Dada una funcin f(x) y un intervalo [a,b], laintegral definidaes igual al rea limitada entre la grfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

Laintegral definidase representa por.es el signo de integracin.almite inferior de la integracin.blmite superior de la integracin.f(x)es elintegrandoo funcin a integrar.dxesdiferencial de x, e indica cul es la variable de la funcin que se integra.Propiedades de la integral definida1. El valor de la integral definidacambia de signo si se permutan los lmites de integracin.

2.Si los lmites que integracin coinciden, laintegral definidavalecero.

3.Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definidase descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4.Laintegral definidade una suma de funciones es igual a la suma de integrales

5.La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin.

Funcin integralSeaf(t)unafuncin continuaen el intervalo[a, b]. A partir de esta funcin se define lafuncin integral:

que depende del lmite superior de integracin.Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.Geomtricamente lafuncin integral, F(x), representa elreadel recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A lafuncin integral, F(x), tambin se le llamafuncin de reasde f en el intervalo [a, b].

Propiedades de la integral definida1.El valor de la integral definidacambia de signo si se permutan los lmites de integracin.

2.Si los lmites que integracin coinciden, laintegral definidavalecero.

3.Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definidase descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4.Laintegral definidade una suma de funciones es igual a la suma de integrales

5.La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin.. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO > 1.5 teorema de existenciaSea una funcin real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica:El valor f se conoce como el valor medio de la funcin f (x) en el intervalo [a,b].Quiz sea interesante hacer varias observaciones:1) El punto c puede no ser nico. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.2) El valor medio de la funcin f (x) no se refiere a la tasa de variacin media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.3) El clculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el clculo de una integral definida. Dicho clculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando mtodos numricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integracin sencilla.

2. EL TEOREMA APLICADO A UNA FUNCIN DETERMINADA Vamos a estudiar la aplicacin del teorema a una funcin concreta. Para una primera aproximacin vamos a escoger una funcin que sea continua en cualquier intervalo de la recta real, para que tengamos la seguridad de que se cumple la hiptesis de nuestro teorema.La funcin objeto de nuestro estudio va a ser la siguiente: Los controles a y b son los extremos del intervalo. Al cambiar sus valores se puede observar como vara el valor medio de la funcin y el punto, o puntos, en que se alcanza dicho valor. La funcin con la que estamos trabajando es simtrica y eso provoca que en algunos intervalos el punto c no sea nico.El trazo azul indica el conjunto de valores que toma la funcin en el intervalo [a,b], cuyo valor medio queremos calcular. Ten en cuenta que el extremo del intervalo a debe ser ms pequeo que el extremo b. En cualquier caso, si te equivocases, aparecera un mensaje de error.

3. EL TEOREMA APLICADO A UN TIPO DIFERENTE DE FUNCIONESVamos a considerar ahora la aplicacin del teorema a un tipo diferente de funciones. Aqu el punto en el que se alcanza el valor medio es nico ya que la familia de funciones exponenciales que estudiamos, tambin con dominio en todos los nmeros reales y fcilmente integrables, se caracteriza por su monotona. El conjunto de funciones que representamos responde a la ecuacin generalen la que k puede tomar diversos valores reales en el intervalo [0.5 , 0.5], lo que hace que la funcin pueda ser una exponencial creciente o decreciente. En el caso K = 0, al tratarse de una funcin constante el teorema carece de inters.En la escena anterior la funcin era definida positiva y por tanto tambin lo era su valor medio. Ahora las funciones pueden tomar valores positivos y negativos segn los intervalos, lo que afecta al valor medio obtenido.El control k permite variar la funcin exponencial considerada. Los controles a y b representan, como en la escena anterior, los extremos del intervalo. Puedes estudiar diferentes intervalos en cada funcin que representesEXPLICACIN:

El teorema fundamental del clculo dice que laderivada de la funcin integral de la funcin continua f(x) es la propia f(x).F'(x) = f(x)El teorema fundamental del clculo nos indica que la derivacin y la integracin son operaciones inversas.Al integrar una funcin ccontinua y luego derivarla se recupera la funcin original.Ejemplos1.

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