curva de capacidad

7/25/2019 Curva de Capacidad

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COMPORTAMIENTO INELSTICO DE ESTRUCTURAS SOMETIDAS ADESPLAZAMIENTO LATERAL

Ensayo de desplazamiento incremental y Curva de Capacidad

El ensayo de desplazamiento incremental consiste en incrementarpaulatinamente el desplazamiento de algn punto de una estructura (x)mediante una fuerza lateral (F) hasta que se produzca su deterioro severo ocolapso. Mientras se realiza el ensayo se van registrando los valores dedesplazamiento y fuerza. El grfico x vs F se conoce como Curva deCapacidad de la estructura.

Comportamiento de Elementos con carga Axial

Una barra de longitud L, seccin transversal constante (rea A) tiene unextremo fijo y otro libre. El extremo libre tiene un desplazamiento en elinstante en que se aplica una fuerza F.

El desplazamiento es el resultado de la deformacin en la barra y por tanto:

dx

L

=0

Si la deformacin unitaria a lo largo de la barra es constante, entonces

===LL

Ldxdx

00

/ Pontificia Universidad Catlica del Per. / Ing. Civil. /Anlisis Estructural 2/ A. Muoz/2010/Pg. 1


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La figura muestra el diagrama del material del que est hecha la barra.

Usando la relacin es posible establecer la curva Fpara la barra, comose muestra a continuacin.

Para cada valor de i es posible determinar en el diagrama el esfuerzo i

correspondiente y determinar as la fuerza F como Fi= iA

Finalmente, con los valores iy Fise puede construir la curva F, que para elcaso de una barra de seccin constante, sera Fi= iA y i= iL



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Comportamiento de Elementos en Flexin

La figura muestra una viga sometida a flexin de la cual se toma una elementopequeo (diferencial) entre dos secciones transversales separadas unadistancia dx.

En cada una de las fibras paralelas al eje del elemento diferencial aparecendeformaciones lineales, como se muestran en la figura, las fibras por debajode la fibra neutra se alargan, mientras que las que se ubican por encima de

este eje se acortan. Como resultado de esta distribucin de deformaciones,las secciones transversales se inclinan formando un ngulo d, al que lecorresponde un radio medido a la fibra neutra. El cociente d/dx sedenomina curvatura y se representa como = d/ dx

Se puede demostrar que las deformaciones unitarias en cada una de las fibrasvaran linealmente con la distancia y al eje neutro de la seccin transversalcomo = - y/. La figura muestra esta distribucin.



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A cada valor de deformacin i corresponde un esfuerzo i segn la curva

del material.

Por tanto, la distribucin de esfuerzos en la seccin se puede obtener

asociando a cada valor de el valor del esfuerzo correspondiente. La figuramuestra un caso en el cual en algunas zonas de la seccin los esfuerzosexceden el rango elstico.

Con este diagrama de esfuerzos se puede obtener por integracin el MomentoFlector como:

=M y)dA(Luego, para cada valor del ngulo dse puede encontrar el momento M que lo

acompaa, y por tanto, siempre es posible construir el diagrama M-d, como elmostrado en al figura.



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Rtulas Inelsticas.

En algunos elementos y bajo ciertas solicitaciones, el comportamientoinelstico se localiza en una zona pequea mientras el resto de la estructura semantiene elstica. La figura muestra el caso de una columna de concreto en

voladizo (de longitud H), sometida a una carga transversal F en su extremolibre, donde la zona en comportamiento inelstico tiene una pequea longituds.

En la zona en comportamiento inelstico la curvatura es variable y por tanto, elgiro de la seccin en el extremo de la zona inelstica, , se calcula integrando

la curvatura en toda la longitud s:

==s s

ddx0 0

Se puede modelar la zona en rgimen inelstico usando una longitudequivalente, menor que s, denominada longitud de rtula plstica (lp). Enesta longitud lp, se supone que tanto el momento flector como la curvatura semantienen constantes.



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Usando este modelo, para cada valor de curvatura podemos establecer el

momento flector asociado y tambin el giro de la rtula, como

==== pldxdx Giro

Por tanto, para aplicaciones sencillas, se puede representar el comportamientode la zona inelstica de un elemento, mediante el diagrama momento-giro(M-) de la rtula.

Comportamiento inelstico de una Estructura

Una manera sencilla de modelar una estructura cuyos elementos incursionen

en el rgimen inelstico, consiste en representar el comportamiento inelsticomediante rtulas ubicadas en aquellas zonas en las que se prev la ocurrenciade dao. La figura muestra el modelo de un prtico plano con la ubicacin dealgunas rtulas potenciales.



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Ejemplo 01

La figura muestra una columna de concreto armado (E= 2.2 x 106 Ton/m2)empotrada en su base (seccin de 30x30cm). El comportamiento de la base

de la columna se representa mediante una rtula cuyo diagrama Momento vs.Giro se muestra.Obtenga la curva de capacidad correspondiente a un desplazamiento en laparte superior.

Modelo de la estructura:

Resistencia, Sobrerresistencia y ductilidad dela Rtula

My = 7.2 Ton-m

= 1.0

= 8.07/2.16 = 3.74

Curva de Capacidad

Para la columna: ( ) 246 14853.012

1102.2 mTon== EI



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Etapa elstica:

3EI

Fh

3

=

Fin de la etapa elstica, punto 1:

M = My= 7.2 Ton-m Fy= 2.06 Ton

000

1 5.66350

1.98

h:Derivacm1.98

3EI=

hF

3y

==== y

y

Etapa Inelstica:

El momento en la base es constante

Se produce el giro inelstico de la rtula

yrotin

inin h

=

=



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Fin de la Etapa Inelstica: Rotura de la rtula, Punto 2

000

)(2

3

(max))(

6.11/

05.407.298.1

07.23501091.5

===+===

===

hDeriva

cm

cmh

TOTAL

ROTURAmxTOTAL

inmxin

Curva de Capacidad

Resistencia= Fy= 2.06 Ton

= 1.0

= 4.05/1.98 = 2.05



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Ejemplo 02

La figura muestra una columna de concreto armado (E= 2.2 x 106 Ton/m

2)

empotrada en su base (seccin de 30x30cm). El comportamiento de la basede la columna se representa mediante una rtula cuyo diagrama Momento vs.Giro se muestra. Obtenga la curva de capacidad correspondiente a undesplazamiento en la parte superior.


Resistencia, Sobrerresistencia y ductilidad dela Rtula

My = 7.2 Ton-m

= 8.34/7.2 = 1.16

= 8.07/2.16 = 3.74

Curva de Capacidad

Para la columna: ( ) 246 14853.012

1102.2 mTon== EI



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Etapa elstica:

3EIFh

3

=


M = My= 7.2 Ton-m Fy= 2.06 Ton

000

13E

== 5.66350

1.98

h:Derivacm1.98

I

hF 3y===

yy

Etapa Inelstica:

Se produce el giro inelstico

El momento an puede crecer La fuerza F an puede incrementarse Como F incrementa, se incrementan tambin los momentos

flectores en toda la altura y por tanto la parte elstica delmodelo se sigue deformando.



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Incremento de Fuerza:

Fmx= 2.38 Ton

F = 2.38 2.06 = 0.32 Ton

Incremento de Desplazamiento:

1= Parte elstica debido a F2= Parte inelstica por giro

inelstico

000

211

32

1

512

364

07235010915

3080

.

.

..

.3EI

hF

(max)

3

=

=

=++==

===

=

=

hDeriva

cmxxx

h

cm

TOTAL

yTOTAL

in

Curva de Capacidad

Resistencia= F = 2.06 Ton = 2.38/2.06 = 1.16

= 4.36/1.98 = 2.2



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Ejemplo 03

La figura muestra la planta de una estructura de concreto (E= 2.2 x 106Ton/m

2) de un piso con dos tipos de columnas. El comportamiento de la base

de las columnas se representa mediante rtulas cuyos diagramas Momento vs.Giro se muestran. Obtenga la curva de capacidad correspondiente a undesplazamiento en la parte superior.


Resistencia, Sobrerresistencia y ductilidad de la Rtula

Columna C-1 Columna C-2

My = 7.2 Ton-m My = 4.98 Ton-m

= 1.0 = 1.0

= 8.07/2.16 = 3.74 = 10.85/1.953 = 5.56



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Curva de Capacidad

Para la columna C-1 y C-2: ( ) 246 14853.012

1102.2 mTon== EI

Etapa elstica:

12

hF

2

h

6

F =


Columnas igualmente esforzadas Columnas C-2 alcanzan primero My

17.074TonF12

Fh4.98 ===yM

Una columna

cmxx y 68501 .==

cmcol

col

68501

1

.FEI

Ton2.846F

3

=

=

CC 1212

h==

Etapa Inelstica:



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Luego de la formacin de rtulas en C-2 , la estructura quedacomo:

Entonces al aplicar un F adicional puede suceder:

(a) Que las columnas C-1 se rotulen mientras las columnas C-2

siguen deformndose sin llegar a la rotura o que

(b) Las columnas C-1 sigan elsticas y que las C-2 lleguen a sugiro de rotura.

Supondremos que (a) es verdadero

2.537TonF4

hF2.22

m-Ton4.98-7.2My 1C

==

== 22.2

32

12

1

108720

350

3050

3050

==

==

=

..

2-CdeinelsticoGiro

.F12EI

h

Ton1.269F

)(

3

Cin

col

col

cm

C-1 tiene una capacidad disponible a flexin de

Veamos la evolucin de la rtula:

4

hF

2

h

2

FM

= =



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S sucedi (a) y hemos encontrado otro punto de la Curva deCapacidad.

A partir del inicio de la rtula en C-1 la estructura queda como:

Y cada elemento ya no puede incrementar sus fuerzas internasy por tanto ya no puede haber mas incrementos de la fuerzaexterior; sin embargo el desplazamiento lateral an puede crecer

ya que las rtulas an tienen los remanentes de giro inelsticosiguientes:



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Columna C-1: Giro inelstico intactoin= (8.07-2.16)x10

-3=5.91x10

-3

Columna C-2 Giro inelstico parcial disponible

in remanente= (10.85-2.825)x10-3

=8.03x10-3

Demos ahora un desplazamiento adicional sin fuerza adicional

Este desplazamiento adicional producir giros inelsticosadicionales:

h

3=inel en todas las columnas

Como el mnimo disponible es de C-1:

cm069.2350

33 =

= 105.91 -3

Es decir para este 3 las columnas C-1 llegan a la rotura,

mientras que las C-2 an conservan un remanente inelstico.

Xrotura= 0.99+2.069=3.06cm

Finalmente la Curva de capacidad de la estructura sera:

Curva de Capacidad

Resistencia= F = 17.07Ton = 19.61/17.07 = 1.15

= 3.05/0.69 = 4.43



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La figura muestra la planta de una estructura de concreto (E= 2.2 x 106Ton/m

2) de un piso con dos tipos de columnas El comportamiento de la base

de las columnas se representa mediante rtulas cuyos diagramas Momento vs.Giro se muestran. Obtenga la curva de capacidad correspondiente a undesplazamiento en la parte superior.

Ejemplo 04

Curva de Capacidad

Para la columna C-1 y C-2: ( ) 246 14853.012

1102.2 mTon== EI

Se obtiene la siguiente curva de capacidad

Resistencia = F = 17.07 Ton = 21.48/17.07 = 1.26

= 3.22/0.69 = 4.67

/ P tifi i U i id d C tli d l P / I Ci il /A li i E t t l 2/ A M /2010/P 18

curva de capacidad

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