m1 5 derivada

8/8/2019 M1 5 Derivada

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I . r!

DERIVADA

Derivada e una unciónenunpunto.Tasa e variaciónmedia

f (xo+ ! t

Sea a función y: (x ) y A(x6, f(x6)) un punto

de la gráficade la función.

Si modificamosen un valor h (incrementode x)

el de la variable ndependiente,stapasaa valer

xo*h y el puntocorrespondientedeagráfrca,

B , tiene unaordenada ue valdrá f(xs+ h).

x o + h

* Sedefine a tasade variaciónmediade (x), en el intervalo xe, xo* h), (cocientencremental),

al cocienteentreel incrementode la función y el de la variable ndependiente n dicho intervalo.

Así,

v - l(x)

IBt, ,

/ L y - l { x o + h ) - l ( x o )

(x o) At/

TVM=AY _h

f (xo + h) - f (xo

* El valor del límite de estecocientecuando h -+ 0 recibeel nombrede asade variaciónpuntual

de (x) €n Xs, o derivada e (x) €f lXs, y se epresentaomo f'(xo):

f ' ( x ^ ) : l i m 4 I : t ¡ t

f ( x o + h ) - f ( x o )

h + 0 l ' ¡ h - O h

"La derivadadeunafunción (x) en un punto xo (f '(xo)) es el l ímite delcociente ntreel

incremento e la función y el de la variable ndependienteuandoesteúltimo tiende a cero"

* Interpretación eométrica:

i v - (x ) . ' sI

f(x^+ ) l B l . ' "

Por lo tanto, f( x n

) : l i m" h + 0

* El cociente ncremental 4I es a pendiente e la rectah

s , secante la gráfrca y = (x), definidapor lospuntos:

A ( x o , f ( x o ) ) y B ( x s + h , ( x ¡ + h ) ) d e l a m i s m a .

* Ello serácierto, ndependientementeeltamaño de h.

* Cuando h -+0 , el punto B se acerca, or y = f(x), todo

lo quequeramos A , y en el límite definirá con A la

recta t, tangente y = f(x) en A.

l im m, : f f i th + 0

Ay_

h

"La derivadade unatangenteala gráfica

función f(x) en un puntoy = f(x) en el punto A, de la

X 3 es la medida de lapendiente

dela recta

misma,de abscisa s".



. ¿

Ecuaciónde las rectas angente ¡normala f(x) en un punto

Una vez definida la recta tangentea f(x) en A, llamaremos ecta normal a (x) en A a la

perpendicular latangente n el puntode angencia, .

Susecuacionesespectivas erán:

I A (xs , f ( *o ) )

I t , = f ' ( xo )

IA t *n . f ( xo ) )I

n= l Il l i l - :

I f ' ( xo

= t : y - f ( x o ) : f ' ( x o ) ( x - x o )

= n = y- f (xo) : -=+(x -xo)I . ( x o

)

Derivadas aterales n un punto: Una vez definida la derivada como un límite, a los

correspondientesímites aterales e es lamaderivadasaterales or la derecha por la izquierda,

respectivamente,e f(x) en x s. Así:

f ( x o + h ) - f ( x o ). ayf ' ( x ; ) : l i m

' J - l i mh + o * h n - o -

- . A y , , f ( * , + h ) - f ( x o )f ' ( - x n ¡ : l i m

- J - l i m\ u '

h > o - h ¡ - o h

Representanas pendientes e las rectas angentesa f(x) a la derechay a Ia izquierdade X 0 ,

respectivamente.

Por las propiedades e los límites, sabemosque para que exista"f l

lí*it" debenexistir los dos

límites aterales c oincidir.

En estecaso:

l ) S i f ' ( * ü ) = f ' ( x o ) - ) l f ' ( x o ) y

Ello significaque as angentesaterales (x) en xs

2 ) S i f ' ( x ü ) + f ' ( x n ) - + Z f ' ( x o )

Ello significaque as angentesaterales f(x) en x ¡

No existeuna angente nica a f(x) en x e .

' , . 9 i x - )

I , +,: t,

' ¡ . 1. . , ¡ , - -

t l -

"Los puntosde la gráficade f(x) en losque a recta angenteiene un cambio inito en su pendiente

carecen e derivadas"

f ' ( x o ) : f ' ( x ü ) : f ( x ó ) ( f i g . )

coinciden (tangente nica en x s ) .

( f ie.2)

t ienendistintapendiente.

+-\ f '

\ I í\¡^,| -- \17'r:

a \

I \,l/I \(

n',-nÍ "1--¡l

t ',/,-/'

z' i-'I



Derivabilidady continuidad:

Si una unción ienederivadas initas en un punto x0, entonces scontinuaen dicho punto:

E n e f e c t o : s i f ' ( x i ) : k ' ( f i n i t o ) y f ' ( x o ) = k 2 ( f i n i t o ) ,

, . f ( x n + h ) - f ( x n ) , .l i m w ' ' r . - u l - k r = l i m [ f ( x 6 + h ) - f ( x s ) ] : l i m h ' k r : 0 =

h + o + h ¡ + o + h - + o +

+ lim f(x ¡ + h) = (x e) ::) f(x) es continuaa la derechade x sh + 0 -

, . f ( * n - h ) - f ( x o ) , .tr m ---i---i--------= : K2 =) l im [f(xs+ h) - f(xo) ]= lim h . kz:0 -

h + o - h n - o - h - + o -

+ Ii m (xs+ h) = (xs) = f(x) es continua a la izquierda de xsh + 0 -

Si f(x) escontinuaa la derecha alaizquierda de x6, f(x) es continuaen Xs .

Ello significaque si f(x) tiene derivadaen Xe, ha de ser continuaen dicho punto.

Si f(x) no es continuaen x 6 , crrr€c€ e tangenteen dicho punto y por tanto tambiéncarecede

derivada.

Funciónderivada: Dada la función y = f(x), definimos una nuevafunción; llamamos unción

derivadaprimeradef(x) f ' (xf ó y') a laqueasigna cadavalor x elvalordeladerivada

de f(x) en dicho punto.

Se obtienede la definición de derivadade f(x), obteniendosu valor en un punto genérico x en

lugar del puntoconcreto x¡ .

A s í f ' ( x ) = y ' : l imf ( x + h - ) - f ( x )

'h - o h

Paraobtener lvalor de a derivada e(x) enun puntoconcretoxe, bastará ustituirx po r Xs ,

en la expresiónde la función derivada f

'(x)

.

Si consideramos f'(x)

como una función, su función derivadarecibe el nombre de función

derivadasegunda e f(x) ( f"(x) ó y " ).

Su función derivada ( f "'(x) ó y "') será a función derivada ercerade f(x), y asípodemos

seguirsucesivamente, ientras a función seaderivable.

Reslasde derivación.Derivadasde las funcionesbásicas

Las reglasde derivaciónson métodos,basados n la definición de la derivada,parapoderobtener

las derivadas e los distintos iposde funciones, in necesidad e referirnosa dicha definición.



4

* Derivadade Ia función compuesta y : f (u(x))

, , . f ( u ( x + h ) ) - f (u ( x ) ) , . , f ( u (x + h ) ) - f ( u ( x )) u ( x + h ) - u ( x ) .t r r ¡ ¡ ¡ . . , . . |

- -|' h+0 f i t r+o u(x + h) - u(x ) h

, . f ( u ( x+ h ) ) l ( u ( x ) ) , , u ( X+ h ) - u ( x ): l r mh +0 u (x + h ) - u ( x ) l r + 0 h

S i u ( x )esder i vab le ,se rácon t inuaen-lg tu t *+h ) -u ( x ) l : , l im Au:0 luego ,

( t )+ y ' : l imf (u ( x )+ ¡u ) - [ ( u ( x ) )

r im : f , l r lh + 0 A U h + 0 h

'

"La derivadade la función compuesta (u(x)) es el productode la derivada de f respectode u

(comosi u fuera a variable ndependiente)por la derivadade u respecto e x ".

x Derivadade a funciónconstante y : k:

Y=<

f ( x+h) - f ( x ) , . k - kf ' t x ) : l im '

' ' : t r m - : l im0 = 0h + 0 h h + o I h + 0

La gráfica de la función constantees una recta

horizontal.'L t

"La derivadade cualquierconstante s siemprecero".

* Derivada e a función dentidad y: x:

f ( x + h ) - f ( x ) : t i m( x + h ) - x : l i m . [ : , , _ , : , .( x ) : ' l T l -

[ h + o f ¡ t r + o [ ¡ h + o

" S i y : " , Y ' : I "

* Detivadade la función logarítmica y : L x:

- t f ( x + h ) - f ( x ) : l i mL ( x + h ) - L x :

l i m f I _ f* h l l :

r ( x ) : ; ' i l -f i n - o h h - o ' h \ x ) '

: r imrl l .Lfr+I lr : r¡mil t ( t*¡) l ' : l . r ¡ ' r f ' * ')X

h + o ' ¡ h I x ) ' h + o ' ¡ \ x / x h + oI r / t r , l

: tL . :

t .

X X

I" S i y : L X , Y ' :

j -" .

"S i y : L ( u ( x ) ) . y ' : I ' u ' " .u ( x )



5

* Derivadadel productode una constante or una unción y: k ' f(x):

Tomando ogaritmosneperianos Ly : L k + L f(x)

D e r i v a n d o' y ' : g * - l ' f ' ( x )

= y ' : y + ' f ' ( x ) : k f11* i + ' f ' ( x )y f(x)

-f(x) f(x)

Y ' : k ' f ' ( x )

"Laderivada e unaconstanteoruna unciónesel producto e a constanteor a derivada e a

función .

* Derivada elproducto edos unciones y = f(x) ' g(x):

Tomandoogaritmos eperianos y : L (x) + L g(x)

Der i vandoI '

y ' : + ' f ' ( x ) * - ] - ' g ' ( x )y t (x ) g(x)

. [ f ' r * ) s ' ( x ) l ^ [ f ' r * ) s . ' ( x ) - ]v ' : \ , . 1

'+ " 'l : t ( x ) . s ( . \ ) ' l

' + " 'I

I f (x) e(x) L (x) s(x) .1

y ' : f ' (x ) ' g (x )+ f (x ) ' g ' (x )

" La derivada del producto de dos funciones es la suma de la derivadadel primer factorpor el

segundo in derivar,más el primerosin derivarpor la derivadadel segundo".

* Derivada elcociente e dos ünciones ,:f!*]

, c(x)

Tomando ogaritmos eperianosLy : L f(x)-L g(x)

D e r i v a n d oI

u ' -I ' f ' ( x ) - I ' q ' ( x )

y-

f (x ) s (x )-

_ _ . Ir '(*) g'(x)-l f . txf r ' t*)g(x) g'(x)(x)-l) - Y

Lr.l-

*(.) l- s(-) JG)s(-) l

. , _ f ' ( x ) g ( x ) - g ' ( x ) ( x )' -

(tt.')'

"La derivadadel cocientede dos uncioneses a derivadadel numerador or el denominador in

derivarmenos a derivadadel denominador or el numerador in derivar, odo ello dividido por

el cuadrado el denominador".

* Derivada e a funciónpotencial y: xn

Tomando ogaritmos eperianosLy : n' Lx

D e r i v a n d o1 '

y ' = n ' I = Y ' : n ' ! ' t n - n x n - ly x x

t t S iy = X n , y t : ¡ 1 ^ n - l

r r .

" S i y : u n , y ' : n u n - l ' r r " .



' Casosparticulares

- S i y : sen :

Y= x t t2 :J ; _+ , ]y , : - X' 2

IS l n : - .

2 '

:J ; -+

:Ju -+

, lY : - , .

X -

, I

Y: - ) uu -

¿ N X

S i

S i

' S i n : - 1 ,

Iv: - --)

X

Iv: - -+

u

Si

S i

J - '

24x

I

Y : -----_ u^ l

z i u

1l ¡

Y: x --)X

s e n ( x + h ) - s e n x

h

hcos f+ ^ ) ' sen;

, y : c o s x , y : t g x :

^ 2 x + h hr, cos sen

: t imh + 0

. , r - |J

- - r^ 1

x - t : - -1X '

* Derivadade la función exponencial y : a* (a > 0) :

Tomando ogaritmos eperianosLy : x' La

D e r i v a n d o1 ' y ' : L a - + y ' : y ' L a : a ' L a :v

Si y : a * - - ) y ' : a* L ,a

S i Y = a t ' - ) y ' : a u ' t ' ' L a

' Casoparticular S i a : € * + y : e x - ) y , :{ . L e : e * :

S i Y : e x- + Y ' : e " '

S i Y : e u- ) Y ' : e u ' u ' '

* Derivadade las unciones rigonométricas y : senx

Y':JTl

: l imh + 0 hl2

Z : l ¡ * cos(x* l . ¡ ¡ , - -2 =imh + 0 2 ' h + o h l 2

hse n

lt ": l i1cos(x - \ t l :cosx :

Si y : senx -+ y ' : cosx .

s i y : senu -+ y ' : v ' cosu '

- S i y : cosx sen ( ] -" )

2

l n \ l T

y ' : i i - * l cos ( i - * ) : - l ' senx -senx :\ z ) z

S i Y : c o s x- + Y ' : * s e n x

S i Y : c o s u - )Y ' :

- u ' ' S e n u



SCN X- 5 r Y : t g

COSX

_ . ,_ (sen ) 'cos - (cos ) 'sen _t ' l

COS- X

cos2 + sen2x

cos2

: -+ : sec2x 1+tg2x :C O S _X

- + : s e c 2 x : l + t g 2 xcos ' x

- ) y ' : -+ . u ' : u ' .sec2u u ' . (1+tg2u)cos-u

- Si y: cotsx tsf *-

" l

( , \ I Ia l s e r l * - " 1 : - t

- + y ' = - 1 _: - . ) : - c o s e c ' * = - ( 1 + c o t g 2 x ) :

\ 2 ) cos r tJ_ * )sen ' x

S i y :co tgx - ) y ' : - -+ : - cosec ' * : - (1 +co tg2x ) .S E N - X

S i y = c o t g u - + y ' : - - + ' u ' : - u ' ' c o s e c ' x : - u ' ' ( 1 + c o t g 2 x ) .sen-u

* Derivadasde las nversas e las funciones rigonométricas:

- S i y : a r c s e n x - > x : s e n y :

Der ivando :y 'cosy = y ' :1 :+

cos ,,ft r"nrv J 1- I

Si y: arcsen -+ y'

Si y: arcsenu -) y'

- S i y = a r c c o s x - ) x : c o s y :

S i y : t g x

S i y : t g u

r "r /1 -x '

t ,: - . l l

r . -r/ I - u'

Derivando

Si

S i

- S i y = a r c t g x

Derivando

Si y= a r c t g x - + y

y : a r c t g u - ) y

l : - y , senseny Jl -*J y f i=

y : arc cos x -->

y : arc cos u --)

- + x : t g y :

l : ( l + t g ' y ) ' y '

. 1r ¡ ' = -J r - .

r / l - x 'I

, lt / : _ - . l I

J r--------: "

r l l - u '

, l l- ! : - : r

1 + t g 2 y l + x 2

' = |

1 + x 2

II:

" . ul+u 'S i



EJERCICIOS

Derivada

l . - Apar t i rde ladef in ic ióndeder ivada,obtener lasder ivadasde:x -1 . y : J . - ¡ . V

2.- Estudiar a derivabilidadde las funcionessisuientes:

r( . ) :J * ' six<' , ,*) f* ' *]l 2 * - l s i x> l l3 - * '

(^): | -21 f(-) :|* ' -t l

3. - Derivary simplificar (en a medidade o posible)

Y : x L x - l

y - eJlx

LxX

Y: LI

y: arcsenX

s i x < - l

s i x > - l

1+xy: arc tg -- -

l - x

Ir,,(*l : j "

- '

I x + l

SI

si

x < l

x > l

1 ^ )y :x ' y=3x ' -7x+1 I x 2 + 1Y : . x ' - l

-x - l

y : L c o s y : s e n * y : L x ' , e n '= x 2 L Q - x )

u: -f,"-t ' l"[ e . + l ]

y=x + a2 arc sen

4.- Halla la recta angente : a)

9.-

10 . -

11 . -

x n-"*.y: ar c "n

6;y: arc g{

l + co sx

x + l, e n x o : + b ) ( x ) : * e l l " e n x ¡ : 1 .

{ x

y - e - x 2 + 2 * *1" n

X o = .

X

a

f(x) =

5.- Ecuaciónde la tangente normal a

f

Í d e mc o n Y : e - x ' + x + l

6 . - E c u a c i ó n d e l a t a n g e n t e a= x L x , p a r a l e l a 2 x - y - 5 : 0 .

7 . - S i f ( x ) : * 3 - 3 x 2 . H a l l a ra t a n g e n t e p a r a l e l a ax *y - 5 : 0 .

8.- Si f(x) : Lx ¿tangente la curva,paralelaa la rectaque pasapor los puntosde la curva x: I y

x=e?

Tangen tesu: J r .n5x en x : x f6 ya y : L tg2x enx : n /8 .

Tangentesy=x2 desdeP(2,3).

Determinar m para que la tangentea y :

perpend icu lara : mx.

en el puntode abscisax: 4 sea

x + l

v : r l zx2-7x+1

m1 5 derivada

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