GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 16

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

ECUACIÓN DE LA RECTA

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Para determinar la posición de los puntos de un plano usando coordenadas cartesianasrectangulares, se emplean dos rectas perpendiculares (ortogonales) y el punto de intersecciónse considera como origen.

OBSERVACIONES

Los puntos destacados en la figura son; A = (4, 4), B = (0, 0) y C = (-5, -3). Los puntos que están en el eje x, tienen ordenada igual a cero. Su forma es (x, 0). Los puntos que están en el eje y, tienen abscisa igual a cero. Su forma es (0, y).

EJEMPLOS

1. Si el punto P(a, 5m – 10) se encuentra en el eje de las abscisas, entonces el valor de mes

A) -2B) 0C) 2D) 10E) 15

A

B

C

IICuadrante

IIICuadrante

1 2 3 4 5 6

12

3

4

5

6

-1-2-3-4-5-6-1

-2-3

-4-5

-6

ICuadrante

IVCuadrante

Y Eje de las Ordenadas

XEje de las Abscisas

C u r s o : Matemática

Material N° 22

2

2. ¿En qué cuadrante está el punto (a, -b), si a = 1 y b = 2?

A) PrimeroB) SegundoC) TerceroD) CuartoE) Ninguna de las anteriores

3. Si los puntos A(2, 2) y B(2, -2) son vértices de un triángulo isósceles, entonces el tercervértice puede ser

I) (0,6) II) (6,0) III) (6,6)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

4. Al unir los puntos del plano (3, 1), (3, 3), (-2, 3) y (-2, 1) el cuadrilátero que se formaes un

A) trapecio isóscelesB) trapezoideC) rectánguloD) romboideE) trapecio rectángulo

5. En el triángulo cuyos vértices son los puntos (2,0), (6,0) y (4,-5) se traza el segmentocuyos extremos son los puntos (4,0) y (4,-5). Entonces, este segmento es

I) Transversal de gravedad II) Altura III) Bisectriz

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II Y IIIE) I, II y III

3

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1, y1) yB(x2, y2), se determina mediante la expresión:

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento ABson

EJEMPLOS

1. La distancia entre los puntos A (8, 5) y B (3, 15) es

A) 2

B) 5

C) 2 2

D) 2 5

E) 5 5

2. El punto medio del trazo AB (fig. 1) es el punto (6,6) ¿Cuál es la abscisa del vértice B?

A) 0B) 5C) 6D) 7E) 12

xm = 1 2x + x2

, ym = 1 2y + y2

dAB = 2 22 1 2 1(x x ) + (y y )

0 x1 x2

y1

y2

A

B

y

x

x2 x1

y2 y1

0 x1 x2

y1

y2

A

B

y

x

ym

xm

M

A

5

12

B x

y

fig. 1

4

3. En la figura 2 los vértices del triángulo son A(5,2), B(9,4) y C(7,6), entonces¿Cuál(es) de las siguientes informaciones(es)son verdadera(s)?

I) El punto medio entre los vértices A y B es el punto (7,4)

II) El punto medio entre los vértices A y C es el punto (6,4)

III) La transversal de gravedad trazada desde el vértice Aintersecta al lado opuesto en el punto (8,5)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

4. En la circunferencia de centro O (fig.3) la cuerda AB es perpendicular al radio OC .Si A(-5,-3) y B(3,-1) entonces las coordenadas del punto de intersección M son

A) (-2,-4)B) (-1, -4)C) (-1, -2)D) (-2, -2)E) (-4,-1)

5. En la figura 4, la circunferencia es de centro O(3,2) y AB es diámetro. ¿Cuales son lascoordenadas del punto A si B(7,1)?

A) (-1,3)B) (5, 1)C) (1,-3)D) (4,-1)E) (13,5)

6. Si los puntos A(1, 2), B(1,10) y C(4,6) son los vértices de un triángulo, entonces elperímetro de este es

A) 5 uB) 18 uC) 20 uD) 22 uE) 24 u

fig. 3O

A B

C

M

fig. 4

OAB

A

C

x

y

fig. 2B

5

PENDIENTE DE UNA RECTA

Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x,en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)

RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA

Sea el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:

( = 0º) si y sólo si (m = 0) (0º 90º) si y sólo si (m 0)

( = 90º), si y sólo si (m no está definida) (90º 180º) si y sólo si (m 0)

EJEMPLOS

1. Los puntos A(4, 8) y B(-2, -6) pertenecen a una recta cuya pendiente es

A)72

B)73

C)37

D)27

E)67

m = tg =BPPA

=

2 1

2 1

y yx x

y

x0

L

L tiene pendiente positiva

y

x0

L

L es paralela al eje y

y

x0

L

L tiene pendiente negativa

y

x0

L es paralela al eje x

L

y2

y1A

B

P

x1 x2

L

x

y

y2 – y1

x2 – x1

6

2. De acuerdo a la figura 5, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempreverdadera(s)?

I) La pendiente de L1 es positivaII) La pendiente de L2 es ceroIII) La pendiente de L3 es negativa

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

3. ¿Cuál debe ser el valor de a para que la recta de la figura 6 tenga pendiente -3?

A) -4B) 3C) 4D) 6E) 36

4. ¿Cuál debe ser el valor de x en el punto C para que los puntos A (4,3), B (8,7) y C(x,5)sean colineales?

A) -10B) -8C) -6D) 6E) 7

5. Dada la recta L (fig. 7) y los puntos A(-2, 4) , B(1, k), ¿cuál debe ser el valor de k para

que las pendientes de las rectas L y AB sean iguales?

A) -2

B)32

C) 2

D) 6

E) 8

x

y

a

12

x

y

L1

L2 L3

fig. 5

fig. 6

x

y

-6

4

L fig. 7

7

ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA

donde m = pendiente

n = coeficiente de posición

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO A (x1, y1) Y TIENE PENDIENTEDADA m.

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS A(x1, y1) Y B(x2, y2)

ECUACIÓN DE SEGMENTOS

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos que están en los ejes.

(a, 0) es el punto del eje X(0, b) es el punto del eje Y

EJEMPLOS

1. La ecuación general de la recta que pasa por el punto A (2,3) y tiene pendiente –3 es

A) 3x – y – 9 = 0B) 3x – y + 9 = 0C) 3x + y – 9 = 0D) 3x + y + 9 =0E) 3x + y + 3 =0

2. La ecuación principal de la recta que pasa por los puntos (-2,6) y (4,7) es

A) y =6x

+3

19

B) y =6x

+619

C) y =3x

+3

19

D) y =3x

–3

19

E) y = -6x

-619

y = mx + n

(y – y1) = m(x – x1)

(y – y1) = 2 1

2 1

y yx x

(x – x1)

x y +

a b= 1

8

3. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, 4) y tiene igual pendiente a larecta de la figura 8?

A) x + y = 1B) x – y = 7C) x + y = -1D) x + y = -7E) x – y = 1

4. ¿Cuál es la ecuación que representa a la recta de la figura 9?

A) mnxnm

y

B) mxnm

y

C) 1xnm

y

D) nxnm

y

E) mnxnm

y

5. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la ecuación de la recta que pasa por el punto(4, -3) y tiene pendiente 0?

A) B) C) D) E)

6. ¿Cuál es el valor de k en la ecuación kx + (k + 1)y = 6 para que pase por el punto (3,-2)?

A) 4B) 5C) 6D) 8E) 9

x

y

m

n

fig. 9

x

y

-5

-5

fig. 8

x

y

4

-3x

y

4

-3x

y

4

-3x

y

4

-3x

y

4

-3

9

RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si y sólo, si sus pendientes son iguales.

Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 10). Entonces:

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares si y sólo si, el producto de sus pendientes es -1.

Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 11). Entonces:

EJEMPLOS

1. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación (k + 3)x – 5y = 0 para que sea paralela a la rectade la figura 12?

A) -8B) -2C) 1D) 2E) 6

L1 L2 si y sólo si m1 = m2

L1 L2 si y sólo si m1 · m2 = -1 L1L2

0 x

y

fig. 11

L1

L2

0

x

y

fig. 10

fig. 12-2

x

yL

45º

10

2. Para qué valor de k las rectas L1: kx – 5y + 8 = 0 y L2: 5x + 2y – 5 = 0 sonperpendiculares

A)225

B) -2C) -1D) 1E) 2

3. Una recta paralela a la recta de ecuación 5x – 15y – 21 = 0 es

A) 5x + 15y = -5B) x – 3y = 5C) 3x + y = 12D) 2x – 10y = 0E) 3x – 6y = 1

4. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una recta paralela a la recta de la figura13?

A) 5x – 3y = -15B) 6x + 10y= -11C) 9x - 15y = -12D) -5x + 3y = 0E) -10x – 6y = -3

5. La ecuación de la recta perpendicular a 3x – 9y = 4 y que pasa por el punto (-1, -2) es

A) y = -3x - 5B) y = -3x + 1C) y = -3x + 5

D) y =37

x31

E) y =37

x31

6. ¿Cuál es el valor del parámetro k en la recta (k – 1)x + (k + 1)y – 7 = 0 para que seaparalela a la recta 3x + 5y – 7 = 0?

A) -4

B)41

C)41

D) 2E) 4

x

y

-5

3fig. 13

11

EJERCICIOS

1. ¿Cuál debe ser el valor de k para que el punto (k -1, k -3) pertenezca al eje de lasabscisas?

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

2. Los puntos extremos de un segmento son A(-1,5) y B(3,7), entonces el punto medio delsegmento AB , pertenece a la recta

A) 6x + y = 0B) 3x – y + 3 = 0C) 2x + y = 0D) 2x – y = 0E) x – 2y = 0

3. Si el punto (k + 1,k – 3) pertenece a la recta 3x – 2y + 4 = 0, entonces k =

A) -13B) -3C) 1D) 3E) 7

4. Si A(5,-2) y B(4,-1) son vértices consecutivos del cuadrado ABCD, el producto de lasordenadas de los otros dos vértices podría ser

A) 6B) -6C) 5D) -5E) 12

5. Si un triángulo tiene por vértices A(m, p); B(m + n, p) y C(m + n, p + n), entonces eltriángulo es

I) Equilátero II) Rectángulo III) Isósceles

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III

12

6. En la figura 1 ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) La pendiente de la recta es igual a 4II) La ecuación de la recta es y = 4x + 8III) El punto (1,12) pertenece a la recta

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

7. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdaderas?

I) Si una recta tiene pendiente positiva entonces no es paralela al eje de lasordenadas

II) Si una recta es creciente entonces su pendiente es menor que ceroIII) Si la pendiente de una recta es cero, entonces es paralela al eje de las abscisas

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

8. En el cuadrilátero ABCD de la figura 2, OXllAB . Si m1, m2 y m3 son las pendientes de los

trazos ACyBD,AB respectivamente, entonces su orden creciente está dado por

A) m1 m2 m3

B) m3 m1 m2

C) m2 m1 m3

D) m2 m3 m1

E) m3 m2 m1

9. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la recta 3x –5y – 12 = 0?

I) La recta intersecta al eje de las abscisas en el punto (4,0)II) La pendiente de la recta es positivaIII) La recta intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,-12)

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

y

-2

8

x

fig. 1

fig. 2

A B

C

x

y

D

O

13

10. ¿Cuál de las siguientes gráficos representa mejor a la recta 7x – y = 8?

11. Según los datos dados en la figura 3, ¿Cuál es la ecuación de la recta?

A) x + y + 6 = 0B) x – y + 6 = 0C) x + y – 6 = 0D) x – y – 6 = 0E) x + y = 0

12. En el triángulo de la figura 4, B(6,6), M1 y M2 son los puntos medios de los lados BC y ACrespectivamente, si M1 (5,7) y M2 (3,6), entonces la suma de la abscisa del punto A con laordenada del punto C es

A) 4B) 6C) 8D) 10E) 12

135º

-6 x

y

fig. 3

A

B

CM1

M2

fig. 4

A) B) C)

D) E)

y

x

y

x

y y

y

x x

x

14

13. ¿Para qué valor de k, la recta x – ky – 9 = 0 pasa por el punto de intersección de lasrectas L1: 3x + 2y – 32 = 0 y L2: y = x - 9?

A) -1B) -4C) 4D) 1E) 10

14. ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular al segmento PQ , donde P(-1,-6) yQ(7,-4), y que pasa por el punto medio de dicho trazo?

A) 4x + y = 7B) x – 4y = 23C) 4x + y = 8D) x + 4y = 12E) 4x – y = -25

15. El gráfico de la figura 5 representa a la recta L, entonces su ecuación es

A) 5x23

y

B) 5x23

y

C) 5x32

y

D) 5x32

y

E) 5x23

y

16. En la figura 6 las rectas L y R están dadas por las ecuaciones 5x – 6y = 30 y por2x + 3y=12 respectivamente, entonces el área del triángulo achurado es

A) 15 u2

B) 24 u2

C) 27 u2

D) 54 u2

E) 60 u2

fig. 6

x

y

L

R

4

-5

6x

yL

fig. 5

15

17. La ecuación (k - 2)x - 3y + 4 = 0 representa una recta perpendicular a la recta deecuación 6x - y = - 9 , entonces el valor de k es

A)613

B)27

C) 8

D)23

E) 20

18. En la figura 7, L1 ll L2, ¿Cuál es la ecuación de la recta L2?

A) x + 5y – 6 = 0B) x - 5y + 6 = 0C) 5x + y + 6 = 0D) 5x – y - 10 = 0E) 5x – y - 6 = 0

19. La ordenada de un punto R es 4, el cual se encuentra en la recta de pendiente -21

y que

pasa por el punto (4, -6), entonces la abscisa de R es

A) -16B) -12C) 8D) 12E) 16

20. ¿Cuál es el área del rectángulo que se forma con los ejes coordenados y las rectas deecuación y + 4 = 0, x + 5 = 0?

A) 9 u2

B) 18 u2

C) 20 u2

D) 24 u2

E) 40 u2

x

y

10

-2

L1L2

-6

fig. 7

16

21. En la figura 8 las rectas N y M son perpendiculares. ¿Cuál es la pendiente de la recta M?

A) -2

B) -41

C) -21

D) 2

E)21

22. Una recta tiene pendiente32

y pasa por el punto (-3,4), ¿Cuál es la ordenada de un

punto de la recta cuya abscisa es 3?

A) 0B) 1C) 2D) 4E) 6

23. Dada las rectas de ecuación, L1: 2kx – y + 2 = 0, L2: x + (k + 1)y – 6 = 0 yL3: 2x + (k + 2)y – 8 = 0. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son)verdaderas?

I) Si L1 L2, entonces k = 1

II) Si L1 L3. entonces k = 2

III) Si L2 ll L3. entonces k = 0

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

fig. 8

x

yN

M6

3

17

24. Con respecto a la ecuación de la recta (k2 – 1)x + (k+ 1)y + k – 5 = 0, ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si k = -1 la recta es paralela al eje de las ordenadasII) Si k = 1 la recta es paralela al eje de las abscisas.

III) Si k = 5 la recta pasa por el origen

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III

25. ¿Qué valor debe tener m para que las rectas (m – 2)x + 3y – 4 = 0 y 3x + my + 4 = 0sean perpendiculares?

A) -1B) 1C) 0D) 2E) 4

26. Las rectas L1 y L2 son perpendiculares, L1 tiene pendiente -2 y pasa por el punto (4, -3) yL2 pasa por el punto (2,1). ¿Cuál es la abscisa del punto de intersección?

A) -2B) -1C) 0D) 1E) 2

27. Se puede determinar el coeficiente de posición de una recta L si:

(1) La recta L corta al eje de las abscisas en el punto (4,0).

(2) La recta L corta al eje de las ordenadas en el punto (0, -9).

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

18

28. El ángulo de inclinación de la recta L se conoce si:

(1) Si se sabe que la pendiente de la recta es - 1

(2) La recta intersecta en el primer cuadrante a los ejes coordenados enlos puntos (a,0) y (0,a)

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

29. La recta ax – 10y + c = 0 es perpendicular a la recta mx + 5y = 0 si:

(1) a = 25 y m = 2

(2) a =m50

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por si sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

30. La recta ax + by + c = 0 con la recta x – 5 = 0 forma con los ejes coordenados unrectángulo de área 20u2 si:

(1) a = 0

(2) b = 1 y c = -4

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por si sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

19

RESPUESTAS

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6

1 y 2 C D B C E3 y 4 E D E C A B5 y 6 C D C D D7 y 8 C A A B C D9 y 10 D E B C A E

EJERCICIOS PÁGINA 11

1. C 11. B 21. E2. B 12. D 22. A3. A 13. D 23. D4. A 14. A 24. D5. E 15. B 25. B6. E 16. C 26. E7. D 17. D 27. B8. C 18. E 28. D9. C 19. A 29. D10. B 20. C 30. C

DMDMA22

Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra webhttp://www.pedrodevaldivia.cl/