curso: matemática intermedia i semestre: segundo cÓdigo...
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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CLAVE-107-2-M-2-00-2012
CURSO: Matemática Intermedia I
SEMESTRE: Segundo
CÓDIGO DEL CURSO: 107
TIPO DE EXAMEN: Segundo Parcial
FECHA DE EXAMEN: Segundo Semestre 2012
NOMBRE DE LA PERSONA QUE
RESOLVIÓ EL EXAMEN: Elda Magally Calderón Motta
NOMBRE DE LA PERSONA QUE
REVISÓ EL EXAMEN: Lic. Francisco de la Rosa
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS ESCUELA DE CIENCIAS
FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
MATEMATICA INTERMEDIA 1 SEGUNDO PARCIAL 2do semestre 2012
TEMARIO A
TEMA 1 (21 PUNTOS)
a) Determine si las integrales convergen o divergen
i. ∫
ii. ∫
(7 puntos c/u)
b) Encuentre un valor aproximado de ∫
utilizando la re
c) gla de Simpson con n=4 (redondee a 3 cifras decimales). (7 puntos)
TEMA 2 (12 PUNTOS) Una compuerta vertical en un canal de irrigación tiene forma de una región acotada por una
parábola en su parte inferior, el canal no está lleno como se aprecia en la figura. Plantee la
integral de la fuerza hidrostática sobre la compuerta. (Densidad de peso del agua 62.5 lb/pie3).
TEMA 3 (14 PUNTOS)
i. Plantee la integral del área superficial, de la superficie generada al girar la curva dad alrededor
del eje x. (6 puntos)
ii. Plantee la integral del momento respecto al eje x (Mx) de la lámina de densidad uniforme
acotada por las gráficas de:
(8 puntos)
4 pies
3 pies
4 pies
Parábola
TEMA 4 (8 PUNTOS) a) Encuentre las coordenadas polares del punto (-1,-2) dado en coordenadas cartesianas. (4 pts.)
b) Determine otros dos pares de coordenadas polares, uno con r < 0 y otro con r > 0 para el punto
dado en coordenadas polares (2, π/3). (4 pts.)
TEMA 5 (27 PUNTOS)
a) Plantee la integral del área de la región dentro de
y fuera de
(trace la gráfica de la región identificando las curvas y los puntos de intersección). (15 pts.)
b) Plantee la integral de la longitud de arco de la gráfica de la segunda ecuación que es exterior a
la primera ecuación. (5 pts.)
Hallar una ecuación polar de una cónica con un foco en el polo, excentricidad 2 y directriz x = 1, luego trace la curva mostrando los elementos más importantes. (7 pts.)
TEMA 6 (18 PUNTOS) a) Describa el movimiento de una partícula cuya posición es (x, y), cuando t varía en el intervalo
dado: & . (8 pts.)
b) Plantee la integral de longitud de arco de la curva dad por & . (5 pts)
Plantee la integral de área de la superficie generada al hacer girar la curva dad por & respecto al eje x. (5 pts.)
SOLUCIÓN DEL EXAMEN
TEMA 1
a) Determine si las integrales convergen o divergen
Solución:
i. ∫
Integración impropia:
∫
∫
Resolviendo la integral por medio de sustitución:
∫
∫
⁄
⁄
∫
[
⁄ ]
∫
[ ⁄ ⁄ ]
∫
⁄
⁄
∫𝒆𝒙
𝒆𝒙 𝟏 𝟏𝟑
𝒅𝒙𝟏
𝟎
𝟑
𝟐 𝒆 𝟏 𝟐 𝟑⁄ 𝑪𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆
ii. ∫
Integración impropia por límite al infinito:
∫
∫
Resolviendo la integral por medio de la forma básica:
∫
∫
∫
[
]
∫
[
]
∫
[
]
∫𝟑𝒅𝒙
𝟐𝟓 𝒙𝟐
𝟎
𝟑
𝟏𝟎𝝅 𝑪𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆
b) Encuentre un valor aproximado de ∫
utilizando la regla de
Simpson con n=4 (redondee a 3 cifras decimales) Solución:
Regla de Simpson con n = 4:
∫
[ ]
Dónde:
n xn f(xn)
0
0.577
1
0.767
2
1
3
1.303
4
1.732
∫
[ ]
𝑰𝑺 ∫ 𝐭𝐚𝐧𝒙𝒅𝒙
𝝅𝟑
𝝅𝟔
𝟎 𝟓𝟒𝟗
TEMA 2 Una compuerta vertical en un canal de irrigación tiene forma de una región
acotada por una parábola en su parte inferior, el canal no está lleno como se
aprecia en la figura. Plantee la integral de la fuerza hidrostática sobre la
compuerta. (Densidad de peso del agua 62.5 lb/pie3).
Solución:
Colocando el origen del sistema de coordenadas en el vértice de la parábola
Ecuación general de una parábola con vértice en el origen:
Sustituyendo el punto (2,4) para encontrar la constante “a” de la ecuación:
Ecuación de la parábola:
Fuerza Hidrostática:
∫
(2,4)
x
y
(0,0)
dy
x x h
y
3 pies
Dónde:
De la ecuación de la parábola: √
√
Planteando la integral de la fuerza hidrostática sobre la compuerta:
∫
√
𝐅𝑯 𝟏𝟐𝟓∫ 𝟑 𝒚 𝟑
𝟎√𝒚 𝒅𝒚
TEMA 3 i. Plantee la integral del área superficial, de la superficie generada al girar la curva
dad alrededor del eje x.
Solución:
Planteando la integral del área superficial:
∫
√ (
)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
2
1
1
𝑦 𝑥
𝑨𝑺 𝟐𝝅∫ 𝐥𝐧 𝒙𝒆
𝟏
√𝟏 𝟏
𝒙𝟐𝒅𝒙
ii. Plantee la integral del momento respecto al eje x (Mx) de la lámina de densidad
uniforme acotada por las gráficas de:
Solución:
Planteando la integral del momento respecto al eje x:
∫ [ ]
𝑦 𝑥
𝑦 𝑥
𝐌𝐱 𝝆
𝟐∫ 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 𝒅𝒙𝝅 𝟒
𝟎
TEMA 4
a) Encuentre las coordenadas polares del punto (-1,-2) dado en coordenadas
cartesianas.
Solución:
√
√𝟓,𝟒 𝟐𝟓
(-1, -2)
𝜃
𝜃
b) Determine otros dos pares de coordenadas polares, uno con r < 0 y otro con
r > 0 para el punto dado en coordenadas polares (2, π/3).
Solución:
Con r < 0
Con r > 0
,𝜋
𝟐,𝟒𝝅
𝟑
𝟐,𝟕𝝅
𝟑
TEMA 5
a) Plantee la integral del área de la región dentro de
y fuera de
(trace la gráfica de la región identificando las curvas y los
puntos de intersección).
Solución:
Identificando las curvas:
e = 1/2 Elipse con uno de sus focos en el polo Directriz y = ½
a / b = 1 Cardiode con simetría respecto al eje π/2
Encontrando los puntos de intersección:
√
√
√
√
No tiene solución
Puntos de intersección:
,
,
Planteando el área de la región dentro de la primera curva y fuera de la segunda
∫ [
]
1.0 0.5 0.5 1.0
2.0
1.5
1.0
0.5
P1 P2
𝑟
𝜃
𝑟 𝜃
𝑨 𝟏
𝟐∫ (
𝟏
𝟐 𝐬𝐢𝐧𝜽)𝟐
𝟏 𝐬𝐢𝐧𝜽 𝟐 𝟐 𝟒𝟕𝟓
𝟎 𝟔𝟔𝟔
𝒅𝜽
b) Plantee la integral de la longitud de arco de la gráfica de la segunda ecuación
que es exterior a la primera ecuación.
Solución:
∫ √ (
)
∫ √
∫ √
c) Hallar una ecuación polar de una cónica con un foco en el polo, excentricidad 2
y directriz x = 1, luego trace la curva mostrando los elementos más importantes.
Solución:
e = 2 d = 1
𝑳 𝟐∫ √𝟐 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝜽𝟑𝝅 𝟐
𝟐 𝟒𝟕𝟓
𝒅𝜽
𝒓 𝟐
𝟏 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝜽
Vn θ r
1 0 2 / 3
2 π -2
√ √
√
1 1 2 3 4
2
1
1
2
3
2a
V2 V1
TEMA 6 a) Describa el movimiento de una partícula cuya posición es (x, y), cuando t varía
en el intervalo dado: & .
Solución:
t (x, y)
0 (1, 3)
π/2 (0, 1)
Π (-1, 3)
3π/2 (0, 1)
2π (1, 3)
La partícula se desplaza sobre la curva descrita por la parábola
empezando en el punto (1,3) hasta llegar al punto (-1,3), al llegar a este punto
emprende regreso hasta llegar al punto (1, 3) de nuevo.
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
b) Plantee la integral de longitud de arco de la curva dad por &
.
∫ √(
)
(
)
∫ √
c) Plantee la integral de área de la superficie generada al hacer girar la curva dad
por & respecto al eje x.
∫ √(
)
(
)
∫ √
𝐿 ∫ √ 𝑡 𝑡𝜋
𝑑𝑡
𝐴𝑆 𝜋∫ 𝑡√ 𝑡 𝑡𝜋
𝑑𝑡