dinamica de vigas.pdf

Dinmica y anlisis de vigas: aplicaciones

del mtodo de la transformada de Laplace

Ramn de Paco Gabarrn

DIRECTORES:

JUAN L.G. GUIRAO Y J.A. VERA

PROYECTO FINAL DE CARRERA

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE CARTAGENADEPARTAMENTO DE MATEMTICA APLICADA Y

ESTADSTICA

Dinmica y anlisis de vigas: aplicaciones delmtodo de la transformada de Laplace.

RAMN DE PACO GABARRN

PROYECTO FINAL DE CARRERA.

DIRECTORES: JUAN L.G. GUIRAO Y J.A. VERA

CARTAGENA, 2012

A mi abuelo Diego

Agradecimientos

En primer lugar quiero dar las gracias a los profesores Juan Luis Garca Guirao yJuan Antonio Vera Lpez, directores de este Proyecto Final de Carrera, por su generosay valiosa ayuda en la elaboracin del mismo. Y por supuesto quiero agradecer la ayuday el apoyo de toda mi familia y dems personas que me han animado.

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE CARTAGENA

Dpto. Matemtica Aplicada y Estadstica

D. Juan Luis Garca Guirao, Catedrtico de Universidad, y D. Juan Antonio VeraLpez, Profesor Asociado, del rea de Matemtica Aplicada en el Departamento deMatemtica Aplicada y Estadstica de la Universidad Politcnica de Cartagena,

AUTORIZAN:

La presentacin del Proyecto Final de Carrera titulado Dinmica y anlisis de vi-gas: aplicaciones del mtodo de la transformada de Laplace, realizado por D. Ramnde Paco Gabarrn, bajo nuestra direccin y supervisin, en el Departamento de Mate-mtica Aplicada y Estadstica, y que presenta para su defensa.

En Cartagena, a de de 2012

LOS DIRECTORES DEL PROYECTO FINAL DE CARRERA

Fdo. Juan Luis Garca Guirao Fdo. Juan Antonio Vera Lpez

ndice general

1. Ecuaciones diferenciales 11.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Nociones bsicas: ecuacin diferencial, sistemas de ecuacionesdiferenciales y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2. Familias nparamtricas de soluciones y funciones . . . . . . . 31.1.3. Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4. Relacin entre ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuacio-

nes diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.5. Ecuaciones en variables separadas . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.6. Aplicaciones en ingeniera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.7. Familia de curvas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.8. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.9. Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.10. Existencia y unicidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.11. Anlisis cualitativo de las ecuaciones de orden uno: el mtodo

de las isoclinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2. Ecuaciones y sistemas lineales. Teora fundamental . . . . . . . . . . . 17

1.2.1. Existencia y unicidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.2. Estructura de las soluciones de un sistema diferencial lineal . . 201.2.3. Resolucin del sistema no homogneo a partir de una matriz

fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.4. Estructura de las soluciones de la ecuacin lineal . . . . . . . . 211.2.5. Resolucin de la ecuacin no homognea a partir de un sistema

fundamental de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3. Ecuaciones y sistemas lineales. Resolucin y aplicaciones . . . . . . . 24

1.3.1. Exponencial de una matriz real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.2. Resolucin de sistemas diferenciales lineales no homogneas

por el mtodo de los coeficientes indeterminados . . . . . . . . 31

I

II NDICE GENERAL

1.3.3. Resolucin de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientesconstantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3.4. Resolucin de ecuaciones diferenciales lineales no homogneaspor el mtodo de los coeficientes indeterminados . . . . . . . . 33

2. Transformada de Laplace 372.1. El mtodo de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2. Definicin, propiedades y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3. Cmputo de la inversa de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . 442.4. Teora de distribuciones: Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3. Vigas arquitectnicas 513.1. Teora de vigas de EulerBernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1.1. Ecuacin esttica de una viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.2. Viga en voladizo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.3. Vigas simplemente soportada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.4. Vigas empotradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2. Dinmica de vigas: integracin va momento flector . . . . . . . . . . 543.2.1. Viga apoyada sobre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.2. Viga empotrada en la pared . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3. Aplicacin mtodo transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.1. Viga en voladizo con carga uniforme p0 . . . . . . . . . . . . . 613.3.2. Viga empotrada con carga puntual p0 en la mitad de la viga . . . 62

Bibliografa 65

Captulo 1

Ecuaciones diferenciales

El objetivo de este captulo es ofrecer una introduccin de los rudimentos de ecua-ciones diferenciales ordinarias que utilizaremos a lo largo de la confeccin de este tra-bajo.

1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

La teora de las ecuaciones diferenciales es una de las ramas con mayor aplicacinde las matemticas a otras disciplinas cientficas. Por citar algunos casos concretos deaplicaciones se pueden dar en Fsica las rbitas planetarias, en Qumica la cintica delas reacciones qumicas, en Economa ciertos modelos dinmicos de espacios econ-micos, en Ecologa la dinmica de los ecosistemas, en Ingeniera la teora de fluidos yen Arquitectura el clculo de estructuras. Pretendemos en este primer contacto con lasecuaciones diferenciales definir con precisin lo que entenderemos por ecuacin dife-rencial, sistema de ecuaciones diferenciales y lo que entendemos por soluciones de s-tos. Recalcaremos que las soluciones no tienen por qu ser nicas e introduciremos porello las familias nparamtricas de soluciones. Un paso ms nos llevar a la definicinde problema de Cauchy. En cuanto a las ecuaciones diferenciales de primer orden quepresentamos prestaremos atencin a las ecuaciones en variables separadas, ecuacioneslineales y exactas, incluyendo la bsqueda de factores integrantes. Somos conscientes dela gran cantidad de mtodos existentes, estudiados en libros como [NOR 95, p. 37-87]o [B 93, Captulo 1].

Presentaremos varios ejemplos de cada uno de los tipos de ecuaciones que presente-

1

2 CAPTULO 1. ECUACIONES DIFERENCIALES

mos. Adems de la resolucin de ecuaciones dedicaremos una seccin a dar un teoremade existencia y de unicidad para las ecuaciones de orden uno, aunque lo enunciaremosen trminos de funciones de clase C1 y no de funciones lipschitzianas. La ltima sec-cin estar dedicada al estudio cualitativo de soluciones de ecuaciones de orden uno, enparticular presentaremos el mtodo de las isoclinas siendo conscientes de que la reso-lucin analtica no siempre es posible, s ser el estudio cualitativo de las soluciones.Como libros de referencia para la confeccin de este captulo hemos utilizado [Jim 00,Captulo 1] , [NOR 95, Captulos 1-3], [MC 99, Captulo 19] y [BGo 00, Captulo 19].

1.1.1. Nociones bsicas: ecuacin diferencial, sistemas de ecuacio-nes diferenciales y soluciones

Iniciamos esta seccin introduciendo lo que es una ecuacin diferencial ordinariaque no es ms que una expresin del estilo:

f(t, y, y, ..., y(n)) = 0 (1.1)

donde f : D Rn+2 R es una funcin definida en un subconjunto abierto D Rn+2. Una ecuacin diferencial se dir autnoma si f no depende de t, es decir, es unaexpresin del estilo g(y, y, ..., y(n)) = 0, donde g : D Rn+1 R.

A la variable t le daremos el nombre de variable independiente y con frecuenciautilizaremos x en lugar de t, dependiendo de los fenmenos fsicos que modelemos encada momento. La variable y se llamar variable dependiente. Pondremos a continua-cin ejemplos de ecuaciones diferenciales (no autnomas):

y + y x = 0,

log(y2) + ty y3 = 0,

y + 4y sen(ty) = 0,

y ahora ecuaciones diferenciales autnomas:

y + cos(y) = 0,

tan(y4) + y arcsen(y3) = 0,

y + 4y ey = 0.

Seguimos ahora con la nocin de solucin. Una funcin real definida en un intervaloabierto I , y : I R, es solucin de la ecuacin diferencial (1.1) si es nveces derivablecon derivadas continuas y para todo elemento t I se verifica

f(t, y(t), y(t), ..., yn(t)) = 0.

1.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 3

Ilustraremos esta definicin con la ecuacin diferencial tyy = 3t2, para ella probare-mos que para cada eleccin de nmeros reales c1 y c2 se tendr que y(t) = t3 +c1t2 +c2es solucin.

Una primera observacin que se desprende de este ejemplo es que las solucionesno van a ser nicas, en particular, en nuestro ejemplo hay infinitas soluciones. Otraobservacin que se debe hacer es que las soluciones deben buscarse en intervalos dedefinicin lo ms grandes posibles, es decir lo que se busca son soluciones maximales.

Notemos que la definicin de solucin de ecuaciones diferenciales no excluye quedemos como solucin funciones definidas implcitamente. As podemos decir que parala ecuacin diferencial yy+ t = 0, la expresin t2 + y2 = c2 (c constante) define a y enfuncin de t en el intervalo (

c,c) siendo y(t) solucin de yy + t = 0.

Seguimos definiendo un sistema de ecuaciones diferenciales como una coleccin deexpresiones como la que sigue:

f1(t, y1, y1, ..., y

(n)1 , y2, y

2, ..., y

(n)2 , yk, y

k, ..., y

(n)k ) = 0,

f2(t, y1, y1, ..., y

(n)1 , y2, y

2, ..., y

(n)2 , yk, y

k, ..., y

(n)k ) = 0,

....................................................................

fs(t, y1, y1, ..., y

(n)1 , y2, y

2, ..., y

(n)2 , yk, y

k, ..., y

(n)k ) = 0.

Las variables y1, y2, ..., yk reciben el nombre de variables dependientes y t recibe elnombre de variable independiente. Slo consideraremos sistemas con el mismo nmerode variables dependientes que de ecuaciones, es decir, sistemas con k = s. La nocinde solucin es anloga a la introducida anteriormente, es decir, a la funcin solucin sele pide lo mismo que a las soluciones de una ecuacin diferencial pero con cada una delas ecuaciones del sistema.

Para clarificar esta definicin propondremos verificar que el sistema de ecuacionesdiferenciales:

x = y, y = x+ t,

tiene por soluciones x(t) = t+ c1 cos(t) + c2 sen(t), y(t) = 1 + c1 sen(t) c2 cos(t)en el intervalo I = R para cada par de nmeros reales c1, c2.

Acabamos esta seccin definiendo el orden de una ecuacin diferencial como el msalto grado de las derivadas que aparecen.

1.1.2. Familias nparamtricas de soluciones y funciones

En esta seccin pretendemos mostrar que, en general, las soluciones de una ecua-cin diferencial dependen de nparmetros, aunque tambin veremos que se presentarn


bastantes excepciones. Empezamos considerando la ecuacin diferencial y = f(t) parala que es claro que una solucin es y(t) =

f(t)dt + c, donde c es cualquier nmero

real yf(t)dt denota una primitiva fija de la funcin f(t). Nos planteamos estudiar

despus la ecuacin y = f(t) cuya solucin es y(t) = (

f(t)dt)dt+c1t+c2 donde

c1 y c2 son nmeros reales cualesquiera fijos. Siguiendo con el mismo razonamiento, lasolucin de y(n) = f(t) depender de nparmetros.

En general, la ecuacin diferencial f(t, y, y, ..., y(n)) = 0 tiene por soluciones unafamilia nparamtrica de funciones, es decir, una familia de funciones del tipo y(t) =f(t, c1, c2, ..., cn) o en forma implcita, g(t, y, c1, c2, ..., cn) = 0.

Aunque lo expuesto hasta aqu es cierto en general (ya lo veremos) conviene ponerde manifiesto contraejemplos sencillos a esta regla. En efecto, la ecuacin diferencialy2 + (y)2 = 1 no tiene soluciones, y2 + (y)2 = 0 tiene como nica solucin lafuncin y : R R constantemente igual a 0 y por ltimo (yy)(y2y) = 0 tiene porsoluciones la familia biparamtrica definida implcitamente por (yc1et)(yc2e2t) = 0.

Parece lgico preguntarse si fijada una familia nparamtrica de funciones, y(t) =f(t, c1, c2, ..., cn) o g(t, y, c1, c2, ..., cn) = 0, existe una ecuacin diferencial cuyas solu-ciones incluyen la familia fijada. En general la respuesta a este problema es afirmativay para encontrar la ecuacin diferencial basta con derivar nveces la funcin y(t) ob-teniendo as n + 1 ecuaciones de las que eliminaremos c para obtener una nica ecua-cin diferencial. Ilustraremos este procedimiento buscando una ecuacin diferencial quecontenga como soluciones a la familia uniparamtrica y(t) = c cos(t) + t y otra para lafamilia biparamtrica z(t) = c1et + c2e2t.

Derivando respecto de t se obtiene y(t) = c sen(t) + 1, de donde

y(t) = (y(t) t) sen(t)cos(t)

+ 1.

As que la familia uniparamtrica y(t) = c cos(t) + t satisface la ecuacin y =(ty)tan(t)+1. Para obtener la ecuacin diferencial de la familia biparamtrica z(t) =c1e

t + c2e2t derivamos dos veces respecto de t y obtenemos z(t) = c1et + 2c2e2t,

z(t) = c1et + 4c2e

2t, ahora eliminamos c1 y c2 utilizando las tres ecuaciones y seobtiene z(t) 3z(t) + 2z(t) = 0, por lo que la familia biparamtrica satisface laecuacin diferencial:

z 3z + 2z = 0.

1.1.3. Problema de Cauchy

Llegados a este punto se impone una reflexin. Si las ecuaciones diferenciales mo-delan fenmenos fsicos de los que queremos estudiar su comportamiento posterior, noparece razonable que sus soluciones sean infinitas como estamos viendo que de hecho


sucede. En realidad nuestro fenmeno fsico deber quedar determinado por una sola delas soluciones desechando las dems, este proceso de eleccin de la funcin adecuadase puede realizar con xito porque podremos medir, en general, el estado inicial del sis-tema (el valor de la funcin en un valor determinado de t), a esta condicin inicial sele llama condicin de Cauchy si la variable t es temporal y condicin de contorno si lavariable x es espacial. Llegamos as a la definicin de problema de Cauchy. Entendemospor problema de Cauchy a una expresin del estilo:

f(t, y, y, ..., y(n)) = 0,

y(t0) = y0,1,

y(t0) = y0,2,

......

y(t0)(n1) = y0,n.

Una solucin del problema de Cauchy es una funcin definida en un intervalo abiertoI , y : I R, de manera que y(t) es solucin de la ecuacin diferencial y ademsy(k)(t0) = y0,k para cada k {0, 1, ..., n 1}. Acabaremos este apartado resolviendo elproblema de Cauchy:

ty y = 3t2,y(1) = 1,

y(1) = 1,

sabiendo que la familia biparamtrica y(t) = t3+c1t2+c2 es una solucin de la ecuacindiferencial que define el problema de Cauchy.

1.1.4. Relacin entre ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuacio-nes diferenciales

Dedicamos este apartado a justificar que una ecuacin diferencial de orden n esequivalente a un sistema de n ecuaciones diferenciales de orden 1. En particular demos-traremos que la ecuacin (E):

y = f(t, y, y, ..., y(n))

es equivalente al sistema (S):


y1 = y2,

y2 = y3,

......

yn1 = yn,

f(t, y1, y2, ..., yn1, yn) = 0,

en el sentido que si y(t) es solucin de la ecuacin (E) entonces y(t), y(t),...,y(n1)(t)son una solucin del sistema (S). Recprocamente, si y1(t), y2(t),..., yn(t) son solucindel sistema (S) entonces y1(t) es solucin de la ecuacin (E) e y2(t), ...,yn(t) son las de-rivadas sucesivas de y1(t). Con lo cual, este mtodo nos permite pasar de una ecuacinde orden n a un sistema de n ecuaciones de primer orden. Como la solucin de la ecua-cin depende en general de n parmetros, la solucin del sistema tambin depender den parmetros.

1.1.5. Ecuaciones en variables separadas

Una ecuacin diferencial en variables separadas es una ecuacin de primer orden dela forma

y = f(t)g(y)

o cualquier otra ecuacin diferencial que pueda reducirse a ella. Ejemplos de estas ecua-ciones son:

y = eyt log(t),

y =t

sen(y),

y = etarcsen(y),

y =3t+ t2

log(t)

y

y 1

y = g(y).

Hemos querido iniciar el estudio de las ecuaciones de primer orden con las ecuacio-nes en variables separadas porque son las ms sencillas de resolver. En efecto, si y(t) essolucin entonces y(t) = f(t)g(y(t)) y por lo tanto si g(y(t)) 6= 0 se tiene que

y(t)

g(y(t))= f(t)


para cada t. Sean ahora G(y) =

1g(y)

dy una primitiva de 1g(y)

y F (t) =f(t)dt una

primitiva de f(t) (en generalf(t)dt denota una primitiva particular de la funcin f ,

mientras quef(t) representa a todas las primitivas de f(t), es decir, todas aquellas

funciones que tienen por derivada a f(t)).Usando ahora la regla de derivacin compuesta se obtiene

[G(y(t))] = G(y(t))y(t) =y(t)

g(y(t))= f(t)

por lo que G(y(t)) es una primitiva de f(t) y por lo tanto existir una constante c talque G(y(t)) = F (t) + c, o lo que es lo mismo, y(t) est definida implcitamente porG(y) = F (t) + c, es decir,

1

g(y)dy =

f(t)dt+ c

es la solucin general de la ecuacin en variables separadas.Para fijar ideas, proponemos resolver el problema de Cauchy

y =y cos(t)

1 + 2y2, y(0) = 1.

Segn lo expuesto, la solucin de la ecuacin viene dada por la expresin1 + 2y2

ydy =

cos(t)dt+ c,

y haciendo ambas primitivas se obtiene

log(y) + y2 = sen(t) + c,

ahora la condicin inicial y(0) = 1 fuerza a que c = 1 y por lo tanto la solucin delproblema viene dada en forma implcita por la ecuacin:

log(y) + y2 = sen(t) + 1.

1.1.6. Aplicaciones en ingeniera

Empezamos esta seccin con la exposicin del problema de la catenaria como unpaso preliminar al estudio de vigas. Este problema consiste en determinar la forma quetoma un cable cuando se suspende de dos puntos y se deja bajo la accin de la gravedad,es el caso pues, de los cables de fluido elctrico apoyados en dos torres.

Para resolver el problema fijamos un sistema coordenado como muestra la figura,donde hacemos coincidir el origen coordenado con el punto ms bajo que toma el cable


y donde el eje x es tangente a la curva que adopta el cable. Para obtener la ecuacin dela curva utilizaremos que el cable est en equilibrio entre el punto ms bajo y el puntoQ = (x, y(x)), la funcin p(s) nos da densidad lineal de peso del cable. Las fuerzas queactan en el problema son:

1. la tensin horizontal H en el punto ms bajo,

2. la tensin en el punto Q, que es variable y que denotamos por T (x, y).

3. el peso de la porcin de cadena entre O y Q(x, y) que denotaremos por P (x, y).

Figura 1.1: Catenaria

Puesto que el sistema est en equilibrio, la suma de las fuerzas horizontales (resp.verticales) debe ser cero. As que:

T (x, y) cos() = H y T (x, y) sen() = s0

p(s)ds,

donde la integral s0p(s)ds es la integral que nos da el peso del cable entre el punto O y

el punto Q(x, y) situado a una distancia s medida sobre la curva y(x). Deducimos ahorade la primera de las dos ecuaciones

T (x, y) sen() = Htan() = Hy(x),

por lo tanto

Hy(x) =

s0

p(t)dt.


Derivamos la igualdad anterior respecto de la variable x y se obtiene

Hy =d

dx

s0

p(s)ds =d

ds

s0

p(t)dtds

dx= p(s)

1 + y(x)2,

lo que indica que la curva y(x) es solucin de la ecuacin diferencial

Hy = p(s)l + (y)2.

Resolvemos la anterior ecuacin en el caso que la funcin p(s) sea constante e igual ap, que es el caso comentado de los cables de tendido elctrico. La ecuacin queda como

y =p

H

1 + (y)2,

y cambiando y por z transformamos la ecuacin diferencial anterior por

z =p

H

1 + z2

que es una ecuacin en variables separadas con solucin (utilcese que z(0) = 0):

log(z +

1 + z2) = ax.

Despejando z y cambiando de variable se obtiene:

y(x) =H

2p(e

pxH + e

pxH ).

Representamos para acabar la curva y(x) para los valores H = 10 y p = 3.

Una primera aproximacin al problema de la braquistocrona

Esta seccin est dedicada a la exposicin del problema de la braquistocrona y a vercmo podemos resolverlo utilizando las ecuaciones diferenciales y la ley de refraccinde Snell. No es una resolucin formal pero s una aproximacin. En 1606 Jean Ber-noulli plante encontrar la curva que conecta dos puntos A y B separados horizontal yverticalmente una distancia prefijada (que para mayor comodidad supondremos 1 me-tro en ambas direcciones) de manera que si dejamos caer una bola por la curva bajo laaccin de la gravedad tarda tiempo mnimo. Entre otros, Newton, Leibniz, LHpital,Jakob Bernoulli y el propio Jean Bernoulli dieron respuesta al problema. Para mayorsimplicidad supondremos A = (0, 0) yB = (1, 1) (vase Figura 1.1.6). La solucin quedaremos no se obtiene realmente mediante una resolucin formal ya que utilizamos queuna partcula que se deslice por la curva que minimiza el tiempo debe verificar que

sen((y))

v(y)= c,


Figura 1.2: Catenaria por el paso particular y(x) = 53(e

3x10 + e

3x10 ).

donde v(y) es la velocidad de la partcula cuando se encuentra en el punto (x, y(x)),dicha igualdad se obtiene haciendo un smil con la ley de refraccin de la luz de Snell.Ahora bien, la velocidad v(y) es fcil de calcular utilizando el principio de conservacinde la energa, de donde se obtiene

v =

2gy.

Podemos encontrar ya la ecuacin diferencial que satisface la funcin y(x), en efecto

sen((y)) =1

1 + tan2(2 (y))

=1

1 + (y(x))2,

ahora, combinando las ecuaciones anteriores tenemos

y(1 + (y)2) = c

para una constante c. Esta ltima ecuacin se puede reescribir como una ecuacin dife-rencial en variables separadas

y =

c yy

,

cuya solucin general viene dada por c yy

dy = x+ c1

para una constante c1. Ahora integramos la ecuacin como hemos indicado en el apar-tado de ecuaciones en variables separadas y determinamos la constante c1 para llegar a


la solucin

x = c

( tan()

1 + tan2()

)=c

2(2 sen(2))

donde

= arctan(c yy

).

Figura 1.3: Problema de la braquistocrana.

1.1.7. Familia de curvas ortogonales

Dadas dos familias de curvas F y G, se dice que son ortogonales si para cada par decurvas, y(x) de la primera y z(x) de la segunda, se tiene que las intersecciones de ambasson perpendiculares, es decir, los vectores tangentes de ambas curvas en los puntos deinterseccin son perpendiculares. Con las tcnicas desarrolladas en este tema podemosreducir el problema de encontrar una familia de curvas ortogonales a una familia fijadaH, a resolver una ecuacin diferencial.

Este problema de encontrar familias de curvas ortogonales tiene inters en fsica.En efecto, si una corriente fluye por una lmina plana de material conductor, las curvasequipotenciales son las lneas perpendiculares a las lneas de flujo.

Pasamos pues a ver cmo se resuelve el problema, para ello suponemos fijado unafamilia de curvas, H, definida mediante una ecuacin diferencial y = f(x, y), lo cualquiere decir que la curva de H que pase por un punto (x0, y0), y : I R, tendr en


dicho punto pendiente f(x0, y0) y por lo tanto una curva perpendicular que intersequecon ella deber tener pendiente 1

f(x0,y0). As que la familia de curvas ortogonales a H

debe satisfacer la ecuacin diferencial z = 1f(x,z)

.

1.1.8. Ecuaciones lineales

En esta seccin vamos a considerar las ecuaciones lineales de primer orden, es decir,ecuaciones del tipo: a0(t)y + a1(t)y = b(t), donde las funciones a0(t), a1(t) y b(t)las suponemos continuas y definidas en un intervalo I , adicionalmente suponemos quea0(t) 6= 0 para todo t I , con lo cual la ecuacin anterior puede reescribirse como:

y + p(t)y = q(t).

Tanto p(t) como q(t) sern funciones continuas y siguiendo la notacin de los sistemasde ecuaciones lineales, diremos que la ecuacin es homognea cuando q(t) 0 y nohomognea en caso contrario.

Resolucin de la ecuacin lineal

El objetivo de este apartado es resolver la ecuacin y + p(t)y = q(t), la idea dela resolucin es sencilla, consiste en multiplicar la ecuacin por una funcin (t) demanera que el miembro izquierdo de la ecuacin obtenida sea ahora la derivada de lafuncin (t)y(t) (explicaremos que la funcin recibe el nombre de factor integrante).Despus tomaremos primitivas en ambos miembros y dividiremos por (t) para obtenery(t).

Calculando, no es difcil llegar a la expresin de :

(t) = ep(t)dt.

Ahora tenemos que la ecuacin de partida queda equivalente a ((t)y(t)) = (t)q(t) ypor lo tanto, la solucin general es:

y(t) =1

(t)

(t)q(t)dt+ c.

Si ahora consideramos un problema de Cauchy asociado a una ecuacin diferenciallineal cabe preguntarse si la solucin ser nica para cada condicin inicial dada. Larespuesta la da el siguiente teorema.

Teorema 1.1.1. Sea t0 un punto del intervalo I e y0 R. El problema de Cauchy

y + p(t)y = q(t)

y(to) = y0,


tiene solucin nica dada por la expresin

y(t) =1

(t)

( tt0

(s)q(s)ds+ y0

),

donde:

(t) = exp( t

t0

p(s)ds

).

Conviene hacer notar en este punto que la solucin general obtenida es realmentegeneral en el sentido que cualquier solucin se escribe segn la expresin anterior, lademostracin de este hecho se deduce del teorema anterior.

Por ltimo, pasaremos a explicar cmo acortar los clculos para obtener solucionesgenerales de la ecuacin. A este respecto demostraremos que la solucin general de laecuacin no homognea se puede obtener como la suma de la solucin general de laecuacin homognea yh + p(t)yh = 0 con una de las soluciones particulares de la nohomognea. La ventaja de resolver de este modo la ecuacin lineal no homognea esque la resolucin de la homognea resulta ms sencilla:

yh(t) = cexp(p(t)dt

),

quedndonos a expensas de encontrar una solucin particular.Para obtener una solucin particular de la ecuacin no homognea utilizaremos el

principio de superposicin de soluciones: si y1(t), y2(t),...,yn(t) son soluciones de y +p(t)y = q1(t), y + p(t)y = q2(t),..., y + p(t)y = qn(t) respectivamente, entoncesa1y1(t) + a2y2(t) + ...+ anyn(t) es solucin de

y + p(t)y = a1q1(t) + a2q2(t) + ...+ anqn(t).

Para finalizar el apartado expondremos el mtodo de los coeficientes indeterminados,eficaz en la bsqueda de soluciones de la ecuacin lineal para p(t) constante y q(t) de laforma et[Pm(t) cos(t) +Qm(t) sen(t)], siendo Pm(t) y Qm(t) polinomios de gradomenor o igual que m. El mtodo sugiere buscar las soluciones de la ecuacin entrefunciones del tipo:

y(t) = et[Rm(t) cos(t) + Sm(t) sen(t)],

donde Rm(t) y Sm(t) son polinomios de grado menor o igual que m con coeficientesque hay que determinar usando la ecuacin. No obstante, existe una salvedad al mtodoanterior, si q(t) = eptPm(t), siendo Pm(t) un polinomio de grado menor o igual quem. Buscaremos la solucin particular entre funciones de la forma y(t) = tRm(t)ept

con Rm(t) un polinomio con coeficientes a determinar.


1.1.9. Ecuaciones exactas

En esta seccin vamos a estudiar ecuaciones diferenciales de primer orden del tipo

M(t, y) +N(t, y)y = 0,

siendo M y N funciones continuas definidas en un abierto D de R2. Estas ecuacionesse escriben normalmente como:

M(t, y)dt+N(t, y)dy = 0.

Para este tipo de ecuaciones, si existe una funcin f : D R2 R de clase C1tal que f

tf(t, y) = M(t, y), f

y(t, y) = N(t, y) y f(t, y) = c define a y como funcin

implcita de t entonces la funcin y(t) tal que f(t, y(t)) = c es solucin de la ecuacindiferencial. En efecto, derivamos en la anterior igualdad para obtener:

d

dtf(t, y(t)) =

f

t(t, y) +

f

y(t, y)y(t) = M(t, y(t)) +N(t, y(t))y(t) = 0.

Recprocamente, si y : K R es solucin de la ecuacin diferencial entonces:

0 = M(t, y(t)) +N(t, y(t))y(t) =f

t(t, y) +

f

y(t, y)y(t) =

f

t(t, y)

y por lo tanto f(t, y(t)) = cte. Se impone pues, dada una ecuacin diferencial de estetipo, buscar una funcin f : D R2 R de clase C1 tal que f

tf(t, y) = M(t, y),

fy

(t, y) = N(t, y). Este tipo de ecuaciones diferenciales para las que existe la funcinf se llaman ecuaciones diferenciales exactas. El siguiente teorema da respuesta a estacuestin.

Teorema 1.1.2. Supongamos que M(t, y) y N(t, y) son funciones de clase C1 definidasen un abierto D = I J donde I y J son intervalos de R. Entonces son equivalentes:

1. La ecuacin M(t, y) +N(t, y)y = 0 es exacta,

2. My

(t, y) = Nt

(t, y).

En este caso, fijados t0 I e y0 J , la solucin general de la ecuacin exacta vienedada por

f(t, y) :=

tt0

M(s, y)ds+

yy0

N(t0, u)du = c.

Si adems N(t0, y0) 6= 0 entonces el problema de Cauchy M(t, y) + N(t, y)y = 0,y(t0) = y0, tiene solucin nica, que est definida implcitamente por la ecuacinf(t, y) = 0.


Proponemos la ecuacin (3t2 + 4ty)dt + (2t2 + 2y)dy = 0 para ilustrar el mtodode resolucin que propone el anterior teorema. La ecuacin es exacta, en efecto:

(3t2 + 4ty)

y= 4t y

(2t2 + 2y)

t= 4t,

si ahora fijamos una condicin de Cauchy y(1) = 1, la solucin del problema de Cauchyviene dada por

0 = f(t, y) =

t1

(3s2 + 4sy)ds+

y1

(2 + 2u)du = t3 + 2t2y + y2 4.

Factores integrantes

Empezamos esta seccin haciendo notar que la definicin que hemos dado de ecua-cin exacta es ambigua ya que puede ocurrir que exista una funcin : D R2 Rcontinua que no se anule en ningn punto y tal que (t, y)M(t, y)dt+(t, y)N(t, y)dy =0 sea exacta sin que M(t, y)dt + N(t, y)dy = 0 lo sea. Y evidentemente se trata de lamisma ecuacin diferencial, sera pues ms correcto hablar de ecuaciones escritas enforma exacta y de ecuaciones escritas en forma no exacta.

Para abordar la resolucin de ecuaciones escritas en forma no exacta se introduce lanocin de factor integrante que no es ms que una funcin : D R2 R de claseC1 que no se anula en ningn punto y tal que

(t, y)M(t, y)dt+ (t, y)N(t, y)dy = 0

est escrita en forma exacta. Como estamos pidiendo a que no se anule, las ecuacionesM(t, y)dt+N(t, y)dy = 0 y (t, y)M(t, y)dt+(t, y)N(t, y)dy = 0 tienen las mismassoluciones. La funcin debe verificar (utilizando el Teorema 1.1.2)

(M)

y=(N)

t,

o lo que es lo mismo,

M

y+M

y=

N

t+N

t,

de donde

N

tM

y=

(M

y N

t

).

No obstante, la ecuacin anterior es una ecuacin en derivadas parciales, en gene-ral, mucho ms difcil de resolver que nuestra ecuacin de partida. As que hallaremosfactores integrantes por mtodos directos y nos limitaremos a factores integrantes de laforma (t, y) = (t) o (t, y) = (y).


1.1.10. Existencia y unicidad de soluciones

Ya comentamos al introducir la nocin de problema de Cauchy, la importancia deque este tenga solucin nica si estamos tratando con ecuaciones diferenciales que mo-delan fenmenos fsicos, ya que sin esta unicidad puede que no podamos predecir elcomportamiento futuro del sistema. Dejaremos claro en esta seccin que la solucin notiene que ser nica y ni siquiera tiene por qu existir. No obstante, bajo ciertas condicio-nes s que existe la solucin.

En primer lugar ponemos un par de ejemplos, el primero de ellos,

y = xlog(y)

y(0) = 1,

muestra que un problema de Cauchy no tiene por qu tener solucin. A continuacinconsideramos el problema

y = 3y23

y(0) = 0,

que tiene la ecuacin diferencial en variables separadas y que podremos resolver comohemos indicado anteriormente obteniendo y(t) = t3 para todo t R. Obsrvese que lafuncin y(t) = 0 para todo t R tambin es solucin. En definitiva, este problema deCauchy no tiene solucin nica.

Expondremos seguidamente un resultado que garantiza la existencia y unicidad desoluciones.

Teorema 1.1.3. Sea f : D = [t0 a, t0 + a] [y0 b, y0 + b] R continua y conderivada parcial f

ycontinua en D, sea M = max{|f(x, y)| : (x, y) D}. Entonces el

problema de Cauchy

y = f(t, y)

y(t0) = y0,

tiene solucin nica definida en [t0 , t0 + ] donde = mn{a, bM }.

Observamos que el resultado anterior admite una formulacin ms general en trmi-nos de funciones localmente lipschitzianas respecto de la variable y. Por ltimo haremosnotar que la existencia de soluciones para problemas de Cauchy (no la unicidad) se de-duce exigiendo nicamente la continuidad de la funcin f .

1.2. ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES. TEORA FUNDAMENTAL 17

1.1.11. Anlisis cualitativo de las ecuaciones de orden uno: el mto-do de las isoclinas

Hasta ahora, el estudio que hemos hecho de las ecuaciones de orden uno slo permiteabordar la solucin de algunos tipos concretos de ecuaciones, lo cual implica que, engeneral, no seremos capaces de encontrar soluciones de una ecuacin de orden unoelegida al azar.

El mtodo de las isoclinas no nos va a permitir resolver la ecuacin diferencial peros extraer cierta informacin cualitativa de las soluciones de una ecuacin diferencialy = f(x, y). En efecto, si y(x) es una solucin de y = f(x, y) y (x0, y0) es un puntode la grfica, entonces la pendiente de la solucin en dicho punto es y(x0) = f(x0, y0)que es un valor que conocemos.

Los puntos del plano donde la grfica tiene pendiente sern

{(x, y) : f(x, y) = a},

que en general representa una curva llamada isoclina para la pendiente a. Dibujando lasisoclinas de la ecuacin y dndose cuenta de que las curvas de las soluciones que cortana una isoclina lo hacen con la misma pendiente, podemos hacernos una idea aproximadade la forma de las soluciones.

Atencin especial merecen las isoclinas para la pendiente 0 puesto que son las curvasdonde se van a localizar los extremos relativos de las funciones soluciones de la ecuacindiferencial. Por otro lado, la segunda derivada de una solucin habr de verificar:

y(x) =f

x(x, y(x)) +

f

yy(x),

lo cual nos permite averiguar las zonas de concavidad y convexidad de las curvas solu-cin.

1.2. Ecuaciones y sistemas lineales. Teora fundamental

Esta seccin est dedicada al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales de ordenuno y de las ecuaciones diferenciales lineales de orden mayor que uno. Estudiar estetipo de sistemas tiene bastante inters ya que algunos sistemas mecnicos y elctricosde ingeniera estn modelados por ecuaciones y sistemas lineales.

Nos centraremos en el estudio de las soluciones, en particular veremos qu estruc-tura tienen, sin embargo dejaremos para la seccin siguiente el problema de calcularlas soluciones. Por otro lado, esta parte tiene una conexin fuerte con el lgebra lineal,


al ser las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones de orden arbitra-rio espacios vectoriales finito dimensionales. Las referencias que hemos usado para eldesarrollo de la seccin son: [NOR 95, pag. 217-219] y [Jim 00, Captulo 3].

Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es un sistema de ecuaciones dife-renciales de la forma

y1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + ...+ a1nyn + b1(x), (1.2)

y2 = a21(x)y1 + a22(x)y2 + ...+ a2nyn + b2(x),

.....................................................

yn = an1(x)y1 + an2(x)y2 + ...+ annyn + bn(x),

donde las funciones aij(x) y bi(x) son continuas para todo 1 i, j n en un intervaloI . Este sistema de ecuaciones diferenciales se puede escribir resumidamente como

y = A(x)y + b(x), (1.3)

donde

A(x) =

a11(x) a12(x) ... a1n(x)

a21(x) a22(x) ... a2n(x)

... ... ... ...

an1(x) an2(x) ... ann(x)

y b(x) =

b1(x)

b2(x)

...

bn(x)

.

Hacemos notar que en la ecuacin (1.3) y denota la derivada coordenada a coor-denada, cuando b(x) es el vector 0 el sistema de ecuaciones diferenciales se dice ho-mogneo y en caso contrario, se dice que el sistema es no homogneo. Diremos que elsistema (1.2) es de coeficientes constantes si todas las funciones aij(x) son constantes,o equivalentemente si la matriz A(x) es constante.

Una ecuacin diferencial lineal de orden n es una expresin de la forma

an(x)yn + an1(x)y

(n1) + an2(x)(x)y(n2) + ...+ a1(x)y

+ a0(x)y = c(x), (1.4)

donde las funciones ai(x), 1 i n, y c(x) estn definidas en un intervalo I y soncontinuas. Si la funcin an(x) es tal que an(x) 6= 0 para todo x de I , entonces laecuacin (1.4) se puede reescribir como

y(n) + cn1(x)y(n1) + cn2(x)y

(n2) + ...+ c1(x)y + c0(x)y = d(x), (1.5)


siendo las funciones ci(x), 1 i n, y d(x) continuas en el intervalo I . Seguida-mente hacemos notar que la ecuacin diferencial anterior se puede reescribir como unsistema diferencial lineal introduciendo las variables yi = y(i1), 1 i n:

y1

y2...

yn

=

0 1 0 ... 0

0 0 1 ... 0

... ... ... ... ...

c0(x) c1(x) c2(x) ... cn1(x)

y1

y2...

yn

+

0

0

...

d(x)

Planteamos esta seccin de manera que iremos de lo general a lo particular, en con-

creto veremos primero las propiedades que satisfacen las soluciones de las expresiones(1.2) y (1.5) para despus pasar al clculo efectivo de dichas soluciones, aunque acla-ramos ya, que no seremos capaces de resolver todos los casos posibles que se puedenplantear a priori.

1.2.1. Existencia y unicidad de soluciones

Empezamos esta seccin mostrando que los sistemas de ecuaciones diferencialeshomogneos tienen solucin nica una vez fijada una condicin inicial. El siguienteteorema resume dicha existencia y unicidad de soluciones.

Teorema 1.2.1 (Existencia y unicidad de soluciones). Dado el sistema de ecuacionesdiferenciales y = A(t)y + b(t), siendo cada componente de A y b funciones continuasdefinidas en un intervalo I . Entonces, el problema de Cauchy

y = A(t)y + b(t),y(t0) = y0,

tiene solucin nica definida en todo el intervalo I .

Notemos que la solucin del problema de Cauchy, y(t), satisface:

y(t) = y0 + tt0

(A(s)y(s) + (s))ds. (1.6)

Y recprocamente, cualquier funcin y(t) que satisfaga la ecuacin integral anteriorser solucin del problema de Cauchy.

Por otro lado, este teorema de existencia y unicidad de soluciones implica la exis-tencia y unicidad de soluciones para la ecuacin lineal de orden n en los trminos quedamos a continuacin:


Teorema 1.2.2 (Existencia y unicidad de soluciones). El problema de Cauchy:

y(n) + a1(t)y(n1) + ...+ an1y

+ an(t) = b(t)

y(t0) = y0,1,

y(t0) = y0,2,

...................

y(n1)(t0) = y0,n,

para funciones continuas a1(t), a2(t),..., an(t) y b(t) definidas en un intervalo I tienesolucin nica.

1.2.2. Estructura de las soluciones de un sistema diferencial lineal

Empezamos ocupndonos de la estructura de las soluciones del sistema homogneo

y = A(t)y (1.7)

en particular demostraremos el resultado que sigue.

Teorema 1.2.3. Las soluciones del sistema lineal homogneo (1.7) tienen estructura deespacio vectorial sobre R. Adems su dimensin es n (n es el nmero de componentesde y).

Definimos a continuacin la nocin de matriz fundamental asociada al sistema (1.7)que no es ms que una matriz Y (t) cuyas columnas constituyen una base de las solucio-nes de (1.7). Ahora se puede ver sin dificultad que si Y (t) es una matriz fundamental,entonces para cualquier matriz C Mn(R) invertible, de nmeros reales, se tiene queY (t)C es una matriz fundamental. Recprocamente, para cualquier matriz fundamentalZ(t), existe una matriz invertible C de nmeros reales tal que Z(t) = Y (t)C. Usandoeste resultado se puede probar fcilmente la siguiente caracterizacin.

Teorema 1.2.4. Sea Y Mn(C(I)) cuyas columnas son solucin de (1.7). Entoncesson equivalentes:

1. Y (t) es una matriz fundamental,

2. existe t0 I tal que detY (t0) 6= 0,

3. para todo t I , detY (t) 6= 0.


1.2.3. Resolucin del sistema no homogneo a partir de una matrizfundamental

Si ahora consideramos el sistema lineal no homogneo, sus soluciones tienen tam-bin una determinada estructura algebraica tal y como reza el resultado que sigue.

Teorema 1.2.5. El conjunto de soluciones del sistema y = A(t)y+b(t) tiene estructurade variedad afn de dimensin n sobre R. Es decir, toda solucin y(t) del sistema tienela forma

y(t) = 1y1 + 2y2 + ...+ nyn + yp(t),

donde i R para 1 i n. Las funciones y1(t), y2(t),..., yn(t) son solucioneslinealmente independientes de (1.7) e yp es una solucin particular del sistema (1.2).

A la luz de este teorema conviene resaltar en este punto que tenemos ante noso-tros dos problemas de envergadura para encontrar las soluciones de (1.2). El primerode ellos es encontrar una matriz fundamental de (1.7) (este problema, que para el casounidimensional era muy fcil, ser tratado posteriormente aunque no podremos abor-darlo totalmente). El segundo es encontrar una solucin particular de (1.2), para elloutilizaremos el principio de superposicin de soluciones y el mtodo de variacin de lasconstantes. Este ltimo consiste en buscar una solucin particular de (1.2) entre funcio-nes de la forma

yp(t) = Y (t)(c1(t), c2(t), ..., cn(t))t,

para una adecuada funcin c(t), la cual veremos que debe satisfacer

c(t) =Y 1b(t)dt.

Con lo cual las soluciones de la ecuacin (1.7) sern:

y(t) = Y (t)k + Y (t)Y 1b(t)dt

para cada vector constante k. Por otro lado justificaremos que el problema de Cauchytendr por solucin:

y(t) = Y (t)Y 1(t0)y0 + Y (t) tt0

Y 1(s)b(s)ds. (1.8)

1.2.4. Estructura de las soluciones de la ecuacin lineal

Aprovechando la estructura que satisfacen las soluciones de los sistemas linealesy utilizando la relacin que existe entre sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones


lineales, segn se ha visto en la introduccin del desarrollo de los contenido de estetema, vamos a dar un teorema de estructura de las soluciones de la ecuacin diferenciallineal homognea de grado n:

y(n) + cn1(t)y(n1) + cn2(t)y

(n2) + ...+ c1(t)y + c0(t)y = 0, (1.9)

siendo ci(t), 0 i n 1, y d(t) funciones continuas definidas en un intervalo I .En primer lugar podemos establecer:

Teorema 1.2.6. Las soluciones de (1.9) forman un espacio vectorial real de dimensinn. El teorema anterior nos permite definir un sistema fundamental de soluciones de(1.9) como una base {y1(t), y2(t), ..., yn(t)} del espacio de soluciones de (1.9). Debidoa que cualquier solucin de nuestra ecuacin lineal homognea ser de la forma:

y(t) = 1(t)y1(t) + 2(t)y2(t) + ...+ n(t)yn(t).

Ser importante disponer de alguna herramienta para saber si un conjunto de solucio-nes de (1.9) es un sistema fundamental o no. Para ello introducimos seguidamente lanocin de wronskiano.

Definicin 1.2.7. Dado un conjunto de funciones z1(t), z2(t),..., zn(t) de clase Cn1,definimos el wronskiano de dicho conjunto en un punto t como:

W (z1(t), z2(t), ..., zn(t)) =

z1(t) z2(t) ... zn(t)

z1(t) z2(t) ... z

n(t)

... ... ... ...

z(n1)1 (t) z

(n1)2 (t) ... z

(n1)n (t)

.

La definicin de wronskiano nos permite reescribir el Teorema 1.2.6 como sigue:

Teorema 1.2.8. Sean y1(t), y2(t),... , yn(t) soluciones de (1.9). Entonces las siguientesafirmaciones son equivalentes:

1. y1(t), y2(t),... , yn(t) es un sistema fundamental,

2. existe t0 I tal que W (y1(t0), y2(t0), ..., yn(t0)) 6= 0,

3. para todo t I , W (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) 6= 0.

Este resultado tiene un anlogo para la ecuacin diferencial lineal de orden n:


Teorema 1.2.9. El conjunto de soluciones de 1.2 tiene estructura de variedad afn dedimensin n sobre el cuerpo de los nmeros reales. Es decir, toda solucin y(t) de (1.9)es de la forma

y(t) = 1y1(t) + 2y2(t) + ...+ nyn(t) + yp(t),

donde i R para 1 i n, el conjunto y1(t), y2(t),... , yn(t) constituye un sistemafundamental de la ecuacin homognea (1.9) e yp(t) es una solucin particular delproblema no homogneo.

1.2.5. Resolucin de la ecuacin no homognea a partir de un siste-ma fundamental de soluciones

En este caso, para encontrar la solucin particular de la ecuacin no homognea,aplicaremos el mtodo de variacin de las constantes buscando una solucin particularque sea de la forma

yp(t) = e1(t)y1(t)(t) + e2(t)y2(t) + ...+ en(t)yn(t).

Veremos adems para concluir esta seccin, que las funciones ei(t) verifican:

e1(t)

e2(t)

...

en(t)

=

y1(t) y2(t) ... yn(t)

y1(t) y2(t) ... y

n(t)

... ... ... ...

y(n1)1 (t) y

(n1)2 (t) ... y

(n1)n (t)

0

0

...

b(t)

dt, (1.10)donde la integral anterior se entiende que se toma componente a componente. Ilustrare-mos este mtodo aplicndolo a la ecuacin

y 3ty +

3

t2y = 2t 1,

para la que suponemos conocido que {t, t3} es un sistema fundamental de la ecuacinhomognea.

Siguiendo las indicaciones generales antes dadas buscamos una solucin particularde la forma

yp(t) = e1(t)t+ e2(t)t3

donde las funciones e1 y e2 deben ser elegidas como en (1.10). Por lo tanto:(e1(t)

e2(t)

)=

( t2

2+ t

2

log(t) + 12t

).


As que la solucin general de la ecuacin y 3ty + 3

t2y = 2t 1, es

y(t) = c1t+ c2t3 + t2 + t3log(t),

con c1 y c2 dos nmeros reales arbitrarios.

1.3. Ecuaciones y sistemas lineales. Resolucin y apli-caciones

Esta seccin tiene tres partes diferenciadas: resolucin de sistemas lineales de ecua-ciones diferenciales de orden uno, resolucin de ecuaciones lineales de orden n y apli-caciones de dichas ecuaciones y sistemas.

En cuanto a los mtodos de resolucin presentados, destacamos el no uso de la formacannica de Jordan para el clculo de la exponencial de una matriz. La razn de no ha-cerlo es la imposibilidad de introducir estos conceptos en la parte de lgebra lineal. Porotro lado, conviene tener en cuenta que los mtodos que se presentan no son operativospara sistemas de ms de cuatro ecuaciones debido al tiempo que se tiene que emplearpara su resolucin. En cuanto a las ecuaciones diferenciales lineales nos ocuparemos deaqullas que tienen coeficientes constantes, para pasar despus al mtodo de los coefi-cientes indeterminados a la hora de buscar soluciones de la ecuacin no homognea contrmino independiente siendo combinacin lineal con coeficientes polinmicos de senosy cosenos, todo ello multiplicado por una exponencial. Este mtodo supondr una alter-nativa al mtodo de variacin de las constantes estudiado con anterioridad. Tambin seestudiar el mtodo de los coeficientes indeterminados en la resolucin de sistemas nohomogneos. Una vez estudiadas las ecuaciones lineales de orden n se ver cmo trans-formar un sistema lineal en un ecuacin lineal para utilizar los mtodos de resolucinde stas y obtener as tambin las soluciones del sistema lineal. Las fuentes que hemosutilizado para la confeccin de esta seccin son: [B 93], [Jim 00, Captulo 3] , [Jef 93,Captulo 5], [NOR 95, Captulo 7]. Para las aplicaciones a las ciencias experimentalesson de inters: [Ada 67, p. 101112], [BP 96, p. 165186] y [Sim 93, p. 111119] .

1.3.1. Exponencial de una matriz real

Haciendo algunas analogas con la exponencial real podemos introducir el conceptode exponencial de una matriz A Mm(C(I)).

Definicin 1.3.1. Dada una matriz A Mm(C(I)) donde I es un intervalo cualquiera,se define la exponencial de dicha matriz como

exp(A) = eA :=k=0

Ak

k!

1.3. ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES. RESOLUCIN Y APLICACIONES 25

Enunciamos las propiedades ms importantes de la exponencial:

1. A y eA conmutan,

2. la exponencial de la matriz 0 es la matriz identidad Im,

3. si AB = BA entonces eAB = eAeB,

4. la matriz eA es siempre invertible siendo su inversa eA,

5. si P es una matriz invertible y A = PBP1 entonces eA = PeBP1.

La ltima propiedad tiene una importancia especial para calcular la exponencial dematrices diagonalizables, en efecto, si A es una matriz real diagonalizable de tamaomm, existir una matriz invertible P tal que D = PAP1 es una matriz diagonal:

D =

1 0 ... 0

0 2 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... n

por lo tanto eA = P1eDP . Adems el clculo de la exponencial de D es trivial:

Proposicin 1.3.2. Usando la notacin de esta seccin, se tiene:

etD =

e1 0 ... 0

0 e2 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... en

.

Aplicacin de la exponencial a la resolucin de sistemas homogneos

Es el momento de justificar el porqu definir la exponencial de una matriz. En parti-cular es interesante ver cul es la derivada de la exponencial de una matriz de funciones.El siguiente resultado, que no demostraremos, explica el comportamiento de la derivada.

Teorema 1.3.3. Sea B(t) una matriz de funciones definidas en un intervalo I R. SiB(t) es derivable siendo todas las componentes de B(t) continuas, entonces eB(t) esderivable con derivadas continuas.

Adems, si B(t)B(t) = B(t)B(t) entonces

(eB(t)) = B(t)eB(t).


Como consecuencia de este teorema obtenemos el siguiente resultado que tiene granimportancia y cuya prueba no ofrece dificultad.

Teorema 1.3.4. Sea A(t) una matriz de funciones definidas en el intervalo I y de tama-o n n y sea B(t) una primitiva de A(t). Si B(t)A(t) = A(t)B(t) entonces la matrizeB es una matriz fundamental del sistema lineal homogneo y = A(t)y.

En particular, si A(t) es constante, entonces etA es una matriz fundamental delsistema y = Ay. Adems, y(t) = e(tt0)Ay0 es la solucin del problema de Cauchy:

y = Ay,y(t0) = y0.

Es importante pues notar que no siempre el mtodo de la exponencial de una matrizconducir a encontrar la solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales, aunque enel caso de que la matriz sea constante el mtodo ser suficiente para resolver el sistemadiferencial.

Otra observacin es que, aunque la matriz asociada al sistema diferencial lineal seaconstante, no siempre es fcil calcular la exponencial, de momento slo sabemos cal-cularla para matrices diagonalizables. Por ello debemos desarrollar otros mtodos paracalcular la exponencial que no involucren la matriz de Jordan que es tediosa en generalde computar. Para ello desarrollaremos un mtodo basado en el teorema de CayleyHamilton. Antes un ejemplo.

Ejemplo 1.3.5. Resolver el sistema y = A(t)y, siendo

A(t) =

(0 1

1 0

)

Solucin: Empezamos calculando una primitiva de A(t), que ser

B(t) =

(t 0t2

2t

)ahora como

A(t)B(t) = B(t)A(t) =

(t 0

3t22

t

),

entonces eB(t) es una matriz fundamental del sistema. En este caso la exponencial esfcil de calcular. Para ello descomponemos la matriz B(t) como

B(t) =

(t 0

0 t

)+

(0 0

t2

20

)


estas dos matrices conmutan y por lo tanto

eB(t) = exp

(t 0

0 t

)+ exp

(0 0

t2

20

).

Recurrimos a la definicin para calcular las dos exponenciales anteriores y se obtie-ne:

1.

exp

(t 0

0 t

)=

(et 0

0 et

),

2.

exp

(0 0

t2

20

)=

(1 0

0 1

)+

(0 0

t2

20

)+

(0 0

0 0

)=

(1 0

t2

21

).

Por lo tanto:

eB(t)

(et 0

0 et

)(1 0

t2

21

)=

et 0et

t2

2 et

,y la solucin del sistema es:

y(t) =

(c1et

(c1t2

2+ c2)e

t

)donde c1 y c2 son constantes reales.

Un mtodo para construir la exponencial de una matriz basado en elteorema de CayleyHamilton

Centramos nuestros esfuerzos en esta seccin en dar un mtodo efectivo para cons-truir la exponencial de una matriz eAt, siendo A una matriz de Mm(R). Dicho mtodoest basado en el Teorema de CayleyHamilton.

Supongamos que pA(x) es el polinomio caracterstico de la matriz A y que su es-pectro es (A) = {1, 2, ..., k} con multiplicidades m(i) = ri para todo 1 i k.Empezamos buscando para cada i, 1 i k, polinomios ai(x) de grado a lo sumori 1 de manera que se tenga la igualdad:

1

pA(x)=

ki=1

ai(x)

(x i)ri,


de donde se deduce:

1 =ki=1

ai(x)pA(x)

(x i)ri.

Seguidamente evaluamos el polinomio anterior en x = A, de donde se tiene1:

Im =ki=1

ai(A)pA(A)

(A i)ri.

que se puede escribir abreviadamente como:

Im =ki=1

ai(A)qi(A) con qi(A) =pA(A)

(A i)ri.

Observemos que para todo i, 1 i k,

eAx = eixIme(AiIm)x = eixj=0

(A iIm)jxj

j!,

y ahora multiplicando por qi(A):

qi(A)eAx = eix

ri1j=0

(A iIm)jxj

j!,

ya que por el Teorema de CayleyHamilton, para todo j ri, qi(A)(A iIm)j =PA(A)(A iIm)jri = 0.

Multiplicamos ahora la ecuacin anterior por ai(A) y obtenemos:

ai(A)qi(A)eAx = eix

ri1j=0

ai(A)qi(A)(A iIm)jxj

j!.

Por ltimo, sumamos las ecuaciones anteriores desde i = 1 hasta i = k para obtener:

eAx =ki=1

(eixai(A)qi(A)

ri1j=0

(A iIm)jxj

j!

).

Proponemos seguidamente un ejemplo para aclarar el mtodo dado de construccinde la exponencial.

1La expresin pA(A)(Ai)ri no tiene sentido, ya que, no es posible que en un cociente haya una matriz. Asque dicha expresin, por convenio, ser una forma abreviada de escribir la matriz

nj=1,j 6=i(A j)rj


Ejemplo 1.3.6. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales lineales:

x = 4x+ 2y

y = 3x+ 3y

Solucin: Segn lo expuesto hasta ahora, debemos calcular previamente exp(Aa), sien-do

A =

(4 2

3 3

).

Se ve fcilmente que pA(x) = (x 1)(x 6), A = {1 = 1, 2 = 6}, a1(x) = 15 ya2(x) =

15, de donde

eAx = ex(1

5

)I2(A 6I2) + e6x

1

5I2(A I2) =

1

5

(3e6x + 2ex 32e6x 2ex

3e6x 3ex 2e6x + 3ex

)

y por lo tanto cualquier solucin del sistema ser del tipo

y(x) =1

5

(3e6x + 2ex 32e6x 2ex

3e6x 3ex 2e6x + 3ex

)(c1

c2

).

Exponemos otro ejemplo donde hay que utilizar los nmeros complejos.

Ejemplo 1.3.7. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales:

x = 3x 5yy = x y.

Solucin: En un primer paso calculamos exp(Bx) con

B =

(3 5

1 1

)

Como pB(x) = (x 1 i)(x 1 + i), B = {1 = 1 + i, 2 = 1 i}, a1(x) = 12i ya2(x) = 12i , se tiene

eBx = e(1+i)x1

2iI2[A(1 i)I2] e(1i)x

1

2iI2[A (1 + i)I2] =

ex

(2 sen(x) + cos(x) 2 sen(x)

sen(x) 2 sen(x) + cos(x)

).


As que cualquier solucin del sistema ser del tipo

y(x) =

(2 sen(x) + cos(x) 2 sen(x)

sen(x) 2 sen(x) + cos(x)

)(c1

c2

).

Acabamos esta seccin resolviendo un sistema no homogneo por el mtodo devariacin de las constantes.

Ejemplo 1.3.8. Resolver el sistema:

x = 4x+ 2y + et

y = 3x+ 3y

Solucin: Para esta ecuacin ya hemos encontrado la solucin del sistema lineal homo-gneo. As que debemos encontrar una solucin particular del sistema no homogneocon el mtodo de variacin de las constantes. Calculamos pues.(

c1(x)

c2(x)

)=

1

5

( 3e6x + 2ex 32e6x 2ex3e6x 3ex 2e6x + 3ex

)(ex

0

)dx

=1

5

( 3e5x + 23e5x 3

)dx =

1

5

( 3e5x5

+ 2x+ c1

3e5x5 3x+ c2

)as que una solucin particular del sistema ser

yp(x) =1

5

(3e6x + 2ex 32e6x 2ex

3e6x 3ex 2e6x + 3ex

)1

5

( 3e5x5

+ 2x

3e5x5 3x

)

=1

25ex

(10x 3

3 15x

).

Y la solucin general del sistema ser:

yg(x) =

(3e6x + 2ex 32e6x 2ex

3e6x 3ex 2e6x + 3ex

)(c1

c2

)+

1

25ex

(10x 3

3 15x

).

El clculo hecho de la exponencial de una matriz en esta seccin nos va a dar laestructura de las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. En par-ticular, nos permite probar la proposicin que sigue.

Proposicin 1.3.9. Sean A Mm(R) e y(t) una solucin de y = Ay. Entonces cadauna de las coordenadas de y(t) es una combinacin lineal de las funciones

tketa cos(tb), tketa sen(tb),

donde a + bi recorre el conjunto de los valores propios de A con b 0 y 0 k a,, s a

Ejemplo 2.2.4. Calculemos la transformada de Laplace de las funciones cos(t) ysen(t).Solucin. (2.2) nos permite calcular,

L{cos(t)} = 0

est cos(t)dt y L{sen(t)} = 0

est sen(t)dt.

Ahora, observamos que

L{cos(t)}+ iL{sen(t)} = 0

esteitdt = lmA

A0

e(is)tdt

= lmA

e(is)A1

i s

=

{1

si =s+is2+2

, s > 0,indefinida, s 0

Las partes reales e imaginarias en esta ecuacin nos dan

L{cos(t)} = ss2 + 2

y L{sen(t)} = s2 + 2

, s > 0.

Como la notacin L{f(t)} sugiere, la transformada de Laplace es un operador queactua sobre funciones de una manera lineal, es decir,

L{c1f1(t) + c2f2(t)} = 0

est[c1f1(t) + c2f2(t)]dt

= c1

0

estf1(t)dt+ c2

0

estf2(t)dt

= c1L{f1(t)}+ c2L{f2(t)} .

40 CAPTULO 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Observacin 2.2.4.1. Es preciso sealar, que, mientras que f(t) est definida para 0 t < , la transformada de Laplace est usualmente definida en un intervalo diferente.Por ejemplo, la transformada de Laplace de e2t est solo definida para 2 < s < , yla transformada de Laplace de e8t est solo definida para 8 < s < . Esto es porquela integral dada por (2.2) solo existira, en general, si s es suficientemente grande. Unadificultad seria con la definicin de transformada de Laplace es que la integral (2.2)puede diverger para todo valor de s. Para garantizar que la transformada de Laplace def(t) existe al menos en algn intervalo s > s0, imponemos las siguientes condicionessobre f(t).

Condicin 1: La funcin f(t) es continua a trozos. Esto significa que f(t) tiene una cantidadfinita de discontinuidades en las que existen los lmites laterales de f(t) en cadaintervalo 0 t. En otras palabras, f(t) tiene solo un nmero finito de disconti-nuidades de tipo salto finito en cada subintervalo del dominio. La grfica de unafuncin tpica satisfaciendo esta condicin se muestra en la Figura 2.2.

Condicin 2: La funcin f(t) es de orden exponencial, es decir, existen constantes M y c talque

|f(t)| Mect, 0 t

2.2. DEFINICIN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS 41

Lema 2.2.5. Si f(t) es una funcin continua a trozos y de orden exponencial, entoncessu transformada de Laplace existe para todo s suficientemente grande. Ms concreta-mente, si f(t) es continua a trozos y |f(t)|ct, entonces F (s) existe para s > c.

Probaremos el Lema 2.2.5 con la ayuda del siguiente resultado del clculo integralcomo herramienta fundamental.

Lema 2.2.6. Sea g(t) una funcin continua a trozos. La integral impropia0g(t)dt

existe si0|g(t)|dt existe. Para demostrar que esta ltima integral existe, basta con

probar que existe una constante K tal que A0

|g(t)|dt K

para todo A.

Demostracin del Lema 2.2.5. Como f(t) es continua a trozos, la integral A0estf(t)dt

existe para todo A. Con el fin de demostrar que esta integral tiene lmite para todo s su-ficientemente grande, observemos que A

0

estf(t)dt M A0

estectf(t)dt

=M

c s[e(cs)A 1

] Ms c

para s > c. De tal manera, el Lema 2.2.6 garantiza que la trasformada de Laplace def(t) existe para s > c. Por tanto, de aqu en adelante, tcitamente asumiremos que|f(t)| Mect y s > c.

Una de las principales propiedades que confieren utilidad prctica al uso de la trans-formada de Laplace en la resolucin de ecuaciones diferenciales se encuentra en elhecho de que la transformada de Laplace de f (t) est muy relacionada con la transfor-mada de Laplace de f(t). Esto es lo que demuestra el siguiente resultado.

Lema 2.2.7. Sea F (s) = L{f(t)}. Entonces

L{f (t)} = sL{f(t)} f(0) = sF (s) f(0).

Demostracin. La idea de la prueba es sencilla basta con computar la frmula de latransformada de Laplace de f (t) e integrar por partes. En efecto,

L{f (t)} = lmA

A0

estf(t)dt

= lmA

[estf(t)

]A0

+ lmA

s

A0

estf(t)dt

= f(0) + s lmA

A0

estf(t)dt

= f(0) + sF (s).


Finalizando la prueba.

Nuestro siguiente paso es relacionar la transformada de Laplace de f (t) con latransformada de Laplace de f(t). Este resultado lo exponemos en el Lema 2.2.8.

Lema 2.2.8. Sea F (s) = L{f(t)}. Entonces,

L{f (t)} = s2F (s) sf(0) f (0).

Demostracin. Usando dos veces el Lema 2.2.7 observamos que,

L{f (t)} = sL{f (t)} f (0)= s[sF (s) f(0)] f (0)= s2F (s) sf(0) f (0).

Hemos desarollado todas las herramientas necesarias para reducir el problema deresolver el problema de valor inicial (2.1)

ad2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = f(t); y(0) = y0; y

(0) = y0

a la solucin de una ecuacin algebrica. Sean Y (s) y F (s) las transformadas de Laplacede y(t) y f(t) respectivamente. Aplicando el operador transformada de Laplace a amboslados de la ecuacin diferencial obtenemos

L{ay(t) + by(t) + cy(t)} = F (s).

Por la linealidad del operador obtenemos,

L{ay(t) + by(t) + cy(t)} = aL{y(t)}+ bL{y(t)}+ cL{y(t)},

y de los Lemas 2.2.7 y 2.2.8 se deduce que

L{y(t)} = sY (s) y0, L{y(t)} = s2Y (s) sy0 y0.

Por lo tanto

a[s2Y (s) sy0 y0] + b[sY (s)] y0] + cY (s) = F (s) (2.3)

y esta ecuacin algebraica implica que

Y (s) =(as+ b)y0as2 + bs+ c

+ay0

as2 + bs+ c+

F (s)

as2 + bs+ c. (2.4)

2.2. DEFINICIN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS 43

La funcin (2.4) es la solucin de (2.3). Para encontrar y(t) solucin de (2.1) tene-mos que consultar la tabla de valores de la inversa a la transformada de Laplace. Ahora,Y (s) se expresa explcitamente en trminos de y(t), i.e., Y (s) =

0esty(t)dt de don-

de y(t) = L1{Y (s)}. Notemos que para computar esta inversa hemos de realizar unaintegracin respecto a la variable compleja. De tal manera siempre que podamos inten-taremos evitar este cmputo usando las propiedades de la trasnformada (bsicamentela linealidad) y el reconocimiento de funciones que sabemos que son transformada deLaplace de otras. Veamos esto con un ejemplo.

Ejemplo 2.2.9. Resolver el problema de valor inicial

d2y

dt2 3dy

dt+ 2y = e3t; y(0) = 1, y(0) = 0.

Solucin. Dada Y (s) = L{y(t)}. Calculando la transformada de Laplace en amboslados de la ecuacin diferencial obtenemos

s2Y (s) s 3[sY (s) 1] + 2Y (s) = 1s 3

y esto implica que

Y (s) =1

(s 1)(s2 3s+ 2)+

s 3s2 3s+ 2

=1

(s 1)(s 2)(s 3)+

s 3(s 1)(s 2)

.(2.5)

Para encontrar y(t), expandimos cada trmino de la parte derecha de (2.5) en fraccionessimples. As, escribimos

1

(s 1)(s 2)(s 3)=

A

s 1+

B

s 2+

C

s 3.

Esto implica que

A(s 2)(s 3) +B(s 1)(s 3) + C(s 1)(s 2) = 1. (2.6)

Imponiendo s = 1 en (2.6) obtenemos A = 12; para s = 2 obtenemos B = 1 y para

s = 3 obtenemos C = 12. Entonces,

1

8s 1)(s 2)(s 3)=

1

2

1

s 1 1s 2

+1

2

1

s 3.

De la misma manera, escribimos

s 3(s 1)(s 2)

=D

s 1+

E

s 2


y esto implica queD(s 2) + E(s 1) = s 3. (2.7)

Imponiendo s = 1 en (2.7) obtenemos D = 2, mientras que para s = 2 obtenemosE = 1. Entonces,

Y (s) =1

2

1

s 1 1s 2

+1

2

1

s 3+

2

s 1 1s 2

=5

2

1

s 1 2s 2

+1

2

1

s 3.

Ahora, reconocemos el primer trmino como la transformada de Laplace de 52et. De

la misma manera, reconocemos el segundo y tercer trmino como la transformada deLaplace de 2e2t y 1

2e3t, respectivamente. Por lo tanto,

Y (s) = L{

5

2et 2e2t + 1

2e3t}

de modo que

y(t) =5

2et 2e2t + 1

2e3t.

Observacin 2.2.9.1. Es importante enfatizar que en realidad hay un nmero infinitode funciones cuya transformada de Laplace es una funcin dada. Por ejemplo, la trans-formada de Laplace de la funcin

z(t) =

{52et 2e2t + 1

2e3t, t 6= 1, 2, 3

0 t = 1, 2, 3

es tambin Y (s). La funcin z(t) difiere de y(t) en solo tres puntos1 Sin embargo, hayslo una funcin continua y(t) cuya transformada de Laplace es una funcin dada Y (s),y es en este sentido que podemos escribir y(t) = L1{Y (s)}.

2.3. Cmputo de la inversa de la transformada de La-place

En esta seccin presentamos algunas propiedades de la transformada de Laplace quenos permitirn calcular la transformada de Laplace de varias funciones sin necesidad derealizar tediosas integraciones as como sus inversas.

Proposicin 2.3.1. Si L{f(t)} = F (s), entonces

L{tf(t)} = ddsF (s).

1Si f(t) = g(t) excepto para un nmero finito de puntos, entonces baf(t)dt =

bag(t)dt.

2.3. CMPUTO DE LA INVERSA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 45

Demostracin. Por la definicin, F (s) =0estf(t)dt. Derivando en ambos lados de

esta ecuacin respecto de s obtenemos

d

dsF (s) =

d

ds

0

estf(t)dt

=

0

s(est)f(t)dt =

0

testf(t)dt

= L{tf(t)}.

La Proposicin 2.3.1 establece que la transformada de Laplace de la funcintf(t)es la derivada de la transformada de Laplace de f(t). As, si conocemos la transforma-da de Laplace F (s) de f(t), entonces, no tenemos que realizar tediosas integracionespara encontrar la transformada de Laplace de tf(t) slo necesitamos derivar F (s) ymultiplicar por 1 para obtener el resultado.

Ejemplo 2.3.2. Calculemos la transformada de de Laplace de tet.Solucin. La transformada de Laplace de et es 1/(s 1). Entonces, por la Proposicin2.3.1, la transformada de Laplace de tet es 1/(s 1)2 es

L{tet} = dds

1

s 1=

1

(s 1)2.

Ejemplo 2.3.3. Calculemos la transformada de Laplace de t13.Solucin. Usando la Proposicin 2.3.1 trece veces obtenemos

L{t13} = (1)13 d13

ds13L{1} = (1)13 d

13

ds131

s=

(13)!

s14.

La principal utilidad de la Proposicin 2.3.1 es el cmputo de la inversa de la trans-formada de Laplace, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.3.4. Nos preguntamos qu funcin tiene transformada de Laplace igual a lafuncin 1/(s 2)2.Solucin. Observamos que

1(s 2)2

=d

ds

1

s 2y

1

s 2= L{e2t}.

As, por la Proposicin 2.3.1 ,

L1{ 1

(s 2)2

}= teet.


Anlogamente, nos planteamos el siguiente problema.

Ejemplo 2.3.5. Que funcin tiene transformada de Laplace igual a 4s/(s2 + 4)2?Solucin. Observamos que

4s(s2 + 4)2

=d

ds

2

s2 + 4y

2

s2 + 4= L{sen(2t)}.

As, por la Proposicin 2.3.1,

L1{ 4s

(s2 + 4)2

}= t sen(2t).

Ejemplo 2.3.6. Que funcin tiene transformada de Laplace igual a s/(s 4)3?Solucin. Observamos que

1

(s 4)3=

d2

ds21

2

1

s 4.

As, usando la Proposicin 2.3.1 dos veces, vemos que

1

(s 4)3= L

{1

2t2e4t

}.

Proposicin 2.3.7. Si F (s) = L{f(t)}, entonces

L{aatf(t)} = F (s a).

Demostracin. Por la definicin

L{aatf(t)} = 0

esteatf(t)dt

=

0

e(as)tf(t)dt =

0

e(sa)tf(t)dt F (s a).

La Proposicin 2.3.7 dice que la transformada de Laplace de eatf(t) evaluada enlos puntos de s equivale a la transformada de Laplace de f(t) evaluada en los puntos(s a). As, si conocemos la trasformada de Laplace F (s) de f(t), entonces no tene-mos que realizar una integracin para encontrar la transformada de Laplace de eatf(t),necesitamos slo remplazar s en F (s) por s a.

Ejemplo 2.3.8. Calculemos la transformada de Laplace de e3t sen(t).Solucin. La transformada de Laplace de sen(t) es 1/(s2 + 1). Entonces para computarla transformada de Laplace de e3t sen(t), necesitamos slo reemplazar cada s por s 3tal que,

L{e3t sen(t)} = 1(s 3)2 + 1

.

2.3. CMPUTO DE LA INVERSA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 47

La utilidad real de la Proposicin 2.3.7 es una inversin de la transformada de La-place, como muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.3.9. Que funcin g(t) tiene la transformada de Laplace igual

G(s) =s 7

25 + (s 7)2?

Solucin. Observamos que

F (s) =s

s2 + 52= L{cos(5t)}

y que G(s) es obtenida de F (s) reemplazando todas s por s 7. As, por la Proposicin2.3.7,

s 7(s 7)2 + 25

= L{e7t cos(5t)}.

Ejemplo 2.3.10. Que funcin tiene la transformada de Laplace igual 1/(s2 4s+ 9)?Solucin. Una forma para resolver este problema es expandir 1/(s2 4s + 9) en frac-ciones simples. Una forma mucho mejor es completar el cuadrado de s2 4s + 9. As,escribimos

1

s2 4s+ 9=

1

s2 4s+ 4 + (9 4)=

1

(s 2)2 + 5.

Ahora,1

s2 + 5= L

{15

sen(

5t)

}.

As, por la Proposicin 2.3.7,

1

s2 4s+ 9=

1

(s 2)2 + 5= L

{15e2t sen(

5t)

}.

Ejemplo 2.3.11. Qu funcin tiene la transformada de Laplace igual s/(s2 4s+ 9)?Solucin. Observamos que

s

s2 4s+ 9=

s 2(s 2)2 + 5

+2

(s 2)2 + 5.

La funcin s/(s2 + 5) es la transformada de Laplace de cos(

5t). Entonces, por laProposicin 2.3.7,

s 2(s 2)2 + 5

= L{e2t cos(

5t)},

ys

s2 4s+ 9= L

{e2t cos(

5t) +

25e2t sen(

5t)

}.


2.4. Teora de distribuciones: Delta de Dirac

Consideremos la funcin h(x a) definida por

h(x a) =

1

si a

2< x < a+

2

0 si x < a 2, x > a+

2.

Definimos la funcin de Heaviside por

Heaviside(x a) =

{0 si x < a

1 si x a

que posteriormente usaremos.Es inmediato comprobar que

h(x a) =1

[Heaviside

(x a+

2

) Heaviside

(x a

2

)].

Es simple comprobar que para todo > 0

h(x a)dx = a+

2

a 2

1

dx = 1

Luego es inmediato que

lm0

h(x a)dx = 1.

El proceso anterior sugiere definir un paso al lmite, preservando las dos propiedadessiguientes

(x a) =

0 si x 6= a (x a)dx = 1

(2.8)

Observamos, no obstante que las dos propiedades de la definicin (2.8), estn encontradiccin con los resultados del Clculo pues se sabe que una funcin idnticamentenula excepto un punto tiene siempre integral cero, en lugar de uno. Ms exactamente:

Lo anterior significa que no es posible aplicar los resultados del Clculo a la Delta deDirac pues esta no satisface la hiptesis bsica de tratarse de una funcin en el sentidoordinario del Clculo Integral. En lo que sigue veremos un nuevo concepto, que explicaen forma ms clara que es realmente la Delta de Dirac.

Definicin 2.4.1. Una funcin , se llama de tendencia rpida a cero y escribiremos 0, si es definida como, : (, ) R, de clase C y tiene la propiedad:

lm|x|

(n)(x)xm = 0, n, m N0.

2.4. TEORA DE DISTRIBUCIONES: DELTA DE DIRAC 49

El valor nulo del lmite anterior, significa que la funcin y todas sus derivadastienen la propiedad de tender a cero ms rpido que cualquier potencia de xn con n N0, cuando |x| es muy grande. Geomtricamente la propiedad significa que la grficade y las grficas de todas las derivadas (n), para |x| muy grande se confunden con eleje x.

Observacin 2.4.1.1. Las integrales impropias de las funciones, 0 y en generalde las funciones derivadas (n) 0, n N0, siempre existen, pues para K > 0suficientemente grande

(n)()d

KK

(n)()d.

Definicin 2.4.2. El conjunto = { C(R) / 0} con las leyes usualespara suma de funciones y multiplicacin por escalares es un espacio vectorial real.Geomtricamente, podemos interpretar los vectores del espacio como simples curvasy que corresponden a las grficas de las funciones (n) 0 con n N0.

Definicin 2.4.3. Cualquier aplicacin lineal T : R dada por 7 T () se llamadistribucin.

Intuitivamente una distribucin es simplemente una aplicacin, que preserva la sumay multiplicacin por escalares de y que a cada curva de se le asocia un nico escalarcomo imgen. Ntese que por definicin dom(T ) = , es decir, el dominio de lasdistribuciones es el conjunto de las funciones 0, diferencia fundamental con lasfunciones, f , en el sentido del Clculo Diferencial donde el dominio dom(f) R , obien, en el caso de funciones de varias variables dom(f) Rn.

Definicin 2.4.4. Dos distribuciones T1, T2 : R son iguales si y slo si

, T1() = T2().

Definicin 2.4.5. Sea a R. La aplicacin Delta de Dirac a: R es simplementela distribucin definida por a() = (a).

Usando la definicin misma de Delta de Dirac tiene sentido definir:

(x a)(x)dx := a() = (a) , , a R.

Observacin 2.4.5.1. Se satisfacen las siguientes propiedades:

1. Como a, no es en el sentido usual del Clculo, una funcin de una variable laintegral anterior, tampoco es una integral en el sentido ordinario del Clculo Inte-gral.


2. Ntese que por la definicin anterior, el resultado de la integral es simplementeel nico valor puntual que considera la Delta de Dirac, es decir, la imgen en elpunto a de la funcin .

Con argumentos ms sofisticados de lo aqu expuesto, se demuestra que la defini-cin anterior se puede extender a funciones continuas y se tiene

f Co

(x a)f(x)dx := f(a), a R. (2.9)

La Transformada de Laplace de una funcin f : [0, ) R, seccionalmentecontinua y mayorada por una exponencial se define por la integral

L(f)(s) := 0

f(t)estdt, s > s0

Si a 0, la frmula (2.9) da sentido a las integrales que contienen la Delta deDirac. En efecto, si f = a en la frmula anterior, el valor de la integral de la fr-mula (2.9) dice que el resultado es simplemente el valor puntual de la exponencialen el punto a, es decir

L(a)(s) = a(est) = esa con a 0.

En particular si a = 0, la exponencial es la funcin constante 1, consecuenciaL(0)(s) = 1.

Por otro lado es fcil comprobar que para n N

L1(esa/sn)(x) = (x a)n1Heaviside(x a) con a 0.

Para ms informacin sobre este asunto vase [Sch 66].

Captulo 3

Vigas arquitectnicas

3.1. Teora de vigas de EulerBernoulli: integracinconocidas las cargas actuantes

La Teora de EulerBernoulli, tambin conocida como teora clsica de vigas[T 53], es una simplificacin, usando teora lineal de la elasticidad, del estudiode la deflexin producidos por cargas y/o momentos actuando sobre vigas. Estateora es muy aproximada para pequeas deflexiones de la viga y cargas someti-das en el mismo plano que contiene la viga. Es un caso especial de la mucho mselaborada Teora de Vigas de Timoshenko. Fue enunciada en 1750 primeramentepor Bernoulli y posteriormente el genio de Euler la fundament en 1750 como unateora matemtica rigurosa. Como en muchos avances fisico-matemticos, no fueaplicada a gran escala hasta el desarrollo de grandes edificios como la Torre Eiffelal final del siglo XIX donde era necesario contar con unos primeros clculos deestructuras mucho ms elaborados que los estndares de la poca.

A partir del exito de estas tcnicas se desarrollaron grandes avances en la funda-mentacin matemtica de la Teora de la Elasticidad Mecnica de Estructuras yMedios Continuos. A continuacin expondremos brevemente el desarrollo de laTeora de Euler-Bernoulli sobre vigas.

51

52 CAPTULO 3. VIGAS ARQUITECTNICAS

3.1.1. Ecuacin esttica de una viga

La ecuacin diferencial que describe la deflexin w de una viga esttica segn lateora anteriormente mencionada viene dada por la siguiente ecuacin diferencialde cuarto orden siguiente, vase [GT 97] para ms detalles sobre su deduccin,

d2

dx2

(EI

d2w

dx2

)= q(x)

siendo q una funcin generalizada que modela la carga solicitante. Por otra parteE es el mdulo de elasticidad e I es el momento de inercia de la seccin de laviga situada en el plano perpendicular al que contiene a la viga. Observese que siEI es constante entonces

EId2

dx2

(d2w

dx2

)= q(x).

Las derivadas sucesivas de la funcin w proporcionan las siguientes mgnitudesfisicomatematicas de principal importancia en aplicaciones de ingeniera.

dw

dx= (x), proporciona el ngulo de giro en cada seccin de la viga

EI d2w

dx2= M(x), proporcina el momento flexor en cada seccin de la viga

ddx

(EI

d2w

dx2

), proporciona la fuerza de ruptura de la viga.

Esta ecuacin diferencial, junto con sus condiciones iniciales y de contorno pro-porcionan unvocamente la funcinw de capital importancia en nuestro estudio. Acontinuacin discutiremos, segn las condiciones de contorno, tres tipos de vigasque encontramos usualmente en la literatura clsica.

3.1. TEORA DE VIGAS DE EULERBERNOULLI 53

3.1.2. Viga en voladizo

Una viga en voladizo de longitud L ser resuelta mendiante el siguiente problemade contorno

d2

dx2

(EI

d2w

dx2

)= q(x)

w(0) = 0

dw

dx

x=0

= 0

d2w

dx2

x=L

= 0

d3w

dx3

x=L

= 0

Si existe una fuerza adicional mg donde m es la masa de la viga aplicada en elextremo de la misma hay que considerar como cuarta condicin de contorno a

d3w

dx3

x=L

= mg

3.1.3. Vigas simplemente soportada

La viga simplemente soportada ser resuelta mendiante el siguiente problema decontorno

d2

dx2

(EI

d2w

dx2

)= q(x)

w(0) = 0

w(L) = 0

d2w

dx2

x=0

= 0

d2w

dx2

x=L

= 0

Si existe una fuerza adicional mg donde m es la masa de la viga aplicada en elextremo de la misma hay que considerar como cuarta condicin de contorno a

d3w

dx3

x=L

= mg


3.1.4. Vigas empotradas

Una viga empotrada de longitud L ser resuelta mediante el siguiente problemade contorno

d2

dx2

(EI

d2w

dx2

)= q(x)

w(0) = 0

w(L) = 0

dw

dx

x=0

= 0

dw

dx

x=L

= 0

Figura 3.1: Viga en voladizo

3.2. Dinmica de vigas: integracin va momentoflector

En esta seccin estudiaremos algunos modelos que se usan para el anlisis es-tructural de vigas arquitectnicas desde la ptica de su resolucin convencional

3.2. DINMICA DE VIGAS: INTEGRACIN VA MOMENTO FLECTOR 55

usando los mtodos expuestos en el primer captulo de esta memoria.

El uso de vigas en la construccin requiere estudiar el material del que estnhechas y su colocacin para saber cul ser la flexin de la viga una vez colocada.En este trabajo nos ocuparemos slo de vigas construidas uniformemente y paraaproximarnos a su estudio podemos suponer que una viga est constituida porfibras distribuidas longitudinalmente, vase la viga flexada de la Figura 3.2, dondelas fibras superiores estn comprimidas y las inferiores traccionadas.

Figura 3.2: Viga flexada

El objetivo que nos marcamos es obtener la curva descrita por la fibra que, antesde flexar la viga, ocupaba el eje horizontal de la misma. Esta curva se denomi-na curva elstica o curva de flexin. Por otro lado denominaremos superficie deseparacin de la viga al plano flexado que contiene la curva elstica o de flexin.

Con objeto de encontrar dicha curva se fija una seccin transversal de la viga a unadistancia x del extremo izquierdo, se denota por AB la interseccin de la seccintransversal de la viga con la superficie de separacin de la misma y por Q(x, y)a la interseccin de AB con la curva elstica. Segn la mecnica se sabe que elmomento M con respecto a AB de todas las fuerzas que actan sobre cualquierade los dos segmentos en los que AB divide a la curva elstica es:

independiente del segmento considerado,


viene dado por

M =EI

R

donde E es la elasticidad de la viga, I el momento de inercia de la seccin trans-versal con respecto a AB y R es el radio de curvatura de la curva elstica en elpunto Q(x, y).

Para visualizar mejor el problema se supone que la viga es un objeto unidimensio-nal, considerando slo la curva elstica, con lo que la seccin transversal quedareducida al punto P . Adems imponemos una condicin adicional al problema,debido a que la pendiente de la curva y(x) es pequea haremos la aproximacin

R =1 + y(x)

y(x) 1y(x)

.

Retomando la ecuacin M = EIR

y la aproximacin anterior para R obtenemospara el momento la ecuacin

EIy(x) = M,

donde el momento flector M ser la suma de los momentos de las fuerzas ex-teriores que actan sobre el segmento de la viga respecto al punto P tomandopor convenio que las fuerzas hacia arriba dan momentos positivos y hacia abajonegativos.

Vamos a estudiar ahora dos casos concretos, el primero el de una viga apoyadasobre dos puntos y el segundo el de una viga empotrada a la pared.

3.2.1. Viga apoyada sobre dos puntos

Estudiamos en este apartado la flexin de una viga de carga uniforme de c New-tons por metro de longitud, longitud l y una carga de b Newtons concentrada ensu punto medio (vase la Figura 3.2.1).

Consideramos las fuerzas que aparecen sobre el segmento OP de la viga, stasson:

a) una fuerza hacia arriba en O igual a la mitad del peso total, es decir a = cl+b2

Newtons,

b) una fuerza de cx Newtons que podemos suponer concentrada en el punto(x2, y(x

2)),


Figura 3.3: Viga apoyada sobre dos puntos

c) adems, cuando l2 x l entra en juego la fuerza de mdulo b en el punto

medio de la viga, a x l2

metros de P .

As que el momento flector en P ser:

M1 =cl + b

2x cxx

2=cl + b

2x cx

2

2si x l

2y

M2 =cl + b

2x cxx

2 b(x l

2) =

bl

2+cl b

2x cx

2

2si x l

2.

A continuacin hacemos notar que podemos adoptar una notacin conjunta parael momento flector, en efecto, obsrvese que

Mi =clx

2 cx

2

2+ (1)i b

2(x l

2) +

bl

4,

de donde resulta la ecuacin diferencial a resolver:

EIy(x) =clx

2 cx

2

2+ (1)i b

2(x l

2) +

bl

4.

Integramos ahora la ecuacin anterior dos veces para obtener:

EIy(x) =cl

12x3 c

24x4 + (1)i b

12(x l

2)3 +

bl

8x2 + ex+ d,


e imponiendo las condiciones de contorno y(0) = y(l) = 0 obtenemos

d =bl

24

y

e =cl3 bl2 b

24.

Hacemos notar por ltimo que para calcular y(0) tomamos i = 1 y para el clculode y(l) elegimos i = 2.

3.2.2. Viga empotrada en la pared

Estudiamos ahora la flexin de una viga de carga uniforme de c Newtons pormetro de longitud, longitud l y una carga de b Newtons concentrada en su puntomedio (vase la Figura 3.2.2). En este caso la particulariad es que la viga no estapoyada en dos puntos sino que se encuentra empotrada, esto conlleva a que lapendiente de la curva elstica y(x) verifique las condiciones de contorno y(l) =y(0) = 0 adems de las mismas condiciones que antes y(l) = y(0) = 0.

Figura 3.4: Viga empotrada

Estudiamos por separado la curva elstica y(x1) para los valores de x1 entre 0 yl2

y por otro lado para los valores de x1 entre l2 y l. Empezamos considerando lasfuerzas que actan sobre OQ1 con 0 x1 l2 :


a) un par de momento desconocido K, que actan en O debido a la accin de lapared sobre la viga,

b) un empuje hacia arriba igual a cl+b2

Newtons,

c) cx1 Newtons a x12 metros de Q1.

As que, la ecuacin de los momentos queda como

EIy(x1) = K +cl + b

2x1

1

4cx21 para 0 x1

l

2,

de donde, integrando una primera vez y usando que y(0) = 0 se obtiene

EIy(x1) = Kx1 +cl + b

12x31

1

48cx41.

Integramos una segunda vez y utilizamos la condicin de contorno y(0) = 0 paraobtener

EIy(x1) = Kx212

+cl + b

12x31

1

48cx41.

Ahora estudiamos y(x2) para l2 x2 l, empezamos estudiando las fuerzas queactan sobre OQ2, que no son ms que las anteriores aadiendo el peso b en elpunto x2 = l2 , es decir, a x2 l de Q2. Por lo tanto:

EIy(x2) = K +cl + b

2x2

c

4x22 b(x2

l

2),

integramos ahora dos veces e imponemos las condiciones y(0) = 0 e y(0) = 0para obtener

EIy(x2) = Kx2 +cl + b

4x22

c

12x32

b

2(x2

l

2)2,

y

EIy(x2) =K

2x22 +

cl + b

12x32

c

48x42

b

6(x2

l

2)3.

Por ltimo se impone la condicin y( l2) = 0 para obtener

K = cl + b8

l + cl2

24,

con lo que tenemos perfectamente determinada la curva elstica que describe laviga.


3.3. Dinmica de vigas: aplicacin del mtodo de latransformada de Laplace para el clculo de la flexinde una viga

En lo que sigue consideramos EI constante y consideramos la ecuacin diferen-cial

EId4w

dx4= q(x)

w(0) = 1

dw

dx

x=0

= 2

d2w

dx2

x=0

= 3

d3w

dx3

x=0

= 4

donde q(x) es la carga aplicada a la viga. Emplearemos la Trasformada de Laplacepara su resolucin. Tomando transformadas en la anterior ecuacin tenemos que

L (EIw (x) , x, s) = L (q(x), x, s)

Teniendo en cuenta que

L (EIw (x) , x, s) = EI((L (w)) s4w (0) s3w (0) s2w (0) sw(3) (0))

Por otra parte

EI(L (w) s4 w (0) s3 w (0) s2 w (0) s w(3) (0)) = L (q)

y resolviendo esta ecuacin respecto a L (w) tenemos que

L (w) =L(q)EI

+ w (0) s3 + w (0) s2 + w (0) s+ w(3) (0)

s4

y tomando en dicha igualdad transformadas inversas obtenemos

w(x) = L1(L(q)EI

+

dinamica de vigas.pdf

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