Ejercicios de: Derivadas

DERIVADASUNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

NDICE:Derivada de funciones especialesPgina 02Regla de la cadena o Derivada de la funcin compuestaPgina 03Derivada de la funcin inversaPgina 04Derivada de la funcin trigonomtricaPgina 06Derivada de la funcin trigonomtrica inversaPgina 08Derivada de la funcin logaritmoPgina Derivada superiorPginaDerivada implcitaPginaEcuacin de la recta tangentePginaSegmentos tangente subtangente normal subnormalPginangulo entre curvasPginaEcuaciones paramtricas de la curvaPginaDerivada de la funcin dada en forma paramtricaPginaCoordenadas polaresPgina

Derivada de funciones especiales1. Hallar la derivada de Solucin

2. Hallar la derivada de Solucin

Aplicando las propiedades de los logaritmos obtenemos:

3. Hallar la derivada de SolucinPor la regla del producto se tiene(Primero)(Derivada del segundo)+(Segundo)(Derivada del primero)

Regla de la cadena o Derivada de la funcin compuesta1. Hallar la deriva de Solucin

2. Hallar la deriva de Solucin

3. Hallar la deriva de Solucin

Derivada de la funcin inversa1. Analizar la existencia de para , indicar su dominio y hallar (SolucinAnalicemos la inyectividad de f reescribiendo:

Sean x1, x2 Dom(f)Si f(x1)=f(x2)

Luego, es inyectiva, por lo que existe Despejando se tiene:

Si

Y como, (Se sigue que:

2. Sea , calcular , suponiendo que SolucinDerivando obtenemos: Si

Para v Obsrvese que para

3. Hallar la derivada de respecto de , en el punto de abscisa SolucinSea Por la regla de la cadena:

Luego se tiene:

Y para x=3

Derivada de la funcin trigonomtrica1. Demostrar que es peridica si, y solo si es un numero racional.SOLUCINSupongamos que la funcin

Es peridica, de periodo T, entonces:

En particular,si Es decir:

Derivando la funcin obtenemos:

Como:

Puesto que Al dividir estas dos igualdades se obtiene:

2. Analizar la derivabilidad de: SOLUCINEn Y en De modo que la regla de correspondencia de f es:

Ahora:

Como:

3. Sea la funcin Donde es un polinomio de grado 3 con coeficientes radicales reales. Hallar de modo que y sean continua, SOLUCINSi es continua en todo su dominio, entonces:

Derivando se tiene: Si es continua, , entonces:

Sea el polinomio:

Ahora, si

Derivada de una funcin trigonomtrica inversa1. Hallar la derivada de la funcin Solucin

Teniendo en cuenta la definicin de la funcin signo, podemos escribir:

2. Derivar la funcin Solucin

3. Si donde k es una constante en R demostrar que: SOLUCINEn efecto, hallando la primera derivada de f se tiene:

De donde:

Derivando nuevamente esta ecuacin obtenemos

Finalmente, multiplicando por (-1) nos queda:

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