de septiembre de 2012 Los números hiperreales Para construir los números hiperreales, según la construcción que he visto en todas las referencias, se parte del anillo RNde todas las sucesiones de números reales y se establece una dicotomía en P(N)entre subconjuntos grandesypequeñosde Nque cumpla las siguientes propiedades. 1. Todo s ubcon junt o fi nito, incluido e l va cío, es pequeo. !. "l complemen tario de un conju nto p equeo es gr ande. #. "l complemen tario de un conju nto g rande es peq ueo. $. %n su bconj unto d e un co njun to peq ueo e s pequ eo. &. 'a unión fini ta de conju ntos peque os es peque a. (ormalmente se suelen enunciar para c onjuntos grandes, pero es equivalente módulo las propiedades ! y #. 'a e)istencia de tal dicotomía requiere del *)ioma de "lección. (ormalmente se recurre a la e)i stencia de un ultrafiltro por el 'ema de +orn, pero no me meteren esto. -racias a esta dicotomía se construye una tricotomía en RN. adas dos sucesiones a−=(an)∞n=0y b−=(bn)∞n=0, los conjuntos de índices {n∈N|an>bn}, {n∈N|an<bn}y {n∈N|an=bn}son e)actamente dos pequeos y uno grande. /egún el que sea grande se dice a−>b−, a−<b−ó a−∼b−respectivamente. 0esulta que ∼es una relación de equivalencia en RNque respecta el orden y definimos los hiperreales como ∗R=RN/∼. 'a inmesión R⊂∗Rse hace mediante las sucesiones constantes. 'a operaciones se hacen trmino a trmino. "n caso de que un trmino quedara indefinido, como una división por , se completa con ceros o con cualquier número. a igual con qunúmero se complete porque se har2 en un conjunto pequeo de índices y las sucesiones ser2n equivalentes. (ótese que no son sólo las sucesiones convergentes, sino que las sucesiones oscilantes tambin entran. Por ejemplo, la s ucesión alternada ((−1)n)∞n=0coincide con la constante 1en los trminos pares y con la constante −1en los impares. /egún sea la dicotomía, e)actamente uno de los conjuntos de índices, los pares y los impares, ser2 grande y el otro ser2 pequeo. *sí la sucesión alternada ser2 equivalente a 1ó a −1. (ótese tambin que diferentes sucesiones convergentes a un mismo número representan diferentes números que difieren en un infinitsimo. "s lo que se llama el halode un elemento, su parte est2ndar, que es su límite. 'as funciones de variable real se pueden e)tender a los hiperreales de la
de septiembre de 2012Los nmeros hiperreales Para construir los
nmeros hiperreales, segn la construccin que he visto en todas las
referencias, se parte del anillo RN de todas las sucesiones de
nmeros reales y se establece una dicotoma en P(N) entre
subconjuntos grandes y pequeos de N que cumpla las siguientes
propiedades.1. Todo subconjunto finito, incluido el vaco, es
pequeo.2. El complementario de un conjunto pequeo es grande.3. El
complementario de un conjunto grande es pequeo.4. Un subconjunto de
un conjunto pequeo es pequeo.5. La unin finita de conjuntos pequeos
es pequea.Normalmente se suelen enunciar para conjuntos grandes,
pero es equivalente mdulo las propiedades 2 y 3. La existencia de
tal dicotoma requiere del Axioma de Eleccin. Normalmente se recurre
a la existencia de un ultrafiltro por el Lema de Zorn, pero no me
meter en esto.
Gracias a esta dicotoma se construye una tricotoma en RN . Dadas
dos sucesiones a=(an)n=0 y b=(bn)n=0 , los conjuntos de ndices
{nN|an>bn} , {nN|anb , a