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ELC-33103Teoría de Control

Anexo 2.1R t T it i d Respuesta Transitoria de

Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo

Prof. Francisco M. [email protected]

Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] © 2008

TEORIA DE CONTROLRespuesta Transitoria de Sistemas Lineales

http://www.giaelec.org/fglongatt/SP.htm

1. Ejemplo

• En el sistema de la siguiente Figura, x(t) es eldesplazamiento de entrada y θ(t) es el desplazamientodesplazamiento de entrada y θ(t) es el desplazamientoangular de salida.

txEntradab

L

k Salida



1. Ejemplo

• Suponga que las masasinvolucradas son taninvolucradas son tanpequeñas que pueden noconsiderarse.

txb

L• Suponga que todos los

movimientos tienen la restricción de ser pequeños;por tanto, el sistema seconsidera lineal

k

considera lineal.



1. Ejemplo

• Las condiciones inícialespara x y θ son cero, 00 txpara x y θ son cero,

x(0-)= 0θ(-) = 0

txb

Lθ( ) 0. L

k

00 t

k



1. Ejemplo

• La ecuación para el sistema es:

txb

L kMFresorte

k

LsenM

MxbFpiston

k senML Diagrama de Cuerpo Libre



1. Ejemplo

• De tal modo que la ecuación dinámica del sistemaresulta:resulta:

MxbkMFF psitonresorte

LxbkL

kMFresorte MxbkM

LxbkL

MxbFpiston xLkL MxbFpistonxL

bL

Diagrama de Cuerpo Libre



g p

1. Ejemplo

xLbkL

• Tomando la transformada de Laplace en ambosmiembros de la ecuación anterior resulta:

b

miembros de la ecuación anterior resulta:

ssXsLkLs

ssXsL

bLs

ss

bkLs

ssXs



b

1. Ejemplo

• Se observa claramente que se trata de un sistema deprimer orden: ssprimer orden:

bkLs

ssXs

• Si la entrada es un escalón unitario se tiene:b

tx txb

L

k



1. Ejemplo

• La entrada de un escalón unitario resulta X(s) = 1/s

Xs sX

bkLs

ss

b

skLs

ss 1

bLs

1

bkLs

s



b

1. Ejemplo

ks 1

• Aplicando la transformada inversa de Laplace en

bkLs

• Aplicando la transformada inversa de Laplace enambos miembros ecuación resulta:

tk1 tbe

Lt

1



1. Ejemplo

• La grafica general de la respuesta en el tiempo es:k1 tbk

eL

t

1

11

0.8

1

t)

L

k

0.4

0.6

Resp

uesta

c(t

tbk

eL

t

1 t

00

0.2

R



0 Tiempo

1. Ejemplo

• Se procede a efectuar unasimulación de la respuestasimulación de la respuestatemporal del sistema de primerorden, empleando MathWork®

Matlab™.• Se introduce los valores de las

constantes de los dispositivos enel command line de Matlab™.



1. Ejemplo

1LL = 1.00b = 1.00k = 0.25

1L



1. Ejemplo

• Se define la función de transferencia del sistema(SYS) empleando la función en Matlab® TF.(SYS) empleando la función en Matlab TF.>> sys=tf([1 0],[L (k/b)])

Transfer function:s

--------s + 0.25

>>



1. Ejemplo

• Se procede a determinar la respuesta del sistema anteuna entrada de escalón unitario.una entrada de escalón unitario.

• Para ello se emplea el comando STEP.>> step(sys)>> step(sys)



1. Ejemplo

• Matlab® automáticamente genera la grafica de larespuesta temporal del sistemarespuesta temporal del sistema



1. Ejemplo

• Otra forma de evaluar la respuesta transitoria de unsistema, es el uso de Simulink, que es unasistema, es el uso de Simulink, que es unaherramienta con una interfaz de usuario sumamenteútil.



1. Ejemplo

• Descargar y abrir en Matlab el modelo denominado:Ogata4 1.mdl, el cual es el modelo desarrollado porOgata4_1.mdl, el cual es el modelo desarrollado porel Prof. Francisco Gonzalez-Longatt, para mostrar larespuesta transitoria del sistema Brazo-fricción-resorte. tx

bLL

k

Enlace para descargar el archivo:



http://www.giaelec.org/fglongatt/TeoriaControlI.htmlp g

1. Ejemplo

• Una vez abierto el modelo:



1. Ejemplo

• Se procede a ajustar los valores asociados a losparámetros del modelo:parámetros del modelo:

L = 1.00b = 1.00k = 0.25



1. Ejemplo

• Se procede a ejecutar la simulación Botón para ejecutar la

l ósimulación



1. Ejemplo

• La Grafica de la respuesta en el tiempo:



1. Ejemplo

• Nótese en este caso, que larespuesta comienza en t =respuesta comienza en t1 segundo, debido a que elbloque de escalón estaconfigurado para que elcambio se produzca en esei t t d tiinstante de tiempo.

• Ver el cuadro de dialogoasociadoasociado..



1. Ejemplo

• Resulta fácilmente evidente que si la relación k/b, esgrande, la respuesta θ(t), se aproxima a una senal degrande, la respuesta θ(t), se aproxima a una senal depulso.

tk10.9

1

0100b tbe

Lt

10.6

0.7

0.8

010b

0.100b

0.3

0.4

0.50.10b

0.1b

0

0.1

0.2

0.3



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

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