NOTAS DEL CURSO DE ALGEBRA

PROFESOR: ING. LUIS CÉSAR VÁZQUEZ SEGOVIA.

TEMARIO:

NÚMEROS REALES

NÚMEROS COMPLEJOS C

POLINOMIOS

SISEMAS DE ECUACIONES LINEALES

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

NÚMEROS REALES (+, •)

1. IRRACIONALES Q’ 2. RACIONALES Q

3. ENTEROS Z

4. NATURALES N

NÚMEROS COMPLEJOS (+, •)

DIAGRAMA DE ARGAND

POLINOMIOS P (DIVISIÓN SINTETICA, +, • ).

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (METODO DE GAUSS

MODELADO)

MATRICES Y DETERMINANTES (ARREGLO RECTANGULAR DE

NÚMEROS, CALCULAR AREAS).

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS (NOMBRES DE OPERACIONES)

x²+1=0 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

“N” ECUACIONES

ALGEBRA ( +, • ) C (+, •) “N” INCOGNITAS

Z=a+bi

Q’ Q Z N POLINOMIOS

(P, +, •)

MATRICES Y

DETERMINANTES

METODO

DE GAUSS

MODELADO

TEMA I: NÚMEROS REALES

Contar: comparar contra un patrón de referencia

Numeral: símbolo con el que se representa un número (constructo mental, 1, 2, I,

II).

Números naturales: aquellos que nos sirve para contar

Postulado: es una verdad evidente que no necesita demostración.

Subconjunto impropio: Cuando se contienen todos los elementos del conjunto.

1,2,3,.....,N n

Adición en N

1) 1n n

2) ( )m n m n siempre y cuando m n este definido

Definición

El conjunto de los números naturales (N) tal que:

a) 1 є N

b) Para cada n Є N existe n* Є N, llamado el siguiente de n

c) Para cada n Є N se tiene n*, n* es diferente de uno.

d) Si m, n Є N y m* = n*, entonces m = n

e) Todo subconjunto S de los N que tenga propiedades:

1. 1 Є S

2. K Є S implica que k* Є S, entonces S es el mismo conjunto de los N

Ejemplo:

2 2 4

2 2 (2 1) 2 1

2 2 (2 1) (2 )

4 ((1 ) )

Diferencia

Orden en N

Gráfica

n < m

Números enteros ( )

Definición

Sea la ecuación n + x = m; con m y n Є N, su solución, es decir al número x que sumado

a n nos da como resultado m, lo llamaremos diferencia m-n.

n + x = m

x = m - n

Definición

Dados dos números naturales n y m, decimos que n es menor que m, lo que representamos

mediante n m , si existe x tal que:

n + x = m

n < m x <= m - n

, ,a m n donde m na

n x m

( )( )( ) 0

si m n si m nn m x m n postulado positivo

x m n negativos si x

Algoritmo de la división en

a rc

b b

0

a bc n

b

a dividendo

b divisor

r resultado

NÚMEROS RACIONALES

= {p a

p b ,donde ,a b Z y 0b }

El cociente de dos números enteros.

ORDEN EN

,p q

p < q

AXIOMAS DE ORDEN EN

1. .- Cancelación: , ,

,

p q p q

p c q c c

2. Tricotomía: ,p q

p q

p q

q p

Si p q p q c

Si 0c p c q c

*El sentido de la igualdad cambia si se multiplica por un número negativo.

3.-Transitividad: si a b y b c entonces a b c por lo tanto a c .

Teorema de densidad en los racionales

Entre cualquier par de números racionales existe otro número racional.

,x y , con x y , existe z tal que:

x z y

Demostración:

Sea , ,x y x y

Cancelación Transitividad

x x x y x y 2

x yx y

1 12 ( )( )2 2

x y x y x y y

2

x yx 1 12

2 2y x y

2

y xz x z y

2

y xy

Números irracionales Q

Q= ALGEBRAICAS

TRASCENDENTES

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

1,3,5,7,9,...

{ 2 1,x n n Nx

}

21 3 4 2

21 3 5 9 3

21 3 5 7 16 4

21 3 5 7 9 25 5

21 3 5 7 9 ........2 ......n n

dada una proposición S = { n Nn

, p(n) verdadera}

1n

n k Hipótesis de verdad.

Para 1n k k Demostrar.

Ejemplo:

Determinar utilizando inducción matemática que 21 3 5 2 1 ,n n n es

verdadera, n :

Solución:

Para 1n

2(1) 1 1

2 1 1

1 1

Para 22n

21 3 2

4 4

Para n k

22 1 ........( )k k I Hipótesis verdadera.

Para 1n k k

21 3 5 ... 2( 1) 1 ( 1) ........( )k k II Demostrar

a la expresión (I) le sumamos el término siguiente para obtener (II)

21 3 5 ... 2 1k k

21 3 5 ...2 1 2 1 2 1k k k k Se factoriza y se compara con (II)

21 3 5 ... 2 1 ( 1) ........( )k k III y como (I) y (II) son iguales la proposición

p(n) es verdadera V n Є N.

Ejemplo:

Determinar por inducción matemática la validez de la siguiente proposición.

11 2 4 ... 2 2 1n n para 0n

Solución:

Para 0n

0 0 12 2 1

1 1 se cumple.

Para 1n

0 1 1 12 2 2 1

3 3 se cumple

Para n k

11 2 4 ... 2 2 1kk .............. (I) Hipótesis verdadera.

Para 1n k

11 2 4 ... 2 2 1kk ............ (II) Demostrar

a la expresión (I) le sumamos el término siguiente para obtener (III)

1 11 2 4 ... 2 2 1 2k k k

1 21 2 4 ... 2 2 1k k ............... (III)

Comparando (II) y (III), como son iguales se dice que la proposición en valida para

toda 0n .

Ejemplo:

Determinar por inducción matemática la validez de la siguiente proposición:

2n n es un número par para toda n N

Solución:

2n n par

Para 1n

21 1 2 es par

Para n k

2k k par .................... (I) Hipótesis verdadera

Para 1n k

2( 1) ( 1)k k par .......................... (II) Demostrar

2 2( 1) ( 1) 2 1 1k k k k k

2 2 2( ) 2 2 ( 1) ( 1) ( ) 2( 1)k k k k k k k k

hipótesis es par

verdadera demostrado

por lo tanto ( )p n es verdadera n .

Expresión de números racionales :

Cociente de un número entero:

1 1 5 1, , ,

4 3 2 25

Como expresión periódica:

.33333

.66666

4.1243567

15.00

Ejemplo:

Determinar la expresión como cociente de dos números enteros de los siguientes

números racionales:

.33333

4.124

n

p

100 33.33

10 3.33

90 30.00

n

n

n

1000,000 4,123756.756

1,000 4124.756756

999,000 4120632.000

p

p

p

30 10.9999

90 3n

4120632

999,000p

Igualdad en Q:

Conjunto de los números reales ( , , )

Adición

Definición

Sea a c

yb d

números racionales, se dice que a c

b d si y solo si ad bc

Sean , ,a b c

1.- Cerradura.- Aplicar una operación binaria y que el resultado dé un número del

mismo conjunto.

a b c R

2.- Asociatividad.- Lleva implícita la cerradura.

( ) ( )a b c a b c

3. Conmutatividad.-

a b b a

4.- Existencia de elemento idéntico:

a e a

0e a a

5.- Existencia de elementos inversos.

0b b 0b b b b

( ) 0b b

Multiplicación:

1.- Cerradura.- a b c

2.- Asociatividad.- ( ) ( )a b c a b c

3.- Conmutatividad.- a b b a

4.- Existencia de elemento idéntico.- a i a 1i 1a a

5.- Existencia de elementos inversos.- 1a a 1

aa

0a

Distributividad:

( ) ( ) ( )a b c a b a c

( ) ( ) ( )b c a b a c a

( ) ( )a b c b c a

( , , ) Son un campo ó cuerpo porque se cumplen todas las reglas en adición y

multiplicación y tiene distributividad.

Axioma de orden en

a < b

, ,a b c

1.- Cancelación si a b

a c b c

2.- Tricotomía ,

a b

a b a b

b a

3.- Producto

a b

i) 0c (positivo)

ac bc (se conserva)

ii) 0c (negativo)

ac bc (se invierte)

4.- Transitividad.- relaciona dos desigualdades

a b b c a b c a c

Desigualdades

7 5

3 2 5x

si 0 2 5x

si 2 14 56x

si 1 5 6x

x = # de playeras

y = ganancia

xx 7020040

xx 4070200

x30200

x30

200 66.6x Aproximadamente 7

Solución: vender 7 playeras ó más.

Ejemplo:

Determinar los valores de x tal que satisfaga la desigualdad.

a) 423x

24223x

2x

o

2

Intervalo solución ( -

b) –5< 4-3x < 1

2

1ª.- 5< 4-3x 1b.- 4-3x < 1

2 2

x3410 234 x

23x

x314 2x

3

3

14x

Intervalo solución: Intervalo solución:

( - ] (2/3 ,

Interpretación

2/3 14/3

Intervalo solución final:

( - ] n (2/3 , ]

Ejemplo:

51

2

x

x

Solución.-

1ª.- denominador positivo 2ª.- denominador negativo:

x+1>0 ; x> -1 (-1, x+1<0; x< -1 (- -1)

x+2<5(x+1) x+2>5(x+1)

x+2<5x+5 x+2>5x+5

2<4x+5 -3/4>x; (- , -3/4)

-3<4x

x> -3/4 ; (-3/4,

Solución primer caso: Solución final: Solución segundo caso:

(-3/4 , ) (- , -1) U (-3/4 , (- , -1)

Valor absoluto

a a

|x|= +

|-x|=+ -a 0 a

0,

0,

xx

xxx

Propiedades

Sea ,x y

1) 00 xx

2) yxxy

3) yxyx

4) 0; yy

xy

x

Explicación de la tercera propiedad:

yxyx

1.- si 3x , 4y

4343

437

77

2.- si 2x , 5y

521)5(2

527

77

Resolver la siguiente ecuación:

a) 642 x

6426 x

1er caso.- 2do caso.-

x426 - 642 x

x48 44x

2x 1x

b) 34147 x

Solución: Ø; es vacío porque siendo valor absoluto no hay resultado negativo.

Ejemplos:

Determinar los valores de x , que satisfacen la siguiente desigualdad:

a) 5.2x

5.25. x Gráficamente

1er.- 2do.-

5.2,,5.1

5.25.1

5.225.

xx

xx

1.5 2.5

Intervalo solución final: )5.2,5.1(5.2,,5.1

b) 41x

1er .- 2do.-

3535

414414

4141

xx

xx

xx

-5 3 -5 3

Intervalo solución: )3,5(

Solución: 7,7

c) |x|<7

–7<x<7 -7 7

d) |x|>7 solución: (- , -7) U ( 7 ,

-7>x>7

-7 7

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

1.- Determinar si 252 nnn es valida n

Solución:

para 1n

2)1(51)21(

33 , cumple

para kn

252 kkk ..................... (I) Hipótesis verdadera

para 1kn

2)1(51)21( kkk

255)1)(3( kkk

35342 kkk ...................... (II) Demostrar

De (I)

25)2( kkk

a (I) le sumamos 5

355))(2( kkk

35522 kkk ........................ (III)

por lo tanto p(n) no es V n Є N

2.- Determinar utilizando inducción matemática la validez de la siguiente

proposición:

Nnn ;2

Solución:

para 1n

21 se cumple

para kn

2k ...................... (I) Hipótesis verdadera

para 1kn

21k ........................... (II) Demostrar

de (I)

2k (por transitividad) multiplicar por 2

222k

22k

Comparando con (II)

21k

221 kk

Resolviendo por desigualdad

kk 21 kkkk 21 k1

Por lo tanto p(n) es valida n .

3.- Demostrar que:

522 es divisible entre 3 ; Nn

Solución:

para 1n

522 954 si cumple

para kn

522 ............................ (I) Hipótesis verdadera

para 1kn

522 ........................ (II) Demostrar

de (II) crear un sumando con la hipótesis y sea evidente.

522 522 22

5422

5)31(22

53212 22

3252 22

hipótesis divisible entre 3 por lo tanto p(n) es valida Nn

TEMA II : NÚMEROS COMPLEJOS

022x

2x

012x

1x 1i

imaginarioi

1,,/ iybadondebiaC

bia

Parte Parte

Real Imaginaria

Ejemplos:

i331

i742

i33

i44

Diagrama de Argand

IIm

b •z=a+bi

(0,0i) a

Igualdad de números complejos:

Sean bia1 y dic2 se dice que 21 , si y solo si la parte del primero

es igual a la parte del segundo dbyca .

Ejemplo:

Sean i431 y bi32 , determinar el valor de b , para que 21

Solución:

33

44 bób

Operaciones

Adición en )(C

Sean bia1 y dic2 ; se define la suma de 21 como:

idbca )()(21

Ejemplo:

Sean; i431 y i232

i))2(4()33(21

i2621

Sustracción en )(C

Sean bia1 y dic2 ; se define la diferencia de 1 menos 2 como:

idbca )()(21

Ejemplo:

Sean i241 y i532

ii 71)52()34(21

Multiplicación en )(C

Sean bia1 y dic2 ; se define el producto de 21 como:

ibcadbdac )()(21

Ejemplo:

Sean i531 y i242

iii 2)5()4)(5()2)(3()43(21

10141221 i

i142221

),,(C

Sean bia1 , dic2 y eif3

C321 ,,

Propiedades

Adición )(

- Cerradura

C21

- Asociatividad

)()( 321321

- Conmutatividad

1221

- Existencia de elemento idéntico

11 1e

biaeebia )21(

por igualdad de C

01;1 eaea

02;2 ebeb

- Existencia de elementos inversos

i0011

11

Multiplicación (•)

- Cerradura. C21

- Asociatividad.- )()( 321321

- Conmutatividad.- 1221

- Existencia de elemento idéntico.- Z1• (I+I21)= Z1

- Existencia de elementos inversos.- 111

1

Distributividad

3121321

31211312132 )(

Conjugado de un número complejo

Se define el conjugado del número complejo bia como bia

Ejemplos:

Determinar el conjugado de los siguientes números complejos:

i241 i241

i732 i732

73 73

Propiedades:

1.1

a2.2 11

22

11.3 ba

111 ;.4

m222 ;.5

División en complejos C

idic

bia00; 2

2

1

idc

adbc

dc

bdac

2222

)()(

Potenciación en complejos C

Sea bia

))((2 biabia

*NO HAY ORDEN EN COMPLEJOS C

Forma binómica de un número complejo:

ónpotenciaci

división

ciónmultiplica

nsustracció

adición

bia

Forma Cis ó trigonométrica de un número complejo:

rCis

en grados

bia

r rCis

Forma binómica Forma cis

a+bi rCis

Ecuaciones de transformación:

22 bar

)arctan(a

b

Forma cis Forma binómica

rCis a+bi

Ecuaciones de transformación:

rsenb

cosra

Argumento principal de un número complejo:

o3600

Igualdad de números complejos en forma cis

Sean 111 cisr y 222 cisr , se dice que 21 si y solo si 21 rr ,

)360(21 n .

La adición y la sustracción solo se realizaran en forma binómica

Multiplicación en forma cis:

Sean 111 cisr y 222 cisr

)( 212121 cisrr

División:

)( 21

2

1

2

1 cisr

r

Potencia en forma cis:

Sea rCis )(2 rcisrcis

Forma exponencial o de Euler:

rercis

Ejemplos:

45331 cise

360222 cise

270773 cise

315884 cise

Igualdad de complejos en forma exponencial ó de Euler:

Sea er11 y er22

1 es igual a 2 si y solo si:

21 rr

k21

Logaritmo natural de un número complejo:

Sea C , el logaritmo natural de que representaremos con )(L , se define

como:

zesiwzL )(

Logaritmo principal:

0k

L(z)=L(r) + i

TEMA III: POLINOMIOS

x

3 2x 3

hbA

)6)(62( xxA

36182 2 xxA

Definición:

Un polinomio en x es una expresión de la forma:

nn xaxaxaaxf ........)( 2

210 ; donde Caaaa n,....,,, 210

Ejemplos:

ixxxxxp 23 22)(

Área

Igualdad en P

Sean n

n xaxaxaaxp .....)( 2

210 y n

n xbxbxbbxq .....)( 2

210

se dice que p(x) es igual a q(x) si y solo si

00 ba

11 ba

22 ba

nn ba

Grado de un polinomio

Sea el polinomio en x con coeficientes en C , n

n xaxaxaaxp .....)( 2

210 si

0na el entero no negativo “n” es el grado del polinomio, lo que representamos

con:

npgr )(

Ejemplo:

Sea el polinomio xxxxxf 23127)(

7)( fgr

Operaciones (P,+ ),

Adición en P

p(x)= akx, y q(x)= bkx

n

n xaxaxaaxp .....)( 2

210 ,

se define la suma )(xp más )(xq de la siguiente manera:

xbaxqxp kk )()()(

Ejemplo:

Sean los polinomios:

)24(26)( ixxxxf

)3()25(32)( ixixixxg

)1()25(5)26()()( ixixxixxgxf

Multiplicación de un polinomio por un escalar:

p(x)= Є P ; q(x)= Є P

Sea el polinomio en x con coeficientes en Cn

n xaxaxaaxf .....)( 2

210 , y

Є C, se define la multiplicación de un polinomio por un escalar de la siguiente

manera:

p(x)= ao+ a1x+ a2x²+................. anx

Multiplicación de polinomios

Sean ixxxp 2)( 3 y 2)( xxq

Calcular iixxxxxxixxxqxp 2422)2)(2()()( 23

ixixxxqqxp 2)4(22)()(

Diferencia entre polinomios:

Definición.- Sean )(xf y )(xg dos polinomios en x con coeficientes en C , el

polinomio )()( xgxf se define como:

)()()()( xgxfxgxf

Propiedades (P, +,•)

Sean Pxfxqxp )(),(),( :

Adición (+):

1.- Cerradura.- Pxqxp )()(

2.- Asociatividad.- )()()()()()( xfxqxpxfxqxp

3.-Conmutatividad.- )()()()( xpxqxqxp

4.- Existencia de elemento idéntico.- )()(0)( xpxxp

5.- Existencia de elementos inversos.- )(0)()( xxpxp

Multiplicación: (•)

1.- Cerradura.- Pxqxp )()(

2.- Asociatividad.- )()()()()()( xfxqxpxfxqxp

3.- Conmutatividad.- )()()()( xpxqxqxp

4.- Existencia de elemento idéntico.- )(1)( xpxp

5.- Existencia de elementos inversos.- ))(/1()( xpxp

Divisibilidad

Algoritmo de la división en P

)(

)()(

)(

)(

xq

xrxc

xq

xp; )(0)( xxq

)()()()( xrxcxqxp

Definición.- sean )(xf y )(xg dos polinomios en x con coeficientes en C y

)(0)( xxg , )(xg es un factor de )(xf , si existe un polinomio )(xc con

coeficientes en C tal que )()()( xcxgxf se dice entonces que )(xf es divisible

entre )(xg .

Teorema del residuo:

Sean )(xp un polinomio en x con coeficientes en C y Cc , el residuo de dividir

)(xp entre cx es igual a )(cp .

Teorema del factor:

Sean )(xp un polinomio en x con coeficientes en C y Cc , )(xp es divisible

entre cx si y solo si 0)(cp .

Sea p(x)=ao+a1x+a2x²+.................anx

Del algoritmo de la división en P

P(x)=c(x)(x-c)+r(x) ; si p(c)=0=r

P(x)=c(x)(x-c) por lo tanto (x-c) es un factor de p(x).

Raíz de un polinomio

Sea )(xp un polinomio en x con coeficientes en C y sea un número complejo,

es una raíz de )(xp si 0)(xp

))(()(;0)(/)( xxcxpxcxxP

Teorema fundamental del álgebra

Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes en C de grado mayor ó igual a uno.

Entonces p(x) tiene al menos una raíz en C.

P(x)/(x- )=c(x)+0; p(x)=c(x)(x- ) p( ).

0,0

0,0

biacomplejas

biasimaginaria

esirracional

racionales

enteras

reales

complejasRaíces

Raíces Racionales x/x=p/q ; p ,q Є Z, q=0

Ejemplo:

Determinar las raíces del polinomio:

g(x)=4x+32x²+64

solución:

cambio de variable:

w²=w

w =w²

4w²+32w+64 ÷4

w²+8w+16

(w+4)(w+4)

w1=-4

w2=-4

regresando

w1=x²

x²= -4

x= ± 2i

Resumen de raíces:

X1= 2i de multiplicidad 2

X2=-2i de multiplicidad 2

Cambio de signo en el residuo

Teorema:

Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes en , si a y b son dos números reales

tales que a<b; y además p(a) y p(b) tiene signos contrarios entonces p(x) tiene al

menos una raíz real en el intervalo a< <b

Cotas de las raices reales

Teorema:

Sea p(x)=anx + an-1x +.............+ax+ao un polinomio en x con coeficientes reales

y an>0:

1.- si s Є , s>0, y no existen números negativos en el tercer renglón de la división

sintética de p(x) entre (x-s), entonces, para toda raíz real de p(x) se tiene que

<s.

2.- Si t Є , t<0, y los números del tercer renglón en la división sintética de p(x)

entre (x-t) son alternadamente positivos y negativos, entonces, para toda raíz real

de p(x) se tiene que t< , los ceros en el tercer renglón podrán considerarse

positivos ó negativos a efecto de lograr los signos alternados.

Raíces irracionales de un polinomio con coeficientes racionales

Teorema:

Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes racionales de grado n>1, si un número

irracional de la forma =u+ w, con u, w Є Q; es raíz de p(x) entonces, un número

b=u- w también es raíz de p(x).

Regla de signos de Descartes:

Sea p(x)=ao+a1x+a2x²+.................anx un polinomio en x con coeficientes reales

y ao=0;

1.- El número de raíces reales positivas de p(x) es igual al número de cambios de

signo en la secuencia de coeficientes del polinomio p(x) ó menor que éste en un

número par.

2.- El número de raíces reales negativas de p(x) es igual al número de cambios de

signo en la secuencia de coeficientes del polinomio en x que se obtiene al sustituir

x por –x en p(x) ó menor que éste en un número par.

Ejemplo:

Obtener las raíces del polinomio:

f(x)=2x + 3x +3x³ –5x² –3

f(x)=x(2x + 3x³ +3x² –5x –3 )=0

Aplicando la regla de Descartes;

1.- # de raíces reales positivas

f(x)=2x +3x³ +3x² –5x –3

2.- # de raíces reales negativas

f(-x)= 2x -3x³ +3x² +5x –3

+ - C T

1 3 0 4

1 1 2 4

TEMA IV: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definición:

Una ecuación lineal es una expresión de la forma a1x+a2x+.............anxn=b,

donde a1,a2,...........an , b Є C

Ejemplo: Determinar si las siguientes son ecuaciones lineales ó no:

a.) x+3y²=7 ; no

b.) y-seny=0 ; no

c.) 4x-2y=1; si

d.) x1-4x2+7x3=5 ; si

e.) 3x+4=2 ; si

Ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales:

x1+2+2-x3=7

S1 = -2x1+3x2-7x3 = 5

-x1+x2+6x3=14

Definición: Un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas es una

expresión de la forma;

anx1+ a12x2+.................a1nxn=b1

.

.

am1x1+am2x2+.................amnxn=bm

donde a11, a12, a13...................amn, b1,b2 bm Є C

determinado

(una solución)

compatible

(tiene solución) indeterminado

Sistemas (varias soluciones)

De ecuaciones

lineales

incompatible

(no tiene solución)

Método de Gauss:

Transformación de elementos:

1.- multiplicar, intercambiar (renglones)

2.- multiplicar una ecuación (renglón) por un escalar diferente a cero

3.- -multiplicar una ecuación (renglón)por un escalar y sumarlo a otra ecuación

(renglón), reemplazando esta ultima por el resultado obtenido.

Un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a otro si tienen la misma

solución

Matriz

Una matriz es una expresión de la forma:

a11 a12..........a1n

A.- a21 a22..........a2n

am1 am2.........amn

donde a11, a12............amn Є C

Ejemplos:

2x1+ 3x2=7

-3x1 –7x2=-8

Ejemplo:

Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales determinar los

valores de k para que el sistema sea:

1)incompatible

2)compatible determinado

3)compatible indeterminado

b)kx+y+z=1

x+kyy+z=1

x+y+kz=1

k 1 -1 1 1 1 k 1 R1(-1)+R2 1 1 k 1

1 k 1 1 R3 R1 1 k 1 1 0 k-1 -k+1 0

1 1 k 1 k 1 1 1 R1(-k)+R3 0 -k+1- k²+1 1-k

R2(-1)+R3 1 1 k 1

0 k-1 -k+1 0

0 0 2-k-k² 1-k

1)Si k=-2, el sistema es incompatible

2)Si k=1 y k=-2, el sistema es compatible determinado

3) Si k=1, el sistema es compatible indeterminado.

TEMA V: MATRICES Y DETERMINANTES

Igualdad de matrices m x n

Sean A=[aij] y B=[bij] de orden m x n , se dice que A es igual a B si y solo si;

a11=b11

a31=b31

Matriz nula

0 0

0 0

Operaciones con Matrices:

Adición;

Sean A=[aij] y B=[bij] con elementos en C de orden m x n, se define la suma de

A+B como la matriz S=[Sij] de orden m x n, donde Sij= aij+ bij.

Multiplicación de una matriz por un escalar

La operación se define como:

= [aij]= [ aij]

Sustracción

Sean A=[aij] y B=[bij] de orden m x n con elementos en C, se define la diferencia

de A-B como:

A-B=A+[-B]

Propiedades de la adición:

Sean A,B,C ,matrices de orden m x n con elementos en C, donde :

1.- Asociatividad.-(A+B)+C=A+(B+C)

2.- Conmutatividad.- A+B=B+A

3.- Existencia de elemento idéntico.- A+E=A

4,. Existencia de elementos inversos.- -A+A=0

Multiplicación de dos matrices:

Sean A=[aij] y B=[bij] dos matrices con elementos en C de m x n y n x q

respectivamente. El producto AB es una matriz P=[pij] de m x q.

Pij= aikbkj.

Matriz identidad

1 0

I= 0 1

Inversa de una matriz

Sea A una matriz de m x n con elementos en C, una matriz x se dice que es

inversa de A si:

XA=In=ax y se representa con A

A A=AA =I

Si una matriz tiene inversa se dice que es no singular

Si una matriz no tiene inversa se dice que es singular

Propiedades de las matrices inversas:

Si A y B dos matrices no singulares del mismo orden y Є C entonces:

1.- A es única

2.-(A ) =A

3.-(AB) =B A

4.-( A) = 1/ A; =0

Ecuaciones matriciales:

Sea la ecuacion matricial:

AX-B=C-X

0 -2 4 -1 -4 -1

A= -2 4 B= 2 -2 C= 1 8

A) despejar a la matriz x de la ecuación matricial

B) obtener la matriz x que satisface la ecuación

Ax-B=C-X

AX+X=C+B

AX+IX=C+B

(A+I)X=C+B

IX=(A+I) (C+B)

X=(A+I) (C+B)

(A+I)X(A+I)=(C+B)(A+I)

Por lo tanto no se puede despejar x.

*Casos especiales de matrices

Traza de una matriz

Es la suma de los elementos de la diagonal principal, sea A=[aij] de orden n xn

con elementos en C, se defina la traza de la matriz como:

TrA= aii

*Su resultado es un número.

Propiedades:

Si A y B son dos matrices de n x n con elementos en C y Є C

1.-Tr (A+B)=(TrA)+(TrB)

2.-Tr( A)= (TrA)

3.-Tr(AB)=Tr(BA)

Matriz diagonal

Sea A=[aij] una matriz n xn con elementos en C se dice que A es una matriz

diagonal si aij=0 para i=j, y se representa con DiagA=(a12,a22,..............ann)

Propiedades de matrices diagonales:

1.- A+B=diag(a11+b11, a22+b22.,................ann+bnn)

2.- A=diag ( a11, a22,....... ann)

3.- AB=diag (a11b11, a22b22,........annbnn)

4.- A=diag (1/a11, 1/a22,.............1/ann)

Transpuesta de una matriz

Sea A=[aij] una matriz de m x n con elementos en C, se llama transpuesta de A a

la matriz de n x m:

A =[cij] tal que Cij=Aij

Propiedades

1.- (A ) =A

2.-( A)= A

3.- (A+B) =A + B ; si A+B puede obtenerse

4.-(AB) =B A ; si (AB) puede obtenerse

A es simétrica si A =A

A es antisimétrica si A = -A

Conjugación

Sea A=[aij] una matriz de m x n con elementos en C se llama conjugado de A a la

matriz m x n donde:

A=[cij] donde cij=aij

Propiedades:

Si A y B son dos matrices con elementos en los complejos y Є C entonces:

1.-(A)=A

2.-( A)= A

3.-(A+B)=A+B; si A+B puede obtenerse

4.- (AB)=AB; si AB puede obtenerse

Matrices Hermitiana y Antihermitiana

Sea A una matriz n x n con elementos en C se dice que:

1) A es Hermitiana si A*=a

2) A es Antihermitiana si A*=-A

Propiedades:

1.-AA*, es Hermitiana

2.- A*A es Hermitiana

3.-A+A* es Hermitiana si A es cuadrada

4.- A-A* es Hermitiana , si A es cuadrada

Potencia de una matriz

Sea A una matriz de m x n con elementos en C y sea n Є N se llama potencia

enésima de A si y solo si A a la matriz definida por:

1.-A =I

2.-A =AA , para n>1

Propiedades

1)A• A = A

2)(A ) =A

TEMA VI: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Operación binaria:

Es una regla que se aplica a dos elementos de un conjunto s y que da como

resultado un elemento unívoco.

1.- cerradura ejemplos:

(A , *) 2.-asociatividad ( R , +)

3.- Existencia de elemento idéntico Grupo (C, +) (A , *)

4.- Existencia de elemento inverso ( P , +) grupo

Sistema algebraico Estructura algebraica

Sistema algebraico

(A , *)

1.- cerradura

2.- asociatividad grupo abeliano

3.-existencia de elemento identico

(A, * , ¤ ) . 4- existencia de elementos inversos

5.- conmutatividad (A, * , ¤)

Anillo

(A, ¤)

6.- cerradura para ¤

7.- asociatividad para ¤

8.- distributividad

Ejemplo: sea el conjunto

a 0

M= 0 b a, b E Z

Y la operación binaria ¤ definida por:

A ¤ B=A+I+B

Determinar si ( A , ¤ )es un grupo abeliano:

Solución:

1.- Cerradura

A ¤ B = A +I +B Є M se cumple

2.- Asociatividad

(A ¤ B) ¤ (I + A¤ + I¤B)

A+B+¤+2I=A+B+¤+2I se cumple

3.- Existencia de elemento idéntico para ¤

A¤E=A

A¤-I=A

A+I-I=A

A=A existe

4.- Existencia de elementos inversos

A¤(-2I-A)

A+I-2I-A=-I

-I=I existen

5.- Conmutatividad

A¤B=B¤A

A+I+B=B+I+A se cumple

Por lo tanto (M, ¤ ) es un grupo abeliano.

Homomorfismo e Isomorfismo

Sea (A , ) y (S , ¤ ) dos grupos y P.A S una funcion si f(a*b)=f(a) ¤ f(b); V a, b

E A, entonces F establece un homomorfismo entre (A * ) y (S, ¤).

Si además f es biyectiva entonces se establece un Isomorfismo entre (A,*) y (S, ¤).

Ejemplo:

Sean (Z,*) y (Z, ¤) dos grupos, donde las operaciones x y ¤ estan definidas por

a*b=a+b+1 V a,b E Z

a¤b=a+b

A) determinar si la función biyectiva f que va de Z Z definida por f(a)=a+1, V a E

Z es un isomorfismo entre los grupos (Z,*) y (Z, ¤)

Solución:

F(a*b)=f(a) ¤ f(b)

F(a+b+1)=(a+1) ¤ (b+1)

(a+b+1+1)=? (a+1+b+1)

a+b+2=a+b+2

por lo tanto establece un homomorfismo, se cumple f.