para la enseñanza de geometría y trigonometría, en el

curso ‘Matemáticas básicas, de la Universidad Nacional de Colombia sede Medellín. Su

Capítulo 29

finalidad abarca no solo facilitar el aprendizaje de los estudiantes, sino, también dar más y

mejores herramientas a los docentes en su proceso de enseñanza, en las temáticas

relacionadas con la geometría y trigonometría.

Su diseño metodológico es cualitativo, de tipo descriptivo, se desarrolló a través de las

siguientes etapas: una preliminar de recolección de información sobre la interacción con

los estudiantes y evaluación acerca de los conocimientos sobre el tema central, diseño y

aplicación de los instrumentos de recolección y sistematización de datos, estructuración

del informe y finalmente se realizó un análisis profundo de la información para construir la

propuesta metodológica.

Esta última, se implementa a partir de la conceptualización, la cual fue directamente

aplicada a situaciones problemas y ejercicios del área, permitiendo el trabajo individual y

en equipo entre estos pares estudiantiles.

Vale la pena destacar que en esta propuesta participaron los estudiantes del grupo 15 de

pregrado de Ingeniería Mecánica cuyas edades oscilan entre los 16 y 22 años,

provenientes de instituciones privadas y públicas porcentualmente aproximadas.

A partir del establecimiento de las fortalezas y debilidades de los objetos de estudio, se

realiza el diseño de una propuesta en la cual converge la geometría plana, espacial y

trigonometría, que busca desarrollar competencias como: formulación y resolución de

problemas, manejo del lenguaje algebraico, desarrollo de algoritmos para la solución y

verificación o evaluación de resultados y su pertinencia en el contexto.

2.2.11 Reflexión sobre el marco de antecedentes

Luego de realizada la revisión documental de antecedentes fue posible tener una visión

más completa de los elementos, referentes metodológicos, necesidades y herramientas

disponibles que potencialmente puedan facilitar el proceso de enseñanza-aprendizaje de

los contenidos temáticos relacionados con la trigonometría, a través del uso mediador de

Geogebra como Software libre.


Por ello, en el presente trabajo, se ha privilegiado el uso del Geogebra como mediador

cognitivo y didáctico a partir del uso de las potencialidades de la geometría en movimiento,

las cuales, además, suponen un amplio grupo de representaciones semióticas que facilitan

las asociaciones cerebrales para la consolidación de un conocimiento significativo

producto del constructivismo pedagógico

2.3 Marco teórico

En este marco se puede encontrar un compendio de la teoría de la educación en la

enseñanza-aprendizaje de las matemáticas que son soporte académico para el desarrollo

de este proyecto de investigación, de igual forma, se aborda lo relacionado con la

fundamentación cognitiva del currículo, potencialidades de la geometría dinámica, teoría

de las representaciones semióticas de Duval, errores y dificultades comunes en la actividad

matemática entre otros que son de relevancia para el trabajo.

2.3.1 Teoría de la educación según Vygotsky

Para Vygotski, el conocimiento es producto de un proceso de interacción entre el sujeto y

el medio social y cultural que lo rodea. Es decir, los nuevos conocimientos se generan

desde los esquemas de la persona asociados a su realidad, pasando por interrelación con

las estructuras mentales de los individuos de su alrededor.

Probablemente, uno de los aportes más importantes de su teoría se encuentra en

considerar al sujeto como un ser eminentemente social, donde el conocimiento es producto

de un constructivismo de este tipo. Además, siendo igualmente importante, es su

consideración de que, a través de su contexto, las personas son capaces de desarrollar

procesos psicológicos y cognitivos superiores como: la comunicación, el lenguaje, el

razonamiento entre otros. De allí, su apreciación de que, a mayor interacción social, mayor

conocimiento, más funciones mentales potentes.

En general, la construcción del pensamiento de una función se produce a través en un

nivel social inicial o interpsicológico donde se genera el intercambio con el medio social e

interactúa con otras personas, seguido por uno a nivel personal o intrapsicológico en la

cual el sujeto se da sentido a los signos sociales. En este momento, es importante resaltar,

su consideración de que la atención, la memoria y la formulación de conceptos parten de

Capítulo 31

ser una manifestación social que luego se transforma progresivamente en un atributo de

la persona.

Este psicólogo expone en su teoría que el aprendizaje ocurre fuera de los límites de la

zona de desarrollo próximo, es decir, esta corresponde a

la distancia entre el nivel de desarrollo, determinado por la capacidad de resolver

independiente un problema y el nivel de desarrollo potencial, determinados a través

de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración con un

compañero más capaz (Vygotski, 2009, p. 133 ).

2.3.2 Fundamentación cognitiva del currículo de matemáticas

Las corrientes teóricas sobre el aprendizaje de la educación matemática han sufrido

grandes transformaciones en el tiempo, desde el enfoque del conductismo, Piagetiano,

Vigotsky, constructivismo, entre otras. En la actualidad la fundamentación cognitiva del

currículo de matemáticas continúa enfrentando grandes retos relacionados con responder

a las necesidades educativas presentes y futuras asociadas con el fortalecimiento de

actividades de aprendizaje orientadas hacia la generalización, la sistematización y la

abstracción. Además, se debe entender que la estructura curricular no puede depender

exclusivamente de los contenidos temáticos, se necesita la incorporación de instrumentos

de aprendizaje que construyan estructuras cognitivas de gran adaptabilidad a lo novedoso.

En el enfoque conductista se refuerza un proceso mecanicista que no permite la

consolidación de aprendizajes complejos, pues se basa en un modelo estímulo-respuesta.

Posteriormente, en el enfoque Piagetiano se considera que el sujeto tiene un carácter

activo dentro de su proceso, con respecto al profesor, es un mediador entre los

conocimientos y el aprendiz, el cual, facilita el descubrimiento del conocimiento y la

gestación del saber y saber-hacer.

El movimiento constructivista en la educación se caracteriza por ubicar una definición y

desarrollar unos contenidos dentro de un contexto o realidad cercana a la que viven los

estudiantes, en este aprendizaje se genera la modificación de procesos mentales e

intelectuales.


Otro de los puntos de vista que ha definido el proceso de enseñanza y aprendizaje de las

matemáticas es el de las interacciones cognitivas. Entendiéndose esta como aquella que

posiciona en primer plano el papel del confrontamiento sociocognitivo dentro de la

construcción del conocimiento ya sea generado a partir de interacciones simétricas o

asimétricas. Es decir, la interrelación entre los participantes permite comparar argumentos

y coordinar la formulación de una única respuesta que integre aquellas deducciones que

representen un verdadero progreso cognitivo.

Por otra parte, la mediación instrumental se basa principalmente en el uso de sistemas de

representación semióticos, lo cual, ha permitido la modificación de la estructura cognitiva

fuertemente ligada a esta actividad (Wertsch, 1993). Las presencias de estos sistemas

posibilitan la transformación conceptual ligada al desarrollo de las matemáticas, puesto

que se maneja de forma articulada el objeto matemático y sus representaciones.

Es por ello, que la formulación curricular de matemáticas, debe estar dirigida a lograr

desarrollar procesos como la abstracción, la generalización y la inferencia asociados al

pensamiento matemático, los cuales se pueden lograr a través del uso de la tecnología en

el aula. Estas herramientas dan sentido a la organización y la mate matización de

situaciones que ante los ojos de los estudiantes carecen de comprensión, es decir, de esta

manera se establecen conexiones entre distintos fragmentos de conocimiento.

2.3.3 Uso de las tecnologías en el aula

La existencia de software de visualización geométrico-matemático ha ampliado las formas

de representación de situaciones de variación, a su vez ha permitido generar otros

sistemas de representación a partir de uno. El uso de herramientas como Geogebra dentro

del aula proporciona la construcción de una red de ideas y conceptos que den sentido a

nociones de cambio que en muchas ocasiones son tratadas de forma abstracta, puesto

que potencializa los procesos de razonamiento, comunicación y modelación.

Este tipo de programas dan la posibilidad de establecer relaciones de dependencia que se

mantienen en el tiempo, sin importar las variaciones de la posición del objeto matemático.

Lo anterior, se refuerza a través de lo manifestado por autores como Artigue (2002);

Souchard (2006) o Haspekian & Artigue (2007), quienes sostienen que: “...sobre todo en

Capítulo 33

la educación, las TIC poseen un valor de construcción de conocimiento y otro de eficacia

a partir de una suerte de transposición tecnológica adecuada y pertinente” (Citado en

Forero Hernández, 2013, p. 62).

Los docentes están preparados para rediseñar continuamente las herramientas didáctico-

pedagógicas, las cuales se circunscriben a las necesidades y condiciones dentro de la

institución en la cual labora con el propósito de mejorar la enseñanza de las matemáticas.

De allí la importancia de su intervención en el proceso de enseñanza, tal como lo expresan

pedagogos: “...Sin embargo, la idea de que los computadores, por sí solos, crearán una

mejor práctica docente es ‘uno de los mitos de la cultura informática´” (Olson, 1988, citado

en Kilpatrick et al., 1998).

El uso de estas herramientas tecnológicas por sí solas, no aseguran el éxito de la práctica

educativa. Un uso adecuado de estas ocurre cuando son consideradas como un mediador

entre lo que el docente espera enseñar y lo que desea que sus estudiantes aprendan.

Siempre debe existir una intencionalidad al momento de usarlas, permitiendo ir más

adelante de lo que sería en caso de aprender sin estas.

2.3.4 Potencial didáctico de la geometría dinámica

Geogebra, es un software de geometría dinámica, caracterizado por la construcción

permanente de objetos matemáticos cuyas relaciones geométricas fueron establecidas

inicialmente y se conservan sin importar la posición de estas en el espacio. Sus principales

características están asociadas a: el dinamismo o movilidad de las construcciones en el

tiempo, la visualización del rastro de lugares geométricos que son descubiertos.

Cabe destacar que los objetos matemáticos dinámicos brindan fenómenos visuales de

mayor impacto que los dibujos. Además, a través de la manipulación que se le dé a este

en el tiempo, es posible identificar propiedades espaciales que resultan invariantes, lo cual,

sería imposible de percibir en un dibujo. De manera que el entorno de la geometría

dinámica es un espacio abierto a la experimentación que avanza a través de la exploración

hasta llegar a la formulación de argumentos.


La importancia del uso de esta herramienta se evidencia al facilitar el proceso de

reconocimiento de las invariantes de una construcción, la corroboración de las propiedades

que definen y caracterizan los objetos matemáticos a través de la exploración, la

problematización de la visualización de tal manera que surja la necesidad en el estudiante

de explorar, conjeturar, predecir y verificar. La construcción de curvas como lugares

geométricos constituye una forma novedosa de servirse del dinamismo en la enseñanza

de la geometría.

En este trabajo nos centramos en el uso de la dinámica entre la exploración y la

sistematización como potencial didáctico de la geometría dinámica, puesto que facilita el

reconocimiento de las relaciones geométricas. En el uso de este potencial, Geogebra es

entendido como un socio cognitivo que le permite manipular las representaciones de los

objetos matemáticos y atribuirles un sentido. Durante este proceso, se identifican

invariantes, que posteriormente darán lugar a la consolidación de “teoremas” que sirven

de apoyo en la resolución de problemas.

Este medio de visualización posibilita el establecimiento de conexiones entre fragmentos

del conocimiento, lo cual es de gran importancia en la construcción de significados de los

cuales se apropia el estudiante. Este proceso, se estructura de la siguiente manera, se

tiene un objeto geométrico, el cual es modificado mediante el arrastre, permitiendo la

captación de una propiedad más general, la cual puede ser enunciada como una propiedad

general. Este objeto geométrico ha permitido la organización de un conocimiento, que es

resultado de una secuencia de exploración, sistematización de acciones y argumentos

para realizar procesos de abstracción.

Sobre todo, la posibilidad de manipular por medio del arrastre los elementos que

constituyen una figura geométrica, realizar mediciones que posteriormente puedan ser

tabuladas y representadas gráficamente, permite la integración de variados tipos de

representaciones semióticas, asociadas a un alto potencial para interconectar los

conocimientos geométricos con los numéricos y algebraicos.

Conviene reconocer las etapas involucradas en el trabajo matemático, como lo son: la

exploración, la construcción, la argumentación y la demostración. La primera nace en el

momento en que el estudiante se enfrenta al problema, a través de la construcción se

Capítulo 35

ponen de manifiesto las propiedades geométricas involucradas, las cuales, se sirven de

base en la argumentación deductiva hasta finalmente lograr desarrollar con rigor

matemático la demostración.

2.3.5 La visualización como recurso

La visualización se entiende como la habilidad para representar, generar, comunicar,

transformar información gráfica, es decir, corresponde a un proceso mental de amplio uso

en áreas como las matemáticas y ciencias.

El empleo de la visualización constituye un recurso en la asignación de sentido y

significado de conceptos a partir del empleo de estructuras y lenguajes que varían en el

tiempo (Cantoral, 2004). La variación es entendida como la cuantificación de un cambio,

su estructuración es un proceso complejo y lento, debido a la integración de campos

numéricos, geométricos, gráficos, visuales, simbólicos, algebraicos y analíticos. También

requiere de la comprensión de procesos matemáticos como: número, constante, variable,

parámetro, función, límite, continuidad, razón de cambio, convergencia, para tener una

adecuada construcción de la idea de cambio y variación.

La graficación es entendida como una manera de dotar de sentido y significado a las

funciones y sus propiedades matemáticas desde una posición cognitiva. La graficación

permite ir avanzando a través de los diversos escalones de los niveles de desarrollo del

pensamiento matemático con el uso de la visualización en los distintos grados.

A través del uso de este tipo de representaciones visuales, es posible identificar las

características o propiedades que exhiben las variables relacionadas, previo a algún tipo

de movimiento, durante y posterior a este. Por lo anterior, actualmente en la enseñanza

matemática ha tomado importancia el papel de la visualización en el aprendizaje y en la

formación matemática de los estudiantes (Acuña, 2013).

2.3.6 Teorías de la presentación de Raymond Duval

La teoría de registros de representación semiótica propuesta por Duval (1993), establece

la vitalidad del uso de sistemas de representaciones para el fortalecimiento y desarrollo del

pensamiento matemático, incluso él considera que no es posible tener acceso a los objetos


matemáticos sino a través de estas. Dentro del proceso de enseñanza - aprendizaje es

necesario ahondar en la capacidad de traducir la información suministrada a los diferentes

tipos de representaciones, y transitar flexiblemente de una a otra.

Destaca tres aspectos claves en la comprensión de las representaciones como lo son: el

estructural relacionado con la determinación del significado de los signos y presentaciones

de la información, el fenomenológico vinculado con las exigencias psicológicas en la

producción o aprehensión de estos signos y el funcional establecido a partir del tipo de

actividad que se puede desarrollar con las representaciones.

Por otra parte, el uso de un sistema de representación debe hacer posible el desarrollo de

actividades cognitivas, es decir, la formación de una representación identificable,

tratamiento y conversión. Con respecto al proceso anteriormente descrito, asociado al

pensamiento variacional, Duval (1999) señala que:

La primera actividad está relacionada con la expresión de una representación

mental: las representaciones semióticas no solo son indispensables para fines de

comunicación, sino que también son necesarias para el desarrollo de la actividad

matemática misma. Mientras que, las otras dos actividades están relacionadas con

la transformación de las representaciones en otras representaciones. El tratamiento

es una transformación interna, es decir, es la transformación de la representación

en el mismo registro en el que está dada, por otro lado, la conversión es una

transformación externa, o sea, es la representación en un registro distinto al registro

en el que fue dada ( p. 5)

A continuación, se enuncia una situación susceptible de ser transformada en diversos

sistemas de representación semiótica relacionada con el contexto trigonométrico. Tal es el

caso de: Felipe está elevando su cometa aprovechando los vientos de agosto. Él ha

soltado ya 32 m de cuerda y el ángulo que forma esta con la horizontal, es de 60º. ¿A qué

altura, h, se encuentra la cometa?

La representación anterior es de tipo verbal, la cual ha sido transformada a una de carácter

gráfico (Figura 1).

https://www.redalyc.org/jatsRepo/4576/457651376007/html/index.html#redalyc_457651376007_ref7

Capítulo 37

Figura 1. Esquema de la situación. Fuente: Elaboración propia

El empleo de esta última facilita la transición hacia una que utiliza el lenguaje algebraico,

tal como se muestra a continuación:

𝑆𝑒𝑛 𝛽 =ℎ

𝐿,

donde:

𝛽 es el ángulo formado entre la cuerda y la horizontal.

𝐿 es la longitud de la cuerda

ℎ es la altura a la cual se encuentra la cometa

Otorgando los valores suministrados por el enunciado, se puede establecer de la siguiente

manera:

𝑆𝑒𝑛 (60°) =ℎ

32 𝑚,

Ahora apoyados una representación algebraica, la transformaremos en una de tipo

numérica, así:

ℎ = 𝑆𝑒𝑛 (60°) ∗ 32 𝑚;

ℎ = 27,71 m

De igual forma, la situación presentada puede ser analizada a partir de la siguiente

información del comportamiento gráfico y numérico de la función seno (Figura 2).


Figura 2. Representación gráfica y numérica de la función seno. Fuente: Elaboración propia

Calculando un valor aproximado de la altura de la cometa, de la siguiente manera:

ℎ = 0,87 ∗ 32 𝑚 = 27,84 𝑚

Es importante que el estudiante reconozca que, a través del tratamiento y conversión de

los diversos sistemas de representación semiótica, se establecen equivalencias en los

significados de cualquiera de estas. Duval (1992) sostiene que para lograr el paso flexible

de un registro de representación a otros “...parece esencial proponer una tarea que

conduzca a explorar sistemáticamente las variantes posibles de una representación en un

registro y prever, u observar, las variaciones concomitantes de las representaciones en el

otro registro” (citado en Castro, et al., 2017, p. 3). Lo anterior explica que las dificultades o

limitaciones que se presentan en la comunicación existente entre los diversos sistemas de

representación, constituyen el centro del funcionamiento del pensamiento matemático.

Dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje es necesario que el sujeto logre obtener el

estadio de coordinación entre los sistemas de representación semiótica heterogéneos, de

tal manera, que esté en capacidad de distinguir la representación y el contenido conceptual

que está expresa, para lograr convertirlo a otros lenguajes equivalentes.

Capítulo 39

2.3.7 Pensamiento matemático en la estructura curricular de la educación matemática

A lo largo del tiempo, la educación matemática se ha interesado en responder preguntas

como: ¿Qué debe aprender y saber un estudiante de matemáticas? o, ¿cuáles son los

conocimientos mínimos que debe alcanzar un estudiante en su saber en matemáticas? En

los lineamientos curriculares de matemáticas se planteó que estos conocimientos

corresponden al desarrollo del pensamiento numérico, espacial, métrico, variacional y

aleatorio.

El docente de esta especialidad evidencia en los estándares básicos de competencias,

que el MEN (2006) ha propuesto en las matrices de contenidos la no aparición de temas,

sino procesos asociados a cada uno de los pensamientos. Allí también se articula de forma

transversal y permanente en el proceso de enseñanza-aprendizaje al pensamiento lógico.

Por lo tanto, la preocupación en el quehacer pedagógico no debe estar orientado a la

enseñanza de contenidos, por el contrario, se debe buscar que el estudiante desarrolle

diferentes formas de pensamiento en la comprensión y solución de situaciones problemas

de su entorno.

La comprensión que se tiene sobre los números, operaciones y la flexibilidad para emitir

juicios matemáticos están enmarcados dentro del pensamiento numérico y sistemas

numéricos. En cambio, aquel que se relaciona con las representaciones mentales de los

objetos espaciales, sus relaciones y transformaciones corresponde a habilidades propias

del pensamiento espacial y sistemas geométricos.

El pensamiento métrico y de sistemas de medidas hace alusión a la comprensión de

magnitudes, cantidades, la medición de estas y el uso habilidoso de los sistemas métricos.

En el campo probabilístico, se encuentra el pensamiento aleatorio y sistemas de datos,

con el cual es posible la toma de decisiones y predicciones en situaciones de

incertidumbre, desde la exploración con rangos de datos, simulación de experimentos y

realización de conteo.


Por otra parte, la capacidad de reconocimiento, percepción, identificación y caracterización

del cambio y variación en diferentes situaciones de contexto, en conjunto con la

descripción, modelación, representaciones: verbales, gráficos, numérico o algebraicos

constituyen el pensamiento variacional y sistemas algebraicos, el cual es objeto de estudio

en este proyecto.

2.3.8 Pensamiento variacional en la enseñanza aprendizaje de las matemáticas

La iniciativa de potencializar el desarrollo del pensamiento variacional en la matemática,

aparece de manera explícita en los lineamientos curriculares, cerca de 1996. Para este

momento, era clara la necesidad de profundizar en el aprendizaje y manejo de funciones

como aquellas que simulan situaciones de cambio, es decir, abrir un campo que vincula

conceptos y procedimientos matemáticos y de otras ciencias, susceptibles de ser

analizados, organizados, modelados y transformados.

Este tipo de pensamiento se manifiesta cuando el individuo es capaz de identificar un

fenómeno de cambio, luego describe e interpreta las características y comportamiento de

las magnitudes presentes, y a partir de estas, logra predecir sus consecuencias de manera

cualitativa y cuantitativa, hasta llegar a la modelación de esta situación.

Las situaciones pueden ser representadas de manera cualitativa a través del lenguaje

escrito, donde el estudiante por medio de la expresión de sus propias palabras se refiere

a lo que está ocurriendo en la situación de cambio y logra establecer conclusiones

deducidas de sus observaciones. De igual modo, lo puede hacer mediante

representaciones gráficas que dan sentido al fenómeno de cambio, o a través de modelos

físicos que simulan a este.

De igual manera, es posible realizar representaciones cuantitativas de las situaciones de

variación y cambio, como lo son: la geometría, tabular en donde el uso de tabla de datos

numéricos sirve como herramienta para presentar los datos de forma gráfica, permitiendo

descubrir patrones de comportamiento y realizar predicciones, algebraica en la cual se

comprenda el comportamiento de las variables relacionadas en la situación de estudio.

Capítulo 41

La práctica pedagógica ha evidenciado que en la medida en que el estudiante pueda

realizar, analizar y describir diferentes representaciones, este se profundizará en la

comprensión y sentido que le da a un fenómeno de variación y cambio. Además, la calidad

del entendimiento de la situación está relacionada estrechamente con el tránsito que pueda

hacer el estudiante a través de las diferentes representaciones.

El pensamiento variacional indiscutiblemente está articulado a los distintos tipos de

pensamientos como: el numérico, geométrico, algebraico, métrico y estadístico, puesto

que no es posible desligar estas de las situaciones de variación y cambio. Este

pensamiento principalmente se interesa por: la variable y el concepto de función,

tratamiento de los sistemas de representación y la modelación variacional.

2.3.9 Procesos asociados al pensamiento variacional

En los lineamientos curriculares de Matemáticas (MEN, 1998) y los Estándares Básicos de

Competencias en Matemáticas (MEN, 2006) se establece que, en la actividad matemática,

los procesos asociados al pensamiento variacional son:

1. Reconocimiento y comprensión de variables: se considera que en este proceso los

estudiantes deben presentar las siguientes habilidades:

- Sacar los datos que sufren cambios o variaciones y los que son invariantes, es

decir, reconoce las nociones de constante, variable, razón o tasa de cambios.

- Reconocer, identificar y caracterizar las variables dependientes e independientes.

- Reconocer las relaciones entre variables presentes en la situación.

2. Conversión y tratamiento de sistemas semióticos de representación: se pretende

que en este proceso el estudiante logre la comprensión fácil de una situación

problema a partir del manejo y transformación de una representación en otra de

cualquier tipo. Este grupo de representaciones pueden ser:

- Figural, el cual puede ser un dibujo o esquema que exhiba lo presentado en el

problema.

- Coloquial o verbal.


- Fenomenológica: en el cual use un objeto de mediación determinado para

representar la solución.

- Ejecutable: es decir, construye la representación del problema en un entorno

tecnológico dinámico.

- Gráfica y tabular: en la cual es capaz de analizar fenómenos de variación

representados en gráficos o tablas.

- Algebraico.

- Numérico-variacional: en la cual el estudiante es capaz de visualizar los cambios

numéricos de las variables que intervienen.

3. Modelación y generalización: cabe destacar que estos dos procesos son

considerados la cúspide del pensamiento variacional. Se evidencia cuando el

estudiante:

- Formula y visualiza un problema en diferentes formas.

- Descubre relaciones y regularidades. Invariantes o patrones.

- Transfiere un problema de la vida real a un problema matemático.

2.3.10 Errores y dificultades de los estudiantes

A partir del análisis de las soluciones elaboradas por los estudiantes de secundaria en

matemáticas, expertos como: Movshovitz-Hadar, Zaslavksy e Inbar (1987, Kilpatrick et al.,

1998) realizaron una clasificación experimental de los errores:

1. Mala utilización de datos: en esta categoría se encuentra los casos en los que es

olvidado algún dato necesario para dar tratamiento a la situación, o se da una

respuesta que no corresponde a lo solicitado, o no hay consistencia entre la

información proporcionada y la asignación de los valores a las magnitudes

relacionadas, o incluso cuando hay confusión en la asignación de valores

numéricos de las variables enunciadas.

2. Errónea interpretación del lenguaje: Ocurre cuando hay una apreciación falsa de

los hechos matemáticos descritos en un sistema representacional. También se

evidencia cuando se expresa en el lenguaje algebraico una relación diferente a la

presentada en el enunciado, o cuando se hace un uso incorrecto de los símbolos

empleados para definir un concepto matemático, o cuando se realiza una

Capítulo 43

interpretación que no coincide con la información suministrada por los términos

gráficos o matemáticos.

3. Razonamientos no válidos lógicamente: Suceden a partir de errores de

razonamiento y no obedecen al contenido teórico. Como por ejemplo deducir lo

contrario a lo establecido en un enunciado condicional, o no comprender los

cuantificadores o incluso, dar saltos en una inferencia lógica.

4. Alteración de definiciones o teoremas: Incluye la aplicación de teoremas sin

respetar las condiciones de uso de este, desarrollar de forma inadecuada una

definición, teorema o fórmulas previamente establecidas.

5. No corroboración de la solución obtenida: Ocurre al no realizar un análisis de la

solución con el enunciado.

6. Errores técnicos: Propios de tomar incorrectamente datos de una tabla, o al

manipular equivocadamente los símbolos algebraicos y otros de carácter

procedimental.

2.3.11 Reflexión sobre el marco teórico

Luego de realizar el barrido histórico de los componentes teóricos descritos anteriormente,

se evidencia la importancia de la fundamentación psicológica del proceso de enseñanza-

aprendizaje asociada fuertemente al componente social y cultural en el que se

desenvuelven los estudiantes. Este trabajo está enmarcado en un ambiente cognoscitivo

de carácter constructivista, el cual, apoyado en el empleo de la visualización como recurso

dinamizador propio de las potencialidades de la geometría dinámica en el Geogebra, se

logra articular de una manera más eficiente la significación de las representaciones

semióticas propuestas por Duval. La transformación de estas representaciones en otras,

permite avanzar a través de los distintos procesos asociados al pensamiento variacional,

disminuyendo así, los errores y dificultades comúnmente presentadas en la actividad

matemática.

2.4 Marco conceptual

En este componente se presenta y describe los conceptos que enmarcan el diseño y

desarrollo del presente trabajo. Lo anterior, permite una comprensión íntegra y consistente

del proceso investigativo sobre el diseño de actividades de aprendizaje orientadas al


desarrollo del pensamiento variacional en el contexto de las razones, funciones y

ecuaciones trigonométricas haciendo uso del Geogebra como mediador cognitivo en uso

de las potencialidades de la geometría dinámica.

2.4.1 Pensamiento matemático

Desde la teoría del desarrollo cognitivo de Piaget (1999, citado en Paltan y Quilli, 2011), el

conocimiento lógico - matemático emerge en el niño a través del pensamiento reflexivo de

las construcciones mentales generadas luego de la interacción con los objetos, avanzando

de lo simple a lo complejo. A lo cual Baroody (2005) agrega que este conocimiento que se

adquiere cuando es procesado, es decir, cuando el niño se ha interrelacionado de forma

significativa con el objeto, no es olvidado.

Complementariamente, en lo que respecta al enfoque establecido en los lineamientos

curriculares para el área de matemáticas, se espera que los estudiantes estén en la

capacidad de conceptualizar, comprender posibilidades, manejar la incertidumbre,

desarrollar competencias que los posibilite de herramientas para enfrentar las necesidades

actuales propias de la vida, resolución de conflictos, toma de decisiones e incursión en la

sociedad.

El quehacer matemático visto de forma integral, considera fundamental la vinculación de

los siguientes aspectos en la organización del currículo, como lo son:

Los procesos generales propios del aprendizaje, tales como: el razonamiento; la

resolución y planteamiento de problemas; la comunicación; la modelación y la

elaboración, comparación y ejercitación procedimientos.

Conocimientos básicos que desarrollan el pensamiento matemático, como lo son:

pensamiento numérico, el espacial, el métrico, el aleatorio y el variacional, entre otros.

Estos pueden ser ampliados a partir de sistemas numéricos, geométricos, de medida,

de datos, algebraicos y analíticos.

El contexto constituye el ambiente en el cual se le da sentido a las matemáticas. Por

otra parte, debe ser tenido en cuenta para el diseño y aplicación a experiencias

didácticas.

Capítulo 45

Es por ello, que el proceso de enseñanza y aprendizaje se sugiere ser visto como un

sistema tridimensional que incorpore los elementos señalados anteriormente (MEN, 1998).

Dentro del conocimiento de las matemáticas, es importante destacar, que existen niveles

de abstracción que van aumentando progresivamente, y los cuales posteriormente se

constituyen como la fuente de otros.

2.4.2 Procesos asociados a la actividad matemática

En los lineamientos curriculares y estándares básicos de competencias en matemáticas

se establecen los procesos que se deben fortalecer en la actividad matemática. Uno de

estos está relacionado con el planteamiento y resolución de problemas, puesto que el

desarrollo de un intelecto inquieto en los estudiantes se hace posible cuando estos ganan

confianza en el uso de las matemáticas para solucionar problemas de su contexto.

Además, son capaces de comunicar matemáticamente, es decir, de expresar ideas,

interpretar, representar, usar prácticamente otros tipos de lenguaje, describir relaciones y

modelar situaciones.

El razonamiento es entendido como la capacidad de producir y ordenar ideas en la mente

hasta llegar a una conclusión. Este proceso está relacionado con: comprender el cómo y

por qué de los procedimientos, formular posibles hipótesis, hacer deducciones y

predicciones, justificar o refutar conjeturas, dar argumentos coherentes, establecer

patrones y expresarlos matemáticamente.

En el avance través de estos procesos, se presenta la modelación, como una actividad

cognoscitiva que estructura y organiza el conocimiento para descubrir invariantes o

regularidades, incluso, es capaz de transferir una situación de la vida cotidiana a un modelo

matemático. La generalización es reconocida como el nivel más alto de la modelación.

En el proceso de la comunicación de ideas matemáticas, se hace uso de los diferentes

lenguajes representaciones, los cuales se deben usar dentro del aula de manera

permanente para propiciar el trabajo colectivo y natural en la que los estudiantes

compartan el significado de los gráficos, las palabras y símbolos para dar explicación a las

situaciones. En sintonía con lo anterior, si no se dispone al menos de dos formas distintas

de expresar y representar un contenido matemático, formas que Duval (1999) llama


“registros de representación” o “registros semióticos”, no parece posible aprender y

comprender dicho contenido.

La elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos es un proceso en el cual el

estudiante es versado en la construcción y ejecución de algoritmos sin dejar de lado la

comprensión y entendimiento de estos. Por último, los procedimientos analíticos permiten

modelar situaciones de cambio de forma algebraica, a través de las funciones, sus gráficas

y las tablas, conectando y convirtiendo una representación en otra de diferente tipo.

2.4.3 Pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos

El MEN (1998), en los lineamientos curriculares para matemáticas, considera que el

pensamiento variacional constituye una salida a problemas que involucran la enseñanza

fragmentada de contenidos matemáticos aparentemente aislados y carentes de

significado, para pasar a un nivel cognitivo capaz de interrelacionar conceptos y

procedimientos para analizar, comprender y modelar matemáticamente situaciones y

problemas de cambio o variación. Incluso se considera que su desarrollo es lento y que

sólo se alcanza este pensamiento luego del avance en los demás tipos de pensamientos

matemáticos.

El estudio del concepto de variación es central, y está circunscrita a núcleos temáticos

relacionados con: el conjunto de números reales, continuidad, tendencia, procesos

infinitos, función, magnitudes dependientes o independientes, expresiones algebraicas,

noción y significado de variable, proporcionalidad, razón de cambio. Para lograr desarrollar

el pensamiento variacional, Vasco (2002, citado en Gracia, 2018), considera que es

necesario que el estudiante modele fenómenos o situaciones problemas de la realidad que

vive, en la cual, identifique patrones, establezca relaciones de cambio, represente y analice

situaciones a través del uso de símbolos algebraicos.

De acuerdo a lo expuesto anteriormente, existe una relación fuerte entre el pensamiento

variacional y el manejo de los sistemas algebraicos, que presentan al álgebra como un

recurso y sistema robusto de representación y descripción de fenómenos de variación y

cambio.

Capítulo 47

En síntesis, este pensamiento está relacionado con procesos de: reconocimiento,

percepción, identificación y caracterización de la variación y el cambio, así como con su

descripción, modelación y representación en distintos sistemas semióticos (MEN, 2006).

2.4.4 Representaciones

Las representaciones pueden ser principalmente de dos tipos: internas o externas. Duval

(1999) con respecto a estas últimas, considera que se realizan a través de un sistema

semiótico y todos aquellos que conocen dicho sistema pueden acceder a esta

representación. Además, destaca la importancia de disponer de una gama amplia de

representaciones de un mismo objeto, para facilitar la comprensión del sujeto sobre el

objeto de estudio.

Existen variadas representaciones, a continuación, se resaltan las siguientes:

Representación figural: en la cual se usa un dibujo o bosquejo que plasma las

condiciones del problema.

Representación coloquial (verbal): se usa la escritura (letras y números) para mostrar

la situación.

Representación fenomenológica: se hace uso de cualquier objeto o material

manipulativo de mediación para exhibir la situación.

Representación ejecutable: en la cual se usa un entorno tecnológico dinámico para

representar el problema y en el que además se pueda reconocer las variaciones

asociadas a dicho fenómeno.

Representación gráfica (cartesiana): en el cual se emplea un plano cartesiano para

representar el comportamiento de variables en el problema.

Representación tabular: se usan tablas de datos para representar los cambios de las

variables.

Representación simbólica algebraica: se usa un modelo de representación algebraico

(con letras y operaciones) de la situación. En este escenario, la letra se reconoce como

variable o parámetros.

Representación numérico - variacional: este tipo de representación se percibe a partir

de la visualización de los cambios numéricos de las variables en tiempo real.


A continuación, se presentan algunos ejemplos que evidencian cómo se integran los

diferentes sistemas de representación semiótica entre sí.

Símbolos como representaciones de objetos y los símbolos como objetos.

En el camino que siguen los estudiantes para lograr una correcta manipulación de las

expresiones algebraicas, se debe avanzar a través de dos etapas fundamentalmente. En

la primera etapa los símbolos representan objetos, relaciones entre estos o acciones sobre

ellos. A su vez, estos símbolos pueden tener valores. En la siguiente fase, los valores de

los símbolos no están limitados a los establecidos por la situación, en los cuales los

símbolos son objetos.

En un software de geometría dinámica, el objeto matemático corresponde a un objeto

variable, o también llamado objeto particular dinámico, en la cual, se conserva invariante

una relación sin importar la posición de este objeto.

Resolución algebraica de problemas verbales.

Los problemas expresados de forma verbal, son susceptibles de ser representados,

modelados y resueltos algebraicamente, en la cual, se emplea símbolos o letras para

representar variables que son desconocidas, buscando o estableciendo relaciones

matemáticas entre las cantidades, traduciendo al lenguaje del problema la solución

numérica encontrada.

Funciones y sus representaciones.

La relación de proporcionalidad entre una variable dependiente y otra independiente se

puede presentar a través de un enunciado, una gráfica, tabla y fórmula.

2.4.5 Proceso de variación y cambio

Para el reconocimiento e identificación de un cambio, es necesaria la comparación para

evidenciar la modificación en la cantidad de una magnitud. Mientras que el MEN (2006)

Capítulo 49

establece que la variación se identifica a partir de los cambios de una magnitud en el

tiempo, es decir, explica la manera de cambio de una variable con respecto a otra.

Las situaciones de variación y cambio son una herramienta central para fomentar el

desarrollo del pensamiento matemático, en el cual se establece la causa que genera el

cambio susceptible de ser cuantificado y analizado para realizar predicciones y tomar

decisiones al respecto.

Por lo anterior, este es considerado como una de las bases conceptuales más importantes

en las matemáticas y por lo tanto evaluados por el ICFES. Los problemas son articulados

sobre la necesidad de identificar, reconocer y comprender una variable, reconocimiento y

uso de regularidades, patrones; sentido y uso de las relaciones a través de ecuaciones,

inecuaciones y funciones; sentido, significado y uso de distintas formas de representación

en situaciones de variación (ICFES, 2017).

2.4.6 Modelación

La modelación parte de una situación problema de la cotidianidad, que permite la

formulación de predicciones y toma de decisiones. Al respecto, De Lange (1987, citado en

MEN, 1998) considera que este proceso apoyado en el conocimiento y las habilidades

adquiridas, permite establecer regularidades y relaciones.

Para lograr lo anterior, varios autores manifiestan que, para trasladar la situación problema

a un modelo matemático se requiere de: formular o visualizar un problema de variadas

formas, esquematizar, establecer relaciones o regularidades, conocer un modelo

matemático que mejor se ajuste al problema real.

Luego de realizada la transferencia a un problema matemático, se requiere el uso y

dominio de algoritmos y procedimientos apropiados para dar solución al mismo, a partir de

actividades como: expresión que muestre la relación entre las magnitudes, formulación y

verificación de regularidades, ajuste a modelos, presentación de un concepto matemático

nuevo, hasta alcanzar finalmente la generalización.


2.4.7 Herramientas de medición cognitiva

El uso internacional de herramientas tecnológicas ha hecho posible la re significación de

variados conceptos matemáticos, de tal manera, que el estudiante pueda comprender esto

o incluso deducirlo desde la interacción con el objeto. Es justamente en el objetivo con el

cual se usa, lo que hace la diferencia, pues estas herramientas pueden ser utilizadas y

carecer de la intencionalidad de mediar en el aprendizaje.

Lo anterior, solo se consigue cuando en el individuo se organiza y amplía su conocimiento

(MEN, 2006), a partir del cuestionamiento sobre lo que sabe previamente, para luego

avanzar a través de nuevos conocimientos para él. Es justamente en este momento,

cuando cobra especial importancia el uso del potencial de la geometría dinámica central

de este proyecto como lo es la dinámica entre la exploración y la sistematización.

Indiscutiblemente, el papel del docente en esta etapa es fundamental, especialmente por

las preguntas y la guía que este realice, se garantiza o no el avance en el proceso de

enseñanza y aprendizaje. A su vez, el uso de herramientas tecnológicas permite que el

estudiante identifique rápidamente su error, invitándolo a reflexionar sobre situaciones

asociadas a la pregunta central del problema, ampliando como anteriormente se había

mencionado sus conocimientos y aprendizajes. De manera que la tecnología hace posible

la mediación entre la comprensión y diferenciación de conceptos, para la generación de

nuevos conocimientos.

2.4.8 Geogebra

Es un software libre e interactivo elaborado por Markus Hohenwarter, bastante útil y

altamente empleado en la enseñanza - aprendizaje de las matemáticas a los distintos

niveles de complejidad y grados de escolaridad, este vincula los diferentes sistemas de

representación como: geométrico, numérico, de datos, algebraico y analíticos. Permite la

visualización de forma simultánea en por lo menos 2 vistas (Geométrica y algebraica) de

objetos matemáticos que se modifican de forma dinámica o automática en cualquiera de

sus presentaciones.

Pedagogos actuales consideran que el Geogebra se puede utilizar como mediador

cognitivo en el campo de la validación de resultados de situaciones problema. Para

Capítulo 51

ahondar la descripción de este programa, se puede remitir al anexo B, correspondiente al

taller de familiarización con Geogebra.

2.4.9 Aprendizaje con geometría dinámica

El aprendizaje significativo de la geometría vincula los procesos de visualización y

justificación con los procesos asociados al componente espacial y deductivo. Los primeros

hacen posible la obtención de conclusiones a partir de la representación de los objetos y

las transformaciones que sufren estas en la manipulación de las construcciones bi o

tridimensionales.

La construcción de un aprendizaje significativo sostiene una interacción continua entre la

visualización y la justificación, de tal forma que las experiencias percibidas son la base del

discurso teórico que construye el estudiante. Además, cuando se tiene mayor cantidad de

representaciones de un fenómeno, se amplían las oportunidades del aprendizaje. En la

actualidad se han desarrollado herramientas destinadas a facilitar la comprensión, el

desarrollo de habilidades y competencias matemáticas. Este es el caso de programas de

geometría dinámica como: el cabri – geometre y el Geogebra, con los cuales se pueden

recrear construcciones desde el uso de elementos de la geometría básica hasta llegar a

conceptualizaciones más complejas.

La geometría dinámica permite en los estudiantes, la exploración ligada a las propiedades,

definiciones y características de los objetos matemáticos. Este es un instrumento para

reconocer relaciones invariantes de comportamiento que facilitan la consolidación del

conocimiento al estructurar y dar sentido al conocimiento. Al respecto, Castiblanco et al

(2009) afirman que: “El potencial didáctico de la geometría dinámica va más allá de su

poder ilustrativo. Se trata de problematizar la visualización, hacerla operativa, de manera

que surja de forma natural la necesidad de explorar, conjeturar, predecir, verificar” (p. 26).

Su poder didáctico tiene un gran alcance, debido a que busca problematizar la

visualización, hasta crear en el estudiante la necesidad avanzar a través de las etapas

mencionadas anteriormente, que afectan un fenómeno en particular. A través del diseño,

implementación y evaluación de diferentes estrategias que vinculan la geometría dinámica

en la enseñanza de la geometría y matemática, se ha establecido que el uso de estas


herramientas permite en el estudiante confrontar su percepción y la retroalimentación de

sus conocimientos.

2.4.10 Taller

Las actividades de aprendizaje utilizadas en este trabajo corresponden a talleres de tipo:

diagnóstico, de familiarización, de afianzamiento y de profundización. Este recurso o

material de apoyo didáctico contiene una ruta para que el estudiante avance a través de

los distintos procesos asociados al pensamiento variacional, hasta llegar a enfrentarse y

dar solución a problemas de modelación, apoyados de forma permanente en el uso de

aplicativos de Geogebra.

Es conveniente aclarar que estos talleres conservan una guía u organización acorde a los

grados de complejidad de los niveles conceptuales que se desean abordar, de tal manera,

que el estudiante se ejercite, afiance, consolide lo aprendido y además, asimile nuevos

conocimientos teniendo como base los ya aprendidos.

2.4.11 Reflexión sobre el marco conceptual

En la compilación de los componentes conceptuales expuestos anteriormente, se

describen las bases que soportan el diseño y desarrollo de este proyecto. Además de los

ejes que articulan y fomentan el desarrollo del pensamiento matemático como lo son: los

procesos asociados a la actividad matemática centrándonos de manera especial en el

pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos, representaciones, procesos de

variación y cambio, modelación y uso del Geogebra como herramienta de mediación

cognitiva en un ambiente de aprendizaje con geometría dinámica.

3. Capítulo III: Metodología

A lo largo de este capítulo, se explica la metodología empleada en la investigación de este

trabajo. Se define el modelo de investigación más apropiado acorde a las condiciones del

contexto y a los objetivos establecidos, los instrumentos metodológicos que permite la

medición de las evidencias en el avance de los procesos asociados al pensamiento

variacional en el nivel de la media, se especifica y caracteriza la muestra, se identifican las

potenciales fuentes de información y se detalla la forma en la cual se realizará el análisis

de los resultados.

3.1 Tipo de trabajo

Este trabajo se encuentra enmarcado dentro del modelo de investigación cualitativa, con

un alcance en el nivel descriptivo basado en el enfoque del uso de las potencialidades de

la geometría dinámica a través del Geogebra como mediador del aprendizaje.

Específicamente, se busca describir en forma particular y detallada el progreso en

procesos asociados al pensamiento métrico como:

Reconocimiento y comprensión de variables: reconoce, percibe, identifica y caracteriza

las variables asociadas a un fenómeno de variación

Tratamiento y conversión de sistemas representación semiótica: figural,

fenomenológica, gráfica, tabular, simbólico, algebraico y numérico variacional.

La modelación y la generalización: formular y visualizar un problema de diferentes

formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a

uno matemático.


3.2 Instrumentos metodológicos

El trabajo se basa en el diseño, aplicación y análisis de los resultados obtenidos a partir

de cuatro tipos de actividades de aprendizajes, los cuales corresponden a talleres: uno de

familiarización, diagnóstico, de afianzamiento y de profundización, relacionados con los

conceptos asociados al estudio de la trigonometría. A continuación, se describe cada uno

de ellos.

3.2.1 Taller diagnóstico

La actividad diagnóstica tiene por objetivo conocer a través de la recopilación de

información, el nivel de apropiación de los conceptos asociados al componente

trigonométrico, para cada uno de los procesos involucrados como: Reconocimiento y

comprensión de variables, Tratamiento y conversión de sistemas de representación y La

modelación y la generalización. Lo anterior se realiza con la intención de que esta resulte

útil en la toma de decisiones orientadas a facilitar y mejorar el proceso de diseño de las

actividades de aprendizaje dirigidas al desarrollo del pensamiento variacional en el

contexto de las razones, funciones y ecuaciones trigonométricas, en la cual, gran parte de

los estudiantes aprendan dinámicamente.

3.2.2 Taller de familiarización con Geogebra

En esta actividad el estudiante explora las herramientas básicas del software educativo

libre GeoGebra empleando las potencialidades de la geometría dinámica, a través de la

interacción con construcciones u objetos geométricos. En la manipulación con este nuevo

ambiente de aprendizaje, las cuales, adquieren temporalidad, se posibilita al estudiante la

realización de deducciones y establecimiento de relaciones propias del objeto (Anexo B).

3.2.3 Taller de afianzamiento

La finalidad de este taller, será para:

La comprensión de las razones trigonométricas y circunferencia unitaria.

La comprensión de las funciones trigonométricas.

La comprensión de la traslación de funciones trigonométricas.

Capítulo 3 55

En estas actividades de aprendizaje, aprovechando las potencialidades de la geometría

dinámica (articulación entre procesos de visualización y procesos de justificación; dinámica

entre la exploración y la sistematización; modelización y la simulación) se busca que el

estudiante avance a través de los procesos asociados al pensamiento variacional, es decir,

se fortalezca el desarrollo del descubrimiento de relaciones, regularidad e invariantes en

cualquier sistema de representación para situaciones de carácter trigonométrico.

3.2.4 Taller de profundización

El taller de profundización trata:

Sobre las ecuaciones trigonométricas.

o Sobre ecuaciones trigonométricas lineales.

o Sobre ecuaciones trigonométricas cuadráticas.

Sobre el movimiento armónico simple

Estas actividades de aprendizaje se centran en diseñar instrumentos frente a temáticas

relacionadas con las ecuaciones trigonométricas lineales, cuadráticas y su aplicación en

el movimiento armónico simple. En razón a lo anterior, en este taller se involucran

actividades que requieren un alto grado de comprensión de los conceptos previamente

estudiados, donde se pretende alcanzar sobre todo procesos de modelación y

generalización transferidos de una situación problema de variación real a uno matemático.

3.3 Descripción de la población

La población objeto de estudio para la aplicación de las actividades de aprendizaje

propuestas en este trabajo, corresponde a grupos de estudiantes de grado décimo, es

decir, jóvenes con edades entre los 14 y 18 años, que preferiblemente sean escogidos por

conveniencia o según la necesidad de la educadora.

Es necesario que los estudiantes tengan conocimientos previos sobre los contenidos

básicos de trigonometría, puesto que estos son requeridos para el desarrollo de las

actividades iniciales de familiarización y diagnóstica.


3.4 Fuentes de información

Las distintas fuentes de información que permitirán evidenciar las dificultades, fortalezas y

avances en el desarrollo de los procesos cognitivos asociados al pensamiento variacional

son:

La obtenida de la comunicación e interacción en el nivel simétrico, es decir, entre los

estudiantes, y asimétrico, entre el docente y el estudiante.

La producción escrita de los estudiantes, reflejada en las respuestas presentadas en

cada una de las actividades de aprendizaje.

La observación directa durante el desarrollo de las actividades por parte del docente.

3.5 ¿Cómo se analizarán los resultados?

El análisis de las actividades de aprendizaje propuestas en este trabajo, se fundamenta

principalmente en un estudio de coherencia interna desde la articulación lógica entre los

objetivos de cada una con el desarrollo del pensamiento variacional dentro de la actividad

matemática, a partir del recorrido y avance del estudiante en los procesos como: el

reconocimiento y comprensión de variables, tratamiento y conversión de sistemas de

representación hasta llegar a la modelización y sistematización.

En este trabajo, el análisis del taller de familiarización con geogebra se analizará de

manera global, teniendo en cuenta algunos aspectos de los procesos descritos en 3.1. Con

respecto a los demás, talleres diagnóstico, de afianzamiento y de profundización, se

analizarán teniendo en cuenta ciertos subprocesos a los procesos descritos en 3.1, de la

siguiente manera:

En cuanto al proceso de reconocimiento y comprensión de variables, se considera

que en este proceso los estudiantes deben presentar las siguientes habilidades:

- Identificar en la situación descrita de forma trigonométrica aquellos datos que

sufren cambios o variaciones (variables), la proporción de sus cambios (razón o

tasa de cambio) y los que son invariantes (constantes).

- Reconocer, identificar y clasificar las variables en dependientes (funciones

trigonométricas) e independientes (ángulo).

Capítulo 3 57

- Reconocer el tipo de relación entre las variables presentes en diferentes sistemas

que describen un movimiento armónico simple

En torno al proceso de tratamiento y conversión de sistemas representación-

semiótica, se tiene en cuenta si el estudiante es capaz de lograr la comprensión ágil

de una situación problema a partir del manejo y transformación de una representación

en una equivalente de otro tipo, como: de unidades e instrumentos, como:

- Figural, el cual puede ser un dibujo o esquema que exhiba lo presentado en el

problema.

- Coloquial o verbal.

- Fenomenológica: en el cual use un objeto de mediación determinado para

representar la solución.

- Ejecutable: es decir, aquella en la que se construye la representación del problema

en un entorno tecnológico dinámico.

- Gráfica y tabular: en la cual es capaz de analizar fenómenos de variación

representados en gráficos o tablas.

- Algebraico.

- Numérico-variacional: en la cual el estudiante es capaz de visualizar los cambios

numéricos de las variables que intervienen.

Y respecto al proceso la modelación y la generalización, se considera la cúspide del

pensamiento variacional, en la cual se tiene en cuenta si el estudiante es capaz de:

- Visualizar un problema y formularlo de diferentes formas.

- Descubrir relaciones, patrones, regularidades e invariantes presentes en el

comportamiento de razones, funciones, ecuaciones trigonométricas lineales y

cuadráticas y M.A.S.

- Transferir un problema real a uno matemático.

4. Capítulo IV. Resultados y discusión

Para analizar la coherencia interna de las preguntas propuestas, se realizará una revisión

dentro de cada uno de los talleres según su relación con los procesos y subprocesos

asociados al pensamiento variacional como variables de estudio. Además, se establecerá

su relación con las competencias matemáticas como: formulación y resolución de

problemas, modelación de procesos y fenómenos de la realidad, formulación y ejercitación

de procedimientos y algoritmos, comunicación y razonamiento.

Por otra parte, es importante destacar que todas las imágenes, figuras son de autoría

propia acorde a las necesidades del proyecto en el software Geogebra.

4.1 Análisis sobre coherencia interna del taller diagnóstico sobre conceptos previos de trigonometría

Para el desarrollo en el proceso de reconocimiento y comprensión de variables, se

diseñaron las preguntas 1, 4, 5, 6, 7 y 8, las cuales están dirigidas a identificar el nivel de

comprensión y uso de los conceptos: razón, función y ecuación trigonométrica por parte

de los estudiantes. Además de reconocer, identificar y clasificar las variables

independientes o ángulos de las dependientes como lo son las razones y funciones

trigonométricas.

En relación al proceso de tratamiento y conversión de sistemas de representación

semiótica, se han propuesto las preguntas 9, 10, 12, 13 y 14, las cuales buscan identificar

el nivel manipulación y operación a través de los diferentes sistemas de representación

(principalmente en forma: gráfica, tabular, algebraica y numérica) en situaciones de

variación trigonométrica.


Finalmente, en lo que respecta al proceso de modelación y generalización, a través de las

preguntas 2, 3 y 11, se podrá evidenciar si el estudiante es capaz de elaborar o formular

sencillas generalizaciones en el proceso de transferir un problema real a uno

trigonométrico. Allí se evidenciará las competencias del estudiante en relación al

razonamiento, y modelación de procesos y fenómenos de la realidad, estableciendo

relaciones entre variables. Para más información acerca del taller diagnóstico (ver Anexo

A).

4.2 Análisis sobre coherencia interna del taller de familiarización sobre el uso de Geogebra

Este taller reposa en el Anexo B y está orientado a que el estudiante se familiarice o explore

las herramientas geométricas básicas del software Geogebra necesarias para avanzar a

través de los diferentes talleres propuestos a lo largo de este trabajo. Lo anterior,

principalmente apoyado en el uso de las potencialidades de la geometría dinámica como

lo es la dinámica entre la exploración y la sistematización, a través de la interacción con

construcciones u objetos geométrico-matemático. Esta manipulación se realiza en tiempo

real, lo cual provee de herramientas al estudiante para la elaboración de deducciones y

reconocimiento de relaciones propias del objeto (Figura 3).

Figura 3. App 1. Imagen Apps: Taller de familiarización. Fuente: Elaboración propia.

Capítulo 4 61

4.3 Análisis sobre coherencia interna en los talleres de afianzamiento

4.3.1 Taller de afianzamiento, para la comprensión de las razones trigonométricas y circunferencia unitaria

En el Anexo C se puede revisar en detalle este taller, el cual consta de 4 apps de Geogebra,

tal como se presentan a continuación. El proceso de reconocimiento y comprensión de

variables, se podrá desarrollar a través de los interrogantes 1, 2, 3, 10, 11, 12, 18 y 23, los

cuales están orientados a que el estudiante perciba, reconozca e identifique los parámetros

que afectan las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo. Este proceso está

relacionado con la adquisición de competencias propias de la comunicación de ideas

asociadas a dar sentido al lenguaje matemático y gráfico de variables como ángulos

agudos, ángulos especiales y razones trigonométricas (Figura 4 y Figura 5).

Figura 4. Imagen Apps: Taller de afianzamiento – Actividad 1. Fuente: Elaboración propia.


Figura 5. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 2. Fuente: Elaboración propia

Para el avance en el proceso de tratamiento y conversión de sistemas de representación

semiótica, se han planteado las preguntas 4, 5, 6, 7, 13, 14, 19, y 24, en estas se pretende

que el estudiante sea capaz de comprender las razones trigonométricas a partir de

cualquiera de sus representaciones semióticas y su conversión entre estas. Este proceso

está ligado principalmente al desarrollo de la competencia de formulación, comparación y

ejercitación de procedimientos y algoritmos, puesto que, en esta etapa es necesario que

el estudiante comprenda y realice de forma ágil y segura la ejecución de algoritmos para

dar solución a situaciones (Figura 6).

Figura 6. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 3. Fuente: Elaboración propia.

Capítulo 4 63

Para la exploración y avance a través del proceso de modelación y generalización, se

proponen las preguntas 8, 9, 15, 17, 20, 21, 22 y 25. Se espera que, por medio de estas,

el estudiante descubra relaciones o regularidades en el comportamiento trigonométrico

presente en situaciones de la vida real. Este proceso está relacionado con el desarrollo de

la competencia de modelación de una situación a través de sistemas mentales, gráficos,

numérico o algebraico para hacerla más comprensible. Además, se busca que el

estudiante descubra relaciones y regularidades presentes en el comportamiento de las

razones trigonométricas, a partir de la circunferencia unitaria (Figura 7).


4.3.2 Aller de afianzamiento, para la comprensión de las funciones trigonométricas

Consignado en el Anexo D, los numerales 1, 5 y 8 están alineados al desarrollo de

procesos de reconocimiento y comprensión de variables, puesto que buscan que el

estudiante sea capaz de describir las funciones trigonométricas a partir de características

como: dominio, rango, par o impar, máximos y mínimos, continuidad y periodicidad. En

este proceso del pensamiento variacional, el estudiante reconoce, identifica y clasifica las

variables en dependientes (funciones trigonométricas) e independientes (ángulos). El

objetivo anterior se alcanzará fundamentalmente a partir del desarrollo de competencias

de la actividad matemática como el razonamiento, en la medida en que perciba

regularidades y relaciones que le permita dar explicaciones coherentes, validar o refutar


conjeturas y proponer interpretaciones que justifiquen lo que observa, partiendo de

deducciones simples generadas a partir de simetrías (Figura 8).


Para avanzar en el proceso de tratamiento y conversión de sistemas de representación

semiótica, se han diseñado las preguntas 6, 9, 11, 12 y 13, a través de las cuales el

estudiante logre transitar por los diferentes sistemas de representación semiótica dando

sentido a las funciones trigonométricas, especialmente estableciendo la equivalencia entre

su presentación gráfica con la algebraica, o con la numérica-variacional. En este

componente se busca que el estudiante realice construcciones, procedimientos

matemáticos y verificaciones válidas de forma rápida y apropiada, que además gocen de

completa comprensión frente a cualquiera de las representaciones de las funciones

trigonométricas (Figura 9 y Figura 10).


Capítulo 4 65


El proceso de modelación y generalización, se evidencia en las preguntas 2, 3, 4, 7 y 10,

pues se han diseñado para que el estudiante establezca relaciones, regularidades e

invariantes en el comportamiento (numérico, algebraico y gráfico) de las funciones

trigonométricas. Por otra parte, este proceso está completamente relacionado con la

competencia de la modelación de procesos y fenómenos de la realidad, en la cual, el

estudiante descubra relaciones y uniformidades entre objetos matemáticos relacionados

con las funciones trigonométricas y además es capaz de aplicar modelos matemáticos a

problemas de una situación de contexto (Figura 11).

Figura 11. Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 8. Fuente: Elaboración propia.


4.3.3 Taller de afianzamiento, para la comprensión de la traslación de funciones geométricas

Dentro del proceso de reconocimiento y comprensión de variables, se han propuesto las

preguntas 1, 2, 3, 4, 9 y 10. Estas están dirigidas a que el estudiante identifique los

parámetros que afectan la traslación de las funciones trigonométricas y reconozcan el

efecto de estos en su comportamiento. En este proceso se encuentran vinculadas

fundamentalmente competencias como: razonamiento y comunicación. Inicialmente se

tienen situaciones de aprendizaje que favorezcan el razonamiento en el ámbito espacial,

numérico, geométrico y algebraico. Apoyados en la etapa anterior, el estudiante dispondrá

de herramientas que le permitan expresar las transformaciones de las funciones

trigonométricas, es decir, la adquisición de conocimiento a través del dominio de los

lenguajes en los ámbitos mencionados anteriormente (Figura 12).

Figura 12. Imagen Apps: Taller de afianzamiento - Actividad 9. Fuente: Elaboración

propia.

En cambio, a través de las preguntas 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14 y 15, se espera lograr el

desarrollo de procesos de tratamiento y conversión de sistemas de representación

semiótica. En estas se identificará en el estudiante su capacidad para describir de forma

verbal, numérica, algebraica y gráfica, una función trigonométrica que ha sido trasladada

previamente. Lo anterior, implica la competencia de la formulación, comparación y

ejercitación de procedimientos, es decir, que ejecute algoritmos ágiles y precisos en la

conversión de un sistema de representación en otro que sea equivalente, lo cual evidencia

el conocimiento conceptual y procedimental (Figura 13).

Capítulo 4 67


Por último, para avanzar en el proceso de modelación y generalización, se han diseñado

las preguntas 16, 17 y 18, a través de las cuales el estudiante podrá expresar de forma

matemática un problema periódico relacionado con la transformación de las funciones

trigonométricas fundamentalmente seno y coseno. Apoyado en una de sus

representaciones, el estudiante es capaz de formular, dar tratamiento y solución a

situaciones problemas y además valida o verifica los resultados obtenidos.

Para más información acerca del taller afianzamiento para la traslación de funciones

trigonométricas, ver Anexo E.

4.3.4 Taller de afianzamiento, para la comprensión de ecuaciones trigonométricas lineales

En el Anexo F se puede encontrar en detalle la actividad de aprendizaje propuesta para la

comprensión de este tipo de ecuaciones a partir del uso de apps de Geogebra. Dentro del

proceso de reconocimiento y comprensión de variables, se han planteado las preguntas 1,

2 y 3, las cuales están dirigidas a que el estudiante reconozca los parámetros que afectan

la solución de una ecuación trigonométrica lineal, además de conocer la expresión general

a partir de la cual es posible calcularla. En este proceso es importante que reconozca que,

al dar solución a una ecuación, se está determinando el valor del ángulo que satisface la

expresión, Por otra parte, es indispensable el uso del razonamiento como competencia

matemática, a partir de la cual, el estudiante puede percibir regularidades y relaciones en


la solución numérica, algebraica y gráfica de estas ecuaciones. Además de reconocer los

casos en los cuales estas no tienen solución (Figura 14).

Figura 14. Imagen Apps: Taller de afianzamiento – Actividad 11. Fuente: Elaboración

propia.

Para avanzar en el desarrollo de procesos de tratamiento y conversión de sistemas de

representación semiótica, se han propuesto las preguntas 4, 5, 6 y 7, dirigidas a buscar

que el estudiante determine la solución de ecuaciones trigonométricas lineales de forma

algebraica, gráfica y numérica para un intervalo determinado. Este proceso se encuentra

ligado al desarrollo de la competencia de formulación y ejercitación de procedimientos, en

la cual se parte de la ecuación hasta llevarla a la forma de la solución general para

finalmente establecer el valor o valores de los ángulos que cumplen con esta expresión.

De esta manera, es posible identificar el dominio del conocimiento conceptual,

procedimental y significancia gráfica (Figura 15).

Capítulo 4 69

Figura 15. Imagen Apps: Taller de afianzamiento – Actividad 12. Fuente: Elaboración propia.

Las preguntas 8, 9 y 10 están dirigidas a que el estudiante emplee y resuelva ecuaciones

trigonométricas lineales para dar solución a problemas reales de optimización, que

involucran el proceso de modelación y generalización. En este punto, el estudiante utilizará

los procesos que ha logrado desarrollar en las actividades anteriores, para establecer y

manipular modelos que le permitan reproducir una situación a partir de la cual puede

establecer conjeturas, hacer predicciones y establecer inferencias (Figura 16).



4.3.5 Taller de afianzamiento, para la comprensión de ecuaciones trigonométricas cuadráticas

A través de las preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6, se pretende que el estudiante transite dentro del

proceso de reconocimiento y comprensión de variables, pues, han sido diseñadas para

que este reconozca los parámetros y la manera en que estos afectan la solución general

de una ecuación trigonométrica cuadrática de la forma 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0. Además,

identifica los casos en los cuales estas ecuaciones no tienen una solución numérica y

comprenden su sentido gráfico. Por eso, la competencia que se encuentra directamente

relacionada, corresponde al razonamiento, puesto que la actividad de aprendizaje está

orientada a que el estudiante construya o establezca relaciones en las diversas formas de

representación de este tipo de ecuaciones, frente al rango de valores que pueden tomar

estos parámetros (Figura 4-15). Para más información acerca del taller de afianzamiento

sobre ecuaciones trigonométricas cuadráticas, ver Anexo G.


Para el proceso de tratamiento y conversión de sistemas de representación, se elaboraron

las preguntas 7, 8, 9 y 10, en las cuales el educando expresa resueltamente una ecuación

trigonométrica cuadrática en un sistema de representación gráfica, algebraica o numérico-

variacional. En este proceso el estudiante realiza procedimientos rutinarios para calcular

la solución de estas igualdades de segundo orden, seguidamente, verifica o valida el

resultado obtenido a través de cualquiera de sus representaciones equivalentes (Figura

18).

Capítulo 4 71


El proceso de modelación y generalización se emplea en las preguntas 11, 12, 13, 14, 15,

16 y 17, estas están dirigidas a que el estudiante establezca regularidades, relaciones e

invariantes para dar solución desde la comprensión a problemas de aplicación de

ecuaciones trigonométricas cuadráticas. En esta actividad de aprendizaje, el estudiante

pone en práctica competencias relacionadas con la verificación de conjeturas,

identificación de las variables que afectan un modelo y formulación de relaciones para

definir las características que rigen el movimiento parabólico.

4.4 Análisis sobre coherencia interna en los talleres de profundización

4.4.1 Taller de profundización sobre el movimiento armónico simple

Para el avance a través del proceso de reconocimiento y comprensión de variables, se han

propuesto las preguntas 1, 2, 3, 4, 5 y 6, en los cuales, se busca que el estudiante

reconozca, identifique y caracterice las variables que afectan el comportamiento del

periodo de un objeto que describe un M.A.S. En este proceso se emplea el razonamiento

como competencia matemática esencial para el avance dentro de este proceso, puesto

que los simuladores empleados de la plataforma Phet le permitirán al estudiante contrastar

el efecto directo e inversamente proporcional o incluso cuando algunas variables no

afecten el tiempo que tarda un objeto en realizar una oscilación.


Con respecto al proceso de modelación y generalización, se han diseñado las preguntas

7, 8, 9, 10, 11 y 12, en las que se desea que el estudiante encuentre relaciones o

regularidades en el comportamiento variacional del periodo de un objeto que describe un

M.A.S., específicamente para el caso del movimiento de un péndulo o de un sistema masa-

resorte. Para más información acerca del taller de profundización sobre el movimiento

armónico simple, ver Anexo H.

4.4.2 Taller de profundización sobre la cinemática del movimiento armónico simple

En las preguntas 1, 2, 3, 4, 15, 16 y 17 se busca que el educando analice y estudie la

cinemática del M.A.S. a partir del reconocimiento, comprensión y caracterización de las

variables que afectan la posición, velocidad y aceleración de un oscilador armónico. En

este proceso se emplea competencias asociadas a la actividad matemática como lo es el

razonamiento, puesto que, el estudiante percibe el efecto de la variación de los parámetros

𝐴, 𝜔 y 𝜑 sobre la cinemática de osciladores pendulares, sistemas masa-resorte vertical y

horizontal (Figura 19).

Figura 19. Imagen Apps: Taller de profundización - Actividad 17. Fuente: ELaboración

propia.

Además, de la competencia de comunicación de ideas, en la que el estudiante expresa un

amplio dominio de los lenguajes característicos de las matemáticas para dar sentido de

forma numérica, gráfica y algebraica de las situaciones relacionadas con el M.A.S.

Capítulo 4 73

En los numerales 5, 6 y 7 se espera que el educando aplique procedimiento matemáticos

de rutina para dar tratamiento y transformar una representación semiótica a otra dentro del

contexto de la cinemática del M.A.S. (Figura 20)

Figura 20. Imagen Apps: Taller de profundización - Actividad 16. Fuente: Elaboración

propia.

El proceso de modelación y generalización se manifiesta en las preguntas 8, 9, 10, 11, 12,

13, 14, 18, 19 y 20. En estas se busca que el estudiante descubra regularidades en la

posición de equilibrio y cuando la posición corresponde al valor de la amplitud de un objeto

que describe un M.A.S. Además, a través de la simulación predice el comportamiento de

la posición, velocidad y aceleración de un oscilador armónico, para la toma de decisiones

y dar respuesta a preguntas dentro de este contexto (Figura 21).

Figura 21. Imagen Apps: Taller de profundización - Actividad 18. Fuente: Elaboración

propia.


Para más información acerca del taller de profundización sobre cinemática del M.A.S.,

ver Anexo I.

5. Capítulo V. Conclusiones y recomendaciones

5.1 Conclusiones

A partir del diseño del taller de diagnóstico es posible establecer el grado de manejo y

significancia de los conocimientos previos de los estudiantes sobre contenidos

trigonométricos, elemento esencial en la construcción de los talleres de familiarización,

afianzamiento y de profundización.

Se logró el diseño de actividades de aprendizaje estructurados en talleres de tipo:

diagnóstico, de familiarización, afianzamiento y profundización, los cuales

corresponden a una guía intencional dentro de un ambiente de geometría dinámica a

partir de la interacción con el uso del Geogebra, que integra de forma clara los procesos

asociados al pensamiento variacional tales como: reconocimiento y comprensión de

variables, tratamiento y conversión de sistemas de representación, la modelación y la

generalización asociados al estudio de las funciones y ecuaciones trigonométricas.

Se diseñó y elaboró varios aplicativos en Geogebra que contribuyan al fortalecimiento

de procesos asociados al PV, a partir de la solución de situaciones que involucren el

uso de razones, funciones y ecuaciones trigonométricas en un entorno que incorpora

la GD.

Se realizó un estudio de coherencia interna de las actividades de aprendizaje o talleres

propuestos, los cuales fueron diseñados acorde a los procesos asociados al

pensamiento variacional establecidos en los lineamientos curriculares. De forma

simultánea, se analizó su relación con las distintas competencias matemáticas ligadas

a la realización de estas actividades establecidas en los estándares básicos de

competencias.


Se aprovechó los beneficios de los simuladores Phet para abordar el tema del

movimiento armónico simple en sistemas masa-resorte y péndulo, especialmente, para

relacionarse y analizar los parámetros que afectan el periodo de este movimiento.

Se empleó como eje central la potencialidad de la GD correspondiente a la dinámica

entre la exploración y la sistematización para el diseño y manipulación de los aplicativos

de Geogebra, para facilitar el reconocimiento de las relaciones geométricas.

El diseño del presente trabajo constituye un valioso recurso didáctico para la

enseñanza y aprendizaje de contenidos trigonométricos acordes al grado décimo, que

aumente el nivel de motivación e interés de los estudiantes y que posibilite al docente

de herramientas innovadoras en su quehacer diario.

5.2 Recomendaciones

Para la implementación de estas actividades de aprendizaje de manera virtual y bajo

el trabajo autónomo de los estudiantes, se recomienda realiza un diagnóstico inicial

para reconocer el nivel de dominio de las competencias de los estudiantes en el manejo

de los conceptos de matemáticas, disposición y uso de los medios tecnológicos.

Disponer del tiempo suficiente para el avance en el desarrollo de los talleres

propuestos, en los cuales se puede flexibilizar a través del trabajo colectivo entre los

estudiantes. Además, implementar las potencialidades de la geometría dinámica desde

primaria.

Es importante resaltar que esta propuesta está orientada al fortalecimiento del

desarrollo de procesos asociados al pensamiento variacional, lo cual complementa la

realización de actividades de aprendizaje desde el enfoque tradicional que implican el

uso de papel y lápiz.

Constituir espacios y redes de capacitación local en las instituciones para la enseñanza

de las matemáticas a partir de la implementación de estas actividades, en ambientes

dinámicos con el uso de Geogebra.

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https://phet.colorado.edu/es/simulation/pendulum-lab

Anexos

Anexo A: Taller diagnóstico sobre conceptos previos de trigonometría

PROYECTO: DISEÑO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ORIENTADAS AL

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL EN EL CONTEXTO DE LAS

FUNCIONES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS HACIENDO USO DE LA GD.

OBJETIVO: Identificar los conceptos previos de los estudiantes sobre el tema de razones,

funciones y ecuaciones trigonométricas en cada proceso asociado al pensamiento

variacional.

El recurso gráfico utilizado en la guía es de autoría propia.

PENSAMIENTO VARIACIONAL

PROCESOS DESCRIPCIÓN PREGUNTA AVANCE

Reconocimiento y comprensión de variables

Reconoce, percibe, identifica y caracteriza las variables asociadas a un fenómeno de variación.

1

4

5

6

7


8

Tratamiento y conversión de sistemas de representación

Representación semiótica: figural, fenomenología, gráfica, tabular, simbólico, algebraica, numérico variacional.

9

10

12

13

14

La modelación y la generalización.

Formular y visualizar un problema de diferentes formas, descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a uno matemático.

2

3

11

1. Escribe un ejemplo de una razón, función, ecuación e identidad trigonométrica.

¿Corresponden a lo mismo, o, en qué se diferencian?

Respuesta:

Razón

trigonométrica

Función

trigonométrica

Ecuación

trigonométrica

Identidad

trigonométrica

Anexo A. Taller diagnóstico sobre conceptos previos de trigonometría 85

2. Se tiene un triángulo rectángulo para el cual se cumple la siguiente expresión:

𝑇𝑎𝑛 45° = 1 =𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 . Si se tiene otro triángulo rectángulo isósceles de 4 cm

de base, ¿Cuál es la altura?

Respuesta:

3. En qué tipo de triángulos rectángulo, el valor de la tangente es igual a 1 o -1. ¿Qué

característica tienen la medida de sus lados y sus ángulos internos?

Respuesta:

4. En qué tipo de triángulos se puede aplicar las razones trigonométricas:

A. Obtusángulos. B. Escalenos acutángulos.

C. Rectángulos. D. Todos los anteriores

5. ¿Qué entiende por la expresión: 𝐶𝑠𝑐 𝜃 =?

Respuesta:


6. Completa las siguientes equivalencias.

Respuesta:

360°= _____rad 1 rad=_____ grados 1°=___₉=____₉₉

7. ¿Qué es una función trigonométrica? Menciona un ejemplo de tu cotidianidad en la cual

se presente el comportamiento de este tipo de funciones.

Respuesta:

8. Crea una expresión que corresponda a una función trigonométrica. Luego, identifica

cada uno de los parámetros involucrados y explica qué tipo de valores pueden tomar.

Respuesta:

9. Selecciona con un ➤ las expresiones que consideres que NO corresponde a funciones

trigonométricas:

Respuesta:

( ) 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 𝜃 ( ) 𝑆𝑒𝑛2𝜃 + 𝐶𝑜𝑠2𝜃 = 1

( ) 𝐶𝑜𝑠 (𝑥) = −1 ( ) 𝑇𝑎𝑛2𝑥 + 𝐶𝑠𝑐 𝑥 − 3 = 0


( ) 𝑇𝑎𝑛 (𝜃) = 𝑆𝑒𝑛 𝜃

𝐶𝑜𝑠 𝜃 ( ) 𝑆𝑒𝑛 𝑞 = −

√2

2

10. El movimiento de un oscilador armónico simple está dado por la siguiente expresión:

𝑥(𝑡) = 𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛 (𝜔 ∗ 𝑡), donde 𝑥 es la posición que tiene en un tiempo 𝑡, dado que se

mueve a una frecuencia angular 𝜔 y con una amplitud 𝐴. Dado que la amplitud es 5 m,

la frecuencia angular es 1 rad/s, ¿Qué posición tendrá al cabo de un tiempo 𝜋

2𝑠? ¿Y

𝜋

4𝑠? ¿Y

𝜋

6𝑠?

Respuesta:

11. La siguiente figura presenta las coordenadas de los puntos que se encuentran ubicados

sobre una circunferencia unitaria para los ángulos de 15°, 30°, 45°, 60° y 75°. De

acuerdo a esto, complete las coordenadas de los demás puntos.


12. continuación, se presenta una tabla de valores que corresponde al comportamiento de

la aceleración de un cuerpo que describe un movimiento armónico simple.

t 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,4 6,2

a (t) 0 -2,14 -2,99 -2,03 0,16 2,25 2,99 2,33 0,28

Ubicarlos en el plano cartesiano adjunto, únelos con una línea curva suave. ¿Qué tipo de

gráfica obtuviste? Menciona algunas de las características que observes en ella.

Respuesta:


13. La siguiente figura presenta el comportamiento de la función tangente, ¿Describa que

se evidencia en esta? ¿Si la gráfica es 𝑦 = 𝑇𝑎𝑛 𝜃, bajo qué valores de 𝜃 se presenta

la línea punteada, esta que representa?

Respuesta:

14. A continuación, se presentan figuras que describen comportamientos trigonométricos.

¿Une cada una de las siguientes expresiones con la que crees que corresponde a cada

figura y explica por qué?


y = -0.8sen(2x) y = 0.8sen(0.5x) y = -8sen(0,5x)

y = -8sen(0,4x) y = -8sen(2x)

Anexo B: Taller de familiarización sobre el uso de Geogebra




OBJETIVO: Introducir y familiarizar a los estudiantes en el uso y manejo de las herramientas

de construcción necesarias para avanzar hasta problemas de modelación y generalización con

el software Geogebra.


Introducción

Geogebra es un software de matemáticas que integra ramas como la geometría, álgebra,

estadística y cálculo, útil a todo nivel educativo. Además, es un recurso potente e innovador de

la enseñanza y aprendizaje de diferentes ciencias del saber, pues permite mediante la

construcción de objetos simples y de alta complejidad llevar a cabo la generación de nuevos

diseños, estableciendo relaciones dinámicas entre estos.

Al ejecutar el programa, la interfaz nos presenta los siguientes componentes:


Barra de Menú

● A través de la barra de Menú, en la opción archivo, se puede: abrir una nueva ventana,

crear un nuevo documento, guardar archivos, previsualizar para imprimir y cerrar

documentos.

● En el menú - Edita, es posible deshacer algunas construcciones que se realizaron de

manera equivocada o incluso borrar objetos.

● En cambio en el menú - Vista, el usuario redefine la vista en la ventana que desea

visualizar, puesto que, le permite mostrar u ocultar cada vista, ya sea, la gráfica, vista

hoja de cálculo, barra de entrada, objetos auxiliares y lista de comandos. A través de

la opción protocolo de construcción, permite ver los pasos que se dieron para la

construcción del objeto.

● En el menú - Opciones, es posible modificar todo lo relacionado con el estilo del texto,

escoger el tamaño de la letra, el idioma, o incluso, modificar la vista gráfica.

● En Herramientas, se visualizan algunas construcciones que faciliten o simplifique

construcciones más complejas.

Herramientas

En esta opción se encuentra una gama de herramientas, geométricas y de cálculo para la

construcción de variados objetos matemáticos. A continuación, se presenta la paleta de

opciones disponibles para realizar construcciones geométricas, sin embargo, el objetivo de esta

actividad nos ocupa de conocer y manipular las relacionadas con el avance en las actividades

de afianzamiento y profundización:

Anexo B. Taller de familiarización sobre el uso Geogebra 93

Tomado de: https://wiki.geogebra.org/es/Vista_Gr%C3%A1fica

Vista Gráfica

En esta vista se visualiza de manera gráfica los objetos matemáticos.

Vista Algebraica

En esta vista se puede visualizar en tiempo real las coordenadas y ecuaciones que describen

los objetos matemáticos dibujados

Barra de entrada

A través de esta barra se puede ingresar de forma directa los comandos, coordenadas,

funciones y ecuaciones que se desee.

Es importante destacar que en Geogebra todas las vistas se encuentran enlazadas

dinámicamente, esto implica que cuando un objeto es modificado en cualquiera de sus vistas,

de forma inmediata se producirán automáticamente los cambios en sus demás

representaciones.

https://wiki.geogebra.org/es/Vista_Gr%C3%A1fica


ACTIVIDAD DE CONSTRUCCIÓN

Haciendo uso de Geogebra realice la siguiente construcción:

A. Abre Geogebra y verifica en el menú “Vista” que se encuentre activas las opciones:

“vista gráfica, algebraica y entrada”

B. Cree un deslizador para la longitud del segmento c, así:

C. Crea un deslizador para la longitud del segmento b como se indicó en el paso anterior.

D. Luego, crea un deslizador para la amplitud del ángulo 𝛼, así:


E. Ubica en la barra de entrada la coordenada A=(0,0), B=(c,0) y C=(b,0)

F. Ingresa en la barra de entrada el comando: Rota(C, 𝛼 ) y oculta el punto C, así:

G. A continuación, dibuja un polígono cuyos vértices sean los puntos A, B y C, así:

H. Seguidamente, trazamos el punto medio de cada segmento del 𝛥𝐴𝐵𝐶, así:


I. Ahora, trazaremos con la opción polígono, el 𝛥𝐸𝐷𝐹, así:

J. Luego, con la opción área, determinamos el espacio limitado por cada uno de los

triángulos:

K. Para dar una mejor presentación al interfaz gráfico del sofware, ocultaremos los ejes y

la cuadrícula de la siguiente manera:

L. Para presentar en cuadros de texto, la información relacionada con: área de los

triángulos, longitud de los lados de cada triángulo y la medida de los ángulos interiores.

M. Hasta obtener la presentación de los siguientes datos:


A través de los siguientes enlaces podrás recurrir a la ubicación de las apps diseñadas en

geogebra y los respectivos links de YouTube donde podrá profundizar en la construcción

de cada una de estas.

https://www.geogebra.org/m/hr3evwyv https://youtu.be/ZMeHSzDHWFg

ANÁLISIS

Manipula los deslizadores b, c y 𝛼

1. ¿Qué relación puede establecer entre los ángulos interiores correspondientes de

ambos triángulos?

2. ¿Describa qué relación encuentra entre los lados correspondientes de ambos

triángulos?

3. Formule una expresión que establezca la relación existente entre 𝛥𝐴𝐵𝐶 y 𝛥𝐸𝐷𝐹

4. La proporción entre 𝛥𝐴𝐵𝐶 y 𝛥𝐸𝐷𝐹 es 4:1 o 1: 1

4, lo anterior ¿Qué implicación tiene?

Active la vista gráfica 2. Asegúrese de estar en esta vista e ingrese en la barra de entrada la

coordenada (𝛼, á𝑟𝑒𝑎 𝛥𝐴𝐵𝐶) . Luego aplique un rastro a la coordenada anterior. Seguidamente

vaya hasta el deslizador de 𝛼 y active la opción de animación, así como se muestra a

continuación:

https://www.geogebra.org/m/hr3evwyv

https://youtu.be/ZMeHSzDHWFg


De forma seguida, visualiza el comportamiento del ángulo𝛼 𝑦 á𝑟𝑒𝑎 𝛥𝐴𝐵𝐶.

5. ¿Para qué valor de 𝛼 el área de 𝛥𝐴𝐵𝐶 será máxima?

Anexo C: Taller de afianzamiento sobre razones trigonométricas y circunferencia unitaria


DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL EN EL CONTEXTO DE LAS FUNCIONES

Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS HACIENDO USO DE LA GD.

OBJETIVO: Interactuar y explorar con el geogebra como mediador del aprendizaje de las

razones trigonométricas y circunferencia unitaria.


Recuerda que: En un triángulo rectángulo cada uno de sus lados reciben los siguientes

nombres de acuerdo a la posición del ángulo indicado, como se muestra a continuación:

Haz uso e interactúa con la construcción elaborada en Geogebra: “Actividad 1”, y contesta las

siguientes preguntas:


Reconocimiento y comprensión de variables: Reconoce, percibe, identifica y caracteriza

las variables asociadas a un fenómeno de variación.

1. ¿En qué rango de valores puede cambiar los valores del ángulo 𝛼 y la medida del lado

𝐴𝐵 desplazando la ubicación del punto B, de tal forma que se forme un triángulo

rectángulo, explica cuál y por qué?

Respuesta:

2. ¿Qué elementos o parámetros afectan o cambian el valor de las razones trigonométricas

de un triángulo rectángulo?

Respuesta:

3. Con tus propias palabras, ¿Cómo podrías definir qué es una razón trigonométrica?

Respuesta:

Anexo C. Taller de afianzamiento sobre razones trigonométricas y

circunferencia unitaria

101

Tratamiento y conversión de sistemas de representación: Representación semiótica:

figural, fenomenología, gráfica, tabular, simbólico, algebraica, numérico variacional.

Desactiva la opción “Razones Trigonométricas” y contesta las siguientes preguntas:

4. ¿Para qué valores de ángulos la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa es

aproximadamente igual a 0.07, 0.5 y 0.87 respectivamente?________, _________,

________.

5. ¿Para qué valores de ángulos la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa es

aproximadamente igual a 0.07, 0.5 y 0.87 respectivamente ?________, _________,

_______.

6. ¿Existe alguna relación entre los valores de los ángulos anteriores, explica cuál y por

qué?_________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

7. ¿Para qué valor del ángulo la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente es

igual a 1? ____________. ¿Qué tipo de triángulos presenta esas

medidas?______________________________

La modelación y la generalización: Formular y visualizar un problema de diferentes


uno matemático.

8. Desactiva la opción “Razones Trigonométricas”, luego, deja fijo el valor del ángulo,

seguidamente, modifica la distancia de la base del triángulo a partir de desplazamiento

del punto B. ¿Explica qué ocurre con la medida de las razones entre cada pareja de

lados del triángulo cuando el ángulo permanece constante? ¿Por qué crees que ocurre

eso?

Respuesta:


9. Activa la opción “Razones Trigonométricas”. Describe qué ocurre (creciente o

decreciente) con las razones trigonométricas seno, coseno y tangente cuando el ángulo

aumenta.

Respuesta:

Haz uso de la construcción elaborada en Geogebra: “Actividad 2” y contesta las siguientes

preguntas:



10. Analiza el comportamiento de las razones entre cada par de lados de ambos triángulos

manteniendo constante el ángulo 𝛼, para ello, debes desplazar la ubicación del punto

D, para el triángulo ADE y el punto B para el triángulo ABC. ¿Qué observas en los

valores de las razones entre ambos triángulos?

Respuesta:

11. Luego de manipular el archivo “Actividad 2”, marca con una X aquellas expresiones que

están correctamente bien escritas, al contener la información necesaria para su

comprensión:

( ) 0.58 = 𝑆𝑒𝑛𝑜 ( ) 𝑇𝑎𝑛 (45°) = 1

( ) 𝐶𝑜𝑠 (0.81) = 39° ( ) 1/2 = 𝐶𝑜𝑠 (60°)

( ) 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 (1.15) = 60° ( ) 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 = 120°



103

12. Escribe una expresión que corresponda a una razón trigonométrica, luego, identifica los

parámetros involucrados y que tipo de valores pueden tomar estos.

Respuesta:



13. Completa la siguiente tabla de valores, que relaciona las razones trigonométricas: seno,

coseno y tangente para un ángulo determinado, realizando una aproximación a las

milésimas.

Ángulo (𝛂) 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°

Sen (𝛼)

Cos (𝛼)

Tan (𝛼)

14. Encierra con un óvalo la representación que mejor compara la relación entre las razones

trigonométricas de los triángulos ADE y ABC, para un mismo ángulo

= = = x

Explica tu elección:

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________




uno matemático.

15. Debido a que ambos triángulos son proporcionales, es decir, la razón entre cada pareja

de lados correspondientes conserva el mismo valor cuando tienen sus ángulos internos

iguales. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿Cuáles son los valores de las razones

trigonométricas para cualquiera de los dos triángulos?

Respuesta:

16. Varía la medida del ángulo 𝛼 y describe el comportamiento que encuentras entre las

razones. Luego enuncia una afirmación que se cumpla en cualquier triángulo con

respecto a la relación encontrada.

Respuesta:

17. Felipe ha logrado ascender hasta el pico de un árbol muy alto. Cuando intenta

descender de este siente temor a caerse por su gran altura. Ante lo cual, su padre decide

lanzar una cuerda hasta su hijo, de 6 metros de longitud, la cual forma con el suelo un

ángulo de 30°.

Construye un esquema que represente la situación. ¿Qué razón trigonométrica nos

permite conocer la altura a la cual se encuentra

Felipe?_____________________________________

Respuesta:



105


preguntas:



18. Modifica la longitud de la base y la altura del triángulo haciendo uso de los deslizadores.

Describe qué relación existe entre las medidas de los ángulos 𝛼 y 𝛾. Explica si es posible

que: 𝛼=90° ó 𝛾=90°.

Respuesta:



19. Completa la siguiente tabla:

Condición Valor Máximo Valor Mínimo

Sen (𝛾)

Cos (𝛾)

Tan (𝛾)




uno matemático.

20. Haz uso de los deslizadores y construye un triángulo cuya base sea 4 unidades y la

altura sea 3 unidades. Luego, analiza los valores de las razones seno, coseno y

tangente para los ángulos 𝛼 y 𝛾. Explica qué relación es posible establecer entre estos.

Respuesta:

21. Luego de explorar e interactuar con la actividad anterior, menciona 2 casos en los cuales

resultaría útil emplear las razones trigonométricas en tu cotidianidad.

Respuesta:

22. En qué caso es válido afirmar que:

𝑆𝑒𝑛 (𝛼) = 𝐶𝑜𝑠 (𝛾):____________________________________________________________


preguntas:



23. Luego de interactuar con la construcción elaborada en Geogebra, completa: las razones

trigonométricas dependen de:___________________________________________ y

son independientes de: __________________________________________________.



107



24. Completa las siguientes oraciones: Para que valores del ángulo,

El Seno se hace máximo: ___________________________________________

El Coseno se hace mínimo: _________________________________________

La Tangente se hace mínimo: ________________________________________

La Tangente se hace máximo: _______________________________________



uno matemático.

25. Relaciona el valor de cada razón trigonométrica de la columna izquierda con la derecha

que tengan el mismo valor. Después explica el criterio que usas para hacerlo.

𝑆𝑒𝑛 (25°) −𝑆𝑒𝑛 (−120°)

𝐶𝑜𝑠 (45°) 𝑇𝑎𝑛 (30°)

1/𝐶𝑜𝑡 (30°) 𝑆𝑒𝑛 (45°)

𝑆𝑒𝑛 (120°) 𝐶𝑜𝑠 (65°)


geogebra y los respectivos links de YouTube donde podrás profundizar en la construcción


Actividad. 1

https://www.geogebra.org/m/aesqnnbz

https://youtu.be/K7QJPezunEQ

Actividad.2

https://www.geogebra.org/m/hjafygee

https://youtu.be/Phljiwx6dyc

Actividad. 3

https://www.geogebra.org/m/khxfpmau

https://youtu.be/abRSt4fil6w

Actividad.4

https://www.geogebra.org/m/vjgmraeb

https://youtu.be/OXgdQ-T6fJE

https://www.geogebra.org/m/aesqnnbz

https://youtu.be/K7QJPezunEQ

https://www.geogebra.org/m/hjafygee

https://youtu.be/Phljiwx6dyc

https://www.geogebra.org/m/khxfpmau

https://youtu.be/abRSt4fil6w

https://www.geogebra.org/m/vjgmraeb

https://youtu.be/OXgdQ-T6fJE

Anexo D: Taller de afianzamiento sobre funciones trigonométricas




OBJETIVO: Lograr una mayor comprensión en el uso de las razones y funciones

trigonométricas a partir de la modelación de situaciones de variación periódica.


RECUERDE LOS SIGUIENTES ELEMENTOS EN LA CARACTERIZACIÓN DE FUNCIONES.


Interactúa con la construcción “Actividad 5” en Geogebra, contesta las siguientes preguntas:



1. Describe cómo cambian las coordenadas 𝑥 y 𝑦 de un punto determinado por un ángulo

ubicado sobre la circunferencia unitaria, que varía de 0 a 𝜋

2𝑟𝑎𝑑 o de 0° a 90°

respectivamente. Utiliza este resultado para predecir el comportamiento de la función

tangente sabiendo que 𝑇𝑎𝑛 𝜃 =𝑆𝑒𝑛 𝜃

𝐶𝑜𝑠 𝜃 para este intervalo.

Anexo D. Taller de afianzamiento sobre funciones trigonométricas 111

Respuesta:



uno matemático.

2. Explica qué relación encuentras entre los valores de las funciones trigonométricas 𝜋

3 𝑦

𝜋

6𝑟𝑎𝑑 .

Respuesta:

3. Luego de interactuar con la interfaz de Geogebra, completa la siguiente tabla sin dar

resultados decimales tabla según corresponda:

𝛼 𝑃 (𝑥, 𝑦) 𝑆𝑒𝑛 (𝛼) 𝐶𝑜𝑠 (𝛼) 𝑇𝑎𝑛(𝛼) 𝐶𝑠𝑐 (𝛼) 𝑆𝑒𝑐 (𝛼) 𝐶𝑜𝑡 (𝛼)

16

12𝜋 =

4

3𝜋

-2 √2

2

-√2

2 -1 √2


4. Completa la siguiente tabla:

Cuadrante Signos de (x,y) Funciones

positivas

Funciones

negativas

I

II

III x<0

y<0

Tangente,

Cotangente

Coseno, Seno,

Secante,

Cosecante

IV




5. Completa los espacios:

La función seno es la función definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛 𝑥, tiene las siguientes propiedades:

● Dominio: ________ ________ : [-1,1]

● EL periodo de la función seno es ________

● La función 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 es impar, ya que 𝑆𝑒𝑛 (−𝑥) = −𝑆𝑒𝑛 (𝑥), para todo 𝑥 en ℝ. Por

tanto. se puede decir que 𝑆𝑒𝑛 (−45°)=________=________

● La gráfica de 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 corta al eje ________ en los puntos cuyas abscisas son: 𝑥 =

𝑛 .ℼ. Para todo número entero 𝑛.

● El valor máximo de 𝑆𝑒𝑛 𝑥 es ________, y el mínimo valor es ________.

● Describe las funciones seno, coseno en términos de su crecimiento cuando el ángulo

theta en posición normal cambia de 0 a 2ℼ




6. Ordena de menor a mayor valor del seno del ángulo que está señalado en cada

triángulo.

𝜶 𝜷 𝜸 𝜹 𝜺

𝑆𝑒𝑛 ( ) < 𝑆𝑒𝑛 ( ) < 𝑆𝑒𝑛 ( ) < 𝑆𝑒𝑛 ( ) < 𝑆𝑒𝑛 ( )



uno matemático.

7. Francisco se encuentra analizando las ondas producidas luego de tocar una trompeta.

Dicha onda sigue el comportamiento descrito por la siguiente expresión:

𝑦 =1

2𝑆𝑒𝑛 (

𝑥

2) + 𝐶𝑜𝑠 (2𝑥) + 𝑆𝑒𝑛 (3𝑥 +

𝜋

4)


Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta que:

Dominio Rango Periodo Intercepto con

x

Intercepto con

y

Máximo Mínimo




8. Completa los espacios:

La función coseno es la función definida por: ________. Tiene las siguientes propiedades:

● Dominio: ________ ________ : [-1, 1]

● Es una función periódica, y su periodo es: ________.

● La función 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 𝑥,es par, ya que 𝐶𝑜𝑠 (−𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 (𝑥), para todo𝑥 en ℝ. Por

tanto, 𝐶𝑜𝑠 (−60°) = ________=________

● La gráfica de 𝑦 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 intercepta al eje x en los puntos cuyas abscisas son ________

● El valor máximo de 𝐶𝑜𝑠 𝑥 es ________, y el valor mínimo valor es ________



9. Observa las gráficas de la función seno y coseno.


Completa el paralelo.

Función Seno Función Coseno

Puntos máximos

Puntos mínimos

Corte con el eje Y

Corte con el eje X

Completa el espacio, para que la expresión sea verdadera: 𝑆𝑒𝑛 (𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 (𝑥 + )



uno matemático.

10. Si 𝛼 =𝜋

4, cuál debe ser la medida del ángulo 𝛽 de tal manera que se cumpla la siguiente

igualdad: 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 𝑆𝑒𝑛 (𝛼 + 𝛽).

Respuesta:





11. Manipule el deslizador del ángulo y complete la siguiente tabla, teniendo en cuenta que

𝑓(𝜙) = 𝑇𝑎𝑛 (𝜙) =𝐶.𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐶.𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝜙 0 1

6𝜋

1

3𝜋

1

2𝜋

2

3𝜋

5

6𝜋

𝜋 7

6𝜋

4

3𝜋

3

2𝜋

5

3𝜋

11

6𝜋

2𝜋

𝜙 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°

𝑓(𝜙)

Ubique las coordenadas en el siguiente plano

Qué puede concluir del comportamiento obtenido.

Respuesta:

12. Construye una expresión algebraica que describe la forma general de los ángulos (en

grados o radianes) que generan valores de tangente de 1 o -1.


Respuesta:

13. La función tangente es continua o discontinua, explica tu respuesta.

Respuesta:




Actividad. 5

https://www.geogebra.org/m/k2agtjh9

https://youtu.be/8unDZiVAUr8

Actividad. 6

https://www.geogebra.org/m/hzumr3vr

https://youtu.be/jnK0lkvu7qA

Actividad. 7

https://www.geogebra.org/m/tcfsfcga

https://youtu.be/h6wS776DbXs

Actividad. 8

https://www.geogebra.org/m/ehevdw9d

https://youtu.be/o6dFG-veG_o

https://www.geogebra.org/m/k2agtjh9

https://youtu.be/8unDZiVAUr8

https://www.geogebra.org/m/hzumr3vr

https://youtu.be/jnK0lkvu7qA

https://www.geogebra.org/m/tcfsfcga

https://youtu.be/h6wS776DbXs

https://www.geogebra.org/m/ehevdw9d

https://youtu.be/o6dFG-veG_o

Anexo E: Taller de afianzamiento sobre traslación de funciones trigonométricas




OBJETIVO: Analizar el cambio en el comportamiento que experimenta una función

trigonométrica al modificar algún parámetro.


Interactúa con la construcción “Actividad 9 ” en Geogebra, contesta las siguientes preguntas:

Para facilitar la comprensión de la actividad se definirá la expresión “condición inicial”

como aquella en la cual 𝑨 = 𝟏, 𝑩 = 𝟏, 𝑫 = 𝟎 y 𝜶 = 𝟎°, es decir, cuando 𝒇(𝜽)= 𝒈(𝜽).



1. La curva 𝑔(𝜃) corresponde a la función inicial, mientras la función 𝑓(𝜃) corresponde a

la obtenida luego de modificar algún parámetro de los establecidos en la ecuación

general. Ubica los deslizadores de 𝐴 y 𝐵 en el valor igual a 1, luego modifica el valor de

𝐷 y describe lo que observas.

Respuesta:


2. Asegúrate de que el deslizador de 𝐷 esté en el valor igual a 0, seguidamente usa

únicamente el deslizador de 𝛼 y explica qué efecto tiene sobre la función 𝑓(𝜃).

Respuesta:

3. Modifica los deslizadores de tal manera que 𝑓(𝜃)= 𝑔(𝜃), luego usa el deslizador de 𝐴 y

describe lo que observaste.

Respuesta:

4. Modifica los deslizadores de tal manera que 𝑓(𝜃)= 𝑔(𝜃), luego usa el deslizador de 𝐵 y

describe lo que observaste.

Respuesta:



5. Ubica la función 𝑓(𝜃) en las condiciones iniciales, luego modifica lentamente el

deslizador de 𝐴, especialmente cuando 0 ≤ 𝐴 ≤ 1, y cuando está entre −1 ≤ 𝐴 ≤ 0,

para ello ayúdate de las teclas de dirección del teclado. ¿Qué ocurre con el

comportamiento de la gráfica?

Respuesta:

Anexo E. Taller de afianzamiento sobre traslación de funciones

trigonométricas

121

6. Ubica la función 𝑓(𝜃) en las condiciones iniciales, luego modifica lentamente el

deslizador de 𝐵, especialmente cuando 0 ≤ 𝐵 ≤ 1, y cuando está entre −1 ≤ 𝐵 ≤

0, para ello ayúdate de las teclas de dirección del teclado. ¿Qué ocurre con el

comportamiento de la gráfica?

Respuesta:

7. Ubica la función 𝑓(𝜃) en las condiciones iniciales, seguidamente ubica el deslizador en

𝐴 = −1 , luego establece 𝐴1 = 1para la función 𝑔(𝜃). Continúa ubicándolo en 𝐴 = −2 ,

luego en 𝐴1 = 2. Por último 𝐴 = −3 , y 𝐴1 = 3. ¿Qué relación encuentras en este

comportamiento?

Respuesta:

8. Ubica la función 𝑓(𝜃) en las condiciones iniciales, seguidamente ubica el deslizador en

𝐵 = −1 , luego establece 𝐵1 = 1 para la función 𝑔(𝜃). Continúa ubicándolo en 𝐵 = −2 ,

luego en 𝐵1 = 2. Por último 𝐵 = −3 , y 𝐵1 = 3. ¿Qué relación encuentras en este

comportamiento?

Respuesta:



Para facilitar la comprensión de la actividad se definirá la expresión “condición inicial”

como aquella en la cual 𝑨 = 𝟏, 𝑩 = 𝟏, 𝑫 = 𝟎 y 𝜶 = 𝟎°.



9. Manipula libremente los parámetros. Luego, relaciona cada columna con el nombre del

parámetro, símbolo utilizado y el efecto que genera en el comportamiento gráfico de la

función.

Traslación vertical 𝐴 Desfase

Comprimir o alargar horizontalmente 𝐵 Amplitud

Desplazamiento entre valor máx y mín 𝛼 Desplazamiento vertical

Traslación horizontal 𝐷 Indicador de la repetición

10. Luego de las interacciones realizadas previamente, relaciona las siguientes columnas.

Gráfica Tipo de transformación Parámetro Función

Reflexión Vertical A 𝑦 = 𝑓 (−𝑥)

Reflexión Horizontal B 𝑦 = −𝑓 (𝑥)


trigonométricas

123



11. Modifica los deslizadores hasta ubicarlos en la condición inicial. Seguidamente,

manipula el deslizador de 𝜶. Coloca el nombre a cada una de las funciones teniendo en

cuenta que son transformaciones de la función seno.

__________

__________

__________

12. Deja activa únicamente la opción de elementos y de la función coseno, luego ubica la

función 𝑔(𝜃) en las condiciones iniciales. Explora manipulando los deslizadores de 𝐴 y

𝐵. La gráfica de la función ℎ(𝜃) que se muestra a continuación ha sido transformada a

partir de la gráfica de 𝑔(𝜃) = 𝐶𝑜𝑠 (𝜃). ¿Qué valores tiene 𝐴 y 𝐵 para ℎ(𝜃) = 𝐴 ∗

𝐶𝑜𝑠 (𝐵𝜃)?

ℎ(𝜃) = 𝐴 𝐶𝑜𝑠 (𝐵𝜃)

ℎ(𝜃) = ___ 𝐶𝑜𝑠(___ 𝜃)

ℎ(𝜃) = 𝐴 𝐶𝑜𝑠 (𝐵𝜃)

ℎ(𝜃) = ___ 𝐶𝑜𝑠(___ 𝜃)


13. El período de una función es cada cuanto la porción principal de la gráfica se repite, es

decir, corresponde a la longitud de un intervalo en el dominio, o sea, del eje 𝑥, en la cual

se esboza el patrón de la gráfica que se repite. Está dada por la expresión: 𝑇 =2𝜋

𝐵 con

𝐵 ≠ 0. Establece la condición inicial, luego, modifica únicamente el valor del deslizador

𝐵, y activa la opción de la función seno y elementos. ¿Cuando el periodo de una función

aumenta? De acuerdo al comportamiento que observaste, ¿En qué caso el periodo sería

mínimo?

Respuesta:

14. Construye la ecuación de la función trigonométrica de acuerdo a las características que

te den:

- Función seno, amplitud 15

3, periodo 2𝜋 , desfase 40°. 𝑦=_______________.

- Función coseno, amplitud 3.5, periodo𝜋. 𝑦=_______________.

- Función seno, amplitud 3

4, periodo 𝜋/2, desfase 𝜋/4 𝑦=_______________.

𝑦=_____________

𝑦=_____________


trigonométricas

125

𝑦=_____________

15. Elabora la representación gráfica de cada una de las funciones que se piden a

continuación y escribe su expresión algebraica correspondiente.

Una transformación del Coseno, que corte al eje

𝑥 en 3

4𝜋 y en

7

4𝜋, y que tenga amplitud 4

unidades.

Una transformación del Seno, que corte al eje 𝑥

en y en 11

8𝜋, y que tenga amplitud

6

2 unidades.

La modelación y la generalización: Formular y visualizar un problema de diferentes formas,

descubrir relaciones, regularidades e invariantes, transferir un problema real a uno

matemático.

16. Si el desplazamiento en función del tiempo 𝑡 de un objeto describe la ecuación 𝑦 = 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡

, o, 𝑦 = 𝐴 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡, entonces el objeto exhibe un movimiento armónico simple donde: 𝐴 es la

amplitud en centímetros que corresponde al desplazamiento máximo del objeto, 𝑇es el

periodo 𝑇 =2𝜋

𝜔 que corresponde al tiempo en segundos necesario para completar un ciclo y

𝐹es la frecuencia 𝐹 =𝜔

2𝜋 que corresponde al número de ciclos por unidad de tiempo.

El desplazamiento de la masa del resorte está dado por: 𝑦 = 3 𝐶𝑜𝑠 (4𝜋𝑡)


Determine el valor del periodo del resorte e

identifícalo gráficamente.

Determine la frecuencia del resorte y explique

el significado de este valor.

17. En el dibujo se observa un resorte del cual se

suspende una masa.

La posición de la masa está dada por la expresión

𝑥 = 7 𝐶𝑜𝑠 10 𝑡, donde el tiempo 𝑡 está expresado en

segundos y la posición 𝑥 en centímetros.

Cuando 𝑡 = 0, el resorte está desplazado hasta la

posición +𝑥.

¿Cuál es el valor de 𝑥?

________________________________________________________________________

Calcula la posición después de 20 segundos.

________________________________________________________________________

Calcula el tiempo en volver a la misma posición.

________________________________________________________________________

18. Las ondas sonoras se transforman en el sonido que escuchamos, lo cual significa que

estas se han transmitido desde la fuente que las emite hasta nuestros oídos que son

capaces de captarlas, a partir de la vibración de las moléculas del aire. Los lugares que

facilitan la creación de ecos de un sonido generalmente corresponde a espacios

cerrados donde la onda choca con un obstáculo y se refleja creando otra secuencia de

ondas sonoras, sin embargo, también es posible percibirlos en lugares abiertos. La

función 𝑓(𝑥) = 5 𝑆𝑒𝑛 (𝑥 + 2) representa las ondas que determinan el sonido antes de

llegar a una montaña y la función 𝑔(𝑥) =5

2∗ (𝐶𝑜𝑠 𝑥 − 2), el sonido después de reflejarse

en dicha montaña (eco). Gráfica cada función en un mismo plano cartesiano. Luego,

halla el rango de las funciones.





Actividad.9

https://www.geogebra.org/m/w9fahvae

https://youtu.be/qF4duy5J-X8

Actividad. 10

https://www.geogebra.org/m/vh4f3yrj

https://youtu.be/zl-9tU_8o6Y

https://www.geogebra.org/m/w9fahvae

https://youtu.be/qF4duy5J-X8

https://www.geogebra.org/m/vh4f3yrj

https://youtu.be/zl-9tU_8o6Y

Anexo F: Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas lineales




OBJETIVO: Estudiar cómo afecta la variación de los parámetros en el comportamiento de la

gráfica y en la solución general de ecuaciones trigonométricas lineales.


Interactúa con la construcción “Actividad 11 ” en Geogebra, contesta las siguientes

preguntas:



1. En una ecuación trigonométrica lineal de la forma 𝐴 𝑆𝑒𝑛 (𝐵𝑥) + 𝐷 = 𝐶, ¿Qué valores

puede tomar 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑦 𝐷?.

Respuesta:


2. ¿Qué ocurre con la gráfica cuando en la expresión 𝐴 𝑆𝑒𝑛 (𝐵𝑥) + 𝐷 = 𝐶, 𝐵 = 0? ¿Cómo

podrías explicar este comportamiento?

Respuesta:

3. Activa la opción de “Ecuaciones con razón SENO”, luego modifica el parámetro 𝐶 de la

ecuación trigonométrica lineal de la forma 𝐴 𝑆𝑒𝑛 (𝐵𝑥) + 𝐷 = 𝐶. Tenga en cuenta que

los puntos de corte son las soluciones para esta ecuación en el intervalo 𝜓 < 𝑥 < 𝜔 .

¿Cómo podría explicar el hecho de que no siempre existan puntos de corte entre la

curva 𝐴 𝑆𝑒𝑛 (𝐵𝑥) + 𝐷 con la recta 𝑦 = 𝐶?

Respuesta:

Anexo F. Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas lineales 131



4. Atribuye a cada gráfica la ecuación que está representando, si las soluciones están en

el intervalo [0, 2𝜋]. Luego, indica el conjunto de soluciones:

A

B

C

D

( ) 3 𝑇𝑎𝑛 𝑥 + 2 = 𝑇𝑎𝑛 𝑥; Soluciones: _____________, ____________,____________,

( ) 2 𝐶𝑜𝑡 𝑥 − 3 = 5 Soluciones: ___________, ____________,____________,

( ) 2 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − √2 = 0 Soluciones: _____________, ____________,___________,

( ) 6 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 3 Soluciones: _____________, ____________,___________,


5. Haciendo uso del aplicativo, manipula los deslizadores de los parámetros 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑦 𝐷,

hasta lograr obtener las ecuaciones que se muestran a continuación. Luego, descifra

la solución aproximada de cada ecuación trigonométrica en el intervalo indicado.

𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 1

2, si −𝜋 < 𝜃 < 𝜋 Soluciones:_________,__________,__________,__________,

2𝑆𝑒𝑛 𝜃 + √3 = 𝜋 , si − 3

2𝜋 < 𝜃 <

1

2𝜋 Soluciones:____________,____________,

6. Relaciona cada ecuación con su respectiva solución matemática, la cual se rige por la

expresión 𝜃 =𝑆𝑒𝑛−1(

𝐶−𝐷

𝐴)

𝐵, ó, 𝜃 =

𝐶𝑜𝑠−1(𝐶−𝐷

𝐴)

𝐵 .

𝑆𝑒𝑛 𝜃 = √2

2, si 0 < 𝜃 < 𝜋 Sol: 𝜃 =

5

6𝜋

𝐶𝑜𝑠 𝜃 = − √3

2, si 0 < 𝜃 < 𝜋 Sol: 𝜃 =

1

6𝜋 y 𝜃 =

5

6𝜋

2𝑆𝑒𝑛 𝜃 − 1 = 2, si 0 < 𝜃 < 𝜋 Sol: 𝜃 = 𝜋

𝑇𝑎𝑛 𝜃 + 1 = 0 si 0 < 𝜃 < 𝜋 Sol: 𝜃 =3

4𝜋

7. En la siguiente tabla se presenta la variación del nivel del agua en la bahía de

Cartagena dentro de un periodo de 24 horas. Lleva a una representación gráfica la

información suministrada en la tabla.

horas transcurridas

desde las 6:00a.m.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

nivel del agua en

metros

8 7 5 2 0 -2.6 -4 -2.6 0 2 5 7 8


De acuerdo a la gráfica obtenida, indique:

¿En qué intervalo de horas es más probable tener alturas de las mareas de superiores a 7

metros? ___________________________________________________________________

¿Qué ocurre entre las 6 y 10 hora transcurrida luego de las 6:00 a.m.?

_________________________________________________________________________

¿Cual es la amplitud de las olas?

_________________________________________________________________________



uno matemático.


preguntas:

8. Para la siguiente actividad se debe hacer uso de la construcción elaborada en

GeoGebra, archivo denominado “Actividad 14”, el cual describe las dimensiones que

debe tener una canaleta que se muestra en la figura 3D. Varía el ángulo 𝛼 y la longitud


del lado 𝑐 utilizando los deslizadores hasta que el área sea aproximadamente igual a

las indicadas en la tabla.

Solución

Área≈3.9 𝑐𝑚2 Lado= 3 𝑐𝑚 Ángulo= 60° Base= 3 𝑐𝑚 Fórmula del área

𝐴 =𝑏. √𝑐2 −

𝑏2

4

2

b=Base

c=lado congruente

entre sí del triángulo

Área≈6.25 𝑐𝑚2 Lado= 𝑐𝑚 Ángulo= 30° Base= 𝑐𝑚

Área≈ 𝑐𝑚2 Lado= 4 𝑐𝑚 Ángulo= 120° Base= 0.93 𝑐𝑚

Área≈ 𝑐𝑚2 Lado= 𝑐𝑚 Ángulo= ° Base= 𝑐𝑚

9. Se desea diseñar un canal para la utilización del agua, tal como se muestra a

continuación.

El ángulo 𝜃 que maximiza el área de un canal con forma trapezoidal se encuentra mediante la

siguiente ecuación:

2 𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 2√3 = 𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 5√3

2

¿Cuál es el valor óptimo de 𝜃?

Respuesta:



preguntas:

10. Se inscribe un triángulo isósceles en un círculo de radio 𝑅 . La expresión

𝐴 = 𝑅2(𝑆𝑒𝑛 𝛼) (𝐶𝑜𝑠 𝛼 + 1) establece el área del triángulo en términos de la medida del

ángulo formado por los dos lados iguales.

Utilice el punto de color rojo que está sobre la circunferencia para identificar, la medida

del ángulo para la cual el área del triángulo sea máxima.

Respuesta:




Actividad. 11

https://www.geogebra.org/m/xrzdjydp

https://youtu.be/WnPfdQ4abZU

Actividad. 12

https://www.geogebra.org/m/xsjsgcbt

https://youtu.be/kmnNwNDZKfI

Actividad. 13

https://www.geogebra.org/m/vxkccbz3

https://youtu.be/tZxSX-fZmEw

https://www.geogebra.org/m/xrzdjydp

https://youtu.be/WnPfdQ4abZU

https://www.geogebra.org/m/xsjsgcbt

https://youtu.be/kmnNwNDZKfI

https://www.geogebra.org/m/vxkccbz3

https://youtu.be/tZxSX-fZmEw

Anexo G: Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas cuadráticas




OBJETIVO: Estudiar y analizar la solución general, numérica y gráfica de las situaciones que

involucren ecuaciones trigonométricas cuadráticas.





1. Escribe una ecuación trigonométrica de segundo grado e identifica los parámetros que

están involucrados.

Respuesta:


2. Manipula los deslizadores de 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶. Luego, establece el rango de valores que puede

tomar y cuáles no, para cada uno de los parámetros.

Respuesta:

3. En qué casos la gráfica generada es lo menos parecida a la presentada en el

comportamiento sinusoidal lineal.

Respuesta:

4. ¿Qué efecto tiene sobre el comportamiento de la gráfica la variación del parámetro 𝐶?

Respuesta:

5. ¿Además del parámetro 𝐴, que otro parámetro afecta considerablemente la distancia

entre el valor máximo y el mínimo?. ¿En qué rango de variación es más notable esta

diferencia?

Respuesta:

Anexo G. Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas

cuadradas

139

6. Aquellas ecuaciones trigonométricas de una variable y de segundo grado (o que puedan

expresarse como tales) se les conoce como ecuaciones trigonométricas cuadráticas. De

acuerdo a lo anterior, clasifica las siguientes expresiones algebraicas en ecuaciones

trigonométricas lineales y cuadráticas.

(𝑆𝑒𝑛 𝑥 − 1)(𝑆𝑒𝑛 𝑥 + 1) = 0; __________________________

2 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − √2 = 0; __________________________________

2 𝐶𝑜𝑠2 𝑥 – 1 = 0 ; ___________________________________

2 𝑆𝑒𝑛2 𝜃 − 𝑆𝑒𝑛 𝜃 = 1; ______________________________

7 𝑆𝑒𝑛 2𝛽 − 2

3 + 𝑆𝑒𝑛 2𝛽 = −3; _________________________

(2 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − 1)(𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 1) = 0 ; ________________________



7. Relaciona cada ecuación con sus soluciones si 0 < 𝜃 < 2𝜋

Ecuación

2𝐶𝑜𝑠 𝜃 + √3 = 0

𝑆𝑒𝑐 𝜃 = 2√3

3

𝑇𝑎𝑛 𝜃 = √3

2𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 1 = 0

2𝑆𝑒𝑛 𝜃 − 3 = 0

𝑆𝑒𝑛 𝜃 = −1

𝑇𝑎𝑛 𝜃 + 1 = 0

Solución

1

6𝜋 𝑦

11

6𝜋

1

2𝜋

3

4𝜋 𝑦

7

4𝜋

5

6𝜋 𝑦

7

6𝜋

1

3𝜋 𝑦

4

3𝜋

3

2𝜋

7

6𝜋 𝑦

11

6𝜋

8. Con la ayuda de los deslizadores gráfica la función 𝑓(𝑥) = 𝐴 𝑆𝑒𝑛2 𝑥, encuentra los

puntos de corte con el eje 𝑥 en el intervalo [−2𝜋 , 2𝜋].

Respuesta:

9. Gráfica la función 𝑓(𝑥) = 3 𝑆𝑒𝑛2 𝑥. Con la ayuda de la gráfica anterior, completa la

siguiente tabla de valores y encuentra algo común entre ellos.

𝑥 -2𝜋 -3

2𝜋 -𝜋 -

1

2𝜋 0 1

2𝜋

𝜋 3

2𝜋

2𝜋

𝑓(𝑥)

Que se obtiene al calcular 𝑓(−3

2𝜋)y 𝑓(

3

2𝜋), o, 𝑓(−𝜋)y 𝑓(𝜋). ¿La función es par o impar?

Respuesta:

10. Gráfica la ecuación 𝐴 𝑆𝑒𝑛2 𝑥´ + 𝐵 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = 𝐷. ¿Qué le ocurre a la gráfica?

Respuesta:



preguntas:



uno matemático.

11. La distancia horizontal y vertical máxima que recorre un balón están dadas por la

fórmula 𝑋 =𝑉0.

2 𝑆𝑒𝑛 (2𝛼)

𝑔 y 𝑌 =

𝑉0.2 𝑆𝑒𝑛2(𝛼)

2𝑔 respectivamente, donde 𝑉0 es la velocidad

inicial, 𝛼 el ángulo de salida del proyectil y 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2.

En la vista Gráfica 1 encontrará el camino que sigue el balón en el plano, es decir, la variación

de su posición durante el tiempo de vuelo, para ello, debe manipular el deslizador 𝑇

Revisa independientemente el comportamiento de la distancia vertical y horizontal recorrida

Vs. Tiempo en la vista Gráfica 2. Describe las características que encuentras en cada uno.

¿Cómo podrías definir el movimiento que sigue el balón?

Respuesta:

Anexo G. Taller de afianzamiento sobre ecuaciones trigonométricas

cuadradas

143

12. Manipule el deslizador 𝛼 en la vista Gráfica 1, y saca conclusiones frente a lo que

observas.

Respuesta:

13. En la vista Gráfica 2 encontrará la variación de la distancia horizontal y vertical máxima

y el tiempo de vuelo en función del ángulo con el cual es pateado el balón. Describe las

características que encuentras en cada uno.

Respuesta:

14. Si el balón alcanza una distancia horizontal máxima de 34,64 𝑚 en la tierra, con una

velocidad inicial de 20 𝑚/𝑠, ¿Cuál fue el ángulo de salida?

Respuesta:

15. Si el balón es lanzado con una velocidad inicial de 10 𝑚/𝑠 desde la luna (𝑔 𝐿𝑢𝑛𝑎 =

2 𝑚/𝑠2) y alcanza una distancia horizontal máxima de 43,3 𝑚, ¿Cuál fue el ángulo de

salida?

Respuesta:


16. Se requiere que un balón lanzado con una velocidad inicial 15 𝑚/𝑠 alcance una altura

mayor a 10 𝑚, ¿Cúal es el valor del ángulo mínimo con que debe salir disparado desde

la Tierra?

Respuesta:

17. ¿Cuál es el efecto de la 𝑔 sobre 𝑋 𝑦 𝑌?

Respuesta:




Actividad. 14

https://www.geogebra.org/m/ws78vuju

https://youtu.be/SpbD85x0xjo

Actividad. 15

https://www.geogebra.org/m/ntwqnp3h

https://youtu.be/EzX6PP6gwZw

https://www.geogebra.org/m/ws78vuju

https://youtu.be/SpbD85x0xjo

https://www.geogebra.org/m/ntwqnp3h

https://youtu.be/EzX6PP6gwZw

Anexo H: Taller de profundización sobre el movimiento armónico simple




OBJETIVO: Desarrollar el pensamiento variacional a partir del análisis del comportamiento

del periodo en los sistemas masa-resorte y péndulo propios de los movimientos armónicos

simples.


MODELOS M.A.S.: Un objeto presenta produce un movimiento armónico simple (M.A.S.)

cuando las fuerzas restauradoras que actúan sobre él, son proporcionales a la distancia en que

se desplaza con respecto al punto de equilibrio.



⮚ SISTEMA MASA-RESORTE

Haciendo uso del simulador virtual de PHET, llamado laboratorio de masas y resortes,

interactúe con los parámetros mostrados en su interfaz:

Tomado de:

https://phet.colorado.edu/sims/html/masses-and-springs/latest/masses-and-springs_es.html

https://phet.colorado.edu/sims/html/masses-and-springs/latest/masses-and-springs_es.html


1. ¿Qué parámetros afectan el movimiento de un sistema masa-resorte?

Respuesta:

2. ¿Cómo definirías el movimiento de un sistema masa-resorte?

Respuesta:

3. ¿Qué tipo de valores pueden tomar los parámetros que afectan el movimiento?

Respuesta:

⮚ SISTEMA PÉNDULO SIMPLE

Haciendo uso del simulador virtual de PHET, llamado laboratorio de péndulo, realice

libremente la manipulación de los parámetros que desee, luego conteste las siguientes

preguntas:

Tomado de: https://phet.colorado.edu/sims/html/pendulum-lab/latest/pendulum-lab_es.html

https://phet.colorado.edu/sims/html/pendulum-lab/latest/pendulum-lab_es.html

Anexo H. Taller de afianzamiento sobre el movimiento armónico simple 147

4. ¿Qué parámetros afectan el movimiento de un péndulo?

Respuesta:

5. ¿Cómo definirías el movimiento de un péndulo?

Respuesta:

6. ¿Qué tipo de valores pueden tomar los parámetros que afectan este movimiento?

Respuesta:



uno matemático.

Con respecto al movimiento de un sistema masa-resorte, verifique que ocurre con:

7. La amplitud de la oscilación cuando aumenta la masa que está sujeta al resorte:

____________________________________________________________________

8. El periodo y la frecuencia del movimiento cuando disminuye la constante elasticidad

del resorte: ___________________________________________________________


9. El periodo cuando se duplica la constante de elasticidad del resorte:

____________________________________________________________________

Con respecto al movimiento del péndulo, verifique que ocurre con:

10. ¿Cómo debe variar la longitud del péndulo para hacer que la frecuencia aumente?

____________________________________________________________________

11. ¿La masa colgada del péndulo afecta de alguna manera el fenómeno?

____________________________________________________________________

12. ¿Cuantos grados de desfase se debe mover el peso que pende de la cuerda para

asegurarnos de que se presente un movimiento armónico simple?

____________________________________________________________________

Anexo I: Taller de profundización sobre cinemática del movimiento armónico simple




OBJETIVO: Fortalecer el desarrollo de los procesos asociados al pensamiento variacional a

través del reconocimiento del carácter trigonométrico de la cinemática del movimiento armónico

simple.





preguntas:

1. Fija los parámetros de la siguiente manera: 𝐴 = 8, 𝜔 = 2 y 𝜑 = 0°. Luego, selecciona

únicamente la casilla de control de Posición y luego realiza la animación del deslizador

𝑡. ¿Cómo identificar gráficamente el valor de 𝜔?

Respuesta:


2. Selecciona únicamente la casilla de control de la velocidad. Luego, describe el

comportamiento de esta en un sistema masa-resorte durante una oscilación, teniendo

como referencia (𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜) 𝑇,𝑇

2,

𝑇

4 .

Respuesta:

3. Activa la casilla de control de Posición, Velocidad y Aceleración. ¿Cuál de todas las

gráficas presenta mayor número de oscilaciones en un mismo periodo de tiempo?

Respuesta:

4. ¿Qué ocurre en la gráfica de posición Vs. Tiempo, cuando aumenta el desfase en

comparación al comportamiento obtenido sin aplicar un desfase?

Respuesta:



Anexo I. Taller de afianzamiento sobre cinemáticadel movimiento armónico

simple

151

5. Una partícula sigue un M.A.S. en un plano horizontal, si se sabe que 𝜔2 = 9 y la

velocidad en el eje x es: 𝑣(𝑡) = −36 ∗ 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡 −𝜋

4), escribe la expresión algebraica

donde identifiques plenamente, los elementos: 𝐴, 𝜔 𝑦 𝜑.

Respuesta:

6. Traza la gráfica aproximada del comportamiento de la posición, velocidad y aceleración

de una partícula que tiene un M.A.S.

𝐴𝜔2

𝐴𝜔

+𝐴

𝑋 = 0

−𝐴

𝐴𝜔

𝐴𝜔2

0 𝑇

4

𝑇

2

3𝑇

4 𝑇

7. La siguiente gráfica corresponde al comportamiento de la posición de una partícula. A

partir de esta, construye la expresiones algebraicas que describen la velocidad y

aceleración de esta en un 𝑇 = 2𝜋


Respuesta:



uno matemático.

8. ¿Qué se espera que ocurra con la velocidad y la aceleración de la partícula si la

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 (𝐴) aumenta?

Respuesta:

9. Completar la siguiente tabla, teniendo en cuenta que el movimiento es horizontal:

Posición −𝑨 𝑿 = 𝟎, Equilibrio +𝑨

Velocidad 𝒗 = 𝟎

Aceleración 𝒂 = 𝑨𝝎𝟐


preguntas:

10. Luego de explorar con el aplicativo, ¿Qué diferencia sustancial encuentras asociada al

movimiento del sistema masa-resorte en comparación a la actividad 16?.


simple

153

Respuesta:

11. Escribe la expresión algebraica que representa el valor máximo de la velocidad y

aceleración de cualquier partícula que se mueve bajo un M.A.S.

Respuesta:

12. ¿En qué caso se consigue que la amplitud de las gráficas posición, velocidad y

aceleración sea igual? ¿A qué se debe que ocurra esto?

Respuesta:

13. Simula la siguiente expresión en la actividad de Geogebra: 𝑎(𝑡) = −4(2)2𝑆𝑒𝑛 (2𝑡 + 0°),

¿Cuál es intervalo de tiempo en el que se alcanza una aceleración mayor a 15𝑐𝑚

𝑠2 ?

Respuesta:


14. Felipe desea alargar el tiempo que le toma a un sistema masa-resorte vertical ir y volver

a su posición inicial. ¿Qué le recomiendas hacer para conseguir esto?

Respuesta:


preguntas:



15. ¿Qué rango de valores puede tomar 𝜃, 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑, 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑, para mantener un

movimiento oscilatorio?

Respuesta:

16. Luego, de explorar el comportamiento del oscilador armónico, a través de la

manipulación de los parámetros 𝜃, 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑, 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 a lo largo del 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜, ¿Qué

factores afectan la amplitud del movimiento?

Respuesta:


simple

155

17. ¿Cómo afecta la 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 el movimiento del péndulo?

Respuesta:



uno matemático.

18.Un péndulo se mueve con un 𝜃 = 10° y 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 = 10, ¿Cuál debe ser la longitud de

la cuerda para que el movimiento tenga una amplitud igual a 1?

Respuesta:

19. Un péndulo se mueve con un 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 = 3 𝑐𝑚 y 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 = 5𝑐𝑚/ 𝑠2, se

requiere que su movimiento tenga como mínimo una amplitud 3 𝑐𝑚 , a partir de qué

ángulo mínimo se debe desplazar el objeto para conseguir lo solicitado?

Respuesta:


20. ¿Cómo debe variar la longitud del péndulo para hacer que la frecuencia aumente?

Respuesta:




Actividad. 16

https://www.geogebra.org/m/nrnvrf8y

https://youtu.be/S8VrQ2ueU80

Actividad. 17

https://www.geogebra.org/m/egqfzdfz

https://youtu.be/mSz6KuMf7tw

Actividad. 18

https://www.geogebra.org/m/xpgwxs8s

https://youtu.be/0THDBlpHjyE

https://www.geogebra.org/m/nrnvrf8y

https://youtu.be/S8VrQ2ueU80

https://www.geogebra.org/m/egqfzdfz

https://youtu.be/mSz6KuMf7tw

https://www.geogebra.org/m/xpgwxs8s

https://youtu.be/0THDBlpHjyE

diseño de actividades de aprendizaje orientadas al

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