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Cuadernillo de Apuntes de Matemáticas I

Luis Ignacio Sandoval Paéz

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Índice Números reales 1.1 Clasificación de los números reales. 5 1.2 Propiedades. 7 1.3Interpretación geométrica de los números reales. 10 1.4 Desigualdades lineales y cuadráticas y sus propiedades. 13

Funciones 2.1 Definición de función. 20 2.2 Representaciones de funciones(tablas, gráficas, formulas y palabras) 21

2.3.2 Función racional. 27 2.3.3 Función raíz. 29 2.3.4 Función exponencial. 31 2.3.5 Función logarítmica. 34 2.3.6 Función definida parte por parte. 37 2.3.7 Función inversa. 38

2.4 Clasificación de las funciones por sus propiedades: 39 2.4.1 Función creciente y decreciente 39 2.4.2 Función par e impar. 41 2.4.3 Función periódica. 42

2.5 Operaciones con funciones y composición de funciones 43

Límites y Continuidad 3.1 Definición de límite 46 3.2 Propiedades de los límites 47 3.3 Límites laterales 48 3.4 Asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) 51 3.5 Definición de continuidad. 54 3.6 Propiedades de la continuidad. 56

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Derivadas 4.1 Definición de la derivada. 57 4.2 Interpretación geométrica y física de la derivada. 57 4.3 Derivada de la función constante, derivada del producto de una constante por una función, derivada de la función x

n cuando n es un entero positivo, y

cuando n es un número real, derivada de una suma de funciones, derivada d un producto de funciones y derivada de un cociente de funciones. 59

4.4 Derivada de las funciones exponenciales. 62 4.5 Derivada de las funciones trigonométricas. 63 4.6 Derivada de las funciones compuestas 66 (regla de la cadena). 4.7 Derivada de la función inversa. 69 4.8 Derivada de las funciones logarítmicas. 71 4.9 Derivada de las funciones trigonométricas inversas. 73 4.10 Derivada de las funciones implícitas. 79 4.11 Derivadas sucesivas. 83 4.12 Teorema del valor medio y teorema de Rolle. 86

Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente, normal e intersección de curvas. 93 5.2 Máximos y mínimos (criterio de la primera derivada). 95 5.3 Máximos y mínimos (criterio de la segunda derivada.) 99 5.4 Funciones crecientes y decrecientes. 101 5.5 Concavidades y puntos de inflexión. 104 5.6 Estudio general de curvas. 110 5.7 Derivada como razón de cambio y aplicaciones. 113 5.8 Regla de L`Hôpital. 115

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Sucesiones y series 6.1 Definición de sucesión. 118 6.2 Límite de una sucesión. 118 6.3 Sucesiones monótonas y acotadas. 121 6.4 Definición de serie infinita. 122 6.5 Serie aritmética y geométrica. 122 6.6 Propiedades de las series. 124 6.7 Convergencia de series. 126

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CAPÍTULO I: LOS NÚMEROS REALES.

NÚMEROS REALES

1.1 Clasificación de los números reales.

En matemáticas, los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: . Números reales son aquellos que poseen una expresión decimal.

Pueden ser descritos de varias formas, aparentemente simples, pero estas carecen del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, usando expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó finalmente a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa a la nueva matemática, la cual incluyó definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.

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Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:

Ejemplos

1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.

5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).

es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son

algebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del binomio qx=p. Sin embargo, no se cumple el recíproco, no todos los números algebraicos son racionales.

Ejemplos

El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio 8x3 − 12x2 + 6x − 8

Un ejemplo de número trascendente es

Operaciones con números reales

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1. No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, razón por la que existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.

2. No está definida la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie.

Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de las matemáticas: existen asíntotas verticales en los lugares

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donde una función se indefine, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presenta una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.

La principal característica del conjunto de los números reales es la completitud, es decir, la existencia de límite para dada sucesión de Cauchy de números reales.

Notación

Los números reales miden cantidades continuas que se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.

Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad.

Los matemáticos usan el símbolo (o, de otra forma, , la letra "R" en negrita) para representar el conjunto de todos los números reales.

La notación matemática se refiere a un espacio de n dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.

En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de los números reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, y Álgebra de Lie real.

1.2 Propiedades. Cuando a este conjunto de símbolos que solemos llamar “Números reales” les adicionamos las operaciones de suma (+) y multiplicación (*) usuales creamos algo que se le llama CAMPO DE NÚMEROS REALES. Estas operaciones deben cumplir y de hecho están caracterizadas con las siguientes propiedades, las cuales mostramos en la tabla 1: donde a, b y c son números reales cualesquiera:

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Si a, b y c son números reales entonces:

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Conmutativa Suma

Multiplicación

a+b = b+a

ab = ba

El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.

2+8 = 8+2

5(-3) = ( -3)5


Asociativa Suma

Multiplicación

a+(b+c)=(a+b)+c

a(bc) = (ab)c

Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

7+(6+1)=(7+6)+1

-2(4x7)= (-2x4)7


Identidad Suma

Multiplicación

a + 0 = a

a x 1= a

Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva.

Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

-11 + 0 = -11

17 x 1 = 17


Inversos Suma

Multiplicación

a + ( -a) = 0

La suma de opuestos es cero.

El producto de recíprocos es 1.

15+ (-15) = 0


Distributiva Suma respecto a

Multiplicación

a(b+c) = ab + ac El factor se distribuye a cada sumando.

2(x+8) =

2(x) + 2(8)

Propiedad de los opuestos

Que dice Ejemplo

9

-( -a ) = a El opuesto del opuesto es el mismo número.

- ( - 9 ) = 9

(-a)( b)= a (-b)= -(ab)

El producto de reales con signos diferentes es negativo.

( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2)

= - 30

( - a)( -b) = ab El producto de reales con signos iguales es positivo.

( -34) ( - 8) = 34 x 8

-1 ( a ) = - a El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real.

-1 ( 7.6 ) = - 7.6

Propiedades del cero

Propiedad del cero Que dice Ejemplo

a x 0 = 0 Todo real multiplicado por 0 es 0.

16 x 0 = 0

a x b = 0 entonces

a = 0 ó b = 0

Si un producto es 0 entonces al menos uno de sus factores es igual a 0.

(a+b)(a-b) = 0 entonces

a + b = 0 ó a – b = 0

A las propiedades de ℝ enunciadas se les denomina “propiedades de campo”, para distinguirlas de otros dos conjuntos de propiedades de este conjunto llamadas propiedades de orden y propiedades de continuidad

Identifica la propiedad:

5 ( 4 x 1.2 ) = ( 5 x 4 ) 1.2

14 + ( -14 ) = 0

3 ( 8 + 11 ) = 3 ( 8) + 3 (11)

( 5 + 7 ) 9 = 9 (7 + 5)

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Aplica la propiedad indicada:

5(x + 8) ; (conmutativa de suma)

(3 x 6) 2 ; (asociativa de multiplicación)

(9 + 11) + 0 ; (identidad aditiva)

12(x + y) ; (distributiva)

9(6 + 4) ; (conmutativa de multiplicación)

(x + y) + z ; (asociativa de suma)

1.3 Representación Geométrica de los Números Reales

Geométricamente podemos representar el conjunto de los números reales mediante los puntos de una recta horizontal que llamaremos la recta real o el eje real. Para ello, escogemos un punto de la recta para representar el número 0 y otro punto a la derecha de este para representar al número1. La longitud del segmento determinado por los puntos marcados 0 y 1 se selecciona como unidad de distancia. Utilizando esta unidad de distancia representamos los números positivos a la derecha del 0 y los números negativos a la izquierda del 0. El entero positivo n se representa por el punto situado a una distancia de n unidades a la derecha del 0 y el entero negativo –n se representa por el punto situado a una distancia de n unidades a la izquierda del 0, como se indica en la siguiente figura donde se representan los enteros entre -5 y 5.

En la práctica, se acostumbra a identificar un número real con el punto sobre la recta que lo representa y, a utilizar como sinónimas las expresiones " el punto

" y " el número ".

Para representar la distancia entre dos puntos de la recta, necesitamos calcular la diferencia entre la coordenada del punto que esta a la derecha y la coordenada del punto que está a la izquierda. Si los puntos tienen coordenadas

y , entonces cuando la distancia es y cuando la distancia es , ya que la distancia es siempre positiva. Con el fin de tener una única fórmula para calcular la distancia en todos los casos, introducimos la noción de valor absoluto.

Definición: Si es un número real, su valor absoluto que notamos , lo definimos

| x| =

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Ejemplo

, pues

, pues

, pues

, pues

De acuerdo con nuestra observación anterior, si y son las coordenadas de dos puntos sobre una recta, la distancia entre ellos se define como . En particular, representa la distancia del origen al punto .

La relación de orden entre números reales tiene una interpretación geométrica muy simple:

si y sólo si el punto que representa esta localizado a la izquierda del punto que representa .

La representación geométrica es de gran utilidad en la resolución de problemas y en la visualización de muchas propiedades importantes de los números reales.

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo .

Intervalo abierto

Intervalo abierto , (a, b) , es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b .

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

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Intervalo cerrado , [a, b] , es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b .

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda Intervalo semiabierto por la izquierda , (a, b] , es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b .

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha Intervalo semiabierto por la derecha , [a, b) , es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b .

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se ut i l iza e l s igno (unión) entre e l los.

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1.4 Desigualdades lineales y cuadráticas de los números reales.

Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita La expresión

a b, Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse a > b, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva y a < b, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa.

Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra".

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que cero

2º Todo número negativo es menor que cero

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Sentido de una desigualdad. Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor que el

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segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Desigualdades absolutas y condicionales.

Así como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; así también hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.

Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella

Ejemplo: a2+ 3 > a

Desigualdades condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales:

Ejemplo: 2x - 8 > 0

que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x.

Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

Propiedades de las desigualdades.

1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro

Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:

a = b + c Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:

a + m = b + c + m Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente

a + m > b +m

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Ejemplos:

9 > 5 9 + 2 > 5 + 2

11 > 7

-2 > -6 -2 -3 > -6 -3

-5 > -9 Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros. Ejemplo:

6x -2 > 4x + 4 6x -4x > 4 + 2

2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta:

am = bm + cm. Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:

am > bm Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad Ejemplos:

12 > 7 12 * 3 > 7 * 3

36 > 21

15 > -25 15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5

3 > -5

3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:

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-an = -bn -cn Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,

-an < -bn Si -n es recíproco de un número negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado. Ejemplos:

3 > -15 3(-4) < (-15)(-4)

-12 < 60

64 < 80 64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4)

-16 > -20 Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1. Ejemplo:

-7x + 130 < 9 -5x 7x - 130 > -9 + 5x

4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.

Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta:

ab < b2 En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto:

a2 < b2 Ejemplo:

7 < 10 73 < 103

343 < 1000

5. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.

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Sea la desigualdad -a < -b a) Multiplicando sus dos miembros por b2 se obtiene:

-ab2 < -b3 En el primer miembro, reemplazando b2 por a2, la desigualdad se refuerza; luego se puede escribir:

-a3 < -b3 b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo análogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus términos cambian de signo, y se tiene:

a2 > b2 Ejemplos:

-3 > -6 (-3)3 > (-6)3 -27 > -216

-8 < -4 (-8)2 > (-4)2

64 > 16

6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas.

Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b" Se puede escribir:

a = b + c a' = b' + c' a" = b" + c"

Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente:

a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c" a + a' + a" > b + b' + b"

Ejemplo:

Dado: 2x > 10 y 7x > 26 se obtiene: 9x > 36

7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.

Sean las desigualdades a > b y c < d Invirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene

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a > b d > c

a + d > b +c Restando d + c de cada miembro, resulta:

a - c > b -d Ejemplo:

Dado: 7x < 12 y 5x > 16, se obtiene: 2x < -4

Las desigualdades lineales se resuelven exactamente como las igualdades, con una importante excepción: al multiplicar o dividir por una cantidad negativa, el signo de desigualdad se invierte.

El conjunto solución lo escribimos así: S = ]-¥, -13/7]

Desigualdades Cuadráticas

1 Factorizables

Ejemplo 1: Hallar el conjunto solución de x2 - 6x + 8 > 0.

Solución:

Factorizando, (x - 2)(x - 4) > 0.

Gráficamente:

\ x < 2 o x > 4.

El conjunto solución es {x Î R : x < 2 o x > 4}

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Recta Numérica:

\ x < 2 o x > 4.

El conjunto solución es {x Î R : x < 2 o x > 4}

Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución de (2x - 1)(x + 2) < x(4 + x).

Solución:

2x2 + 3x - 2 < 4x + x2

x2 - x - 2 < 0

(x + 1)(x - 2) < 0

\ -1 < x < 2.

El conjunto solución es {x Î R : -1 < x < 2}

2 No Factorizable

Ejemplo 3: Resolver x2 - 4x + 1 > 0.

Solution:

Método 1: Completando el Cuadrado

x2 - 4x + 1 = x2 - 4x + 4 - 3

= (x - 2)2 - 3

(x - 2)2 - 3 > 0

(x - 2)2 > 3

|x - 2| > Ö3

x - 2 > Ö3 o x - 2 < -Ö3

x > 2 + Ö3 o x < 2 - Ö3

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CAPÍTULO II: FUNCIONES.

2.1 Definición de función.

Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo algunas de las expresiones que más nos interesan dentro del cálculo son las funciones.

Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí; generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del codominio.

Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con elementos del codominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con uno del codominio, sin importar si los elementos del codominio puedan estar relacionados con dos o más del codominio.

Donde se dice que f: A → B (f es una función de A en B, o f es una función que toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B) Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.

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El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y´s. También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que está sujeta a los valores que puede tomar la otra.

VARIABLES DEPENDIENTES.

Son aquellas variables que como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que está sujeta a los valores que se le subministre a x.

VARIABLE INDEPENDIENTE.

Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.

VARIABLE CONSTANTE.

Es aquella que no está en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:

Y=2, la constante gravitacional, entre otras. 2.2 Representaciones de funciones(tablas, gráficas, formulas y palabras) La gráfica de una función solo puede ser cortada por una recta vertical en un punto, si dicha recta corta más de una punto no lo es. Como se muestra en la figura Se traza una línea paralela

Y debe de cortar una solo punto, Y si corta dos o más puntos

No es función.

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Se llama función polinómica de grado cero o función matemática constante a la que no depende de ninguna variable, se la representa de la forma:

Donde a es la constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano xy, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

Tenemos:

Donde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

La función constante como un polinomio en x

Si un polinomio general, se supone que tiene la forma:

Una función constante cumple esta expresión con n= 0, es un polinomio de grado 0.

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Que es lo mismo que:

Que corresponde al termino independiente del polinomio.

2.3 Clasificación de las funciones por su naturaleza; algebraicas y trascendentes.

2.3.1 Función polinomial. Una variable es un símbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores. En general se representan las variables con las últimas letras del alfabeto: u,v,w,x,y,z. Una constante es un símbolo al que se le puede asignar un solo valor. En general se representan las constantes con las primeras letras del alfabeto: a, b, c. Llamaremos función lineal a una ecuación del tipo

y = mx +b

Halle las expresiones que determinan las siguientes rectas y grafique. Una recta de pendiente dos que pasa por el punto tres, cuatro. Una función lineal que pasa por el punto P, de coordenadas (18.1;3) y el J de coordenadas (1.2;-3.2) Una recta con m igual a -2/5 y término independiente igual a cinco. Determine todos los puntos de intersección entre estas tres rectas. Responda las siguientes cuestiones y grafique. Si y = (3/2 )x + 3x, determine el valor de b. Si y = 3 + (1/2 )x, determine el valor de m Si t= 2/5 + x + 3, determine el valor de m y b

Recuerde que:

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Son paralelas si y solo si:

son perpendiculares si y solo si:

Funcione cuadrática Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma

f(x)= ax2+bx+c

donde a,b y c son constantes y a # 0

La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números reales.

Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo. A continuación se muestran tres funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones cuadráticas.

f(x)= x2 - 5x + 4 f(x)= - x2 - 5x + 4 f(x)= - 2x2 - 5x + 4

x f(x) 0 4 1 0 2 -2 4 0

x f(x) -6 -2 -5 4 -1 8 0 4

x f(x) -5/2 4 -2 6 -1 7 0 4

25

5 4

1 -2

1 3

Funciones polinomiales Si una función f está definida por 01

22

11 ...)( axaxaxaxaxf n

nn

nn

n +++++= −−

−−

donde naaa ,...,, 10 son números reales ( 0≠na ) y n es un entero no negativo, entonces, f se llama una función polinomial de grado n. Por lo tanto,

173)( 25 −+−= xxxxf , es una función polinomial de grado 5. Una función lineal es una función polinomial de grado 1, si el grado de una función polinomial es 2, se llama función cuadrática, y si el grado es 3 se llama función cúbica. Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales

)()()(

xgxfxQ = se llama función racional. Una función algebraica es aquella que

está formada por un número finito de operaciones algebraicas sobre la función identidad y la función constante. Las funciones trascendentes son las trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Ejemplos:

1. Para la función 652)( 23 +−−= xxxxf :

(a) Determine el dominio de la función

(b) Las intercepciones con los ejes

(c) Elabora una tabla para algunos valores del Df

(d) Traza la gráfica de la función

(e) Estima una aproximación del Rf (puedes comprobarlo utilizando un software)

Solución: (a) RD f = (el dominio de las funciones polinomiales son todos los números

reales. (b) Intercepciones con los ejes:

6

0==

yxSi

La curva intercepta al eje y en el punto (0, 6)

26

65200

23 +−−=

=

xxxySi

Por división sintética:

Los factores de 6 son: 6,3,2,1 ±±±±

Por lo tanto, f tiene un factor de la forma x-1.

)6()1(652)( 223 −−−=+−−= xxxxxxxf

El factor 62 −− xx , puede descomponerse en:

)2()3(62 +−=−− xxxx

Finalmente:

0)2()3()1(0652

023

=+−−=+−−

=

xxxxxx

ySi

Los valores de x son:

202303101

−=⇒=+=⇒=−=⇒=−

xxxxxx

La curva corta al eje x en los puntos: (-2, 0), (1, 0) y (3, 0)

(c) La siguiente tabla será de mucha utilidad para graficar:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y -70 -24 0 8 6 0 -4 0 18

(d) La función ha sido graficada utilizando un software:

1 -2 -5 6

1 1

1

-1

-1

-6

-6

0

27

2 4 6 8 10 12 14-2-4-6-8-10-12-14

2

4

6

8

10

-2

-4

-6

-8

-10

x

yy = x^3-2x^2-5x+6

(e) El recorrido de la función coincide con el contradominio:

RR f =

2.3.2 Función racional Definición: Si P(x) y Q(x) son polinomios, la función de la forma:

f x P xQ x

( ) ( )( )

=

se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero. Ejemplos:

f xx

g x xx

h x x( ) , ( ) , ( )= =−+

= −1 3

13 12

El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero. Teorema: Sea f una función racional definida de la forma:

f x P xQ x

( ) ( )( )

=

Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si a es un número real que Q(a) = 0 y P(a) es diferente de cero, entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de y = f(x). Ejemplos para discusión: Halla las asíntotas verticales para cada de las siguientes funciones:

28

1 1

2 21

3 2 34

4 12 1

2

) ( )

) ( )

) ( )

) ( )

f xx

g xx

h x xx

f xx

=

=+

=−−

=−

Teorema: Sea f una función racional definida por el cociente de dos polinomios,

f xa x a x ab x b x b

mm

nn( )

......

=+ + ++ + +

1 0

1 0 entonces: 1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal. 2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal. 3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales. Halla las asíntotas horizontales para cada una de las siguientes funciones:

1 1

2 21

3 2 33 1

4 31

3

2

) ( )

) ( )

) ( )

) ( )

f xx

g xx

h x xx

f x xx

=

=+

=−+

=+

Gráfica de funciones racionales Ahora utilizaremos las técnicas de interceptos y asíntotas para graficar algunas funciones racionales. Ejemplos para discusión: Dibuja la gráfica de:

29

163)()5

13)()4

32)()3

11)()2

1)()1

2

−+

=

−=

−=

+=

=

xxxg

xxf

xxxh

xxg

xxf

Teorema: Si f es una función definida de la forma:

f x P xQ x

( ) ( )( )

=

Donde P(x) y Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es 1 más que el grado de Q(x), entonces se puede expresar de la forma:

f x mx b r xQ x

( ) ( )( )

= + +

Donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x). La recta y = mx + b es una asíntota oblicua para la gráfica de f. 2.3.3 Función raíz Sea n un número natural no nulo. La función (potenciación) x → x n define una biyección de hacia si ''n'' es impar, y hacia si ''n'' es par. Se llama enésima raíz, o raíz de orden n su función matemática recíproca, y se puede anotar de formas:

.

Para todo n natural, a y b reales positivos, tenemos la equivalencia:

.

En él, se han dibujado las curvas de algunas raíces, así como de sus funciones recíprocas, en el intervalo [0;1]. La diagonal de ecuación y = x es eje de simetría entre cada curva y la curva de su recíproca.

30

Cambiando de escala:

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: en vez de . La raíz de orden tres se llama raíz cúbica.

El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo y exponencial:

.

Todos los ordenadores y calculadoras emplean este método. El problema es que éste cálculo no funciona con los números negativos, porque el logaritmo usual sólo está definido en (0,+ ∞). De ahí una tendencia, todavía minoritaria,

31

de restringir la definición de las raíces de orden impar a los números positivos.

Propiedades Como se indica con la igualdad , la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar a dicho número a la potencia inversa.

Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación.

2.3.4 Función exponencial

Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

1) f(x) = 2x

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

( )2 12

2 21) ( )f xx

x x=

= =− −

32

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:

1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3) El eje de x es la asíntota horizontal.

4) Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.

5) Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.

6) La función f es una función uno a uno.

Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales:

1) Leyes de los exponentes:

( )

a a a a

b aa

a

c a a

d ab a b

e ab

ab

x y x y

x

yx y

x y xy

x x x

x x

x

)( )( )

)

)

)( )

)

=

=

=

=

=

+

−

2) ax = ay si y sólo si x = y

3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b.

Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:

1) 2x = 8

2) 10x = 100

3) 4 x - 3 = 8

33

4) 5 2 - x = 125

Halla el valor de x:

1) 2x = 64

2) 27 x + 1 = 9

La función exponencial de base e Al igual que π, e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).

Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = ex define a la función exponencial de base e.

Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex.

La gráfica de f(x) = ex es:

0

5

10

15

20

25

-4 -2 0 2 4

El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.

La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de

f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a continuación:

0

5

10

15

20

25

30

-4 -2 0 2 4

34

En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.

Simplifica:

( )=

=

−83

3

42

)2

)1

x

x

xx

ee

e

Halla el valor de x en e x + 1 = e 3x - 1

1) Simplifica: (e 3x + 1) (e 2x – 5)

2) Halla el valor de x en e3x – 4 = e2x

La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x es:

0

5

10

15

20

25

-4 -2 0 2 4

2.3.5 Función logarítmica

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.

Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces

logb y = x si y sólo si y = bx.

35

Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Ejemplos:

1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.)

2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.

Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log10 3 está definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son.

Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:

1 9 2

2 7 12

3 14

2

3

49

2

) log

) log

) log

=

=

= −

Ejercicios:

1) Halla el valor de x si log3 9 = x.

2) Halla el valor de b si logb 8 = 3.

3) Halla el valor de y si log2 y = 7.

Ejercicio:

1) Halla el valor de y si log3 27 = y.

2) Halla el valor de b si logb 100 = 2.

3) Halla el valor de x si log2 x = -3.

Propiedades de las funciones logarítmicas: Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno, y p y x son números reales, entonces:

1) logb 1 = 0

2) logb b = 1

3) logb bx = x

36

4) logb MN = logb M + logb N

5) log log logb b bMN

M N= −

6) logb Mp = p logb M

7) logb M = logb N si y sólo si M = N

Logaritmos comunes y naturales

Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e. Si y = ex entonces x = loge y = ln. Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales.

Notación:

Logaritmo común: log x = log10 x

Logaritmo natural: ln x = loge x

El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b. En particular:

1 12 1 03

4

5

) ln) ln) ln( ) ln ln

) ln ln ln

) ln ln

e

uv u vuv

u v

u n un

=== +

= −

=

Usa las propiedades para expandir:

=

=−−

yxxx

23ln)2212ln)1

Gráficas de funciones logarítmicas

Las funciones y = bx y y = logb x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas. Así que la gráfica de y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = bx. La gráfica de y = bx tiene como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = logb x tiene al eje de y como asíntota vertical.

37

Ejemplo:

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8

y = 2x y = log2 x

Las funciones y = 2x y y = log2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log2 x es una reflexión de la gráfica de y = 2x sobre la recta y = x. El dominio de y = 2x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero. El dominio de y = log2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales.

2.3.6 Función definida parte por parte

Trazar la gráfica de la función f si

Solución

Si x < 0, entonces f(x) = 2x +3, y la gráfica de f coincide con la recta y = 2x + 3. Con esto se obtiene la parte de la gráfica que está a la izquierda del eje y, que se ve en la Fig. 3.53. El circulo pequeño indica que el punto (0, 3) no está en la gráfica.

Si 0 £ x < 2, se usa x2 para calcular valores de f y, por consiguiente, esta parte de la gráfica de f coincide con la parábola y = x2, como se ve en la figura. Nótese que el punto (2, 4) no pertenece a la gráfica.

Finalmente, si x ³ 2, los valores de f siempre son 1. Así, la gráfica de f para x ³ 2 es la media recta horizontal que se ve en la figura.

38

2.3.7 Función inversa Se l lama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Podemos observar que: El dominio de f−1 es e l recorr ido de fEl recorr ido de

. f−1 es e l dominio de f

Si queremos hal lar e l recorr ido de una función tenemos que hal lar e l dominio de su función inversa.

.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad

.

f o f - 1 = f - 1 o f

= x

Las gráf icas de f y f - 1 son simétr icas respecto de la b isectr iz del pr imer y tercer cuadrante.

39

Hay que dist ingui r entre la función inversa , f−1(x), y la

inversa de una función , . Cálculo de la función inversa Se escr ibe la ecuación de la función con x e y. Se despeja la var iable x en función de la var iable y. Se intercambian las var iables.

Calcular la función inversa de:

2.4 Clasificación de las funciones por sus propiedades: 2.4.1 Función creciente y decreciente Función estrictamente creciente en un intervalo

40

Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba:

Una función es estrictamente creciente en el punto de abscisa si existe algún número positivo tal que es estrictamente creciente en el intervalo .

De esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente creciente en el punto de abscisa , entonces .

Función creciente en un intervalo

Una función es creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Función estrictamente decreciente en un intervalo

Una función es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

41

f (-x) f (x)

x -x

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia abajo:

Una función es estrictamente decreciente en el punto de abscisa si existe algún número positivo tal que es estrictamente decreciente en el intervalo .

De esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente decreciente en el punto de abscisa , entonces .

Función decreciente en un intervalo

Una función es decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

2.4.2 Función par e impar

SIMETRÍA.

FUNCIÓN PAR. Si una función f satisface que f(-x) = f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una función par.

Ejemplo. Comprobar que f(x) = x2 es par.

f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x)

Como f(-x) = f(x), entonces la función es par!

42

La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y.

FUNCIÓN IMPAR. Si una función f satisface que f(-x) = - f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una función impar.

Ejemplo. Demostrar que f(x) = x3 es una función impar.

f(-x) = (-x)3 = - x3 = - f(x)

Como f(-x) = - f(x), entonces la función es impar!

La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen.

Ejemplos. Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguno de los dos.

f(x) = x5 + x

f(x) = 1 – x4

f(x) = 2 x – x2

2.4.3 Función periódica

Una función f (x) es per iódica, de período T, s i para todo número entero z, se ver i f ica:

f(x) = f(x + zT)

La función f (x) = sen x es per iódica de periodo 2π, ya que cumple que:

sen (x + 2π) = sen x

f (x)

f (-x)

x -x

43

La función f (x) = tg x es per iódica de per iodo π, ya que cumple que:

tg (x + π) = tg x

2.5 Operaciones con funciones y composición de funciones

Si tenemos dos funciones: f (x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorr ido de la 1ª, se puede def in ir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f (x) e l valor de g[ f (x)] .

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

(g o f ) (1) = 6 · 1 + 1 = 7 Dominio: D ( g o f ) = {x D f / f (x) D g

}

Propiedades Asociat iva: f o (g o h) = (f o g) o h

44

No es conmutat iva.

El e lemento neutro es la f o g ≠ g o f

función identidad , i (x) = x . f o i = i o f = f

Sean las funciones:

46

CAPÍTULO III: LÍMITES Y

CONTINUIDAD. 3.1 Definición de límite Definición de límite

Sea f una función definida en una vecindad del punto (b,0).

Definición:

Se dice que , si para cada número positivo , por pequeño que este sea, es posible determinar un número positivo , tal que para todos los valores

de , diferentes de , que satisfacen la desigualdad , se verificará la

desigualdad .

Luego, si y solo si para cada tal que si ,

entonces .

En forma gráfica se tiene:

para cada existe

tal que si entonces

47

También el puede interpretarse de la forma siguiente: como la

desigualdad se deduce que , entonces todos los puntos en

la gráfica de la función con ecuación , que corresponden a los puntos que se localizan a una distancia no mayor que del punto , se encontrarán

dentro de una franja de ancho ,limitada por las rectas , como se muestra en la siguiente figura:

Puede decirse entonces que la definición de límite dada anteriormente ,

establece que los valores de la función se aproximan a un límite , conforme se aproxima a un número , sí el valor absoluto de la diferencia

entre se puede hacer tan pequeña como se quiera tomando suficientemente cercana a "b", pero no igual a "b".

3.2 Propiedades de los límites Para resolver alguno limites es necesario tener en cuenta alguna de las siguientes propiedades, a continuación iniciaremos con las más sencillas e irán aumentando de dificultad, pero muchas veces teniendo en cuenta a anteriores

(1)

48

(2)

(donde c es una constante o numero cualquiera)

(3)

(e igual cuando es resta)

(4)

(5)

mientras que

En este ejemplo vamos a usar propiedades de los limites y algunos trucos para romper la indeterminación de un límite, teniendo en cuenta que solo puedo multiplicar y dividir por 1, usar la factorización o alguno otro procedimiento matemático que no afecte al límite.

3.3 Límites laterales

Definición de límites laterales o unilaterales

Definición de límite por la derecha

Se dice que si y solo si para cada existe tal que si

entonces es el límite por la derecha de en "a".

Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues es mayor que cero ya que .

49

Definición de límite por la izquierda

Se dice que si y solo si para cada existe tal que si

entonces es el límite por la izquierda de en "a".

Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo que .

En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de una función cuya ecuación se da.

Ejemplo:

Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función definida por:

Primero hagamos la gráfica de la función:

El punto de discontinuidad se presenta cuando

Luego: y Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2). Ejercicio:

50

Represente la función definida por

y determine los límites laterales en el punto de discontinuidad.

Es posible demostrar que para que exista es necesario y suficiente que los límites laterales existan y sean iguales.

Es decir, si y solo si y

Por consiguiente, si es diferente de se dice que no existe.

Ejemplo: Representemos gráficamente la función definida por:

Como y , entonces

Como y , entonces no existe.

Ejercicio: Considere la representación gráfica de la función definida por:

51

3.4 Asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas)

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es: Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)

Si existe un número “a” tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

Ejemplo:

es la asíntota vertical.

52

Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)

Si existe el límite: :

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Ejemplo:

es la asíntota horizontal.

53

Asíntotas oblicuas (inclinadas)

Si existen los límites: :

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

Ejemplo:

es la asíntota oblicua.

Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.

En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

Posición relativa de la función con respecto a la asíntota Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:

54

Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO [f(x)-Asíntota].

Ejemplo:

La función tiene por asíntota oblicua la recta

Calculamos los puntos de intersección de ambas:

El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).

Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.

Esto nos indica que en el intervalo la función está por encima de la asíntota y en el intervalo la función está por debajo de la asíntota.

3.5 Definición de continuidad Definición de continuidad

55

Se dice que una función f es continua en c si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1.

está definida, (o sea, c pertenece al dominio de f) 2.

existe 3.

La función f será discontinua en c si por lo menos una de las condiciones anteriores no se cumple.

Ejemplo

Determinar si la función definida por es continua en

Primero por lo que f está definida en 2

Calculemos

(de aquí existe)

Como entonces f es continua en Note que f no está definida ni en , ni en por lo que f es discontinua en esos puntos.

Ejemplo

Determine si la función definida por

es o no continua en

56

Se tiene que (es decir, 4 pertenece al dominio de )

Además

Pero por lo que es discontinua en . La representación gráfica de la función es la siguiente:

3.6 Propiedades de la continuidad Propiedades de continuidad Si b es un número real y f, g son continuas en x = c, entonces: 1) bf es continua en c (múltiplo escalar) 2) f ± g es continua en x = c ( suma o diferencia) 3) fg es continua en x = c ( producto)

4) gf es continua en x = c si g(c) ≠ 0 ( cociente)

Teorema-Función compuesta Si g es continua en c y f es continua en g(c) , entonces ( f o g )(x) = f(g(x)) es continua en x = c.

57

CAPÍTULO IV: LA DERIVADA.

4.1 Definición de la derivada.

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

La definición de derivada es la siguiente:

4.2 Interpretación geométrica y física de la derivada. Cuando h t iende a 0, e l punto Q t iende a confundirse con el P. Entonces la recta secante t iende a ser la recta tangente a la función f (x) en P, y por tanto e l ángulo α t iende a ser β.

58

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la der ivada de la función en ese punto.

m t

= f ' (a)

Dada la parábola f (x) = x2

La bisectr iz del pr imer cuadrante t iene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m = 1.

, hal lar los puntos en los que la recta tangente es parale la a la b isectr iz del pr imer cuadrante.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f '(a) = 1Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la der ivada en el punto x = a.

.

59

4.3 Derivada de la función constante, derivada del producto de una

constante por una función, derivada de la función xn cuando n es un

entero positivo, y cuando n es un número real, derivada de una

suma de funciones, derivada de un producto de funciones y

derivada de un cociente de funciones.

Derivada de una función constante Sea una función constante f(x) = C. Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que Luego la derivada de una constante es siempre cero.

60

Derivada de la función xn

Una función de carácter exponencial, cuyo exponente es un entero se representa por f(x) = xn y se puede demostrar que su derivada es f'(x) = nxn − 1 por ejemplo tomemos la función:

f(x) = x3

Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:

f'(x) = 3x3 − 1

Quedando finalmente:

f'(x) = 3x2

En algunas funciones donde la variable ya está siendo multiplicada, como: f(x) = 7x4 se aplica la siguiente regla.

Derivada de una constante por una función

Cuando una función esté representada por medio de f(x) = cxn, su derivada equivale a f'(x) = n(cx(n − 1)) de la siguiente manera:

Consideremos la siguiente función: f(x) = 8x4, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

f'(x) = 4(8x4 − 1)

Para obtener

f'(x) = 32x3

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:

f(x) = 7x

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

f'(x) = 7

Puesto que x0 = 1

61

Derivada de una suma

Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de una suma es la suma de la derivada de cada término por aparte. Es decir, (f + g)' = f' + g'. Como ejemplo consideremos la función f(x) = 3x5 + x3, para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada termino por aparte y la expresión de estos será la derivada de la función suma:

f'(x) = 15x4 + 3x2

Derivada de un producto

La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:

"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función"

Y matemáticamente expresado por la relación . Consideremos la siguiente función como ejemplo:

h(x) = (4x + 2)(3x7 + 2)

Identificamos a f(x) = (4x + 2) y g(x) = (3x7 + 2), utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

f'(x) = 4 y que g'(x) = 21x6

Por lo tanto

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda

h'(x) = 84x7 + 12x7 + 42x6 + 8

Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

h'(x) = 96x7 + 42x6 + 8

Derivada de un cociente

La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:

Es decir:

62

"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado"

Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es g(x) = 2x y se multiplique por la derivada del numerador que sería f'(x) = 3; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador (f(x)) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de g(x) = 2x, que sería g'(x) = 2, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, así:

Ahora todo es cuestión de simplificar:

4.4 Derivada de las funciones exponenciales.

La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a la izquierda.

Como e > 1, la función f(x) = ex es una función creciente. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = ex. Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = ex en cualquier punto (x,ex) es igual a la coordenada y de ese punto. Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = ex en el punto (0,1) la pendiente es 1.

0

5

10

15

20

25

30

-5 0 5

63

Reglas para la derivación de funciones exponenciales:

Halla la derivada de:

1) y = e 2x - 1

3) y = x3ex

Ejercicios: Deriva cada una de las siguientes funciones: 1) f(x) = e2x

22)2 xxey +−=

3) xey =

4) g(x) = (e –x + e x)3 5) y = x2 e-x 6) y = x2 ex – 2x ex + 2 ex 7) f(x) = 4x 8) g(x) = 5 x – 2

9) h(x) = 2e x + 1

4.5 Derivada de las funciones trigonométricas.

Derivada de la función seno

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

64

Por tanto si f(x) = sen(x)

A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), se puede escribir

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

Reordenando los términos y el límite se obtiene

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

El valor de los límites

Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),

Derivada de la función coseno

Si f(x) = cos(x)

A partir de la identidad trigonométrica cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), se puede escribir

65

Operando se obtiene

Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

El valor de los límites

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

Derivada de la función tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, f(x), se puede escribir como

y h(x) ≠ 0, entonces la regla dice que la derivada de g(x) / h(x) es igual a:

A partir de la identidad trigonométrica

haciendo

g(x) = sin(x) g'(x) = cos(x)

h(x) = cos(x) h'(x) = − sin(x)

66

sustituyendo resulta

operando

y aplicando las identidades trigonométricas

cos2(x) + sin2(x) = 1

resulta

f'(x) = sec2(x)

4.6 Derivada de las funciones compuestas (regla de la cadena).

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones. Descripción de la regla: En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si es diferenciable en y es una función diferenciable en

, entonces la función compuesta es diferenciable en y

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

67

Donde indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

Ejemplos de aplicación

Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.

Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

Por ejemplo si y = f(u) es una función derivable de u y si además u = g(x) es una función derivable de x entonces y = f(g(x)) es una función derivable con:

o también

Ejemplo

y queremos calcular:

Por un lado tenemos:

y

si:

68

Entonces:

Si definimos como función de función:

Resulta que:

Con el mismo resultado.

Ejemplo

Tenemos la cual se puede definir como función compuesta. Si desglosamos la función compuesta quedaría:

, cuyas derivadas serían:

Con la regla de la cadena, esto sería:

Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extraídas.

69

Se reemplazan las letras b y c pos sus valores NO derivados, no confundir.

Y luego se obtiene la derivada.

Derivadas de orden superior

Las fórmulas de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. algunas de ellas son:

4.7 Derivada de la función inversa.

Previo al estudio de las funciones trigonométricas inversas, es necesario determinar la derivada de la función inversa de una función dada. Para ello consideremos el siguiente teorema.

Teorema

Sea una función estrictamente creciente y continua en un intervalo la

función inversa de .

70

Si existe y es diferente de cero para , entonces la función derivada

también existe y no es nula en el correspondiente "y" donde .

Además se tiene que .

Note que si entonces , y

Ejemplos:

1. Consideremos la función definida por:

Esta función posee función inversa definida por:

Se tiene que

Como

Note que:

2. Sea la ecuación de una función definida en tal que

.

Se tiene que entonces

Así:

71

El teorema anterior será de gran utilidad cuando determinemos las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.

4.8 Derivada de las funciones logarítmicas

Vamos a estudiar la derivada de la función definida por , donde

tal que

Teorema

Si , entonces la función es

derivable sobre su dominio

Ejemplos:

1.

2.

Teorema

Sea , si la función es derivable y sobre un

conjunto , entonces la función definida por , es

derivable sobre y .

Ejemplos:

1.

2.

3.

( )( )( )

2

5 22

2

( 3) 1 1 21 log1 33

x x xex x

x

+ ⋅ − += ⋅

+ ++

72

En particular si la base de los logaritmos es " " entonces el se denota por , y:

1. , es decir

2. Si es una función derivable con entonces:

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

73

4.9 Derivada de las funciones trigonométricas inversas.

Conviene recordar que:

a. Si una función es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo, entonces posee función inversa la cual también es continua y estrictamente creciente (decreciente). b. Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y la dependiente no es "uno a uno". De aquí se tiene que la inversa de una función trigonométrica no es una función, es una relación. Sin embargo, si se restringe el dominio de una función trigonométrica se establece una relación biunívoca y la inversa de la función trigonométrica sí es una función.

Función seno inverso

Al considerar la gráfica de la función seno:

Se observa que en varios intervalos, por ejemplo:

, etc, la función seno es continua y estrictamente creciente, por lo que podría escogerse alguno de ellos para definir la función

inversa de la función seno. Usualmente se toma el intervalo . Luego, se define la función seno como:

La función así definida es continua y estrictamente creciente en el intervalo

, por lo que existe una única función, definida en el intervalo , llamada función seno inverso. Esta función, denotada arcsen, se define como sigue:

74

Se tiene entonces que .

Luego, es el único número para el cual .

Ejemplos:

a.

b.

c.

d.

La representación gráfica de la función seno y de la función arcoseno es la siguiente:

Derivada de la función seno inverso

Como , aplicando el teorema de la derivada de una función inversa se tiene que:

75

Como , y entonces

pues .

Luego:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

Función coseno inverso

Como en la función seno, la función coseno es continua y estrictamente decreciente en varios intervalos, por lo cual debe restringirse su dominio de tal forma que posea función inversa.

Sea entonces la función tal que:

La función así definida es continua y estrictamente decreciente en el intervalo

, por lo que posee función inversa. Esta recibe el nombre de arco coseno, (o función coseno inverso), y se denota .

Se define de la siguiente forma:

76

Se tiene que

Luego, es el único número con para el que

Ejemplos:

a.

b.

c.

d.

La representación gráfica de la función coseno y la de la función arco coseno es la siguiente:

Derivada de la función coseno inverso

Como , aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que:

77

Como , y entonces

pues .

Luego:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

Función tangente inversa

Igual que en los dos casos anteriores, vamos a restringir el dominio de la

función tangente al intervalo , en el que es continua y estrictamente creciente, por lo que posee función inversa.

Luego se define la función tangente como:

Se define la función tangente inversa, también llamada arco tangente, y denotada , como:

78

Se tiene que ,

Luego, es el único número con para el que

Ejemplos:

a. b. c.

Además:

La representación gráfica de la función tangente y la de la función arcotangente es la siguiente:

79

Derivada de la función arcotangente

Como , aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que:

Como , y entonces por lo que:

En general

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine si:

a.

b.

c.

4.10 Derivada de las funciones implícitas.

Al considerar la función con ecuación , es posible determinar

con los teoremas enunciados anteriormente, ya que es una función dada implícitamente en términos de la variable independiente .

80

Sin embargo, existen funciones que no están definidas en forma explícita, ejemplos de las cuales son las siguientes:

Estas ecuaciones no pueden ser resueltas explícitamente para "y" en términos de "x". Se dice que la función f está definida implícitamente por las ecuaciones:

respectivamente.

Note que ambas expresiones son de la forma general .

Interesa ahora determinar la derivada de una función dada en forma implícita.

Consideremos cada una de las ecuaciones anteriores:

a.

Observe que involucra un producto de funciones y que para derivar

se debe utilizar la regla de la cadena.

Se tiene entonces derivando:

Despejando se tiene que:

Sustituyendo "y" por se obtiene:

81

b. derivando

de donde

y sustituyendo se tiene:

El proceso realizado en estos dos ejemplos recibe el nombre de derivación implícita, y puede ser utilizado únicamente bajo el supuesto de que la ecuación dada especifica una función. En caso de que no sea así, aunque se realicen las operaciones, el resultado carece de sentido.

Ejemplos:

1. Suponiendo que existe una función derivable tal que está definida

implícitamente por la ecuación , calcular

Solución:

Derivando implícitamente se obtiene:

Note que hemos trabajado como si .

2. En cada caso determinar una ecuación para la recta tangente y una ecuación para la recta normal a la gráfica de la ecuación dada en el punto . Graficar la curva, la recta tangente y la recta normal.

82

a.

b.

Solución:

a.

Primero obtenemos que nos da la pendiente de la recta tangente:

de donde

Evaluando se tiene que

Luego . Sustituyendo se obtiene que por lo que la

ecuación de la recta tangente es

La pendiente de la recta normal es de donde la ecuación de esta

recta es: ; sustituyendo nuevamente en se obtiene que

La ecuación de la recta normal es:

La ecuación puede escribirse como

que representa la ecuación de una circunferencia

con centro en y radio .

La representación gráfica de la curva y las rectas es la siguiente:

83

b.

Dada la ecuación obtenemos . como entonces

Evaluando en se tiene que

Luego, la pendiente de la recta tangente es y la ecuación es

. Sustituyendo en esta ecuación se obtiene que por lo que finalmente la ecuación de la recta tangente es .

La pendiente de la recta normal es y la respectiva ecuación es:

. Sustituyendo se obtiene que por lo que la ecuación de la recta normal es .

La representación gráfica de la curva, las recta tangente y de la recta normal es la siguiente:

4.11 Derivadas sucesivas.

Si es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como:

para en el dominio de .

Si para algunos valores existe el se dice que existe la

segunda derivada de la función que se denota por o , que equivale

84

a . O sea, la segunda derivada de la función se obtiene derivando la primera derivada de la función.

Ejemplos:

1. Si entonces:

y

2. Si entonces:

y derivando nuevamente

Por tanto

Similarmente podemos decir que la derivada de respecto a "x" es la

tercera derivada de respecto a "x" que se denota o .

La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada y así podríamos

continuar sucesivamente hasta la enésima derivada de que se denota por

o . Generalmente se habla del orden de la derivada; así la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden n.

Ejemplos:

1. Determinar , donde

Solución:

85

Obtenemos primero

Luego:

y se tiene que:

2. Determinar

Solución:

Se tiene que:

2 33 52 8(́ ) 1

3 5f x x x

− −

= − +

5 83 54 24(́ )

9 25f x x x

− −−= +

Por último:

8 133 520 192´́ (́ )

27 125f x x x

− −

= −

Una aplicación de la segunda derivada

Anteriormente hemos estudiado que si nos indica la distancia de una

partícula al origen en un tiempo , entonces es la velocidad en el tiempo

Al calcular la derivada de la velocidad respecto al tiempo, es decir, al calcular

se obtiene la aceleración instantánea en el tiempo . Si denotamos esta

aceleración por se tiene que , es decir, la aceleración es la segunda derivada de la distancia respecto al tiempo.

86

Ejemplo:

Sea , la ecuación que determina la distancia en el tiempo (en segundos) de una partícula al origen en un movimiento rectilíneo. Determinar el tiempo, la distancia, y la velocidad en cada instante en que la aceleración es nula. Solución:

Si entonces la velocidad, está dada por:

Averigüemos el tiempo en que la aceleración se hace cero.

Luego, la distancia recorrida cuando es metros y la velocidad en

es .

4.12 Teorema del valor medio y teorema de Rolle.

Teorema del valor medio para derivadas (Teorema de Lagrange)

Sea una función que cumple las propiedades siguientes:

1. Es continua sobre un intervalo cerrado

2. Es derivable sobre un intervalo abierto

Entonces existe por lo menos un número tal que y

Este teorema se utiliza para demostrar varios teoremas tanto del cálculo diferencial como del cálculo integral.

Interpretación geométrica

El teorema del valor medio puede interpretarse geométricamente como sigue:

Consideremos la representación gráfica de una curva continua :

87

La recta secante que une los puntos tiene como pendiente

. Según el teorema del valor medio, debe existir algún punto sobre la curva, localizado entre P y Q, en el que la recta tangente sea paralela

a la recta secante que pasa por P y Q; es decir, existe algún número tal

que

Ejemplos:

Para cada función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusión de este teorema:

1.

2.

Solución:

1. Por ser una función polinomial, es derivable para toda por lo que

debe existir por lo menos un número tal que:

Además por lo que

Como entonces por lo que

88

Luego en y en la recta tangente

es paralela a la recta secante que pasa por los puntos y .

2. Como es continua en el intervalo y derivable en el intervalo

cumplirá ambas condiciones en el intervalo

Luego debe existir por lo menos un número tal que

Como ,

entonces por lo que

Resolviendo la ecuación se obtiene que o

Aunque ambos valores de pertenecen al intervalo ,se tiene que

únicamente cuando

Luego en la recta tangente es paralela a la recta secante que

pasa por los puntos .

Gráficamente se tiene:

89

Teorema de Rolle (o teorema sobre las raíces de la derivada)

Sea una función que cumple las condiciones siguientes:

1. es continua sobre un intervalo cerrado

2. es derivable sobre un intervalo abierto

3.

Entonces existe por lo menos un número real

tal que .

O sea para cierto .

Interpretación geométrica Este teorema puede interpretarse geométricamente de la manera siguiente:

Si una curva continua interseca al eje en y tiene una recta

tangente en cada uno de los puntos del intervalo , entonces existe por lo menos un punto de la curva en el que la recta tangente es paralela al eje . Gráficamente se tiene:

El teorema también es válido para una función derivable que aunque en los

extremos del intervalo no interseque al eje , sí tome valores iguales para

"a" y "b", es decir, .

90

Es necesario que la función posea derivada en todos los puntos del intervalo, ya que aunque la función sea continua en el intervalo, si no es derivable en

algún punto, puede suceder que no exista ningún valor "c" para el que sea igual a cero.

Por ejemplo, la función con ecuación es continua en el intervalo

y además se cumple que , pero la derivada de no

está definida para , y se tiene que no se hace cero en el intervalo dado.

La representación gráfica de esta función en el intervalo es la siguiente:

Ejemplos:

91

Para cada una de las funciones cuyas ecuaciones se dan a continuación, verificar que se cumplen las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo indicado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusión de este teorema:

1.

2.

Solución:

1. Por ser una función polinomial es derivable y por lo tanto continua para

todo . se cumplen entonces las dos primeras condiciones en el

intervalo

Además por lo que la curva interseca al eje y se cumple la tercera condición.

Luego, debe existir por lo menos un número tal que

Como si y solo si entonces puede tomarse

Luego en el punto la recta tangente es paralela al eje

2. De nuevo, es una función polinomial y por tanto es derivable, y

continua para toda . En particular, en el intervalo se cumplen las dos primeras condiciones.

Además verificándose la tercera condición.

92

Luego, el teorema es válido en el intervalo y existe tal que

. Como entonces si y solo si

. Note que ambos valores pertenecen al intervalo

.

Luego, en los puntos , la recta tangente tiene pendiente cero y por tanto dicha recta es paralela al eje .

93

CAPÍTULO V: APLICACIONES DE

LA DERIVADA. 5.1 Recta tangente, normal e intersección de curvas.

Recta tangente

La recta tangente en un punto de una circunferencia es aquella recta que intercepta a la circunferencia en un solo punto, pero lo cierto es que tal definición no es suficiente para una curva en general porque en otros casos la recta tangente puede llegar a interceptar a la curva en uno o más puntos, además de ser inclinada, horizontal o vertical.

y = x3+1 y = sen x

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto se emplea el concepto de límite

Ecuación de la recta tangente

Sea f una función continua en xo. La ecuación de la recta tangente a la curva en xo es:

Sea f una función continua en xo. La ecuación de la recta tangente a la curva en xo es:

i) y = f '(xo) . x + b, si la función es derivable en x0.

94

ii) x=xo, si la derivada, cuando x tiende a xo por la izquierda y por la derecha, es más infinito (o menos infinito).

1. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a f(x)=x3+1 en xo=0.5.

1. Derivamos la función f '(x)=3x2. 2. Evaluamos la derivada en 0,5, f '(0.5)=mt=0.75. 3. Calculamos la ordenada de xo=0.5 que es yo=f(xo)=1.13. 4. Sustituimos los valores dados en la ecuación de la recta tangente a la

curva, es decir en yo=mt xo + b, para obtener b=0.75. 5. Escribimos la ecuación de la recta tangente: y = 0,75 x + 0,75

2. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a y= sen x en xo=pi/2.

1. Derivamos la función y' = cos x. 2. Evaluamos la derivada en pi/2 para obtener mt= 0 3. Calculamos la ordenada de xo=pi/2, que es yo=1. 4. Calculamos la ordenada en el origen de la recta tangente, b=1. 5. Escribimos la ecuación de la recta tangente: y=1

3. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a la siguiente curva en el punto de abscisa cero.

1. La derivada 2. Se observa que el dominio de la función es D=R, pero que la primera

derivada no está definida en cero. 3. Analizando la derivada cuando x tiende a 0 por la izquierda y derecha se

sabe que y' es más infinito en ambos casos, entonces la ecuación de la recta tangente es vertical y su ecuación: x=0

4. Cálculo de la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 = 5 en xo= -2.

1. La derivada es y' = -(x/y) (Obtenerla derivando la función implícitamente).

2. La ordenada para xo= - 2 es yo= -1. 3. La derivada evaluada en (-2,1) es mt= - 2. 4. La ordenada en el origen de la recta tangente b= - 5. 5. La ecuación de la recta tangente: y = - 2x- 5

95

5.2 Máximos y mínimos (criterio de la primera derivada).

Extremos Absolutos

Las palabras máximas y mínimas, pertenecen a un lenguaje habitual y los usamos generalmente cuando deseamos expresar, lo más grande o lo más pequeño de la cantidad comparada. Este es el mismo significado que toma en el cálculo. “Para cada función es posible establecer comparaciones entre las imágenes, en un intervalo dado, y de acuerdo a la medida conocer la mayor imagen y desde luego, al menor. Estos serán llamados extremos de la función, o de manera más específica, máximo absoluto y mínimo absoluto respectivamente”.

Precisaremos aun más:

Definición:

Máximo y mínimo absolutos: Sea f una función continua definida en [a, b].

Sea c y d dos números del intervalo, tales que:

f (c) ≥ f (x) para todo x ∈ [a, b]

y f (d) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b]

Llamamos a f(c) el máximo absoluto de f en [a, b] y a f(d) el mínimo absoluto

de f en [a, b]

Es conveniente hacer algunas reflexiones sobre la definición anterior.

Primeramente, es evidente en la Figura que:

y

f (b)

f (a)

x

a b

Sin embargo, ¿Cuál es el máximo absoluto y el mínimo absoluto en la función constante que aparece en la Figura?

Máximo absoluto = f (b)

Mínimo absoluto = f (a)

96

Con esto deseamos enfatizar lo siguiente: el máximo o el mínimo son números

que resultan de la comparación de los valores que toma la función en su

dominio. No representa la imagen de algún argumento en particular,

independientemente de que ésta los tome. Así, este número llamado máximo

(o mínimo) absoluto, puede corresponder al valor de la función para uno o más

argumentos del dominio.

Otro aspecto importante es el hecho de que los extremos absolutos

pueden o no coincidir con los límites del intervalo que da el dominio, como se

verá en el ejemplo 1:

Ejemplo 1.- Dada f (x) = x2 –2x, calcular los extremos absolutos en el intervalo [0, 3].

SOLUCIÓN:

y

0 3 x

Si x = 0 Si x = 2

f (x) = (0)2 –2 (0) = 0 f (x) = (2)2 –2 (2) = 4 – 4 = 0

Si x = 1 Si x = 3

F (x) = (1)2 –2 (1) = 1 – 2 = -1 f (x) = (3)2 –2 (3) = 9 – 6 = 3

∴ Máximo absoluto = 3 para x = 3

Mínimo absoluto = -1 para x = 1

Extremos Relativos

Definición:

Máximos y mínimos relativos: Sea f una función derivable en [a, b]. Sea c ∈

(a, b), tal que f'(c) = 0. Decimos que f(c) es un extremo relativo (o extremo

Como se observa, su vértice se encuentra en x = 1, y en él se encuentra el mínimo absoluto.

Resulta también evidente que el máximo absoluto corresponde a la imagen en x = 3.

97

local), si es posible encontrar un subintervalo de [a, b] que contenga a c en

donde f (c) sea un extremo absoluto.

y

f ‘ (c) = 0

f '(d) = 0

a c d b x

Figura

Sin embargo existen otros casos en donde si se restringe el dominio, los

números anteriores se comportan como extremos. Por ejemplo, la función de la

Figura 53 tiene un máximo en x = c, dentro del intervalo [a, d], y un mínimo en x

= d, dentro del intervalo [c, d]. Así, de acuerdo a la definición:

Máximo relativo = f (c)

Mínimo relativo = f (d)

Los extremos relativos podrán localizarse al resolver la ecuación f '(x) = 0, ya

que entre sus raíces se encuentran las abscisas de estas; sin embargo, no

todas las raíces corresponderán necesariamente a un extremo. Podría tratarse

también de un punto como el que se ilustra en la Figura.

y

f '(c) = 0

x

a c b

Por ejemplo, en la Figura 53,

los extremos absolutos son:

Máximo absoluto = f (b)

Mínimo absoluto = f (a)

En donde, a pesar

de que la derivada se

anula en x = c, no se puede

hallar en [a, b] ningún

subintervalo en donde f(c)

sea, ya un máximo o un

mínimo.

98

“Llamaremos número crítico a cualquier argumento c del dominio de la función

f, tal que f '(c) = 0. Así, los máximos y mínimos locales tendrán siempre como

abscisa un número crítico. Por otra parte, si c es un número crítico para f,

entonces el punto (c, f(c)) será llamado punto crítico de f”.

Ejemplo 1.- Cuales son los números críticos de la función f (x) = x3 + 3x2 –9x +

3 y cuales son sus puntos críticos.

Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos

Sea f una función continua en un intervalo I; sean a, b, c puntos de I, tales que a < c < b y c un punto crítico de f (f ’(c) = 0 o f ‘ ( c) no existe).

Entonces:

i. Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) es un máximo relativo. (fig. 9.13. (a), fig. 9.13. (b)).

ii. Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) es un mínimo relativo. (fig. 9.13. (d), fig. 9.13. (e)).

iii. Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) no es un extremo relativo. (fig. 9.13. (c)).

iv. Si para todo x en (a, c) y

Para todo x en (c, b), entonces, f(c) no es un extremo relativo.

Números Críticos

f(x) = x3 + 3x2 –9x + 3

f'(x) = 3x2 + 6x –9

f'(x) = 0

3x2 + 6x –9 = 0

x2 + 2x – 3 = 0

Puntos críticos

Si x = -3

f(-3) = (-3)3+3(-3)2–9(-3)+3

=-27+27+27+3=30 (-

3, 30)

Si x = 1

f(1) = (1) + 3(1) –9(1) + 3 = 1 + 3 –9 +3 =-2

(1, -2)

99

5.3 Máximos y mínimos (criterio de la segunda derivada.)

Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y los valores mínimos de una función Además de proporcionar información sobre la concavidad de la gráfica de una función, la segunda derivada permite establecer si un punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo. El siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto.

Teorema

Sea f una función con dominio D.

Si está definida para donde y si con

entonces:

a.

es un valor máximo relativo de f si se cumple

que

b. es un valor mínimo relativo de f si se cumple

que

Ejemplos: Utilizando el teorema anterior vamos a determinar los valores máximos y los valores mínimos de las funciones cuyas ecuaciones son:

1. ,

Note que la función f no está definida en

La derivada de f está dada por ,

Los valores críticos de f se obtienen cuando . En este caso, si y

100

solo si , ó .

Ahora, la segunda derivada de f es

Vamos a evaluar en y en

a. ; como entonces es un valor mínimo

relativo de f.

b.

; como entonces es un valor máximo relativo de f.

Gráficamente se tiene en el intervalo

2. 533( ) ( 9)( 1)

8g x x x= − −

Se tiene que La primera derivada de g está dada por

23( ) ( 6)( 1)g x x x′ = − −

Como cuando y cuando entonces estos son los valores críticos de g.

La segunda derivada de g es

101

Evaluando en se tiene que 3(6) 35g′′ =

que es mayor que cero, por lo que es un valor mínimo relativo de g.

Observe que no puede evaluarse en pues hace cero el denominador por lo que para este valor crítico debe utilizarse el criterio de la primera derivada.

Analizando se obtiene que para y

para por lo que al no existir cambio de signo resulta que no es ni máximo ni mínimo. El gráfico de g se muestra a continuación.

5.4 Funciones crecientes y decrecientes.

Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada

Sea f una función continua con ecuación , definida en un intervalo .

La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo .

En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es:

102

1. Creciente en los intervalos ,

2. Decreciente en los intervalos ,

También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.

Note además que en los puntos , y la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos. En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores.

Teorema 1

Sea f una función continua en un intervalo cerrado y derivable en

el intervalo abierto .

1. Si para toda x en , entonces la función f es

creciente en .

2. Si para toda x en , entonces la función f es

decreciente en .

Ejemplos:

1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con

ecuación .

Para ello calculemos la primera derivada de .

Como , o sea si , entonces f es creciente para .

Como , o sea si , entonces f es decreciente para .

103

En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

2. Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación

con .

La derivada de f está dada por que puede escribirse como

Como es positivo para toda x en entonces:

y

Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

104

Luego: si por lo que la función f crece en el

intervalo .

Además: si de donde la función f decrece en el

intervalo . La representación gráfica de la función es la siguiente:

3.

5.5 Concavidades y puntos de inflexión.

Definición de concavidad

Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un

intervalo A, , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava

Note que es la función derivada la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A. En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en

el intervalo y cóncava hacia abajo en el intervalo

105

Teorema

Si f es una función tal que cuando , entonces la gráfica de f es

cóncava hacia arriba sobre . Demostración:

Si y como , entonces se tiene que es creciente sobre

por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función, se

obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre .

Teorema

Si f es una función tal que cuando , entonces la gráfica de f es

cóncava hacia abajo sobre . Demostración:

De la hipótesis: , y como , se obtiene que es

decreciente sobre por lo que según la definición dada sobre concavidad, la

gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre .

Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con

ecuación

Si entonces , y,

106

Luego, si y, si .

Como , entonces es creciente en los intervalos ,

pues en ellos es positiva. Además es decreciente en el intervalo

pues en el es negativa.

Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo y cóncava hacia

abajo en el intervalo .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Representación gráfica de la función

Observe que es creciente en y y decreciente en . Representación gráfica de la función f:

Representación gráfica de la función f

Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos y cóncava

hacia abajo en el intervalo .

107

Damos ahora la definición de punto de inflexión

Definición

Se dice que es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si

existe un intervalo tal que , y la gráfica de f es cóncava hacia arriba

sobre , y cóncava hacia abajo sobre , o viceversa.

Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:

Ejemplos:

1.

El punto es un punto de inflexión de la curva con ecuación

, pues es positiva si , y negativa si , de

donde f es cóncava hacia arriba para , y cóncava hacia abajo para

.

Gráficamente se tiene:

108

2.

Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación

Se tiene que por lo que

Resolvamos las desigualdades

Como si entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en esos intervalos.

La gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo pues en él

.

Luego los puntos y son puntos en los que cambia la concavidad y por tanto son puntos de inflexión.

109

La gráfica de la función f es la siguiente:

Puede decirse que un punto de inflexión separa una parte de la curva que es cóncava hacia arriba de otra sección de la misma que es cóncava hacia abajo. En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de inflexión. Gráficamente:

Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra parte bajo ella.

110

5.6 Estudio general de curvas.

Trazo de curvas La teoría estudiada hasta ahora sobre máximos y mínimos de una función, será aplicada tanto en la resolución de problemas como en el trazo de la gráfica de una curva. Para este último aspecto nos hace falta estudiar las asíntotas de una curva, tema que veremos a continuación para pasar luego al trazo de curvas y por último a la resolución de problemas. Asíntotas

Dada una curva con ecuación es necesario estudiar la variación de la función cuando la abscisa y la ordenada de un punto cualquiera de la curva tiende al infinito.

Definición

Cuando el punto de una curva se desplaza a lo largo de ella, de tal forma que su distancia al origen tienda a infinito, puede suceder que la distancia de P a una recta fija, tienda a cero. Esta recta recibe el nombre de asíntota de la curva.

Gráficamente:

Asíntota horizontal:

Sea la función con ecuación

Si ó , entonces la recta con ecuación es una asíntota horizontal de la gráfica de f.

Ejemplo: Sea la ecuación de una curva.

111

Como: entonces la recta con ecuación es una asíntota horizontal de la curva.

Entonces la recta con ecuación es una asíntota horizontal de la curva. Gráficamente se tiene:

Asíntota vertical: La recta con ecuación es una asíntota vertical de la gráfica de una función

con ecuación , si se cumple alguna de las siguientes condiciones.

i. iii.

ii. iv.

Si la recta con ecuación es una asíntota vertical de la gráfica de una función f, entonces f es discontinua en "a". Ejemplo:

Sea la ecuación de una curva.

112

Observe que el dominio es el conjunto:

Como y entonces la recta con ecuación es una asíntota vertical de la gráfica de la curva. Gráficamente:

Note que la recta con ecuación , (eje x), es asíntota horizontal de la curva. Asíntota oblicua Especificaremos ahora los pasos a seguir para hacer el análisis y la gráfica de una función f cuya ecuación se da.

1. Calcular el dominio de f. 2. Averiguar las intersecciones con los ejes coordenados.

Si es la ecuación de la curva, los puntos de intersección con el

eje x se determinan resolviendo la ecuación , los puntos de intersección con el eje Y se calculan dándole a x el valor cero.

3. Sentido de variación Se hace el estudio de la primera derivada. a.

Se calcula b.

Para determinar los valores críticos se resuelve

c. Para determinar los intervalos en que f crece y en los que

113

decrece se resuelven las desigualdades , y,

4. Estudio de la segunda derivada de f.

a.

Se calcula b.

Se determinan los puntos de inflexión resolviendo c. Para determinar los intervalos en que f es cóncava hacia arriba y en

los que es cóncava hacia abajo, se resuelven las desigualdades

y Los puntos máximos y los puntos mínimos se pueden establecer ya sea utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada.

5.7 Derivada como razón de cambio y aplicaciones.

Puede interpretarse el concepto de la velocidad en el movimiento rectilíneo, estudiada en la sección 4.2, como el concepto más general de la razón de cambio instantáneo. Es esta una razón de cambio de la distancia respecto al tiempo, y si ( )s f t= describe un movimiento rectilíneo, está razón de cambio

en cualquier instante t, está representada por ( )0f t′ . De modo semejante a

menudo nos interesamos en una razón de cambio de una cantidad respecto a otra. Existen muchas aplicaciones del concepto de razón instantáneo y razón promedio tanto en Ingeniería, Economía, Física, Química, así como también en Matemáticas. Son ejemplos, la razón de cambio del área de un círculo respecto a su diámetro, la razón de cambio de la longitud de una varilla de metal respecto a su temperatura, la razón de la solución de un compuesto químico en un solvente respecto al tiempo así como por ejemplo, la cantidad de agua Q(lts) que hay en un recipiente es función del tiempo t. Si el agua entra y sale, Q cambia en una cantidad Q∆ de un tiempo t a un tiempo t t+ ∆ . Entonces la razón de cambio media o promedio de Q con respecto a t es:

( )/ minQ ltt

∆∆

y la razón instantánea: ( )0

lim 1 / mint

dQ Q tdt t∆ →

∆=

∆

Es decir, con frecuencia tales problemas pueden analizarse de una manera completamente igual a la empleada para los problemas de la tangente y de la velocidad. Así, si se da y en términos de x por una fórmula ( )y f x= podemos discutir la razón de cambio de y respecto a x.

114

Por razón de cambio de media de y respecto a x, desde 0x x= hasta x x= , se entiende la relación:

0

0

( ) ( )f x f x cambio de ordenadasx x cambio de abscisas−

=−

Si el cociente diferencial tiene un límite cuando 0x x→ , este límite está acorde con nuestro concepto intuitivo de razón de cambio instantáneo de y con respecto a x.

Definición: La razón de cambio instantáneo de ( )f x respecto a 1x en x es la

derivada ( )1f x′ siempre que la derivada exista.

Ejemplos:

1). Hallar la razón de cambio del área de un cuadrado respecto a un lado cuando el lado mide 5 pulgadas.

Solución:

Sea 2( )A f a a= = , el área del cuadrado como función de su lado. Entonces: 2 2( ) 2 lg / lg

5 lga aD A f a D a a pu pu

a pu′= = =

=

210 lg / lg.aD A pu pu⇒ =

Todas las cantidades que se encuentran en la vida diaria cambian con el tiempo. Esto es cierto especialmente en las investigaciones científicas. Por ejemplo, un químico puede estar interesado en la cantidad de cierta substancia que se disuelve en el agua por unidad de tiempo. Un ingeniero eléctrico puede querer saber qué tanto cambia la corriente en alguna parte de un circuito eléctrico por unidad de tiempo. Un biólogo puede estudiar el aumento (o la disminución), por unidad de tiempo, del número de bacterias de algún cultivo. Pueden citarse muchos otros ejemplos, incluyendo algunos en campos fuera de las ciencias naturales. Consideremos la siguiente situación que puede aplicarse a cualquiera de los ejemplos anteriores.

Supongamos que una variable w es función del tiempo de manera que al tiempo ,t w está dada por ( )w g t= , donde g es una función derivable. La

diferencia entre el valor inicial y el valor final de w en el intervalo de tiempo [ ],t t h+ está dada por ( ) ( )g t h g t+ − . Análogamente a lo que hicimos

tratamiento del concepto de velocidad, formulamos la siguiente definición.

115

DEFINICIÒN

La razón media de cambio de ( )w g t= en el intervalo [ ],t t h+ es

( ) ( )g t h g th

+ −

La razón de cambio de ( )w g t= con respecto a t es

0

( ) ( )( ) limh

dw g t h g tg tdt h→

+ −′= =

Las unidades que deben usarse en al definición dependen de la naturaleza de la cantidad representada por w . A veces /dw dt se llama la razón de cambio instantáneo de w con respecto a t .

El límite de este cociente cuando h tiende a 0 (es decir, /dy dx ) se llama la razón de cambio de y con respecto a x. Así, si la variable x cambia, entonces y cambia a razón de /dy dx unidades por unidad de cambio de x. Por ejemplo, supongamos que cierta cantidad de gas está encerrada en un globo. Si el gas se calienta o se enfría mientras la presión permanece constante, el globo se dilata o se contrae y su volumen V es una función de la temperatura t. La derivada /dV dT nos da la razón de cambio del volumen con respecto a la temperatura.

5.8 Regla de L`Hôpital.

Teorema: Regla de L'Hôpital

Sean funciones que satisfacen las condiciones del teorema de Cauchy en

cierto intervalo y tales que .

Entonces, si existe , también existirá y además

También, si entonces

Ejemplos:

Calculemos el utilizando el teorema anterior.

116

Observe que , por lo que se tiene la forma Luego:

Nota: Si y las derivadas satisfacen las

condiciones que se especificaron para las funciones y , según la hipótesis de el teorema de la Regla de L'Hôpital, entonces puede aplicarse de nuevo la Regla de L'Hôpital, obteniéndose que:

Puede operarse así sucesivamente siempre que se presente la forma . Ejemplos: Calculemos los límites siguientes:

1.

Note que ; se presenta la forma y puede aplicarse el teorema.

Luego:

, aquí se presenta de nuevo la forma por lo que es posible aplicar otra vez el teorema.

Entonces:

117

2. forma:

forma:

3. forma:

118

Unidad VI Sucesiones y

Series 6.1 Definición de sucesión. Sucesión: Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe an en lugar de f(n).

Ejemplo:

an = 1/n

a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...

6.2 Límite de una sucesión. El l ímite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

a1= 1

a2= 0.5

a1000= 0.001

a1000 000 = 0.000001

El l ímite es 0 .

119

a 1

a

= 0.5

2

a

= 0.6666.. . .

1 0 0 0

a

= 0.999000999001

1 0 0 0 0 0 0

El

= 0.999999000001

l ímite es 1 .

a 1

a

= 5

2

a

= 7

1 0 0 0

a

= 2 003

1 0 0 0 0 0 0

Ningún número sería e l l ímite de esta sucesión,

= 2 000 003

e l l ímite es

∞

Límite f inito de una sucesión

.

Una sucesión a n t iene por l ímite L s i y sólo s i para cualquiera número posi t ivo ε que tomemos, existe un término a k , a part i r del cual todos los términos de a n , s iguientes a a k cumplen que |a n −L| < ε .

La sucesión a n = 1/n t iene por l ímite 0.

Se puede determinar a part i r de que término de la sucesión, su d istancia a 0 es menor que un número posi t ivo (ε), por pequeño que éste sea.

120

Como k>10 a part ir del a 1 1 se cumpl irá que su distancia a 0 es menor que 0.1.

Vamos a determinar a part i r de que término la d istancia a 0 es menor que 0.001.

A part i r del a 1 0 0 1

También podemos def in ir e l l ímite de una sucesión mediante

se cumpl i rá que su distancia a 0 es menor que 0.001.

entornos:

Una sucesión a n t iene por l ímite L s i y sólo s i para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε , existe un término de la sucesión, a part i r del cual , los s iguientes términos pertenecen a d icho entorno.

Límite infinito de una sucesión

Una sucesión a n t iene por l ímite +∞ cuando para toda M>0 existe un término a k , a part i r del cual todos los términos de a n , s iguientes a a k cumplen que a n > M .

El l ímite de la sucesión a n = n2

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . .

es +∞.

http://www.vitutor.com/di/re/r7.html�

121

Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a part i r de a 1 0 1

a

superará a 10 000.

1 0 1 = 1012

Una sucesión

= 10 201

a n t iene por l ímite −∞ cuando para toda N >0 existe un término a k , a part i r del cual todos los términos de a n , s iguientes a a k cumplen que a n < −N .

Vamos a comprobar que el l ímite de la sucesión a n = −n 2

−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, . . .

es −∞.

Si N = 10 000 , su raíz cuadrada es 100, por tanto a part i r de a 1 0 1

a

superará a −10 000 .

1 0 1 = −101 2

= −10 201

6.3 Sucesiones monótonas y acotadas

Sucesión monótona creciente

Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para todo n natural an <= an+1 (a1 <= a2 <= a3 <= ... <= an

Ejemplo:

).

an = n es monótona creciente.

a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, ...

122

Definición

Sucesión monótona decreciente

Una sucesión es monótona decreciente si se cumple que para todo n natural an >= an+1 (a1 >= a2 >= a3 >= ... >= an

Ejemplo:

).

an = 1/n es monótona decreciente.

a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...

6.4 Definición de serie infinita.

Límite infinito

lim an = +inf <=> para todo K>0 existe N natural / para todo n > N an

Para cualquier número positivo K (tan grande como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que aN y todos los términos siguientes son mayores que K. Esto quiere decir que an puede hacerse mayor que cualquier cota, con tal de que n sea lo suficientemente grande.

> K.

Del mismo modo se define lim an = -inf <=> para todo K<0 existe N natural / para todo n > N an

< K.

6.5 Serie aritmética y geométrica. Serie aritmética Suma indicada de todos los términos de una serie aritmética. Un ejemplo es el siguiente:

1 + 2 + 3 + . . . + 100

La fórmula general para una serie aritmética es:

123

Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an

= a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + . . . + [a1+(n-1)d]

= n(a1 + an)/2

= n[2a1 +(n-1)d]/2

En el ejemplo, el primer término, a1, es 1, y el último término, a100, es 100. Utilizando la fórmula, la suma = 100(1+100)/2 = 5050.

Serie geométrica

Aquella cuyos términos forman una progresión geométrica. (Cada término es igual al anterior multiplicado por una constante).

Si llamamos a al primer término y k a la constante, Sn = a + ak + ak2 + ak3 + ... + akn-1 = Σ akn-1

Multipliquemos ambos miembros por k: kSn = ak +ak2 + ak3 + ak4 + ... + akn = Σ akn

Restamos ambas ecuaciones: Sn - kSn = a - akn

(a-akn) Sn = ------- (1-k) a akn Sn = --- - --- 1-k 1-k

Para |k| < 1 lim Sn = a/(1-k) pues kn -> 0, la serie geométrica converge. Para |k| > 1 la serie diverge pues kn -> inf. Para |k| = 1 la serie diverge pues Sn = na. Para |k| = -1 la serie es oscilante.

124

6.6 Propiedades de las series.

Unicidad del límite

Si una sucesión tiene límite es único.

H) lim an

Límite de la sucesión comprendida

= b

T) b es único

Si una sucesión está comprendida entre otras dos que tienen igual límite,

entonces tiene el mismo límite.

H) lim an = lim bn = p

Para todo n > n0 an <= cn <= bn

T) lim cn

Operaciones con límites

= p

El límite de la suma, producto y cociente de sucesiones se determina por las mismas reglas que para las funciones de variable continua. Las demostraciones son iguales, basta sustituir f(x) por an y considerar que la tendencia siempre es hacia +infinito. Aquí sólo demostraremos el límite de una suma. Para ver las demás reglas visitar la página sobre operaciones con límites.

Límite de la suma

Si dos sucesiones tienen límite finito, entonces su suma tiene límite finito y es

igual a la suma de esos límites.

http://matematica.50webs.com/operaciones-con-limites.html�

http://matematica.50webs.com/operaciones-con-limites.html�

125

H) lim an = a, lim bn = b

T) lim an + bn

Definición

= a + b

Sucesiones equivalentes

Dos sucesiones se dicen equivalentes cuando el límite de su cociente es 1.

Definición

Sucesión acotada

M es cota superior de la sucesión an si an < M para todo n. m es cota inferior de la sucesión an si an

Teorema

> m para todo n. Una sucesión es acotada si tiene tanto cota superior como inferior.

Toda sucesión monótona y acotada converge.

H) an monótona

Existen m y M / m < an < M para todo n.

T) lim an

Teorema

= b

Toda sucesión convergente es acotada.

H) an convergente

T) an

acotada

126

6.7 Convergencia de series y divergencia.

Definición

Convergencia y divergencia

Cuando una sucesión tiene límite finito a se dice que es convergente y converge a a. Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente. Una sucesión que carece de límite se llama oscilante.

La sucesión an = 1/n converge a 0. La sucesión an = n2 es divergente. La sucesión an = sen n es oscilante, pues sus valores varían entre 1 y -1.

FUENTES DE INFORMACIÓN 1. James – Stewart Cálculo de una variable. Edit. Thomson Editores. 2. Swokowski Earl W. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. 3. Roland E. Hostetler Robert P. Cálculo y Geometría Analítica Edit. McGraw-Hill. 4. Zill Dennis G. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica 5. Edwards Jr. C. H. y Penney David E. Cálculo y Geometría Analítica. Edit. Prentice-Hall. 6. Fraleigh John B. Cálculo con Geometría Analítica. Edit. Addison- Wesley. 7. Anton Howard. Cálculo con Geometría Analítica Edit. Wiley. 8. The Calculus problem solver. Edit. R.E.A. 9. Leithold Louis. El Cálculo. Edit. OXFORD. University Press. 10. Swokowski Earl W. Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica 11. Granville William A. Cálculo Diferencial e Integral. Edit. Noriega – LIMUSA. 12. Thomas Jr- George / Finney Ross. CÁLCULO una variable. Edit, Pearson Educativa.

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