curva motores electricos

Estudio de la evolución de la Curva Par / Velocidad de motores eléctricos de inducción desde el régimen dinámico al estático mediante la validación del modelo teórico con los ensayos prácticos en el laboratorio

ESTUDIO DE LA EVOLUCIÓN DE LA CURVA PAR / VELOCIDAD DE MOTORES ELÉCTRICOS DE INDUCCIÓN DESDE EL RÉGIMEN DINÁMICO AL ESTÁTICO MEDIANTE

LA VALIDACIÓN DEL MODELO TEÓRICO CON LOS ENSAYOS PRÁCTICOS EN EL LABORATORIO

MARC FREYRE MACIÀ Ingeniería Industrial, Especialidad Electromecánica Director del Proyecto: XAVIER ALABERN MORERA E.T.S.E.I.T. UPC


Este proyecto de Final de Carrera está dedicado a mi abuela Magda, por el apoyo recibido durante toda la Carrera.


Agradezco la oportunidad de haber podido realizar este Proyecto de Final de Carrera en las instalaciones de la empresa AEG Fábrica de Motores, S.A. En especial, quiero dar las gracias al equipo técnico del Campo de Pruebas por estar siempre dispuestos a ayudar a tirar hacia delante este Proyecto.

Índice

I. Memoria técnica 1. Introducción

1.1. Objeto 1 1.2. Objetivo 1 1.3. Antecedentes 2 1.4. Alcance 3

2. Las maquinas de inducción asíncronas trifásicas 4

2.1. Descripción del motor eléctrico asíncrono trifásico 4 2.2. Circuito eléctrico 11

2.2.1. Producción de la F.E.M 11 2.2.1.1. Factor de distribución 14 2.2.1.2. Factor de acortamiento de paso 14 2.2.1.3. Factor de inclinación de ranura 17 2.2.1.4. Factor de bobinado 18

2.2.2. Determinación de las superficies de las ranuras 18 2.2.3. Relación de transformación 20

2.3. Circuito magnético 22 2.3.1. El campo giratorio 22 2.3.2. Flujo principal y flujos de dispersión 23 2.3.3. Reactancias de dispersión 24

2.3.3.1. De ranura 24 2.3.3.2. De cabeza de bobina 29 2.3.3.3. Doblemente concatenada 32 2.3.3.4. De inclinación de ranura 37

2.3.4. Factores de Cárter 39 2.4. Circuito equivalente 41

2.4.1. Jaula simple 41 2.4.2. Jaula doble 43


2.5. Balance de potencias y rendimiento 45 2.6. Par motor y par resistente 49 2.7. Arranque y aceleración 50 2.8. Tiempo de arranque 51 2.9. Corriente y par de arranque 53 2.10. Tipos de arranque en motores de rotor de jaula 53

3. Estudio del régimen estático y dinámico de los motores de inducción 56

3.1. Régimen transitorio 56 3.2. Comparación entre la curva Par/Velocidad estática y dinámica 57 3.3. Característica de la doble jaula. Factores kr y ki 63 3.4. Saturación al arranque 66

3.4.1. Curvas de saturación en el cortocircuito 66 3.4.2. Determinación de la variación de las reactancias debida a la

dispersión en zig-zag. 69 3.4.3. Determinación de la variación de las reactancias debida la

dispersión de la punta de los dientes 75 3.4.4. Alcances y limitaciones 78 3.4.5. Aplicación de la saturación a la Curva Par-Int./Velocidad 79

3.5. Evolución del Par máximo 81 3.6. Evolución de la tensión y la corriente en el arranque del motor 86 3.7. Influencia de los armónicos 89

3.7.1. Pares asíncronos armónicos 91 3.7.2. Pares sincronos armónicos 92 3.7.3. Fuerzas oscilantes 92

4. Aplicación con Matlab/simulink 94

4.1. Transformaciones de Park 94 4.1.1. Transformación de Scott 95 4.1.2. Transformación bifásica de Park 104 4.1.3. Transformación general de Park o de Blondel 109 4.1.4. Transformación con el sistema fijo al rotor, ωr 111 4.1.5. Transformación de sincronismo de Park, ω=ωs=ωe 112

4.2. Formulación teórica del modelo del motor de inducción 113 4.2.1. Velocidad de giro de la f.m.m. y del rotor. Deslizamiento 113 4.2.2. Ecuaciones de voltaje 114 4.2.3. Flujos generados en el motor 115 4.2.4. Modelización de la máquina, utilizando un modelo con sistema de

referencia qd0 arbitrario 118


4.2.5. Ecuaciones de tensión en el sistema de referencia qd0 119 4.2.6. Relaciones de flujo magnético en el sistema de referencia qd0 121 4.2.7. Ecuación de par en el sistema de referencia qd0 125 4.2.8. Parámetros base. Valores p.u. 127 4.2.9. Modelización de la máquina, utilizando un modelo con sistema de

referencia qd0 estacionario 129 4.2.10. Modelización de la máquina, utilizando un modelo con sistema de

referencia qd0 sincrono 131 4.3. Planteamiento teórico del modelo 134

4.3.1. Adaptación de las ecuaciones al modelo. sistema de referencia estacionario 134

4.3.1.1. Hipótesis de partida 134 4.3.1.2. Alimentación del motor. Ecuaciones de tensión 134 4.3.1.3. Flujos magnéticos 138 4.3.1.4. Par electromagnético, Tem 139 4.3.1.5. Saturación magnética 140

4.3.2. Diagrama de bloques de las ecuaciones del motor 142 4.3.2.1. Bloques de cambio de variables 143 4.3.2.2. Bloques de las ecuaciones de flujos 143 4.3.2.3. Bloque de la ecuación de par 144

4.4. Construcción del modelo y simulaciones 144 4.4.1. Funciones básicas de los programas Matlab/Simulink 144 4.4.2. Construcción del modelo 148 4.4.3. Inicialización de los parámetros 151

5. Aplicación de ensayo de la curva Par-Intensidad/Velocidad Dinámica y/o

Estática 152 5.1. Montaje y comunicación del ensayo 152 5.2. Proceso del ensayo 154 5.3. Tratamiento de las señales 155 5.4. Obtención y evaluación de resultados 156

6. Conclusiones 161 7. Trabajos futuros 162 8. Repercusiones sobre el Medio Ambiente 163 9. Bibliografía 165 10. Simbología 167


II. Presupuesto

Presupuesto 1

III. Anexos

Anexo A: Modelo de la simulación 1 Anexo B: Simulaciones 16

B.1 Simulaciones con Matlab/Simulink 16 B.1.1 Con reactancias no saturadas y sin desplazamiento de la

corriente 20 B.1.2 Con reactancias no saturadas y con desplazamiento de la

corriente 47 B.2 Simulaciones con Mathcad 59

B.2.1 Régimen permanente, con reactancias no saturadas y sin desplazamiento de la corriente 60

B.2.2 Régimen permanente, con reactancias no saturadas y con desplazamiento de la corriente

B.3 Simulaciones Visual Basic/Excel 93 B.3.1 Sin desplazamiento de la corriente y reactancias no saturadas

94 B.3.2 Con desplazamiento de la corriente y reactancias no

saturadas 95 B.3.3 Con desplazamiento de la corriente y reactancias saturadas

96

Anexo C: Laboratorio de ensayos 101 C.1 Transformadores y reguladores 101 C.2 Pupitres de control, bancadas y sistema de medida 103 C.3 Resistencias de carga 104 C.4 Cámara anecoica 105

Anexo D: Ensayos en el laboratorio. 108

D.1 Arranque motor de 11kW, 380V y 4 polos con tres inercias 108 D.2 Arranque directo (con y sin inercia externa) y con inversión de un

motor de 0.75kW, 400V y 2 polos 117


D.3 Arranque directo y con inversión de un motor de 140/48 kW, 400V y 4/6 polos 124

D.4 Arranque con inversión y con inercia de un motor de 7.5 kW, 400V y 2 polos 137

D.5 Fotografías de los ensayos 141 Anexo E: Cálculos de las reactancias de dispersión con saturación en el cortocircuito 144 Anexo F: Arranque con inversión 154 Anexo G: Curvas del motor 156

G.1 Curvas de Par-Intensidad / velocidad 157 G.2 Ejemplo de ensayo completo 172 G.3 Curvas de cortocircuito 189

Anexo H: Bibliografía básica 194


11. Introducción

En la empresa AEG Fábrica de motores, S.A. ubicada en la Carretera de Castellar 225 de Terrassa, el método utilizado para la obtención de la característica Par-Intensidad / velocidad de los motores asíncronos trifásicos consiste en acoplar el motor a un volante de inercia o a una 1pendel (ver apartado 5). Luego se arranca el motor y, con un osciloscopio digital, se mide velocidad, intensidad y tensión; estas señales son tratadas y finalmente se obtiene la característica Par-Intensidad / velocidad. Este método ofrece resultados muy buenos ya que se pueden obtener curvas dinámicas y la curva estática del motor, pero tiene los siguientes inconvenientes:

• Tiempo de ensayo largo. • Limitación de los ensayos debido a las inercias que se requieren.

11.1. Objeto

El objeto del proyecto es realizar un estudio de la evolución de la curva Par / Velocidad de motores eléctricos de inducción, desde el régimen dinámico al régimen estático, mediante la validación del modelo teórico con los ensayos prácticos en el laboratorio.

11.2. Objetivo

Los objetivos del proyecto son:

• Determinar la variación de los parámetros del motor en el arranque (resistencias, reactancias,...), así como sus magnitudes (par, tensión, intensidad,...).

• Obtener una herramienta capaz de llevar del régimen dinámico al estático una curva Par / Velocidad dinámica ensayada, ya sea

1 Pendel: motor de corriente continua con excitación independiente, cuya característica mecánica se caracteriza por mantener la velocidad aproximadamente constante: a medida que se le aumenta el par. Habiéndose incorporado un brazo de palanca que en el extremo comunica con un transductor de fuerza para poder medir el par y una tacodinamo para medir la velocidad.


porque el ensayo se haya realizado con una inercia demasiado pequeña, porque no se dispusiera de la exacta o porque no se dispusiera de inercias mayores.

• Validar el modelo de cálculo actual de la empresa AEG debido a que este es en régimen estático.

11.3. Antecedentes

Como se ha comentado anteriormente la empresa AEG Fábrica de motores, S.A. tiene un método de ensayo de la Curva Par-Intensidad / Velocidad que ofrece resultados muy buenos, pero tiene los inconvenientes de tiempo de ensayo largo y esta limitado por no tener, y ser imposible, una gama de inercias muy elevada.

El tiempo se puede estimar, dependiendo del tamaño de motor, según la

tabla siguiente: Motor Tiempo para

acoplar, preparar el motor y la instrumentación para realizar el ensayo [min.]

Tiempo de ensayo y tratamiento de señales [min.]

Nº de ensayos medio

Tiempo de espera entre ensayos [horas]

Tiempo total [horas]

Pequeño/ Mediano (P<75 kW)

15 10 3 3 7.25

Grande (P≥75kW)

30 30 3 5 13

Tal como muestra la tabla, se emplea mucho tiempo para el ensayo y esto implica dinero. Otro factor es el ensayo de motores grandes de hasta 200 kW (potencia máxima que se fabrica en AEG) en el que se necesitan inercias muy grandes, de 200-300 kgm,2 para obtener la curva Par-Intensidad / velocidad estática. Esto es un inconveniente porque, en primer lugar no se tienen estas inercias y en segundo lugar se está hablando de ensayos con una peligrosidad elevada. De aquí surgió la idea de realizar un estudio de la evolución de la curva Par / Velocidad de motores eléctricos de inducción, desde el régimen


dinámico al régimen estático y encontrar una herramienta capaz de evitar parte de estos ensayos en el ensayo de nuevos prototipos.

11.4. Alcance

En este proyecto se pretende conseguir una herramienta que represente gráficamente la Curva Par-Intensidad / Velocidad dinámica y/o estática, así como los parámetros característicos del motor de inducción, tales como intensidades consumidas (estator y/o rotor), tensión en bornes del motor, etc. Todo ello atendiendo a las siguientes hipótesis y/o limitaciones.

• se considerarán las pérdidas en el cobre, tanto del estator como del rotor, pérdidas en el hierro y pérdidas mecánicas.

• Se considerará el desplazamiento de la corriente del rotor durante el arranque.

• Se tendrá en cuenta la variación de resistencia y reactancia del rotor [19]. • Se aplicará al modelo la variación de resistencias y reactancias debida a la

saturación [17]. • en la validación del modelo, aunque las señales obtenidas por los diferentes

caminos, analítico y experimental, no sean idénticas, se considerarán correctas si siguen una misma tendencia.

• No se considerarán los armónicos, que producen los pares síncronos, asíncronos y fuerzas oscilantes.

• en el modelo no se considerarán los posibles ruidos que pueden afectar a las medidas, así como a las posibles resonancias con el soporte del motor y con el acoplamiento de éste.

• tampoco se considerarán los efectos del calentamiento, ni las variaciones de la temperatura y de la humedad en las resistencias y inductancias del motor.

• los motores se suponen alimentados simétricamente, no considerando el efecto de desequilibrio entre fases, aunque el modelo está preparado para ello.

• Las simulaciones están hechas con el arranque del motor con un escalón de tensión nominal, por lo que no se considerará la caída de tensión de la línea.

El estudio seguirá dos caminos paralelos: El primer camino será el estudio de los factores que afectan a la evolución de la curva Par / Velocidad de motores eléctricos de inducción desde el régimen dinámico al régimen estático. Estos factores se introducirán en un modelo que simule dicha característica. El


segundo camino consistirá en los ensayos en el Campo de Pruebas de la empresa AEG, con los que se validará el modelo.


12. Estudio del régimen estático y dinámico de los motores de inducción

12.1. Régimen transitorio [6]

La energía total de un sistema, cualquiera que éste sea: mecánico, eléctrico, electromecánico, etc., no puede variar bruscamente, ni es posible pasar de una forma de energía a otra forma de energía instantáneamente.

Este principio en los circuitos eléctricos se expresa diciendo que no es

posible pasar de un estado de régimen permanente a otro estado permanente de una manera instantánea o discontinua.

Aun cuando hay cierta ambigüedad en la definición de los estados

transitorios, entenderemos nosotros que cuando en un convertidor electromecánico la energía varía, rápida y temporalmente, es sólo la almacenada en sus campos magnéticos y eléctricos, conservándose constante la energía cinética (velocidad constante), el fenómeno que tiene lugar es un transitorio eléctrico, en tanto que si la variación incluye también una modificación temporal o permanente de la energía cinética se definirá el fenómeno como electro-dinámico, o más brevemente como un transitorio dinámico.

Las variaciones periódicas, que en régimen permanente alternativo tienen

lugar entre las energías magnéticas y eléctricas, en los circuitos eléctricos, no constituyen un fenómeno transitorio.

El intervalo de tiempo durante el cual tienen lugar los intercambios de

formas de energía, acumulaciones de energía, o disipaciones de energía, o sea, el tiempo que transcurre de uno a otro régimen permanente, define el denominado régimen transitorio.

Un régimen transitorio eléctrico o dinámico puede ser aperiódico u

oscilante. Es aperiódico cuando los parámetros que definen el estado de un sistema están sujetos a variaciones unidireccionales que se superponen al régimen permanente final. Y es oscilatorio cuando tales variaciones son periódicas, asimismo superpuestas al régimen final. En general, tanto en uno como régimen transitorio, si la causa que dio origen al mismo cesa, o se


estabiliza, las variaciones terminan por amortiguarse, quedando al final únicamente el nuevo régimen permanente.

Como sea que el tiempo de duración de un régimen transitorio no queda siempre bien definido, pues en teoría en infinito, se acepta que ha terminado cuando las variaciones en el tiempo de los parámetros afectados no son ya medibles.

En los sistemas electromecánicos, los regímenes transitorios eléctricos están asociados con circuitos eléctricos conteniendo inductancias y capacitancias, y los regímenes dinámicos con elementos mecánicos dotados de inercia y elasticidad.

El cierre o apertura de un circuito, la puesta en marcha de un motor

(nuestro objeto de proyecto) o el cambio de carga del mismo, cualquier variación brusca de la resistencia, la autoinducción o la capacidad de una red, son causa de perturbaciones eléctricas o mecánicas, origen de un régimen transitorio.

12.2. Comparación entre la curva Par/Velocidad estática y dinámica [21].

La curva par / velocidad estática y el valor medio de la curva par /

velocidad dinámica que se obtiene en el arranque en motores de inducción son iguales para motores pequeños, pero para motores grandes, principalmente debido a los transitorios eléctricos en los circuitos del rotor, el par máximo de la curva estática es mucho más grande que el correspondiente a la curva dinámica. Para máquinas pequeñas, después del transitorio eléctrico referente a los devanados de estator se extingue, la curva par / velocidad dinámica es idéntica a la estática. Una análisis cuantitativa ha sido realizada para mostrar que la desviación entre la curva par / velocidad estática y la dinámica depende, principalmente, de la constante de tiempo del transitorio del rotor de la máquina (T r) y también de la proporción de cambio entre los flujos del rotor. La figura 3.1 muestra la característica par / velocidad estática y dinámica de un motor de 7,5 kW.

En la figura se puede ver que en la región del principio en la característica dinámica hay oscilaciones, algunas de ellas negativas. Cerca del punto de vacío la característica estática coge su valor máximo, la característica dinámica tiene valores más bajos.


El transitorio electromagnético tiene una influencia significativa sobre la

característica par / velocidad de la máquina de inducción. Aunque asumamos que el proceso transitorio pasa con el rotor bloqueado [21] este desaparece antes que la máquina comience a rotar, las corrientes del motor durante la rotación se retrasarán respecto las corrientes que circulan en el caso estático y de este modo el par electromagnético dinámico del motor a una velocidad intermedia no será igual al obtenido en la característica estática. Un análisis aproximado cualitativo puede ser llevado a cabo asumiendo que el motor comienza por el estado estático, por ejemplo, primero el rotor esta bloqueado y cuando el transitorio desaparece, se deja rotar. Para simplificar se asume que la resistencia del estator es despreciable, Rs ≈ 0.

Figura 3.01. curvas par/velocidad estática y dinámica de un motor de inducción de 7,5kW.

En el estado de sincronismo, el espacio vectorial de las tensiones

senoidales del estator son constantes y por considerar que Rs ≈ 0, el espacio vectorial de los flujos del estator también son constantes. A la velocidad de sincronismo ( 1ωω =g ) el siguiente espacio vectorial de la ecuación del voltaje

del rotor, si se asume un cortocircuito en el rotor ( 0=rgu ) [7],

( )

−++−= r

rr

r

ssr jTT

kdt

d ωωψψψ1'

''

''

·1··0 (3.01)


donde 'rψ y '

sψ son los espacios vectoriales de los flujos del rotar y del estator

respectivamente, y están expresados a la velocidad de sincronismo. Desde

11 ·ωωω sr =− , donde s es el deslizamiento, esto mostrado por la ecuación 3.01

que el espacio vectorial de los flujos del rotar pueden ser expresados como

''0

'

'1

'

'1

''

···1···1·

rrr

r

r

r

ssr dt

dTsj

TTsj

kψψ

ψωω

ψψ ∆+=

+−

+= (3.02)

El primer termino en la parte derecha de la ecuación 3.02 da el valor del flujo del

rotor, '0rψ , del estado estático (considerando la resistencia del estator igual a

cero) y así el segundo término de la ecuación 3.02 da la desviación del espacio vectorial del flujo del rotor del valor del estado estático en el arranque. La

diferencia entre las características estática y dinámica depende de 'rψ∆ . Esta

desviación depende principalmente de la constante de tiempo del transitorio del

rotor, '

''

r

rr R

LT = , donde s

mrr L

LLL

2' −= es la inductancia transitoria del rotor y Rr es

la resistencia del rotor, y la constante de tiempo transitoria del rotor es más

grande para máquinas con una proporción más grande. También muestra 'rψ∆

que también depende de la variación del espacio vectorial de los flujos del rotor. Usando la ecuación 3.02 es posible dibujar el circulo del espacio vectorial de la corriente del rotor de las características estática y dinámica. Este se muestra en la figura 3.02.

Figura 3.02. Circulo estático y dinámico del espacio vectorial de las corrientes del rotor.


Desde que se asume que en el arranque (s=1) el estado estático existe, en la figura 3.02 el circulo estático y dinámico del arranque empieza en el punto que corresponde a s=1. Para s=1 la ecuación 3.02 se puede mostrar como

dtdTTjk r

rrrssr

''''

1'' ···· ψ

ψωψψ −−=− (3.03)

donde el termino de la izquierda de la ecuación 3.03 es igual a ''rr iL . La

característica estática es un circulo, pero el dinámico no es un circulo, debido a

la existencia de la 'rψ∆ y así el vector ''

1'' ···· rrrr TsjiL ψω= no se puede mover

en el circulo. Desde el par electromagnético puede ser considerado producido por la interacción de los espacios vectoriales de los flujos del rotor y estator,

''sret ψψ ×≈ , sustituyendo en la ecuación 3.3 se llega a la siguiente expresión,

eer

r

rsre tst

dtd

TsjTt ∆−=

+−×≈ )(

···1 0

'

'1

'''

0ψ

ωψψ (3.04)

A la parte derecha de la ecuación 3.04 el primer termino la componente

del par estático, teo(s), que crea la característica par/deslizamiento estática y el segundo término da la desviación de la característica par/deslizamiento respecto la característica estática, et∆ . Esta desviación depende de la constante de

tiempo transitoria del rotor, que es grande para una máquina con un valor grande, y también depende de la variación del espacio vectorial de los flujos del rotor. La variación del espacio vectorial de los flujos del rotor también depende de la aceleración del rotor y es más grande para aceleraciones rápidas. Así la desviación de la característica estática y dinámica es grande para valores grandes de T'r Y también para arranques rápidos de la máquina. Si la inercia es grande, la máquina arrancara más lenta y, por tanto, et∆ será más pequeña. Esta

característica puede ser utilizada para obtener la característica par/deslizamiento estática de las máquinas de inducción. De cualquier modo, para asegurar que

et∆ sea pequeña, la inercia debe ser suficientemente grande durante el ensayo.

Si el arranque es realizado a una tensión reducida, la inercia requerida será menor. Debería ser conocido que la expresión del par electromagnético dada por la ecuación 3.04 es valida durante el arranque de una máquina de inducción si Rs ≈ 0. De cualquier modo, es también valido si hay un cambio de la carga a un valor de deslizamiento dado.


Ha sido anotado con anterioridad que para máquinas pequeñas, la máquina arranca hasta la velocidad de sincronismo sin oscilaciones. Por otra parte, en el caso de máquinas grandes, la velocidad del rotor sobrepasa la de sincronismo y el par electromagnético y la velocidad oscilaran sobre la velocidad de sincronismo. Esta última característica de sobrepasar la velocidad de sincronismo puede ser determinada con la ecuación 3.04. Esta para s=0.

dtdt

Tstt eree'

0 )( −≈ (3.05)

Cave resaltar que para deslizamientos pequeños, el par electromagnético estático varia linealmente con el deslizamiento [21].

max

max0 2)(

st

sst ee = (3.06)

donde temax y smax son el valor máximo del par electromagnético y deslizamiento

respectivamente (cuando Rs ≈0, '1

max1

rTs

ω≈ ).

Considerando que la velocidad angular del rotor puede ser expresada como )1(1 sr −= ωω , la ecuación de movimiento para las máquinas sin carga

puede ser expresada como,

dtdsJ

dtdJt r

e 1ωω

−== (3.07)

y sustituyendo de la ecuación 3.06 a la ecuación 3.07 resulta,

dtdt

Tdt

dtts

Jt emech

e

ee

00

max

max1 2

−=−= ω (3.08)

donde Tmech es la denominada constante de tiempo electromecánica de la máquina de inducción,

max

max1 2 e

mech ts

JT ω= (3.09)

De aquí resulta de la ecuación 3.09 que


2

2'0)(

dttd

Tdt

dtdt

sdt er

ee −= (3.10)

y sustituyendo en las ecuaciones 3.09 y 3.10 resulta la siguiente ecuación diferencial homogénea de segundo orden,

0·

1'

0'2

2

=++mechr

ee

r

e

TTt

dtdt

Tdttd

(3.11)

De la ecuación 3.08 se obtiene la siguiente ecuación característica:

0·

1''

2 =++mechr

e

r TTt

Tλλ (3.12)

De este modo los radicales son

−

±−=

21

'

2

''12 ·411

21

mechrrr TTTTλ (3.13)

La ecuación 3.13 muestra que la condición para la máquina oscile alrededor de la velocidad de sincronismo es obtenida si el termino de debajo de la raíz es negativo, que es cuando es una raíz compleja:

max

max1

'

84 e

mechr t

sJ

TT ω=> (3.14)

La frecuencia angular de la oscilación es

21

2

''

1·4

21

−=

rmechrosc TTT

ω (3.15)

Además, la ecuación 3.15 muestra que si 4

' mechr

TT < , luego hay distintas raíces

reales, y la velocidad del rotor pasa a ser aperiódica en la velocidad de vacío durante el arranque.

Cabe notar que la ecuación 3.15 es similar a la ecuación que describe el movimiento de un sistema mecánico simple que contiene un resorte suspendido


verticalmente para fijar el soporte y al final hay una masa cogida. Esto es aplicable a máquinas que se pueda considerar la masa del resorte despreciable, este sistema puede ser descrito por la ecuación

02

2

=++ kydtdyc

dtydm (3.16)

y de este modo la correspondiente ecuación característica es

02 =++mk

mc λλ (3.17)

donde m es la masa, c es la constante de amortiguación, k es el modulo del resorte, y y es el desplazamiento de la masa respecto la posición de equilibrio. En este sistema si la constante de amortiguación es más pequeña que c2<4mk, luego la masa oscilará y cuanto más pequeña sea s más rápidas serán las oscilaciones. Cuando c2>4mk, la masa no oscila. Por analogía, el comportamiento del motor de inducción alrededor del estado de sincronismo es similar al sistema del resorte- masa. Para el motor de inducción, el papel de la masa es cogido por la inercia, que es determinada por el diseño del motor y las masas que están acopladas a él. La amortiguación electromagnética es siempre por los devanados del rotor cortocircuitado desde, durante las oscilaciones, el rotor intercepta el flujo de sincronismo del estator y así las corrientes de las tres fases del rotor irán a la misma frecuencia que las oscilaciones. Estas corrientes del rotor causan pérdidas que son disipadas a través de las resistencias del rotor. El grado de amortiguación depende de las resistencias del rotor y también de las corrientes del rotor. Debería ser anotado que cuando el rotor alcanza la velocidad de sincronismo no hay tensión inducida en el rotor. Cabe resaltar que debido a la inductancia del rotor, las corrientes todavía circulan, y como consecuencia estas son las que producen el par electromagnético.

12.3. Característica de la doble jaula. Factores kr y ki [23]

En los motores de inducción a partir de una determinada potencia, aproximadamente 5-6 kW, se les diseña el rotor con una ranura especial denominada doble jaula (ver figura 3.16). Esta ranura se caracteriza por


proporcionar un par de arranque más elevado (Ver anexo B.1 Simulaciones en Matlab y anexo B.2 Simulaciones en Mathcad).

Cuando se realiza el circuito equivalente del motor de inducción de doble

jaula, si el secundario (parte del rotor, doble jaula) se reduce al primario, en el momento de simular las curvas características de este, se pierde información y los resultados no son correctos (ver anexos B.1 y B.2, simulaciones en Mathcad y Matlab). Para ello se deben introducir dos factores que simulen el efecto de la doble jaula este efecto también se le denomina efecto de desplazamiento de la corriente. Los valores de resistencias y reactancias que se obtienen del programa de cálculo son reducidas al primario y no se saben los valores por separado de la jaula interior y de la exterior. Por tanto se aplicará el factor kr para simular la variación de la resistencia del rotor y el factor ki para simular la variación de la reactancia del rotor.

A continuación se muestran las formulas utilizadas con tal fin:

(3.18 y 3.19)

Donde xα es un factor que depende del material y el deslizamiento.

h1 es la altura de la ranura.

xβ factor que depende de los dos anteriores.

krx factor que simula la resistencia de la doble jaula. kix factor que simula la reactancia de la doble jaula. R2x Resistencia total del rotor R21 Resistencia de continua del rotor, que es constante R22x Resistencia de alterna del rotor, que es variable X2x Reactancia total del rotor X21 Reactancia de continua del rotor, que es constante X22x Reactancia de alterna del rotor, que es variable

α x 0.86 sx.

β x α x h1.

krx β x

sinh 2 β x. sin 2 β x

.

cosh 2 β x. cos 2 β x

.. kix

3 sinh 2 β x. sin 2 β x

..

2 β x. cosh 2 β x

. cos 2 β x..

R2x R21 krx R22.X2x X21 X22 kix

.


En la siguiente tabla se pueden observar los valores de la curva Par-Intensidad / velocidad de un motor de inducción de 11 kW y 4 polos, así como la evolución de los factores kr y ki. Si se observan los valores de kr y ki cerca del punto de sincronismo se puede ver que son próximos a la unidad, por tanto, ya no tienen ningún efecto sobre la resistencia y reactancia del rotor.

n [rpm] I1 [A] M [Nm] kr ki 1500 11.23 -0.1 1 1.00

1498.5 11.21 3.1 1 1.001492.5 11.75 15.7 1 1.001485 13.6 31 1 1.001470 19.37 59.5 1 1.001455 25.95 84.8 1 1.001440 32.55 107 1 1.001425 38.87 126.4 1 1.001410 44.73 142.4 1.01 1.001380 55.41 167.7 1.01 1.001350 64.62 184.8 1.01 1.001275 82.55 204.9 1.03 0.991200 95.15 207.5 1.04 0.991050 111.03 195.9 1.1 0.97750 126.42 170.5 1.25 0.94375 135.85 155.2 1.51 0.86

0 142.36 150.2 1.79 0.78

Tabla 3.01. Valores de kr y ki de la curva Par-Intensidad / Velocidad de un motor de inducción de 11 kW y 4 polos.

Para ver mejor la evolución de los factores kr y ki ver la siguiente gráfica.

Como muestra la gráfica el factor kr aumenta la resistencia en el arranque y la va disminuyendo hasta llegar a la resistencia en régimen permanente. Por el contrario el factor ki disminuye la reactancia y la va aumentando hasta obtener la reactancia en régimen permanente. Cabe resaltar que estos factores son prácticamente la unidad a partir del par máximo, momento en que la corriente, sobretodo en motores de gran potencia cae de golpe (ver anexo B, simulaciones).


Evolución de los factores kr y ki

0

50

100

150

200

0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500

Velocitat [rpm]

M[N

m],

I[A]

0.70.80.911.11.21.31.41.51.61.71.8

kr, k

i

I1 [A] M [Nm] kr ki

Figura 3.03. Curva Par-Intensidad / velocidad de un motor de 11kW, junto con la evolución

de los factores kr y ki.

12.4. Saturación en el arranque

12.4.1. Curvas de saturación en el cortocircuito [17], [9] La predeterminación de la curva de saturación en cortocircuito es muy

importante para el diseño de los motores de inducción de doble jaula. La razón es porque esta curva se desvía de la linealidad y coge forma de codo (Ver anexo G.3).

En el diseño de motores de doble jaula es importante un método de cálculo de la curva de saturación en cortocircuito para asegurar la determinación valores fiables de intensidad y par de arranque, así como en el resto de la curva Par- Intensidad / Velocidad, sobretodo en motores grandes donde la intensidad se mantiene prácticamente igual a la de cortocircuito hasta el punto donde se encuentra el par máximo. Esta curva de saturación, expresa el valor de intensidad de cortorcircuito para diferentes valores de tensión de alimentación, tiende a curvarse hacia arriba, y es la desviación respecto la curva lineal la que se tratará en este capítulo.


Los motores de inducción han sido siempre populares por su simplicidad y su falta de problemas en funcionamiento, pero la alta corriente que consumen en el momento del arranque ha sido un punto de criticas. Estas criticas propiciaron la creación de dos jaulas de ardilla; estos motores se nombraron motores de “arranque-lineal”. Uno se caracterizaba de tener una corriente de arranque baja y de un par de arranque normal y el segundo de una corriente de arranque baja y un elevado par de arranque.

El problema para el diseñador de estos motores es obtener el par de

arranque requerido con la corriente de arranque baja y al mismo tiempo mantener la resistencia del rotor suficientemente baja para prevenir que la velocidad en carga no decaiga mucho por debajo de la velocidad de sincronismo.

Si la corriente de arranque de cualquier motor fuese exactamente

proporcional a la tensión aplicada, luego, asumiendo que las formulas de las reactancias usadas son fiables, darían una clasificación de diseño en la que la corriente de arranque estaría cercana al limite fijado y el par de arranque, consecuentemente testado, cercano al valor calculado. De todas maneras, rara vez pasará que, la corriente de arranque sea exactamente proporcional a la tensión aplicada y si se traza la característica se encontrará que la corriente aumenta más rápido que no lo hace la tensión.

Ahora si se supone que las formulas de reactancias dan resultados

fiables para la parte baja de la curva, luego el valor de la corriente de arranque calculado para la tensión nominal será más bajo que en el ensayo, con la posibilidad que en el ensayo se excedan los limites garantizados.

Suponer que para encontrar esta eventualidad se asume que la corriente

se incrementa un cierto porcentaje y que el par de arranque garantizado se determinará si la corriente hace este incremento; luego, la curva de saturación en cortocircuito debería ser más derecha que la estimada, el par de arranque disminuirá un poco respecto la cantidad garantizada.

Para encontrar la corriente límite si la curva se dobla hacia arriba, y al mismo tiempo el par límite si la curva es recta, es en la mayoría de casos imposible, ya que la corriente normalmente sube hasta el límite cuando el motor entrega el par requerido. Como la tendencia ha sido reducir el número primario de ranuras al mínimo para disminuir los costes de producción, esta situación ha llegado a ser más pronunciada, ya que la curva de saturación en cortocircuito es más recta a mayor numero de ranuras (Ver anexo G.3, curvas de motores de 6 polos).


Claro que, si ha habido un ensayo cargando un motor que es similar que el diseño contemplado, luego es posible interpretar la curva de saturación en cortocircuito de este viejo diseño, por lo que se esta seguro del rendimiento del nuevo diseño; pero si no hay ningún ensayo disponible, luego los anteriores argumentos muestran porque algunos métodos de cálculo para este posible incremento en la corriente pueden ser usados con ventaja.

La razón de la tendencia de coger forma de codo la curva de saturación en cortocircuito es bien sabida, este tendencia hacia arriba de la curva es causada por la saturación de los caminos del flujo de dispersión con la consecuente reducción de la fuerza electromotriz.

Suponer que el motor es arrancado con una tensión muy reducida y que por lo tanto no hay saturación en los caminos del flujo de dispersión y que conduce una corriente de 10 A de línea. Estos 10 A causan un flujo de dispersión que provocarán una caída de tensión que sumada a la caída de tensión en las resistencias darán al tensión aplicada.

Ahora suponer que se aumenta el voltaje y que a causa de esto la

corriente pasa a ser 50 A, y por tanto los caminos del flujo ahora están saturados; entonces el flujo de dispersión no será 5 veces tan grande como en el primer caso debido a la saturación. Por lo tanto la caída de tensión de la dispersión será menos de 5 veces de lo que era previamente y cuando se le añade vectorialmente la caída de tensión en las resistencias que es 5 veces más grande que antes, esto dará una tensión final menor de 5 veces a la tensión original.

Mientras la corriente ha aumentado de 10 a 50 A con menos de 5 veces

la tensión original, esto implica que la curva Intensidad en frente de la Tensión tendrá una forma de codo. Para poder predecir como de cerrada es la curva, es necesario, entonces, poder predecir el decrecimiento en la dispersión causada por esta saturación. Los siguientes argumentos muestran como se puede determinar.

Las densidades de flujo del flujo de dispersión bajo las condiciones con el

rotor enclavado son normalmente altas en el hierro que es parecido al del entrehierro, pero suficiente bajo en los otros puntos para asumir que no hay saturación en el resto del circuito (ver figura 3.04). La dispersión en zig-zag y la dispersión en la punta de los dientes que serán saturadas; y las dos emplean el hierro de la punta de los dientes para llevar sus flujos, esto implica que las dos serán saturadas si hubiese alguna saturación. Este es un punto importante para


prestar atención en la realidad. En cualquier método de cálculo los cambios en la dispersión deberían requerir un ajuste en las dos dispersiones, zig-zag y la de la punta de los dientes, si algún ajuste es necesario.

Figura 3.04. Caminos de los flujos de dispersión en zig-zag y de las puntas de los dientes.

12.4.2. Determinación de la variación de las reactancias debida a la dispersión en zig-zag.

Mientras que la dispersión en zig-zag es causada por los devanados,

primario y secundario, luego la resultante (media) del efecto de cada uno debe ser tenido en cuenta. Para un paso completo los amperios vuelta máximos en una ranura primaria son iguales a la intensidad por conductor, por la raíz de dos, por los conductores por ranura. Cada ranura primaria que es representada en un mismo grupo tiene la misma fuerza electromotriz. Para un paso acortado, no obstante, algunas de las ranuras tendrán una fuerza electromotriz reducida y el valor medio es por esta razón menor. Esto se debe de tener en cuenta multiplicando por el factor Ks dado en al figura 3.05.

El valor de pico de la corriente secundaria por ranura con el rotor

bloqueado es igual a la intensidad por conductor primario, por la raíz de dos, por los conductores primarios por ranura, por el producto de la distribución primaria y factores de acortamiento, multiplicado por el numero de ranuras primarias y dividido por el numero de ranuras secundarias. El valor medio de la corriente por barra sobre la longitud correspondiente a un grupo primario es del valor de pico más alto multiplicado por el factor de distribución primario.


Figura 3.05. Curva para encontrar Ks para diferentes pasos

El valor medio de la fuerza magnetomotriz por ranura es coger el valor de

dos valores medios basados en el cálculo anterior. No obstante, par algunos valores nominales, donde la potencia por polo

es pequeña, podría haber una apreciable diferencia al principio entre la corriente secundaria en términos de la primaria y de la corriente primaria entre ellas. Para compensar el valor medio de la fuerza magnetomotriz por ranura es multiplicar por la raíz cuadrada de la tensión en vacío dividido por la tensión nominal.

Esto esta expresado en la ecuación 3.20.

2 1

02

2 01

2

· ·( ) _ _ · 2· _ _ · ·

2

2( ) _ _ · · _ _ · · · ·2

s c d

s c d

SK K K ESAT I por conductor conductores por ranuraE

ESAT I por conductor conductores por ranura K K K S E

+ =

= +

(3.20)


Donde

( )AT = Fuerza magnetomotriz media por ranura de los grupos primario y

secundario por fase. Ks= Factor de tipo de paso Kc= Factor de acortamiento Kd= Factor de distribución S1= numero de ranuras del primario S2= numero de ranuras del secundario E0= Tensión en vacío E= Tensión nominal

EE0 es normalmente cercano a la unidad y puede, en muchos casos, ser

despreciado.

Estos amperios vuelta medios conducen el flujo en zig-zag a través del entrehierro y a través del hierro. El problema se resuelve el mismo encontrando la proporción de amperios vuelta requeridos para conducir el flujo a través del entrehierro dos veces respecto el total de amperios vuelta conducidos; para esto es la misma proporción a la reactancia en zig-zag con saturación con la de no saturación.

Se han realizado las siguientes hipótesis: La curva de saturación del

hierro para densidades extremas normalmente encontrada es asumida como una línea recta cuando se dibuja en papel logarítmico, la densidad del hierro se coge como en el entrehierro, y la longitud del camino es asumido igual a la suma de los pasos de ranura del primario y secundario. Estas hipótesis son perfectamente lógicas debido a que la posición de la línea recta puede ser cambiada alrededor para compensar la hipótesis de la longitud de los caminos, y también de la densidad que ha sido cogida; y esto es verdad que la curva de saturación para altas densidades en el hierro es recta en papel logarítmico. Trabajando con ensayos se encontraron las curvas de la figura 3.06.

Cogiendo un caso particular donde la suma de los pasos de ranura son supuestos la unidad y el entrehierro de 0.508 mm, y suponiendo varias densidades para el flujo de dispersión, los amperios vuelta por mm del hierro se encuentran en la figura 3.06, y que por el aire con la formula del entrehierro, recordando que hay 2 entrehierro involucrados. La tabla 3.02 muestra estas figuras. La suma de la corriente conducida por el hierro y el aire esta tabulado. La proporción de los amperios vuelta para el entrehierro respecto al total de amperios vuelta por 100 da el porcentaje de la reactancia en zig-zag.


Figura 3.06. Curva de saturación del hierro usada para flujo de dispersión en zig-zag.

Si la densidad actual es dividida por el tanto por ciento de zig-zag y multiplicada por 100, luego un valor ficticio de densidad es encontrado. Este valor ficticio, no obstante, es el valor más fácil de encontrar en el diseño del motor, por lo que puede ser encontrado con la ecuación de la corriente media dada por la ecuación 3.20 y la fórmula de pérdidas en el entrehierro para flujo en el aire.

El porcentaje de zig-zag esta representado respecto la densidad ficticia

en la figura 3.07 conjuntamente con cuatro curvas similares para otras proporciones de entrehierros dividido por la suma de pasos de ranuras. Las curvas mostradas en la figura 3.07 cubren todas las posibilidades de las proporciones encontradas en la práctica.

Examinando esta familia de curvas se ha encontrado que la curva del

centro sola puede usarse, que esta mostrada en la figura 3.08, proporcionando que una ajuste se ha realizado en el valor de la densidad ficticia. Este ajuste es el valor dado en la ecuación 3.22 y es aplicado según la ecuación 3.23. La curva en la figura 3.08 tiene los valores acorde a las dos ultimas columnas de la tabla 3.02.


Densidad de dispersión en

zig-zag del entrehierro

Amperios vuelta por

25.4 mm de hierro

Amperios vuelta por 2 0.508 mm

entrehierros

Total Amperios

vuelta % zig-zag

(Densidad zig-zag*100)/ (% zig-zag)

0 100 0 75000 10 942 952 99 76000 90000 39 1130 1169 96.8 93000 95000 57 1190 1247 95.5 99500 100000 84 1254 1338 93.8 106600 110000 165 1380 1545 89.3 123000 120000 310 1506 1816 82.9 145000 130000 555 1630 2185 74.6 174300 140000 940 1756 2696 65.2 215000 150000 1560 1881 3441 54.7 275000 160000 2400 2008 4408 45.6 351000 170000 3750 2132 5882 36.3 468000 180000 5650 2260 7910 28.5 630000

Tabla 3.02. Valores para un entrehierro de 0.508 mm. Pasos de ranura igual a la unidad.

Figura 3.07. Curvas de % zig-zag para diferentes entrehierros

Dejando,

_ _ _ _ secg

paso ranura primaria paso ranura undariaα =

+ (3.21)

y


64.0·5.2 += αβ (3.22)

Densidad ficticia ( )

0.628· ·LATB

g β= (3.23)

Donde, α y β= constantes definidas por las ecuaciones 3.21 y 3.22. BL= valor ficticio de la densidad del entrehierro usada para encontrar el tanto por ciento de zig-zag de la figura 3.08. (AT)= Intensidad dada pro la ecuación 3.20 g= Longitud del entrehierro.

% reactancia de dispersión en zig-zag

30

40

50

60

70

80

90

100

110

0 100000 200000 300000 400000 500000

BL ficticia

% R

eact

anci

a en

zig

-zag

Figura 3.08. Curva utilizada para encontrar el % de zig-zag de la reactancia de dispersión.

El tanto por ciento de dispersión en zig-zag puede ser encontrado por cualquier valor de intensidad de línea, entrehierro, paso de ranuras, devanado, o combinación de ranuras usando las ecuaciones 3.20, 3.21, 3.22 y 3.23, y las curvas mostradas en las figuras 3.06 y 3.08.


12.4.3. Determinación de la variación de las reactancias debida la dispersión de la punta de los dientes.

La dispersión en al punta de los dientes es reducida cuando la dispersión

en zig-zag es suficientemente grande para provocar la saturación de las puntas de los dientes. El efecto es como si las puntas de los dientes fuesen parcialmente quitadas, o en otras palabras, como si la apertura de la ranura fuese engrandada, por esta razón reduciendo el flujo de dispersión. Trabajando con un gran numero de ensayos, pues la hipótesis puede ser comprobada, y fabricando variantes y variaciones en materiales eliminados, la cantidad de que las puntas de los dientes cambiaban fue encontrada. Esto indica que la cara del diente es aproximadamente reducida en al misma proporción que en la reducción en la dispersión en zig-zag.

Figura 3.09. Variación de la forma de la ranura.

Usando esta obertura más grande de ranura, las constantes de dispersión de ranura son entonces recalculadas, así como la nueva obertura de ranura del valor de las constantes. De otra forma, este cambio en la obertura de la ranura, puede ser calculada mediante el uso de las fórmulas de las


ecuaciones 3.24 a la 3.28 en conjunto con la figura 3.09. En la figura 3.09, se puede observar en trazo discontinuo, el cambio de geometría en la ranura cuando se produce la saturación. Las fórmulas que se indican a continuación son aplicadas para las distintas geometrías de las ranuras y que se corresponden con las constantes de obertura de las ranuras.

%( ) 1100

zig zagC tλ − = − −

(3.24)

1k

a Ct C t

δ = + (3.25)

1 20.581.5k

a a Ct C t

δ + = + (3.26)

1 2

1 1

3.30.02 0.02 0.4ka aC C

C t C tδ

= + + + (3.27)

1 2 1

1 1

2 0.150.02 0.02 0.8k

a C tCC t C t

δδ − = + + +

(3.28)

donde, C cambio aparente en la obertura de la ranura debido a la saturación λ paso de ranura en el entrehierro (en el primario o el secundario)

kδ cambio en la constante de ranura (en el primario o el secundario)

para a1, a2, t, t1, ver diagrama de la figura 3.09. La derivación de las ecuaciones 3.24 y 3.25 es la siguiente:

tλ − dientes no saturados

%( )

100zig zagtλ − −

dientes saturados


% %( ) ( ) ( ) 1100 100

zig zag zig zagC t t tλ λ λ− − = − − − = − −

constante de ranura para puntas de dientes no saturadas 1at

constante de ranura para puntas de dientes saturadas 1

1a

C +

1 1 1 1 1 1

( )ka a a C a t a t a Ct C t t C t t C t

δ + − = − = = + + +

La derivación de las ecuaciones 3.26, 3.27 y 3.28 no es dada, pero se

derivan de forma similar a las anteriores, con la excepción que se realizan simplificaciones en las expresiones. Estas aproximaciones han sido comprobadas para diferentes valores del tanto por ciento de las dispersiones en zig-zag como para diferentes geometrías de ranura, y los resultados son lo suficientemente precisos. Después de haber encontrado el valor del cambio en la constante de la ranura, donde es de la aplicación de una de las ecuaciones 3.25, 3.26, 3.27 o 3.28, dependiendo de la geometría de la ranura, el tanto por ciento de la dispersión de ranura, es dado insertando este valor en la ecuación 3.29. Esta expresión puede ser utilizada para el primario y el secundario.

ranuranormalcte-ranura normal cte100· ranura de dispersión % kδ

= (3.29)

donde, δk = constante de cambio en la dispersión de ranura El porcentaje en zig-zag y los dos %, primario y secundario, de la dispersión de ranura podrán ser encontrados ahora, multiplicándolos por el valor normal calculado por estos porcentajes, dividido por 100, para obtener los valores ajustados. Estos añadidos a la dispersión final de primario y secundario, que no cambian, dan la reactancia total. Añadiendo este valor a la resistencia da la nueva impedancia, y esto combinado con al intensidad de arranque en al ecuación 3.20 da la tensión necesaria para producir esta corriente.


Este voltaje tendría que ser apreciablemente diferente del voltaje de la máquina en condiciones nominales, entonces el valor del voltaje total puede ser encontrado dibujando el voltaje total aproximado junto con el voltaje reducido, donde la corriente nos diera una inducción ficticia BL de 75000. Para este último punto, se puede asumir que no hay saturación.

Estos dos puntos, nos permiten dibujar una curva, y el valor de la

corriente en la situación de rotor parado para el voltaje total es encontrada. Se debería recordar que la curvatura es mayor cuando el valor de al corriente da un valor de BL aproximadamente 95000. Por lo tanto la curva será más inclinada a plena tensión que a tensión reducida. Esto es evidenciado en las figuras 3.10 y 3.11. Si hubiese algún inconveniente para dibujar estos puntos se puede obtener una aproximación más acurada utilizando la ecuación 3.30. IA a plena tensión=Isupuesta + K·(plena tensión – tensión calculada) Donde,

ZZficticiaB

ficticiaB

Ks

L

L

−

−=

)(100000

1100000 (3.30)

Zs= impedancia calculada con saturación Z= impedancia normal sin saturación

12.4.4. Alcances y limitaciones Para ver el alcance y limitaciones de este método se han realizado varias

pruebas, que han consistido en realizar el ensayo en el laboratorio y posteriormente el cálculo teórico. A continuación se muestra un ejemplo de un motor eléctrico de inducción de 140 kW y 4 polos.

Cálculo Intesidad cortocircuito motor 140kW U[V] IA[A] Calculada IA[A] Ensayo Error [%] 105.2 381.5 395.7 3.6 150.6 592.0 619.1 4.4 197.0 820.5 854.7 4.0 247.6 1074.5 1107.0 2.9 400.0 1875.0 1883.4 0.4

Tabla 3.03. Valores de I de cortocircuito calculados y ensayados, así como el error

cometido.


Calculo Intensidad de cortocircuito

IAe= 0.0013U2 + 4.3936U - 97.25R2 = 1

IAc = 0.0003U2 + 4.8981U - 123.5R2 = 1

0200400600800

100012001400160018002000

0 100 200 300 400 500

U[V]

IA[A

] IA[A] CalculadaIA[A] Ensayo

Figura 3.10. Curvas de cortocircuito, calculada y ensayada.

De las curvas de cortocircuito se extraen las siguientes conclusiones:

• Las curvas son prácticamente iguales obteniendo errores inferiores al 4.5%.

• Se comprueba que las curvas no son lineales, sino que tienen forma cuadrática.

Con este método se extraen resultados muy buenos. Un siguiente paso

seria calcular exactamente los parámetros con los que se trabaja, por ejemplo las permeancias teniendo en cuenta la parte rellena de cobre, la parte de aire y la punta del diente (ver apartado 2.3.3.1) [9].

12.4.5. Aplicación de la saturación a la Curva Par-Intensidad / Velocidad

Se ha visto en este capítulo un método para corregir la curva de cortocircuito

debida a la saturación. Lo que se pretende, ahora, es aplicar este mismo método pero para toda la curva Par-Intensidad / velocidad del motor de inducción. Como es sabido la saturación donde tiene más efecto es en motores de potencias elevadas (PN > 50kW), debido a que estos mantienen prácticamente la intensidad de cortocircuito hasta el punto de par máximo donde baja de golpe. Para estos motores se esta hablando prácticamente de la velocidad de


sincronismo. Para ver la viabilidad de este método se han hecho varias pruebas (ver anexo B.3).

En la figura 3.11 se puede ver uno de los resultados.

Comparativa de las Curvas Par-Intensidad/Velocidad con/sin saturación

0

50

100

150

200

250

0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500

n[npm]

M[N

m]

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

I[A]

Simulink. Valores sin saturación Simulink. Valores con saturación

Figura 3.11. Curva Par-Intensidad / Velocidad con/sin saturación.

Si se comparan ahora, esta curva con la curva real del motor y con la

curva del programa de cálculo de AEG (ver figura 3.12) se puede apreciar que no existe prácticamente diferencia.

Comparativa de las Curvas Par-Intensidad/Velocidad

0

50

100

150

200

250

0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500

n[npm]

M[N

m]

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

I[A]

Valores programa AEG Ensayo en el laboratorio de AEG Simulink. Valores con saturación

Figura 3.12. Comparativa Curvas Par-Intensidad / Velocidad con saturación.


12.5. Evolución del Par máximo [18]

En el siguiente apartado se estudiará como evoluciona el par máximo de la curva Par / velocidad de los motores de inducción. Para ello, se estudiará el circuito equivalente dinámico de la máquina de inducción.

Las ecuaciones 3.31, 3.32, 3.33, describen el comportamiento de una

máquina asíncrona alimentada a una red simétrica estática para cualquier estado. Se desprecia la saturación del hierro y los harmónicos.

tjm eUdtdiLiR ω·2'·'''· =+ (3.31)

0··''''·''·''··'' =−++

−

dtdiMj

dtdiM

dtdiLi

dtdLjR m

mss

ϑσϑσ (3.32)

( ) WiMipdtd

pJ

sm −×−= ''·23

2

2ϑ (3.33)

Donde, R’= Resistencia de estator R’’= Resistencia de rotor is’’= Intensidad de rotor im= Intensidad magnetizante u’= Tensión de alimentación L’’= inductancia de rotor ϑ = ángulo de desfase entre el estator y el rotor M= Inductancia mutua W= Carga

( )''·23

smi iMipM ×−= = Par interno del motor

Cuando se habla de transitorios dinámicos cabe distinguir entre dos tipos:

• Transitorio debido al conectar el motor a la red, se están conectando bobinas.

• Transitorio debido a la variación del deslizamiento en un campo. Para cada deslizamiento hay un estado estacionario y hay un ángulo de

desfase entre el campo del estator y del rotor.


Debido a qué hay una inductancia, tanto, en el estator como en el rotor, no se pueden determinar ni la corriente ni el par de una forma directa, cuando se produce la variación del deslizamiento. Por ejemplo en el arranque sin carga o en un cambio de fase (inversión del sentido de giro). Como consecuencia de la variación del deslizamiento durante el arranque se producen una serie de transitorios que hace que haya una diferencia entre las curvas dinámicas y estacionarias.

El transcurso de la corriente y el par debido a un transitorio, se explica que debido a esta corriente se produce un par oscilatorio. Este par muy brevemente llega a ser muy grande, por lo que se debe tener en cuenta a la hora de dimensionar ejes, acoplamientos,...

El fenómeno del transitorio eléctrico no afectará al tiempo de arranque,

porque al ser los valores de par oscilantes se anulan entre ellos. La sobre velocidad y la disminución del par durante el arranque no se verá afectado por el transitorio eléctrico. Esto permitirá no tener en cuenta el transitorio eléctrico par determinar la evolución del par en el arranque. Para ello se empezará como si se clavase el rotor y se dejase libre una vez extinguido el transitorio eléctrico, seria el mismo caso que si se viniese de una inversión.

Para la integración se recomienda la corriente del rotor según la siguiente

expresión:

tjs eti ω·2)·('''' Ι= (3.34)

La R’ se desprecia para máquinas de potencias mayores a 10 kW, pero

para máquinas de menos de 10 kW se debe tener en cuenta. La corriente magnetizante es:

tjm

tjm eje

LUji ωω

ω·2···

'·2'·

Ι−=−= (3.35)

El deslizamiento es:

−=

dtds ϑω

ω1

(3.36)

Se sustituyen las ecuaciones 3.35 y 3.36 en las ecuaciones 3.32 y 3.33.

La ventaja es que se empezará a trabajar con valores eficaces y deslizamientos.


0···'·''·'···'''·'''''· =+Ι+Ι+Ι sIMsLjR

dtdL mωωσσ (3.37)

( )dtds

pJeejIMp tjtj

m·'·'····3 ωωω =Ι×− (3.38)

Con las ecuaciones 3.35 y 3.37 se puede dibujar un circuito equivalente

para el transitorio dinámico de la máquina de inducción. Multiplicando por ML'

y

s-1 y realizando los siguientes cambios de variable:

''''

'''''

,'''''

2

2

Ι=Ι

=

=

LM

yLMLL

RMLR

(3.39)

queda,

0''''·''''''·''···'·· =Ι

+Ι+Ι+dt

dsL

sRLjIL m

σωσω (3.40)

La suma de tensiones debe ser cero, pero cuando hay un transitorio

eléctrico esto no es cierto y aparece e∆ (tensión adicional inducida). Con las ecuaciones 3.35 y 3.40 se pude dibujar el circuito equivalente dinámico de una máquina asíncrona, ver figura 3.13.

dtd

sLe ''''· Ι

=∆σ

(3.41)

La parte dinámica queda reflectada con la tensión adicional inducida,

e∆ , la cual en el régimen estacionario desaparece, porque la I’’ es constante.


Figura 3.13. Circuito equivalente dinámico con e∆ Para facilitar los cálculos se trabaja con unidades adimensionales. La utilización de valores unitarios se distinguirá por minúsculas y la corriente por llevar un *.

0···'''·'··'''·'''''· ****

=+Ι+Ι+Ι sIxsxjrdt

dx mhσσ (3.42)

( )tjtj

m

mh eejT

Ixdtds ωω ·''·

· **

Ι×−= (3.43)

Despejando se encuentra el valor de la constante Tm:

NNm IUp

JT···3

·2

3ω= (3.44)

Para integrar, para simplificar, se pone la corriente en sus dos componentes, real e imaginaria:

βα iji ·'' * +=Ι (3.45)

Quedando las siguientes ecuaciones diferenciales:

0··· =+−+ sAisisdtdi

K βαα (3.46)

0·· =−+ αββ isis

dtdi

K (3.47)

dtdsBi =α (3.48)

Queda un sistema de tres ecuaciones diferenciales con tres incógnitas. Se sabe que sK

R’’/s∆e

σL’’L’’

Im

I’’I’

U’


''·''

xrsK σ

= (3.49)

Realizando los siguientes cambios de variables:

''·· *

xIx

A mh

σ= (3.50)

*· mh

m

IxT

B = (3.51)

Debido a que los productos no son lineales, no se puede solucionar de

una forma analítica, y solo se puede solucionar por algún programa informatico. La influencia de los parámetros sK, A y B no se puede pasar por alto, y la corriente de arranque se debe poner como sabida. A continuación se hacen unas transformaciones para poder solucionar el sistema de ecuaciones:

tsssS

AiAi

K

K

·=

=

=

=

τ

β

α

β

α

0· =+−+ SSdd βα

τα

(3.52)

0· =++ Sdd αβ

τβ

(3.53)

τα

ddS

AsB K

2·= (3.54)

Como consecuencia de haber hecho la transformación el sistema de

ecuaciones solo tiene un único parámetro, P.

( )2*

· ''·

·m K

h m

T r sPx I

= (3.55)


Se hace el estudio a partir del parámetro P, es decir, se mira como varían las ecuaciones diferenciales en función de este parámetro. El máximo es consecuencia de la e∆ .

Las condiciones de contorno, que salen de considerar el caso estático

S(0).

220

20

2

2

220

02

0

)0(1)0()0(

·)0(1

)0()0(

)0(

k

k

K

K

sss

SS

ssss

SS

ss

S

+−=

+=

+−=

+−=

=

β

α

El parámetro P nos da a entender como de rápido o de a de lento se producen los amortiguamientos. En el anexo B simulaciones, se han realizado varias simulaciones de motores en función del parámetro P. Estas se han realizado a partir de varios valores de P y se ha encontrado la característica que relaciona P con la relación Mk/Mke.

12.6. Evolución de la tensión y la corriente en el arranque del motor

Al arrancar un motor hay una caída de tensión en la línea, esta es debida

a la resistencia del cable entre el interruptor de conexión hasta los bornes de alimentación del motor. Esta caída de tensión depende de la potencia del motor ya que como más grande sea la potencia más grande será la caída de tensión, debido a que la intensidad será más grande. Luego esta caída se irá estabilizando en la misma medida que la intensidad, ya que como ya se ha comentado anteriormente la intensidad del motor evoluciona desde la intensidad de arranque (aproximadamente 6 o 7 veces la intensidad nominal) hasta la intensidad de vacío o nominal. En las figura 3.14 se puede ver la caída de tensión y la intensidad de un motor pequeño y en la figura 3.15 las de un motor grande.


Figura 3.14. Tensión e intensidad de un motor 0.75 kW.

Como se puede observar en la figura superior (3.14) la caída de tensión es poco importante ( de aproximadamente unos 15 V), por tanto se pude afirmar que para motores pequeños tendremos caídas de tensión pequeñas, ya que las intensidades que tenemos son pequeñas, por ejemplo en este motor tiene una intensidad de arranque de 6 A .

Figura 3.15. Tensión e intensidad de un motor 140 kW.


Como se puede observar en este caso la caída de tensión es importante (hay una caída tensión de poco más de 120 V), ya que en este caso hay una intensidad de arranque de 1665 A.

Otro factor que se ilustra en la figura es que se ve claramente como la

tensión evoluciona con la intensidad, en motores grandes, debido a que son de doble jaula, la intensidad de arranque se mantiene casi hasta que el motor ha llegado a la velocidad de sincronismo y poco antes de llegar a ella (aproximadamente a las 2800/2900 rpm, en el caso de un motor de 2 polos) baja bruscamente. Este fenómeno se produce, debido a la forma de la ranura (ver figura 3.16). La resistencia, R2, en el momento del arranque es muy grande, la intensidad circula por la parte superior, y se mantiene así hasta que logra pasar el estreñimiento de la ranura y se establece en la parte inferior de esta; luego la resistencia baja de golpe, ya que la superficie aumenta (ver apartado 3.1.3).

Esta variación tan brusca de intensidad provocará una variación del flujo

en la misma proporción, este creará una f.e.m. muy grande y como consecuencia habrá una intensidad muy grande en el rotor, la cual provocará un par electromagnético muy elevado, que coincidirá con el máximo de la curva par-velocidad.

Figura 3.16. Forma de la ranura de un motor de doble jaula.


12.7. Influencia de los harmónicos

La onda de f.m.m. de p pares de polos, creada por un devanado polifásico estatórico, o rotórico, no es una senoide pura [24], sino una onda periódica, más o menos escalonada. Si se aplica la descomposición en serie de Fourier, resulta una onda senoidal de ν p pares de polos, siendo ν el orden del armónico de estator.

Principalmente se deduce que el orden de los armónicos de estator,

respondía a una ecuación tal como esta.

)12( 11 +⋅⋅⋅= kmpν

que considerando el número de fases (m1) fijo e igual a 3, queda

)16( 1 +⋅⋅= kpν

para k1 = 0, -1, +1, -2, +2, -3, +3......

La velocidad angular de la onda fundamental es:

pf1

1 2πω = [rad/s]

y la velocidad síncrona donde se encontrará el armónico será:

vv1

1ω

ω = [rad/s]

Las ondas de f.m.m. armónicas inducen en el devanado del rotor corrientes de frecuencia:

f2v=sv·f1

Estas corrientes darán origen a f.m.m. en el rotor con orden de los armónicos de rotor, determinados por la siguiente expresión:

νµ +⋅= 22 Nk

para k2 = 0, -1, +1, -2, +2, -3, +3......

se puede deducir entonces que la combinación de los armónicos generados por el estator, y los que a su vez, se generan en el rotor por inducción, formarán


unos nuevos armónicos en el entrehierro fruto de la composición aritmética de ambos, de manera que el orden resultante quedará

yxr µν ±=

donde “r” es el orden de la onda de deformación resultante, que puede interpretarse como muestra la figura 3.17, y cuya combinación generará unas frecuencias de vibración

)02

)1(( 212 +

+−⋅⋅⋅= S

pN

kff µ (3.56)

Figura 3.17. Ondas de deformación armónicas resultantes

Como se puede deducir de la figura 3.17., mientras mas cercanas a 0 sean las ondas de deformación resultantes, la deformación será más crítica, y con ella, el ruido producido, por lo que deberemos prestar especial atención a órdenes menores de 6 para hacer una predicción suficientemente fiable.

Siguiendo la evolución matemática analizada hasta el momento, podemos ver que las ondas de deformación dependen de los armónicos de rotor


y estator, y sus frecuencias también (ecuación 3.56), y a su vez, los armónicos dependen de factores como la polaridad del motor, o el número de ranuras del rotor.

La interacción entre dos ondas de f.m.m. armónicas, una de estator y una

de rotor provocarán diferentes tipos de pares, dependiendo de la diferencia del orden del armónico de estator y rotor. Estos pares son:

• Pares asíncronos armónicos • Pares síncronos armónicos • Fuerzas oscilantes

12.7.1. Pares asíncronos armónicos

Los pares asíncronos se originan cuando una onda armónica de rotor interacciona con una de estator de la misma polaridad. Las ondas, por tanto, son producidas por el mismo orden armónico. Estos pares solo dependen de los armónicos de estator.

νµ =

Por tanto, este fenómeno se producirá para k2=0. Los pares asíncronos tienen una gran influencia en los motores medianos ya que son los responsables que se produzca el bache de la curva-velocidad, también denominado valle. En motores pequeños y grandes estos armónicos no tienen mucho efecto sobre la curva ya que hay efectos que se sobreponen a este, por ejemplo, en motores grandes tiene más influencia la forma de la ranura que no los pares asíncronos provocados por el número de ranuras.

Figura 3.18. Curvas, M=f(s), de la onda de campo fundamental y de los armónicos quinto y séptimo.


12.7.2. Pares sincronos armónicos

Los pares sincronos se originan cuando una onda armónica de rotor, creada por una onda armónica de estator más una de rotor, interacciona con una de estator de ± el mismo orden de armónico. Las ondas, por tanto, son producidas por diferente armónico.

νµ ±=

Para limitar los puntos muertos debidos a los pares sincronos y hacerlos en lo posible inoperantes, debe tenerse en cuenta, al proyectar el motor, que los números de ranuras de estator y del rotor no cumplan la condición anterior. Para determinar la velocidad donde se nos producirá este armónico se aplicará la siguiente fórmula:

1·2 1

1 +=

vnn v

12.7.3. Fuerzas oscilantes Se originan por la interacción de dos ondas de campo, en general entre dos ondas de campo de estator o entre dos ondas de campo de rotor, así también entre una onda de campo de estator y una de rotor, el orden de ambos campos presenta una diferencia de una o dos unidades.

1±=±νµ o 2±=±νµ

Las fuerzas oscilante provocan deformaciones del estator, provocando

como consecuencia ruido. Este ruido se acentuará más cuantas más ranuras tenga el estator debido a que se tendrá menos chapa y por tanto será menos rígido.

En la figura siguiente (3.19) se muestra una curva dinámica en la cual se pueden ver algunos de los armónicos que se han comentado. No se puede apreciar muy bien debido a que la señal no es ideal.


Figura 3.19. Curva Par-Intensidad/Velocidad dinámica de un motor AM 280MV2 Q4 de 90 kW.


13. Aplicación de ensayo de la curva Par-Intensidad / Velocidad Dinámica y/o Estática

La aplicación se utiliza para el ensayo de la Curva Par-Intensidad/Velocidad en motores asíncronos trifásicos [13]. Esta curva es una característica que permite saber como se comportarán en par y la intensidad el motor en régimen dinámico y estático en función de la velocidad. El ensayo es doble: en primer lugar se realiza el arranque del motor, en el que se mide tensión de alimentación, intensidad absorbida y velocidad de aceleración del motor en función del tiempo. Luego se procede al paro del motor y se determina la velocidad de desaceleración en función del tiempo, lo que sirve para el cálculo de la inercia del conjunto. Estas cuatro señales se miden con un osciloscopio digital Tektronix TDS 420 A, que se configura mediante la aplicación. Cabe resaltar que sólo con el osciloscopio no se podría obtener dicha característica, ya que estas señales requieren de un tratamiento previo antes de poder obtenerse la Curva Par-Intensidad/Velocidad. Posteriormente dichas señales son enviadas mediante un puerto GPIB NI 488.2 al PC, donde son visualizadas y almacenadas. Así, cuando se desee, las señales podrán ser tratadas, visualizadas las resultantes, verificadas (la aplicación tiene un sistema de seguridad con el que se verifican los resultados) y, finalmente, imprimidas y guardadas en la base de datos. Estos resultados finales pueden ser recuperados o ser susceptibles de nuevo tratamiento desde cualquier punto de la red.

13.1. Montaje y comunicación del ensayo

El montaje del ensayo consiste en acoplar el motor a un volante de inercia y a una tacodinamo (motor de corriente continua para medir velocidad) (figura 5.1 y 5.2). Del montaje se realizan cuatro medidas en dos ensayos. En el primer ensayo o arranque, se mide la tensión de alimentación, intensidad absorbida y velocidad de aceleración del motor en función del tiempo. En el segundo o paro, se mide la velocidad de desaceleración del motor en función del tiempo. Para determinar estas medidas se utiliza un osciloscopio digital Tektronix TDS 420 A que esta conectado al PC a través de un puerto GPIB NI 488.2. Para la configuración del osciloscopio en la aplicación solo se han introducido las funciones necesarias para realizar el ensayo, con lo que se ha creado un osciloscopio virtual de fácil uso (figura 5.3 y 5.4).


Figura 5.1. Fotografía del montaje

IV. Figura 5.2. Esquema del montaje

Figura 5.3. Osciloscopio digital Tektronix TDS 420 A.

El desarrollo de este osciloscopio virtual se ha realizado mediante unos

paneles, de creación propia, y un driver, facilitado por National Instruments.


Figura 5.4. Osciloscopio virtual de la aplicación.

13.2. Proceso del ensayo Una vez configurado el osciloscopio, para proceder al primer ensayo se arranca el motor asíncrono trifásico y cuando alcanza la velocidad de sincronismo y el osciloscopio a terminado de leer se adquieren, visualizan (figura 5.5) y guardan las señales de tensión de alimentación, intensidad absorbida y velocidad de aceleración del motor en función del tiempo, con el fin de que puedan ser recuperadas y tratadas al final del segundo ensayo. Para realizar el segundo ensayo se debe modificar previamente parte de la configuración del osciloscopio. Con el paro del motor se obtiene la curva de desaceleración, y cuando el osciloscopio ha terminado de leer, se adquiere la señal, se visualiza (figura 5.6) y se guarda. Con esta curva e introduciendo la potencia de pérdidas que el motor vence para girar [7] la aplicación calcula la inercia del

Figura 5.5. Visualización de las señales.


Figura 5.6. Curva de desaceleración.

conjunto despejando de la ecuación de la 2ª Ley de Newton denominada del movimiento de rotación (ecuación 5.01). La aplicación, guarda el valor resultante en un fichero auxiliar conjuntamente, con todas las constantes utilizadas en el ensayo.

dtdJM ω

= (5.01)

donde: M = par motor [Nm] J = inercia del conjunto [kg·m2] ω = velocidad del motor [rad·s-1] t = tiempo [s]

13.3. Tratamiento de las señales Una vez realizado el ensayo se pasa a tratar la señal de velocidad para obtener el valor del par. Para ello se debe aplicar la ecuación anteriormente citada (5.01). Para obtener la derivada de la velocidad se ha utilizado una función que ofrece el software LabWindows\CVI. Esta función obtiene, automáticamente, la derivada con tan solo la introducción del vector de puntos. El par se obtiene mediante la derivada de la velocidad y la inercia, se puede visualizar por pantalla y guardar.


La señal de velocidad que ofrece la tacodinamo no es lineal sino que tiene un rizado, debido a la conmutación entre delgas del colector. Además, en el caso de tener un acoplamiento elástico se produce un rizado adicional que es función de la frecuencia crítica de oscilación del conjunto [11]. La eliminación de este rizado se logra mediante un filtro desarrollado, gracias a que el software LabWindows\CVI es versátil y permite crear las funciones propias (figura 5.7).

Figura 7. Filtrado de la señal de velocidad y obtención del par.

Una vez tratada la señal de velocidad se tratan, a su vez, las señales de intensidad absorbida y tensión de alimentación, mediante una función que actúa de forma automática, para obtener el valor eficaz requerido de ambas señales. El tratamiento de las señales se obtiene en el plazo de unos dos minutos, lo que unido al tiempo de ensayo que, justamente, alcanza otros dos minutos, faculta que el proceso sea notablemente rápido.

13.4. Obtención y evaluación de resultados Para obtener la Curva Par-Intensidad/Velocidad se recuperan las señales guardadas en los ficheros, se les aplican una serie de constantes (relaciones de transformación de transformadores, de la pinza de intensidad, de las sondas de tensión, etc.) y mediante una función del software LabWindows\CVI se trazan, inicialmente dos curvas que se visualizan por pantalla y pueden ser imprimidas (figura 10): la primera es la Curva Par-Intensidad/Velocidad de ensayo y la segunda la Curva Par-Intensidad/Velocidad corregida en función de la divergencia de la tensión de alimentación y la nominal [11 y 23]. Esta última curva es la real de prototipo. Ambas curvas se pueden aumentar disminuir y


desplazar, y se puede ver el valor de sus puntos característicos mediante cursores que marcan los valores en displays (figura 5.8).

Figura 5.8. Curva Par-Intensidad/Velocidad.

Una característica muy interesante de la aplicación son las funciones de seguridad que se han introducido y que permite conocer, en todo momento, la bondad de los resultados. Existen dos funciones de seguridad: La primera se halla en el filtrado de la señal de velocidad y permite apreciar que la señal no se distorsiona al ser filtrada (figura 5.7). La segunda esta en el tratamiento de las señales de tensión de alimentación e intensidad absorbida y permite ver los puntos adquiridos y los respectivos valores eficaces sobre los reales. Al estar adquiriendo señales senoidales (señal de tensión e intensidad) y ensayando motores, en muchos casos, de gran tamaño y por tanto que tardan varios segundos en arrancar, se requiere de una precisión elevada, por lo que la aplicación trabaja con 5000 puntos para el ensayo de motores que tardan en arrancar menos de 10 segundos y con 15000 con los que arrancan en 10 segundos o más (figura 5.9).


Figura 5.9 a. Señal de tensión de alimentación (CH3) y señal de intensidad absorbida (CH1), pantalla del osciloscopio.

Figura 5.9 b. Señal de tensión de alimentación y señal de intensidad absorbida, pantalla de la aplicación.


Figura 5.9 c. Señal de tensión de alimentación y señal de intensidad absorbida.

Figura 5.9 d. Señal de tensión de alimentación y señal de intensidad absorbida.

Ya que se realizan muchos ensayos, diariamente, es necesario el ahorro de espacio en el disco duro del PC, ya que la aplicación trabaja con ficheros que guardan muchos puntos. Para ello se ha creado una función que disminuye el número de puntos, hasta un total de 30, sin perder información, ya que se cogen los puntos más característicos pudiéndose, además, extrapolar cualquier otro punto. Así, se disminuye el espacio de memoria que ocupa cada ensayo y, además, los ficheros se hacen compatibles con otra aplicación creada de forma independiente (esta aplicación también fue creada con el software LabWindows\CVI) [5]. Esta aplicación compatible puede ser ejecutada desde la primera con la que se facilita y agiliza su uso. Finalmente cabe subrayar que los


resultados pueden ser imprimidos (figura 5.10), guardados y utilizados para realizar diferentes tipos de cálculos, como por ejemplo, el tiempo de arranque. Igualmente los datos medidos son susceptibles de nuevo tratamiento cuando se desee. En conclusión, gracias al software LabWindows\CVI se ha podido crear una herramienta informática para el ensayo de la Curva Par-Intensidad/Velocidad dinámica en motores asíncronos trifásicos de cualquier tamaño, que resulta potente, rápida, precisa y de fácil manejo.

Figura 5.10. Ejemplo de protocolo.


14. Conclusiones Las conclusiones a las que se ha llegado son las que siguen:

1. Se ha determinado la variación de los parámetros del motor en el arranque (resistencias, reactancias,...), así como sus magnitudes (par, tensión, intensidad,...).

2. Se ha diseñado una herramienta capaz de llevar del régimen dinámico al estático una curva Par-Intensidad / Velocidad dinámica ensayada, ya sea porque el ensayo se haya realizado con una inercia demasiado pequeña, porque no se dispusiera de la exacta o porque no se dispusiera de inercias mayores.

3. Se ha validado y mejorado el modelo de cálculo actual de la empresa AEG debido a que este solo puede calcular en régimen estático y el actual puede obtener curvas Par-Intensidad / Velocidad dinámicas y estáticas.


15. Trabajos futuros Los futuros trabajos que se proponen son los siguientes:

1. Implantar en una misma herramienta el cálculo de la curva Par-Intensidad / Velocidad, unir la parte de la variación de los parámetros debida a la saturación a la aplicación Matlab/Simulink.

2. Tener en consideración el calentamiento del motor durante el arranque. Esto permitiría poder determinar como varían los parámetros del motor y si arrancaría con una determinada carga.

3. Tener en cuenta los armónicos.


16. Implicaciones Ambientales V.

La construcción de máquinas eléctricas en los países industrializados constituye una importante partida económica, siendo en el sector de la electricidad quizá la mayor. Solamente el mercado Europeo de máquinas eléctricas rotativas asciende a 9.6 millones de euros [24].

En el caso de los motores eléctricos el número de unidades que existen es

muy elevado. Basta contemplar el ejemplo de los Estados Unidos, donde en el año 1991 el número de motores eléctricos en el rango de potencias de 1 a 120 HP superaban los 125 millones (U.S. Department of Energy).

El consumo de energía de los motores es muy importante, y la consecuencia son emisiones a la atmósfera de CO2 para producir la energía consumida, con el consiguiente aumento del efecto invernadero.

Es por esto que en los últimos años se está poniendo un especial énfasis en la mejora de la eficiencia energética de los accionamientos eléctricos. He aquí la importancia del programa realizado, pues permite modificar los parámetros constructivos de los motores de inducción, evitando la fabricación de muchos prototipos y la realización de muchas pruebas en el laboratorio, hasta conseguir las características de funcionamiento y arranque óptimas.

Hace unos años el entonces presidente de los Estados Unidos George Bush firmó una ley de política energética, cuyo objetivo era tener un gran efecto en fabricantes, compradores y usuarios del motor eléctrico. EPACT’92 tiene como finalidad la conservación de la energía, reduciendo la necesidad de crear nuevas centrales eléctricas, disminuyendo el efecto invernadero al necesitar quemar menos combustibles fósiles. Dicha política energética promulga que en un plazo no superior a 10 años todos los fabricantes deberán tener motores con un rendimiento mayor que el estándar de 0.75 kW - 150 kW.

Desde la entrada en vigor de dicha ley, la comisión Europea (Directorate General XVII - Energy) ha acelerado la aplicación de una política que proporcionará el uso de motores de alto rendimiento.

En EUA, el Departamento de Energía con EPACT obliga a partir del 24 de Octubre de 1997, que los motores que se comercializan en USA según norma NEMA o IEC, cumplan con un rendimiento mínimo. La tabla 3 muestra los


valores para motores abiertos y cerrados (con IP mínimo 54) de 0.75 a 150 kW, para 2,4 y 6 polos.( Federal Register Publication, Public Law 102-486-OCT,1992)

En Europa un nuevo programa, designando las clases de eficiencia energética para motores de corriente alterna, ha sido establecido gracias a la cooperación entre los fabricantes agrupados en la CEMEP ( European Comitee of Manufacturers of Electrical Machines and Power Electronics) y la Comisión Europea (European Comission, Directorate XVII - Energy). Este programa es un elemento importante en el compromiso europeo para incrementar la eficiencia en los accionamientos eléctricos.

Los resultados esperados por el programa son:

Una reducción del consumo de energía en Europa. Una reducción en los costes de la industria europea. Una reducción en las emisiones de CO2 europeas.

Por tanto con este proyecto se pretende disminuir los gastos de consumo de energía

disminuyendo el numero de fabricación de nuevos prototipos, ya que no serian necesarias tantas pruebas a la hora de diseñar un motor. Y en segundo lugar una disminución del consumo de energía de los nuevos motores ya que se obtiene una herramienta con la que se pueden obtener motores con mejores rendimientos.

17. Bibliografía


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Ed. Paraninfo. Madrid 1975. [2] Catálogo de Motores de AEG.

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Matlab/Simulink. Ed nPrentice hall. New Jerey 1998.

[4] Corrales Martín, Juan. Cálculo industrial de máquinas eléctricas. Ed Marcombo. Barcelona.1982.

[5] Cortés Cherta, M. Curso moderno de máquinas eléctricas rotativas Tomo III, Máquinas de corriente alterna asíncronas. Editores técnicos asociados. 1994.

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[24] Saving Energy with Electrical Drives. Zentralverband Elektrotechnik- und Elektronikindustrie. ZVEI 1999

[25] Xavier Alabern, Atanasi Jornet, Marc Freyre, Diego Pérez, Emili Valero. Relación entre la curva estática y dinámica en los motores de inducción para la determinación del par máximo. XII Reunión de grupos de investigación en Ingeniería Eléctrica. Cordoba 2002. En preparación.

[26] Xavier Alabern, Atanasi Jornet, Marc Freyre, Diego Pérez, Emili Valero. Determination of stationary pull-out torque based on dynamic torque characteristic. ICEM 2002. En preparación.

18. Simbología


Símbolo Descripción Asm Amplitud de la onda capa de corriente B Campo magnético Bm Campo magnético máximo cosϕ Factor de potencia E Tensión inducida I Intensidad eficaz Iµ Intensidad magnetizante IFe Intensidad en el hierro I0 Intensidad de vacío KC1 Factor de Carter para estator KC2 Factor de Carter para rotor KK Factor de reducción ranura(parte cuña) Kcu Factor de reducción ranura(parte cobre) M Par motor MN Par nominal N Número de espiras de una bobina Q Potencia reactiva P Potencia activa Pn Potencia nominal Prot Pérdidas en el rotor PCu Pérdidas en el cobre PRC Pérdidas por rozamiento en los cojinetes PRE Pérdidas por rozamiento escobilla-colector PV Pérdidas por el ventilador R1 Resistencia del estator R2 Resistencia del rotor Re Resistencia de la jaula exterior del rotor Ri Resistencia de la jaula interior del rotor RFe Resistencia del hierro Rie Resistencia de los anillos del rotor Rk Resistencia en frío Rw Resistencia en caliente S Potencia aparente U Tensión Símbolo Descripción


Vµ Caída de tensión magnética total VL Caída de tensión magnética en el entrehierro VZ Caída de tensión magnética en los dientes VR Caída de tensión magnética en la corona X1 Reactancia del rotor Xµ Reactancia de magnetización Xe Reactancia de la ranura exterior del rotor Xi Reactancia de la ranura interior del rotor Xd Reactancia doblemente concatenada Xnut Reactancia de dispersión de ranura Xs Reactancia de dispersión cabeza de bobina Xschr Reactancia de dispersión inclinación ranura Z Impedancia total del circuito Z1 Impedancia del estator Z2 Impedancia del rotor Zi Impedancia jaula interior del rotor Ze Impedancia jaula exterior del rotor a(x) Anchura conjunto conductores alojados en la ranura b(x) Anchura de la ranura hn Altura de la ranura i Intensidad s Deslizamiento p Pares de polos f Frecuencia f1 Frecuencia de la intensidad del estator f2 Frecuencia de la intensidad del rotor l Longitud paquete de chapas mfe Masa total del hierro m1 Fases del estator m2 Fases del rotor n Velocidad en rpm ns Velocidad síncrona en rpm n1 Número de ranuras estator n2 Número de ranuras rotor pµ Pérdidas específicas por magnetización ph Pérdidas específicas por histéresis pFo Pérdidas específicas por Foucault s Deslizamiento Símbolo Descripción


s(n) Deslizamiento en función de la velocidad t Tiempo tk Temperatura ambiente con el motor en frío tw Temperatura en caliente z Conductores activos por fase w Velocidad en rad/s ws Velocidad síncrona en rad/s α Coeficiente de aplanamiento δ Altura radial del entrehierro ξd Factor de distribución ξp Factor de acortamiento de paso ξb Factor de bobinado ξi Factor de inclinación de ranura φ Flujo magnético φL Flujo en el entrehierro φR Flujo en la corona φnut Flujo en la ranura

φZ Flujo en los dientes ϕ Ángulo del factor de potencia λn Dispersión de ranura η Rendimiento µ Permeabilidad ρ Resistividad σd Dispersión doblemente concatenada σschr Dispersión inclinación ranura σFo Pérdidas de Foucault para f=50Hz y B=1 Tesla σh Pérdidas de histéresis para f=50Hz y B=1 Tesla Λ Permeancia para cabeza de bobina Θ Fuerza magnetomotriz τδ Paso de ranura τp Paso polar ∆T Incremento de temperaturas


19. Las maquinas de inducción asíncronas trifásicas

19.1. Descripción del motor eléctrico asíncrono trifásico [16]

Un motor de inducción es simplemente un transformador eléctrico cuyo circuito magnético está separado, por medio de un entrehierro, en dos partes: una parte fija llamada estator y otra parte móvil llamada rotor. El estator está formado por un devanado (primario) situado en un núcleo de chapas magnéticas de acero ranuradas. El rotor al igual que el estator, también posee un núcleo de chapas magnéticas ranuradas en el cual se sitúa un devanado (secundario), pero éste, puede que no sea bobinado sino que contenga unas barras de cobre, bronce, o aluminio unidas en los extremos a unos anillos (rotor de jaula de ardilla) que las cortocircuiten. Entre el estator y el rotor existe una separación de aire que debe ser lo más reducida posible, sin que haya roce alguno, y que se denomina entrehierro. Cuando se suministra una corriente alterna, procedente de una red, al devanado primario, se induce una corriente de sentido opuesto en el devanado secundario, produciéndose flujo magnético en el entrehierro, siempre que éste último esté cerrado en cortocircuito o a través de una impedancia exterior. Dicho flujo magnético determina un par de giro sobre el rotor transformando la energía eléctrica en energía mecánica. En los motores asíncronos trifásicos, se hacen circular corrientes alternas que generan un campo magnético sinusoidal que gira sincrónicamente (velocidad de sincronismo) con la frecuencia de la fuente de alimentación del motor.

El motor de inducción en vacío puede llegar a alcanzar velocidades casi

iguales a la de sincronismo, pero en el momento en que se aplique carga, la velocidad se reduce a un valor inferior al de sincronismo, de ahí el nombre de motores asíncronos.

La característica esencial que distingue a la máquina de inducción de los

otros tipos de motores eléctricos, es que las corrientes secundarias se engendran solamente por inducción, como en un transformador, en vez de ser suministradas por una excitatriz de corriente continua u otra fuente exterior de energía, como en las máquinas sincrónicas y en las de corriente continua.


Figura 2.01 Despiece de un motor asíncrono trifásico con rotor de jaula de ardilla [2].

El tipo de motores que contemplan las figuras 2.01 y 2.02 son motores asíncronos trifásicos con rotor de jaula de ardilla, como se ha mencionado anteriormente, está formado por un eje y un núcleo de chapas magnéticas prensadas, en cuyo interior, se sitúa el devanado secundario compuesto por barras de aluminio inyectadas (jaula del rotor) (figura 2.03). El estator, por otro


lado, está formado por un bobinado alojado en las ranuras de un núcleo de chapas magnéticas prensadas, protegido de posibles contactos a masa mediante material aislante (figura 2.04) que puede ser de diferentes tipos dependiendo de las condiciones de trabajo que se exigirán al motor. Se utilizan tres tipos de aislamiento que son: aislamiento clase B, F y H. Por ejemplo, el tipo H se utiliza en condiciones de funcionamiento duras como temperatura ambiente y sobrecargas elevadas. Este tipo de motores tienen unas características que hacen que sea el más utilizado, como por ejemplo, su poco mantenimiento y solidez, su capacidad de mantener una velocidad constante y sobrecarga, o su bajo coste de fabricación.

Figura 2.02 Despiece de un motor asíncrono trifásico con rotor de jaula de ardilla [2].


Figura 2.03 Rotor de jaula de ardilla

Figura 2.04 Estator

El devanado estatórico de p, pares de polos, es alimentado por el sistema de corrientes trifásicas de la red, de pulsación ω [rad/s], creando un campo giratorio de velocidad angular Ω = ω/p [rad/s], que expresada en vueltas por minuto, viene dada por:


[1/min]

donde f es la frecuencia de la red en Hz. A esta velocidad se la denomina velocidad sincrónica. Observando la figura 2.05 se puede recordar el concepto de polo. En el dibujo, las zonas de entrada de las líneas del campo magnético corresponden al polo norte de éste, y las zonas de salida, que corresponderían al polo sur, se situarían a 180 grados. El número de polos viene normalizado y se pueden construir motores de 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24... y de hasta 80 polos.

Figura 2.05 Distribución de los polos en una máquina asíncrona

A partir de la velocidad sincrónica puede obtenerse el deslizamiento, que se define como la relación que existe entre la diferencia de velocidad del campo magnético giratorio creado por el devanado estatórico y del campo inducido en el rotor, y la velocidad del campo inductor creado por el estator, y que puede expresarse de la siguiente forma:

pfns

602

60=

Ω=

π

s

s

nnn

s−

=


donde ns es la velocidad sincrónica y n la velocidad del rotor. El deslizamiento viene expresado en %. La potencia absorbida por el motor es la suma de la potencia útil que proporciona (potencia mecánica) y de las pérdidas totales que se producen en todas las partes que lo componen (pérdidas mecánicas, pérdidas en el hierro, pérdidas en el bobinado del estator, pérdidas en la jaula del rotor y pérdidas adicionales). La potencia nominal se refiere a la potencia mecánica desarrollada en el eje del motor a su velocidad nominal y puede calcularse mediante la siguiente expresión:

[W].

donde U es la tensión de red, I la corriente de red, cosϕ es el factor de potencia y η es el rendimiento que se define como la relación entre la potencia útil desarrollada por el motor y la potencia total absorbida por éste. La potencia absorvida se refiere a la potencia activa, que la definimos como la proporción de potencia que el motor absorbe de la red para transformarla en energía mecánica o calorífica. La potencia activa se calcula de la siguiente forma:

[W]

Para crear un campo magnético cada una de las tres fases del motor debe absorber cierta potencia que no contribuye a la potencia de salida del motor y que por tanto debe ser lo más baja posible. A esta potencia se la denomina potencia reactiva, y se obtiene de la siguiente expresión:

var (voltio-amperio reactivo)

La potencia activa y reactiva pueden representarse gráficamente como dos vectores desfasados entre si 90 grados cuyo vector resultante se denomina potencia aparente. La potencia aparente se expresa en VA (voltio-amperio) y se calcula de la siguiente forma:

[VA]

ηϕ ⋅⋅⋅⋅= cos3 IUPN

ϕcos31 ⋅⋅⋅= IUP

ϕsinIUQ ⋅⋅⋅= 3

IUS ⋅⋅= 3


De la relación entre la potencia activa (absorbida) y la potencia aparente se obtiene el factor de potencia:

El momento de giro del motor se expresa en Nm (M=Fuerza x longitud del

brazo de palanca) y se obtiene a partir de la potencia y la velocidad nominales del motor mediante la siguiente expresión:

[Nm]

Mediante la expresión anterior, el momento se obtiene en función de la

velocidad asíncrona, pero puede también calcularse referido a la velocidad sincrónica, con lo que nos quedaría la siguiente fórmula:

[Nm]

Como en el sistema trifásico la suma de los vectores instantáneos de los

vectores instantáneos de las tres corrientes es, en cada momento, igual a cero, pueden reducirse por agrupación las seis bornas o conductores, que sería, para un devanado trifásico, a tres. Esta agrupación es factible realizarla de dos formas distintas, denominadas conexión estrella y conexión triángulo. a) Conexión estrella: Resulta de unir los extremos finales de las tres ranuras en

un punto común, llamado neutro o centro de la estrella. La tensión entre bornes es, en este caso, raíz de tres veces la de la fase, mientras que la corriente de línea es la misma que la de la fase. La conexión en estrella se simboliza con el signo Y. Un motor trifásico conectado en estrella a una tensión de alimentación de 380V, quedará sometido a 220V por fase.

b) Conexión triángulo: Resulta de conectar sucesivamente los extremos de las

tres ranuras, y los puntos de unión resultantes, con la red. Las tensiones en cada fase del devanado don las mismas que la de la red, mientras que la corriente de línea e raíz de tres veces superior a la de fase. El símbolo ∆ caracteriza la conexión triángulo.

SP1cos =ϕ

N

NN n

PM

9550⋅=

s

NN n

PM

10000⋅=


VI.

VII. Esquemas de conexión para las máquinas trifásicas con rótor de jaula de ardilla:

Figura 2.06. Conexionado externo de los motores de inducción.

19.2. Circuito eléctrico

19.2.1. Producción de la f.e.m.

Se va a determinar el valor de la f.e.m inducida en un motor de corriente alterna. Supóngase que el sistema inductor produce un flujo giratorio de p pares de polos e inducción B senoidalmente distribuida en el entrehierro, que avance con velocidad constante v. Según la ecuación e = Blv (l=longitud del paquete de chapas), la f.e.m inducida, en cada lado de bobina seguirá una ley de variación senoidal en el tiempo, a razón de p períodos por cada revolución del inductor, y con ello la frecuencia f (en Hz) si la velocidad de giro es de n rev/min,

valdrá60pnf = .

Suponiendo concentrado y bobinado de trabajo en una sola bobina de N

espiras y anchura o paso diametral (igual al paso polar) las f.e.m inducidas en


los 2N conductores de las ranuras se suman en fase para dar la f.e.m total E de la bobina:

lvBmNE2

2=

donde, como suele hacerse para las máquinas de corriente alterna, E viene calculada en su valor eficaz y Bm expresada por su máximo.

Figura 2.07. F.e.m de los devanados concéntricos y distribuídos.

Cada segundo recorre el campo el trayecto 2τp de un doble paso polar f veces, de modo que la velocidad v=2fτp. Con Bm = π/2Bmed, siendo Bmed el valor medio de la inducción correspondiente a una semionda senoidal,

φτπ fNlBfNE pmed 44,4)(2

2==

siendo φ el flujo en el entrehierro por polo.

La fórmula que resulta para la f.e.m rotatoria es, en definitiva la misma que para los transformadores. La distribución senoidal de la onda móvil de inducción provoca en la bobina un flujo alterno de variación senoidal en el tiempo y valor máximo φm=φ.


De hecho, el devanado de trabajo se encuentra distribuido entre varias

bobinas simples a lo largo de cada paso polar; en el caso de un motor monofásico, cubriendo por lo general, 2/3 del paso en cuestión (120º eléctricos), mientras que en las máquinas trifásicas el bobinado de cada fase se extiende sobre 1/3 del paso de cada polo (60º eléctricos) (figura 2.07 c). De acuerdo con esta distribución espacial de las bobinas individuales, las f.e.m inducidas en ellas, aunque pertenezcan a la misma fase, se hallan desfasadas entre sí en el tiempo, y la suma que resulta de la composición vectorial de las mismas da un valor inferior al que se obtendría con un devanado concentrado, según puede verse en la figura 2.07.

El coeficiente de reducción ξd es lo que se llama factor de distribución, y

la expresión de la f.e.m total por fase toma entonces la forma φξ NfE d44,4= .

Antes de proceder al cálculo de este coeficiente destacar que su valor es

independiente de la forma en que se conectan los conductores de las ranuras de un polo con los del polo próximo. Lo mismo vale, pues, para devanados imbricados, como el de la figura 2.08 a, que concéntricos (figura 2.08 b), es decir, que resulta independiente de la forma de las cabezas de bobina. La razón reside en que el orden de sumando no altera la suma, aunque sea vectorial.


Figura 2.08. Devanado de bobinas iguales a) y desiguales b).

19.2.1.1. Factor de distribución.

El cálculo del factor de distribución se basa en la adición geométrica de las tensiones por conductor o por espira de los que constituyen una fase. Para ello empezaremos por determinarlo como factor de zona, que viene a ser el factor de distribución del devanado supuesto repartido de una manera continua como capa conductora. Imaginando así que los hilos de una fase cubren uniformemente la zona del entrehierro donde se hallan distribuidos, determinada por el ángulo eléctrico 2π/2m o π/m en los arrollamientos polifásicos con m=número de fases (3 en los trifásicos con ángulo eléctrico de 60º), el factor de zona ξd viene dado por la relación de la cuerda al arco del ángulo γ. La cuerda representa, efectivamente la suma geométrica de las f.e.m de todos los conductores comprendidos en el ángulo γ en cuestión, mientras que el arco nos daría la suma aritmética, o sea la f.e.m con el arrollamiento concentrado. Según la figura 208 es, pues,

γ

γ

ξ)

2sen(2

==Arco

Cuerdad


Si el devanado es trifásico con γ=60º,

955,033/5,02

==⋅

=ππ

ξd

Se puede concluir que al aumentar de extensión la zona en que se distribuyen las espiras de un devanado, disminuye consecuentemente el factor de zona ξd y, por tanto, la tensión resultante Et que puede obtenerse.

19.2.1.2. Factor de acortamiento de paso.

Hasta aquí hemos supuesto que los lados de bobina abrazaban justamente un ángulo de 180º eléctricos, o sea, un paso polar completo y, por tanto, el flujo íntegro de un polo. Si la separación entre ambos lados es menor que la indicada, como aparece en la figura 2.09, la bobina abrazará sólo un parte del flujo polar.

Figura 2.09. Bobina de paso acortado

Tales bobinas se denominan entonces de paso acortado o de cuerdas, en oposición a las otras (figura 2.07.), de paso diametral. Para determinar el valor máximo del flujo abrazado es preciso integrar la función de éste a lo largo del arco b subtendido por la bobina de paso acortado, y admitiendo una repartición senoidal de dicho flujo resulta para la integral propuesta la expresión

)2

sen(p

bτ

πφ , siendo φ el flujo por polo.


En consecuencia, la f.e.m Ep con paso acortado viene dada, en relación

con la de paso diametral Ed, por

)2

sen(p

dpbEE

τπ

=

de donde el factor de paso ξp, correspondiente a una bobina de arco b en un inducido de paso polar τp, vale

)2

sen(p

pb

τπξ =

El acortamiento de paso se practica casi siempre en devanados de dos

capas y como el representado simplificadamente en la figura 2.10 a relativa a una máquina bipolar. En ésta, por corrimiento de una capa de conductores respecto de la otra, se ha producido un acortamiento de paso igual a un ángulo

eléctrico )1(pp

bbτ

ππτ

π −=−

Figura 2.10. a)Distribución de los devanados en el arco b dentro de un paso polar τp; b)diagrama de tensiones

lo que produce un desfase igual entre las f.e.m EI y EII de los conductores de ida y de vuelta de cada bobina, conforme a la figura 2.10 b. Por lo tanto, la f.e.m


resultante E es sólo igual a la suma vectorial de las componentes, en lugar de serlo a su suma aritmética. De la figura 2.10 b se deduce fácilmente,

)2

sen()1(2

cos2/

ppIIIIp

bbE

EEE

Eτ

πτ

πξ =

−==

+=

resultado que concuerda con el obtenido anteriormente. Si designamos por αp el ángulo eléctrico de acortamiento, se tiene más sencillamente:

2cos p

p

αξ =

El acortamiento de paso origina, junto con la disminución de la tensión,

una reducción en la longitud de las cabezas de bobina.

19.2.1.3. Factor de inclinación de ranura.

A menudo con el objeto de mejorar la onda de campo se realiza una inclinación de las ranuras con respecto a la generatriz cilíndrica, o los bordes longitudinales de las expansiones polares con respecto al eje de giro.

Figura 2.11. Onda de campo de una bobina de paso diametral con ranuras inclinadas.


En estas condiciones la tensión magnética a lo largo del entrehierro ya no será un rectángulo sino un trapecio de altura igual a la del rectángulo y cuyas bases serán respectivamente si el paso de la inclinación es c (figura 2.11),

Base mayor: τp Base menor: τp – c

El efecto magnético es, pues, equivalente al de un devanado distribuido uniformemente que cubriera toda la zona de inclinación c. El ángulo correspondiente a esta zona c vale:

D

cpi

··2=α rad. Eléctricos

Si la inclinación de las ranuras o de los bordes de los polos corresponden exactamente a un paso de ranura, como suele ser bastante corriente

kDc π

=

kp

iπα 2

= rad. Eléctricos

siendo k el número de ranuras del devanado.

En consecuencia, una máquina con ranura inclinada, su fuerza magnetomotriz se verá afectada por un nuevo factor de reducción, el factor de inclinación cuyo valor es equivalente al del factor de distribución de una capa de corriente uniforme que cubriera la zona c.

2

2sen

1i

i

arcocuerda

α

α

ξ ==

El factor de inclinación en comparación con los otros dos es

prácticamente despreciable ya que su valor es muy próximo a 1.

19.2.1.4. Factor de bobinado.


Si el devanado es, a la vez distribuido, de paso acortado y con ranuras

inclinadas, la tensión inducida se reduce simultáneamente por los factores de distribución, de paso y de inclinación, combinados en un coeficiente único que llamaremos factor de bobinado: ξb = ξdξpξi

La f.e.m resultante por fase viene dad, así, por la fórmula general:

81044,4 −= mbf NfE φξ

19.2.2. Determinación de las superficies de las ranuras.

El cálculo de la superficie de la ranura es muy importante ya que se ha de realizar con la máxima exactitud sea cual sea la forma de la ranura.

Del cálculo de la superficie de la ranura dependen parámetros tan importantes como el factor de relleno, resistencia de los devanados, etc.

Cuando la anchura de la ranura, así como el conjunto de conductores alojados en la misma, varían con la altura de la ranura, la reactancia específica de dispersión λn se determinará por integración:

22

0

0

2

0

)(

)()(

1

iE

dxxa

dxdxxaxb

hn

hn x

n =

⋅

⋅

=

∫

∫ ∫λ

hn

x

a(x)

b

b(x):anchura de la ranura. a(x):anchura del conductor o conjunto de conductores alojados en la ranura. hn: altura de la ranura.


Como condición se toma que la densidad de corriente sea constante a lo

largo de toda la x. La integral ∫x

dxxa0

)( es una unidad de la corriente que circula

entre la base de la ranura y una altura x. Elevando al cuadrado esta expresión y dividiéndola por el cuadrado de b(x) se obtiene una densidad de energía relativa, la cual multiplicada por b(x) y por dx nos da el diferencial de energía para la altura x. Al integrarlo de 0 a hn nos da la energía relativa de la ranura. En el denominador se representa la corriente relativa de la ranura al cuadrado:

dxxbxb

dxxax

)()(

)(2

2

0

∫

De esta forma nos queda la expresión general de

2iE

.

La reactancia de dispersión de ranura se puede obtener mediante:

222iEfnut π=Χ

Por tanto, en el cálculo exacto de la reactancia de dispersión de ranura juega un papel muy importante el conocimiento de su geometría.

19.2.3. Relación de transformación.

La relación de transformación de una máquina asíncrona se basa en el mismo principio que para un transformador, pero evidentemente, hay que tener en cuenta que tenemos diferentes fases y bobinados en el rotor y estator.

Supóngase que el bobinado del rotor de una máquina está constituido por z2

conductores distribuidos uniformemente entre n2 ranuras y m2 fases con un factor de bobinado ξ2.

Imaginar que este bobinado del rotor es sustituido por otro idéntico al del

estator en lo que a número de conductores y fases se refiere, es decir, con z1 conductores, m1 fases y factor de bobinado ξ1. Las f.e.m por fases, en reposo, serían entonces iguales para el primario (E1) y para el nuevo secundario (E2’),


puesto que estarán inducidas por el mismo flujo común del entrehierro y a la misma frecuencia f1.

Como estas f.e.m son proporcionales a los números correspondientes de

conductores activos, también por fase, tendremos con relación a los valores primitivos del rotor:

Erzmzm

mzmz

EE

EE

==

==222

112

22

2

11

1

2

2

2

1 'ξξ

ξ

ξ

Se va a establecer para el nuevo rotor reducido al estator la condición fundamental de que se conserve la potencia electromagnética aparente:

Pem = m2E2I2 = m1E2’I2’ de donde,

Irzz

zmmzmm

EmEm

II

====11

22

1121

2212

21

22

2

'2

' ξξ

ξξ

como se observa, la corriente del rotor referida al estator es independiente tanto del número de fases primarias como del número de fases secundarias.

Añadiendo otra condición, que las pérdidas por efecto Joule en el rotor se mantengan invariables: PJ2 = m2I22R2 = m2I’22R2’ =P’J2

De aquí, finalmente, se obtendrá también la relación de transformación

tanto para la resistencia como para la reactancia del rotor:

Ω=

=

= r

zz

mm

II

mm

RR

2

22

11

1

2

2

2

'2

1

2

2

'2

ξξ

Ω=

= r

zz

mm

XX

2

22

11

1

2

2

'2

ξξ


Sabiendo que en un rotor de jaula de ardilla hay tantas fases como ranuras de rotor y que el factor de bobinado es 1, queda que para el caso trifásico: m1 = 3

m2 = n2 ξ2 = 1

( )211

2

3ξz

nr =Ω


19.3. Circuito magnético [16]

19.3.1. El campo magnético

Al conectar el devanado estatórico de un motor de inducción a una fuente trifásica, se produce la circulación de un sistema equilibrado de corrientes. La circulación de estas corrientes por las bobinas estatóricas, simétricamente distribuídas, da lugar a la aparición de una onda de campo giratoria. Si el motor está en reposo, este campo giratorio irá barriendo las barras del rotor, induciendo en ellas una FEM.

La ley de inducción electromagnética de Faraday asegura sobre cualquier

conductor rotórico se induce una FEM e = l· v x B, mientras esté cortando líneas de campo. El sentido de esta FEM se puede determinar directamente a partir del producto vectorial. Hay que tener presente que v es la velocidad relativa del conductor respecto al campo.

Como las barras del rotor presentan poca impedancia y están

cortocircuitadas, la FEM inducida produce una elevada corriente por cada barra. La circulación de esta corriente por un conductor rotórico que está en presencia del campo magnético creado por el devanado estatórico, hace que se ejerza sobre él una fuerza F=l·S·σxB.

La fuerza electromagnética ejercida sobre el conductor tiende a hacerle

seguir al campo. Si el rotor puede moverse libremente, la fuerza que se ejerce sobre el mismo lo acelera haciéndole seguir al campo, pero sin llegar nunca a alcanzarlo. Esto es debido a que al ir aumentando la velocidad, va disminuyendo la velocidad relativa (que es la que induce la FEM), con lo que disminuyen la FEM, la corriente inducida y la fuerza ejercida. Si la velocidad del rotor llegara a alcanzar a la del campo, se anularía la FEM, anulándose también la corriente inducida y la fuerza ejercida, con lo que la fricción empezaría a frenar al rotor, bajando su velocidad.

Cuando funciona como motor, la velocidad de rotor siempre es

ligeramente menor que la del campo, de forma que se produzca en las barras una corriente suficientemente grande como para vencer el par resistente. En vacío, como el par de fricción es muy pequeño, la diferencia en velocidad es muy pequeña.


Si se aplica una carga mecánica en el eje, la velocidad empieza a disminuir, con lo que los conductores van siendo cortados por el campo cada vez a mayor velocidad. La FEM inducida y la corriente en las barras van aumentando, produciendo un par motor cada vez mayor. Cuando el par motor iguala al par de carga, termina este proceso transitorio y la velocidad se estabiliza en un valor ligeramente al de vacío. Como las barras presentan muy poca impedancia, una ligera variación en la velocidad relativa produce una variación importante de la corriente rotórica. Por ello, la máquina de inducción funciona siempre con velocidades muy próximas a la de sincronismo.

Si por un medio externo se consigue que la velocidad del rotor supere a

la del campo, se invierte el sentido de la velocidad relativa. Esto hace que se invierta el sentido de la FEM y, en consecuencia, el de la corriente inducida y el de la fuerza ejercida. Ahora por el contrario, la fuerza que ejerce el campo sobre el conductor tiende a frenarlo. Cuanto mayor es la velocidad relativa mayores son la FEM, la corriente inducida y la fuerza de frenado ejercida.

En cualquier caso, la fuerza que se ejerce sobre los conductores se debe a la

circulación de corrientes inducidas en los propios conductores por su movimiento relativo respecto al campo. De ahí el nombre de máquina de inducción.

Cuando la velocidad del rotor es superior a la del campo, éste frena a los

conductores rotóricos, la máquina de inducción funciona como generador, absorbiendo potencia mecánica por el rotor.

En este último caso, como el devanado estatórico está siempre

conectado a la red, los valores de frecuencia y tensión de la potencia eléctrica producida serán los de la propia red a la que está conectado. Por tanto son constantes con independencia de la velocidad de giro. Esto hace que el generador de inducción no precise regulador de velocidad para su motor primario.

19.3.2. Flujo principal y flujos de dispersión.

Como en el transformador el flujo principal es el flujo que está entrelazado con ambos arrollamientos, es decir, el arrollamiento del estator y del rotor. Su trayectoria consiste de los núcleos del estator y del rotor, los dientes del estator y del rotor, y dos veces el entrehierro. El flujo de dispersión, por su parte, abarcaría todas aquellas líneas de campo no incluidas en el flujo común a los dos arrollamientos: estator y rotor.


Físicamente existe únicamente un solo flujo en la máquina, es decir,

el flujo total. La división en el flujo principal y el flujo de dispersión es necesaria ya que sólo el flujo entrelazado con ambos arrollamientos es el que induce una f.e.m en el arrollamiento secundario (rotor). La segunda razón es que las dos clases de flujo tienen trayectorias con reluctancias enteramente diferentes. Mientras que la reluctancia de los flujos de dispersión está determinada principalmente por el aire (µ = 1), resultando una trayectoria de alta reluctancia, la trayectoria del flujo principal está contenida en el hierro, con un valor elevado de µ, y en el entrehierro que es relativamente pequeño con respecto a las trayectorias en el aire de los flujos de dispersión.

El hecho de que la reluctancia de las trayectorias de los flujos de

dispersión esté determinada principalmente por el aire y sea además casi constante hace directamente proporcional la magnitud de los flujos de dispersión a la corriente (f.m.m) producida por éstos. Esto no se aplica al flujo principal, cuya trayectoria está situada en el entrehierro y el hierro. La magnitud del flujo principal está determinada por la f.m.m de acuerdo con la curva de saturación de hierro usada, el flujo principal no es proporcional a la f.m.m que lo produce.

Se considerarán los siguientes flujos de dispersión:

• Dispersión de ranura. • Dispersión de cabeza de bobina. • Dispersión doblemente concatenada. • Dispersión de inclinación de ranura.

19.3.3. Reactancias de dispersión

19.3.3.1. Reactancia de dispersión de ranura

El cálculo de esta dispersión es el más accesible. La abertura de la ranura tiene una influencia decisiva e cuanto a la distribución del campo. Con el tipo de ranura abierta el camino que sigue el flujo inverso es enteramente transversal a través del espacio de la misma. En el fondo de la ranura se presenta una inducción nula, en cambio, en la abertura de la ranura se encuentra


la inducción más grande. Esto indica que en el caso de una ranura cerrada tendremos otra distribución de flujo.

Para el cálculo prescindiremos del desplazamiento de la corriente y se

considerará que la corriente se reparte uniformemente a través de todos los conductores.

La figura 2.12 muestra una ranura semicerrada con bobinado de una

capa. La figura 2.13 muestra una ranura abierta con bobinado de doble capa. A la izquierda de la figura se muestra la capa de corriente A, constante en toda la zona donde van alojados los conductores. A la derecha se muestra la integral de la capa de corriente, o lo que es lo mismo, los amperios vuelta o la curva de excitación del campo. Como se observa en la figura esta excitación aumenta linealmente en la zona de los conductores y se mantiene constante en el resto. Esta curva se tomará para determinar la inducción magnética B.

Figura 2.12 y 2.13 Dispersión en una ranura semicerrada con bobinado de una

capa y una ranura abierta con bobinado de doble capa.

La inducción tiene valor nulo en la parte inferior del conductor pero crece linealmente a lo largo de todo el devanado. Al llegar a la zona del estrechamiento de la ranura, la inducción crece como una hipérbola y alcanza un valor máximo al llegar a la espinilla. El establecimiento del campo fuera de la ranura se considerará en la dispersión doblemente concatenada.


Vease el siguiente ejemplo con datos numéricos para hacernos una idea de los niveles de inducción:

Una ranura rectangular de dimensiones 12,5x60 mm y con un factor de relleno del 35% tiene en total 263 mm2 de cobre. Para una densidad de corriente 4,5 A/mm2 presenta una corriente efectiva de 1180 A y un valor de pico igual a

A167021180 =⋅ . Éste es también el valor de pico de los amperios vuelta que se tiene en la zona de la espinilla, es decir donde ya no hay devanado. Para una espinilla con anchura de 2,5 mm, la inducción en ese punto tiene un valor mayor que para el resto de la ranura:

Gl

VBesp

esp 840025,08,0

1670

410 =

⋅=

⋅=

π

En cortocircuito la corriente puede llegar a ser cinco veces más grande

que este valor, por lo tanto la inducción en la espinilla crecería de una forma numérica hasta 42000 G. Este valor produciría la aparición de elevadas saturaciones en la cabeza de los dientes de las ranuras.

En la ranura abierta no aumenta tanto la inducción en su parte superior

ya que el ancho de la ranura se mantiene constante. El flujo de dispersión de la ranura induce una tensión en cada uno de los

conductores, la cual dividida por la corriente que circula por estos conductores da la reactancia de dispersión.

Hay que tener en cuenta que la totalidad del flujo de dispersión tan sólo

se encuentra concatenado en la parte inferior del devanado y en la parte superior sólo se induce una parte del flujo. En consecuencia se ha de determinar el flujo medio de dispersión.

A continuación, se va a determinar la reactancia de dispersión de ranura

y para ello partiremos de la energía del campo magnético almacenada en dicha ranura.

Suponiendo un único por el cual circula una corriente i, la energía E del

circuito magnético de dispersión vendrá dada por la expresión:


2

21 LiE =

de la cual se puede obtener la inductividad:

2

2iEL =

lo cual indica que la reactancia de dispersión para un conductor sea:

2

222iEffLX nut ππ ==

En el caso general de tener z conductores en la ranura:

22 22

iEfZX nut π=

Se considerará el caso más sencillo, es decir un único conductor por el

que circula una intensidad i, situado en el fondo de una ranura de ancho b, altura h y longitud axial l.

Al haber un solo conductor, la fuerza magnetomotriz resulta:

iiINmmF =⋅=⋅= 1..

La intensidad del campo magnético H, el cual es totalmente horizontal a la ranura y por tanto su camino recorrido es b, tiene un valor:

bV

bmmFH ==..

la inducción magnética:

8,0410

HHB ==

π

donde H=[A/cm] y B[G], con una densidad de energía:


81021 BHe =

donde B/108=[Vs/cm2] y e=[Ws/cm3].

Para obtener la energía total multiplicamos esta densidad e por el

volumen de la ranura:

bhleE = en Ws es decir,

882

28

28 10

510

5104

102110

21 −−−− ====

bhl

bibhlHbhlbhlBE πππ

finalmente queda que la reactancia de dispersión es:

bhlf

iEfX nut

62

2 105010

422 −==ππ en ohmios.

La relación h/b es un valor adimensional que únicamente depende de la

geometria de la ranura. A este valor se le denomina permeancia de dispersión.

Para los diferentes tipos de ranuras se puede calcular su valor de permeancia de dispersión de igual forma que el anterior ejemplo. Siempre dependerá exclusivamente de la geometria de la propia ranura y será un valor adimensional.

En la figura 2.14 se detallan las aproximaciones que se realizan habitualmente para calcular la permeancia de dispersión de cada una de las ranuras.


Figura 2.14. Permeancias de dispersión para cada tipo de ranura.

19.3.3.2. Reactancia de dispersión de las cabezas de bobina.

Se calcula mediante la expresión:

82

108,15 −Λ= SS pNfX

donde XS viene en Ω/fase con f en Hz. La permeancia que aquí interviene ΛS no es la específica por centímetro de longitud, sino que incluye el producto de este número (sin dimensión) para las cabezas de bobina por la longitud media lsp de estas conexiones (figura 2.15).


Figura 2.15. Cálculo de la longitud media de las cabezas de bobina.

La permeancia ΛS tiene los siguientes valores para devanados de una

capa: ΛS = 0,67lsp-0,43τ’p con arrollamiento en dos planos ΛS = 0,47lsp-0,3τ’p con arrollamiento en dos planos τ’p es el paso polar medido a media altura de los dientes, y lS el desarrollo medio de una cabeza de bobina. Para este desarrollo puede tomarse en primera aproximación las siguientes expresiones: lSp ≈ 1,8 τp + 2U + (5...20) cm, en arrollamiento de dos y tres planos. lSp ≈ 1,2 τp para los de una sola capa, rotóricos.

En la primera expresión U es la tensión de línea en kilovoltios y 2U tiene en cuenta la mayor separación necesaria entre cabezas de bobina al aumentar el voltaje.

Para devanados de doble capa (figura 2.16.), la permeancia viene dada

por:

)5,0(13,1 21 mhhS +=Λ ξ

en cuanto a m, puede tomarse:


222'

ccKm

rmed

rmed

−=

τ

τ

siendo K’ el número de dientes comprendidos entre los dos lados de una bobina, c=bi+ai (figura 2.16) la suma del grueso de una cabeza de bobina aislada más al espacio de separación entre dos de ellas consecutivas, y τrmed el paso de ranuras a la mitad del diente.

Figura 2.16. Dimensiones de las cabezas de bobina para el cálculo de la

reactancia de dispersión.

En cuanto a los rotores de jaula de ardilla, por fase de la misma es:

822 10

28,15 −Λ= SS p

fX

La permeancia Λ2S viene dada por:

SpS gpm

Kτ

1

22 2

=Λ

El factor gS depende de las dimensiones geométricas. Depende de la

relación τp/x, siendo x la distancia indicada en la figura 2.17.


Figura 2.17. Significado de la distancia x.

19.3.3.3. Reactancia de dispersión doblemente concatenada.

La dispersión doblemente concatenada, llamada también en zigzag o de entrehierro, reside en el fenómeno de que para la máquina asíncrónica en carga, el flujo en el entrehierro es considerablemente el que correspondería a la sola onda fundamental. La figura 2.18, que muestra el aspecto total del campo en carga de un motor asíncrónico dentro de un paso polar, nos proporciona una visión más clara del fenómeno. Para calcular esta dispersión recurriremos al método de la energía magnética.

Aplicando tensiones senoidales a un devanado trifásico simétrico sólo

podrán circular corrientes senoidales en el tiempo, esto es, libres de armónicos, porque las tres fases son equivalentes y sus permeancias medias son iguales en cualquier posición de la armadura.

Las capas de corriente de las tres fases contienen, sin embargo,

armónicos espaciales estacionarios de orden impar ν=3,5,7… y de amplitudes temporales y espaciales.

11 /ξξνν msms AA =


Figura 2.18 Espectro del flujo en servicio de una máquina asíncrona. Los números indican la f.m.m de las ranuras en amperios.

Los armónicos ν=3,9,15… de estas capas pueden quedar anulados al superponerse las tres fases, como se desprende de la figura 2.19, donde aparece la distribución de los terceros armónicos de un sistema trifásico en el instante

0)2/3(

)2/3(

3

2

1

=−=

=

iii

ii

m

m

Figura 2.19. Ondas de los terceros armónicos de f.m.m para las fases U, V y W.


Las excitaciones de las dos fases recorridas por la misma corriente se hallan desfasadas en el espacio de 60º eléctricos, es decir, en el paso polar de los terceros armónicos, presentándose, pues, los de una y otra fase consideradas en oposición, con lo cual se compensan mutuamente. Pero quedan los armónicos espaciales ν=5,7,11,13… de las capas de corriente en las tres fases, los cuales no se anulan y combinándose los del mismo orden dan lugar a otros tantos campos, exactamente igual que sucede con las fundamentales, teniendo la resultante giratoria de cada sistema trifásico de orden ν amplitudes, tanto de la capa de corriente como de la f.m.m o excitación provocada por ésta, que vienen dadas por las fórmulas siguientes:

νξξ

ξξ

ννν

ννν

1

1

11

23

23

23

23

mmg

msmssg AAA

Θ=Θ=Θ

==

Donde Θ1m es el valor máximo de la excitación fundamental, igual a

4/πξ1Θm, y Θm, la excitación temporal máxima por fase. En resumen: además de las fundamentales de campo rotatorio existen en

el entrehierro otros armónicos, giratorios también, de orden 5,7,11,13… y en general ν=2·m·k ± 1 con k=1,2,3… ¿Cuál será la velocidad y sentido de giro de estos armónicos? Respecto al primer punto, observemos que aplicando a los devanados un sistema de tensiones senoidales a frecuencia única (la de la red), los armónicos de campo estatórico no pueden inducir f.e.m de otras frecuencias. Ello sólo se consigue si la velocidad de giro nv de los armónicos con un número de pares de polos ν veces superior, es igual a 1/ν la del campo rotatorio principal:

nν=n1/ν

A consecuencia de las distintas velocidades de giro de las diversas

componentes del campo, la inducción en el entrehierro no es estable como en una máquina síncrona, sino pulsatoria.

En cuanto al segundo punto, el sentido de giro, la figura nos permite

deducir cuál debe ser, para los armónicos de campo 5º y 7º, por ejemplo. Sea U,


V, W a 120º, y en orden contrario al de las agujas de un reloj, la secuencia de fases para la fundamental (figura 2.20a). Los quintos armónicos, a los que corresponde un número de polos 5 veces mayor, se presentarán con un ángulo propio entre cada dos fases de 5·120º=600º eléctricos, y los séptimos armónicos con un ángulo entre fases de 7·120º=840º eléctricos. Restando un número de circunferencias completas de 360º, los ángulos pasan a ser, respectivamente, de 240º y 120º, y la secuencia de fases U, V, W para ν=5 inversa, y para ν=7, la misma que siguen las fundamentales, o dicho de otro modo: el quinto armónico gira en sentido contrario y el séptimo en el mismo sentido que el campo principal. Análogo resultado se obtiene para cada par de armónicos sucesivos de la serie presente. Todo esto nos muestra que el entrehierro aparece juntamente con la onda fundamental de flujo resultante de las corrientes del estator y en el rotor toda una serie de campos armónicos ligados a los devanados de una y otra parte de la máquina. Los producidos por el arrollamiento estatórico giran en el espacio con velocidad tal que la tensión inducida por ellos en el devanado en cuestión se conserve siempre de la misma frecuencia que la que induce la fundamental.

Figura 2.20. Sucesiones de las fases U, V, W en el entrehierro, referentes a las fundamentales a), a los quintos armónicos b) y a los séptimos armónicos c) para

un arrollamiento trifásico.

Los que tienen su origen en el bobinado rotórico inducirán de modo análogo en este último tensiones a la frecuencia única de deslizamiento. Ahora bien: los armónicos estatóricos y rotóricos del mismo orden siguen velocidades de rotación distintas, con lo cual no pueden combinarse en un efecto inductivo común a los dos devanados, perdiendo por ello el carácter de flujo principal, con el mismo efecto, en cambio, que el que produce otro flujo cualquiera de dispersión.


La energía total de estos armónicos, tanto del estator como del rotor, referida, en cada caso, a la de la fundamental del campo rotatorio, constituye una medida relativa del efecto de la dispersión en zigzag o doblemente concatenada.

Todo armónico de excitación Θν de un arrollamiento trifásico se

halla en la relación con su fundamental Θ1 dada por la fórmula:

11 νξξνν =

ΘΘ

Los órdenes de estos armónicos son:

ν=2·m·k ± 1 con k=1,2,3…

La inductancia ocasionada por la dispersión en zigzag se calcula ahora fácilmente a partir de la energía magnética de los armónicos de campo en el entrehierro, relacionándola con la de la onda ficticia fundamental del estator y del rotor. Aquella energía es independiente del número de polos y proporcional a B2

1m, es decir, a Θν2. A la onda

fundamental de flujo le corresponde la reactancia Xh del circuito equivalente, es decir la reactancia de magnetización.

Se considera que el primer armónico se concatena con el rotor y

produce potencia útil, siendo los demás armónicos los que se consideran para el flujo de dispersión, estos flujos inducen unas tensiones en los bobinados del estator que se suman algebraicamente. La suma de estas tensiones se pone en relación con la tensión inducida por el flujo φ1, es decir U1. Al valor resultante se le denomina σd, de dispersión doblemente concatenada. La multiplicación de σd con la reactancia de magnetización Xh nos da la reactancia de dispersión Xd.

∑∑∑ =

=

Θ

Θ== hdhhd XXXX

UU

X σνξξννν

2

111

Se obtendrán distintas dispersiones para el rotor y para el estator, y en consecuencia distintas reactancias doblemente concatenadas.


Para el estator, la reactancia de dispersión doblemente concatenada vale:

hdd XX 11 σ=

y como valor de dispersión para el estator se toma:

∑

=

2

11 νξ

ξσ νd

En cuanto al rotor mismo de jaula, sus armónicos de campo se

establecen a lo largo del entrehierro en plena correspondencia con los de f.m.m de donde proceden, ya que el arrollamiento trifásico del estator no ejerce apenas acción amortiguadora alguna. La jaula del rotor no se halla contruída para un número de polos determinado, reduciéndose cada fase a una simple barra y siendo K2 el número de éstas, el de fases es m=K2. Los factores de bobinado, yanto para la fundamental como para los armónicos, con un conductor por fase, valen ξν = 1, y la relación entre las excitaciones armónicas y fundamental Θν/Θ1 = 1/ν. La reactacia doblemente concatenada del rotor reducida al estator resulta:

∑∑ =Θ

Θ= hhd XXX 22

1

2'2

1ν

ν

Donde los órdenes de los armónicos para un rotor de jaula de ardilla vienen dados por:

12+=

pKkν con k = ±(1,2,3..)

19.3.3.4. Reactancia de dispersión por inclinación de ranura.

En una máquina con las ranuras del rotor inclinadas en la dirección axial se obtiene una corriente de cortocircuito inferior.

La disminución de corriente de cortocircuito en una máquina con

inclinación de ranura se puede traducir como una reactancia de dispersión que


se determinará de forma similar a la reactancia de dispersión doblemente concatenada.

En el apartado 2.3.3.3 se concluyó que los armónicos de campo no

originaban corrientes en los bobinados, tan sólo originaban tensiones inducidas de dispersión. En la dispersión originada por la inclinación de ranura, efectivamente se pierde una parte de la inducción.

En una máquina sin inclinación de ranura se inducirá una tensión

proveniente del otro bobinado U, cuando se presenta una inclinación de ranura se tendrá Ufschr con un factor de bobinado fschr<1. Se va ahora a determinar la expresión de esta dispersión por inclinación de ranura: Se partirá de las ecuaciones de la maquina asíncrona en cortocircuito:

U I R jX I jX

I jX I Rs

jX

= ⋅ + + ⋅

= ⋅ + ⋅ +

1 1 1 2 12

1 2 22

20

( )

( )

Se obtienen 2 ecuaciones y dos incógnitas, por tanto despejando I1:

I U

R jX XRs

jX

1

1 1122

22

=+ +

+

Con rotor cortocircuitado se considera R R1 2 0= ≈ , por tanto:

I U

jX XjX

UjXi

1

1122

2

=+

=

De esta manera se obtiene la reactancia ideal de cortocircuito:

X X XXi = −1

122

2

(2.01)


Se descomponen las reactancias del estator y rotor en una principal (Xh) y otra de dispersión (Xσ):

X1 = X1,h + X1,σ X2 = X2,h + X2,σ X X X fh h schr12 1 2= ⋅ ⋅, ,

X X X fh h schr122

1 22= ⋅ ⋅ (2.02)

sin inclinación de ranura f2schr = 1.

Partiendo de (2.01) y (2.02) y suponiendo XX

h2

2

1≈ :

X X X X fX

X X XX

X XX

f X X XX

XIh h schr h h

hh

schrh h

h schr= −⋅ ⋅

= −⋅

+ ⋅ ⋅ − ≈ −⋅

+ ⋅11 2

2

21

1 2

21

2

2

21

1 2

211( ) σ

Se obtiene,

σ schr schrf= −1 2

y la reactancia de dispersión de inclinación de ranura queda como: X Xschr h schr= ⋅1 σ

La inclinación de ranura se utiliza para disminuir ruidos y oscilaciones de

par. La inclinación es completamente efectiva sólo cuando las barras están aisladas. Cuando no lo están, la inclinación no es completamente efectiva y los pares motores asíncronos y síncronos debidos a las armónicas de ranura no se evitan por completo. Un rotor inclinado con barras aisladas muestra una característica par motor-velocidad más suave que uno con barras no aisladas. Cuando las barras no están aisladas, y especialmente cuando están inclinadas, las corrientes que fluyen entre las barras producen pérdidas adicionales.

19.3.4. Factores de Carter [4].

La discontinuidad que producen las ranuras en el arco polar, reduce la superficie útil del entrehierro. Debido al hecho de que haya ranuras, la condición de flujo uniforme deja de ser cierta, ya que en los dientes se encuentra una mayor concentración del flujo del entrehierro.


Figura 2.21 Coeficiente de Carter.

El factor de Carter trata de corregir este efecto. Constituye por regla general, una corrección muy importante, la cual fue determinada primero por Carter y posteriormente por otros varios autores que han dado diversas expresiones analíticas y gráficas para el mismo, todas coincidentes en la práctica. De todas ellas nos quedaremos con la siguiente expresión para el cálculo de este factor:

δδ

δ

δτ

τ

aK C

43

−+=

donde, δ: es la altura radial del entrehierro. τδ: el paso de ranuras medido sobre el mismo. aδ: la anchura de salida de la ranura en el entrehierro.

En las máquinas de inducción, donde tanto el rotor como el estator están ranurados, se calcularán independientemente ambos factores para cada una de las partes como si el otro fuese liso. De esta manera obtendremos los coeficientes individuales KC1 y KC2. El coeficiente de Carter combinado se toma como el producto de ambos: KC = KC1 · KC2


Al tener KC valor inferior a 1 el entrehierro quedará reducido a:

δ’ = KC · δ

19.4. Circuito equivalente

Para analizar el funcionamiento en régimen permanente de la máquina de inducción conectada a la red, en cualquier forma de funcionamiento, puede usarse el circuito equivalente de parámetros constantes para jaula simple o jaula doble que más tarde mostraremos. En estos circuitos aparecen todos los parámetros de la máquina con sus valores efectivos referidos al estator.

19.4.1. Jaula simple

Para obtener las expresiones de todas las corrientes que intervienen en el circuito se utilizará el caso más sencillo, el de rotor de jaula simple. Para encontrar las expresiones del rotor de jaula doble habrá que hacer lo mismo pero considerando un circuito equivalente con dos ramas de rotor.

Figura 2.21 Circuito equivalente para rotor de jaula simple.

R1 : resistencia del estator. X1 : incluye la reactancia de la ranura, la de cabeza de bobina y la

doblementeconcatenada del estator. Xmu : reactancia de magnetización. Rfe : resistencia del hierro.


X2 : incluye la reactancia de ranura, la doblemente concatenada, la de los anillos y la de inclinación de ranura.

R2 : resistencia del rotor.

En el circuito equivalente de la figura 2.21 los valores de todas las impedancias son constantes, menos la impedancia rotórica Z2(s), que varía con el deslizamiento:

22

2 ··)( Xjs

RsZ +=

y el valor que presenta la impedancia desde los terminales del estator:

)()( 21 sZZsZ e+=

donde Ze2 es la impedancia equivalente de la rama de magnetización en paralelo con la impedancia secundaria:

µ

µ

XjRXjR

Z

sZZsZZ

sZ

Fe

Fee

e

ee

⋅+

⋅⋅=

+⋅

=)()(

)(2

22

Por tanto, a efectos de análisis, la máquina de inducción se comporta

desde los terminales del estator como una impedancia cuyo valor varía con la velocidad. Una vez establecido el valor de esta impedancia es fácil determinar la corriente estatórica:

)()( 1

1 sZUsI =

con ello, la tensión en bornas de la rama de magnetización y de impedancia secundaria es:

12

21 )()()()()( U

sZsZsZsIsE e

e ⋅=⋅=

Las corrientes por la rama de magnetización y por el rotor resultan:


12

)()()()( UsZR

sZR

sESIFe

e

FeFe ⋅

⋅==

12

)()()()( U

sZXjsZ

XjsESI e ⋅

⋅⋅=

⋅=

µµµ

12

2

22 )()(

)()()()( U

sZsZsZ

sZsESI e ⋅

⋅==

19.4.2. Jaula doble

El circuito equivalente para un rotor de jaula doble viene representado en la figura 2.22. Para obtener las ecuaciones que representan a este circuito haremos lo mismo que en el apartado anterior.

Figura 2.22. Circuito equivalente para rotor de jaula doble. R1 : resistencia del estator. X1 : incluye la reactancia de la ranura, la de cabeza de bobina y la

doblemente concatenada del estator. Xmu : reactancia de magnetización. Rfe : resistencia del hierro. Rie : resistencia de los anillos del rotor. Xie : incluye la reactancia doblemente concatenada, la de los anillos y la de

inclinación de ranura.


Re : resistencia de la jaula exterior del rotor. Ri : resistencia de la jaula interior del rotor. Xe : reactancia de la ranura exterior del rotor. Xi : reactancia de la ranura interior del rotor.

En este circuito la jaula del rotor tiene dos impedancias, la de la jaula exterior y la de la jaula interior:

)(··)(

)(··)(

sXjs

RsZ

sXjs

RsZ

ee

e

ii

i

+=

+=

si se añade a estas dos impedancias la Rie y la Xie obtendremos la impedancia total del rotor:

)()()()(

2 sZsZsZsZ

jXZei

eiie +

⋅+=

en la cual consideramos Rie ≈ 0. Por otra parte, la impedancia de magnetización:

la impedancia total:

e

e

ZsZZsZ

ZsZ+⋅

+=)()(

)(2

21

Ya se pueden determinar todas las corrientes que hay en el circuito:

)(

)( 1

sZUsIT =

µ

µ

XjRXjR

ZFe

Fee ⋅+

⋅⋅=


eo

e

iee

i

iei

ieie

T

ZsEsI

sZsE

sI

sZsE

sI

sIXsEsEZ

sEsI

sIZUsE

)()(

)()(

)(

)()(

)(

)()()(

)()(

)(·)(

2

22

11

=

=

=

−=

=

−=

19.5. Balance de potencias y rendimiento funcionando como motor

Para explicar el balance de potencias utilizaremos el circuito equivalente que

hemos hallado en el apartado anterior (figura 2.23) y un símil hidráulico que nos servirá par visualizarlo mejor.

Partimos de la ecuación de la potencia eléctrica absorbida de la red por el

devanado del primario:

P1 = m1 U1 I1 cos ϕ1 [W] (2.03) De esta potencia una parte se degrada en calor por efecto Joule en la

resistencia R1, de cada fase del devanado del primario, la cual, a efectos útiles podemos considerar como una pérdida. A esta potencia la denominamos potencia de pérdidas por efecto Joule en el primario:

pcu1 = m1 I12 R1 [W] (2.04)

La potencia P1 - pcu1 que designaremos como Pc, será la potencia disponible

para crear el campo magnético giratorio:

Pc = m1 E1 I1 cos ψ1 [W] (2.05) Por el principio de conservación de la energía hemos de admitir que esta

potencia pasa íntegra al campo magnético. Ahora bien, el giro del campo determina en la corona magnética del estator y en los cuerpos magnéticos


inmediatos al entrehierro, a los que puede alcanzar este campo, la inducción de corrientes por Foucault y el fenómeno de histéresis que dan lugar a las denominadas pérdidas en el hierro del estator, las cuales reducen la potencia disponible en el entrehierro del campo giratorio.

Estas pérdidas son las que fijan el valor de la componente de pérdidas IFe

de la corriente de excitación y vienen expresadas por:

pFe1 = m1 E1 IFe = m1 E1 Ie cos ψe [W] (2.06) Deduciendo de la potencia de campo magnético giratorio las pérdidas en el

hierro, pFe1, tendremos la potencia electromagnética transmitida por inducción al secundario. Designándola por Pa, tendremos:

Pa = Pc - pFe1 = m2 E2 I2 cos ϕ2 [W] (2.07)

Esta potencia que, con el rotor en reposo y el devanado cerrado sobre sí mismo se disiparía toda ella en calor por efecto Joule, en el rotor en movimiento sólo una parte de ella se pierde por efecto Joule, la correspondiente a la resistencia del devanado rotórico, el resto aparece como potencia mecánica interna del motor, potencia igual al producto del par interno M1 por la velocidad angular del rotor:

Pm1 = M1 ω [W] (2.08)

La potencia correspondiente a las pérdidas por efecto Joule en el devanado del

rotor, de resistencia por fase R2, bajo la corriente I2, es igual a:

pcu2 = m2 I22 R2 = s Pa [W] (2.09) Deduciendo estas pérdidas pcu2 de la potencia Pa obtendremos la potencia que

recogemos en el rotor en forma mecánica, potencia mecánica interna, Pmi.

Pmi = Pa - pcu2 = Pa (1 - s) [W] (2.10) Aun cuando podíamos añadir que el campo magnético origina a su vez

corrientes de Foucault y pérdidas por histéresis en las chapas del circuito magnético del rotor, las pérdidas en el hierro del rotor pFe2, en régimen de marcha normal, al ser el deslizamiento muy pequeño y por tanto muy baja la frecuencia rotórica, son, a todos efectos prácticos, despreciables.


Al sustituir el rotor en movimiento por otro en reposo, lo cual supone añadir a la resistencia propia del devanado una resistencia de valor:

R2

−11

s

La potencia disipada por efecto Joule en esta resistencia adicional, debe

corresponder a la potencia mecánica interna del motor. En efecto, las pérdidas por efecto Joule en la resistencia adicional valen:

m2 I22 R2

−

ss1

= m2 I2

−

ss1

s E2 cos ϕ2 = Pa (1 - s)

es decir, la misma expresión que hemos obtenido para Pmi.

La potencia útil en el eje del motor será algo menor debido a las pérdidas

por rozamientos y resistencia del aire (ventilación incluida) provocadas por el giro del rotor, denominadas pérdidas mecánicas, a las cuales, en un análisis más exacto, habría que añadir las pérdidas adicionales o suplementarias. Supuestas estas últimas pérdidas incluidas en las mecánicas, queda como potencia útil del sistema:

P2 = Pmi - pm [W] (2.11)

Para finalizar tenemos las pérdidas adicionales, pz [11]. Las pérdidas

adicionales son pérdidas residuales en el motor, estas son difíciles de determinar por mediación directa o cálculo. Estas pérdidas se producen en carga y generalmente varían con el cuadrado del par.

P1-P2 =∑ p (suma de pérdidas)

Pz=∑ p - pcu1- pFe1 - pcu2 - pm

Estas pérdidas adicionales se dividen en: - pérdidas del campo principal

- superficiales - pulsación

- pérdidas del campo armónico - superficiales - pulsación


- inducidas en el devanado del estator debido al rotor

pz = pH/S+P + PZ/S+P + PS/Est

En el gráfico siguiente se puede observar la distribución de pérdidas de un motor asíncrono.

Distribución de pérdidas

37%

18%

20%

9%

16%

Joule en el estatorJoule en el rotorMagnéticasMecánicasAdicionales

En la figura 2.24 hemos dibujado nuevamente el circuito eléctrico

equivalente del motor de inducción y debajo el mismo, correspondiéndose los elementos disipativos de potencia, un símil hidráulico de este balance de potencia de la máquina de inducción como motor

Para finalizar el rendimiento, η, de la máquina de inducción será:

1001

2 ⋅=PP

η [%] (2.12)

Figura 2.24. Símil hidráulico del balance de potencias.


19.6. Par motor y par resistente [11]

El curso del par de giro de un motor con rotor de jaula puede estar influenciado, en alto grado, por el material de las barras del rotor y por la forma de su sección. Así se llega a los rotores de corriente desplazada, como el rotor de barras trapeciales y el rotor de doble jaula; este lleva dos barras por ranura.

A la vista de la curva característica del par motor (figura 2.25) en función

de la velocidad de giro del motor, se diferencian los siguientes pares especiales individuales:

• Par nominal MN (a la velocidad nominal, nN) • Par máximo MK (par máximo en marcha) • Par de arranque MA (par estático) • Par de bache MS (par mínimo entre la parada y el

par máximo)

El par mínimo y el máximo no siempre existen en todos los motores, ya que si por ejemplo se coge un motor de 6 polos que accione un compresor, estos se caracterizan por tener un par de arranque muy elevado, un rendimiento bajo, y no tienen par máximo ni mínimo.

Figura 2.25. Par motor.

MK

MS

MA

MN


Como par de aceleración Mb se designa el exceso del par M desarrollado por el motor respecto al par resistente exigido por la máquina operadora (figura 2.26).

Al principio, los motores para accionamientos individuales, por falta de experiencia, solían calcularse para un par de arranque demasiado alto. Incluso se llegó a juzgar la calidad del accionamiento, sobre todo, en función del valor de este par.

Según los nuevos conocimientos, el arranque con un par elevado resulta poco conveniente o incluso en parte nocivo para la mayoría de las máquinas operadoras. Por esta razón se tiende a adaptar el curso del par de los motores a las condiciones de arranque más frecuentes en la práctica, en especial la curva de par resistente, de forma garanticen una aceleración segura, pero, en lo posible, suave y sin tirones.

Figura 2.26. Curso de la intensidad y del par motor trifásico. Par resistente.

19.7. Arranque y aceleración [11]

El arranque es uno de los principales problemas que se presentan en los

motores asíncronos trifásicos, debido a que la rápida aceleración del sistema motor-carga requiere un elevado par de arranque. Este debe ser superior al par resistente de la carga y los rozamientos por cojinetes. Otro problema es el de la

Mb


intensidad de arranque, que en ocasiones puede ser muy elevada produciendo perturbaciones en las redes de distribución.

Para la aceleración de masas en movimiento es necesario un par de aceleración Mb. Por consiguiente, el par motor M debe ser mayor que el par resistente Mg, entre la parada y la velocidad de régimen, puesto que sólo se dispone como par de aceleración Mb de la diferencia M-Mg. Así, pues, el valor del par de arranque y del par de bache en el tiempo de aceleración deseado deben corresponder, sobre todo, a la magnitud de las masas arrastradas y al par resistente de las máquinas de trabajo. En la figura 2.26 se puede ver el par acelerador de un motor y una carga con par resistente cuadrático.

19.8. Tiempo de arranque [11] Un ensayo de par-velocidad e intensidad-velocidad puede realizarse para determinar las características de aceleración del motor, para considerar el comportamiento del par en función de la velocidad y como varía la intensidad desde el arranque hasta el punto de vacío o de velocidad síncrona.

Además la aplicación desarrollada en este proyecto, calcula el tiempo que

el motor tarda en arrancar.

El tiempo de arranque se calcula mediante el momento total de inercia GD2, referido al eje del motor, y el valor medio temporal del par de aceleración Mb=M-Mg, es decir:

ba M

nGDt⋅

⋅=

375

2

donde:

- n es la velocidad en rpm - GD2 es el momento total de inercia en Nm2 (m R2 momento total de

retardo en kg m2, GD2 = 4 g · mR2) - Mb es el valor medio temporal del par de aceleración del motor en

Nm. Puesto que la simplificación que supone el tomar un par constante de aceleración no suele ser admisible, a causa de la fuerte inflexión de la curva del par motor M respecto a la velocidad n, el cálculo del tiempo de arranque se


subdivide entres partes; en este proceso, la superficie entre las curvas características de par motor y el resistente o resistente se desglosa, por ejemplo, en tres partes iguales como se observa en la figura 2.27, que van de 0 a n1, de n1 a n2 y de n2 a n3; de forma conveniente, para n3 se elige el 95% de la plena velocidad. En cada caso, estas partes se sustituyen por rectángulos de igual superficie con alturas Mb1, Mb2 y Mb3.

1

12

1 375 bMnGD

t⋅

⋅=

( )2

122

2 375 bMnnGD

t⋅

−⋅=

( )3

232

3 375 bMnnGD

t⋅

−⋅=

Figura 2.27. Determinación del tiempo de arranque.


La suma de los tiempos t1+t2+t3 es el tiempo total de arranque de n= 0 hasta n= 0.95·ns, donde ns es la velocidad síncrona.

El cálculo del tiempo de arranque se ha explicado en este apartado

dividiendo la curva de pares en tres rectángulos, pero a más partes se divida, el error del cálculo del tiempo de arranque decrece. Por esto, la aplicación de ensayos de motores trifásicos desarrollada en este proyecto divide la curva de pares en el máximo número de rectángulos posible.

19.9. Corriente y par de arranque [1] Con vistas a la red y a los aparatos de maniobra se ha de procurar mantener reducida la corriente de arranque de los motores de conexión directa. Por lo general, su intensidad se expresa como múltiplo de la corriente nominal y permite así la comparación de motores de distinto tamaño. Una corriente de arranque excesivamente pequeña repercute de forma desfavorable sobre los valores técnicos de las máquinas, y especialmente sobre el par de arranque, el par máximo, y especialmente sobre el par de arranque, el par máximo y el factor de potencia nominal. La influencia sobre el rendimiento es, por el contrario, reducida. El par de arranque sirve para acelerar el accionamiento en reposo y tiene que ser tan grande que supere el par resistente o resistente del accionamiento y la fricción despreciada de reposo. Pero por otra parte no se desea que produzca grandes aceleraciones porque puede dañar el engranaje.

19.10. Tipos de arranque en motores de rotor de jaula Hay cuatro tipos de arranque:

- Conexión directa. - Conexión estrella-triangulo. - Conexión con transformador de arranque. - Conexión con resistencia previa monofásica al estator.


Conexión directa

Es la forma más senzilla de conectar los motores trifásicos con rotor de jaula. este procedimiento es usual en casi todas las explotaciones industriales y debería ser utilizado siempre que las condiciones de la red lo permitiesen.

El método consiste en la conexión del motor directamente a la tensión nominal de la red. En este arranque inicialmente se dan unos valores muy elevados, el par puede ser el doble del nominal y la intensidad hasta diez veces superior a la intensidad nominal.

CONEXIÓN ESTRELLA-TRIANGULO

Las medidas para limitar la corriente de arranque en un motor con rotor

de jaula ya acabado, en el que no puede realizarse ninguna modificación, consisten normalmente en aplicar al motor durante el arranque una tensión reducida.

Este tipo de conexión consiste en arrancar el motor conectado en estrella

y una vez alcanza la velocidad de régimen se conecta en triángulo. La corriente de arranque desciende en las acometidas a la red a menos de un tercio. El par de arranque se reduce en igual proporción que la corriente de la red y, por tanto, es menor de un tercio del par de arranque en conexión directa. En la figura 2.28 se puede ver la conmutación de un arranque estrella-triangulo de un motor. La conmutación se produciría antes que se cruzaran el par resistente y el par motor en conexión triangulo.

Conexión con transformador de arranque.

Con este método se reduce la tensión aplicada al motor por medio de un

transformador de arranque, la intensidad de parada se reduce en aquél en igual proporción, mientras que el par de bache y la intensidad de red disminuyen de forma cuadrática. Conexión con resistencia previa monofásica al estator. Se utiliza en los casos que se tuviese que reducir el par de arranque del motor con medios elementales, con vistas a la máquina operadora, o al proceso técnico, se puede intercalar una resistencia monofásica en una de las tres


acometidas del motor, la cual se cortocircuita una vez terminado el proceso de aceleración.

Figura 2.28. Arranque estrella-triangulo de un motor eAM250MV4Ex.


19.11. Balance de potencias y rendimiento funcionando como motor

Para explicar el balance de potencias utilizaremos el circuito equivalente que

hemos hallado en el apartado anterior (figura 2.23) y un símil hidráulico que nos servirá par visualizarlo mejor.

Partimos de la ecuación de la potencia eléctrica absorbida de la red por el

devanado del primario:

P1 = m1 U1 I1 cos ϕ1 [W] (2.03) De esta potencia una parte se degrada en calor por efecto Joule en la

resistencia R1, de cada fase del devanado del primario, la cual, a efectos útiles podemos considerar como una pérdida. A esta potencia la denominamos potencia de pérdidas por efecto Joule en el primario:

pcu1 = m1 I12 R1 [W] (2.04)

La potencia P1 - pcu1 que designaremos como Pc, será la potencia disponible

para crear el campo magnético giratorio:

Pc = m1 E1 I1 cos ψ1 [W] (2.05) Por el principio de conservación de la energía hemos de admitir que esta

potencia pasa íntegra al campo magnético. Ahora bien, el giro del campo determina en la corona magnética del estator y en los cuerpos magnéticos inmediatos al entrehierro, a los que puede alcanzar este campo, la inducción de corrientes por Foucault y el fenómeno de histéresis que dan lugar a las denominadas pérdidas en el hierro del estator, las cuales reducen la potencia disponible en el entrehierro del campo giratorio.

Estas pérdidas son las que fijan el valor de la componente de pérdidas IFe

de la corriente de excitación y vienen expresadas por:

pFe1 = m1 E1 IFe = m1 E1 Ie cos ψe [W] (2.06) Deduciendo de la potencia de campo magnético giratorio las pérdidas en el

hierro, pFe1, tendremos la potencia electromagnética transmitida por inducción al secundario. Designándola por Pa, tendremos:


Pa = Pc - pFe1 = m2 E2 I2 cos ϕ2 [W] (2.07)

Esta potencia que, con el rotor en reposo y el devanado cerrado sobre sí mismo se disiparía toda ella en calor por efecto Joule, en el rotor en movimiento sólo una parte de ella se pierde por efecto Joule, la correspondiente a la resistencia del devanado rotórico, el resto aparece como potencia mecánica interna del motor, potencia igual al producto del par interno M1 por la velocidad angular del rotor:

Pm1 = M1 ω [W] (2.08)

La potencia correspondiente a las pérdidas por efecto Joule en el devanado del

rotor, de resistencia por fase R2, bajo la corriente I2, es igual a:

pcu2 = m2 I22 R2 = s Pa [W] (2.09) Deduciendo estas pérdidas pcu2 de la potencia Pa obtendremos la potencia que

recogemos en el rotor en forma mecánica, potencia mecánica interna, Pmi.

Pmi = Pa - pcu2 = Pa (1 - s) [W] (2.10) Aun cuando podíamos añadir que el campo magnético origina a su vez

corrientes de Foucault y pérdidas por histéresis en las chapas del circuito magnético del rotor, las pérdidas en el hierro del rotor pFe2, en régimen de marcha normal, al ser el deslizamiento muy pequeño y por tanto muy baja la frecuencia rotórica, son, a todos efectos prácticos, despreciables.

Al sustituir el rotor en movimiento por otro en reposo, lo cual supone

añadir a la resistencia propia del devanado una resistencia de valor:

R2

−11

s

La potencia disipada por efecto Joule en esta resistencia adicional, debe

corresponder a la potencia mecánica interna del motor. En efecto, las pérdidas por efecto Joule en la resistencia adicional valen:

m2 I22 R2

−

ss1

= m2 I2

−

ss1

s E2 cos ϕ2 = Pa (1 - s)

es decir, la misma expresión que hemos obtenido para Pmi.


La potencia útil en el eje del motor será algo menor debido a las pérdidas

por rozamientos y resistencia del aire (ventilación incluida) provocadas por el giro del rotor, denominadas pérdidas mecánicas, a las cuales, en un análisis más exacto, habría que añadir las pérdidas adicionales o suplementarias. Supuestas estas últimas pérdidas incluidas en las mecánicas, queda como potencia útil del sistema:

P2 = Pmi - pm [W] (2.11)

Para finalizar tenemos las pérdidas adicionales, pz [11]. Las pérdidas

adicionales son pérdidas residuales en el motor, estas son difíciles de determinar por mediación directa o cálculo. Estas pérdidas se producen en carga y generalmente varían con el cuadrado del par.

P1-P2 =∑ p (suma de pérdidas)

Pz=∑ p - pcu1- pFe1 - pcu2 - pm

Estas pérdidas adicionales se dividen en: - pérdidas del campo principal

- superficiales - pulsación

- pérdidas del campo armónico - superficiales - pulsación - inducidas en el devanado del estator debido al rotor

pz = pH/S+P + PZ/S+P + PS/Est

En el gráfico siguiente se puede observar la distribución de pérdidas de un motor asíncrono.


Distribución de pérdidas

37%

18%

20%

9%

16%

Joule en el estatorJoule en el rotorMagnéticasMecánicasAdicionales

En la figura 2.24 hemos dibujado nuevamente el circuito eléctrico equivalente del motor de inducción y debajo el mismo, correspondiéndose los elementos disipativos de potencia, un símil hidráulico de este balance de potencia de la máquina de inducción como motor

Para finalizar el rendimiento, η, de la máquina de inducción será:

1001

2 ⋅=PP

η [%] (2.12)

Figura 2.24. Símil hidráulico del balance de potencias.


19.12. Par motor y par resistente [11]

El curso del par de giro de un motor con rotor de jaula puede estar influenciado, en alto grado, por el material de las barras del rotor y por la forma de su sección. Así se llega a los rotores de corriente desplazada, como el rotor de barras trapeciales y el rotor de doble jaula; este lleva dos barras por ranura.

A la vista de la curva característica del par motor (figura 2.25) en función

de la velocidad de giro del motor, se diferencian los siguientes pares especiales individuales:

• Par nominal MN (a la velocidad nominal, nN) • Par máximo MK (par máximo en marcha) • Par de arranque MA (par estático) • Par de bache MS (par mínimo entre la parada y el

par máximo)

El par mínimo y el máximo no siempre existen en todos los motores, ya que si por ejemplo se coge un motor de 6 polos que accione un compresor, estos se caracterizan por tener un par de arranque muy elevado, un rendimiento bajo, y no tienen par máximo ni mínimo.

Figura 2.25. Par motor.

MK

MS

MA

MN


Como par de aceleración Mb se designa el exceso del par M desarrollado

por el motor respecto al par resistente exigido por la máquina operadora (figura 2.26).

Al principio, los motores para accionamientos individuales, por falta de experiencia, solían calcularse para un par de arranque demasiado alto. Incluso se llegó a juzgar la calidad del accionamiento, sobre todo, en función del valor de este par.

Según los nuevos conocimientos, el arranque con un par elevado resulta poco conveniente o incluso en parte nocivo para la mayoría de las máquinas operadoras. Por esta razón se tiende a adaptar el curso del par de los motores a las condiciones de arranque más frecuentes en la práctica, en especial la curva de par resistente, de forma garanticen una aceleración segura, pero, en lo posible, suave y sin tirones.

Figura 2.26. Curso de la intensidad y del par motor trifásico. Par resistente.

19.13. Arranque y aceleración [11]

El arranque es uno de los principales problemas que se presentan en los

motores asíncronos trifásicos, debido a que la rápida aceleración del sistema motor-carga requiere un elevado par de arranque. Este debe ser superior al par

Mb


resistente de la carga y los rozamientos por cojinetes. Otro problema es el de la intensidad de arranque, que en ocasiones puede ser muy elevada produciendo perturbaciones en las redes de distribución.

Para la aceleración de masas en movimiento es necesario un par de aceleración Mb. Por consiguiente, el par motor M debe ser mayor que el par resistente Mg, entre la parada y la velocidad de régimen, puesto que sólo se dispone como par de aceleración Mb de la diferencia M-Mg. Así, pues, el valor del par de arranque y del par de bache en el tiempo de aceleración deseado deben corresponder, sobre todo, a la magnitud de las masas arrastradas y al par resistente de las máquinas de trabajo. En la figura 2.26 se puede ver el par acelerador de un motor y una carga con par resistente cuadrático.

19.14. Tiempo de arranque [11] Un ensayo de par-velocidad e intensidad-velocidad puede realizarse para determinar las características de aceleración del motor, para considerar el comportamiento del par en función de la velocidad y como varía la intensidad desde el arranque hasta el punto de vacío o de velocidad síncrona.

Además la aplicación desarrollada en este proyecto, calcula el tiempo que

el motor tarda en arrancar.

El tiempo de arranque se calcula mediante el momento total de inercia GD2, referido al eje del motor, y el valor medio temporal del par de aceleración Mb=M-Mg, es decir:

ba M

nGDt⋅

⋅=

375

2

donde:

- n es la velocidad en rpm - GD2 es el momento total de inercia en Nm2 (m R2 momento total de

retardo en kg m2, GD2 = 4 g · mR2) - Mb es el valor medio temporal del par de aceleración del motor en

Nm. Puesto que la simplificación que supone el tomar un par constante de aceleración no suele ser admisible, a causa de la fuerte inflexión de la curva del


par motor M respecto a la velocidad n, el cálculo del tiempo de arranque se subdivide entres partes; en este proceso, la superficie entre las curvas características de par motor y el resistente o resistente se desglosa, por ejemplo, en tres partes iguales como se observa en la figura 2.27, que van de 0 a n1, de n1 a n2 y de n2 a n3; de forma conveniente, para n3 se elige el 95% de la plena velocidad. En cada caso, estas partes se sustituyen por rectángulos de igual superficie con alturas Mb1, Mb2 y Mb3.

1

12

1 375 bMnGD

t⋅

⋅=

( )2

122

2 375 bMnnGD

t⋅

−⋅=

( )3

232

3 375 bMnnGD

t⋅

−⋅=

Figura 2.27. Determinación del tiempo de arranque.


La suma de los tiempos t1+t2+t3 es el tiempo total de arranque de n= 0 hasta n= 0.95·ns, donde ns es la velocidad síncrona.

El cálculo del tiempo de arranque se ha explicado en este apartado

dividiendo la curva de pares en tres rectángulos, pero a más partes se divida, el error del cálculo del tiempo de arranque decrece. Por esto, la aplicación de ensayos de motores trifásicos desarrollada en este proyecto divide la curva de pares en el máximo número de rectángulos posible.

19.15. Corriente y par de arranque [1] Con vistas a la red y a los aparatos de maniobra se ha de procurar mantener reducida la corriente de arranque de los motores de conexión directa. Por lo general, su intensidad se expresa como múltiplo de la corriente nominal y permite así la comparación de motores de distinto tamaño. Una corriente de arranque excesivamente pequeña repercute de forma desfavorable sobre los valores técnicos de las máquinas, y especialmente sobre el par de arranque, el par máximo, y especialmente sobre el par de arranque, el par máximo y el factor de potencia nominal. La influencia sobre el rendimiento es, por el contrario, reducida. El par de arranque sirve para acelerar el accionamiento en reposo y tiene que ser tan grande que supere el par resistente o resistente del accionamiento y la fricción despreciada de reposo. Pero por otra parte no se desea que produzca grandes aceleraciones porque puede dañar el engranaje.

19.16. Tipos de arranque en motores de rotor de jaula Hay cuatro tipos de arranque:

- Conexión directa. - Conexión estrella-triangulo. - Conexión con transformador de arranque. - Conexión con resistencia previa monofásica al estator.


Conexión directa

Es la forma más senzilla de conectar los motores trifásicos con rotor de jaula. este procedimiento es usual en casi todas las explotaciones industriales y debería ser utilizado siempre que las condiciones de la red lo permitiesen.

El método consiste en la conexión del motor directamente a la tensión nominal de la red. En este arranque inicialmente se dan unos valores muy elevados, el par puede ser el doble del nominal y la intensidad hasta diez veces superior a la intensidad nominal.

CONEXIÓN ESTRELLA-TRIANGULO

Las medidas para limitar la corriente de arranque en un motor con rotor

de jaula ya acabado, en el que no puede realizarse ninguna modificación, consisten normalmente en aplicar al motor durante el arranque una tensión reducida.

Este tipo de conexión consiste en arrancar el motor conectado en estrella

y una vez alcanza la velocidad de régimen se conecta en triángulo. La corriente de arranque desciende en las acometidas a la red a menos de un tercio. El par de arranque se reduce en igual proporción que la corriente de la red y, por tanto, es menor de un tercio del par de arranque en conexión directa. En la figura 2.28 se puede ver la conmutación de un arranque estrella-triangulo de un motor. La conmutación se produciría antes que se cruzaran el par resistente y el par motor en conexión triangulo.

Conexión con transformador de arranque.

Con este método se reduce la tensión aplicada al motor por medio de un

transformador de arranque, la intensidad de parada se reduce en aquél en igual proporción, mientras que el par de bache y la intensidad de red disminuyen de forma cuadrática. Conexión con resistencia previa monofásica al estator. Se utiliza en los casos que se tuviese que reducir el par de arranque del motor con medios elementales, con vistas a la máquina operadora, o al proceso técnico, se puede intercalar una resistencia monofásica en una de las tres


acometidas del motor, la cual se cortocircuita una vez terminado el proceso de aceleración.

Figura 2.28. Arranque estrella-triangulo de un motor eAM250MV4Ex.


20. Aplicación con Matlab/simulink [3]

20.1. Transformaciones de Park

Debido al gran número de operaciones que se realizaran con las magnitudes propias del motor eléctrico, tensiones, intensidades, reactancias, etc., se realizará un cambio de variable para facilitar las operaciones y poder realizar a su vez un cálculo más rápido y entendedor.

Se trabajará con dos ejes, retardado uno 90º respecto al otro, con un

tercer eje (o secuencia) homopolar para posibles desequilibrios, como se comentará más tarde, en lugar de trabajar con los tres ejes solidarios a las tres fases, es decir, separados 120º.

Por tanto la finalidad de realizar el cambio de variables, es sustituir un

sistema recorrido por tres intensidades ia,ib,ic por otro recorrido por dos, id,iq, y eventualmente una tercera i0. Un sistema de referencia con una velocidad angular ω, o ω=0, iα,iβ,i0, si se trabaja con un sistema de referencia estacionario, iα,iβ,i0, es decir, un caso particular del sistema anterior d,q, pero con velocidad angular nula. El hecho de trabajar con los ejes d y q como ejes no estacionarios, o pseudoestacionarios, da a entender al lector, que la resolución de la problemática del comportamiento dinámico del motor, no se realiza según el método de la máquina generalizada. El planteamiento será el siguiente:

• cambio de las variables al sistema más recomendable

( transformación de Blondel-Park) • formulación matricial de les ecuaciones del motor

1.- tiRiv

∂∂

+⋅=),( θλ

2.- TrFt

JT rr +⋅+

∂∂

= ωω

• resolución de les ecuaciones diferenciales matriciales mediante un

modelo de bloques. • obtención de los parámetros característicos del motor en régimen

transitorio.


La transformación más usual y la más conocida, es la transformación de Park, en la que se realiza un paso de las variables trifásicas a,b,c a las variables d,q, pertenecientes a un sistema de referencia bifásico móvil con una velocidad angular ω. Según [1], este cambio de variables también recibe el nombre de transformación de Blonde.

Según la velocidad angular del sistema de referencia bifásico d,q,

tendremos casos particulares de la transformación de Park,(o de Blondel), los cuales se presentan a continuación:

• ω=0, Transformación de Scott. • ω=ω', Transformación general de Park o de Blondel. • ω=ωs=ωe, Transformación de Sincronismo de Park, cuando la

velocidad angular es la de sincronismo, coincide con la frecuencia eléctrica.

• ωr , Transformación con el sistema de referencia fijo al rotor

4.1.1. Transformación de Scott.

Como se ha comentado, esta transformación es un caso particular de la transformación de Park con la velocidad angular ω nula. En este caso, donde los ejes de referencia finales son fijos, pasan a recibir la denominación α,β,0.

Para poder realizar el cambio de variables correctamente, se debe

imponer la siguiente condición: en los dos sistemas de referencia, trifásico y bifásico (cuadrático), la fuerza magnetomotriz generada debe ser equivalente.

Si tenemos un sistema trifásico alimentado con un sistema de corrientes

equilibrado:

i I ta = $cosω ; i I tb = −$ cos( )ω 120 ; i I tb = −$ cos( )ω 240 [ ]A (4.1)

donde $I es la corriente de pico [ ]A , ω es la frecuencia [ ]rad s/ y t el tiempo en [ ]s ,para calcular la fuerza magnetomotriz,(F.m.m.), generada por las tres bobinas del estator se aplica la siguiente fórmula:

∫ == NiBdlmmF 00... µµ [ ]Av (4.2)


donde B es la densidad de campo magnético [ ]T , l la distancia del camino recorrido por el campo magnético [ ]m , µ0 es la permeabilidad magnética del

medio, en este caso el vacío [ ]TmA−1 , N es el nombre de espiras que forman la

bobina del estator, recorrido por la corriente i medida en [ ]A que genera el campo magnético.

Por tanto, las fuerzas magnetomotrices (F.m.m.) generadas en los bobinados del estator, distanciadas físicamente entre si 120º, y proyectadas sobre un eje de referencia situado a un ángulo θ del eje a, son las siguientes:

F F ta ( ) $ cos cosθ ω θ=

)120cos()120cos(ˆ)( −−= θωθ tFFb

)240cos()240cos(ˆ)( −−= θωθ tFFc [ ]Av (4.3)

donde θ es el ángulo, que el eje de fases a, se encuentra desplazado respecto

de un origen ficticio de ángulos en un instante de tiempo t,. $F es la fuerza magnetomotriz de pico y que se expresa:

$ $F N Ib=4

1 3πξ [ ]Av (4.4)

donde ξb1 es el factor de bobinado, N3 es el numero de espiras en el bobinado

estatórico trifásico del motor, y $I la corriente de pico, midiendo en [ ]A ,que circula por este bobinado.

Si se hace la suma vectorial de las tres F.m.m. anteriores, se obtiene:

)cos(ˆ23)()()(),( θωθθθθ −=++= tFFFFtF cbaR [ ]Av (4.5)

que corresponde a la expresión matemática de una onda de F.m.m. giratoria de

amplitud 32$F y frecuencia angular ω.


Figura 4.01. Ejes trifásicos y bifásicos desplazados un ángulo θ respecto el eje de

referencia.

Por otro lado, el sistema de corrientes, en la referencia bifásica es el

siguiente:

tIi ωα cos'= )90cos(' −= tIi ωβ [A] (4.6)

entonces la fuerza magnetomotriz, F.m.m., generada por estas corrientes, tiene la siguiente expresión:

tFF ωα cos'ˆ'= )90cos('ˆ' −= tFF ωβ [Av] (4.7)

y sobre el eje que forma un ángulo θ respecto el eje α , en un instante de tiempo t dado, tendremos la siguiente fuerza magnetomotriz:

)cos('ˆ)90cos()90cos('ˆcoscos'ˆ),(' θωθωθωθ −=−−+= tFtFtFtFR [Av] (4.8)

Si los devanados bifásico y trifásico, tienen que ser equivalentes, es evidente que:

),('),( tFtF RR θθ = [Av] (4.9)

o lo que es lo mismo:


'ˆˆ23 FF = [Av] (4.10)

Si N3 es el numero de espiras por fase del devanado trifásico y N2 es el

numero de espiras en el devanado bifásico, prescindiendo del factor de bobinado, la F.m.m. fundamental por fase en cada tipo de devanado vendrá dada por la siguiente igualdad:

23 'ˆ4ˆ4 NINIππ

= [Av] (4.11)

Si la condición necesaria y suficiente, para que las F.m.m. sean

equivalentes, es que la proyección de estas sobre unos ejes ortogonales, sean iguales. Por lo tanto, considerando el eje de referencia del sistema cuadrático, en fase con el eje α, y desfasado un ángulo θ respecto el eje a, ver figura 4.01, dispondremos:

[ ])240cos()120cos(cos32 −+−+= θθθα cba iiiNIN

[ ])240()120(32 −+−+= θθθβ sinisinisiniNIN cba [Av] (4.12)

Figura 4.02. Ejes trifásico y bifásico con velocidad angular ω=0.

Si el eje de la fase a, coincide con el eje de referencia, (θ=0), tal como

vemos en la figura. 4.02, tenemos:


)21

21(32 cba iiiNIN −−=α

)(23

32 cb iiNIN −=β [Av] (4.13)

y si designamos b, como la relación entre N3/N2, se puede escribir:

)21

21( cba iiibI −−=α

)(23

cb iibI −=β [Av] (4.14)

La relación entre el numero de espiras a cada bobinado, es justamente la

relación de las fuerzas electromotrices inducidas en los dos bobinados, con igual numero de ranuras y valorando los diferentes factores de bobinado.

2

3

...

...meFmeFb = (4.15)

Para que el sistema de ecuaciones planteado en la ecuación 4.14, sea de

variables independientes, y se pueda realizar el cambio de variables en los dos sentidos, sin ningún tipo de restricción, se deberá introducir una tercera variable, la variable homopolar, que se representa habitualmente, con el subíndice 0. Componente homopolar, i0.

Esta componente, muy utilizada en los sistemas de potencia, aparte de ayudar a resolver el sistema, tiene el siguiente significado físico: la mayoría de motores, están constituidos por devanados con características equivalentes, por tanto su reactancia es la misma en las tres fases y la caída de tensión coincide. Por tanto, si la alimentación es simétrica, les corrientes circulantes se anulan en el neutro del motor, y así no se tiene una corriente de retorno o de fuga. Esta corriente, se conoce como homopolar en el sistema bifásico.

Esto cambia, cuando los tres bobinados no son iguales físicamente por algún defecto de construcción, funcionamiento, o cuando la tensión de


alimentación no es la misma en las tres fases. En este caso la corriente no se anula en el punto neutro del bobinado y hay una corriente de fuga o de retorno. Es evidente que esta corriente no tiene ningún efecto magnético dentro del motor, y por tanto no debe aparecer en el sistema de ecuaciones anterior, que hace referencia a les fuerzas magnetomotrices, pero es una intensidad que se debe de considerar, si queremos que los dos bobinados, trifásico y bifásico, sean equivalentes a todos los efectos, tanto eléctricos como magnéticos. Se deberá considerar un circuito independiente en el sistema bifásico, por el que solo circulará corriente cuando el sistema trifásico sea desequilibrado. Esta corriente será un múltiple de la suma de las corrientes trifásicas y de la relación de los bobinados, N3/N2, trifásico y bifásico, al ser esta relación comuna en toda la transformación.

Es decir en el sistema de 3 ecuaciones tenemos 2 ecuaciones que hacen referencia a la F.m.m. y una ecuación que hace referencia a las intensidades. Por tanto las 3 ecuaciones serán independientes y el sistema totalmente solucionable.

Así la relación será la siguiente:

)(0 cba iiiki ++= [A] (4.16)

y el sistema matricial será:

−

−−

=

c

b

a

i

i

i

kkk

b

i

i

i

23

230

21

211

0

β

α

[A] (4.17)

abreviadamente y imponiendo que la matriz sea ortogonal, para facilitar la resolución de futuros cálculos:

1== CCCC tt (4.18)

donde C es la matriz de transformación del sistema trifásico al bifásico estacionario. O sea, según la ecuación anterior:


=

−−

−⋅

−

−−

=

2

2

300

0230

0023

23

21

23

21

01

23

230

21

211

k

b

k

k

k

b

kkk

bCCt (4.19)

si queremos que el producto de la matriz de transformación, por su transpuesta, sea la unidad se deberán cumplir las siguientes igualdades:

13 22 =kb y 123 2 =b (4.20)

de donde se pueden deducir les constantes siguientes:

23

=b y 2

1=k (4.21)

siendo k un factor de b:

kb3

2= (4.22)

Ara nos encontraremos en disposición de presentar la matriz de

transformación trifásica-bifásica estacionaria, ejes (αβ0) estacionarios, ω=0, que permite hacer el cambio de variables trifásicas a bifásicas estacionarias. Esta matriz de transformación recibe el nombre de Transformación de Scott.

[ ]

−

−−

==

21

21

21

23

230

21

211

32)( 0αβTC ts (4.23)


[ ]

−−

+−== −

21

23

21

21

23

21

2101

32)( 1

0αβTCs (4.24)

[ ] [ ][ ]abcfTf 00 αβαβ =

(4.25)

[ ] [ ] [ ]01

0 αβαβ fTf abc−=

(4.26)

Por tanto si se tienen las corrientes trifásicas que alimentan al estator, ia,ib,ic, y se quiere conocer la expresión en el sistema de referencia bifásico estacionario, iα,iβ,i0, solo se deberá proceder según la ecuación 4.25:

)(3

10 cba iiii ++=

−

−−

=

c

b

a

i

i

i

i

i

i

21

21

21

23

230

21

211

32

0

β

α

−−

+−=

021

23

21

21

23

21

2101

32

i

i

i

i

i

i

c

b

a

β

α


−−= cba iiii

21

21

32

α

)(2

1cb iii −=β [A] (4.27)

De forma inversa, si se quieren encontrar las variables en el sistema trifásico, partiendo del bifásico estacionario, se deberá proceder según la ecuación. 4.26:

+= αiiia 02

132

−−= βα iiiib 2

321

21

32

0

+−= βα iiiic 2

321

21

32

0 [A] (4.28)

no hace falta decir, que estos cambios de variables, los podemos realizar con otros parámetros como la tensión en el estator, ua,ub,uc,uα,uβ,u0. En el caso particular de un sistema trifásico simétrico, las corrientes instantáneas serán:

tIia ωcosˆ=

)120cos(ˆ −= tIib ω

)240cos(ˆ −= tIic ω [A] (4.29)

En el sistema bifásico estacionario su valor instantáneo vendrá dado por

las siguientes expresiones:

00 =i (por definición, la corriente homopolar en un sistema equilibrado es nula)


tIi ωα cosˆ23

=

tsinIi ωβˆ

23

= [A] (4.30)

Si se utiliza el operador a, que equivale a la rotación de un vector de 120º, se deducen las ecuaciones 4.30 tal como sigue:

aa II = ab IaI ⋅= ac IaI 2= [A] (4.31)

y para el sistema bifásico:

00 =i

aIi23

=α

aIji23

+=β [A] (4.32)

Resumiendo se puede decir, que un sistema trifásico equilibrado, de secuencia directa a,b,c, es puede sustituir por un sistema bifásico estático de secuencia α,β,0, si la relación de los valores eficaces, o de los valores máximos, de las

magnitudes bifásicas a las trifásicas es igual a 23

ecuación 4.32.

4.1.2. Transformación bifásica de Park

Hasta ahora, en la transformación de Scott, se ha hablado de una transformación de ejes trifásicos a,b,c, a ejes bifásicos estáticos α,β. Ahora se ara otro cambio de variables: de estos ejes estáticos α,β a unos ejes bifásicos móviles d,q con velocidad ω.


4.03. Transformación bifásica de Park, entre ejes bifásicos móviles y estáticos. De esta manera, si se hace la composición de las transformaciones de Scotti y bifásica de Park, se obtiene una transformación de ejes trifásicos a, b, c a unos ejes bifásicos móviles d, q. Esta transformación recibe el nombre de Blondel o general de Park. [ ] [ ][ ]SPB CCC = (4.33)

Esta transformación, es muy utilizada para la teoría de la máquina generalizada, en la cual, como se ha comentado, se utilizan los ejes denominados pseudoestacionarios, que son ejes estacionarios que simulan el comportamiento de ejes giratorios.

El método utilizado para deducir la transformación bifásica de Park, es el mismo que con el que se obtiene de la transformación de Scott, es a decir la F.m.m. generada en los dos sistemas de referencia debe ser la misma, entonces:

αθθ NiNiNi qd =− sincos

βθθ NiNiNi qd =+ cossin

[Av] (4.34)

ecuaciones que nos indican que las proyecciones de la F.m.m. sobre los ejes cuadráticos, tanto móviles como fijos, tienen que ser los mismos. Considerando, que N, numero de espiras por eje, se mantiene en los dos ejes de referencia, la matriz de transformación, será:


=

q

d

ii

ii

θθθθ

β

α

cossinsin-cos

(4.35)

=

θθθθ

cossinsin-cos

)( tPC (4.36)

transformación, que al ser ortogonal, permite conocer directamente las variables de entrada en función de las variables de salida:

'ICI P= ó ICI tP )('= [A] (4.37)

=

θθθθ

cossin-sincos

)( PC (4.38)

Por lo que, si partimos de las corrientes establecidas en un bobinado rotórico trifásico equilibrado que responde a las siguientes ecuaciones:

tIia ωcosˆ= )120cos(ˆ −= tIib ω )240cos(ˆ −= tIic ω

que aplicando la transformación de Scott, o sea pasando a ejes bifásicos estacionarios se consigue, ecuación. 4.30:

00 =i tIi ωα cosˆ23

= tsinIi ωβˆ

23

=

y la relación entre las corrientes en los ejes móviles y los estacionarios, son los siguientes, según la ecuación. 4.35:

θθ βα sincos iiid +=

θθ βα cossin

iiiq +−= (4.39)

sustituyendo los valores de las corrientes se obtiene:

)sinsincos(cosˆ23 θωθω ttIid +=


)cossinsincos(ˆ23 θωθω ttIiq +−= (4.40)

por la relación trigonométrica del coseno y del seno de la resta,

122121 cossincossin)(sin θθθθθθ −=−

212121 sinsincoscos)cos( θθθθθθ +=−

se escribe la ecuación 4.40, de la siguiente forma:

)(cosˆ23 θω −= tIid

)(sinˆ23 θω −= tIiq [A] (4.41)

donde ω es la frecuencia de alimentación de la tensión, y θ, es el ángulo que separa, en un instante de tiempo determinado, el eje α y el eje d. Si en el instante inicial t=0+:

δcosˆ)(0

Iia =+ y δωθ += t

y sustituyendo estos valores en la ecuación 4.41, el resultado será el siguiente:

δcosˆ23 Iid =

δsinˆ23 Iiq −= (4.42)

Como se puede ver estas corrientes son independientes del tiempo, por tanto, serán corrientes continuas (casuística, suponiendo la velocidad del rotor, coincidente con la pulsación de alimentación del sistema trifásico).

Suponiendo la velocidad de rotación del rotor ωr, inferior a la pulsación

de alimentación ω=ωe, entonces las corrientes en el sistema de referencia estático son:


δcosˆ)(0

Iia =+ y δωθ += tr

))cos((ˆ23 δωω −−= tIi rd

))-sin((ˆ23

r δωω −= tIiq (4.43)

en este caso, la intensidad en el eje de referencia bifásico estático, no es continua.

Todas las transformaciones realizadas hasta ahora se pueden realizar con las tensiones uα, uβ y ud, uq.

Pude suceder, no frecuentemente, que el sistema trifásico no sea

equilibrado. En este caso se considerará en los sistemas bifásicos, tanto móvil como estacionario, las corrientes homopolares.

Como se ha comentado anteriormente, en el apartado destinado a las

corrientes homopolares, estas no tienen efectos sobre el campo magnético, sencillamente se tienen en cuenta para ponderar les corrientes en los diferentes sistemas de referencia, independientemente que sean móviles o estáticos. Consecuentemente, el valor de la corriente homopolar, será el mismo en el sistema de referencia α,β y d, q. Por lo que se escribe la transformación de Park bifásica, (CP), de la siguiente manera: [ ] [ ][ ]00 αβfCf Pdq =

=

00 1000cos0cos

iii

sin-sin

iii

q

d

β

α

θθθθ

(CP) (4.44)

y su transpuesta: [ ] [ ] [ ]00 dqtP fCf =αβ


−=

00 1000cos0cos

iii

sinsin

iii

q

d

θθθθ

β

α

(CP)t (4.45)

4.1.3. Transformación general de Park o de Blondel. Esta transformación, se deduce, mediante las dos transformaciones estudiadas anteriormente, transformación de Scott, CS, y de Park bifásica, CB, respectivamente. Si se hacen estas dos transformaciones consecutivamente, se pasa de un sistema trifásico a un sistema bifásico estacionario, con la transformación de Scott, y gracias a la transformación bifásica de Park, la transformación transpuesta, relacionamos las componentes estacionarias con las bifásicas móviles.

[ ] [ ][ ]

−

−−

⋅

==

21

21

21

23

230

21

211

32

1000cossin-0sincos

θθθθ

sPB CCC

[ ]

−−−−−−

=

21

21

21

240)sin(-)120(sinsin)240cos()120cos(cos

32 θθθ

θθθ

BC

[ ] [ ][ ]abcB fCf =0αβ

−−−−−

−−

=

c

b

a

i

i

i

sinsinsin

i

i

i

21

21

21

)240()120(

)240cos()120cos(cos

32

0

θθθ

θθθ

β

α

(4.46)


Por el hecho de ser producto de matrices ortogonales, la transformación de Blondel, CB, también lo será. Por tanto se cumple que (CB)-1=(CB)t, donde

Figura 4.04. Paso de ejes bifásicos móviles a ejes trifásicos móviles. Transformación de Blondel o general de Park.

[ ]

−−−

−−

−

=

21)240(sin)240cos(2

1120)sin(-120)cos(

21sincos

32

θθ

θθ

θθ

tBC

[ ] [ ] [ ]0dqtBabc fCf =


−−−

−−−

−

=

021)240()240cos(

21)120()120cos(

21cos

32

i

i

i

sin

sin

sin

i

i

i

q

d

c

b

a

θθ

θθ

θθ

(4.47)

donde se debe tener en cuenta que θ=ωt+δ, siendo ω la velocidad angular de los ejes bifásicos d, q, respecto los ejes trifásicos, y δ el ángulo de desfase inicial de los dos sistemas de referencia (todos los ángulos en radianes).

4.1.4. ωr , Transformación con el sistema de referencia fijo al rotor

Se debe tener en cuenta, que los sistemas trifásicos, pueden estar en movimiento, como es el caso de los ejes rotóricos. En este caso tendremos:

[ ]

+−−+−−+−+−−+−−+−

=

21

21

21

)240)-sin(()120)-sin(())-sin(()240)cos(()120)cos(())cos((

32

rrr δωωδωωδωωδωωδωωδωω

tttttt

Crrr

B (4.48)

Figura 4.05. Transformación de ejes bifásicos móviles a trifásicos móviles y viceversa.


Por tanto, si los ejes trifásicos, se mueven a una velocidad cualquiera de giro, ω', entonces la transformación de Blondel o general de Park, y en este caso mas general que nunca, quedará de la siguiente manera:

[ ]

+−−+−−+−+−−+−−+−

=

21

21

21

)240)'-sin(()120)'-sin(())'-sin(()240)'cos(()120)'cos(())'cos((

32 δωωδωωδωω

δωωδωωδωωtttttt

BC (4.49)

4.1.5. ω=ωs=ωe, Transformación de Sincronismo de Park. En esta transformación, la velocidad angular del sistema bifásico móvil, coincide con la frecuencia de alimentación del motor, y con la velocidad de giro del rotor si tratamos con un motor síncrono, de aquí el nombre de transformación de Park de Sincronismo. Esta transformación, simplifica mucho los cálculos, a la hora de trabajar con motores síncronos. Así para las referencias del rotor y del estator se obtiene:

[ ]

−−−−−−−

+−−+−−+−+−+−+

=

2

1

2

1

2

1)240)120

)240cos()120cos(cos

000000000

000000000

2

1

2

1

2

1)240)120)sin

)240cos()120cos()cos(

3

2

θθθθθθ

δωδωδωδωδωδω

((

((s(

sinsinsin

tssintsints

tststs

BC


4.06. Transformación de sincronismo de Park.

20.2. Formulación teórica del modelo del motor de inducción

20.2.1. Velocidad de giro de la f.m.m. y del rotor. Deslizamiento. Como se ha visto en las ecuaciones del capítulo anterior, la fuerza magnetomotriz generada en los bobinados trifásico desplazados 120º físicamente y alimentados por corrientes desplazadas 120º en el tiempo, sigue la siguiente expresión:

)cos(423),( e

aemea tI

PNtF θω

πθ −= [Av] (4.50)

donde eaθ es el ángulo eléctrico [rad], medido desde el eje de la fase a, ωe (=2πfe)

es la velocidad de la f.m.m. en [rad eléctricos], y fe es la frecuencia de excitación eléctrica, [Hz]. También se puede expresar la velocidad angular en radianes mecánicos por segundo, y responde a la siguiente expresión:

esm Pωω 2

= [rad/s] (4.51)


Si se quiere expresar la velocidad de sincronismo, en revoluciones por minuto:

Pf

N esms

1202

60==

πω

[rev/min] (4.52)

Pero como es sabido el motor en régimen operativo no gira a la velocidad de sincronismo, sino que gira a una velocidad ligeramente inferior, según la carga. esta es una cuestión simplemente funcional, ya que si no fuese así, el rotor al girar a la misma velocidad que la f.m.m. generada en el estator, no induciría ningún tipo de corriente en sus bobinas / barras ( en el caso de motores de jaula), y por tanto no experimentaría ningún par que provocase su giro. Esta diferencia de velocidad entre la velocidad de giro de la f.m.m., ωe , y la velocidad de giro del rotor recibe el nombre de velocidad de deslizamiento, y responde a la siguiente expresión:

rmsmtoeslizamienvelocidadd ωω −= [rad/s] (4.53)

que expresada en valor p.u. recibe el nombre de deslizamiento, s, :

e

re

sm

rmsmsntodeslizamieω

ωωω

ωω −=

−=)( (4.54)

por lo que podemos concluir, que la velocidad de giro de la f.m.m. en régimen permanente, será de ωs [rad/s] y la del rotor sωs [rad/s].

20.2.2. Ecuaciones de voltaje. Como se ha comentado en los capítulos precedentes, las ecuaciones que rigen el comportamiento del motor, tanto dinámico y estacionario, son las siguientes:

1. ecuación de tensión tt)λ(θ,Riv

∂∂

+⋅= [V] (4.55)

2. ecuación de par (ωωTω(t)Ft

ω(t)JT Rem +⋅+∂

∂= [Nm] (4.56)

Por lo que si consideramos el motor de inducción trifásico, hay 3 bobinas, una por fase, en el estator, y tres más en el rotor ,o bien barras en cortocircuito, en el


caso del motor de inducción de rotor de jaula, que hacen la misma función, la ecuación de tensión expresada por cada fase tendrá la forma...., para el estator:

dtd

riv

dtd

riv

dtd

riv

csscscs

bssbsbs

assasas

λ

λ

λ

+=

+=

+=

(4.57)

y para el rotor:

dtd

riv

dtd

riv

dtd

riv

crscrcr

brrbrbr

arrarar

λ

λ

λ

+=

+=

+=

(4.58)

donde ixs, ixr son las corrientes del estator y del rotor, λxs y λxr, los flujos totales generados en el estator y en el rotor.

20.2.3. Flujos generados en el motor. Los flujos generados en el motor, y siguiendo la figura 4.07., siguen la siguiente expresión:

=

abcr

abcs

abcrr

abcrs

abcsr

abcss

abcr

abcs

ii

LLLL

λλ

[Wb*v] (4.59)

Las submatrices de las inductancias, estator-estator y rotor-rotor, son:

++

+=

sslssmsm

smsslssm

smsmsslsabcss

LLLLLLLLLLLL

L [H] (4.60)


++

+=

rrlrrmrm

rmrrlrrm

rmrmrrlrabcrr

LLLLLLLLLLLL

L [H] (4.61)

donde Llx es la inductancia de dispersión, Lxx la autoinductancia y Lxm la inductancia mutua procedente de otro bobinado perteneciente al mismo sistema. La matriz de las inductancias mutuas entre el rotor y el estator dependerá de la posición relativa de los dos sistemas, como se puede ver en la siguiente figura.

Figura 4.07. Posición relativa entre los diferentes bobinados del estator y del rotor.

La inductancia mutua entre el estator y el rotor, depende, obviamente, entre otros factores, de la disposición física que existe entre estos dos. En este caso la posición de los ejes de cada sistema varia en función de la velocidad de giro del rotor, ωr, y del ángulo inicial de desfase, θο :

tror ωθθ += [rad] (4.62)

esta es la matriz de inductancias mutuas entre el rotor y el estator:


[ ]

−

+

+

−

−

+

==

rrr

rrr

rrr

srtabc

rsabcsr LLL

θπθπθ

πθθπθ

πθπθθ

cos3

2cos3

2cos

32coscos

32cos

32cos

32coscos

[H] (4.63)

donde Lsr es la inductancia mutua entre el rotor y el estator, cuando los ejes de estos se encuentren alineados, estos, se encuentran alineados θ r=0. La autoinductancia y la inductancia mutua de una bobina, biene dada por la siguientes expresiones respectivamente:

xxxxxx ISlNL 2µ= sxxsxxs ISlNNL µ=

Considerando que toda la F.m.m. cae en el entrehierro, siendo Ns y Nr el número de espiras en el rotor y en el estator respectivamente, y Pg la permeancia magnética del medio, se pueden expresar las diferentes inductancias de la siguiente forma:

grssr

grrr

gsss

PNNL

PNL

PNL

=

=

=2

2

=

=

32cos

32cos

2

2

π

π

grrm

gssm

PNL

PNL [H] (4.64)

donde Pg, que es la inversa de la reluctancia es lSPg

µ= y por tanto

lSnLss2µ= , ya que N=nl.

Se puede observar, que se parte de seis ecuaciones diferenciales, las ecuaciones de tensión, las cuales están entrelazadas debido a los flujos mutuos entre el rotor y el estator y viceversa. Las transformaciones matemáticas dq o αβ nos pueden ayudar a resolver los cálculos de las soluciones transitorias en el modelo mostrado en la figura siguiente, transformando las ecuaciones diferenciales inductancias variables en el tiempo. En transformaciones diferenciales con inductancias constantes.


20.2.4. Modelización de la máquina, utilizando un modelo con sistema de referencia qd0 arbitrario

Una suposición, que se remarca en este punto es considerar como constante el entrehierro en el motor. Dos de los sistemas de referencia, más utilizados para trabajar con el motor de inducción, son los sistemas síncrono y el estacionario. Aunque se empezará por el sistema general.

Figura 4.08. sistema de referencia qd0 con velocidad de giro arbitraria. Lo que se hará, es trabajar con las ecuaciones de tensión y de par con el sistema de referencia general, a una ω cualquiera, y después, solo se deberá imponer que ω=0 o ω=ωs si se quieren obtener los resultados en el sistema estacionario o de sincronismo respectivamente. Lo que se deberá hacer primero, es traspasar las ecuaciones del sistema de referencia trifásico abc, al bifásico qd. Para ello se utilizará la transformación de Blondel o generalizada de Park.

[ ]

=

c

b

at

qdd

q

fff

fff

)(T 0

0

θ (4.65)

El ángulo θ, entre el eje d del sistema de referencia qd0 móvil, respecto al sistema trifásico abc del estator sigue la siguiente expresión:


∫ +=t

dttt0

)0()()( θωθ [radianes eléctricos] (4.66)

y el ángulo θr, entre los ejes trifásicos del rotor respecto del estator:

∫ +=t

rrr dttt0

)0()()( θωθ [radianes eléctricos] (4.67)

donde θ(0) y θρ(0)=δ son los ángulos para los instantes iniciales. Por lo que si se quiere pasar del sistema de referencia trifásico abc al bifásico dq0, con velocidad de giro ω, y viceversa, se deberá aplicar las matrices ecuaciones. (4.46) y (4.47):

[ ]

−−−−−−

=

21

21

21


32 θθθ

θθθ

BC

[ ] [ ][ ]abcBdq fCf =0

[ ]

−−−

−−

−

=

21)240(sin)240cos(2

1120)sin(-120)cos(

21sincos

32

θθ

θθ

θθ

tBC

[ ] [ ] [ ]0dqtBabc fCf =

20.2.5. Ecuaciones de tensión en el sistema de referencia qd0. Si escribimos la ecuación de tensión en forma matricial se obtiene la siguiente expresión:

abcs

abcs

abcs

abcs irpv += λ [V] (4.68)


donde p, es el operador de la derivada respecto del tiempo. Utilizando las ecuaciones 4.46 y 4.47 para referir las ecuaciones al sistema dq0, (se recuerda que al trabajar con matrices ortogonales la inversa de una matriz coincide con la transpuesta):

[ ] [ ] [ ]abcsdq

dqos vTv )(0 θ=

[ ] [ ] [ ]abcsdq

dqos iTi )(0 θ= (4.69)

[ ] [ ] [ ]abcsdq

dqos T λθλ )(0=

se tiene:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0100

0100

0 )()()()( qdsqd

abcsqd

qdsqdqd

qds iTrTTpTv −− += θθλθθ (4.70)

Si se fija en la expresión

( )[ ] [ ]010

qdsqdTp λθ −

Se puede rescribir de la forma:

[ ] [ ] [ ]010

0 )(0)240cos()240sin(0)120cos()120sin(0cossin

dqsdq

dqs pT

dtd λθλθ

θθθθ

θθ−+

−−−−−−−−

−− (4.71)

Si se sustituye este resultado en la expresión (4.21), se obtiene la

ecuación de tensión en el estator referida al sistema móvil dq0:

00000

000010001

dqs

dqs

dqs

dqs

dqs irpv ++

−= λλω (4.72)

donde ω es la velocidad de giro al sistema de referencia dq0, que corresponde a la derivada del ángulo de desfase entre los dos sistemas :


=

100010001

0s

qds rr [Ω] (4.73)

Con el rotor se repetirá exactamente las mismas operaciones, ahora pero se tractará con dos sistemas de referencia móviles uno que gira a una velocidad cualquiera ω, y el otro, el sistema abc rotórico, que gira a la velocidad del rotor ωr, ver figura 4.08.

[ ] [ ] [ ]abcrrdq

dqor vTv )(0 θθ −=

[ ] [ ] [ ]abcrrdq

dqor iTi )(0 θθ −= (4.74)

[ ] [ ] [ ]abcrrdq

dqor T λθθλ )(0 −=

Por tanto, la ecuación de tensión para el rotor será del tipo:

00000

000010001

)( dqr

dqr

dqr

dqrr

dqr irpv ++

−−= λλωω (4.75)

20.2.6. Relaciones del flujo magnético en el sistema de referencia qd0.

El flujo magnético, se expresa como se ha indicado en el apartado 4.1. de la forma:

[ ] )()(00 abd

rabcsr

abcs

abcssdq

dqs iLiLT += θλ [Wb.v] (4.76)

Si se sustituyen las expresiones de la intensidad, tanto del estator como el rotor por las indicadas en las ecuaciones 4.69 y 4.74, el resultado será el siguiente:

[ ] [ ] [ ] [ ] 0100

0100

0 )()()()( dqrrdq

abcsrdq

dqsdq

abcssdq

dqs iTLTiTLT −− −+= θθθθθλ


023

23

023

23

0000000

000000

dqrsr

srdqs

ls

ssls

ssls

iLL

iL

LLLL

+

+

+= (4.77)

y la del rotor:

[ ] [ ] [ ] [ ] 0100

0100

0 )()()()( dqrrdq

abcrrrdq

dqsdq

abcrsrdq

dqr iTLTiTLT −− −−+−= θθθθθθθλ

023

23

023

23

000000

0000000

dqr

lr

rrlr

rrlrdqssr

sr

iL

LLLL

iLL

+

++

= (4.78)

De forma compacta, se pueden expresar los flujos magnéticos en el estator y en el rotor del motor tal como sigue:

++

++

=

'0

'

'0

'

'

'

'0

'

'0

00000000000000000000000000

r

qr

dr

s

qs

ds

lr

mlrm

mlrm

ls

mmls

mmls

r

qr

dr

s

qs

ds

iiiiii

LLLL

LLLL

LLLLLL

λλλλλλ

[Wb.v] (4.79)

Ara, se puede realizar el primer circuito equivalente del motor, con componentes bifásicas dq0, del sistema de referencia móvil con velocidad ω. En estos circuitos, uno para cada componente dq0, se refreirán los parámetros del rotor al estator, señalizado mediante el signo " ' " . Para ello, se deberán multiplicar o dividir por la relación de transformación:

r

s

NN

=ν [numero de espiras del estator / numero de espiras del rotor] (4.80)

Así se tiene:

drr

sdr N

Nλλ =' qr

r

sqr N

Nλλ =' (4.81)


drs

rdr i

NN

i =' qrs

rqr i

NN

i =' (4.82)

lrr

slr L

NN

L2

'

= (4.83)

y Lm, la inductancia magnetizante en la banda del estator es:

rrr

ssr

r

sssm L

NN

LNN

LL23

23

23

=== [H] (4.84)

Sustituyendo la ecuación 4.79 en las ecuaciones 4.75 y 4.72, y reagrupando los términos por componentes, se obtienen las ecuaciones de voltaje, para cada componente, que nos ayudan a construir el siguiente circuito equivalente. Estas son las siguientes: Ecuaciones del estator en la referencia qd0 con velocidad ω.

dssqsdsds irpv +−= ωλλ

qssdsqsqs irpv ++= ωλλ (4.85)

ssss irpv 000 += λ

Ecuaciones del rotor en la referencia qd0 con velocidad ω.

''''' )( drrqrrdrdr irpv +−−= λωωλ

''''' )( qrrdrrqrqr irpv +−+= λωωλ (4.86)

'0

''0

'0 rrrr irpv += λ


Figura 4.09. Circuito equivalente de un motor de inducción en un sistema de referencia dq0,

con velocidad de giro arbitraria ω.

El circuito equivalente es muy semejante al de un transformador, donde hay caídas de tensión debidas a la resistencia, r,a las reactancias de dispersión y de magnetización Xls (Xlr) y Xm. Vale la pena revisar, estos circuitos equivalentes, a fin de entender cual es el comportamiento dinámico del motor, y ver cuales son los parámetros que hi influyen. Tal y como indican las ecuaciones 4.57 y 4.58, la caída de tensión en un circuito eléctrico es debida a la resistencia y a la variación del flujo magnético en función del tiempo, tal y como indican Faraday y Lenz:

tiNe

∂∂

−=),(θφ

La variación de flujo magnético puede ser debido a la variación de la intensidad que origina la densidad del campo magnético, B, y la variación del ángulo de la sección que cierra el flujo. Estos términos característicos son: IR resistencia p(iL) variación de la intensidad ω(iL) variación de ángulo relativo.


donde ω, en este caso, es la velocidad relativa de los ejes de referencia qd0 respecto la referencia del eje trifásico del estator en este caso, ω-ωr en el caso del rotor.

20.2.7. Ecuación de par en el sistema de referencia qd0. La potencia entrante en el motor, vendrá dada por la expresión siguiente, que es la potencia entrante a cada fase: p v i v i v i v i v i v iin as as bs bs cs cs ar ar br br cr cr= + + + + +'

' ' ' ' ' ' (4.87) Sustituyendo las tensiones y las corrientes trifásicas, por las relaciones de las ecuaciones 4.69 y 4.74, y trasladando la potencia al sistema de referencia dq0 móvil.

( )p v i v i v i v i v i v iin qs qs ds ds s s qr qr dr dr r r= + + + + +32

2 20 0 0 0' ' ' ' ' ' (4.88)

si ahora sustituimos en esta ecuación los valores de la tensión, por los valores presentados en las ecuaciones 4.72 y 4.75 se obtiene una expresión, importante en cuanto a dimensiones, donde se pueden identificar tres grupos característicos: i2r ipλ yωλ El estudio se centrará en la potencia mecánica suministrada por el motor, y por tanto en el par electromecánico generado por el motor, Tem.

• i2 r término de la potencia que se pierde debido al calentamiento del cobre.

• ipλ término de energía que se crea en los bobinados. • ωλy término de energía eléctrica que se transforma en trabajo mecánico.

La expresión es la siguiente:


[ ]))(()(22

3 ''''drqrqrdrrdsqsqsds

rem iiiiPT λλωωλλω

ω−−+−= [Nm] (4.89)

Si se utiliza la expresión 4.79, se llega a las siguiente igualdades:

)()( ''''dsqrqsdrmdrqrqrdrdsqsqsds iiiiLiiii −=−−=− λλλλ (4.90)

por tanto la expresión 4.89 se puede expresar de diferentes formas:

)(22

3 ''''qrdrdrqrem iiPT λλ −=

)(22

3dsqsqsdsem iiPT λλ −= [Nm] (4.91)

)(22

3 ''dsqrqsdrmem iiiiLPT −=

Otra forma de determinar el par electromagnético, es la de asociar los términos de velocidad angular por el flujo. Así, si se asocian las resistencias a las perdidas en el cobre. Las reactancias a la energía almacenada en las bobinas. Se pueden asociar los términos de velocidad de flujo al trabajo mecánico, realizado por el rotor, el par electromecánico. El concepto, es el de la fuerza magnetomotriz generada en el bobinado, debido a la variación del flujo al variar estos su posición respecto al bobinado, gira a la velocidad angular ω. Los términos de tensión son los siguientes, en cada eje cuadrático:

dsqsE ωλ= qsdsE ωλ−= [V]

'' )( drrqrE λωω −= '' )( qrrdrE λωω −−= [V] (4.92)

Si se considera la potencia real consumida por estas cuatro f.e.m´s es la potencia mecánica de la máquina, esto es:

[ ]∗∗ −−+−−ℜ= ))(())((23 ''''

drqrdrqrdsqsdsqsem jiijEEjiijEEP [W] (4.93)


Si se divide esta expresión por la velocidad angular del rotor, ωr, se obtiene la expresión del par electromagnético final. Si se multiplica el par electromagnético, Tem, por la velocidad de sincronismo, ωs, se obtiene la potencia en el entrehierro, PAG. La diferencia ente la Pem (potencia convertida, de eléctrica a mecánica), y la PAG, son las perdidas que se generan en el cobre del rotor, y que se descuentan de la potencia en el entrehierro, que por otro lado es la potencia entrante una vez consideradas las perdidas en el cobre del estator y del hierro, que habitualmente son consideradas propias del estator. (ver apartado de comportamiento en régimen estacionario).

20.2.8. Parámetros base. Valores p.u. Frecuentemente, las ecuaciones de máquinas eléctricas se expresan en términos de flujos por unidad de tiempo, ψ, y reactancias x, en vez de flujos λ, y inductancias L. Estas w relaciones, se obtienen multiplicando por el valor base o de la frecuencia angular ωb.(2πfb). Las relaciones mas importantes, son las siguientes:

λωψ b= [V o por unidad] (4.94)

Lx bω= [Ω o por unidad] (4.95)

Los parámetros base, si Vrated es el valor eficaz, rms, de la tensión compuesta, Srated, la potencia aparente en VA, son:

ratedb VV32

= tensión base

ratedb SS = potencia aparente base

b

bb V

SI

32

= corriente de pico base

b

bb I

VZ = impedancia base


bm

bSTb

ω= par base

Les ecuaciones de un motor de inducción simétricamente alimentado, en términos de velocidad base, ωb, reactancias, x, y flujos por unidad de tiempo, ψ, son: Ecuaciones en el sistema de referencia qd0 estacionario. Ecuaciones de tensión del estator.

dssqsb

dsb

ds irpv +−= ψωωψ

ω

qssdsb

qsb

qs irpv ++= ψωωψ

ω (4.96)

sssb

s irpv 000 += ψω

Ecuaciones qd0 de tensión en el rotor.

'''''drrqr

b

rdr

bdr irpv +

−−= ψ

ωωω

ψω

'''''qrrdr

b

rqr

bqr irpv +

−+= ψ

ωωω

ψω

(4.97)

'0

''0

'0 rrr

br irpv += ψ

ω


++

++

=

'0

'

'0

'

'

'

'0

'

'0

00000000000000000000000000

r

qr

dr

s

qs

ds

lr

mlrm

mlrm

ls

mmls

mmls

r

qr

dr

s

qs

ds

iiiiii

xxxx

xxxx

xxxxxx

ψψψψψψ

(4.98)

Ecuaciones de par.

−

−+−= )()(

223 ''''

drqrqrdrb

rdsqsqsds

brem iiiiPT ψψ

ωωω

ψψωω

ω

)(22

3 ''''qrdrdrqrem iiPT ψψ −=

)(22

3dsqsqsdsem iiPT ψψ −= [Nm] (4.99)

)(22

3 ''dsqrqsdrmem iiiixPT −=

Como ya se ha dicho los sistemas de referencia mas utilizados son los síncronos, ωs, y los estacionarios, ω=0. Por tanto para obtener las ecuaciones del comportamiento del motor, solo se deberá sustituir los valores de la velocidad angular en las expresiones anteriores. Para clarificar las formulas se añadirá el súper índice s, a los parámetros referidos al sistema estacionario, y e a los referidos al sistema síncrono.

20.2.9. Modelización de la máquina, utilizando un modelo con sistema de referencia qd0 estacionario.

Ecuaciones de tensión del estator.


sdss

sds

b

sds irpv += ψ

ω

sqsqs

sqs

b

sqs irpv += ψ

ω (4.100)

sssb

s irpv 000 += ψω

Figura 4.10. circuito equivalente del motor referido a un sistema estacionario. Ecuaciones de tensión del rotor.

sdrr

sqr

b

rsdr

b

sdr irpv ''''' +

+= ψ

ωω

ψω

sqrr

sdr

b

rsqr

b

sqr irpv ''''' +

−= ψ

ωω

ψω

(4.101)


'0

''0

'0 rrr

br irpv += ψ

ω

++

++

=

'0

'

'0

'

'

'

'0

'

'0

00000000000000000000000000

r

sqr

sdr

s

sqs

sds

lr

mlrm

mlrm

ls

mmls

mmls

r

sqr

sdr

s

sqs

sds

iiiiii

xxxx

xxxx

xxxxxx

ψψψψψψ

(4.102)

Ecuaciones de par.

)(22

3 '''' sqr

sdr

sdr

sqrem iiPT ψψ −=

)(22

3 sds

sqs

sqs

sdsem iiPT ψψ −= [Nm] (4.103)

)(22

3 '' sds

sqr

sqs

sdrmem iiiixPT −=

20.2.10. Modelización de la máquina, utilizando un modelo con sistema de referencia qd0 sincrono.

Ecuaciones de tensión del estator.

edss

eqs

b

eeds

b

eds irpv +−= ψ

ωω

ψω

eqss

eds

b

eeqs

b

eqs irpv ++= ψ

ωω

ψω

(4.104)

sssb

s irpv 000 += ψω


Figura 4.11. circuito equivalente del motor referido a un sistema solidario a la frecuencia de

alimentación. Ecuaciones de tensión del rotor.

edrr

eqr

b

reedr

b

edr irpv ''''' +

−−= ψ

ωωω

ψω

eqrr

edr

b

reeqr

b

eqr irpv ''''' +

−+= ψ

ωωω

ψω

(4.105)

'0

''0

'0 rrr

br irpv += ψ

ω


++

++

=

'0

'

'0

'

'

'

'0

'

'0

00000000000000000000000000

r

eqr

edr

s

eqs

eds

lr

mlrm

mlrm

ls

mmls

mmls

r

eqr

edr

s

eqs

eds

iiiiii

xxxx

xxxx

xxxxxx

ψψψψψψ

(4.106) Ecuaciones de par.

−

−+−= )()(

223 '''' e

dre

qre

qre

drb

reeds

eqs

eqs

eds

b

e

rem iiiiPT ψψ

ωωω

ψψωω

ω

)(22

3 '''' eqr

edr

edr

eqrem iiPT ψψ −=

)(22

3 eds

eqs

eqs

edsem iiPT ψψ −= [Nm] (4.107)

)(22

3 '' eds

eqr

eqs

edrmem iiiixPT −=


20.3. Planteamiento teórico del modelo

20.3.1. Adaptación de las ecuaciones al modelo. sistema de referencia estacionario.

20.3.1.1. Hipótesis de partida. Es evidente que al trasladar un hecho real a un hecho teórico, como puede ser una simulación, comporta siempre la consideración de una serie de hipótesis.

20.3.1.2. Alimentación del motor. Ecuaciones de tensión.

Hasta ahora se hablado de los diferentes sistemas de referencia que se pueden utilizar para resolver el modelo. Ahora se decidirá por uno, el sistema de referencia estacionario, aplicando la transformación de Blondel. El hecho de no estar trabajando en una máquina síncrona, por ejemplo, no obliga a tener que trabajar con un sistema de referencia síncrono, como pudiera ser el caso.

El sistema de potencia considerado consta, de una fuente de

alimentación trifásica, una por cada fase, las cuales disponen de un neutro, g. Las tensiones son Vag, Vbg, Vcg, por cada fase. Las tres fuentes alimentan a los bobinados del estator del motor, conectados en estrella, los cuales se encuentran unidos en el neutro s. Este esquema se repite para el rotor, pero ahora, como se esta hablando de un motor de rotor de jaula de ardilla, las tensiones de alimentación del rotor serán nulas, al estar los bobinados del rotor en cortocircuito. El neutro de las bobinas del rotor, barres del rotor, se llama n. Por tanto tendremos, si existiese, una tensión entre neutros Vsg. Observando el esquema se puede escribir: v v vas ag sg= −

v v vbs bg sg= − [V] (4.108)

v v vcs cg sg= −


Figura 4.12. Esquema de alimentación del motor, estator y rotor.

Este esquema, contempla la posibilidad de que el sistema no este simétricamente alimentado. En este caso aparecerá una tensión, vsg entre neutros del estator y por tanto una intensidad de fuga isg. (ver Figura 4.12.)

v R i i i Lddt

i i i R Lddt

isg sg as bs cs sg as bs cs sg sg s= + + + + + = +

( ) ( ) 3 0 [V] (4.109)

donde Rsg y Lsg son la resistencia y la inductancia entre los dos puntos neutros y i0s es la corriente de fuga del estator. i i i is as bs cs0 3= + +( ) / [A] (4.110)

Por tanto, ayudados de la transformación de Scott, se pueden obtener las tensiones en el sistema de referencia estacionario. Aplicando la ecuación (4.25), se escribe:

cgbgagcsbsasss vvvvvvv

31

31

32

31

31

32

−−=−−=α

)(2

1)(2

1bgcgbscs

ss vvvvv −=−=β (4.111)

sgcgbgagcsbsass vvvvvvvv 3)(3

1)(3

10 −++=++=

Para al rotor se puede realizar la misma operación, teniendo en cuenta,

que este gira con una velocidad ωr respecto el sistema estacionario αβ0. Primero se pasará del sistema abc del rotor al sistema qdo del rotor que gira a la velocidad ωr, y posteriormente al sistema de referencia final estacionario αβ0.


Para realizar el primer paso, como los dos sistemas se mueven a la misma velocidad, se puede volver a aplicar la ecuación 4.25. 1er paso

'''''''

31

31

32

31

31

32

cnbnancrbrarr

dr vvvvvvv −−=−−=

)(2

1)(2

1 '''''bncnbrcr

rqr vvvvv −=−= (4.112)

''''''''0 3)(

31)(

31

rncnbnancrbrarr vvvvvvvv −++=++=

Figura 4.13. Paso de referencia trifásica rotorica a bifásica también rotorica. 2o paso, aplicando la transformación transpuesta de Park, se tiene:

)(sin)(cos ''' tvtvv rr

qrrr

drs

dr θθ −=

)(sin)(cos ''' tvtvv rr

drrr

qrs

qr θθ += (4.113)

donde )0()()(0 r

t

rr dttt θωθ += ∫


Figura 4.14. Pas de referencia móvil, dq0, a estacionaria, αβ0

Las dos transformaciones que se han realizado, se pueden sintetizar, en

la transformación de Blondel.

[ ]

−−−−−−

=

21

21

21


32 θθθ

θθθ

BC

Un vez obtenidas las ecuaciones en el sistema de referencia estacionario

αβ0, se pueden utilizar, juntamente con las tensiones del estator, como "inputs". De esta forma se pueden obtener las corrientes en el estator y en el rotor. Frecuentemente, estas corrientes, suelen ser transformadas al sistema de referencia abc, estacionario y móvil, para posteriores utilizaciones en el modelo. El resultado es el siguiente:

sss

sscs

sss

ssbs

sssas

iiii

iiii

iii

0

0

0

31

21

61

31

21

61

31

32

++−=

+−−=

+=

βα

βα

α

(4.114)

La relación de corriente del rotor, entre el sistema móvil, y el fijo, son las siguientes:


)()(cos

)(cos)('''

'''

tsinitii

titsinii

rs

drrs

qrr

qr

rs

drrs

qrr

dr

θθ

θθ

−=

+= (4.115)

El lector, puede darse cuenta que la notación de las componentes bifásicas en el sistema de referencia estacionario, tanto pueden ser αβ0, como(dqo)s .

Les corrientes retóricas, en componentes trifásicas son:

rr

rr

rrcr

rrr

rrbr

rrrar

iiii

iiii

iii

'0

'''

'0

'''

'0

''

31

21

61

31

21

61

31

32

++−=

+−−=

+=

βα

βα

α

(4.116)

20.3.1.3. Flujos magnéticos.

Para la correcta resolución del problema , se rescriben las ecuaciones tensión, trabajando, ahora, en valor por unidad. Aislando los flujos en los dos ejes. El resultado es el siguiente:

ψ ψ ψqss

b qss r

lsmqs

qssw v

rx

dt= + −

∫ ( )

ψ ψ ψdss

b dss r

lsmds

dssw v

rx

dt= + −

∫ ( ) [Wb/s o V] (4.117)

ix

v i r dtsb

lss s s0 0 0= −∫ϖ

[A]

ψ ψ ψqrs

b qrs r

lrmqs

qrsw v

rx

dt' ''

''( )= + −

∫

ψ ψ ψdrs

b drs r

lrmds

drsw v

rx

dt' ''

''( )= + −

∫ [Wb/s o V] (4.118)

ix

v i r dtsb

lsr r r0 0 0= −∫ϖ ' ' ' [A]


Los flujos magnéticos, en los ejes estacionarios dq0 (αβ0) son: ψmq

sm qs

sqrsx i i= +( )'

ψmd

sm ds

sdrsx i i= +( )'

(4.119)

ψ ψqss

ls qss

mqsx i= + i

xqss qs

smqs

ls=

−ψ ψ

ψ ψdss

ls dss

mdsx i= + i

xdss ds

smds

ls=

−ψ ψ

ψ ψqrs

lr qrs

mqsx i' ' '= + i

xqrs qr

smqs

lr

''

'=−ψ ψ

ψ ψdrs

lr drs

mdsx i' ' '= + i

xdrs dr

smds

lr

''

'=−ψ ψ

donde:

1 1 1 1x x x xM m ls lr

= + + ' (4.120)

ψψ ψ

mqs

Mqss

ls

qrs

lrx

x x= +

'

'

ψψ ψ

mds

Mdss

ls

drs

lrx

x x= +

'

' (4.121)

20.3.1.4. Par electromagnético, Tem.

El par electromecánico, Se puede expresar como ya se indicava en la ecuación 4.104, de la forma:

)(22

3 sds

sqs

sqs

sds

bem iiPT ψψ

ω−= [Nm] (4.122)

La ecuación del par de un motor es::

dampmechemrm TTT

dtd

J −+=ω

[Nm] (4.123)


donde Tem es el par electromagnético suministrado por el motor, Tmech es el par exterior a la máquina, negativo si se trata a la máquina como a motor, o positivo si la trata como a generador, Tdamp es el par de fricción que se opone al movimiento del rotor, y es función de la velocidad. Con las ecuaciones 4.122 y 4.123, la velocidad unitaria, ωr/ωb, se obtiene la siguiente expresión:

dampmechembrb TTT

dtd

PJ

−+=)/(2 ωωω

[Nm] (4.124)

donde rrm Pωω 2

= es la velocidad de salida en una máquina de P polos.

Esta última ecuación la se puede rescribir en términos de inercia

constante ,H, forma mucho más utilizada. Esta constante corresponde al coeficiente entre la energía cinética rotativa y la potencia, esto es:

2

22 422 PSJ

SJ

Hb

b

b

bm ωω== (4.125)

de esta forma la ecuación 4.124, si la dividimos por el par base, bm

bSTb

ω= , se

puede escribir en función de la inercia constante, H,:

dampmechembr TTT

dtd

H −+=)/(

2ωω

[p.u.] (4.126)

20.3.1.5. Saturación magnética. Es evidente que en experimentaciones como estas, donde aparecen corrientes instantáneas de arranque, que pueden llegar a multiplicar por 15, la intensidad nominal de funcionamiento, es obligatorio considerar la saturación de la chapa magnética que forma el motor. Estos efectos se producen, tanto en las bobinas de dispersión, como en las bobinas de inductancia mutua. En este caso, se realizará el tratamiento de la saturación magnética, en el flujo generado en las bobinas de inducción mutua, Xm.

Como se ha comentado, la densidad de campo magnético, B, varia linealmente, con la intensidad de campo magnético, H, según la fórmula:


HB µ= [Teslas] donde H=Ni [Av/m]

Llega un momento, en que el campo magnético experimenta una saturación y ya no varia proporcionalmente con la intensidad magnética. En este caso evoluciona según la siguiente figura:

Figura 4.15. Curva magnética característica.

Por tanto encontramos una relación entre el flujo magnético, y su variación respecto al comportamiento lineal. Encontramos así la relación que

relaciona el flujo magnético real satmψ con el ideal sat

mψ . Esta es, para el eje q es

la siguiente:

satmq

lr

satmq

sqr

ls

satmq

sqs

msmq

smq

satmq xx

x ψ∆ψψψψ

ψ∆ψψ −

−+

−=−= '

'

[Wb/s] (4.127)

Reagrupando los términos, tal como se ha hecho en la ecuación 4.14 se obtiene:

smd

m

Msdr

lr

Msds

ls

Msatmd x

xxx

xx

ψ∆ψψψ −+= '' [Wb/s] (4.128)

Paralelamente para el eje q se tiene:

smq

m

Msqr

lr

Msqs

ls

Msatmq x

xxx

xx

ψ∆ψψψ −+= '' [Wb/s] (4.129)


Figura 4.16. Aproximación de la saturación en componentes qd.

Considerando la proporcionalidad en la saturación de flujo en las componentes q,d, siguiendo la figura 4.5. la siguiente relación:

msatm

satmdsat

md ψ∆ψψ

ψ∆ =

msatm

satmqsat

mq ψ∆ψ

ψψ∆ = (4.130)

el modulo es:

22 )()( satmq

satmd

satm ψψψ += [Wb/s] (4.131)

notar que las componentes homopolares, no se encuentran enlazadas a las ecuaciones magnéticas como ya se había comentado.

20.3.2. Diagrama de bloques de las ecuaciones del motor. En este apartado, se discutirán los bloques creados para la simulación, que permite la resolución de las ecuaciones diferenciales del motor. Dentro de este diagrama de bloques se pueden diferenciar 3 grupos de ecuaciones o bloques:


• bloques de traspase de ejes trifásicos a bifásicos y viceversa. • bloque de tratamiento de flujos magnéticos, incluyendo el efecto de la

saturación magnética.(ecuaciones de tensión) • bloques de potencia.

20.3.2.1. Bloques de cambio de variables.

En estos dos bloques se hace, inicialmente el paso de variables trifásicas abc, a bifásicas estacionarias dq (αβ). Posteriormente se deshace este cambio.

Figura 4.17. Bloques de cambio de variables (igual para el eje d).

20.3.2.2. Bloques de las ecuaciones de flujos.

Permiten resolver las ecuaciones diferenciales de tensión, trabajando con los flujos magnéticos y considerando la saturación magnética. Se pueden diferenciar los bloques de tensión, donde a partir de la tensión en la componente indicada, y la F.E.M. de la otra componente, se encuentran las corrientes del estator y del rotor, como el flujo mutuo de la componente considerada.

Paso seguido, teniendo como a "inputs" las corrientes en las dos

componentes, tanto en el estator como en el rotor, se introduce el efecto de la saturación.

Ec. 4.117

Ec. 4.118

Ec. 4.119

Ec. 4.121

Ec. 4.119


Figura 4.18. Bloques de las ecuaciones de tensión e intensidad.

20.3.2.3. Bloque de la ecuación de par.

Finalmente, aquí con las corrientes del estator, juntamente con los flujos también del estator, juntamente con los parámetros externos del par resistente y el par de fregamiento, se obtiene la velocidad de giro del rotor, por unidad.

Figura 4.19. Bloque de las ecuaciones de par.

Gracias a las opciones que ofrece el programa Matlab/Simulink, se pueden visualizar y plotear cualquiera de los parámetros internos que se han utilizado.

20.4. Construcción del modelo y simulaciones.

En este apartado se describirán las funciones básicas de los programas Matlab/ Simulink, así como el camino seguido para la construcción de los modelos:

20.4.1. Funciones básicas de los programas Matlab/Simulink. El programa Matlab, es un programa que permite realizar cualquier tipo de cálculo numérico, bien con números o bien con vectores. Se puede realizar cualquier tipo de función matemática.

Ec. 4.117Ec. 4.111

Ec. 4.122 Ec. 4.126


Se puede trabajar con variables internas, las cuales quedan almacenadas en el espacio de trabajo, (workspace). Se pueden obtener las señales provinentes de Simulink, para tratarlas como se desee.

Figura 4.20. Pantalla inicial de Matlab.

En el programa Matlab, hay la opción de construir las ordenes, mediante

cualquier procesador de textos y después ejecutarlas dentro de Matlab. Des de Simulink, se pueden llamar a funciones establecidas en el espacio de trabajo de Matlab y ejecutarlas. El programa, Simulink, trabaja en el entorno de Matlab, es a decir con sus variables. El concepto de funcionamiento, de este programa, es el de realizar todas las operaciones con bloques, donde los bloques pueden representar des de una constante a un subsistema de cálculo. Las simulaciones realizadas pueden ser ejecutadas por diferentes sistemas de cálculos numéricos, los cuales se pueden escoger y variar sus parámetros. Los resultados de las simulaciones pueden visualizarse o guardarse de varias maneras: • visualizar durante la simulación, mediante el scope.


• salvarlas al espacio de trabajo, y graficarlas posteriormente des de matlab con la orden plot.

• guardarlas en un fichero.

Figura 4.21. Librería de simulink.

El programa Simulink tiene un multitud de librerías entre las cuales destacan, las de fuentes de señales, las de conexiones, las de tratamiento de variables continuas, por ejemplo.

Figura 4.22. Parámetros de simulación del programa simulink.


A continuación se pasará a describir algunos de los bloques más importantes.

• Bloque Fcn, es un bloque muy versátil, el cual permite realizar cualquier

operación aguantada por Matlab.

Figura 4.23. Interface del bloque Fcn. • Masked bloque, se podría denominar como un bloque de ayuda. Permite

enmascarar bloques, añadiendo dibujos al bloque, y al mismo tiempo evaluar funciones elaboradas en el entorno Matlab.

• Group, esta opción permite, reagrupar varios bloques en uno de sol, el bloque denominado subsystem, el cual tendrá unos inputs y unos outputs, que coincidirán con los de los bloques escondidos.

• también se dispone de los bloques de producto, de suma y de unión, demux y mux.


Figura 4.24. Inteface Masked Block.

20.4.2. Construcción del modelo.

El modelo, en el cual se realiza la simulación, se puede dividir en tres bloques o partes importantes, exceptuando los bloques para extraer señales y el masked bloque. Estas partes son: • bloques de transformación de variables trifásicas a bifásicas y viceversa,

son los bloques abc2qd0 y qd02abc. • bloque de tensión, Daxis/Qaxis/satmag, donde se consideran los flujos

magnéticos, las resistencias de los bobinados y los efectos de la saturación de la chapa.

• bloque de potencia, Rotor, donde se introducen los posibles pares resistentes, los fregamientos y la inercia del sistema. A continuación se pasa a describir más detalladamente el modelo (ver anexo A):

Inicialmente se introduce la señal de un reloj, clock, que irá controlando toda

la simulación. Esta señal pasará por un bloque constate, donde a la salida del cual se obtendrá la frecuencia angular del motor. Esta señal se hará entrar en los bloques de Fcn, Fcn1, Fcn2, donde se obtendrá la alimentación en tensión del motor. Entonces se estará en disposición de pasar a las variables qd0, mediante la ecuación 4.111.


Figura 4.25. Bloque abc2qd0

Las salidas de este bloque van a parar al bloque de flujos magnéticos

DaxisQaxis/satmag y al bloque que transforma la tensión homopolar en intensidad.

Figura 4.26. Bloque de la secuencia cero.

En este bloque se calcula la intensidad de la secuencia cero, partiendo de una componente capacitiva de la impedancia de fuga y de la resistencia. El bloque de flujos magnéticos se basa en las ecuaciones 4.117 a 4.121 para calcular las intensidades partiendo de los flujos magnéticos y posteriormente aplica las ecuaciones de la 4.127 a la 4.132 para aplicar el efecto de la

1

out_i0s

wb/xls

wb/xls

rs

rs

Sum

s

1

Integrator

1

in_v0s


saturación magnética. Para tal efecto el que se utiliza es el bloque denominado, look up table, un bloque que relaciona los bloques de salida con los de entrada mediante una gráfica. En esta gráfica, en el caso en estudio relaciona la saturación del flujo magnético en función del mismo flujo. Los materiales utilizados en la simulación, como sus curvas se encuentran en los anexos del proyecto. Ver anexo destinado al modelo y a las simulaciones. En el bloque del rotor, se obtienen el par electromagnético y la velocidad del rotor por unidad. Para conseguirlo, a los inputs de este bloque se debe aplicar las ecuaciones 4.122 a 4.126. En este bloque, Domega es el coeficiente de fregamiento. Al trabajar en vacío, no se considera par resistente.

Figura 4.27. Bloque rotor.

Finalmente, las corrientes obtenidas en este modelo, en un bloque semejante al abc2dq0, se obtienen las corrientes en el rotor y en el estator.

Tdamp

2

out_wr/wb

1

out_Tem

Tfactor*(u[1]*u[2]-u[3]*u[4])

Tem_

Taccl

Mux

MuxDomega

Dampingcoefficient

s

1

1/s

1/(2*H)

1/2H

5

in_Tmech

4

in_ids

3

in_psiqs

2

in_iqs

1

in_psids


Figura 4.28 . Bloque qd02abc Algunas señales interesantes pueden ser captadas durante la simulación

y visualizadas, después de tratar la señal, como puede ser, con un bloque rms, devuelve el valor eficaz del input.

20.4.3. Inicialización de los parámetros. Antes de iniciar cada simulación, se debe inicializar los parámetros. Esta opción se hará mediante el bloque inicializa y obtención de gráficas, que evalúa los parámetros del motor, utilizando una función desarrollada en el editor de textos de matlab. Una vez inicializados los parámetros, ya se puede iniciar la simulación. (ver anexos de las simulaciones).

3

out_ics

2

out_ibs

1

out_ias

Mux

Mux

-1/sqrt(6)*((u[1]-sqrt(3)*u[2]) + u[3]/sqrt(3)

Fcn2

-(1/sqrt(6))*(u[1]+sqrt(3)*u[2])+u[3]/sqrt(3)

Fcn1

sqrt(2/3)u[1] +(1/sqrt(3))*u[3]

Fcn

3

in_i0s

2

in_ids

1

in_iqs

curva motores electricos

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