7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

1/31

=

PROBABILIDAD

La probabilidad de un evento es la razn entre

el nmero de casos (sucesos) favorables y elnmero total de casos (sucesos) posibles,

siempre que nada obligue a creer que algunos

de estos sucesos debe tener preferencia a los

dems, lo que hace que todos sean igualmente

posibles.

Nmero de casos favorables del evento A

Nmero de casos posibles

(

(

La probabilidad del evento A: P[A]

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Corolarios:

2. P[A] = 0, si A es un evento imposible

3. P[A] = 1, si A es el evento seguro.

4. Puesto que todos los sucesos de = {1, 2, 2,...,

n} son , igualmente probables, se tiene que:

P[{i} ]= 1 / n , i = 1 ,2 ,3 ,, n.

Y por lo tanto

P[] = [{}] =

1. La probabilidad de un evento A cualquiera est

comprendido entre 0 y 1.

0 [ ] 1

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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EJEMPLO 1: Probabilidad de sacar un nmero par en un lanzamiento

dado.

: Lanzamiento de un dado

= {1,2,3,4,5,6} N() = 6

A: sacar un nmero par

A = {2,4,6} N(A) = 3

P[A]=1/2 P[A]= 50%

= (( = 3

6

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes

bola al azar calcular la probabil idad de que: a) Sea roja; b)

amarilla.

EJEMPLO 2:

= (

(=

8

20

= 0.4

A:{la bola sea roja}

N(A)=8

= (

(=

7

20

= 0.35

B:{la bola sea verde}

N(A)=7

= (

(

= 0.

C:{la bola sea

N(A)=5

1:{ ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. }

N()=20

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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= 1 []

La no probabilidad se considera como el evento

que no va a ocurrir en un experimento aleatorio.

NO PROBABILIDAD (Q)

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Se elige una carta aleatoriamente de una baraja

cartas. Cul es la probabilidad que sea una carta negEJEMPLO:

: Extraer una carta de 52

= {La baraja completa} N() = 52

A: Obtener una carta negra

A = {13 corazn negro, 13 trbol} N(A) = 26

P[A]=(N (A))/(N())=26/52

P[A]=1/2

= 1 1

2

=

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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=[]

[]

TENDENCIA

Es la divisin entre la probabilidad para la no probabilidad.

Tendencias Favorables y en Contra

Tendencia Favorable

Tendencia En Contra

= []

[]

=[]

[]

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Que tendencia a favor existe que al lanzar un dado para qu

nmero par

EJEMPLO:

: Lanzamiento de un dado

= {1,2,3,4,5,6} N() = 6

A: sacar un nmero par

A = {2,4,6} N(A) = 3

P[A]=(N (A))/(N())=

P[A]=1/2

Q[A]=1-1/2

Q[A]=1/2

Tendencia a favor = (P[A])/(Q[A])

Tendencia a favor = 1:1

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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OPERACIONES CON EVENTOS

Subeventos

Dados dos eventos A y B se dice que A est contenido en

B o que A es sub - evento de B, si todo seceso favorableA, es favorable a B; es decir si ocurre el evento A tambin

ocurre el evento B. Simblicamente:

A B, si A

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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A: Se necesita por lo menos 20 lanzamientos

B: Se necesita ms de 5 lanzamientos

: Lanzar una moneda hasta que ocurra cara y contar el nmero de

lanzamientos de la moneda.

= {1,2,3,4,5,6,..}

A: Se necesita por lo menos 20 lanzamientosA = {20, 21, 22, 23,..}

B: Se necesita ms de 5 lanzamientos

B = {6, 7, 8, 9, 10,..}

Se puede concluir que: A

B

Un experimento consiste en lanzar una moneda hasta que ocurra c

nmero de lanzamientos de la moneda. En dicho experimento

eventos:

EJEMPLO:

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Eventos iguales

A = B: { / A y B}

Dos eventos A y B son iguales (A = B), si A

B y B

A

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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EJEMPLO: Un experimento consiste lanzar un dado hasta que salga seis y conlanzamientos. En dicho experimento se considera los siguientes eve

A: Se necesita a lo ms 10 lanzamientos.

B: Se necesita menos de 11 lanzamientos.

: Lanzar un dado hasta que salga seis y contar el nmero

de lanzamientos.

= {1,2,3,4,5,..}

A: Se necesita a lo ms 10 lanzamientos.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

B: Se necesita menos de 11 lanzamientos.

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Se puede concluir que: A = B

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Unin de eventos

Dado dos eventos A y B, la unin de A con B (A B)

genera un evento formado por los sucesos que pertenecena A o a B o de ambos.

A B = { / A

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Un experimento consiste en observar a los estudiantes que ingres

que uno de ellos sea una persona conocida. En dicho experime

siguientes eventos:

A: Observar 10 estudiantesB: Observar ms de 12 estudiantes.

EJEMPLO:

: Observar a los estudiantes que ingresan a un bar hasta que uno de ellos

sea una persona conocida.

= {1,2,3,4,5,..}

A: Observar 10 estudiantesA = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

B: Observar ms de 12 estudiantes.

B = {13, 14, 15, 16, 17,..}

A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17,. . }

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Interseccin de eventos

AB = { / A B

La interseccin de dos eventos A con B (A B) genera un

evento formado por todos los sucesos favorables a A y a B, es

decir ambos eventos ocurren A y B.

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Un experimento consiste en lanzar una moneda hasta que ocurra

nmero de lanzamientos de la moneda. En dicho experiment

eventos:

A: Se necesita un nmero par de lanzamientos

B: Se necesita ms de 10 lanzamientos

EJEMPLO:

: Lanzar una moneda hasta que ocurra cara y contar el

nmero de lanzamientos de la moneda.

= {1,2,3,4,5,6,..}

A: Se necesita un nmero par de lanzamientos

A = {2, 4, 6, 8, 10,.}

B: Se necesita ms de 10 lanzamientos

B = {11, 12, 13, 14, 15,..}

AB = {12, 14, 16, 18,}

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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La diferencia de dos eventos AB, es un

nuevo evento formado por los sucesos

favorables a A y que no son favorables a B.

AB = {W/WAW}

A B

Diferencia de eventos

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Lanzamos un dado y consideramos los sucesos:

A={obtener un numero par} = {2,4,6}

B={obtener un mltiplo de 3} = {3,6}

Calcular los sucesos A-B

EJEMPLO:

A-B={nmeros pares y no mltiplos de 3 }

A-B = {2,4}

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Evento complemento (A)

A = - A

A= {W/WA}

A

A

Es un evento (A) que contiene todos lossucesos que no tiene o no posee el evento A.

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Cual es el complemento del evento sacar un nmero pa

en el lanzamiento de un dado.EJEMPLO:

: Lanzar un dado

= {1, 2, 3, 4, 5,6}

A: Sacar un nmero par.

A = {2, 4, 6}

A= {1, 3,5}

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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A: {(3,4); (4,3); (1,6); (6,1); (5,2); (2,5)}

B: {(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)}

Respuesta: Los eventos son

excluyentes ya que = 0

Se lanza un dado dos veces. Sean los eventos

A: La suma de los puntos obtenidos en los dos lanzamie

B: En los dos dados se obtiene el mismo nmeroSon estos eventos mutuamente excluyentes.

EJEMPLO:

Eventos mutuamente excluyentes

Dos eventos A y B definidos en el mismo espacio

muestral, se dice que son mutuamente excluyentes si no

pueden ocurrir juntos. Es decir la ocurrencia de uno

excluye la ocurrencia del otro.

=

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Eventos colectivamente exhaustivos

Sea el experimento contar el nmero de personas aten

banco en un periodo de tiempo. En el cual se tiene lo

eventos

A: Se han atendido a menos de 20 personas.

B: Se han atendido a exactamente 25 personas.

C: Se han atendido exactamente 15 personas.

EJEMPLO:

Los eventos A, B, C son colectivamente pues la unin

de ellos generan el espacio muestral.

Un conjunto de eventos son colectivos exhaustivos si la

unin de ellos es igual al espacio muestral.

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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En el almacn Totto estn vendiendo 3 gorras rojas, 2 bol

carteras negras y 2 correas rojas. Cul es probabilidad d

el evento en el cual Flix compre 1 una gorra roja?

EJEMPLO:

P (Gorra roja) = 3 / 10

Qu probabilidad existe de que ocurra el evento en el

cual Carlos compre un bolso azul?

P (Bolso azul) = 2 / 10

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Qu probabilidad existe de ocurra el evento en cual

Mara Mnica compre una cartera negra?

P (Cartera negra) = 3 / 10

Qu probabilidad existe de que ocurra el evento de que

Diana compre una correa roja?

P (Correa roja) = 2 / 10

P (Gorra roja) + P (Bolso azul) + P (Cartera negra) + P (Correa roja) = 1

(3 / 10) + (2 / 10) + (3 / 10) + (2 / 10) = 10 / 10 = 1

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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En la papelera Jonan hay una promocin de lapiceros

cantidad estipulada de 20 lapiceros en total en donde: 8 s

morados, 6 azules y 4 rojos.

Cul es la probabilidad de que ocurra el evento en el

compre un lapicero azul?

EJEMPLO:

P (Azul) = 6 / 20

Cul es la probabilidad de que ocurra el evento en el

cual Nelson compre un lapicero negro?

P (Negro) = 8 / 20

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Cul es la probabilidad de que ocurra el evento en el

cual Nelson compre un lapicero morado?

P (Morado) = 2 / 20

Cul es la probabilidad de que ocurra el evento en el

cual Nelson compre un lapicero rojo?

P (Rojo) = 4 / 20

P (Azul) + P (Negro) + P (Morado) + P (Rojo) = 1

(6 / 20) + (8 / 20) + (2 / 20) + (4 / 20) = 20 / 20 = 1

LEYES DISTRIBUTIVAS DE LOS CONJUNTOS APLICABLES A EV

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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LEYES DISTRIBUTIVAS DE LOS CONJUNTOS APLICABLES A EV

Dados los eventos A, B, C se tiene que:

A(BUC) = (AB)U(AC)

AU(BC)= (AUB)(AUC)

Leyes de Morgan(AB)= AUB

(AUB) = AB

PROPOSICIONES TILES EN OPERACIONES CON EVENTOS

Proposiciones Interpretacin de Conjuntos

Por lo menos uno de los eventos A o B X AU B

Ocurren

Ambos eventos A y B ocurren X A B

No ocurre A X A

Ni A ni B ocurren X AU B

Exactamente ocurre uno de los eventos X (AB)U (AB)

No ms de los eventos A o B ocurren X (AB)

Si ocurre A tambin B AB

A y B se excluyen mutuamente AB = 0

Evento A o evento B AUB

Evento A y evento B AB

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Dados los eventos A, B, C del espacio muestral .

mediante operaciones entre conjuntos los eventos:

a) Tan solo ocurre A.

b) Si ocurre A, no ocurre B.

c) Por lo menos uno de los eventos ocurren.

EJEMPLO:

Solucin:a) Puede ocurrir A, y simultneamente no ocurre B y no ocurre C por lo

evento resultante es: `

b) Si no ocurre B, es decir que si ocurre A, tambin ocurre B, el evento

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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PRODUCTO CARTESIANO

Dados los eventos A y B, se llama producto

cartesiano de A con B, denotado A x B, al conjunto

de pares orden A y cuyos segundos elementos

pertenecen a A y cuyos segundos elementos

pertenecen a B.

= {1, 2

1 2 }

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Se lanza dos dados simultneamente y se observa los resul

define los eventos:

A: Los resultados de los dados son iguales

B: la suma del resultado de los dos dados es menor o igual aCul es el resultado de A x B.

EJEMPLO:

: Se lanzan dos dados simultneamente y observar los resultados.

= 1 x 2

Experimentos simples:

1: Lanzar una dado y observar

su resultado.

1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2: Lanzar una dado y obser

su resultado.

2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

7/25/2019 Definiciones de Probabilidades

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Debido a que el

espacio muestral

resultando es un

conjunto de pares

ordenados se pude

utilizar lasimbologa de la

teora de conjuntos

para representarlo

as:

= {(x, y) / x, y = 1, 2, 3, 4, 5, 6

A: {(1,1); (2,2); (3,3); (,4,4) ;(5,5

B: {(1,1); (1,2); (2,1)}

=1,2

3