especiﬁcar el conjunto de estrategias puras de cada...

Teorıa de las decisiones y de los juegos 2007 - 2008Grupo 51

Ejercicios - Tema 3

Juegos dinamicos con informacion completa

1. Considere el siguiente juego en su forma extensiva.

1

2

2

A

B

D

I

I

D

(0, 2)

(3, 0)

(2, 1)

(1, 3)

Figura 1: Juego, ejercicio 1

(a) Especificar el conjunto de estrategias puras de cada jugador.

Solucion. El jugador 1 tiene un solo conjunto de informacion (vease la Figura2) al cual corresponden dos posibles acciones. Por tanto, el jugador 1 tiene21 = 2 estrategias: S1 = {A, B}.

1

2

2

A

B

D

I

I

D

(0, 2)

(3, 0)

(2, 1)

(1, 3)

conjuntos de informacion

Figura 2: Juego, ejercicio 1: conjuntos de informacion

El jugador 2 tiene dos conjuntos de informacion (vease la Figura 2). En cadauno de estos dos conjuntos dispone de dos posibles acciones. Por tanto, eljugador 2 tiene 22 = 4 estrategias: S2 = {II, DD, ID, DI}. Por ejemplo,la estrategia DI corresponde al plan de escoger D si el juego llega al nodosuperior, y escoger I si el juego llega al nodo inferior.

(b) Calcular los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos, los pagos y latrayectoria.

Como cada conjunto de informacion contiene un unico nodo de decision setrata de un juego con informacion perfecta (es decir, en cada nodo de decisionel jugador al que toca escoger una accion conoce las jugadas anteriores). Portanto, el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos (EPS) es el equilibrio porinduccion hacia atras. Empezamos al final del arbol, es decir, buscamos las

1

1

2

2

A

B

D

I

I

D

(0, 2)

(3, 0)

(2, 1)

(1, 3)

Figura 3: Juego, ejercicio 1: EPS, paso 1

acciones optimas para el ultimo jugador. En la Figura 3 estas acciones estanindicadas por las flechas.

Ahora solamente nos falta por buscar la accion optima del jugador 1 (queanticipa las acciones del jugador 2). En la Figura 4 vemos que si el jugador 1escoge la accion A obtendra un pago de 0, y si escoge la accion B obtendra unpago de 1. Por tanto la decision optima, indicada por la flecha correspondiente,es B.

1

2

2

A

B

D

I

I

D

(0, 2)

(3, 0)

(2, 1)(1, 3)

(0, 2)

(1, 3)


Concluimos de la ultima figura que el unico EPS es (B, ID) (es decir, laestrategia B para el jugador 1 y la estrategia ID para el jugador 2). Latrayectoria correspondiente es la serie de decisiones que se llevan a cabo si sejuega este equilibrio: B − D. Los pagos resultantes son por tanto (1, 3).

2. Para hacer la paz, hay que prepararse para la guerra. Considere el siguiente juegoen el cual los paıses 1 y 2 deben decidir simultaneamente si adquirir armas (A) ono (N). En una segunda etapa del juego el paıs 1 observa si 2 ha adquirido armaso no y debe decidir si hacer la paz (P ) o la guerra (G).

1

2

2

A

N

NA

A

P

P

G (−4,−4)

(0, 0)G (3,−3)

(−1, 0)

N

PG (−3, 3)

(0,−1)

PG (−2,−2)

(2, 2)

1

1

1

1


2

(a) ¿Cuantas estrategias puras tiene cada jugador?

Solucion. El jugador 1 tiene 5 conjuntos de informacion (vease la Figura 6). Encada uno de sus conjuntos de informacion el jugador 1 dispone de 2 acciones.Por tanto, el jugador 1 tiene 25 = 32 estrategias. Por ejemplo, AGPPG es unade estas estrategias.

1

2

2

A

N

NA

A

P

P

G (−4,−4)

(0, 0)G (3,−3)

(−1, 0)

N

PG (−3, 3)

(0,−1)

PG (−2,−2)

(2, 2)

1

1

1

1

conjuntos de informacion

Figura 6: Juego, ejercicio 2: conjuntos de informacion

El jugador 2 tiene un solo conjunto de informacion (vease la Figura 6). Tienea su disposicion 2 acciones. Por tanto, el jugador 2 tiene 2 estrategias: S2 ={A, N}.

(b) Hallar los equilibrios perfectos en subjuegos (en estrategias puras), los pagos yla trayectoria.

Solucion. Hay un conjunto de informacion con mas de un nodo de decision(el conjunto de informacion del jugador 2). Por tanto, se trata de un juegocon informacion imperfecta (es decir, en algun nodo de decision el jugador alque toca escoger una accion desconoce alguna jugada anterior). Por tanto, elequilibrio de Nash perfecto en subjuegos (EPS) lo encontramos buscando losequilibrios de Nash de cada subjuego. Empezamos al final del arbol. Hay 4subjuegos y todos ellos empiezan en un nodo de decision del jugador 1. Elconcepto de equilibrio de Nash en cada uno de estos subjuegos se reduce a laaccion optima del jugador 1 porque hay un solo jugador (el jugador 1). Porconsiguiente, buscamos las acciones optimas para este jugador en cada uno delos 4 subjuegos. En la Figura 7 estas acciones estan indicadas por las flechas.

Ahora substituimos los 4 subjuegos por los pagos que corresponden a losequilibrios hallados. El resultado es el juego (estatico) representado en laFigura 8.

Por ultimo, tenemos que hallar los equilibrios de Nash de este juego reducido.(En este ejercicio solamente miraremos los equilibrios en estrategias puras.¿Cuales son los equilibrios de Nash en estrategias mixtas? Y, ¿cuales son losEPS en estrategias mixtas correspondientes?) La tabla de pagos viene dadapor

1 \ 2 A NA (0, 0) (3,−3)N (0,−1) (2, 2)

3

1

2

2

A

N

NA

A

P

P

G (−4,−4)

(0, 0)G (3,−3)

(−1, 0)

N

PG (−3, 3)

(0,−1)

PG (−2,−2)

(2, 2)

1

1

1

1


1

2

2

A

N

NA

A

(0, 0)

(3,−3)

N

(0,−1)

(2, 2)


Las mejores han sido subrayadas en la tabla de pagos. Vemos que el unicoperfil en el que ambos jugadores dan simultaneamente la mejor respuesta es(A, A).

Juntamos todos los equilibrios de los subjuegos y concluimos que el unicoEPS en estrategias puras viene dado por (APGPP, A). La trayectoriacorrespondiente es la serie de decisiones que se llevan a cabo si se juega esteequilibrio: A − A − P . Los pagos resultantes son por tanto (0, 0). (Vease laFigura 9.)

1

2

2

A

N

NA

A

P

P

G (−4,−4)

(0, 0)G (3,−3)

(−1, 0)

N

PG (−3, 3)

(0,−1)

PG (−2,−2)

(2, 2)

1

1

1

1


3. Considere el juego con dos empresas, FE y FM . La empresa FE amenaza con entrara un mercado dominado por una empresa monopolista, FM . FE debera elegir enteentrar (e) o no entrar (ne). FM observa si entra FE. Si FE entra, entonces FM

puede responder con un ataque / una campana en contra (a) de la entrante o cooperar

4

y repartirse el mercado (c). Suponemos que los beneficios asociados a las estrategiasde las empresas son los siguientes:

• Si FE no entra (ne), los beneficios seran (πE , πM) = (0, 2).

• Si FE entra (e), y FM realiza el ataque (a), (−3,−1).

• Si FE entra (e), y FM coopera (c), (2, 1).

(a) Escribir el juego en su forma extensiva.

Solucion. El primero (segundo) pago corresponde a la empresa FE (FM).

(0, 2)

o simplemente:

M c

a (0, 2)

(0, 2)

E

M

ne

e ac

(−3,−1)

(2, 1)

E

M

ne

e ac

(−3,−1)

(2, 1)


(b) Escribir el juego en su forma normal.

Solucion.E \ M a c

ne (0, 2) (0, 2)e (−3,−1) (2, 1)

(c) Hallar los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos (en estrategias puras).

Solucion. Como cada conjunto de informacion contiene un unico nodo dedecision se trata de un juego con informacion perfecta. Hallamos los EPS porinduccion hacia atras. El primer subjuego que consideramos es el subjuego queempieza en el nodo de decision del jugador M . (Vease la Figura 11.) La unicaaccion optima del jugador M es c.

M

ac

(−3,−1)

(2, 1)


Ahora substituimos el subjuego por la accion hallada y obtenemos el juegoreducido representado en la Figura 12. La unica accion optima del jugador Ees e.

Concluimos que el unico EPS en estrategias puras es (e, c).

(d) Hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras.

Solucion.E \ M a c

ne (0, 2) (0, 2)e (−3,−1) (2, 1)

5

(0, 2)

E

ne

e

(2, 1)


Las mejores respuestas han sido subrayadas en la tabla de pagos. Vemos queaparte del EPS (e, c) hay otro equilibrio de Nash: (ne, a).

(e) ¿Hay alguna amenaza no creıble en alguno de los equilibrios de Nash delapartado anterior?

Solucion. La definicion de EPS garantiza que no habra amenazas no creıblesen el equilibrio (e, c). En el otro equilibrio, (ne, a), sı que hay una amenaza nocreıble: la empresa FM no optara por atacar si la empresa FE decide entrar,porque si FE entrase la unica accion racional es cooperar (que da lugar a unpago de 1 a FM , frente a un pago de -1 si ataca).

(f) Hallar los equilibrios de Nash en estrategias mixtas.

Solucion. Calculamos las correspondencias Ri de mejores respuestas paraambos jugadores. Primero observamos que para cualquier estrategia mixtap del jugador E la mejor respuesta del jugador M es entrar (q = 0) a no serque p = 1, en cuyo caso cualquier estrategia q ∈ [0, 1] es mejor respuesta. Asıque,

RM(p) =

{

0 si p < 1;[0,1] si p = 1.

Para hallar las mejores respuestas del jugador E fijemos la estrategia q deljugador M . El jugador E es indiferente entre jugar ne y e si y solo si uE(ne, q) =uE(e, q), lo cual es equivalente a 0 = −3q + 2− 2q, o sea, q = 2

5= 0.4. Es facil

verificar que

RE(q) =

0 si q < 0.4;[0,1] si q = 0.4;1 si q > 0.4.

Utilizando la representacion grafica (la Figura 13) de las correspondencias demejor respuesta vemos que su “interseccion” es el conjunto {(0, 0)} ∪ {(1, q) :q ≥ 0.4}. Por tanto los equilibrios de Nash vienen dados por {(0, 0)}∪{(1, q) :q ∈ [0.4, 1]}.

4. Considere el juego en su forma extensiva.

(a) Especificar los espacios de estrategias puras de cada jugador. Hallar losequilibrios de Nash perfectos en subjuegos.

Solucion. El jugador 1 tiene 2 conjuntos de informacion. En cada uno de estosconjuntos tienen 2 acciones: A o B en el primero conjunto, a o b en el segundoconjunto. Cualquier combinacion de acciones para el primero y el segundoconjunto de informacion es una estrategia (y vice versa). Por tanto, el conjunto

6

p

q

0.5 1

0.5

1

mejor respuesta RE

mejor respuesta RM

0.4

Figura 13: Juego, ejercicio 3: EN

2

(1, 2)

(4, 3)1

1

ab

(3, 1)

(2, 4)Y

X

B

A


de estrategias del jugador 1 es S1 = {Aa, Ab, Ba, Bb}. El jugador 2 tiene 1conjunto de informacion y en este dispone de 2 acciones. Por consiguiente eljugador 2 tiene 2 estrategias: S2 = {X, Y }.

Como cada uno de los tres conjuntos de informacion contiene un solo nodo dedecision hay informacion perfecta: en cada nodo de decision el jugador al quetoca escoger una accion conoce las jugadas anteriores. Por tanto, el equilibriode Nash perfecto en subjuegos (EPS) es el equilibrio por induccion hacia atras.Empezamos al final del arbol, es decir, buscamos las acciones optimas para elultimo jugador, luego volvemos un paso hacia el principio, etc. En la Figura 15vemos el resultado de este analisis: un unico EPS que viene dado por (Aa, Y ).(Ası mismo vemos que la trayectoria es A−Y y que los pagos correspondientesson (4, 3).)

2

(1, 2)

(4, 3)1

1

ab

(3, 1)

(2, 4)Y

X

B

A

(3, 1)

(4, 3)

(4, 3)

Figura 15: Juego, ejercicio 4: EPS

(b) Representar el juego en su forma normal.

Solucion. Como el jugador 1 tiene 4 estrategias puras y el jugador 2 disponede 2 estrategias obtendremos una matriz de 4 × 2:

1 \ 2 X YAa (3, 1) (4, 3)Ab (2, 4) (4, 3)Ba (1, 2) (1, 2)Bb (1, 2) (1, 2)

7

(c) Hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras y mixtas (para la matriz depagos del apartado anterior).

Solucion. Primero observamos que las estrategias Ba y Bb son dominadaspor la estrategia Aa. Por tanto, en ningun equilibrio el jugador 1 utilizara lasestrategias Ba y Bb. El juego se reduce a la siguiente matriz de 2 × 2:

1 \ 2 X YAa (3, 1) (4, 3)Ab (2, 4) (4, 3)

Las mejores respuestas han sido subrayadas. Vemos que hay un solo equilibriode Nash en estrategias puras: (Aa, Y ).

Ahora calculamos los equilibrios de Nash en estrategias mixtas. Necesitamoscalcular las correspondencias Ri de mejores respuestas para ambos jugadores.Primero observamos que para cualquier estrategia mixta q del jugador 2 lamejor respuesta del jugador 1 es Aa (es decir p = 1) a no ser que q = 0, encuyo caso cualquier estrategia p ∈ [0, 1] es mejor respuesta. Ası que,

R1(q) =

{

1 si q > 0;[0,1] si q = 0.

Para hallar las mejores respuestas del jugador 2 fijemos la estrategia p deljugador 1. El jugador 1 es indiferente entre jugar ne y e si y solo si u2(p, X) =u2(p, Y ), lo cual es equivalente a p + 4(1 − p) = 3, o sea, p = 1

3≈ 0.4. Es facil

verificar que

R2(p) =

1 si p < 0.33;[0,1] si p = 0.33;0 si p > 0.33.

Utilizando la representacion grafica (la Figura 16) de las correspondenciasde mejor respuesta vemos que su “interseccion” es el conjunto {(p, 0) : p ∈[0.33, 1]}. Por tanto los equilibrios de Nash vienen dados por {(p, 0) : p ∈[0.33, 1]}.

p

q

0.5 1

0.5

1

mejor respuesta R2

mejor respuesta R1

0.33


(d) ¿Es el conjunto de equilibrios obtenidos en el apartado (a) un subconjunto delconjunto de equilibrios de Nash?

Solucion. Los EPS son casos especiales de equilibrios de Nash (¿Por que? Y,¿en que sentido son especiales?). En esta situacion concreta, el EPS (Aa, Y )

8

aparece en la representacion grafica como equilibrio de Nash (1, 0), es decir, laesquina derecha inferior.

5. (Difıcil.) Supongamos que un padre y un hijo participan en el siguiente juego,analizado originalmente por Becker (1974). Primero el hijo escoge una accion,A, que resulta en un ingreso para el, IH (A), y en un ingreso para el padre,IP (A). (Pensemos en IH (A) como el ingreso del hijo, neto de cualquier coste dela accion A.) En segundo lugar el padre observa los ingresos IH e IP y escoge unaherencia, B, que dejar al hijo. La ganancia del hijo es U (IH + B) y la del padre esV (IP − B) + kU (IH + B), donde k > 0 refleja el altruismo del padre. Supongamosque la accion es un numero no negativo A ≥ 0, que las funciones IH e IP sonestrictamente concavas y tienen un maximo en AH > 0 y AP > 0, respectivamente,que la herencia B puede ser positiva o negativa y que las funciones de utilidad U y Vson estrictamente crecientes y estrictamente concavas. Demuestrese el teorema del“nino mimado”: En el equilibrio por induccion hacia atras, el hijo escoge la accionque maximiza el ingreso agregado de la familia IH (A) + IP (A), a pesar de que solola ganancia del padre es de alguna forma altruista.

Solucion. Una manera conveniente de representar el problema es a traves del“consumo” final de los 2 agentes (el padre por un lado y el hijo por otro):

IP (A) := IP (A) − B

IH(A) := IH(A) + B

Para encontrar el equilibrio por induccion hacia atras analizamos primero elproblema del ultimo jugador (es decir, el padre). Por tanto, fijemos la accion Adel hijo. Si el padre elige dejar la herencia B al hijo entonces escoge unos niveles deconsumo IP (A) y IH(A) tales que

IP (A) + IH(A) = IP (A) + IH(A).

En otras palabras, dada una accion A1, A2, etc. del hijo el padre escoge un puntoen la diagonal correspondiente en la Figura 17.

¿Que punto de cada diagonal elegira el padre? Para poder responder a esta preguntahemos de analizar las curvas de indiferencia del padre. Como el padre es altruistale importa tanto el consumo total del hijo (IH) como el propio consumo total (IP ).De hecho, su “ganancia” viene dada por

WP (IP , IH) := V (IP ) + kU(IH).

Hacemos las siguientes observaciones sobre las curvas de indiferencia del padre.

• Son decrecientes. Una disminucion en el consumo de un bien se compensa conun incremento en el consumo del otro bien. (Los bienes son IH y IP .) Tambiense podrıa expresar de forma que el incremento del consumo de un bien produceun incremento de la satisfaccion total del padre si no se compensa con unadisminucion del consumo del otro bien. Matematicamente esto corresponde alhecho de que WP es una funcion creciente en ambos bienes. Concluimos que lascurvas de indiferencia toman una de las dos formas representadas en la Figura18.

9

IP (A2) + IH(A2)

IP (A1) + IH(A1)

IP (A2) + IH(A2)

IP (A1) + IH(A1)

IP

IH

Figura 17: Juego, ejercicio 5: el consumo total

IP

IH

o bien

IP

IH

Figura 18: Juego, ejercicio 5: posibles curvas de indiferencia del padre

• El padre prefiere las curvas mas alejadas del origen. El padre, dado el axiomade insaciabilidad, prefiere cestas de consumo con una cantidad mayor de bienesque otra con menos. Esta preferencia se refleja en las curvas de indiferencia.Como muestra la Figura 18, las curvas de indiferencia mas altas representanmayores cantidades de bienes que las mas bajas, por tanto el padre prefiere lascurvas de indiferencias mas altas. Matematicamente esto se debe al hecho deque WP es una funcion creciente.

• Son curvas convexas hacia el origen, lo que significa que valora mas un biencuanto mas escaso es. Cuando dispone en abundancia de un bien, esta dispuestoa prescindir de una unidad a cambio de poca cantidad del bien alternativo. Sinembargo cuando tiene que renunciar a algo que ya es escaso, solo mantendra sunivel de utilidad si cada unidad a la que renuncia la compensan con cantidadescrecientes del otro bien. Matematicamente esto se debe a que la Tasa Marginal

10

de Sustitucion IP por IH , denotada por TMSPH es decreciente en IP :

∂TMSPH

∂IP

=∂

∂IP

(

∂WP /∂IP

∂WP /∂IC

)

=∂

∂IP

(

V ′(IP )

kU ′(IC)

)

=V ′′(IP )

kU ′(IC)< 0,

donde la desigualdad es una consecuencia de que V es estrictamente concava yU es estrictamente creciente. Concluimos que la representacion grafica correctade las curvas de indiferencia viene dada por la Figura 19.

• Caracter transitivo de las curvas del que se deriva que las curvas no se cruzany que por cada punto del espacio pasa una unica curva de indiferencia.

IP (A2) + IH(A2)

IP (A1) + IH(A1)

IP (A2) + IH(A2)

IP (A1) + IH(A1)

IP

IH

curvas de indiferencia de P

Figura 19: Juego, ejercicio 5: curvas de indiferencia del padre

Ahora que hemos analizado las curvas de indiferencia del padre podemos hallardirectamente las acciones optimas por parte del padre dada una accion A1, A2, etc.En la Figura 20 vemos por ejemplo que si la accion del hijo es Ai, entonces el padreelegira una herencia para su hijo tal que su propio consumo final es IP (Ai). (¿Porque?)

Por ultimo, y para demostrar el teorema del nino mimado, hemos de determinar laaccion optima del hijo (que anticipa la herencia que le dejara su padre). Primeroponemos las curvas de indiferencia del hijo en la Figura 20. El resultado es laFigura 21. (¿Por que?) En particular, vemos que la accion A2 por parte del hijo lellevara a un consumo final de IH(A2) lo cual es mayor que IH(A1). Como la funcionU es estrictamente creciente, U(IH(A2)) > U(IH(A2)), es decir el hijo prefirira elesfuerzo A2 sobre A1. ¿Cual es la diferencia entre A1 y A2? Pues, IH (A2)+IP (A2) >IH (A1) + IP (A1). En otras palabras, el hijo escoge la accion A que maximiza elconsumo agregado de la familia IH (A)+IP (A) (¡para maximizar su propio bienestarfinal!). Pero, ¿existe una accion optima A? La respuesta es afirmativa. Veamos porque. Las funciones A → IP (A) y A → IH(A) son estrictamente concavas y tienenun maximo en AP > 0 y AH > 0, respectivamente. Consideremos la funcion que

11


IP (A2) + IH(A2)

IP (A1) + IH(A1)

IP (A2) + IH(A2)

IP (A1) + IH(A1)

IP

IH

IP (A1)

IP (A2)

Figura 20: Juego, ejercicio 5: acciones optimas del padre

nos interesa, la funcion que asigna a cada accion A del hijo el consumo agregado dela familia:

f(A) := IH(A) + IP (A).

Es facil comprobar que f es estrictamente concava y que tiene un maximo en A∗ > 0.(La Figura 22 es una ilustracion.)

6. Tres oligopolistas operan en un mercado con una demanda inversa dada por P (Q) =max{0, a−Q}, donde Q = q1 + q2 + q3 y qj es la cantidad producida por la empresaj. Cada empresa tiene un coste marginal constante, c < a, sin costes fijos. Lasempresas escogen sus cantidades de la siguiente manera: (1) la empresa 1 escogeq1 ≥ 0; (2) las empresas 2 y 3 observan q1 y escogen simultaneamente q2 ≥ 0 yq3 ≥ 0 respectivamente.

(a) Representar el juego en su forma extensiva.

Solucion. La representacion en forma extensiva viene dada por la Figura 23.Fijaos en los conjuntos de informacion.

(b) ¿Cual es el equilibrio perfecto en subjuegos? Calcular los beneficios de laempresa 1 en el equilibrio.

Solucion. Este es un juego de informacion imperfecta (¿por que exactamente?).Para hallar el equilibrio perfecto en subjuegos analizamos primero los subjuegosque empiezan en los nodos de decision de la empresa 2. Es decir, hemos dedeterminar los equilibrios de Nash de los juegos estaticos en los que las empresas2 y 3 son los unicos jugadores (la cantidad q1 es una constante en este subjuego).En otras palabras, ¿cuales son los equilibrios si las empresas 2 y 3 compitenen un duopolio a la Cournot (dada la cantidad q1)? Si definimos a := a − q1

entonces la demanda inversa viene dada por

P (Q) = max{a − Q, 0} = max{a − q2 − q3, 0}.

12


IP (A2) + IH(A2)

IP (A1) + IH(A1)

IP (A2) + IH(A2)

IP (A1) + IH(A1)

IP

IH

IP (A1)

IP (A2)

curvas de indiferencia de H

IH(A1)

IH(A2)

Figura 21: Juego, ejercicio 5: curvas de indiferencia del hijo

Observamos que si a ≤ c entonces las empresas 2 y 3 elegiran no producir nada(¿por que?). Es decir, si a ≤ c el unico equilibrio de Nash es (q∗2, q

∗3) = (0, 0).

Supongamos ahora que a > c.

Si la empresa 3 escoge producir q3 ≥ 0 entonces la mejor respuesta de laempresa 2 es producir q2 ≥ 0 que maximiza sus beneficios. Es decir, la empresa2 ha de resolver el siguiente problema de maximizacion

maxq2≥0

q2[max{a − q2 − q3, 0}] − cq2.

Es facil comprobar que si a − q3 ≤ c entonces el optimo nivel q2 es 0. Sinembargo, si a − q3 > c, entonces el nivel optimo q2 es estrictamente positivo yes la solucion de la condicion de primer orden

a − 2q2 − q3 − c = 0.

Por tanto, la funcion de mejor respuesta de la empresa 2 viene dada por

R2(q3) =

{

0 si a − q3 ≤ c;(a − q3 − c)/2 si a − q3 > c.

Analogamente, la funcion de mejor respuesta de la empresa 3 viene dada por

R3(q2) =

{

0 si a − q2 ≤ c;(a − q2 − c)/2 si a − q2 > c.

Una vez calculadas las funciones de mejor respuesta podemos hallar losequilibrios de Nash. Miremos todos los posibles perfiles (recordad que a > c):

• Caso I: (q∗2, q∗3) = (0, 0). ¿Es un equilibrio de Nash? Supongamos que sı.

Entonces (utilizando las funciones de mejor respuesta) como a−q∗3 = a > cse tiene que q∗2 = (a − c)/2 > 0, lo cual es una contradiccion con q∗2 = 0.Por tanto (q∗2, q

∗3) = (0, 0) no es un equilibrio.

13

f(A) = IP (A) + IH(A)

A

IP (A)

IH(A)

A∗

Figura 22: Juego, ejercicio 5: optima accion A∗

1

2

2q2

q′1

3

3

3

3

q2

q′2

q′2

q3

q′3q3

q′3q3

q′3q3

q′3

q1

Figura 23: Juego, ejercicio 6: forma extensiva (parcial)

• Caso II: (q∗2, q∗3) = (0, q∗3) con q∗3 > 0. ¿Es un equilibrio de Nash?

Supongamos que sı. Entonces (utilizando las funciones de mejor respuesta)como q∗3 > 0 se tiene que q∗3 = (a − q∗2 − c)/2 = (a − c)/2, es decir

2q∗3 = a − c. (1)

Por otro lado, como q∗2 = 0 necesariamente se tiene que a − q∗3 ≤ c, esdecir,

a − c ≤ q∗3 . (2)

Combinando (1) y (2), 2q∗3 = a−c ≤ q∗3 , lo cual es imposible ya que q∗3 > 0.Por tanto no hay equilibrio (q∗2, q

∗3) = (0, q∗3) con q∗3 > 0.

• Caso III: (q∗2, q∗3) = (q∗2, 0) con q∗2 > 0. ¿Es un equilibrio de Nash? La

respuesta es negativa (utiliza un razonamiento como el del Caso II).

• Caso IV: (q∗2 , q∗3) con q∗2 > 0 y q∗3 > 0. ¿Hay un equilibrio de Nash de este

tipo? Utilizando las funciones de mejor respuesta vemos que sı. Ademas

14

podemos obtener facilmente los valores de q∗2 y q∗3 dado que satisfacen elsiguiente sistema de dos ecuaciones con dos variables

{

q∗2 = (a − q∗3 − c)/2;q∗3 = (a − q∗2 − c)/2.

Si restamos la segunda ecuacion a la primera, obtenemos q∗2 = q∗3. Luegoq∗2 = (a − q∗2 − c)/2. Por tanto, q∗2 = q∗3 = (a − c)/3.

Resumiendo, el unico equilibrio de Nash en el subjuego (con los jugadores 2 y3) es

(q∗2, q∗3) = (0, 0) si a ≤ c, es decir si q1 ≥ a − c; (3)

(q∗2, q∗3) = (

a − c

3,a − c

3) si a > c, es decir si q1 < a − c. (4)

Ahora calculamos el nivel optimo q∗1 ≥ 0 de la empresa 1 que anticipara elcomportamiento racional de las empresas 2 y 3 (es decir, el equilibrio de Nash(q∗2 , q

∗3) del subjuego subsiguiente). Es facil comprobar que producir a un nivel

q1 ≥ a − c no le llevara a beneficios estrictamente positivos. Si por otro ladodecide producir una cantidad q1 con 0 ≤ q1 < a − c entonces sı que podraobtener unos beneficios estrictamente positivos. Veamos por que. La empresa1 ha de resolver el siguiente problema de maximizacion

max0≤q1<a−c

q1[max{a − q∗2 − q∗3 − q1, 0}] − cq1.

Como q1 < a − c (es decir, a > c) tenemos que (q∗2, q∗3) = ( a−c

3, a−c

3). Pero,

entonces el problema de maximizacion es en realidad el siguiente:

max0≤q1<a−c

q1[max{a − 2,a − c

3− q1, 0}] − cq1.

Substituyendo a := a − q1,

max0≤q1<a−c

q1[max{a − 2a − c − q1

3− q1, 0}] − cq1.

Observamos que a− 2a−c−q1

3− q1 > 0 es equivalente a q1 < a + 2c. Y dado que

q1 < a − c < a + 2c, el problema de la empresa 1 se reduce a

max0≤q1<a−c

q1[a − 2a − c − q1

3− q1] − cq1,

cuya condicion de primer orden es

1

3(a − c) −

2

3q1 = 0.

Por tanto, la empresa elegira producir

q∗1 =a − c

2, (5)

15

que efectivamente le proporcionara unos beneficios estrictamente positivos:

Π1(q∗1, q

∗2, q

∗3) = q∗1[a − 2

a − c − q∗13

− q∗1] − cq∗1

= −1

3[(c − a)q∗1 + (q∗1)

2]

= −1

3

[

(c − a)a − c

2+

(

a − c

2

)2]

=

(

−1

3

)(

−1

4

)

(a − c)2 > 0.

En particular, el unico equilibrio de Nash perfecto en subjuegos viene dado por(3), (4) y (5).

7. (Difıcil.) Considera la competencia oligopolıstica con diferenciacion de producto(localizacion). Dos empresas producen un bien homogeneo. Supongamos que el costemarginal de cada empresa es igual a cero. Las empresas maximizan sus beneficios(=ingresos) πi = pidi (s1, s2; p1, p2). Donde di(.) es la demanda de la empresa i.Supongamos que los consumidores estan uniformemente distribuidos a lo largo delintervalo [0, 1]. El juego es el siguiente: En una primera etapa las empresas eligensimultaneamente una localizacion (s1, s2), donde si es la localizacion dentro delintervalo [0, 1] de la empresa 1, sin perdida de generalidad suponemos que s2 ≥ s1.En una segunda etapa, ambas empresas observan (s1, s2) y compiten en precios.La utilidad de un consumidor h (localizado en el punto h) cuando le compra a laempresa i es igual a uh = 10 − pi − 3 (h − si)

2. Dado que los consumidores soloeligen a quien comprarle, es facil comprobar que d1 (s1, s2; p1, p2) = p2−p1

6(s2−s1)+ s1+s2

2

y d2 (s1, s2; p1, p2) = 1 − p2−p1

6(s2−s1)− s1+s2

2.

(a) Hallar el equilibrio perfecto en subjuegos.

Solucion. Empezamos con los subjuegos en los que los jugadores observanlas decisiones (s1, s2) y han de escoger los precios p1 y p2. Podemos calculardirectamente las funciones de mejor respuesta y resolver un sistema de dosecuaciones con dos variables. Otra posibilidad es seguir los pasos de estaaplicacion del Tema 3 (ver las diapositivas1). En cualquier caso encontramoslos precios en cada subjuego:

p∗1(s1, s2) = 2(s2 − s1) + (s22 − s2

1); (6)

p∗2(s1, s2) = 4(s2 − s1) − (s22 − s2

1). (7)

(Estos precios han de ser numeros no negativos. ¿Por que lo son?) Ahoraqueda por determinar el equilibrio de Nash (s∗1, s

∗2). Siguiendo los pasos de las

diapositivas (¡comprobad los detalles!) llegamos a la conclusion que

s∗1 = 0; (8)

s∗2 = 1. (9)

1Utiliza la siguiente correspondencia: a = s1, 1 − b = s2, t = q = 3, c = 0 y u = 10.

16

Por tanto, el unico equilibrio perfecto en subjuegos viene dado por (6)—(9). Nos referimos al libro “Economıa y Juegos” de Fernando Vega Redondo(seccion 5.3, paginas 130—136) para mas detalles.

(b) Calcular los ingresos de cada empresa en equilibrio. Interpretar el resultado.

Solucion. Los precios correspondientes a las localizaciones (s∗1, s∗2) = (0, 1)

son p∗1(0, 1) = p∗2(0, 1) = 3. Los ingresos de cada empresa son por tantop∗i (0, 1)di(0, 1; 3, 3) = 3 × 1

2= 3

2. El equilibrio induce ambas empresas a

extremar su distancia. Obtienen los mismos ingresos.

8. Sea el juego en forma normal G = {S1 = {A, M, B}, S2 = {I, C, D}, u1, u2} cuyospagos estan resumidos en la matriz de pagos:

1\2 I C DA (3, 2) (0, 0) (0, 1)M (1, 1) (5, 5) (1, 0)B (0, 1) (3, 5) (3, 0)

(a) Calcular los equilibrios de Nash del juego de una sola tirada (en estrategiaspuras y mixtas).

Solucion. Primero buscamos las mejores respuestas (para poder calcular losequilibrios de Nash en estrategias puras):

1\2 I C DA (3, 2) (0, 0) (0, 1)M (1, 1) (5, 5) (1, 0)B (0, 1) (3, 5) (3, 0)

Por tanto, hay dos equilibrios de Nash en estrategias puras: (A, I) y (M, C).

Para poder calcular los equilibrios de Nash en estrategias mixtas primeroeliminamos iterativamente las estrategias dominadas. La estrategia D esdominada por la estrategia I. Eliminamos D y el juego resultante es elsiguiente:

1\2 I CA (3, 2) (0, 0)M (1, 1) (5, 5)B (0, 1) (3, 5)

En este juego reducido la estrategia B es dominada por la estrategia M .Eliminamos B y el juego resultante es un juego 2×2 sin estrategias dominadas:

1\2 I CA (3, 2) (0, 0)M (1, 1) (5, 5)

Calculamos las correspondencias Ri de mejores respuestas para ambosjugadores. Para hallar las mejores respuestas del jugador 1 fijemos la estrategiaq del jugador 2. El jugador 1 es indiferente entre jugar A y M si y solo

17

si u1(A, q) = u1(M, q), lo cual es equivalente a 3q = q + 5(1 − q), o sea,q = 5

7≈ 0.71. Es facil verificar que

R1(q) =

0 si q < 0.71;[0,1] si q = 0.71;1 si q > 0.71.

Para hallar las mejores respuestas del jugador 2 fijemos la estrategia p deljugador 1. El jugador 2 es indiferente entre jugar I y C si y solo si u2(p, I) =u2(p, C), lo cual es equivalente a 2p+1− p = 5(1− p), o sea, p = 2

3≈ 0.66. Es

facil verificar que

R2(p) =

0 si p < 0.66;[0,1] si p = 0.66;1 si p > 0.66.

Utilizando la representacion grafica (la Figura 24) de las correspondenciasde mejor respuesta vemos que su “interseccion” es el conjunto{(0, 0), (1, 1), (2

3, 5

7)}. Por tanto los equilibrios de Nash vienen dados por

{(0, 0), (1, 1), (23, 5

7)}. (¿De donde provienen los perfiles (0, 0) y (1, 1)?)

p

q

0.66

1

1

mejor respuesta R1

mejor respuesta R2

0.71


(b) Supongamos a partir de ahora que el juego se repite dos veces con un factorde descuento 0 < δ < 1. ¿Puede ser (M, C) parte de un equilibrio perfecto ensubjuegos? ¿Para que valores de δ?

Solucion. Sea s∗1 la estrategia de jugar M en cualquier etapa (1 o 2) haga loque haga el jugador 2. Sea s∗2 la estrategia de jugar C en cualquier etapa (1 o2) haga lo que haga el jugador 1. Es facil comprobar (¡hacerlo!) que el perfil(s∗1, s

∗2) es un EPS para todos los valores 0 < δ < 1.

(c) ¿Puede ser (B, D) parte de un equilibrio perfecto en subjuegos (con estrategiaspuras)? Y en general, ¿puede ser una estrategia estrictamente dominada deljuego de etapa parte de un equilibrio perfecto en subjuegos?

Solucion. Para cualquier subjuego en la segunda etapa el EPS ha de inducirun EN. Como solamente miramos los EPS con estrategias puras, cualquier ENen la segunda etapa ha de ser un EN en estrategias puras. Por tanto podemosdistinguir entre dos casos: en el subjuego despues de jugar en la primera etapael perfil (B, D), el EPS induce el EN (M, C) o bien el EN (A, I). Como nos

18

piden un EPS en el que (B, D) forma parte de las estrategias necesariamenteeste EPS induce a jugar las estrategias (B, D) en la primera etapa (en otraspalabras, en la segunda etapa no hay margen para estrategias que no sean EN).

En el primer caso el jugador 2 tiene un pago total de 0 + 5δ. Sin embargosi se desvıa y juega C en la primera etapa obtendra al menos 5 + 2δ. Como5 + 2δ > 5δ descartamos la existencia de un EPS del primer tipo (caso).

En el segundo caso el jugador 2 tiene un pago total de 0 + 2δ. Sin embargosi se desvıa y juega C en la primera etapa obtendra al menos 5 + 2δ. Como5 + 2δ > 2δ descartamos tambien la existencia de un EPS del segundo tipo(caso).

Por tanto, e independientemente del valor de δ, concluimos que (B, D) noforma parte de un equilibrio perfecto en subjuegos (con estrategias puras). Enparticular, vemos que la estrategia dominada D no forma parte de un EPS. Sinembargo, en general es posible que una estrategia dominada forme parte de unEPS, tal y como demostramos a continuacion mediante el siguiente ejemplo.Sea el juego en forma normal G′ = {S1 = {A, M, B}, S2 = {I, C, D}, u′

1, u′2}

cuyos pagos estan resumidos en la matriz de pagos:

1\2 I C D

A (3, 2)

(

0,3

2

)

(0, 1)

M (1, 1) (5, 5) (1, 0)

B (0, 1)

(

3,11

2

)

(3, 3)

Primero observamos que D es una estrategia estrictamente dominada (por laestrategia C). Hallamos las mejores respuestas:

1\2 I C D

A (3, 2)

(

0,3

2

)

(0, 1)

M (1, 1) (5, 5) (1, 0)

B (0, 1)

(

3,11

2

)

(3, 3)

Por tanto, hay dos equilibrios de Nash en estrategias puras: (A, I) y (M, C).Consideremos las siguientes estrategias para el juego repetido (2 veces).

• Estrategia s∗∗1 del jugador 1: En la primera etapa jugar B. En la segundaetapa jugar A, a no ser que se haya jugado (B, D) en la primera etapa, encuyo caso se juega M en la segunda etapa.

• Estrategia s∗∗2 del jugador 2: En la primera etapa jugar D. En la segundaetapa jugar I, a no ser que se haya jugado (B, D) en la primera etapa, encuyo caso se juega C en la segunda etapa.

Desde luego, la estrategia dominada D forma parte del perfil (s∗∗1 , s∗∗2 ) y sellega a jugar si nadie se desvıa. Pero, ¿(s∗∗1 , s∗∗2 ) es EPS?

19

Analicemoslo. El pago al jugador 2 en (s∗∗1 , s∗∗2 ) es 3 + 5δ ≈ 8 si δ essuficientemente grande. La mejor desviacion del jugador 2 es jugar C en laprimera etapa. En tal caso su pago final es como mucho 11

2+ 2δ ≤ 7.5 y

por tanto su mejor desviacion no es profitable. Por otra parte, se compruebafacilmente que el jugador 1 tampoco tiene ninguna desviacion profitable. Portanto, (s∗∗1 , s∗∗2 ) es efectivamente un EPS con la caracterıstica deseada (si δ essuficientemente grande).

(d) Supongamos a partir de ahora que el juego se repite un numero ilimitado deveces con un factor de descuento 0 < δ < 1. ¿Puede ser (M, C) parte de unequilibrio perfecto en subjuegos? ¿Para que valores de δ?

Solucion. Sea s′1 la estrategia de jugar M en cualquier etapa haga lo que hagael jugador 2. Sea s′2 la estrategia de jugar C en cualquier etapa haga lo quehaga el jugador 1. Es facil comprobar (¡hacerlo!) que el perfil (s′1, s

′2) es un

EPS para todos los valores 0 < δ < 1. (¿Cuales son los pagos resultantes?)

9. Sea el juego en forma normal G = {S1 = {A, B}, S2 = {C, D}, u1, u2} cuyos pagosestan resumidos en la matriz de pagos:

1\2 L RA (4, 1) (3, 2)B (1, 4) (6, 3)

Considere el juego G repetido infinitamente. Hallar un equilibrio de Nash y unfactor de descuento δ que llevan a unas ganancias medias de (6, 3).

Solucion. Hay dos metodos de resolver el problema. El primero metodo consiste enaplicar el Teorema de Friedman. El segundo metodo consiste en aplicar el Teoremade Wen. (¡Importante: hay situaciones en las que solamente podemos aplicar elTeorema de Wen!)

• Aplicar el Teorema de Friedman. Calculamos las correspondencias Ri demejores respuestas para ambos jugadores. Para hallar las mejores respuestasdel jugador 1 fijemos la estrategia q del jugador 2. El jugador 1 es indiferenteentre jugar A y B si y solo si u1(A, q) = u1(B, q), lo cual es equivalente a4q + 3(1 − q) = q + 6(1 − q), o sea, q = 0.5. Es facil verificar que

R1(q) =

0 si q < 0.5;[0,1] si q = 0.5;1 si q > 0.5.

Para hallar las mejores respuestas del jugador 2 fijemos la estrategia p deljugador 1. El jugador 2 es indiferente entre jugar L y R si y solo si u2(p, L) =u2(p, R), lo cual es equivalente a p + 4(1 − p) = 2p + 3(1 − p), o sea, p = 0.5.Es facil verificar que

R2(p) =

1 si p < 0.5;[0,1] si p = 0.5;0 si p > 0.5.

20

Utilizando la representacion grafica (la Figura 25) de las correspondencias demejor respuesta vemos que su “interseccion” es el conjunto {(0.5, 0.5)}. Portanto el unico equilibrios de Nash es (0.5, 0.5).

p

q

1

1

mejor respuesta R2

mejor respuesta R1


Los pagos en el equilibrio son e1 = u1(0.5, 0.5) = u1(B, 0.5) = 1×0.5+6×0.5 =3.5 y e2 = u2(0.5, 0.5) = u2(0.5, R) = 2 × 0.5 + 3 × 0.5 = 2.5. Observamos que(6,3) son pagos factibles en el juego de etapa G: (6, 3) = (u1(B, R), u2(B, R)).Ademas 6 > e1 = 3.5 y 3 > e2 = 2.5. Por lo tanto podemos aplicar el Teoremade Friedman.

Primero computamos el factor de descuento:

δ > max

{

6 − 6

6 − 3.5,

4 − 3

4 − 2.5

}

= 0.4.

Por ultimo, la descripcion del EPS de Friedman (elaborada en clase, no en lasdiapositivas): La estrategia del jugador 1 sera jugar B a no ser que el jugador2 haya jugado alguna vez una estrategia que no sea R; en este caso el jugador1 jugara la estrategia mixta 0.5 (la estrategia del jugador 1 en el equilibriode G) para siempre. La estrategia del jugador 2 sera jugar R a no ser que eljugador 1 haya jugado alguna vez otra estrategia que B; en este caso el jugador2 jugara la estrategia mixta 0.5 (la estrategia del jugador 2 en el equilibrio deG) para siempre. Observacion: el equilibrio de Friedman no es solo un EN sinotambien un EPS.

• El Teorema de Wen. Calculamos primero los valores minimax v1 y v2. Pordefinicion,

v1 = minq∈[0,1]

max p ∈ [0, 1] u1(p, q)

= minq∈[0,1]

max{u1(A, q), u1(B, q)}

=: minq∈[0,1]

f1(q)

Ası mismo,

v2 = minp∈[0,1]

max q ∈ [0, 1] u2(p, q)

= minp∈[0,1]

max{u2(p, L), u2(p, R)}

=: minp∈[0,1]

f2(p)

21

Ahora podemos hallar graficamente los valores de v1 y v2. Observamos en laFigura 26 que v1 = 3.5 y v2 = 2. Obtenemos en cuatro pasos un EN del juego

q

u1

0.5

1

f1

3.5

1

p

u2

1

f2

2

1

Figura 26: Juego, ejercicio 9: v1 y v2

repetido con unas ganancias medias de (6, 3) (veanse las diapositivas del Tema3):

(a) (6,3) son pagos factibles en el juego de etapa G: (6, 3) =(u1(B, R), u2(B, R)). Ademas 6 > v1 = 3.5 y 3 > v2 = 2. Por lo tantopodemos aplicar el Teorema de Wen.

(b) La estrategia del jugador 2 para “amenazar” al jugador 1 es α1−1 = α1

2 =0.5 (es decir, una estrategia mixta). La estrategia del jugador 1 para“amenazar” al jugador 2 es α2

−2 = α21 = 1.

(c) La estrategia del jugador 1 sera jugar B a no ser que el jugador 2 hayajugado alguna vez una estrategia que no sea R; en este caso el jugador 1jugara α2

1 = 1 para siempre. La estrategia del jugador 2 sera jugar R a noser que el jugador 1 haya jugado alguna vez otra estrategia que B; en estecaso el jugador 2 jugara α1

2 = 0.5 para siempre.

(d) El factor de descuento ha de cumplir

δ > max

{

6 − 6

6 − 3.5,4 − 3

4 − 2

}

= 0.5.

10. Considere el modelo de negociacion de Stahl-Rubinstein con T = 2 etapas. Eljugador 1 tiene un factor de descuento δ1, y el jugador 2 tiene un factor de descuentoδ2 con δ1, δ2 ∈ (0, 1). Si no llegan a un acuerdo entonces reciben en la etapa 3 lospagos (s, 1 − s) donde 0 < s < 1 es una constante (exogena).

(a) Supongamos que el jugador 1 propone primero. Representar el juego en suforma extensiva.

Solucion. En la Figura 27 se ha representado el juego en forma extensiva demanera simplificada (por ejemplo, en el arbol completo saldrıan un numeroinfinito de ramas del primer nodo del jugador 1).

22

(s1, 1 − s1)

2

1

1no

sı

(s2, 1 − s2)1

2

2no

sı

(s1, 1 − s1)

(δ1s2, δ2(1 − s2))

(δ12s, δ2

2(1 − s))

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·· · ·

· · ·

etapa 1 etapa 2

· · ·

Figura 27: Juego, ejercicio 10: forma extensiva (simplificada)

(b) Supongamos que el jugador 1 propone primero. Calcular el equilibrio perfectoen subjuegos. Comparar los pagos de equilibrio de ambos jugadores si δ1 < δ2.

Solucion. Como es un juego con informacion perfecta buscamos el equilibriopor induccion hacia atras. Normalmente analizamos entonces los (ultimos)subjuegos al final del arbol. Sin embargo, en el modelo de negociacion deStahl-Rubinstein es mas conveniente hacer el analisis etapa por etapa. Es decir,solamente miraremos los subjuegos que empiezan en un nodo del jugador 2 enla etapa 2 y el subjuego que empieza en el nodo del jugador 1 en la etapa 1 (eljuego completo).

• Un subjuego (cualquiera) que empieza en un nodo del jugador 2 en la etapa2. El jugador 1 acepta la propuesta s2 del jugador 2 si y solo si s2 ≥ δ1s.Por tanto el jugador 2 ha de elegir entre (a) ofrecer δ1s y recibir 1− δ1s, y(b) ofrecer menos y recibir δ2(1 − s). Dado que δ1 < δ2 < 1 tenemos que

δ2(1 − s) = δ2 − δ2s < 1 − δ1s (10)

y por lo tanto el unico EPS de este subjuego es

– El jugador 2 proponer la reparticion (s∗2, 1 − s∗2) donde s∗2 := δ1s;

– El jugador 1 aceptar recibir cualquier cantidad ≥ s∗2.

El EPS llevara a los pagos (s∗2, 1 − s∗2) = (δ1s, 1 − δ1s).

• El subjuego que empieza en el nodo del jugador 1 en la etapa 1. El jugador2 acepta la propuesta 1− s1 del jugador 1 si y solo si 1− s1 ≥ δ2(1− s∗2) =δ2(1− δ1s) = δ2 − δ2δ1s (incorporamos el resultado del EPS de la segundaetapa pero hemos de “descontarlo”!). Por tanto el jugador 1 ha de elegirentre (a) ofrecer 1 − s∗1 := δ2 − δ2δ1s y recibir s∗1 = 1 − δ2 + δ2δ1s, y (b)ofrecer menos y recibir δ1s

∗2 = δ2

1s (de nuevo hay que descontar el pago dela segunda etapa). Dado que δ1 < δ2 < 1 tenemos que

δ21s < (1 − δ2) + δ2

1s < 1 − δ2 + δ2δ1s (11)

23

y por lo tanto en la primera etapa del unico EPS del juego

– El jugador 1 proponer la reparticion (s∗1, 1−s∗1) donde s∗1 = 1−δ2+δ2δ1s;

– El jugador 2 aceptar recibir cualquier cantidad ≥ 1 − s∗1.

Observamos que el resultado del unico EPS es que se acepta la propuesta(del jugador 1) en la primera etapa y que no se llegara a la segunda etapa.Los pagos resultantes son (s∗1, 1 − s∗1).

(c) Supongamos que δ1 = 0.8, δ2 = 0.6 y s = 0.5. ¿Al jugador 1 le conviene ser elprimero en proponer? ¿O prefiere ser el segundo en proponer?

Solucion. Primero buscamos el EPS si el jugador 1 es el primero en proponer.Observacion importante: δ1 > δ2, pero aun ası podemos repetir (casi) todoel razonamiento del apartado anterior! ¿Por que? Pues, la clave esta en lasecuaciones (10) y (11). Siguen ciertas en este apartado:

δ2(1 − s) = 0.6(1 − 0.5) = 0.3 < 0.6 = 1 − 0.8(0.5) = 1 − δ1s

δ21s = 0.64(0.5) = 0.32 < (1 − 0.6) + 0.6(0.8)(0.5) = 1 − δ2 + δ2δ1s

Por consiguiente, en esta situacion obtendremos exactamente el mismo (unico)EPS que en el apartado anterior. En particular, los pagos resultantes son denuevo son (s∗1, 1 − s∗1) donde s∗1 = 1 − δ2 + δ2δ1s. Es decir, los pagos son

(s∗1, 1 − s∗1) = (1 − δ2 + δ2δ1s, δ2 − δ2δ1s) = (0.64, 0.36) (12)

Nos queda por determinar los pagos en el EPS si el jugador 1 es el segundo enproponer. Evidentemente, esto quiere decir que el jugador 2 es el primero enproponer. Teniendo en cuenta que δ2 = 0.6 < 0.8 = δ1 vemos que podemosaplicar el apartado anterior si cambiamos los “papeles” de los jugadores. Peroen tal caso los pagos resultantes del unico EPS seran

(δ1 − δ1δ2s, 1 − δ1 + δ1δ2s) = (0.56, 0.44) (13)

Deducimos de (12) y (13) que el jugador 1 prefiere proponer primero (porque0.64 > 0.56). (El jugador 2 tambien preferira proponer primero ya que 0.44 >0.36.)

11. Consideramos el juego dinamico que consiste en jugar en la primera etapa el juegoG:

1\2 I DA (1, 1) (5, 0)B (0, 5) (4, 4)

y, despues de observar el resultado de esta etapa, jugar el juego G′

1\2 I DA (3, 3) (1, 4)B (4, 1) (2, 2)

Suponemos que no hay descuento (es decir que el pago final es la suma de los pagosde las dos etapas).

24

(a) Razonar cuidadosamente como son los equilibrios perfectos en subjuegos.

Solucion. El juego G′ (que se juega despues de observar las jugadas del juegoG) tiene un solo EN: (B, D) con pagos (2, 2). (La estrategia B domina a A,y la estrategia D domina a I.) Luego los jugadores “saben” que en realidadal principio juegan el juego G∗ (anticipando/incorporando el unico EN de lasegunda etapa):

1\2 I DA (3, 3) (7, 2)B (2, 7) (6, 6)

El juego G∗ tiene un solo EN: (A, I). Por tanto, el unico EPS es(ABBBB, IDDDD).

(b) ¿Cuales son las decisiones y pagos resultantes?

Solucion. Si los jugadores juegan el EPS del apartado anterior entonces elresultado sera unos pagos de (3, 3). La trayectoria sera (A, I)—(B, D).

(c) ¿Que pasarıa en caso de que el jugador 1 tuviese un factor de descuento δ1 yel jugador 2 tuviese un factor de descuento δ2, donde 0 < δ1, δ2 < 1.

Solucion. En caso de factores de descuento δ1 y δ2 no cambiara el EPS (¿porque?). Solo cambiaran los pagos: (1 + 2δ1, 1 + 2δ2) en lugar de (3, 3).

12. Consideramos el juego dinamico que consiste en jugar un numero infinito de perıodosel dilema del prisionero (col=colaborar):

1\2 no col colno col (1, 1) (5, 0)

col (0, 5) (4, 4)

Suponemos que ambos jugadores tienen un factor de descuento δ1 = δ2 = 12.

Consideremos la siguiente estrategia:

• En t = 1 colaboro.

• En t > 1 colaboro si y solo si el otro jugador ha colaborado en t − 1.

(a) ¿Cuales son los pagos resultantes si ambos jugadores siguen esta estrategia?

Solucion. El resultado para el jugador i sera un pago de

Πi = 4 + 4δi + 4δi2 + 4δi

3 + 4δi4 + . . .

= 4(1 + δi + δi2 + δi

3 + δi4 + . . .)

= 4(1

1 − δi

)

= 8

(b) ¿Es un equilibrio de Nash?

Solucion. Miramos las posibles desviaciones del jugador 1. (Sin perdida degeneralidad.)

25

• Desviacion en la primera etapa. Si el jugador 1 no colabora en la primeraetapa obtendra como mucho

Π′1 = 5 + 1δ1 + 1δ1

2 + 1δ13 + 1δ1

4 + . . .

≤ 5 + 1δ1 + 4δ12 + 4δ1

3 + 4δ14 + . . .

= 5 +1

2+ 4δ1

2(1 + δ1 + δ12 + δ1

3 + δ14 + . . .)

=11

2+ 4

(

1

4

)(

1

1 − 12

)

=11

2+ 2 = 7.5 = 7 +

1

2< 8,

por tanto no es profitable.

• Primera desviacion en la etapa 2. Si el jugador 1 colabora en la etapa 1pero no colabora en la etapa 2 obtendra como mucho

Π′′1 = 4 + 5δ1 + 1δ1

2 + 1δ13 + 1δ1

4 + 1δ15 + . . .

≤ 4 + 5δ1 + 4δ12 + 4δ1

3 + 4δ14 + 4δ1

5 + . . .

= 4 +5

2+

1

4+ 4δ1

3(1 + δ1 + δ12 + δ1

3 + δ14 + . . .)

=27

4+ 4

(

1

8

)(

1

1 − 12

)

=27

4+ 1 = 7 +

3

4< 8,

por tanto no es profitable.

• · · ·

• Primera desviacion en la etapa n. Si el jugador 1 colabora hasta la etapan − 1 (inclusive) pero no colabora en la etapa n obtendra como mucho7 + 2n−1

2n < 8. Por tanto no es profitable.

• · · ·

Concluimos que no vale la pena desviarse de la estrategia propuesta. Por tanto,el perfil de estrategias del enunciado es efectivamente un equilibrio de Nash.

13. Sea el siguiente juego en dos etapas. Hay dos empresas que pueden producir unmismo bien a costes marginales iguales a c. En la primera etapa, cada empresadecide “entrar” en el mercado (en cuyo caso debe pagar un coste irrecuperable F >0), o “no entrar” (que no tiene coste). En la segunda etapa, si solo una empresaha entrado se comporta como un monopolista. Si ambas han entrado compiten ala Cournot. Si Q es la cantidad total producida, entonces el precio es P (Q) =max{a − Q, 0}. Suponemos que a > c.

(a) Representar el juego en forma extensiva.

Solucion.

(b) Calcular los equilibrios perfectos en subjuegos.

Solucion. Primero calculamos los equilibrios de Nash de los subjuegos finales.

26

1

2

2

e

ne

nee

ene

monopolio de 2

(0, 0)

monopolio de 1

duopolio

Figura 28: Juego, ejercicio 13: juego en forma extensiva (simplificada)

• Monopolio. La empresa i en el monopolio ha de resolver el siguienteproblema de maximizacion

maxqi≥0

qi[max{a − qi, 0}] − cqi.

Como a > c el nivel optimo q∗i no sera 0. Luego la condicion de primerorden para un maximo interior es a − c − 2q = 0. Por tanto, el unicoequilibrio de Nash en el subjuego “monopolio” es q∗i = a−c

2.

• Duopolio. Si la empresa 2 escoge producir q2 ≥ 0 entonces la mejorrespuesta de la empresa 1 es producir q1 ≥ 0 que maximiza sus beneficios.Es decir, la empresa 1 ha de resolver el siguiente problema de maximizacion

maxq1≥0

q1[max{a − q1 − q2, 0}] − cq1.

Es facil comprobar que si a − q2 ≤ c entonces el optimo nivel q1 es 0. Sinembargo, si a−q2 > c, entonces el nivel optimo q1 es estrictamente positivoy es la solucion de la condicion de primer orden

a − 2q1 − q2 − c = 0.

Por tanto, la funcion de mejor respuesta de la empresa 1 viene dada por

R1(q2) =

{

0 si a − q2 ≤ c;(a − q2 − c)/2 si a − q2 > c.

Analogamente, la funcion de mejor respuesta de la empresa 2 viene dadapor

R2(q1) =

{

0 si a − q1 ≤ c;(a − q1 − c)/2 si a − q1 > c.

Una vez calculadas las funciones de mejor respuesta podemos hallar losequilibrios de Nash. Miremos todos los posibles perfiles (recordad quea > c):

– Caso I: (q∗1, q∗2) = (0, 0). ¿Es un equilibrio de Nash? Supongamos

que sı. Entonces (utilizando las funciones de mejor respuesta) comoa − q∗2 = a > c se tiene que q∗1 = (a − c)/2 > 0, lo cual es unacontradiccion con q∗1 = 0. Por tanto (q∗1, q

∗2) = (0, 0) no es un equilibrio.

27

– Caso II: (q∗1, q∗2) = (0, q∗2) con q∗2 > 0. ¿Es un equilibrio de Nash?

Supongamos que sı. Entonces (utilizando las funciones de mejorrespuesta) como q∗2 > 0 se tiene que q∗2 = (a − q∗1 − c)/2 = (a − c)/2,es decir

2q∗2 = a − c. (14)

Por otro lado, como q∗1 = 0 necesariamente se tiene que a − q∗2 ≤ c, esdecir,

a − c ≤ q∗2 . (15)

Combinando (14) y (15), 2q∗2 = a− c ≤ q∗2 , lo cual es imposible ya queq∗2 > 0. Por tanto no hay equilibrio (q∗1 , q

∗2) = (0, q∗2) con q∗2 > 0.

– Caso III: (q∗1, q∗2) = (q∗1, 0) con q∗1 > 0. ¿Es un equilibrio de Nash? La

respuesta es negativa (utiliza un razonamiento como el del Caso II).

– Caso IV: (q∗1, q∗2) con q∗1 > 0 y q∗2 > 0. ¿Hay un equilibrio de Nash de

este tipo? Utilizando las funciones de mejor respuesta vemos que sı.Ademas podemos obtener facilmente los valores de q∗1 y q∗2 dado quesatisfacen el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos variables

{

q∗1 = (a − q∗2 − c)/2;q∗2 = (a − q∗1 − c)/2.

Si restamos la segunda ecuacion a la primera, obtenemos q∗1 = q∗2.Luego q∗1 = (a − q∗1 − c)/2. Por tanto, q∗1 = q∗2 = (a − c)/3.

Resumiendo, el unico equilibrio de Nash en el subjuego “duopolio” es(q∗1, q

∗2) = (a−c

3, a−c

3).

Ahora calculamos los pagos del juego original. Si ambas empresas decidenentrar entonces cada una tiene un coste irrecuperable F > 0 y luego jueganun duopolio a la Cournot. Hemos determinado el resultado de la interaccionestrategica: (q∗1, q

∗2) = (a−c

3, a−c

3). Los beneficios resultantes son, para la

empresa i:

Πi(q∗1, q

∗2) = q∗i [max{a − q∗i − q∗j , 0}] − cq∗i

=a − c

3

[

max

{

a − 2

(

a − c

3

)

, 0

}]

− c

[

a − c

3

]

=a − c

3

[

a − 2

(

a − c

3

)]

− c

[

a − c

3

]

= (a − c)

[

a − c

3

]

− 2

[

a − c

3

]2

=

[

(a − c)2

3

]

−2

3

[

(a − c)2

3

]

=(a − c)2

9.

Si solo la empresa decide entrar entonces tendra un coste irrecuperable F > 0y luego juega un monopolio. Hemos determinado el resultado del monopolio:

28

q∗i = a−c2

. Los beneficios resultantes para la empresa i son:

Πi(q∗i ) = q∗i [max{a − q∗i , 0}] − cq∗i

=a − c

2

[

max

{

a −

(

a − c

2

)

, 0

}]

− c

[

a − c

2

]

=a − c

2

[

a −

(

a − c

2

)]

− c

[

a − c

2

]

= (a − c)

[

(a − c)

2

]

−

[

(a − c)

2

]2

=

[

(a − c)2

2

]

−

[

(a − c)2

4

]

=(a − c)2

4.

Incorporamos los beneficios (teniendo en cuenta que “entrar” conlleva un costeirrecuperable F > 0) y obtenemos el arbol de la Figura 29. Este juego es un

1

2

2

e

ne

nee

ene

(0, 0)

( (a−c)2

4− F, 0)

( (a−c)2

9− F, (a−c)2

9− F )

(0, (a−c)2

4− F )

Figura 29: Juego, ejercicio 13: juego reducido

juego estatico. Por tanto, el ultimo paso para calcular los EPS consiste enhallar los EN del juego estatico. La tabla de pagos correspondiente es

1 \ 2 e ne

e

(

(a − c)2

9− F,

(a − c)2

9− F

) (

(a − c)2

4− F, 0

)

ne

(

0,(a − c)2

4− F

)

(0, 0)

Sean

qc :=(a − c)2

9;

qm :=(a − c)2

4.

Como veremos a continuacion los equilibrios de Nash (y como consecuencia losEPS) dependen del valor de F > 0.

• Caso I: 0 < F < (a−c)2

9. En este caso

EPS = {(eqcqm, eqcqm)}.

29

(¡Recuerda que para jugador hay que indicar una accion para cadasubjuego en el que participa!) El resultado es que entraran las dos empresas

y que producen qc cada una. Los pagos son(

(a−c)2

9− F, (a−c)2

9− F

)

.

• Caso II: 0 < (a−c)2

9< F < (a−c)2

4. En este caso

EPS = {(eqcqm, neqcqm), (neqcqm, eqcqm)}.

El resultado es que entrara una empresa y producira qm. El pago de la

empresa que entra es (a−c)2

4− F y el de la otra empresa 0.

• Caso III: 0 < (a−c)2

4< F . En este caso

EPS = {(neqcqm, neqcqm)}.

El resultado es que no entrara ninguna empresa. Ambas empresas recibenun pago de 0.

(¿Cuales son los EPS si F = (a−c)2

9o F = (a−c)2

4?)

14. Considera el juego en forma extensiva y de informacion perfecta con tres jugadoresrepresentado en la figura donde los vectores de pagos representan los pagos de A, By C respectivamente.

A

B

B

a1

a2

b2

b1

b1

c2

c2

c1 (4, 4, 0)

(4, 0, 4)c1 (0, 1, 4)

(4, 4, 0)

b2c2

c1 (1, 1, 2)

(3, 0, 0)

C

C

Ca3

(1, 0, 2)

(0, 5, 5)


(a) Si el juego es de informacion perfecta y todos los jugadores pueden observar lasacciones previas de los demas, determina el perfil estrategico, la trayectoria ylos pagos de todos los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos en estrategiaspuras.

Solucion. En este juego hay informacion perfecta: en cada nodo de decisionel jugador al que toca escoger una accion conoce las jugadas anteriores. Portanto, el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos (EPS) es el equilibrio quese obtiene por induccion hacia atras. Empezamos al final del arbol, es decir,buscamos las acciones optimas para el ultimo jugador, luego volvemos un pasohacia el principio, etc. En la Figura 31 vemos el resultado de este analisis:un unico EPS que viene dado por (a2, b2b2, c2c1c1). Ası mismo vemos que latrayectoria es a2 − b2 − c1 y que los pagos correspondientes son (1, 1, 2).

30

A

B

B

a1

a2

b2

b1

b1

c2

c2

c1 (4, 4, 0)

(4, 0, 4)c1 (0, 1, 4)

(4, 4, 0)

b2c2

c1 (1, 1, 2)

(3, 0, 0)

C

C

Ca3

(1, 0, 2)

(0, 5, 5)

Figura 31: Juego, ejercicio 14(a): EPS

(b) Supon ahora que el jugador B es el unico que no puede observar las accionesde los demas jugadores. En este caso

(i) Representa el nuevo juego en forma extensiva.Solucion. El jugador B ya no podra observar la accion elegida por eljugador A. Por lo tanto, los dos nodos de decision del jugador B ahoraforman un solo conjunto de informacion. Es decir, los dos nodos de decisionestaran conectados (vease la Figura 32).

A

B

B

a1

a2

b2

b1

b1

c2

c2

c1 (4, 4, 0)

(4, 0, 4)c1 (0, 1, 4)

(4, 4, 0)

b2c2

c1 (1, 1, 2)

(3, 0, 0)

C

C

Ca3

(1, 0, 2)

(0, 5, 5)

Figura 32: Juego, ejercicio 14(b)

(ii) ¿Existen equilibrios de Nash perfectos en subjuegos en estrategias puras?En caso afirmativo, determina el perfil estrategico, la trayectoria y lospagos.Solucion. En esta situacion hay informacion imperfecta: hay al menosun jugador con un conjunto de informacion con al menos dos nodos dedecision. (El jugador B.) Para calcular los EPS empezamos de nuevopor el final e indicamos las mejores acciones del ultimo jugador (vease laFigura 33).Nos gustarıa indicar la mejor accion del jugador B en cada uno de sus dosnodos de decision. Pero, el jugador B no sabe “donde se encuentra”. Esto,¿supone un problema? Pues, en este caso particular no supone ningunproblema. La razon es que este donde este, el jugador B debera elegirla misma accion (b2) en ambos nodos. Luego, el jugador A escogera de

31

A

B

B

a1

a2

b2

b1

b1

c2

c2

c1 (4, 4, 0)

(4, 0, 4)c1 (0, 1, 4)

(4, 4, 0)

b2c2

c1 (1, 1, 2)

(3, 0, 0)

C

C

Ca3

(1, 0, 2)

(0, 5, 5)

Figura 33: Juego, ejercicio 14(b): EPS, paso 1

nuevo la accion a2 (vease la Figura 34). De la Figura 34 podemos deducir

A

B

B

a1

a2

b2

b1

b1

c2

c2

c1 (4, 4, 0)

(4, 0, 4)c1 (0, 1, 4)

(4, 4, 0)

b2c2

c1 (1, 1, 2)

(3, 0, 0)

C

C

Ca3

(1, 0, 2)

(0, 5, 5)

Figura 34: Juego, ejercicio 14(b): EPS, paso 2

el un unico EPS: (a2, b2, c2c1c1). Ası mismo vemos que la trayectoria esa2 − b2 − c1 y que los pagos correspondientes son (1, 1, 2). ¡Importante: laestrategia del jugador B es b2 en el EPS del apartado (b), y b2b2 en el EPSdel apartado (a)!

(c) Supon ahora que las acciones de A son observables por B y C, pero C no puedeobservar las acciones de B. En este caso:

(i) Representa el nuevo juego en forma extensiva.Solucion. El jugador C ya no podra observar la accion elegida por eljugador B. Por lo tanto, los dos nodos superiores del jugador C ahoraforman un solo conjunto de informacion. ¡No debemos conectar los tresnodos del juegador C porque si lo hacemos tampoco podra observar la accionelegida por el jugador A! Es decir, los dos nodos superiores del jugador Cestaran conectados (vease la Figura 35).

(ii) ¿Existen equilibrios de Nash perfectos en subjuegos en estrategias puras?En caso afirmativo, determina el perfil estrategico, la trayectoria y lospagos.Solucion. En esta situacion hay informacion imperfecta: hay al menosun jugador con un conjunto de informacion con al menos dos nodos dedecision. (El jugador C.) Para calcular los EPS empezamos de nuevo

32

A

B

B

a1

a2

b2

b1

b1

c2

c2

c1 (4, 4, 0)

(4, 0, 4)c1 (0, 1, 4)

(4, 4, 0)

b2c2

c1 (1, 1, 2)

(3, 0, 0)

C

C

Ca3

(1, 0, 2)

(0, 5, 5)

Figura 35: Juego, ejercicio 14(c)

por el final e indicamos las mejores acciones del ultimo jugador (vease laFigura 36).

A

B

B

a1

a2

b2

b1

b1

c2

c2

c1 (4, 4, 0)

(4, 0, 4)c1 (0, 1, 4)

(4, 4, 0)

b2c2

c1 (1, 1, 2)

(3, 0, 0)

C

C

Ca3

(1, 0, 2)

(0, 5, 5)

Figura 36: Juego, ejercicio 14(c): EPS, paso 1

Nos gustarıa indicar la mejor accion del jugador C en cada uno de sus dosnodos superiores. Pero, el jugador C no sabe “donde se encuentra”. Esto,¿supone un problema? Pues sı. La razon es que el jugador C quiere elegirc2 en el primer nodo y c1 en el segundo nodo (pero no puede porque noes capaz de distinguir los dos nodos). Debera elegir la misma accion enambos nodos. ¿Cual? Pues, esta accion es determinada por el subjuegoque empieza en el nodo superior del jugador B (la elipse en la Figura 36).Analicemos este juego estatico. Es un juego con 2 jugadores (B y C). Latabla de pagos viene dada por

B \ C c1 c2

b1 (4, 0) (0, 4)b2 (1, 4) (4, 0)

Como podemos observar (despues de indicar las mejores respuestas), estejuego estatico no tiene equilibrios de Nash en estrategias puras. Por lotanto tampoco hay equilibrios perfectos en subjuegos en estrategias puras.

33

especiﬁcar el conjunto de estrategias puras de cada...

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