def: sea v · los elementos del conjunto v, especiﬁcar las operaciones + y α y veriﬁcar los 10...

Espacios Vectoriales

DEF: Sea V 6= ∅ en el cual se han definido dos operaciones, llamadassuma y producto por escalar. Diremos que V es un espacio vectorial realsi satisface los siguientes 10 axiomas:

(S1) u+ v ∈ V .(S2) u+ v = v+ u.(S3) (u+ v) +w = u+ (v+w).(S4) ∃! 0 ∈ V , tal que u+ 0 = u, ∀u ∈ V .(S5) Para cada u ∈ V , ∃! − u ∈ V , tal que u+ (−u) = 0.(E1) αu ∈ V .(E2) α(u+ v) = αu+ αv.(E3) (α+ β)u = αu+ βu.(E4) α(βu) = (αβ)u.(E5) 1u = u.

OBS: A los elementos de un espacio vectorial son llamados vectores.

Algebra lineal Basica



(S1) u+ v ∈ V .

(E1) αu ∈ V .





(S4) ∃! 0 ∈ V , tal que u+ 0 = u, ∀u ∈ V .(S5) Para cada u ∈ V , ∃! − u ∈ V , tal que u+ (−u) = 0.







OBJETIVO En los proximos ejemplos, debemos describir o caracterizarlos elementos del conjunto V , especificar las operaciones + y α yverificar los 10 axiomas.


Ejemplos

EJEM Sea P2 el conjunto de todos los polinomios de grado menor o iguala 2. Es decir,

P2 ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 : ai ∈ R

}.


Ejemplos


P2 ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 : ai ∈ R

}.

Sea p(x) = a0 + a1x + a2x2 y q(x) = b0 + b1x + b2x

2 en P2. Ahora, sidefinimos la suma y el producto por escalar, de la siguiente forma

p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2

λp(x) = (λa0) + (λa1)x + (λa2)x2.


Ejemplos


P2 ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 : ai ∈ R

}.



p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2

λp(x) = (λa0) + (λa1)x + (λa2)x2.

(S1) p(x) + q(x) ∈ P2.


Ejemplos


P2 ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 : ai ∈ R

}.



p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2

λp(x) = (λa0) + (λa1)x + (λa2)x2.

(S1) p(x) + q(x) ∈ P2.

(E1) αp(x) ∈ P2.


Ejemplos


P2 ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 : ai ∈ R

}.



p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2

λp(x) = (λa0) + (λa1)x + (λa2)x2.

(S1) p(x) + q(x) ∈ P2.(S4) ∃! 0 ∈ P2, tal que p(x) + 0 = p(x), ∀p(x) ∈ P2.

(E1) αp(x) ∈ P2.


Ejemplos


P2 ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 : ai ∈ R

}.



p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2

λp(x) = (λa0) + (λa1)x + (λa2)x2.

(S1) p(x) + q(x) ∈ P2.(S4) ∃! 0 ∈ P2, tal que p(x) + 0 = p(x), ∀p(x) ∈ P2.(S5) Para cada p(x) ∈ P2, ∃! − p(x) ∈ P, tal que p(x) + (−p(x)) = 0.(E1) αp(x) ∈ P2.


Ejemplos


P2 ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 : ai ∈ R

}.



p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2

λp(x) = (λa0) + (λa1)x + (λa2)x2.


(E4) α[βp(x)] = α[β(a0 + a1x + a2x2)] = α[βa0 + βa1x + βa2x

2]

= (αβ)a0 + (αβ)a1x + (αβ)a2x2 = (αβ)(a0 + a1x + a2x

2)

= (αβ)p(x).


Ejemplos


P2 ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 : ai ∈ R

}.



p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2

λp(x) = (λa0) + (λa1)x + (λa2)x2.


(E4) α[βp(x)] = α[β(a0 + a1x + a2x2)] = α[βa0 + βa1x + βa2x

2]

= (αβ)a0 + (αβ)a1x + (αβ)a2x2 = (αβ)(a0 + a1x + a2x

2)

= (αβ)p(x).

Por tanto, P2 es un espacio vectorialAlgebra lineal Basica

Ejemplos

EJEM Sea Gn el conjunto de todos los polinomios de grado IGUAL a n.Es decir,

Gn ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 + · · ·+ an−1xn−1 + xn : ai ∈ R

}.


Ejemplos


Gn ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 + · · ·+ an−1xn−1 + xn : ai ∈ R

}.

Si definimos la suma y el producto por escalar, de la siguiente forma

p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + · · ·+ (an−1 + bn−1)xn−1 + 2xn

λp(x) = (λa0) + (λa1)x + · · ·+ (λan−1)xn−1 + λxn.


Ejemplos


Gn ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 + · · ·+ an−1xn−1 + xn : ai ∈ R

}.




¿Por que, Qn NO es un espacio vectorial?


Ejemplos


Gn ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 + · · ·+ an−1xn−1 + xn : ai ∈ R

}.




1 Falla [(S4)] ∃! 0 ∈ Qn, tal que p(x) + 0 = p(x).



Ejemplos


Gn ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 + · · ·+ an−1xn−1 + xn : ai ∈ R

}.




1 Falla [(S4)] ∃! 0 ∈ Qn, tal que p(x) + 0 = p(x).


EJEM Porque el conjunto de enteros Z no es un espacio vectorial REAL?


Ejemplos

EJEM Sea F [0, 1] el conjunto de todas funciones de valor real definidasen el intervalo [0, 1]. Es decir,

F [0, 1] ={f : f : [0, 1] → R

}.


Ejemplos


F [0, 1] ={f : f : [0, 1] → R

}.

Sea f , g ∈ F [0, 1]. Ahora, si definimos la suma y el producto por escalar,de la siguiente forma

(f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λ[f (x)].


Ejemplos


F [0, 1] ={f : f : [0, 1] → R

}.


(f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λ[f (x)].

(S1) p(x) + q(x) ∈ F .


Ejemplos


F [0, 1] ={f : f : [0, 1] → R

}.


(f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λ[f (x)].

(S1) p(x) + q(x) ∈ F .

(E1) αf (x) ∈ F .


Ejemplos


F [0, 1] ={f : f : [0, 1] → R

}.


(f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λ[f (x)].

(S1) p(x) + q(x) ∈ F .(S4) ∃! 0 ∈ F , tal que f (x) + 0 = f (x), ∀f (x) ∈ F .

(E1) αf (x) ∈ F .


Ejemplos


F [0, 1] ={f : f : [0, 1] → R

}.


(f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λ[f (x)].

(S1) p(x) + q(x) ∈ F .(S4) ∃! 0 ∈ F , tal que f (x) + 0 = f (x), ∀f (x) ∈ F .(S5) Para cada f (x) ∈ F , ∃! − f (x) ∈ F , tal que f (x) + (−f (x)) = 0.(E1) αf (x) ∈ F .


Ejemplos


F [0, 1] ={f : f : [0, 1] → R

}.


(f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λ[f (x)].

(S1) p(x) + q(x) ∈ F .(S4) ∃! 0 ∈ F , tal que f (x) + 0 = f (x), ∀f (x) ∈ F .(S5) Para cada f (x) ∈ F , ∃! − f (x) ∈ F , tal que f (x) + (−f (x)) = 0.(E1) αf (x) ∈ F .

Los demas axiomas son inmediatos. Por tanto, F [0, 1] es un espaciovectorial


Ejemplos

EJEM Sea H el hiperplano de R4 cuya ecuacion es 2x1 − x2 + 3x4 = 0.

Es decir,

H ={(x1 x2 x3 x4)

T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.


Ejemplos


Es decir,

H ={(x1 x2 x3 x4)

T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.

Si definimos la suma y el producto por escalar, como en R4 entonces

(H,+, λ) es un espacio vectorial,

(S1),(E1) Si p, q ∈ H entonces p + q ∈ H y λp ∈ H.


Ejemplos


Es decir,

H ={(x1 x2 x3 x4)

T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.




Para p = (p1 p2 p3 p4)T y q = (q1 q2 q3 q4)

T tenemos que2p1 − p2 + 3p4 = 0 y 2q1 − q2 + 3q4 = 0.


Ejemplos


Es decir,

H ={(x1 x2 x3 x4)

T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.





T tenemos que2p1 − p2 + 3p4 = 0 y 2q1 − q2 + 3q4 = 0. Luego,

p + q =

p1 + q1p2 + q2p3 + q3p4 + q4

∈ H y λp =

λp1λp2λp3λp4

∈ H


Ejemplos


Es decir,

H ={(x1 x2 x3 x4)

T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.





T tenemos que2p1 − p2 + 3p4 = 0 y 2q1 − q2 + 3q4 = 0. Luego,

p + q =

p1 + q1p2 + q2p3 + q3p4 + q4

∈ H y λp =

λp1λp2λp3λp4

∈ H

2(p1+q1)−(p2+q2)+3(p4+q4) = (2p1−p2+3p4)+(2q1−q2+3q4) = 0+0 = 0

y2(λp1)− (λp2) + 3(λp4) = λ(2p1 − p2 + 3p4) = λ0 = 0.


Ejemplos


Es decir,

H ={(x1 x2 x3 x4)

T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.





Ejemplos


Es decir,

H ={(x1 x2 x3 x4)

T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.



(S1),(E1) Si p, q ∈ H entonces p + q ∈ H y λp ∈ H.(S4) Es claro que ∃! 0 ∈ H pues 2(0)− 0 + 3(0) = 0.


Ejemplos


Es decir,

H ={(x1 x2 x3 x4)

T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.



(S1),(E1) Si p, q ∈ H entonces p + q ∈ H y λp ∈ H.(S4) Es claro que ∃! 0 ∈ H pues 2(0)− 0 + 3(0) = 0.(S5) Para cada p ∈ H, ∃! − p ∈ H, pues

2(−p1)− (−p2) + 3(−p4) = −(2p1 − p2 + 3p4) = −0 = 0.


Ejemplos


Es decir,

H ={(x1 x2 x3 x4)

T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.




2(−p1)− (−p2) + 3(−p4) = −(2p1 − p2 + 3p4) = −0 = 0.

Los demas axiomas son inmediatos. Por tanto, H es un espacio vectorial


Ejemplos


Es decir,

H ={(x1 x2 x3 x4)

T : 2x1 − x2 + 3x4 = 0}.




2(−p1)− (−p2) + 3(−p4) = −(2p1 − p2 + 3p4) = −0 = 0.

Los demas axiomas son inmediatos. Por tanto, H es un espacio vectorialOBS: H es un espacio vectorial contenido en otro espacio vectorial R4.


Subespacios Vectoriales

DEF: Sea V un espacio vectorial y sea H un subconjunto de V . Si H esespacio vectorial con los mismos escalares y las mismas operaciones queV , decimos que H es un subespacio de V .




TEO Sea V un espacio vectorial y H un subconjunto no vacıo de V .Dados x, y ∈ H entonces x+ y ∈ H y λx ∈ H, si y solo si, H es unsubespacio de V

DEM (⇒) Supongamos que H satisface S1 y E1. Como H ⊆ V ,entonces H hereda propiedades de V , ( S2, S3, E7, E8, E9 y E10). Nosqueda por verificar unicamente S4 y S5.





DEM (⇒) Supongamos que H satisface S1 y E1. Como H ⊆ V ,entonces H hereda propiedades de V , ( S2, S3, E7, E8, E9 y E10). Nosqueda por verificar unicamente S4 y S5. Sea u ∈ H. Por E1, λu ∈ H

para todo λ, en particular para λ = 0 y para λ = −1. Ası que elelemento nulo, 0u = 0, y el opuesto de u, (−1)u = −u, estan en H.





DEM (⇒) Supongamos que H satisface S1 y E1. Como H ⊆ V ,entonces H hereda propiedades de V , ( S2, S3, E7, E8, E9 y E10). Nosqueda por verificar unicamente S4 y S5. Sea u ∈ H. Por E1, λu ∈ H

para todo λ, en particular para λ = 0 y para λ = −1. Ası que elelemento nulo, 0u = 0, y el opuesto de u, (−1)u = −u, estan en H.

(⇐) Supongamos que H es un subespacio vectorial de V , entonces H esun espacio vectorial, lo que implica que H satisface los 10 axiomas de ladefinicion, en particular, el S1 y el E1.


Ejemplos

PREG ¿Por que Dn, el conjunto de matrices diagonales de tamano n× n,es un espacio vectorial?.

EJEM Sea P2 el conjunto de todos los polinomios de grado menor o iguala 2. Demostremos que,

H ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 : a0 = 0, a1, a2 ∈ R

}.

es un espacio vectorial.


Ejemplos



H ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 : a0 = 0, a1, a2 ∈ R

}.

es un espacio vectorial.Sea p(x) = a0 + a1x + a2x

2 y q(x) = b0 + b1x + b2x2 en H. Entonces

a0 = b0 = 0, Luego

p(x) + λq(x) = (a0 + λb0) + (a1 + λb1)x + (a2 + λb2)x2

es un polinomio de H.


Ejemplos



H ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 : a0 = 0, a1, a2 ∈ R

}.



a0 = b0 = 0, Luego


es un polinomio de H. Por tanto, H es un subespacio vectorial de P2 ypor lo tanto, un espacio vectorial.


Ejemplos



H ={p(x) = a0 + a1x + a2x

2 : a0 = 0, a1, a2 ∈ R

}.



a0 = b0 = 0, Luego


es un polinomio de H. Por tanto, H es un subespacio vectorial de P2 ypor lo tanto, un espacio vectorial.

EJEM Veamos que K = {(0 y 0 1 + y)T : y ∈ R} no es un subespaciovectorial de R

4


Ejemplos

EJEM Demostremos que si u1,u2, . . . ,uk son vectores de Rn, entonces

G = gen{u1,u2, . . . ,uk} es un espacio vectorial.


Ejemplos



DEM: Sean u, v ∈ G y λ ∈ R.


Ejemplos



DEM: Sean u, v ∈ G y λ ∈ R. Luego, existen escalares αi y βi en R,tales que

u = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αkuk v = β1u1 + β2u2 + · · ·+ βkuk ,


Ejemplos





u+ λv = (α1u1 + · · ·+ αkuk) + λ(β1u1 + · · ·+ βkuk)

= (α1 + λβ1)u1 + · · ·+ (αk + λβk)uk

es decir, u+ λv ∈ G , Por tanto, G es un subespacio de Rn y por ende,

un espacio vectorial.


Ejemplos






= (α1 + λβ1)u1 + · · ·+ (αk + λβk)uk



EJEM ¿H ={(

a

a− 2b

): a, b ∈ R

}es un subespacio vectorial de R

2?.


Ejemplos






= (α1 + λβ1)u1 + · · ·+ (αk + λβk)uk



EJEM ¿H ={(

a

a− 2b

): a, b ∈ R

}es un subespacio vectorial de R

2?.

SOL Observemos que

(a

a− 2b

)= a

(11

)+ b

(0−2

); por lo tanto,

H = gen{(

11

),

(0−2

)}; Luego, H es un espacio vectorial.


Extension de los conceptos de combinacion lineal, conj

generador

EJEM Dado el espacio vectorial P2, ¿el polinomio −3− 6x + x2 es unacombinacion lineal de los polinomios 1− 2x + x2 y 3 + x2?,



generador

EJEM Dado el espacio vectorial P2, ¿el polinomio −3− 6x + x2 es unacombinacion lineal de los polinomios 1− 2x + x2 y 3 + x2?, Si, puestoque,

−3− 6x + x2 = 3(1− 2x + x2)− 2(3 + x2).



generador


−3− 6x + x2 = 3(1− 2x + x2)− 2(3 + x2).

PREG ¿El polinomio −2x + x2 tambien es una combinacion lineal deestos polinomios?



generador


−3− 6x + x2 = 3(1− 2x + x2)− 2(3 + x2).

PREG ¿El polinomio −2x + x2 tambien es una combinacion lineal deestos polinomios? NOOO



generador


−3− 6x + x2 = 3(1− 2x + x2)− 2(3 + x2).

PREG ¿El polinomio −2x + x2 tambien es una combinacion lineal deestos polinomios? NOOO

EJEM Demuestre que{1− x , x2, 1 + x

}es un conjunto generador de P2.

Para cualquier polinomio a0 + a1x + a2x2, debemos encontrar escalares

λ1, λ2, λ3 ∈ R, tales que

a0 + a1x + a2x2 = λ1(1− x) + λ2x

2 + λ3(1 + x)

Continuar...


Ejemplos

EJEM Determine si M ={(

1 00 1

),

(0 11 0

),

(1 01 0

)}es un conjunto

generador de M2×2, el espacio vectorial de las matrices de tamano 2× 2.


Ejemplos


1 00 1

),

(0 11 0

),

(1 01 0

)}es un conjunto


SOL:Para cualquier matriz

(a b

c d

)∈ M2×2 debemos encontrar

escalares λ1, λ2, λ3, tales que

(a b

c d

)= λ1

(1 00 1

)+ λ2

(0 11 0

)+ λ3

(1 01 0

)


Ejemplos


1 00 1

),

(0 11 0

),

(1 01 0

)}es un conjunto


SOL:Para cualquier matriz

(a b

c d

)∈ M2×2 debemos encontrar

escalares λ1, λ2, λ3, tales que

(a b

c d

)= λ1

(1 00 1

)+ λ2

(0 11 0

)+ λ3

(1 01 0

)

Desarrollar...


Ejemplos

EJEM Determine si S ={100

,

110

,

111

,

123

}genera a R

3.


Ejemplos


,

110

,

111

,

123

}genera a R

3.

Para cualquier vector (x1 x2 x3)T ∈ R

3 debemos encontrar escalaresλ1, λ2, λ3, λ4, tales quex1x2x3

= λ1

100

+λ2

110

+λ3

111

+λ4

123

=

λ1 + λ2 + λ3 + λ4

λ2 + λ3 + 2λ4

λ3 + 3λ4


Ejemplos


,

110

,

111

,

123

}genera a R

3.



= λ1

100

+λ2

110

+λ3

111

+λ4

123

=

λ1 + λ2 + λ3 + λ4

λ2 + λ3 + 2λ4

λ3 + 3λ4

Desarrollar...


Ejemplos


,

110

,

111

,

123

}genera a R

3.



= λ1

100

+λ2

110

+λ3

111

+λ4

123

=

λ1 + λ2 + λ3 + λ4

λ2 + λ3 + 2λ4

λ3 + 3λ4

Desarrollar...

EJEM Determine si el conjunto de polinomiosS = {1− x + x2, 1 + x − x2, 1 + x + x2} es l .d .


Ejemplos


,

110

,

111

,

123

}genera a R

3.



= λ1

100

+λ2

110

+λ3

111

+λ4

123

=

λ1 + λ2 + λ3 + λ4

λ2 + λ3 + 2λ4

λ3 + 3λ4

Desarrollar...


SOL Encontremos los escalares λ1, λ2 y λ3 tales que

λ1(1− x + x2) + λ2(1 + x − x2) + λ3(1 + x + x2) = 0,


Ejemplos


,

110

,

111

,

123

}genera a R

3.



= λ1

100

+λ2

110

+λ3

111

+λ4

123

=

λ1 + λ2 + λ3 + λ4

λ2 + λ3 + 2λ4

λ3 + 3λ4

Desarrollar...


SOL Encontremos los escalares λ1, λ2 y λ3 tales que

λ1(1− x + x2) + λ2(1 + x − x2) + λ3(1 + x + x2) = 0,

Desarrollar...Algebra lineal Basica

EJEMPLOS

EJEM Determinemos si T = {1− x , 2x − x2,−1+ 2x2, 1+ x + x2} es unconjunto de vectores l .i .


EJEMPLOS


SOL Consideremos la combinacion lineal dada por

λ1(1− x) + λ2(2x − x2) + λ3(−1 + 2x2) + λ4(1 + x + x2) = 0,


EJEMPLOS



λ1(1− x) + λ2(2x − x2) + λ3(−1 + 2x2) + λ4(1 + x + x2) = 0,

Veamos que los escalares λ1, λ2, λ3 y λ4 deben ser cero,


EJEMPLOS



λ1(1− x) + λ2(2x − x2) + λ3(−1 + 2x2) + λ4(1 + x + x2) = 0,

Veamos que los escalares λ1, λ2, λ3 y λ4 deben ser cero,

Desarrollar...



DEF: Diremos que el conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V eslinealmente dependiente (l .d .), si existen escalares λ1, λ2, . . . , λn, notodos cero, tales que

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = 0.




λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = 0.

En caso contrario, diremos que el conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} eslinealmente independiente (l .i .)




λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = 0.

En caso contrario, diremos que el conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} eslinealmente independiente (l .i .) Es decir, si consideramos la combinacionlineal

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = 0,

se tiene que λ1 = λ2 = · · · = λn = 0




λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = 0.

En caso contrario, diremos que el conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vn} eslinealmente independiente (l .i .) Es decir, si consideramos la combinacionlineal

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = 0,

se tiene que λ1 = λ2 = · · · = λn = 0

EJER Determine si los conjuntos de polinomios

S = {1+ x2, 1+ x − x2, 1− x − x2}, T = {1− x , 2x + x2,−1− 2x2}

son conjunto de vectores l .i .


Propiedades de independencia y dependencia lineal

TEO Dado un espacio vectorial V y S un subconjunto de V .

1 Si el vector 0 ∈ S , entonces S es un conjunto l .d ..





2 Si S consta de dos elementos, S es l .d , si y solo si, uno de ellos esun multiplo por escalar del otro.






DEM: (⇒) Sea S = {v1, v2}. Si S es l .d ., entonces ∃λ1, λ2 talesque λ1v1 + λ2v2 = 0, con λi 6= 0 para algun i . SPG, supongamosque λ1 6= 0, ası que v1 =

λ2

λ1v2.






DEM: (⇒) Sea S = {v1, v2}. Si S es l .d ., entonces ∃λ1, λ2 talesque λ1v1 + λ2v2 = 0, con λi 6= 0 para algun i . SPG, supongamosque λ1 6= 0, ası que v1 =

λ2

λ1v2.

(⇐) si v1 = µv2, entonces v1 − µv2 = 0 es un combinacion notrivial, por tanto, S es un conjunto de vectores l .d ..






3 Si S contiene un subconjunto l .d , S es l .d .







DEM: Sea T = {v1, v2, . . . , vk} un subconjunto deS = {v1, v2, . . . , vk , vk+1, . . . , vn}. Si T es l .d ., existenλ1, λ2, . . . , λk no todos 0, tales que λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk = 0.







DEM: Sea T = {v1, v2, . . . , vk} un subconjunto deS = {v1, v2, . . . , vk , vk+1, . . . , vn}. Si T es l .d ., existenλ1, λ2, . . . , λk no todos 0, tales que λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk = 0.Ası que

λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk + 0vk+1 + . . .+ 0vn = 0

y por tanto S es l .d .







4 Si S es l .i , cualquier subconjunto de S es tambien l .i .








DEM: Sea T = {v1, v2, . . . , vk} un subconjunto deS = {v1, v2, . . . , vk , vk+1, . . . , vn}. Si S es l .i . entonces

λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk + λk+1vk+1 + . . .+ λnvn = 0

implica que λ1 = λ2 = . . . = λk = λk+1 = . . . = λn = 0.








DEM: Sea T = {v1, v2, . . . , vk} un subconjunto deS = {v1, v2, . . . , vk , vk+1, . . . , vn}. Si S es l .i . entonces

λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk + λk+1vk+1 + . . .+ λnvn = 0

implica que λ1 = λ2 = . . . = λk = λk+1 = . . . = λn = 0. Enparticular, si λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk = 0, entonces

λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk + 0vk+1 + . . .+ 0vn = 0

⇒ λ1 = λ2 = . . . = λk = 0; por lo tanto T es un conjunto l .i .Algebra lineal Basica


TEO Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores l .i . de un espaciovectorial V

1 Si v ∈ genS , entonces v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn se escribe demanera unica.





2 Si v /∈ genS , entonces el conjunto es {v1, v2, . . . , vn, v} es l .i .






DEM: (1) Si existen dos combinaciones lineales de v, es decir,v = µ1v1 + µ2v2 + . . .+ µnvn y v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn entonces0 = (λ1 − µ1)v1 + (λ2 − µ2)v2 + . . .+ (λn − µn)vn por S ser l .i . tenemosque λ1 − µ1 = λ2 − µ2 = . . . = λn − µn = 0, entonces los escalares sonunicos.






DEM: (1) Si existen dos combinaciones lineales de v, es decir,v = µ1v1 + µ2v2 + . . .+ µnvn y v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn entonces0 = (λ1 − µ1)v1 + (λ2 − µ2)v2 + . . .+ (λn − µn)vn por S ser l .i . tenemosque λ1 − µ1 = λ2 − µ2 = . . . = λn − µn = 0, entonces los escalares sonunicos.(2) Por contradiccion. Supongamos que {v1, v2, . . . , vn, v} es l .d .entonces 0 = λ1v1 + . . .+ λnvn + λn+1v con λn+1 6= 0, pues si λn+1 = 0implicaria que todos los demas son cero pues S es l .i .Entonces podemos despejar v = λ1

λn+1v1 + . . .+ λn

λn+1vn entonces

v ∈ Gen(S) pero esto es un absurdo por la hipotesis.



TEO Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores del espaciovectorial V . Las siguientes proposiciones son equivalentes

1 El conjunto S es l .d .

2 Existe vi ∈ S tal que vi es combinacion lineal del resto de vectoresde S .






3 Existe vi ∈ S tal que genS = {v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn}.







DEM: (1)⇒ (2) Si S es l .d . entonces existen escalares no todos cerotales que 0 = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn supongamos que λi 6= 0 entoncesvi = −λ1

λiv1 − . . .− λi−1

λivi−1 −

λi+1

λivi+1 . . .−

λn

λivn.







DEM: (2)⇒ (3) SPG podemos suponer que vi = v1, esto esv1 = λ2v2 + . . .+ λnvn. Es obvio que Gen({v2, v3, . . . , vn}) ⊆ Gen(S)basta demostrar que Gen(S) ⊆ Gen({v2, v3, . . . , vn}). Para ello, seav ∈ Gen(S) entonces

v = α1v1 + α2v2 + . . .+ αnvn = α1(λ2v2 + . . .+ λnvn) + α2v2 + . . .+ αnvn

= (λ2α1 + α2)v2 + . . .+ (λnα1 + αn)vn







DEM: (3)⇒ (1) SPG podemos suponer que vi = v1, es decir,Gen(S) = Gen({v2, v3, . . . , vn}). Como v1 ∈ S entoncesv1 ∈ Gen(S) = Gen({v2, v3, . . . , vn}) por lo tantov1 = α2v2 + . . .+ αnvn. Ası que v1 − α2v2 − . . .− αnvn =0 luego S esl .d .


Bases y Dimension

DEF Sea B un subconjunto no vacıo del espacio vectorial V. Diremos que B esuna base de V , si y solo si, el conjunto B satisface

1 B es un conjunto linealmente independiente.

2 B es un conjunto generador de V .


Bases y Dimension




EJEM: Determine si B = {e1, e2, . . . , en} es una base de Rn.


Bases y Dimension





EJEM: Determine si B = {1, x , . . . , xn} es una base de Pn.


Bases y Dimension






EJEM: Determine si B = {E11, . . . ,E1n,E21, . . . ,E2n, . . . ,En1, . . . ,Enn} esuna base de Mn×n.


Bases y Dimension







EJEM: Determine si B = {1− x , 1 + x , x2} es una base de P2.


Bases y Dimension








EJEM: Determine si B = {1− x2,−1 + x , x − x2} es una base de P2.


Bases y Dimension








EJEM: Determine si B = {1− x2,−1 + x , x − x2} es una base de P2.

EJEM: Determine si B ={(−1 0

0 1

),

(0 −1−2 0

),

(1 32 1

)}es una

base de M2×2.


Bases y Dimension

PROPIEDADES DE LAS BASES

1 Todo espacio vectorial, excepto V = {0}, tiene al menos una base.


Bases y Dimension



2 Si V tiene un conjunto generador de n elementos, entonces cualquiersubconjunto de V con mas de n elementos es l .d .DEM: Sea T = {v1, . . . , vn} un generador de V y S = {u1, . . . , um} ⊂ V

es l .i . Veamos que m ≤ n. Construyamos el conjunto S1 = T ∪ {u1}.Note que es l.d (pues u1 ∈ V = Gen(T )). Entonces ∃vi que es comb.lineal del resto de S1. SPG supongamos vi = v1 y observe queV = Gen(S1) = Gen(S1\ {v1}). Ahora, construyamosS2 = {u2, u1, v2, v3, . . . , vn} y note que tambien es l .d . entonces ∃vi quees comb. lineal del resto de S2. SPG suponga que vi = v2 y note queV = Gen(S2) = Gen({u2, u1, v3, . . . , vn}) repitiendo el mismo procesopodemos construir Sm = {u1, . . . , um, vm, . . . , vn} el cual serıa l .d .⇒ m ≤ n pues si m > n entonces por ejemplo m = n + 1 y Sn+1 = S esun conjunto l.d. y eso es una contradiccion.


Bases y Dimension



2 Si V tiene un conjunto generador de n elementos, entonces cualquiersubconjunto de V con mas de n elementos es l .d .

3 Un subconjunto de B = {v1, . . . , vn} de V es una base ⇔ si todov = λ1v1 + . . .+ λnvn de forma unica.


Bases y Dimension





4 Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen igual numero deelementos.


Bases y Dimension





4 Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen igual numero deelementos.

DEF Si las bases V tienen n elementos, diremos que la dimension de V es n, loque expresaremos como dim(V ) = n.


Propiedad maximal y minimal de una base

EJEM: dim(Rn) = n, dim(Pn) = n + 1 y dim(Mm×n) = mn.



EJEM: dim(Rn) = n, dim(Pn) = n + 1 y dim(Mm×n) = mn.EJER Determinemos la dimension de V = gen{x − x2, x + x2, x2}.




TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con m elementos.

1 Si S es l .i ., entonces m ≤ n.

2 Si S genera a V , entonces m ≥ n.







OBS: Los recıprocos son falsos. Considere S ={0, 1 + x2

}tiene 2

elementos de P2 y dim(P2) = 3 y S no es l.i. De igual manera, siS =

{x + x2, x2, x , 0

}tiene 4 elementos pero no genera a P2.







OBS: Los recıprocos son falsos. Considere S ={0, 1 + x2

}tiene 2

elementos de P2 y dim(P2) = 3 y S no es l.i. De igual manera, siS =

{x + x2, x2, x , 0

}tiene 4 elementos pero no genera a P2.

TEO Sea V un espacio vectorial de dimension n y S un subconjunto deV con n elementos.

1 Si S es l .i ., entonces S es una base de V .

2 Si S genera a V , entonces S es una base de V .


Construccion de una base


1 Si S es l .i ., podemos encontrar un conjunto T que contiene a S y esuna base de V .





DEM: S es l .i ahora si gen{S} = V ⇒ T = S es una base de V .

Pero, si






Pero, si gen{S} 6= V ⇒ ∃u1 ∈ V tal que u1 /∈ gen{S}. Luego sigen{S , u1} = V ⇒ T = S ∪ {u1} es una base de V pues es l .i .;







Sino, ∃u2 ∈ V tal que u2 /∈ gen{S , u1} luego, si gen{S , u1, u2} = V ,⇒ T = S ∪ {u1, u2} es una base de V pues es l .i .;







Sino, ∃u2 ∈ V tal que u2 /∈ gen{S , u1} luego, si gen{S , u1, u2} = V ,⇒ T = S ∪ {u1, u2} es una base de V pues es l .i .;

Sino, continuamos hasta encontrar un conjuntoT = S ∪ {u1, . . . , uk} que contiene a S , es l .i . ygen{S , u1 . . . , uk} = V . Por tanto, S ∪ {u1 . . . , uk} contiene a S yes una base de V .





2 Si V = genS , entonces podemos encontrar un conjunto T contenidoen S que es una base de V .






DEM: Si S es l .i ., entonces S es una base de V .






DEM: Si S es l .i ., entonces S es una base de V . Pero si S es l .d .,⇒ ∃u1 ∈ S que es combinacion lineal de los otros vectores de S detal manera que si S1 = S − {u1}, genS = genS1.







Si S1 es l .i ., entonces S1 es una base de V .







Si S1 es l .i ., entonces S1 es una base de V . Si S1 es l .d .,⇒ ∃u2 ∈ S1 que es combinacion lineal de los otros vectores de S1de tal manera que si S2 = S − {u1, u2}, genS2 = genS1 = genS .







Si S1 es l .i ., entonces S1 es una base de V . Si S1 es l .d .,⇒ ∃u2 ∈ S1 que es combinacion lineal de los otros vectores de S1de tal manera que si S2 = S − {u1, u2}, genS2 = genS1 = genS .

y continuamos este procedimiento hasta obtener un conjuntoT = Sk que es l .i ., tal que genSk = genS . Este conjunto T = Sk esuna base de V .


Bases

EJEM: Encontremos una base de P2 que contenga a S = {1− x2, 1+2x}

Sean V un espacio vectorial de dimension n y W un subespacio vectorialde V . Entonces,


Bases



1 dimW ≤ n.


Bases



1 dimW ≤ n.

DEM: Sea B una base de W entonces B es un conjunto l .i . de V ,pero sabemos que B tiene a lo sumo n vectores y por tanto,dimW ≤ n.


Bases



1 dimW ≤ n.


Bases



1 dimW ≤ n.

2 Si dimW = n, entonces W = V .


Bases



1 dimW ≤ n.

2 Si dimW = n, entonces W = V .

DEM Si dimW = n y B es una base de W , entonces W = genB yB tiene n vectores l .i . de W y por tanto de V . Pero, B es una basede V , lo que implica que genB = V y por tanto, W = V .


Vector Coordenadas

DEF: Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base (ordenada) del espacio vectorialV. Como para todo v ∈ V , existen escalares unicos λ1, λ2, . . . , λn talesque

v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn


Vector Coordenadas


v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn

Al vector de Rn

[v]B=

λ1

λ2

...λn

lo llamamos vector de coordenadas de v respecto a la base ordenada B.


Vector Coordenadas


v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn

Al vector de Rn

[v]B=

λ1

λ2

...λn


OBS: Calcule el vector de coordenadas de

(

1 00 −1

)

respecto a la base

B ={(

1 01 0

),

(−1 10 0

),

(0 10 1

),

(0 01 1

)}


Vector Coordenadas


v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn

Al vector de Rn

[v]B=

λ1

λ2

...λn


OBS: Calcule el vector de coordenadas de

(

1 00 −1

)

respecto a la base

B ={(

1 01 0

),

(−1 10 0

),

(0 10 1

),

(0 01 1

)}

SOL:[

(

1 00 −1

)

]

B

=(

1 0 0 −1)T


Vector Coordenadas

EJEM: Calculemos p(x), sabiendo que [p(x)]B=

1−13−2

y que

B = {1− x , 2x + x2, x2 − x3, x3 − 1} es una base de P3.


Vector Coordenadas


1−13−2

y que


SOL: por definicion de vector de coordenadas,

p(x) = 1(1− x)− 1(2x + x2) + 3(x2 − x3)− 2(x3 − 1) = 3− 3x + 2x2 − 5x3.


Vector Coordenadas


1−13−2

y que



p(x) = 1(1− x)− 1(2x + x2) + 3(x2 − x3)− 2(x3 − 1) = 3− 3x + 2x2 − 5x3.

CUIDADO CON EL ORDEN DE LA BASE


Vector Coordenadas


1−13−2

y que



p(x) = 1(1− x)− 1(2x + x2) + 3(x2 − x3)− 2(x3 − 1) = 3− 3x + 2x2 − 5x3.


PREG: Sean B = {1− x , 2x + x2, x2 − x3, x3 − 1} yB′ = {2x + x2, x2 − x3, x3 − 1, 1− x} dos bases observe que,p(x) 6= 1(2x + x2)− 1(x2 − x3) + 3(x3 − 1)− 2(1− x). Lo correcto es

p(x) = −1(2x + x2) + 3(x2 − x

3)− 2(x3 − 1) + 1(1− x)


Vector Coordenadas


1−13−2

y que



p(x) = 1(1− x)− 1(2x + x2) + 3(x2 − x3)− 2(x3 − 1) = 3− 3x + 2x2 − 5x3.



p(x) = −1(2x + x2) + 3(x2 − x

3)− 2(x3 − 1) + 1(1− x)

¿[p(x)]B= [p(x)]

B′= (−1 3 − 2 1)T ?


Vector Coordenadas


1−13−2

y que



p(x) = 1(1− x)− 1(2x + x2) + 3(x2 − x3)− 2(x3 − 1) = 3− 3x + 2x2 − 5x3.



p(x) = −1(2x + x2) + 3(x2 − x

3)− 2(x3 − 1) + 1(1− x)

¿[p(x)]B= [p(x)]

B′= (−1 3 − 2 1)T ? NOOOOOOOOO


Vector Coordenadas

TEO: Sean {u1,u2, . . . ,uk} vectores de un espacio vectorial V y B unabase de V . Entonces u = λ1u1 + λ2u2 + . . .+ λkuk si y solo si,

[u]B = λ1[u1]B + . . .+ λk [uk ]B.


Vector Coordenadas


[u]B = λ1[u1]B + . . .+ λk [uk ]B.

DEM Sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base V y supongamos que

[ui ]B =

α1i

α2i

...αni

es decir, ui = α1iv1 + α2iv2 + . . .+ αnivn.


Vector Coordenadas


[u]B = λ1[u1]B + . . .+ λk [uk ]B.


[ui ]B =

α1i

α2i

...αni


Ahora, si

u = λ1u1 + λ2u2 + . . .+ λkuk

= λ1(α11v1 + α21v2 ++αn1vn) + . . .+ λk(α1kv1 + α2kv2 + . . .+ αnkvn)


Vector Coordenadas


[u]B = λ1[u1]B + . . .+ λk [uk ]B.


[ui ]B =

α1i

α2i

...αni


Ahora, si

u = λ1u1 + λ2u2 + . . .+ λkuk

= λ1(α11v1 + α21v2 ++αn1vn) + . . .+ λk(α1kv1 + α2kv2 + . . .+ αnkvn)

= (λ1α11 + λ2α12 + . . .+ λkα1k)v1 + . . .+ (λ1αn1 + λ2αn2 + . . .+ λkαnk)vn.


Vector Coordenadas


[u]B = λ1[u1]B + . . .+ λk [uk ]B.


[ui ]B =

α1i

α2i

...αni


De aquı, que

[u]B=

λ1α11 + λ2α12 + . . .+ λkα1k

...λ1αn1 + λ2αn2 + . . .+ λkαnk


Vector Coordenadas


[u]B = λ1[u1]B + . . .+ λk [uk ]B.


[ui ]B =

α1i

α2i

...αni


De aquı, que

[u]B=

λ1α11 + λ2α12 + . . .+ λkα1k

...λ1αn1 + λ2αn2 + . . .+ λkαnk

= λ1

α11

α21

...αn1

+ . . .+ λk

α1k

α2k

...αnk

= λ1[u1]B + . . .+ λk [uk ]B


Vector Coordenadas

EJEM: Verifiquemos el resultado del teorema, con la combinacion linealde

2x2 − 2x + 9 = 2(x2 − 2x + 1) + 3(x + 2)−1(x − 1),

para las bases B = {1, x , x2} y B′ = {1, 1 + x , 1 + x + x2} de P2. No esdifıcil ver que


Vector Coordenadas


2x2 − 2x + 9 = 2(x2 − 2x + 1) + 3(x + 2)−1(x − 1),


[2x2−2x+9]B =

9−22

, [x2−2x+1]B =

1−21

, [x+2]B =

210

, [x−1]B =

−110


Vector Coordenadas


2x2 − 2x + 9 = 2(x2 − 2x + 1) + 3(x + 2)−1(x − 1),


[2x2−2x+9]B =

9−22

, [x2−2x+1]B =

1−21

, [x+2]B =

210

, [x−1]B =

−110

9−22

= 2

1−21

+ 3

210

− 1

−110


Vector Coordenadas


2x2 − 2x + 9 = 2(x2 − 2x + 1) + 3(x + 2)−1(x − 1),


[2x2−2x+9]B =

9−22

, [x2−2x+1]B =

1−21

, [x+2]B =

210

, [x−1]B =

−110

9−22

= 2

1−21

+ 3

210

− 1

−110

[2x2−2x+9]B′ =

11−42

, [x2−2x+1]B′ =

3−31

, [x+2]B′ =

110

, [x−1]B′ =

−210


Vector Coordenadas


2x2 − 2x + 9 = 2(x2 − 2x + 1) + 3(x + 2)−1(x − 1),


[2x2−2x+9]B =

9−22

, [x2−2x+1]B =

1−21

, [x+2]B =

210

, [x−1]B =

−110

9−22

= 2

1−21

+ 3

210

− 1

−110

[2x2−2x+9]B′ =

11−42

, [x2−2x+1]B′ =

3−31

, [x+2]B′ =

110

, [x−1]B′ =

−210

11−42

= 2

3−31

+ 3

110

− 1

−210


Vector Coordenadas

EJEM: Determine si S =

{(1 00 0

),

(1 1−1 0

),

(−1 00 −1

)}es un

conjunto de matrices l .i .


Vector Coordenadas


{(1 00 0

),

(1 1−1 0

),

(−1 00 −1

)}es un


SOL: Sea B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}la base canonica

de M2×2. Luego,

[(1 00 0

)]

B

= ,


Vector Coordenadas


{(1 00 0

),

(1 1−1 0

),

(−1 00 −1

)}es un


SOL: Sea B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}la base canonica

de M2×2. Luego,

[(1 00 0

)]

B

=

1000

, ,


Vector Coordenadas


{(1 00 0

),

(1 1−1 0

),

(−1 00 −1

)}es un


SOL: Sea B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}la base canonica

de M2×2. Luego,

[(1 00 0

)]

B

=

1000

,

[(1 1−1 0

)]

B

=

11−10

,


Vector Coordenadas


{(1 00 0

),

(1 1−1 0

),

(−1 00 −1

)}es un


SOL: Sea B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}la base canonica

de M2×2. Luego,

[(1 00 0

)]

B

=

1000

,

[(1 1−1 0

)]

B

=

11−10

,

[(−1 00 −1

)]

B

=

−100−1


Vector Coordenadas


{(1 00 0

),

(1 1−1 0

),

(−1 00 −1

)}es un


SOL: Sea B =

{(1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}la base canonica

de M2×2. Luego,

[(1 00 0

)]

B

=

1000

,

[(1 1−1 0

)]

B

=

11−10

,

[(−1 00 −1

)]

B

=

−100−1

Ahora como los vectores coordenados son l .i entonces S es l .i .


Matriz de transicion

TEO: Sean B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ = {u1,u2, . . . ,un} bases de unespacio vectorial V y sea P la matriz de tamano n × n, cuyas columnasson los vectores de coordenadas de v1, v2, . . . , vn respecto a la base B′ esdecir,

P =[[v1]

B′

[v2]B

′. . . [vn]

B′

].

Entonces, para cada vector v ∈ V , [v]B′ = P[v]B. A la matriz P lallamamos matriz de transicion de B a B′




P =[[v1]

B′

[v2]B

′. . . [vn]

B′

].


DEM: Sea v ∈ V . Como B genera a V , existen escalares λ1, λ2, . . . , λn

tales que v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn.




P =[[v1]

B′

[v2]B

′. . . [vn]

B′

].



tales que v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λnvn. Luego

[v]B′ = λ1[v1]B′ + . . .+ λn[vn]B′

=




P =[[v1]

B′

[v2]B

′. . . [vn]

B′

].




[v]B′ = λ1[v1]B′ + . . .+ λn[vn]B′

=[[v1]

B′

[v2]B

′. . . [vn]

B′

]λ1

...λn




P =[[v1]

B′

[v2]B

′. . . [vn]

B′

].




[v]B′ = λ1[v1]B′ + . . .+ λn[vn]B′

=[[v1]

B′

[v2]B

′. . . [vn]

B′

]λ1

...λn

= P [v]

B


Unicidad e invertibilidad de la matriz de transicion

TEO: Sean B = {v1, v2, . . . , vn} y B′ = {u1,u2, . . . ,un} bases de unespacio vectorial V y sea P la matriz de transicion de la base B a la baseB′. Es decir,

P =[[v1]

B′

[v2]B

′. . . [vn]

B′

].




P =[[v1]

B′

[v2]B

′. . . [vn]

B′

].

(a) Si existe otra matriz P ′ tal que [v]B′ = P ′[v]B, entonces P = P ′.




P =[[v1]

B′

[v2]B

′. . . [vn]

B′

].


(b) La matriz de transicion P es invertible y P−1 es la matriz detransicion de la base B′ a la base B.




P =[[v1]

B′

[v2]B

′. . . [vn]

B′

].



DEM (b): Sabiendo que B = {v1, v2, . . . , vn} es una base de V, entonces,

P =[[v1]

B′

[v2]B

′· · · [vn]

B′

]es invertible, pues los vectores columna

de P es una base de Rn.




P =[[v1]

B′

[v2]B

′. . . [vn]

B′

].



DEM (b): Sabiendo que B = {v1, v2, . . . , vn} es una base de V, entonces,

P =[[v1]

B′

[v2]B

′· · · [vn]

B′

]es invertible, pues los vectores columna

de P es una base de Rn.

De otro lado, como [v]B′ = P[v]B, entonces

P−1 [v]B′ = [v]B

para todo v ∈ V . Por la unicidad de la matriz de transicion, podemosconcluir que P−1 es la matriz de transicion de la base B′ a la base B.


EJEMPLOS

EJEM: Sean B = {1, 1 + x , 1 + x + x2} y B′ = {1, x , x2} base de P2.Encontremos las matrices de transicion de una base a la otra.

SOL:


EJEMPLOS


SOL:

[1]B′ =

100

, [1 + x ]B′ =

110

, [1 + x + x2]B′ =

111

,


EJEMPLOS


SOL:

[1]B′ =

100

, [1 + x ]B′ =

110

, [1 + x + x2]B′ =

111

,

la matriz de transicion de B a B′ es P =

(1 1 10 1 10 0 1

).


EJEMPLOS


SOL:

[1]B′ =

100

, [1 + x ]B′ =

110

, [1 + x + x2]B′ =

111

,


(1 1 10 1 10 0 1

). Calculemos, la

matriz de transicion de B′ a B,...


EJEMPLOS


SOL:

[1]B′ =

100

, [1 + x ]B′ =

110

, [1 + x + x2]B′ =

111

,


(1 1 10 1 10 0 1

). Calculemos, la

matriz de transicion de B′ a B,...

P ′ =

(1 −1 00 1 −10 0 1

)

Podemos verificar que PP ′ = I , asi que P−1 = P ′


Rango y Nulidad de una Matriz

DEF: Dada una matriz A, definimos ν(A), la nulidad de A, como ladimension del espacio nulo de A. ν(A) = dim(NA)




DEF: Dada una matriz A, definimos ρ(A), el rango de A, como ladimension del espacio columna de A. ρ(A) = dim(CA)





EJEM: Determinemos la nulidad ν y el rango ρ de las matrices

A =

1 1 12 3 11 −1 −2

B =

1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8






A =

1 1 12 3 11 −1 −2

B =

1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8

SOL:La matriz escalonada de A es U =

1 1 10 1 −10 0 −5

, y por tanto, el

sistema Ax = b tiene solucion unica para todo b.






A =

1 1 12 3 11 −1 −2

B =

1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8

SOL:La matriz escalonada de A es U =

1 1 10 1 −10 0 −5

, y por tanto, el

sistema Ax = b tiene solucion unica para todo b. Entonces, ν(A) = 0 yel ρ(A) = 3.






A =

1 1 12 3 11 −1 −2

B =

1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8






A =

1 1 12 3 11 −1 −2

B =

1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8

La matriz escalonada equivalente al sistema Bx = c es

U =

1 −2 1 1 c10 4 0 −4 c2 − 2c10 0 0 0 c3 − 2c2 + 4c1

,






A =

1 1 12 3 11 −1 −2

B =

1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8

La matriz escalonada equivalente al sistema Bx = c es

U =

1 −2 1 1 c10 4 0 −4 c2 − 2c10 0 0 0 c3 − 2c2 + 4c1

, Halle NB , CB , ν y ρ??






A =

1 1 12 3 11 −1 −2

B =

1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8






A =

1 1 12 3 11 −1 −2

B =

1 −2 1 12 0 2 −20 8 0 −8

OBS: Para determinar el nucleo o el rango de una matriz, podemosobservar que la nulidad de una matriz coincide con el numero de variableslibres y que el rango coincide con el numero de variables pivotales, Asi que

ν(A) + ρ(A) = #variables



Base de CA

TEO: Dada una matriz A, las columnas de A correspondientes a lascolumnas pivotales de una forma escalonada equivalente forman una basede CA.



Base de CA


DEM: Si Am×n = [a1 a2 · · · an] y sea U = [b1 b2 · · · bn] una matrizequivalente, obtenida del metodo de eliminacion de Gauss.



Base de CA



Observe, si {bi1,bi

2, . . . ,bi

k} son las columnas pivotales de U, entonces

{bi1,bi

2, . . . ,bi

k} es l .i . y por tanto {ai

1, ai

2, . . . , ai

k} son l .i .



Base de CA



Observe, si {bi1,bi

2, . . . ,bi


{bi1,bi

2, . . . ,bi


1, ai

2, . . . , ai

k} son l .i .

Luego, si consideramos el conjunto {bi1,bi

2, . . . ,bi

k,bi

j}, con

j 6= 1, 2, . . . , k , el cual es l .d . y, por tanto {ai1, ai

2. . . , ai

k, ai

j} tambien

es l .d .. Pero, gen{ai1, ai

2. . . , ai

k, ai

j} = gen{ai

1, ai

2. . . , ai

k}.



Base de CA



Observe, si {bi1,bi

2, . . . ,bi


{bi1,bi

2, . . . ,bi


1, ai

2, . . . , ai

k} son l .i .

Luego, si consideramos el conjunto {bi1,bi

2, . . . ,bi

k,bi

j}, con

j 6= 1, 2, . . . , k , el cual es l .d . y, por tanto {ai1, ai

2. . . , ai

k, ai

j} tambien

es l .d .. Pero, gen{ai1, ai

2. . . , ai

k, ai

j} = gen{ai

1, ai

2. . . , ai

k}.

Ahora, si continuamos adjuntando el resto de vectores columna de A,siempre obtenemos que gen{a1, a2, . . . , an} = gen{ai

1, ai

2, . . . , ai

k}. Ası

que {ai1, ai

2, . . . , ai

k} es l.i. y genera el CA es decir, es una base de CA.



La base de CA esta formada por columnas de A y no por columnas de lamatriz escalonada U. OJO: El teorema no esta diciendo que sea el unicoconjunto de columnas que sea base de CA




EJEM: Encontremos una base de

V = gen

1−112

,

−10−2−1

,

2151

,

124−1

,

3390





V = gen

1−112

,

−10−2−1

,

2151

,

124−1

,

3390

SOL: Aquı A =

1 −1 2 1 3−1 0 1 2 31 −2 5 4 92 −1 1 −1 0

y U =

1 −1 2 1 30 −1 3 3 60 0 0 0 00 0 0 0 0

Halle dos bases diferentes de CA





V = gen

1−112

,

−10−2−1

,

2151

,

124−1

,

3390

SOL: Aquı A =

1 −1 2 1 3−1 0 1 2 31 −2 5 4 92 −1 1 −1 0

y U =

1 −1 2 1 30 −1 3 3 60 0 0 0 00 0 0 0 0


EJEM: Encontremos una base de P2 contenida en{1− x , x − 2x2,−2 + 2x , 1− 2x2, 1 + x − x2}.





V = gen

1−112

,

−10−2−1

,

2151

,

124−1

,

3390

SOL: Aquı A =

1 −1 2 1 3−1 0 1 2 31 −2 5 4 92 −1 1 −1 0

y U =

1 −1 2 1 30 −1 3 3 60 0 0 0 00 0 0 0 0


EJEM: Encontremos una base de P2 contenida en{1− x , x − 2x2,−2 + 2x , 1− 2x2, 1 + x − x2}.

SOL: Si B es la base canonica de P2, entonces [1− x ]B=??


Relacion Nulidad y Rango de una matriz

TEO: Dada una matriz A de tamano m × n, ν(A) + ρ(A) = n.




CORO: Dada una matriz Am×n, su nulidad, ν es igual al numero devariables libres del sistema Ax = 0.





EJEM: Si tenemos un sistema de 15 ecuaciones con 20 incognitas, quepodemos decir de las soluciones del sistema, si sabemos que el espacionulo tiene dimension 5?.





EJEM: Si tenemos un sistema de 15 ecuaciones con 20 incognitas, quepodemos decir de las soluciones del sistema, si sabemos que el espacionulo tiene dimension 5?. R/ Puesto que ν(A) = 5, ρ(A) = 20− 5 = 15.Como, CA ⊆ R

15 y ρ(A) = 15, entonces, CA = R15.







DEF: Dada una matriz Am×n, definimos FA, el espacio fila de A, como elespacio generado por los vectores formados por las filas de A.








EJEM: Dada la matriz A =

2 −1 0 24 −1 −3 30 1 −3 −1

encontremos una base

de FA y su dimension.








EJEM: Dada la matriz A =

2 −1 0 24 −1 −3 30 1 −3 −1

encontremos una base

de FA y su dimension. dim(FA) = 2


Relacion CA y FA

TEO: Dada cualquier matriz A, dimCA = dimFA.


Relacion CA y FA


RESUMEN I

TEO: Dada cualquier matriz Am×n, Entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes.

El numero de pivotes de la forma escalonada de A es n.Los vectores columna de A forman un conjunto l .i .ρ(A) = n

dimCA = n.ρ(AT ) = n

dimFA = n.ν(A) = 0.NA = {0}.El sistema Ax = 0 tiene solo la solucion trivial.


Relacion CA y FA


RESUMEN II

TEO: Dada cualquier matriz Am×n, Entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes.

El numero de pivotes de la forma escalonada de A es m.Los vectores columna de A generan a R

m

ρ(A) = m

dimCA = m.ρ(AT ) = m

dimFA = m.Cada fila de la forma escalonada de A contiene un pivote.ν(A) = n −m.El sistema Ax = b tiene solucion para todo b.


Relacion CA y FA


RESUMEN III

TEO: Dada cualquier matriz An×n, Entonces las siguientes afirmacionesson equivalentes.

El numero de pivotes de la forma escalonada de A es n.Los vectores columna de A generan a R

n, son l .i . y base de Rn

ρ(A) = n

dimCA = n.dimFA = n.Cada fila de la forma escalonada de A contiene un pivote.ν(A) = 0.El sistema Ax = b tiene solucion unica para todo b.La matriz A es invertible.detA 6= 0


Bases Ortonormales en Rn

DEF Un conjunto de vectores S = {v1, v2, . . . , vk} de Rn es ortonormal,

si y solo si,

vi · vj =

{1 si i = j

0 si i 6= j




si y solo si,

vi · vj =

{1 si i = j

0 si i 6= j

TEO: Si B = {v1, v2, . . . , vk} es una base ortogonal (ortonormal) V deR

n y u esta en V , entonces u = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , donde

λi =u · vivi · vi

para i = 1, 2, . . . , k .




si y solo si,

vi · vj =

{1 si i = j

0 si i 6= j

TEO: Si B = {v1, v2, . . . , vk} es una base ortogonal (ortonormal) V deR

n y u esta en V , entonces u = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , donde

λi =u · vivi · vi

para i = 1, 2, . . . , k .

DEF: Un vector u ∈ Rn es ortogonal a un subespacio S de R

n, si y solosi, el vector u es ortogonal a todos y cada uno de los vectores delsubespacio S ; es decir,

u · v = 0 para todo v ∈ S


Ortogonalidad

TEO: Un vector u ∈ Rn es ortogonal al subespacio

S = gen{v1, v2, . . . , vk}, si y solo si, el vector u es ortogonal a losvectores v1, v2, . . . , vk


Ortogonalidad



DEM (⇒) Si el vector u es ortogonal a S , entonces, u es ortogonal atodos los vectores de S , y en particular, u es ortogonal a vi parai = 1, 2, . . . k .


Ortogonalidad




(⇐) Si u es ortogonal a v1, v2, . . . , vk , entonces u · vi = 0 parai = 1, 2 . . . k .

.


Ortogonalidad




(⇐) Si u es ortogonal a v1, v2, . . . , vk , entonces u · vi = 0 parai = 1, 2 . . . k . Ahora, si v ∈ S , ⇒ ∃αi ∈ R tales que

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk ,

por lo tanto,

u · v = α1u · v1 + α2u · v2 + · · ·+ αku · vk = 0.

Es decir, u es ortogonal a todo v ∈ S .


Ortogonalidad




(⇐) Si u es ortogonal a v1, v2, . . . , vk , entonces u · vi = 0 parai = 1, 2 . . . k . Ahora, si v ∈ S , ⇒ ∃αi ∈ R tales que

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk ,

por lo tanto,

u · v = α1u · v1 + α2u · v2 + · · ·+ αku · vk = 0.

Es decir, u es ortogonal a todo v ∈ S .

EJER: Verifique que u = (−1 − 1 2)T es ortogonal al planoP = {(x y z)T : x + y − 2z = 0, x , y , z ∈ R}.


Proyeccion ortogonal sobre un subespacio

TEO: Sean S un subespacio de Rn y u un vector arbitrario de R

n.Entonces, existe un unico vector v ∈ S tal que

uc = u− v es ortogonal al subespacio S o uc = 0.

‖uc‖ ≤ ‖u− y‖ para todo y ∈ S .

Al vector uc lo llamamos la componente de u ortogonal a S y al vectorv = ProySu, la proyeccion ortogonal de u en S .








DEM (a): Sean v1, v2, . . . , vk una base de S y A = [v1 v2 · · · vk ].Algebra lineal Basica







DEM (a): Sean v1, v2, . . . , vk una base de S y A = [v1 v2 · · · vk ].








DEM (a): Sean v1, v2, . . . , vk una base de S y A = [v1 v2 · · · vk ]. Laexistencia de ProySu := v ∈ S es equivalente a demostrar la existenciade un vector x tal que Ax = v, esto equivale a que ∃αi ∈ R, tales quev = α1v1 + α2v2 + ...+ αkvk .









Ahora, uc = u− v = u− Ax es ortogonal a S , si y solo si,

vi · (u− Ax) = 0 ∀ i ⇔ AT · (u− Ax) = 0 ⇔ ATAx = ATu.









Ahora, uc = u− v = u− Ax es ortogonal a S , si y solo si,

vi · (u− Ax) = 0 ∀ i ⇔ AT · (u− Ax) = 0 ⇔ ATAx = ATu.

Pero, como ATA es invertible (Ejercicio 18), entonces ATAx = ATu

tiene solucion unica y por tanto, v = Ax es el unico vector tal queuc = u− v es ortogonal a S .








DEM (b): Sea y un vector arbitrario de S . Como ProySu ∈ S , entoncesProySu− y ∈ S .








DEM (b): Sea y un vector arbitrario de S . Como ProySu ∈ S , entoncesProySu− y ∈ S . Ası,

‖u− y‖ = ‖u− ProySu+ ProySu− y‖ = ‖uc + ProySu− y‖










Como uc es ortogonal a S , en particular, uc es ortogonal a ProySu− y.Asi que, por el Teorema de Pitagoras,

‖u− y‖2 = ‖uc‖2 + ‖ProySu− y‖2.










Como uc es ortogonal a S , en particular, uc es ortogonal a ProySu− y.Asi que, por el Teorema de Pitagoras,

‖u− y‖2 = ‖uc‖2 + ‖ProySu− y‖2.

De donde concluimos que ‖u− y‖2 ≥ ‖uc‖2








Si u es ortogonal a S , entonces ProySu = 0 y uc = u;








Si u es ortogonal a S , entonces ProySu = 0 y uc = u; y si u ∈ S ,entonces ProySu = u y uc = 0.



EJEM: Encontremos la proyeccion ortogonal de u = (1 − 1 0 2)T en elhiperplano

H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R

}.

y calcule la distancia de u al hiperplano H.




H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R

}.


SOL: Hallemos una base de H,




H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R

}.


SOL: Hallemos una base de H, B = {v1, v2, v3} conv1 = (1 0 1 0)T , v2 = (0 1 0 0)T y v3 = (0 0 1 1)T es una base de H.




H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R

}.



Por el Teorema, ProyHu = v,




H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R

}.



Por el Teorema, ProyHu = v, pero v = Ax donde A = [v1 v2 v3] y x esla solucion de ATAx = ATu.




H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R

}.



Por el Teorema, ProyHu = v, pero v = Ax donde A = [v1 v2 v3] y x esla solucion de ATAx = ATu. Observe que

ATA =

2 0 10 1 01 0 2

ATu =

1−12




H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R

}.




ATA =

2 0 10 1 01 0 2

ATu =

1−12

usando Eliminacion Gauss al sistema ampliado,(2 0 1 10 1 0 −11 0 2 2

)≈

(2 0 1 10 1 0 −10 0 −3 −3

).




H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R

}.




ATA =

2 0 10 1 01 0 2

ATu =

1−12


)≈

(2 0 1 10 1 0 −10 0 −3 −3

). De aquı, obtenemos que la

solucion de ATAx = ATu es:x =




H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R

}.




ATA =

2 0 10 1 01 0 2

ATu =

1−12


)≈

(2 0 1 10 1 0 −10 0 −3 −3


solucion de ATAx = ATu es:x = (0 − 1 1)T y ProyHu = v = Ax =




H ={(x y z w)T , x − z + w = 0, x , y , z ,w ∈ R

}.




ATA =

2 0 10 1 01 0 2

ATu =

1−12


)≈

(2 0 1 10 1 0 −10 0 −3 −3


solucion de ATAx = ATu es:x = (0 − 1 1)T y ProyHu = v = Ax = (0 − 1 1 1)T .


Proceso de ortogonalizacion de Gram-Schmidt

TEO: Todo subespacio S de Rn, S 6= {0}, tiene al menos una base

ortonormal.




ortonormal.

Poner atencion al PROFESOR...




ortonormal.




ortonormal.

CONCLUSION: Dada una base B = {v1, v2, . . . , vk} de S . Podemosconstruir un base ortogonal B′ = {u1,u2, . . . ,uk} de S , definiendo a uiasi:

ui = vi −

(vi · u1u1 · u1

u1 +vi · u2u2 · u2

u2 + · · ·+vi · ui−1

ui−1 · ui−1

ui−1

)




ortonormal.


ui = vi −

(vi · u1u1 · u1

u1 +vi · u2u2 · u2

u2 + · · ·+vi · ui−1

ui−1 · ui−1

ui−1

)

EJEM: Construya una base ortogonal y otra ortonormal de

B ={(1 0 1 0)T , (0 1 0 0)T , (0 0 1 1)T

}




ortonormal.


ui = vi −

(vi · u1u1 · u1

u1 +vi · u2u2 · u2

u2 + · · ·+vi · ui−1

ui−1 · ui−1

ui−1

)

EJEM: Construya una base ortogonal y otra ortonormal de

B ={(1 0 1 0)T , (0 1 0 0)T , (0 0 1 1)T

}

SOL: Claramente la base ortogonal es: u1 = v1 = (1 0 1 0)T

u2 = v2 −v2 · u1u1 · u1

u1 = (0 1 0 0)T

u3 = v3 −v3 · u1u1 · u1

u1 −v3 · u2u2 · u2

u2 =1

2(−1 0 1 2)T


Factorizacion QR

TEO: Dada Am×n, con columnas l .i ., existe una matriz Qm×n, cuyascolumnas son o.n, y una matriz triangular superior Rn×n tales queA = QR


Factorizacion QR


DEM: Sea A = [a1 a2 · · · an], cuyas columnas aj son l .i . Claramente,{a1, a2, · · · , an} es una base de CA.


Factorizacion QR


DEM: Sea A = [a1 a2 · · · an], cuyas columnas aj son l .i . Claramente,{a1, a2, · · · , an} es una base de CA. Del proceso de Gram-Schmidt, existe{u1,u2, . . . ,un}, una base ortogonal de CA, tal que u1 = a1 y

ui = ai −

(ai · u1u1 · u1︸︷︷︸

β1

u1 +ai · u2u2 · u2︸︷︷︸

β2

u2 + · · ·+ai · ui−1

ui−1 · ui−1︸︷︷︸βi−1

ui−1

)


Factorizacion QR


DEM: Sea A = [a1 a2 · · · an], cuyas columnas aj son l .i . Claramente,{a1, a2, · · · , an} es una base de CA. Del proceso de Gram-Schmidt, existe{u1,u2, . . . ,un}, una base ortogonal de CA, tal que u1 = a1 y

ui = ai −

(ai · u1u1 · u1︸︷︷︸

β1

u1 +ai · u2u2 · u2︸︷︷︸

β2

u2 + · · ·+ai · ui−1

ui−1 · ui−1︸︷︷︸βi−1

ui−1

)

Reescribiendo esto tenemos,

ai = β1u1 + β2u2 + · · ·+ βi−1 ui−1 + 1ui = [u1 u2 · · · un]

β1

...βi−1

10...0


Factorizacion QR


DEM: Sea A = [a1 a2 · · · an], cuyas columnas aj son l .i . Claramente,{a1, a2, · · · , an} es una base de CA. Del proceso de Gram-Schmidt, existe{u1,u2, . . . ,un}, una base ortogonal de CA, tal que u1 = a1 yReescribiendo esto tenemos,


β1

...βi−1

10...0


Factorizacion QR




β1

...βi−1

10...0

[a1 · · · an]︸︷︷︸A

= [u1 · · · un]︸︷︷︸Q

1 β1 β1 · · · β1

0 1 β2 · · · β2

0 0 1 · · ·. . . βn−1

· · · 1


Factorizacion QR




β1

...βi−1

10...0

[a1 · · · an]︸︷︷︸A

= [u1 · · · un]︸︷︷︸Q

1 β1 β1 · · · β1

0 1 β2 · · · β2

0 0 1 · · ·. . . βn−1

· · · 1

Entonces A = QR . Las matrices que buscamos son: Q = QD−1,R = DR donde D = diag(‖u1‖, . . . , ‖un‖), la cual es invertible, ya que{u1,u2, . . . ,un} es ortogonal.


Factorizacion QR




β1

...βi−1

10...0

[a1 · · · an]︸︷︷︸A

= [u1 · · · un]︸︷︷︸Q

1 β1 β1 · · · β1

0 1 β2 · · · β2

0 0 1 · · ·. . . βn−1

· · · 1

Entonces A = QR . Las matrices que buscamos son: Q = QD−1,R = DR donde D = diag(‖u1‖, . . . , ‖un‖), la cual es invertible, ya que{u1,u2, . . . ,un} es ortogonal. QTQ = I , R es Trian. Sup y A = QR


EJEMPLO QR

EJEM: Calculemos la factorizacion QR de la matriz A =

2 2 0−2 0 60 2 01 5 3


EJEMPLO QR


2 2 0−2 0 60 2 01 5 3

SOl: Del Proceso Gram-Schmidt obtenemos u1 = (2 − 2 0 1)T ,u2 = (0 2 2 4)T y u3 = (2 2 − 2 0)T base ortogonal de CA.


EJEMPLO QR


2 2 0−2 0 60 2 01 5 3

SOl: Del Proceso Gram-Schmidt obtenemos u1 = (2 − 2 0 1)T ,u2 = (0 2 2 4)T y u3 = (2 2 − 2 0)T base ortogonal de CA. Tomando,

Q = [u1 u2 u3], y R =

(1 1 −10 1 10 0 1

)y

D =

(‖u1‖ 0 00 ‖u2‖ 00 0 ‖u3‖

)=

3 0 0

0 2√6 0

0 0 2√3


EJEMPLO QR


2 2 0−2 0 60 2 01 5 3

SOl: Del Proceso Gram-Schmidt obtenemos u1 = (2 − 2 0 1)T ,u2 = (0 2 2 4)T y u3 = (2 2 − 2 0)T base ortogonal de CA. Tomando,

Q = [u1 u2 u3], y R =

(1 1 −10 1 10 0 1

)y

D =

(‖u1‖ 0 00 ‖u2‖ 00 0 ‖u3‖

)=

3 0 0

0 2√6 0

0 0 2√3

entonces A = QR ,

donde Q = QD−1 =[ u1

‖u1‖

u2

‖u2‖

u3

‖u3‖

]=

2/3 0 1/√3

−2/3 1/√6 1/

√3

0 1/√6 −1/

√3

1/3 2/√6 0

y

R = DR =

3 3 −3

0 2√6 2

√6

0 0 2√3

.


def: sea v · los elementos del conjunto v, especiﬁcar las operaciones + y α y veriﬁcar los 10...

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