Conjuntos

Contenidos del tema: Definición de conjunto Notaciones Relaciones elemento- conjunto y

Conjunto- conjunto Conjuntos especiales: . U, N, Z, Q,

R Diagramas de Venn – Euler Operaciones con conjuntos

    

Definición de conjunto

Un conjunto es una colección de elementos bien determinada.

colección :sinónimo de famila, clase, etc

elemento:Sinónimo de objeto, miembro, etc

bien determinada: significa que siempre es posible determinar si un elemento pertenece o no al conjunto

Notación

Los conjuntos se representan usualmente con letras mayúsculas: A,B,C,D,....

A los elementos que forman parte del conjunto se les denota con letras minúsculas a,b,c,m,s,.....

Relación Elemento-

Conjunto: Pertenencia

La relación entre conjunto y elemento es la de pertenencia

Escribimos y decimos: a A (el elemento a pertenece al conjunto A)

……y en caso de que no pertenezca escribimos: a A ( a no pertenece a A)

Representación con Diagramas de Venn-

Euler

b.a

BA

¿Son conjuntos o no?

Los mejores cantantes del mundoLos hombres altosLos hombresLas chicas simpáticasLos perros dálmatasLos ganadores del premio Oscar

¿Cómo se definen los conjuntos?

Por descripción verbalPor extensión o listado

Cuando se listan o especifican sus elementos

Por comprensión Cuando se da la propiedad que

verifican sus elementos. Predicados

EjemplosDescripción verbal:

El conjunto de los 5 primeros ganadores de la rifa de Fe y Alegría

Listado: A ={Luis, María, Pedro, Iván, José}

Comprensión: A ={x / x es uno de los 5 primeros

ganadores de la rifa de Fe y Alegría} A ={x / P(x)}

Ejemplos

Dados los siguientes conjuntos: A ={1,2,3,4,5,6,7,8} B = {Luisa, Ana, Pedro}

Diremos : 2 A Luisa B 10 A Pedro A

Representación con Diagramas de Venn-

Euler

Luisa

Ana

Pedro

1 2 34

5 6 7 8

BA

1 2 34

5 6 7 8

Subconjuntos

Relación Conjunto- Conjunto

Decimos que A es subconjunto de B si dado cualquier elemento del conjunto A, entonces éste está en B.

Esto lo escribimos como:

A B x : x A x B

A

B

EjemplosDados los siguientes conjuntos:

A ={1,2,3,4,5,6,7,8} B = {2,4,6,8} C = {1,3,5,7}

Diremos : B A ( B subconjunto de A) C A ( C subconjunto de A) C B ( C no es subconjunto de B)

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si:

A B y B A

Es decir : A = B x : (x A x B y

x B x A)

EjemploSean: A= {a,b } ; B= {a,b,c,d,e} ; C = { {a,b },{c} }. Diga si las siguientes

aseveraciones son Verdaderas o Falsas.

{ c} B o { c} A { c} B y { c} A  c A{ c, d, a } B{ c} C{a,b,c} B{{a,b }} C

F

V

FV

F

V

F

Complemento de un conjunto

Dado un conjunto A, llamamos complemento de A al conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a A

A ‘ = { x / x A }

Conjuntos numéricos

Naturales :N = {1, 2, 3, 4, 5, …………………..}Enteros:Z = {……., -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4,

……}Racionales:Q = { p/q , p y q enteros y q 0}Irracionales:

I = Q ’

Q

Z

N

I

Reales

Operaciones con

conjuntosLa Unión

Definimos la unión de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos.

A B = { x / x A x B }

Ejemplo

A = { a,b,c }B = { d, e }A B = { a,b,c,d,e }

A B

A B

Operaciones con

conjuntosLa Intersección

Definimos la intersección de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

A B = { x / x A x B }

Ejemplo

A = { a,b,c, d, e }B = { d, e , f }A B = {d, e }

AB

A B

Operaciones con conjuntosDiferencia

Definimos la diferencia de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B

A -B = { x / x A x B }

Ejemplo

A = { a,b,c, d, e }B = { d, e , f }A - B = {a,b,c }

AB

AB

A - B

Algunas propiedades A A(basta probar que x : x A x A )¿Cuándo es este condicional verdadero?

A(basta probar que x : x x A )¿Cuándo es este condicional verdadero?¿Cómo es el antecedente?

(A ’) ’ = A

(Ver que esto es equivalente a probar ~ ~ P(x) P(x) , siendo P(x) : x A

Algunas propiedades

Conmutativa : A B = B A y A B = B

A Asociativa:

A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C

Neutro para la Unión: A = A

Algunas propiedades

Neutro para la intersección A U = A

Distributiva A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

De Morgan

(A B) ’ = A ’ B ’ (A B) ’ = A ’ B ’

Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn

U

A

B

C

ABC

Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn

U

A

B

C

A- B

Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn

U

A

B

AB - AB

Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn

U

A

B

C C - AB

Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn

U

A

C

U - AC

A continuación se dan una serie de conjuntos definidos por comprensión. Se pide definirlos por extensión .(Z es el conjunto de números enteros)

A = { x Z / 3 < x 10} B = { x Z / x 1 x 5 } C= { x Z / x < 12 x 8 }

Utilizando los conjuntos definidos en el ejercicio anterior Encuentre:

a.A C b. A C c. B Cd. A B

¿Verdadero o falso? ….Justificar la respuesta

{ -2,0,2 } { -2,-1,1,2 } {2,5 } { 0,1,2,3,4,5} Para cualquier conjunto A se verifica: A A { -7,4,9 } { x / x es un número impar}

EJERCICIOS