calculo u3

Download Calculo u3

Post on 24-Jul-2015

1.193 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • UNIDAD 3 DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

    Propsitos: Continuar el estudio del concepto de derivada a travs del manejo de su representacin algebraica buscando que el alumno reconozca a las reglas de derivadas como un camino ms eficaz de obtener la derivada de una funcin. Aprendizajes. Al finalizar esta unidad el alumno: Obtiene la derivada de una funcin polinomial de 1, 2do 3er grado usando la

    definicin

    =

    ( ) ( )'( )x a

    f x f af x lmx a

    Identifica el patrn de comportamiento de las derivadas obtenidas con el lmite del cociente.

    Calcula la derivada de funciones algebraicas usando las reglas de derivacin. Reconoce la jerarqua de las operaciones involucradas en la regla de

    correspondencia de una funcin para aplicar correctamente las reglas de derivacin.

    Identifica las relaciones existentes entre la grfica de una funcin y la grfica de su derivada.

    Obtiene la ecuacin de la recta tangente en un punto de la grfica de una funcin.

    Obtiene la velocidad instantnea como la derivada de la funcin posicin y la aceleracin como la derivada de la velocidad.

    Da significado a la derivada de una funcin en el contexto de un problema. Introduccin. En la primera unidad aprendimos a explorar y resolver diversos problemas que nos permitieron acercarnos a los procesos infinitos, este acercamiento nos permiti introducirnos al concepto de lmite, primero de una sucesin y despus de una funcin, en general, en un punto dado. En la segunda unidad analizamos a la variacin y a la razn de cambio en problemas cuyos modelos matemticos fueron funciones polinomiales de primer, segundo y tercer grado, esto lo hicimos con la ayuda de la nocin de lmite. En esta seccin seguiremos nuestro estudio de la variacin y el cambio para funciones algebraicas, nuestro propsito fundamental es apropiarnos de las reglas de derivacin y reconocerlas como un camino ms eficaz para obtener la derivada de una funcin. En la unidad anterior calculaste algunos lmites, en las actividades siguientes se te pide recuerdes algunos de ellos y sin aproximar los valores conjetures los resultados de otros lmites. Propiedades de los lmites, resultados iniciales Hagamos algunos recordatorios de los lmites de funciones. Iniciaremos estos cuando la funcin es constante, y posteriormente cuando la funcin es polinomial de cualquier grado.

    46

  • Actividad 1: Te recordamos los lmites siguientes:

    =x almc c

    =

    x alm x a

    =2 2

    x alm x a

    1. Con base en estos resultados, conjetura el valor de: a) b) c) d)

    3

    x alm x

    4

    x alm x

    5

    x alm x

    12

    x alm x

    2. Ahora, si n representa a un nmero entero positivo, conjetura a qu ser igual el .

    n

    x alm x

    Propiedades de los lmites. Los lmites tienen varias propiedades muy importantes, algunas de ellas son: El lmite de una suma es la suma de los lmites

    + = +( ( ) ( )) ( ) ( )

    x a x a x alm f x g x lm f x lm g x (1)

    El lmite de un producto es el producto de los lmites ( )( ) =( ) ( ) ( ) ( )x a x a x alm f x g x lmf x lm g x (2) El lmite de un cociente es el cociente de los lmites

    = ( )( )

    ( ) ( )x a

    x ax a

    lmf xf xlmg x lmg x

    ,

    ( ) 0x alm g x (3)

    Estas propiedades no te las justificaremos porque para ello hace falta contar con la definicin de lmite de una funcin. Lo que s podemos hacer es tomar estos lmites como base para encontrar otras propiedades a partir de ellas. Por ejemplo: El lmite de una constante por una funcin es la constante por el lmite

    de la funcin.

    =( ) ( )

    x a x almcg x c lm g x (4)

    Esta propiedad se justifica a partir de (2) y de que

    =

    x almc c :

    ( )( ) = =( ) ( ) ( )x a x a x a x almcg x lmc lm g x c lm g x El resultado anterior, nos permite extraer del lmite a una constante, como se muestra a continuacin: ( )( ) = =(7 ) 7 7 7x a x a x a x alm x lm lm x lm x a=

    Utilizando las propiedades (1) y (4), podemos hacer lo siguiente:

    + = +( ( ) ( )) ( ) ( )

    x a x a x alm f x cg x lmf x lmcg x

    = +( ) ( )x a x alm f x c lm g x

    Si c = 1, se tiene que:

    = ( ( ) ( )) ( ) ( )x a x a x alm f x g x lm f x lm g x , es decir:

    47

  • El lmite de una diferencia es la diferencia de los lmites

    = ( ( ) ( )) ( ) ( )x a x a x alm f x g x lm f x lm g x

    (5)

    Las propiedades antes listadas y los lmites ya encontrados nos ayudarn a calcular lmites ms complicados. Actividad 2. 1. Utilizando las propiedades anteriores y los resultados que se han obtenido

    calcula el . +2

    5(2 3 1)

    xlm x x

    a) Sabemos que _____ y

    =5x

    lm x =2

    5xlm x _______

    b) Aplicando las propiedades (1) y (5) se tiene:

    + = +2 2

    5 5 5(2 3 1) 2 3 1

    x x xlm x x lm x lm x lm5x

    Ahora, aplicando la (4) se obtiene: =____________________ Finalmente:

    = ______ 2. Siguiendo un procedimiento similar al utilizado en el problema anterior,

    comprueba los siguientes resultados:

    a) b) + =3

    2(5 2 7) 43

    xlm x x

    =+

    2

    3

    3 5 44x

    xlmx

    c) d) + = 5 3

    0( 2 2 3) 3

    xlm x x

    =+

    2

    3

    3 5 224x

    xlmx

    e) f) + =3 2

    1(4 2 3)(5 6) 55

    xlm x x x

    = + 241 1

    2 3 5 2xlm

    x x 5

    Derivadas de funciones del tipo f(x) = cxn. Los lmites que hemos calculado anteriormente, as como sus propiedades nos son muy tiles para comprender el significado de la derivada de una funcin, recordemos algunos ejemplos de la Unidad 2, El estudio del lanzamiento de una pelota nos proporcion la funcin

    en donde t representa al tiempo en segundos, s la distancia recorrida en metros, como sabes la grfica del desplazamiento es:

    = 2( ) 80 4.9s t t t

    48

  • ts

    0 2 4 6 8 10 12 14 160

    100

    200

    300

    Recordars que para calcular la velocidad instantnea en un punto, digamos en t = 4, se procede primero a calcular la velocidad promedio, en un periodo de tiempo, por ejemplo en el intervalo de uno a cuatro segundos, posteriormente, en lugar de iniciar el periodo en un segundo, lo hacemos en dos, luego en tres, y as hasta acercarnos cada vez ms a cuatro, de tal manera que los periodos de tiempo van disminuyendo, es decir, se van acercando a cero, pero siempre considerando el tiempo t = 4, que es cuando queremos encontrar la velocidad instantnea. En la grfica siguiente se muestra la velocidad promedio de 1 a 4 segundos, representada por la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (1,s(1)) y (4,s(4)).

    t

    s

    0 2 4 6 8 10 12 14 160

    100

    200

    300

    s(1) = 80(1) 4.9(1)2 = 75.1 m

    s(4) = 80(4) 4.9(4)2 = 241.6 m

    (1,s(1))

    (4,s(4))

    Como ya vimos la velocidad promedio se calcula como:

    = = = cambio en la distanciavelocidadpromediocambio en el tiempop

    svt

    En el intervalo de tiempo de 1 a 4, la velocidad promedio es:

    = = = =(4) (1) 241.6 75.1 166.5 m55.5

    4 1 3 3 segps sv

    Ahora calculemos la velocidad promedio en un periodo de tiempo ms cercano a 4 segundos, digamos de 3.5 a 4 segundos:

    49

  • = = =

    2 2(4) (3.5) (80(4) 4.9(4) ) (80(3.5) 4.9(3.5) ) m43.254 3.5 0.5 segp

    s sv

    Este proceso nos ayuda a calcular velocidades instantneas en cualquier punto en donde queramos. Tambin nos permite comprender que la velocidad instantnea en un punto es un lmite de la velocidad promedio. Especifiquemos dicho proceso. Primero, calculamos la velocidad promedio

    = ( ) (4)

    4ps t sv

    t

    Posteriormente, le damos valores a t, cada vez ms cercanos a 4 y finalmente, obtenemos el valor de la velocidad instantnea en t = 4. En otras palabras, este procedimiento nos permite calcular la velocidad instantnea cuando t = 4 mediante el lmite siguiente:

    = 4

    ( ) (4)( )4t

    s t sv t lmt

    Este mtodo de aproximaciones para calcular el lmite suele ser laborioso, por lo que desarrollaremos otra estrategia. Si sustituimos los valores respectivos y aplicamos las propiedades de los

    lmites en

    = 4( ) (4)( )

    4ts t sv t lm

    t, obtendremos

    =

    2 2

    4 4

    ( ) (4) (80 4.9 ) (80(4) 4.9(4) )4 4t t

    s t s t tlm lmt t

    =

    2 2

    4

    80( 4) 4.9( 4 )4t

    t tlmt

    =

    2 2

    4

    80( 4) 4.9( 4 )4 4t

    t tlmt t

    Observa que cuando t = 4 el numerador y el denominador son iguales a cero, con lo que se obtiene una indeterminacin. Para evitarla, emplearemos el lgebra, sin olvidar que en el clculo de lmites est inmerso un proceso infinito de aproximaciones. Con el fin de mostrarte de qu estamos hablando analiza la manera que se

    obtiene el siguiente lmite:

    2 2

    4

    44t

    tlmt

    a) Con ayuda del producto notable: = +2 2 ( )(a b a b a b) , o bien realizando la divisin: = +

    2 24 44

    t tt

    b) Utilizando el resultado anterior tenemos: = +

    ( ) (4) 80 4.9( 4)4

    s t s tt

    c) Con base en las propiedades de los lmites llegamos a:

    50

  • = = + =4 4

    ( ) (4) m(4) (80 4.9( 4)) 40.84 st t

    s t sv lm lm tt eg

    Actividad 3. Verifica cada uno de los siguientes lmites:

    a) =

    2

    2

    4 42x

    xlmx

    b) =