definiciones de probabilidades
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7/25/2019 Definiciones de Probabilidades
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=
PROBABILIDAD
La probabilidad de un evento es la razn entre
el nmero de casos (sucesos) favorables y elnmero total de casos (sucesos) posibles,
siempre que nada obligue a creer que algunos
de estos sucesos debe tener preferencia a los
dems, lo que hace que todos sean igualmente
posibles.
Nmero de casos favorables del evento A
Nmero de casos posibles
(
(
La probabilidad del evento A: P[A]
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Corolarios:
2. P[A] = 0, si A es un evento imposible
3. P[A] = 1, si A es el evento seguro.
4. Puesto que todos los sucesos de = {1, 2, 2,...,
n} son , igualmente probables, se tiene que:
P[{i} ]= 1 / n , i = 1 ,2 ,3 ,, n.
Y por lo tanto
P[] = [{}] =
1. La probabilidad de un evento A cualquiera est
comprendido entre 0 y 1.
0 [ ] 1
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EJEMPLO 1: Probabilidad de sacar un nmero par en un lanzamiento
dado.
: Lanzamiento de un dado
= {1,2,3,4,5,6} N() = 6
A: sacar un nmero par
A = {2,4,6} N(A) = 3
P[A]=1/2 P[A]= 50%
= (( = 3
6
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Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes
bola al azar calcular la probabil idad de que: a) Sea roja; b)
amarilla.
EJEMPLO 2:
= (
(=
8
20
= 0.4
A:{la bola sea roja}
N(A)=8
= (
(=
7
20
= 0.35
B:{la bola sea verde}
N(A)=7
= (
(
= 0.
C:{la bola sea
N(A)=5
1:{ ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. }
N()=20
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= 1 []
La no probabilidad se considera como el evento
que no va a ocurrir en un experimento aleatorio.
NO PROBABILIDAD (Q)
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Se elige una carta aleatoriamente de una baraja
cartas. Cul es la probabilidad que sea una carta negEJEMPLO:
: Extraer una carta de 52
= {La baraja completa} N() = 52
A: Obtener una carta negra
A = {13 corazn negro, 13 trbol} N(A) = 26
P[A]=(N (A))/(N())=26/52
P[A]=1/2
= 1 1
2
=
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=[]
[]
TENDENCIA
Es la divisin entre la probabilidad para la no probabilidad.
Tendencias Favorables y en Contra
Tendencia Favorable
Tendencia En Contra
= []
[]
=[]
[]
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Que tendencia a favor existe que al lanzar un dado para qu
nmero par
EJEMPLO:
: Lanzamiento de un dado
= {1,2,3,4,5,6} N() = 6
A: sacar un nmero par
A = {2,4,6} N(A) = 3
P[A]=(N (A))/(N())=
P[A]=1/2
Q[A]=1-1/2
Q[A]=1/2
Tendencia a favor = (P[A])/(Q[A])
Tendencia a favor = 1:1
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OPERACIONES CON EVENTOS
Subeventos
Dados dos eventos A y B se dice que A est contenido en
B o que A es sub - evento de B, si todo seceso favorableA, es favorable a B; es decir si ocurre el evento A tambin
ocurre el evento B. Simblicamente:
A B, si A
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A: Se necesita por lo menos 20 lanzamientos
B: Se necesita ms de 5 lanzamientos
: Lanzar una moneda hasta que ocurra cara y contar el nmero de
lanzamientos de la moneda.
= {1,2,3,4,5,6,..}
A: Se necesita por lo menos 20 lanzamientosA = {20, 21, 22, 23,..}
B: Se necesita ms de 5 lanzamientos
B = {6, 7, 8, 9, 10,..}
Se puede concluir que: A
B
Un experimento consiste en lanzar una moneda hasta que ocurra c
nmero de lanzamientos de la moneda. En dicho experimento
eventos:
EJEMPLO:
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Eventos iguales
A = B: { / A y B}
Dos eventos A y B son iguales (A = B), si A
B y B
A
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EJEMPLO: Un experimento consiste lanzar un dado hasta que salga seis y conlanzamientos. En dicho experimento se considera los siguientes eve
A: Se necesita a lo ms 10 lanzamientos.
B: Se necesita menos de 11 lanzamientos.
: Lanzar un dado hasta que salga seis y contar el nmero
de lanzamientos.
= {1,2,3,4,5,..}
A: Se necesita a lo ms 10 lanzamientos.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B: Se necesita menos de 11 lanzamientos.
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Se puede concluir que: A = B
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Unin de eventos
Dado dos eventos A y B, la unin de A con B (A B)
genera un evento formado por los sucesos que pertenecena A o a B o de ambos.
A B = { / A
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Un experimento consiste en observar a los estudiantes que ingres
que uno de ellos sea una persona conocida. En dicho experime
siguientes eventos:
A: Observar 10 estudiantesB: Observar ms de 12 estudiantes.
EJEMPLO:
: Observar a los estudiantes que ingresan a un bar hasta que uno de ellos
sea una persona conocida.
= {1,2,3,4,5,..}
A: Observar 10 estudiantesA = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B: Observar ms de 12 estudiantes.
B = {13, 14, 15, 16, 17,..}
A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17,. . }
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Interseccin de eventos
AB = { / A B
La interseccin de dos eventos A con B (A B) genera un
evento formado por todos los sucesos favorables a A y a B, es
decir ambos eventos ocurren A y B.
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Un experimento consiste en lanzar una moneda hasta que ocurra
nmero de lanzamientos de la moneda. En dicho experiment
eventos:
A: Se necesita un nmero par de lanzamientos
B: Se necesita ms de 10 lanzamientos
EJEMPLO:
: Lanzar una moneda hasta que ocurra cara y contar el
nmero de lanzamientos de la moneda.
= {1,2,3,4,5,6,..}
A: Se necesita un nmero par de lanzamientos
A = {2, 4, 6, 8, 10,.}
B: Se necesita ms de 10 lanzamientos
B = {11, 12, 13, 14, 15,..}
AB = {12, 14, 16, 18,}
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La diferencia de dos eventos AB, es un
nuevo evento formado por los sucesos
favorables a A y que no son favorables a B.
AB = {W/WAW}
A B
Diferencia de eventos
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Lanzamos un dado y consideramos los sucesos:
A={obtener un numero par} = {2,4,6}
B={obtener un mltiplo de 3} = {3,6}
Calcular los sucesos A-B
EJEMPLO:
A-B={nmeros pares y no mltiplos de 3 }
A-B = {2,4}
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Evento complemento (A)
A = - A
A= {W/WA}
A
A
Es un evento (A) que contiene todos lossucesos que no tiene o no posee el evento A.
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Cual es el complemento del evento sacar un nmero pa
en el lanzamiento de un dado.EJEMPLO:
: Lanzar un dado
= {1, 2, 3, 4, 5,6}
A: Sacar un nmero par.
A = {2, 4, 6}
A= {1, 3,5}
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A: {(3,4); (4,3); (1,6); (6,1); (5,2); (2,5)}
B: {(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)}
Respuesta: Los eventos son
excluyentes ya que = 0
Se lanza un dado dos veces. Sean los eventos
A: La suma de los puntos obtenidos en los dos lanzamie
B: En los dos dados se obtiene el mismo nmeroSon estos eventos mutuamente excluyentes.
EJEMPLO:
Eventos mutuamente excluyentes
Dos eventos A y B definidos en el mismo espacio
muestral, se dice que son mutuamente excluyentes si no
pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno
excluye la ocurrencia del otro.
=
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Eventos colectivamente exhaustivos
Sea el experimento contar el nmero de personas aten
banco en un periodo de tiempo. En el cual se tiene lo
eventos
A: Se han atendido a menos de 20 personas.
B: Se han atendido a exactamente 25 personas.
C: Se han atendido exactamente 15 personas.
EJEMPLO:
Los eventos A, B, C son colectivamente pues la unin
de ellos generan el espacio muestral.
Un conjunto de eventos son colectivos exhaustivos si la
unin de ellos es igual al espacio muestral.
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En el almacn Totto estn vendiendo 3 gorras rojas, 2 bol
carteras negras y 2 correas rojas. Cul es probabilidad d
el evento en el cual Flix compre 1 una gorra roja?
EJEMPLO:
P (Gorra roja) = 3 / 10
Qu probabilidad existe de que ocurra el evento en el
cual Carlos compre un bolso azul?
P (Bolso azul) = 2 / 10
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Qu probabilidad existe de ocurra el evento en cual
Mara Mnica compre una cartera negra?
P (Cartera negra) = 3 / 10
Qu probabilidad existe de que ocurra el evento de que
Diana compre una correa roja?
P (Correa roja) = 2 / 10
P (Gorra roja) + P (Bolso azul) + P (Cartera negra) + P (Correa roja) = 1
(3 / 10) + (2 / 10) + (3 / 10) + (2 / 10) = 10 / 10 = 1
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7/25/2019 Definiciones de Probabilidades
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En la papelera Jonan hay una promocin de lapiceros
cantidad estipulada de 20 lapiceros en total en donde: 8 s
morados, 6 azules y 4 rojos.
Cul es la probabilidad de que ocurra el evento en el
compre un lapicero azul?
EJEMPLO:
P (Azul) = 6 / 20
Cul es la probabilidad de que ocurra el evento en el
cual Nelson compre un lapicero negro?
P (Negro) = 8 / 20
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7/25/2019 Definiciones de Probabilidades
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Cul es la probabilidad de que ocurra el evento en el
cual Nelson compre un lapicero morado?
P (Morado) = 2 / 20
Cul es la probabilidad de que ocurra el evento en el
cual Nelson compre un lapicero rojo?
P (Rojo) = 4 / 20
P (Azul) + P (Negro) + P (Morado) + P (Rojo) = 1
(6 / 20) + (8 / 20) + (2 / 20) + (4 / 20) = 20 / 20 = 1
LEYES DISTRIBUTIVAS DE LOS CONJUNTOS APLICABLES A EV
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LEYES DISTRIBUTIVAS DE LOS CONJUNTOS APLICABLES A EV
Dados los eventos A, B, C se tiene que:
A(BUC) = (AB)U(AC)
AU(BC)= (AUB)(AUC)
Leyes de Morgan(AB)= AUB
(AUB) = AB
PROPOSICIONES TILES EN OPERACIONES CON EVENTOS
Proposiciones Interpretacin de Conjuntos
Por lo menos uno de los eventos A o B X AU B
Ocurren
Ambos eventos A y B ocurren X A B
No ocurre A X A
Ni A ni B ocurren X AU B
Exactamente ocurre uno de los eventos X (AB)U (AB)
No ms de los eventos A o B ocurren X (AB)
Si ocurre A tambin B AB
A y B se excluyen mutuamente AB = 0
Evento A o evento B AUB
Evento A y evento B AB
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7/25/2019 Definiciones de Probabilidades
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Dados los eventos A, B, C del espacio muestral .
mediante operaciones entre conjuntos los eventos:
a) Tan solo ocurre A.
b) Si ocurre A, no ocurre B.
c) Por lo menos uno de los eventos ocurren.
EJEMPLO:
Solucin:a) Puede ocurrir A, y simultneamente no ocurre B y no ocurre C por lo
evento resultante es: `
b) Si no ocurre B, es decir que si ocurre A, tambin ocurre B, el evento
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PRODUCTO CARTESIANO
Dados los eventos A y B, se llama producto
cartesiano de A con B, denotado A x B, al conjunto
de pares orden A y cuyos segundos elementos
pertenecen a A y cuyos segundos elementos
pertenecen a B.
= {1, 2
1 2 }
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7/25/2019 Definiciones de Probabilidades
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Se lanza dos dados simultneamente y se observa los resul
define los eventos:
A: Los resultados de los dados son iguales
B: la suma del resultado de los dos dados es menor o igual aCul es el resultado de A x B.
EJEMPLO:
: Se lanzan dos dados simultneamente y observar los resultados.
= 1 x 2
Experimentos simples:
1: Lanzar una dado y observar
su resultado.
1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2: Lanzar una dado y obser
su resultado.
2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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7/25/2019 Definiciones de Probabilidades
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Debido a que el
espacio muestral
resultando es un
conjunto de pares
ordenados se pude
utilizar lasimbologa de la
teora de conjuntos
para representarlo
as:
= {(x, y) / x, y = 1, 2, 3, 4, 5, 6
A: {(1,1); (2,2); (3,3); (,4,4) ;(5,5
B: {(1,1); (1,2); (2,1)}
=1,2
3