derivada 5
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Guía de derivadas para que ejercitar!!, de la gran utfsmTRANSCRIPT
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Sergio Yansen Nez
Actividad N 1
Calcule, en caso de existir, los siguientes lmites:
a) lim limB!
B
=/8#B=/8$BB B (#B
#B( *#B
(#B# $ (#
b)
l l
Actividad N 2
Sea una funcin definida como sigue:0
si
si
si
0B
B "
* B "
B "
+B +BB %B$
+," B
#
#
Determine, si es posible, y tales que sea continua en .+ , 0 B "
Actividad N 3
a) Sea tal que ; ; ; .1B 0 0 #B 0% " 0" # 0 " $ 0 % $ $ w w
Determime .1 #w
b) Determine la derivada de 2B &=/8B -9= #B # $ %68&B $# (
// /
/
#B B#
Actividad N 4
Sea 0B #B " B -(
Determine, si es posible, el valor de la constante real tal que:-
#B "0 B "%0 Bww w
Actividad N5
a) Determine la derivada de 0B -9= $B # # / #B ##B
%
b) Sea una funcin diferenciable en 1 . Considere .2B B 11#B Determine si .2 $ 1' # 1 ' % 1# & 1 # 'w w w
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Sergio Yansen Nez
Actividad N6
La base de un rectngulo aumenta a mientras que su altura decrece a . Con% $-7 -7=/1 =/1qu rapidez cambia su rea cuando la base mide y la altura ? Aumenta o#! -7 "# -7disminuye el rea en ese momento? Justifique.
Actividad N 7
a) Calcule , sabiendo que y son funciones diferenciables en , tales que:1 ! 0 1w
, , .1B =/8 0 0#B 0! ! 0 ! " w b) Sea una funcin definida por .2 2B #/ /
B "' & *
%
B ($B &
/
Determine .2 Bw
Actividad N 8
El volumen de un globo esfrico aumenta a una razn constante de metros cbicos por"!hora. En el instante en que el radio mide metros, determine la rapidez con que aumenta&el rea.
( Volumen: ; )Z < E %
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Sergio Yansen Nez
Resolucin
Actividad N 1
Solucin:
a) lim lim limB! B! B!
=/8#B=/8$B =/8#B=/8$B #=/8#B $=/8$BB B B "B #B $B "B
"# $ #
# $ " '
b) limB (
#
#B((#B
*#B
(#Bl l
lim lim limB B B ( ( (
# # #
#B( #B( #B((#B (#B #B(l l "
limB (
#
*#B
(#B
"" "
Por tanto, limB (
#
#B((#B
*#B
(#Bl l
" " !
Actividad N 2
Solucin:
1) , " H970 0" *
2) existe lim lim limB" B"B"
0B 0B 0B
lim limB" B"
0B +, +," B #
lim lim lim lim
B" B" B" B" 0B +B +B +B + +B %B$ B"B$ B$ # #
+BB"##
lim limB" B"
0B 0B , #++, +# #
$ 0B 0" * + ") , $' lim
B"
+#
-
Sergio Yansen Nez
Por tanto, es continua en si y slo si y .0 " + ") , $'
Actividad N 3
Solucin:
a) 1B 0 0 #B $
1 B $ 0 0 #B 0 0 #B 0 #B #w w w#
1 # $ 0 0 % 0 0 % 0 % #w w w#
$ 0" 0 " $ # # w $ # $ $ # #"'#
b) 2B &=/8B -9= #B # $ %68&B $# (
// /
/
#B B#
2 B & -9=B #B -9= #B =/8B $-9= #B =/8 #B #w # $ # # "# #B
% &!# ( %68&B $ # #( #B#/ (/
"
&B
#B B #B B# #
/ / / / / /
#B B ##
Actividad N 4
0B #B " B -(
0 B (#B " #B - #B " #B " "'B "%- "w ' ( '
0 B '#B " #"'B "%- " #B " "' #B " ##%B "')- #)ww & ' &
Reemplazando en se obtiene:#B "0 B "%0 Bww w
#B "#B " ##%B "')- #) "%#B " "'B "%- "& '
#B " ##%B "')- #) "%#B " "'B "%- "' '
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Sergio Yansen Nez
##%B "')- #) "%"'B "%- " - "#
Actividad N5
a) Determine la derivada de 0B -9= $B # # / #B ##B
%
b) Sea una funcin diferenciable en 1 . Considere .2B B 11#B Determine si .2 $ 1' # 1 ' % 1# & 1 # 'w w w
Solucin
a)
0 B #-9=$B # =/8$B # $ w/ #B #/ #%B
B #
#B % #B $
% #
b) 2 B 11#B B 1 1#B 1 #B #w w w
2 $ 11' $ 1 1' 1 ' #w w w
2 $ 1# $ 1 # % #w w
2 $ & $ ' % #w
2 $ "%*w
Actividad N6
La base de un rectngulo aumenta a mientras que su altura decrece a . Con% $-7 -7=/1 =/1qu rapidez cambia su rea cuando la base mide y la altura ? Aumenta o#! -7 "# -7disminuye el rea en ese momento? Justifique.
Solucin
Sean la base, altura y rea del rectngulo respectivamente., 2 E
E , 2 ..>
.E ., .2.> .> .> 2 ,
Reemplazando , se obtiene, #! 2 "# % $., .2.> .>
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Sergio Yansen Nez
.E.> "#4 12 20 (-3)
El rea del rectngulo decrece a ."# -7=/1#
Actividad N 7
a) , .0! ! 0 ! "w
1B =/8 0 0#B
1 B -9= 0 0#B 0 0#B 0 #B #w w w
1 ! -9= 0 0# ! 0 0# ! 0 # ! #w w w 1 ! -9= 0 0! 0 0! 0 ! #w w w
1 ! -9= 0! 0 ! " #w w
1 ! -9=! " " #w
1 ! " " " #w
1 ! #w
b) 2B #/ /B "' & *
%
.B ($B &/
2 B #/ 'B w &"
# B "
B "'
'
!*B ( &B $B & B ( "#B$B && ) % % & * $
% #
Actividad N 8
Sean , , el rea de la superficie , el volumen y el radio del globo respectivamente.E Z
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Sergio Yansen Nez
Z < % .$ .>1$
.Z % . $ .> $< 1#
.Z . .> % < 1#
"! % & 1 # .
.< ".> "! 1
E % < 1 # ..>
.E.> % #< 1.
.E.> ) < 1.
.E ".> "! ) & 1 1
.E.> %
Por tanto, el rea aumenta a metros cuadrados por hora en el instante en que el%radio es metros.&
Actividad N 9
Resolucin:
Sea el volumen comprendido entre esferas concntricas y , los radios de laZ # < 1 1" #$ $
.Z %.> $ .> .>.< . .> .>.< . #"" # # en (* ) se obtiene:
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Sergio Yansen Nez
3.Z ".> # " (%% # 1 1 # #
Por tanto, el volumen aumenta a una rapidez de el radioZ (%172$ en el instante en que
exterior es , y el radio interior es .$7 "7