curso de presforzado

MAESTRÍA EN INGENIERÍA ESTRUCTURAL

UNITEC

CURSO

HORMIGÓN PRESFORZADO

MAESTRO

DR. JOAQUÍN E. TORRE M.

____________________________________________________________________________________ Curso de Hormigón presforzado Maestría en Ingeniería estructural i Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC

DATOS GENERALES DEL CURSO:

OBJETIVOS:

• Utilizar los métodos para la solución de los problemas relacionados con la revisión de elementos estructurales presforzados a partir de las ecuaciones físicas, de equilibrio y de compatibilidad.

• Comprender los aspectos generales del comportamiento del hormigón estructural con presfuerzo como vía para la interpretación de la hipótesis básica de diseño de elementos estructurales en cualquier normativa.

• Comprensión y seguimiento de la normativa hondureña.

Tiempo de clases = 40 horas

EVALUACIÓN:

1. Examen escrito #1……………. 65% 2. Tareas………………………………. 30% 3. Participación……………………. 5%

BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

• Nilson, Arthur (1990) Diseño de estructuras de concreto presforzado 1ª ed. Edit. LIMUSA, México.

• Comité Técnico (2008) Código Hondureño de la Construcción Colegio de Ingenieros Civiles de Honduras, Tegucigalpa, Honduras

• Precast/Prestressed Concrete Institute (1992) PCI Design Handbook 4ta edición, Chicago, Illinois, U. S. A.

• Post‐Tensioning Institute (2006) Post‐tensioning Manual 6ta edición, Arizona, U.S.A.

____________________________________________________________________________________ Curso de Hormigón presforzado Maestría en Ingeniería estructural ii Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC

CONTENIDO E ÍNDICE INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………………………………………………… 1 ANTECEDENTES.………………………………………………………………………………………………………………………. 2 CONCEPTOS BÁSICOS……………………….……………………………………………………………………………………… 3 ESTIMACIÓN DE LAS PÉRDIDAS…….….……………………………………………………………………………………… 5 Deslizamiento del anclaje………….………………………………………………………………………………... 5 Acortamiento elástico…..………………….…………………………………………………………………………. 6 Fricción………………………………………….……………………………………………………………………………. 7 Contracción del hormigón………………………………..…………………………………………………………. 9 Flujo plástico del hormigón………………….……………………………………………………………………... 9 Relajamiento final del acero………………….……..……………………………………………………………… 10 Suma de las pérdidas……..………..………………………………………………………………………………….. 10 FLEXIÓN……………………………………………………………….………………………………………………………………….. 14

Presfuerzo inicial…………………………………………………………………………………………………………. 14 Presfuerzo inicial más el peso propio.…………………………………………………………………………. 14 Presfuerzo inicial más la totalidad de la carga permanente…………………………………………. 15 Presfuerzo efectivo.……………………………………………………………………………………………………. 15 Carga última………………………………………………………………………………………………………………… 15 Secciones no agrietadas………………………………………………………………………………………………. 15

Límites de los esfuerzos………………………………………………………………………………….. 15 Secciones agrietadas. Resistencia a la flexión………………………………………………………………. 15

Límites del refuerzo…………………………………………………………………………………………. 25 Diseño a la flexión basado en el balance de carga……………………………………………………….. 26

ESFUERZOS DE ADHERENCIA, LONGITUD DE TRANSFERENCIA Y LONGITUD DE DESARROLLO.... 29 ZONAS DE ANCLAJE…………………………………………………….……………………………………………………………. 30 CORTANTE……………………………………………………………………………………………………………………………….. 35

____________________________________________________________________________________ Curso de Hormigón presforzado Maestría en Ingeniería estructural 1 Dr. Joaquín E. Torre M. ‐ UNITEC

INTRODUCCIÓN Este documento es la guía del curso “Hormigón presforzado” que se imparte en el programa de Maestría en ingeniería estructural en UNITEC. Contiene todos los temas del sílabo de la asignatura y es en sí, en el orden en que se presenta en el documento, el mismo orden en que servirá la asignatura por parte del catedrático. La asignatura tiene por objetivo general, que el estudiante adquiera completa comprensión sobre el comportamiento del hormigón con presfuerzo en los diferentes tipos de miembros que componen una estructura y las normativas vigentes respecto a las consideraciones que deben de observarse en el proyecto de estructuras de hormigón, tomando como casos de estudio y discusión, estructuras reales, incluso, las existentes en el medio, de manera que puedan ser apreciadas y discutidas sobre la observación de detalles y configuración estructural teniendo a la vista la estructura real. Se pretende a lo largo de la asignatura, que el estudiante, en la medida en que comprenda el contenido de este curso, sea capaz de desarrollar los algoritmos para sistematizar el análisis y el proceso de diseño de miembros de hormigón presforzado y a la vez que comprenda las restricciones y recomendaciones de la normativa vigente y los textos más reconocidos respecto del tema. La metodología a seguir, será, primeramente estudiar la mecánica de los miembros de hormigón en los puntos fundamentales (Flexión, cortante, carga axial) y luego, por medio de ejemplos, desarrollar para diferentes tipos de miembros (vigas, losas, columnas, muros, etc) el diseño observando la normativa del Código Hondureño de la Construcción (CHOC‐2008), para lo que el estudiante deberá ir dando seguimiento a esta norma en lo procedente. El curso está diseñado para ser impartido en 40 horas y para que la cátedra sea magistral, permitiendo la interacción con los estudiantes entre tema y tema por medio de ejercicios y discusiones en clase. Por otro lado, y con el espíritu de afianzar los conocimientos, se han programado tareas, las cuales forman parte de la evaluación que el estudiante recibirá. Estas tareas deberán ser presentadas por el estudiante para discusión con sus compañeros de aula y el catedrático.


ANTECEDENTES Aunque la primera proposición para aplicar el presforzado al hormigón se hizo desde 1886 en los Estados Unidos, no fue sino hasta los años treinta que, como resultado de los estudios del renombrado ingeniero Eugene Freyssinet, el hormigón presforzado llegó a ser una realidad práctica.

El presforzado puede definirse en términos generales como el precargado de una estructura, antes de la aplicación de las cargas de diseño requeridas, hecho de forma tal que mejore su comportamiento general. El concepto original del hormigón presforzado consistió en introducir en vigas suficiente compresión axial para que se eliminaran en el miembro cargado, todos los posibles esfuerzos de tracción que obraran en el hormigón, sin embargo, a medida que se ha desarrollado el conocimiento de esta forma de construcción, se ha visto que esta concepción es innecesariamente restrictiva y en la práctica actual de diseño se permite que haya esfuerzos de tracción en el hormigón y hasta cierto agrietamiento limitado.

Las notables mejoras que podían obtenerse en el comportamiento de las estructuras de hormigón mediante el uso del presforzado, fueron reconocidas por primera vez por el ingeniero francés Eugene Freyssinet y sus estudios acerca de los efectos dependientes del tiempo, de la contracción y el flujo plástico del hormigón, que inició desde 1911, le llevaron a comprender la importancia de usar acero sometido a un alto esfuerzo inicial para presforzar miembros de hormigón. En 1940 introdujo un sistema de presforzado usando cables de alta resistencia anclados con cuñas de gran calidad práctica que a la fecha siguen siendo utilizados.

El presforzado se ha utilizado con gran ventaja en una amplia variedad de situaciones y en la actualidad, este tipo de solución goza de gran popularidad en todo el planeta. Se presta mucho para la prefabricación y en Honduras, si bien en cierto ha sido utilizado mayormente para resolver estructuras de gran envergadura como los puentes, en la actualidad ya se han construido varios edificios de buen número de pisos con losas presforzadas.


CONCEPTOS BÁSICOS Se pueden ilustrar muchas características importantes del presforzado por medio de un simple ejemplo: Considérese una viga simplemente apoyada, sin presfuerzo y sin refuerzo y con una carga puntual W en el centro del claro, como la mostrada en la figura 1, despreciando su peso, supóngase que la carga W se aplica gradualmente y conforme se haga esa aplicación se inducirán esfuerzos longitudinales de flexión. Suponiendo que el hormigón se esfuerza solamente dentro de la etapa elástica, la distribución de esfuerzos al centro del claro será lineal como se aprecia en el diagrama de esfuerzos mostrado al lado de la viga.

Figura 1

A una carga relativamente baja, el esfuerzo de tensión que se origina en el hormigón en la fibra inferior de la viga, alcanzará el valor de la resistencia del material a la tracción y se formará una grieta y como no existe ninguna restricción contra la extensión de la grieta, esta crecerá hasta hacer fallar a la viga totalmente y colapsará aún sin aumentar la carga.

Supóngase ahora, que a la misma viga se le aplica una fuerza axial longitudinal P como se muestra en la figura 2, entonces:

Figura 2

, donde A es el área de la sección transversal del hormigón. La fuerza P puede ajustarse en su

magnitud de manera tal que al aplicar la carga W el resultado de los esfuerzos en la fibra inferior sea nulo. Los esfuerzos finales como consecuencia de la aplicación de la carga W y del presfuerzo P pueden encontrarse por superposición de los diagramas de esfuerzo de cada una de las cargas como se muestra en los diagramas al lado de la viga de la figura 2.

Supongamos ahora, que a la misma viga se le aplica el doble de la carga, o sea, 2W, y que la fuerza de presfuerzo se aplica en forma excéntrica como se muestra en la figura 3. La aplicación de la fuerza P se hace en un punto tal que los esfuerzos en la fibra superior de la viga, debido a esa misma carga, sean cero. Aplicando la superposición de los diagramas de esfuerzos, que también se muestran al lado de la viga de la figura 3, puede notarse que el resultado es el mismo obtenido en el caso anterior pero con el


doble de la carga externa, son lo que queda demostrado el beneficio del presfuerzo que se traduce en un aumento de la capacidad del miembro.

Figura 3

Los primeros diseñadores de hormigón presforzado dirigieron sus esfuerzos a la eliminación completa de los esfuerzos de tracción en los miembros sujetos a cargas de servicio normales, lo que se define como “presfuerzo total” o “presfuerzo completo”. A medida que se ha obtenido experiencia con la construcción de este tipo de soluciones, se ha llegado a identificar que hay una solución intermedia entre el hormigón completamente presforzado y el hormigón reforzado ordinario que ofrece muchas ventajas a la que se ha dado en llamar “Presfuerzo parcial”, la cual permite una cantidad controlada de tracción en el hormigón con la carga plena de servicio.

Otro de los grandes beneficios del presfuerzo, es el control de agrietamiento, que puede ser claramente entendido a partir del estudio de los casos anteriormente explorados, así como el control de deflexiones, por otro lado, cuando la viga es continua, en los escenarios de sismo el presfuerzo debe de estudiarse con mucho detenimiento pues en algunos instantes durante el evento, esta fuerza de presfuerzo puede sumarse a los efectos del evento en detrimento de la capacidad de la viga.

El presfuerzo por lo general se logra por medio de cables de alta resistencia que son tensados por medio de gatas fabricadas al efecto. Los cables que son usados para el presforzado responden a normas, y el reglamento de las construcciones de Honduras CHOC‐2008 invoca las normas ASTM.

El presforzado se conoce de dos formas: Pretensado y postensado, entendiéndose el primero como el resultado de tensar los cables o barras de presfuerzo antes del colado de la viga que se presforzará y el segundo, como el resultado de tensar los cables o barras de presfuerzo, posteriormente al colado de la viga. El primero de logra en bancadas en las que es posible tender los cables y aplicarles la tensión especificada para posteriormente hacer el vaciado de hormigón en la forma, que cuando este alcance la resistencia especificada a la compresión, los cables se soltarán de la bancada aplicando así el presfuerzo, mientras que el postensado se logra dejando en la viga ductos en la posición especificada de acuerdo al diseño de la sección por donde se enhebrarán los cables que una vez que el hormigón alcance la resistencia mínima especificada, podrán ser tensados.

En el caso de miembros postensados, en virtud de que estos se construyen dejando el ducto dentro del miembro y que los cables que estarán en el ducto son tensados posteriormente al vaciado del hormigón en la forma, para asegurar el anclaje y consecuentemente la correcta aplicación del presfuerzo a la sección, se usan dispositivos de anclaje especiales. Existen varios fabricantes de estos dispositivos y estos pueden ser adquiridos para varios cables por tendón.


ESTIMACIÓN DE LAS PÉRDIDAS: La falta de éxito en los primeros intentos por presforzar el hormigón se debieron a la falla en la estimación de las pérdidas inevitables de la fuerza de presfuerzo. Las pérdidas en la fuerza de presfuerzo se pueden agrupar en 2 categorías: aquellas que ocurren inmediatamente durante la construcción del miembro y aquellas que ocurren a través de un extenso período de tiempo. La fuerza que se le aplica al acero de presfuerzo por medio del gato , pueden reducirse

inmediatamente debido a las pérdidas por fricción, deslizamiento del anclaje y el acortamiento elástico del hormigón comprimido y a esa fuerza se le ha denominado fuerza pretensora inicial o presfuerzo inicial. A medida que transcurre el tiempo la fuerza se reduce más gradualmente, al principio rápidamente y luego lentamente, debido a los cambios de longitud provenientes de la contracción y el flujo plástico del hormigón y debido al relajamiento del acero altamente esforzado, después de un período de muchos meses o aún años, los cambios posteriores en los esfuerzos llegan a ser insignificantes y se alcanza una fuerza casi constante a la que se le denomina fuerza pretensora efectiva o presfuerzo efectivo. Durante la vida del tendón de acero, la mayor de las fuerzas que actuará sobre el mismo será la fuerza del gato. Para los miembros pretensados nunca actúa en el hormigón, sino únicamente en los

anclajes permanentes de la bancada de colado y la tensión se reduce a lo largo de la longitud del cable por la fricción que ocurre en los puntos de cambio de dirección del cable y en las cimbras extremas del miembro, adicionalmente, la fuerza en el acero se reduce, inmediatamente después de la transferencia, por el acortamiento elástico del hormigón. Para los miembros postensados, la fuerza del gato se aplica directamente sobre el hormigón durante el tensado pero solo existe con su valor total en el extremo del miembro donde se realiza el tensado disminuyendo a lo largo del tendón por la fricción. Inmediatamente después de la transferencia, la fuerza pretensora se reduce por el deslizamiento o acomodamiento del anclaje y el acortamiento elástico acarrea pérdidas adicionales.

Deslizamiento del anclaje: En los miembros postensados cuando se libera la fuerza del gato, la tensión del acero se transfiere al hormigón mediante anclajes. Existe inevitablemente una pequeña cantidad de deslizamiento en los anclajes después de la transferencia a medida que las cuñas se acomodan en los tendones o a medida que se deforma el dispositivo de anclaje. En el pretensado ocurre algo similar cuando la fuerza se transfiere desde los gatos a los anclajes de la bancada de colado la cual por lo general es compensada mediante un sobre esfuerzo que debe de ser estimado.

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O asentamiento de las Cuñas.


Conocida las características del deslizamiento del dispositivo de anclaje, la pérdida por deslizamiento puede ser estimada fácilmente por medio de la siguiente expresión: ∆ ∆

(Kg/cm2)

Donde ∆ es la cantidad del deslizamiento que por lo general se toma como 0.6 cm; es la longitud del tendón y es el módulo de elasticidad del acero de presfuerzo.

La expresión anterior se basa en la suposición que el deslizamiento estará uniformemente distribuido a lo largo de la longitud del tendón lo que generalmente es cierto en los casos de miembros pretensados pero que es aceptado para los casos de miembros postensados., especialmente si el tendón está adecuadamente lubricado y el ducto está correctamente instalado de manera que no hayan excesivas deformaciones, sin embargo si las pérdidas por fricción son altas, las pérdidas por el deslizamiento de los anclajes, pueden concentrase mayormente cerca de los extremos del tendón lo que requerirá consideraciones especiales. Acortamiento elástico: Cuando la fuerza pretensora se transfiere a un miembro, existirá un acortamiento elástico en el hormigón a medida que este se comprime. Para los miembros pretensados en los que el tendón se encuentra adherido al hormigón al momento de la transferencia, el cambio en la deformación del acero es el mismo que el de la deformación por compresión del hormigón en el punto del centroide del acero. Para los miembros postensados, la deformación elástica del hormigón ocurre cuando se aplica la fuerza en el gato y existe una compensación automática para las pérdidas por acortamiento elástico, las cuales por tanto, no requieren ser calculadas, siempre que todos los cables sean tensados al mismo tiempo. La pérdida por acortamiento elástico puede calcularse para cada cable en el caso de tensado secuencial, comenzando con el último tendón para el que no existirá pérdida, lo que hace que el procedimiento sea tedioso y requiere de varias iteraciones. La expresión a continuación representa la pérdida por acortamiento elástico: ∆ (Kg/cm2)

Donde es el módulo de elasticidad del hormigón en el momento del tensado; es la

fuerza pretensora en el centro de gravedad de la sección de hormigón que puede ser calculada mediante la siguiente expresión:

(Kg)


Donde es la fuerza inicial en Kg que puede ser estimada como 0.7 ; es el

esfuerzo de rotura de los cables de presfuerzo (270 k.s.i.=18,979.63 Kg/cm2); es el área de la

sección transversal de los cables de presfuerzo; e es la excentricidad del tendón con respecto al centroide de la sección de hormigón en el centro de la longitud del miembro; es el

momento en el centro del miembro debido a su peso propio; y es el área y el momento de

inercia de la sección transversal de hormigón respectivamente. El procedimiento para el cálculo de la pérdida por acortamiento elástico se puede diagramar como sigue:

1. Estimar el esfuerzo inicial en el tendón como 0.74 ∆

2. Determinar el punto de fluencia del acero de presfuerzo 0.90

3. Calcular el esfuerzo por relajamiento inicial ∆ ∆ log 2440 0.55

4. Calcular el esfuerzo inicial en el tendón 0.74 ∆ ∆

5. Calcular la fuerza pretensora inicial

6. Calcular el esfuerzo en el centro de gravedad de la sección:

7. Calcular el acortamiento elástico ∆

8. Revisar el valor del esfuerzo inicial en el tendón 0.74 ∆

9. Con los nuevos valores, calcular el relajamiento inicial ∆

10. Comparar el valor de con el valor de la iteración anterior y repetir desde

el paso 3 hasta este paso hasta encontrar la convergencia.

Fricción: En los miembros postensados por lo general los tendones se anclan en un extremo y se estiran mediante gatos desde el otro. A medida que el acero se desliza a través del ducto, se desarrolla la resistencia friccionante, con el resultado que la tensión en el extremo anclado es menor que la tensión en el gato. La pérdida total por fricción es la suma de la fricción por deformación no intencional del ducto y la fricción debida a la curvatura intencional del tendón. Inicialmente se considerarán estos efectos separadamente pero posteriormente deben de combinarse. Las pérdidas debidas a la fricción por deformaciones no intencionales del ducto se encontrarán presentes aún para los casos de los tendones rectos, debido a que en los casos reales, el ducto no puede ser perfectamente recto. La cantidad de pérdidas depende del tipo de tendón y el ducto a emplearse, así como del cuidado que se tome durante la construcción del miembro. La siguiente tabla muestra los coeficientes que pueden ser usados para la estimación de las pérdidas por fricción:

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Tipo de tendón Coeficiente por deformación

no intencional K por metro Coeficiente por curvatura

Ducto metálico flexible, tendones de alambres

0.0033‐0.005 0.15‐0.25

Ducto metálico flexible, cable trenzado de 7 hilos

0.002‐0.007 0.15‐0.25

Ducto metálico flexible, varillas de alta resistencia

0.0003‐0.002 0.08‐0.30

Ducto metálico rígido, cable trenzado de 7 hilos.

0.0006 0.15‐0.25

Cables o alambres con lubricación previa

0.0010‐0.0065 0.05‐0.15

Cables y alambres recubiertos con masilla

0.0030‐0.0065 0.05‐0.15

En la figura 4 puede apreciarse el perfil de un tendón de donde se desprenden las expresiones que definen la geometría del mismo

Figura 4

∆ (rad) 2 2∆

radianes

Donde x es la longitud entre los puntos de inflexión de la parábola del tendón


Sea el coeficiente por curvatura; k el coeficiente por deformación del ducto, entonces la pérdida por fricción será: ∆

Donde es la longitud del tendón; ∆ es el esfuerzo inicial después de las pérdidas

instantáneas; fuerza en el gato, 0.74

Contracción del hormigón: La contracción por secado del hormigón provoca una reducción en la deformación del acero de presfuerzo igual a la deformación por contracción del hormigón. La reducción del esfuerzo resultante en el acero constituye una componente importante de la pérdida de presfuerzo para cualquier tipo de miembro presforzado. ∆ 117 1.03 (Mpa * 10.1968 Kg/cm2)

Donde es la humedad relativa del ambiente promedio del lugar donde se instalará el miembro en construcción. Flujo plástico del hormigón: Cuando el hormigón se somete a una fuerza sostenida de compresión, primero se deforma elásticamente, después continuará deformándose durante un período adicional de tiempo. La pérdida por flujo plástico del hormigón puede ser estimada mediante la siguiente expresión: ∆ 12 7∆ 0.00 Donde ∆ es el cambio de esfuerzo en el hormigón en el centro del claro en el centro de gravedad de la sección del acero de presfuerzo debido a las cargas permanentes sin el peso propio, es decir: ∆

Donde es el momento flector debido a todas las cargas permanentes; es el momento flector debido al peso propio del miembro que se está analizando; es el momento flector debido a las cargas permanentes superimpuestas, tales como pretiles u otros elementos no estructurales; es la excentricidad del presfuerzo en el centro del claro, es el momento de inercia de la sección de hormigón e es el momento de inercia de la sección de hormigón compuesta, es decir, de la sección total en colaboración en el caso de colados complementarios posteriores, tales como losas u otros.

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En el centro del claro y en el dentro de gravedad de la seccion del acero....


Relajamiento final del acero: Los tendones de presfuerzo se mantienen esforzados esencialmente con longitud constante durante la vida de un miembro, a pesar de que existe una reducción de longitud debido al flujo plástico y la contracción del hormigón. Existirá una reducción gradual del presfuerzo en el acero bajo estas condiciones debido al relajamiento, aún cuando la longitud se mantenga casi constante. La magnitud del relajamiento depende de la intensidad del esfuerzo en el acero, así como del tiempo y esta pude ser estimada mediante la siguiente expresión: ∆ 0.30 138 0.4∆ 0.2 ∆ ∆ (Mpa * 10.1968 Kg/cm2)

Suma de las pérdidas: La suma de los valores encontrados mediante los procedimientos antes descritos, dará las pérdidas totales en el presfuerzo: ∆ ∆ ∆ Donde ∆ son las pérdidas iniciales y ∆ son las pérdidas dependientes del tiempo. ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ Y el esfuerzo efectivo será ∆ Evidente el valor de variará de acuerdo con la configuración de los tendones, geometría de la sección de hormigón y las características físico – mecánicas de los materiales que se estén utilizando, sin embargo es común encontrar que este valor esté alrededor del 50% al 65% del valor de rotura del acero de presfuerzo. Ejemplo: Una viga de sección normalizada WS‐100 está postensada con un ducto de 12 cables ø½” de 7 hilos grado 270 con ordenadas de 0.80m en los extremos y una ordenada de 8cm en el centro de la viga. Los cables se tensarán a 0.74 . Calcular las pérdidas. La transferencia se hará tensando los cables secuencialmente. La viga forma parte de un entramado por lo que está conectada con dispositivos de transferencia de cortante en su patín superior con una losa de 20 cm de espesor y una vez en servicio tendrá una sobrecarga permanente de WC= 410.90 Kg/m y un peso propio (compuesto) WW=1,370.29 Kg/m Propiedades de la sección WS‐100: Longitud de la viga 25.00m Peralte total 152.40cm Área 3,926.21 cm2=0.3926m2

= 11,190,736.96 cm4 Centroide desde la base 70.96 cm Calidad del hormigón 420 Kg/cm2

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Washington State

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Este es Ag... Area de la seccion Bruta.


Edad al tensado = 4 días Humedad relativa promedio = 70% Resistencia del hormigón a la compresión en la transferencia 315 Kg/cm2 Propiedades del acero de presfuerzo: Área de la sección de 1 cable=0.9871 cm2

Propiedades de la sección compuesta: Peralte total= 172.40cm Área = 0.8526m2 Icxx = 27,634,000.00 cm4

Propiedades del acero de presfuerzo: Módulo de elasticidad de acero 2,100,000 Kg/cm2 18,979.63 Kg/cm2

Longitud del tendón: 8 0.8 0.0825.00 0.2304 rad

2 0.8 0.0825 2⁄ 0.229389 rad

25.002 0.2293892 109.22 m

109.22 0.229389 25.055 m Deslizamiento del anclaje: ∆ 0.6 ∆ ∆ 0.6 2,100,0002,501.38 503.72 Kg/cm

Acortamiento elástico: 0.74 18,979.63 12 0.9871 166,364.96 Kg 70.96 8 62.96 cm 0.3926 2,400 258 73,612.50 Kg m 7,361,250 Kg cm

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Line

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Debe ser 25.055 m

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Fuerza Inicial Pretensora

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Momento por el Peso Propio


166,364.96 3,926.21 166,364.96 62.9611,190,736.96 7,361,250 62.9611,190,736.96

42.3729 58.929 41.415 59.887Kg/cm

15,100√315 267,998.41Kg/cm ∆ 2,100,000267,998.41 59.887 469.27 Kg/cm 0.74 ∆ 0.74 18,979.63 469.27 13,575.66 Kg/cm2

0.90 0.90 18,979.63 17,081.67 Kg/cm2

∆ 0.55 , . , . 0.55 13,575.66 164.70 Kg/cm2

0.74 ∆ ∆ 0.74 18,979.63 469.27 164.70 13,410.96 Kg/cm2

12 0.9871 13,410.96 158,855.46 Kg/cm2

, . , . , . ., , . , , ., , . 55.31 Kg/cm2

∆ , ,, . 55.31 433.44 Kg/cm2

0.74 ∆ 0.74 18,979.63 433.44 13,611.49 Kg/cm2

∆ 0.55 , . , . 0.55 13,611.49 166.51 Kg/cm2

0.74 ∆ ∆ 0.74 18,979.63 433.44 166.51 13,444.98 Kg/cm2

Diferencia = , . , . 1.0025 veces O.K.

∆ 433.44 Kg/cm2 Fricción: Usar: 0.0025 0.20

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El signo negativo significa que se esta acortando.

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Primera Iteracion

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Es el esfuerzo de Fluencia

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Segunda Iteracion

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ESTE ES EL RELAJAMIENTO INICIAL


∆ 0.74 18,979.63 503.72 433.44 13,107.76 Kg/cm2 ∆ 13,107.76 0.0025 25.0138 0.20 0.115073 1,121.36Kg/cm2

Contracción del hormigón ∆ 117 1.03 117 1.03 70 10.1968 457.84 Kg/cm2 Flujo plástico del hormigón: 410.9 258 32,101.56 Kg m 3,210,156.25 Kg cm 1,370.29 258 107,053.69 Kg m 10,705,369.00 Kg cm

∆

∆ 10,705,369.00 7,361,250 62.9611,190,736.96 3,210,156.25 62.9627,634,000.00 18.81 7.32

∆ 11.50 Kg/cm2 ∆ 12 .. 7∆ .. 10.1968 583.22Kg/cm2 0.00 O. K. Relajamiento final del acero: ∆ 0.30 138 0.4∆ 0.2 ∆ ∆ (Mpa * 10.1968 Kg/cm2)

∆ 0.30 138 . .. 0.2 . . .. 10.1968 307.67 Kg/cm2

Suma de las pérdidas: La suma de los valores encontrados dará las pérdidas totales en el presfuerzo: ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 503.72 433.44 166.51 1,121.36 2,225.03 Kg/cm2

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 457.84 583.22 307.67 1,348.73 Kg/cm2 ∆ ∆ ∆


∆ 2,225.03 1,348.73 3,573.76 Kg/cm2

Y el esfuerzo efectivo será: 0.74 18,979.63 14,044.93 Kg/cm2

∆ 14,044.93 3,573.76 10,471.17 Kg/cm

10,471.1718,979.63 0.56

FLEXIÓN El análisis por flexión en miembros presforzados es una tarea muy sencilla. Por lo general los cambios en una de las variables afectarán a muchas de ellas complicando el diseño y a menudo, la mejor ruta para el diseño final es seguir un proceso iterativo en que se inicia por una solución tentativa que debe de verificarse para comprobar su suficiencia y después refinar hasta encontrar la convergencia. Previo a iniciar el análisis de esfuerzos es necesario calcular un estimado de las pérdidas del presfuerzo. Las pérdidas se clasifican en instantáneas, de corto plazo y de largo plazo. Las primeras son las que ocurren en el momento de la aplicación del presfuerzo como consecuencia de reacomodamiento de las cuñas de anclaje y encogimiento de la sección de hormigón como consecuencia de la caga compresiva aplicada; las de corto plazo son las pérdidas casi instantáneas y de largo plazo se presentan a lo largo de la vida del miembro. Es usual estimar las pérdidas a largo plazo hasta para 10,000 días. Tanto el análisis como el diseño en hormigón presforzado, puede necesitar de la consideración de varios estados de carga:

1. Presfuerzo inicial: Es el que se da cuando se aplica el presfuerzo y esta etapa es conocida como “transferencia” en donde las únicas pérdidas de presfuerzo son las instantáneas. En este estado de cargas se analiza el miembro sin ninguna carga externa y se revisan los esfuerzos en las fibras del miembro solo para la carga de presfuerzo

2. Presfuerzo inicial más peso propio: Este estado de cargas es el mismo que en el estado anterior pero combinando o superponiendo los esfuerzos que solo por el peso propio habrán en la sección del miembro que se está


presforzando. Este estado de cargas simula las condiciones de la transferencia en la que el miembro se encuentra en su bancada de fabricación y como consecuencia del presfuerzo tiende a sufrir deflexiones que son compensadas por el efecto del peso propio. Al igual que en estado de cargas anterior, el presfuerzo en este análisis solo ha sufrido las pérdidas instantáneas.

3. Presfuerzo inicial más la totalidad de la carga permanente: Este estado de cargas simula las condiciones en las que el presfuerzo presenta pérdidas instantáneas y las de corto plazo y el hormigón ya ha alcanzado su resistencia especificada a la compresión, así como el miembro ya está colocado en obra y está soportando toda la carga permanente pero sin servicio, es decir, aún no hay carga viva.

4. Presfuerzo efectivo: En este estado de cargas ya han ocurrido la totalidad de las pérdidas y ya está presente la totalidad de las cargas de servicio, tanto las permanentes como las transitorias.

5. Carga última: Este estado de cargas evalúa el comportamiento del miembro presforzado a la rotura por lo que el análisis debe de realizarse con cargas factorizadas. En este estado de cargas, las predicciones de la respuesta del miembro deben de basarse en relaciones reales y no lineales de esfuerzo‐deformación

Secciones no agrietadas: Considérese una viga simplemente apoyada a la que se le ha aplicado un presfuerzo cuyo eje centroidal está representado en la figura 5 por la línea de trazo. En esa misma figura se indica el centroide de la sección no agrietada por la línea de eje. La excentricidad del acero de presfuerzo será positiva si se mide hacia abajo del centroide de la viga y negativa si se mide hacia arriba.

Figura 5

Es posible encontrar en cualquier punto a lo largo de la viga, los esfuerzos en cualquier punto de la sección por simple super posición de esfuerzos de acuerdo con el escenario que se esté investigando. Límites de los esfuerzos: El reglamento de construcciones de Honduras, “Código Hondureño de la Construcción” (CHOC‐2008) en los artículos 2.18.4 y 2.18.5 establece los siguientes límites:

• Compresión en la fibra extrema en la transferencia…………………………………….…… 0.60 • Tracción en la fibra extrema en la transferencia


o Para miembros continuos ………………………………………………………………..… 0.8

o Para miembros simplemente apoyados ………………………………………..…… 1.6 • Compresión en la fibra extrema debido al presfuerzo y las cargas permanentes……. 0.45 • Compresión en la fibra extrema en servicio (cargas totales)……………………………..……. 0.60 • Tracción en la fibra extrema en servicio (cargas totales)……………………………............. 1.6

En el caso que los esfuerzos calculados excedan los valores indicados como límite en la transferencia, deberá colocarse refuerzo auxiliar adherido en las zonas de tracción, para resistir toda la fuerza de tensión en el hormigón calculada bajo la suposición de una sección no agrietada. También se establece los límites para la tensión máxima en los tendones de la siguiente manera:

• Esfuerzo de tensión en los tendones no deberá exceder lo siguiente: o Debido a la fuerza en la gata…………………………………………………0.94 0.80 o En la transferencia…………………………………………………………………0.82 0.74

Donde es la resistencia especificada de tensión en los tendones; es la resistencia especificada de fluencia de los tendones; es la resistencia a la compresión del hormigón a la edad del tensado o transferencia y es la resistencia a la compresión del hormigón a la edad de 28 días.

Secciones agrietadas, resistencia a la flexión: La propiedad más importante de una estructura es su resistencia, debido a que la resistencia está relacionada con la seguridad. La resistencia de un miembro de hormigón presforzado no está automáticamente asegurada por las limitaciones de los esfuerzos bajo cargas de servicio ya que si el miembro tuviera que sobrecargarse, ocurrirían importantes cambios en su comportamiento debido al agrietamiento y a que uno o los dos materiales alcanzarían niveles de esfuerzos dentro de la etapa inelástica antes de la falla. El factor de seguridad real solamente puede establecerse calculando la resistencia del miembro con un reconocimiento total de estos efectos y comparando la carga que produciría la falla del miembro con aquella que espere que actúe.

Figura 6

Las curvas representativas de esfuerzo‐deformación para el acero de presfuerzo y el hormigón se muestran en la figura 6. En el caso del hormigón, la resistencia última a la compresión se denomina y


la deformación en la falla es cuyos valores por lo general se encuentran entre 0.003 y 0.004. De acuerdo con el CHOC‐2008, se empleará una deformación límite para el hormigón de 0.003. Al igual que en las vigas de hormigón reforzado, las vigas presforzadas se pueden dividir en dos tipos, basándose en su tipo de falla por flexión: Para vigas sub‐reforzadas la falla se inicia con la fluencia del acero. Las grandes deformaciones involucradas permiten el ensanchamiento de las grietas de flexión y su propagación hacia el eje neutro. Los esfuerzo de compresión en el hormigón actuando sobre una reducida área de compresión provocan una falla secundaria del hormigón a la compresión aún cuando la falla se inició con la fluencia del acero. El esfuerzo del acero en el momento de la falla estará entre los puntos de y . Las grandes deformaciones en el acero producen un agrietamiento visible y una deformación considerable en el miembro antes de que este alcance la falla o colapso. El otro tipo, son las vigas sobre‐reforzadas, las cuales fallan cuando el hormigón alcanza la deformación límite de compresión a una carga para la cual el acero está aún por debajo de su esfuerzo de fluencia, es decir, entre 0 y . Este segundo tipo de falla viene acompañado con un desplazamiento hacia abajo del eje neutro, debido a que el hormigón está esforzado dentro de la etapa inelástica, en tanto que la respuesta del acero es aún elástica y ocurre súbitamente o con poco o ningún aviso. Todo lo que se necesita para el cálculo del momento de resistencia última de una viga de hormigón presforzada es el valor de la resultante de compresión (la cual debe de ser igual que la fuerza de tensión ) y el brazo del par interno en la falla. Si el hormigón tuviera una curva esfuerzo‐deformación que se pudiera definir matemáticamente, sería muy sencillo establecer relaciones explícitas tanto para la magnitud como para la ubicación de . Sin embargo, la forma de la curva esfuerzo‐deformación del hormigón varía grandemente y por esa razón no se pueden establecer esas relaciones explícitas. Pero la distribución real de esfuerzos en el hormigón se puede remplazar por una representación simplificada escogida de tal forma que se reproduzca el valor correcto de y la fuerza actúe en el nivel correcto de la viga.

Figura 7

Usando un método combinado de análisis y experimentación se ha hallado que la distribución real de esfuerzos de compresión en una viga puede remplazarse con una distribución rectangular equivalente de esfuerzos que tenga una intensidad de esfuerzo uniforme de 0.85 hasta la profundidad , tal y como se muestra en la figura 7. La relación entre la profundidad del bloque equivalente de esfuerzos y la real es:

Donde el valor de se ha establecido experimentalmente y viene dado por la relación: 0.65 0.85 0.05 280 /70 0.85


En el caso de vigas con sección en “T”, esta debe de ser tratada de igual forma como e trata este tipo de vigas en hormigón reforzado, estableciendo el ancho efectivo del patín de acuerdo con la normativa CHOC‐2008.

Ejemplo: Una viga de sección “T” invertida compuesta por un “topping” de 5cm de espesor como se muestra en la figura 8 tiene los siguientes materiales: Hormigón de la viga prefabricada………………………………... 350 Kg/cm2 Hormigón de la losa complementaria “topping”…………. 210 Kg/cm2 La viga está reforzada con un presfuerzo de 12 cables ½” de diámetro grado 270 de bajo relajamiento y un refuerzo pasivo de 2 barras #7 en el lecho superior y 2 barras #9 en el lecho inferior. Encontrar el momento último de la sección

Figura 8

Ancho efectivo del patín de acuerdo con 2.8.10.2 del CHOC‐2008: 2 30 2 2 5 110cm Brazos del armado: 65 7.5 57.50 cm 65 6.1 58.90 cm 65 58.6 6.40 cm


Los cálculos indican que las pérdidas son 20%. La transferencia se hizo con 0.75 Presfuerzo efectivo: 0.80 0.75 18,979.63 11,387.78 Kg/cm2 11,387.782,100,000 0.0054

Relaciones para las deformaciones, de acuerdo con la figura 9 0.0030.003

0.003 0.003

0.003 0.003

0.003 0.003

Figura 9

0.003 57.50 0.003 0.1725 0.003

0.1725 0.0054 0.003 0.1725 0.0024

0.003 0.003 6.40 0.003 0.0192

4,2002,100,000 0.002


Primera iteración: Probar 22.85 cm 0.172522.85 0.0024 0.009949

270 .. . ,. . 18,026.16 Kg/cm2

. .. 0.003 0.004733 0.002 4,200 Kg/cm2

0.003 . .. 0.00216 0.002 4,200 Kg/cm2

10 0.85 22.85 10 9.4225 cm 0.85 210 5 110 98,175 Kg 0.85 210 5 30 26,775 Kg 98,175 26,775 124,950 Kg 0.85 350 9.4225 30 84,095.81 Kg 2 6.45 4,200 54,180 Kg 98,175 26,775 84,095.81 54,180 263,225.81 Kg 12 0.9871 18,026.16 213,523.47 Kg 2 3.87 4,200 32,508 Kg 213,523.47 32,508 246,031.47 Kg 263,225.81 Kg Como la resultante de la compresión es mayor que la resultante de la tracción, el valor de deberá ser menor, lo que nos lleva a tener que hacer otro ensaye. Segunda iteración: Probar 21.00 cm 0.172521.00 0.0024 0.010614


270 .. . . ,. . 18,201.66 Kg/cm2

. .. 0.003 0.005414 0.002 4,200 Kg/cm2

0.003 . .. 0.002086 0.002 4,200 Kg/cm2 10 0.85 21.00 10 7.85 cm

0.85 210 5 110 98,175 Kg 0.85 210 5 30 26,775 Kg 98,175 26,775 124,950 Kg 0.85 350 7.85 30 70,061.25 Kg 2 6.45 4,200 54,180 Kg 98,175 26,775 70,061.25 54,180 249,191.25 Kg 12 0.9871 18,026.16 213,523.47 Kg 2 3.87 4,200 32,508 Kg 213,523.47 32,508 246,031.47 Kg 249,191.25 Kg La resultante de la compresión es aún mayor que la resultante de la tracción, de manera que será necesario hacer una nueva iteración. Tercera iteración: Probar 20.00 cm 0.172520.00 0.0024 0.011025

270 .. . ,. . 18,281.05 Kg/cm2

. .. 0.003 0.005835 0.002 4,200 Kg/cm2

0.003 . .. 0.002040 0.002 4,200 Kg/cm2 10 0.85 20.00 10 7.00 cm

0.85 210 5 110 98,175 Kg 0.85 210 5 30 26,775 Kg 98,175 26,775 124,950 Kg 0.85 350 7.00 30 62,475.00 Kg


2 6.45 4,200 54,180 Kg 98,175 26,775 62,475.00 54,180 241,605.00 Kg 12 0.9871 18,026.16 213,523.47 Kg 2 3.87 4,200 32,508 Kg 213,523.47 32,508 246,031.47 Kg 241,605.00 Kg En esta ocasión la resultante de la compresión es menor que la resultante de la tracción, así que el valor de c deberá ser mayor para la siguiente iteración. Cuarta iteración: Probar 20.50 cm 0.172520.50 0.0024 0.010815

270 .. . ,. . 18,242.52 Kg/cm2

. .. 0.003 0.005620 0.002 4,200 Kg/cm2

0.003 . .. 0.002063 0.002 4,200 Kg/cm2 10 0.85 20.50 10 7.425 cm

0.85 210 5 110 98,175 Kg 0.85 210 5 30 26,775 Kg 98,175 26,775 124,950 Kg 0.85 350 7.425 30 66,268.125 Kg 2 6.45 4,200 54,180 Kg 98,175 26,775 66,268.125 54,180 245,398.13 Kg 12 0.9871 18,026.16 213,523.47 Kg 2 3.87 4,200 32,508 Kg 213,523.47 32,508 246,031.47 Kg 245,398.13 Kg En esta ocasión la resultante de la compresión es menor que la resultante de la tracción, así que el valor de deberá ser mayor para la siguiente iteración.


Cuarta iteración: Probar 20.75 cm 0.172520.75 0.0024 0.010713

270 .. . ,. . 18,222.397 Kg/cm2

. .. 0.003 0.005516 0.002 4,200 Kg/cm2

0.003 . .. 0.002075 0.002 4,200 Kg/cm2 10 0.85 20.75 10 7.64 cm

0.85 210 5 110 98,175 Kg 0.85 210 5 30 26,775 Kg 98,175 26,775 124,950 Kg 0.85 350 7.64 30 66,268.125 Kg 2 6.45 4,200 54,180 Kg 98,175 26,775 68,164.69 54,180 247,294.69 Kg 12 0.9871 18,026.16 213,523.47 Kg 2 3.87 4,200 32,508 Kg 213,523.47 32,508 246,031.47 Kg 247,294.69 Kg Quinta iteración: Probar 20.63 cm 0.172520.63 0.0024 0.010762

270 .. . ,. . 18,232.21 Kg/cm2

. .. 0.003 0.005565 0.002 4,200 Kg/cm2


0.003 . .. 0.002069 0.002 4,200 Kg/cm2 10 0.85 20.63 10 7.65 cm

0.85 210 5 110 98,175 Kg 0.85 210 5 30 26,775 Kg 98,175 26,775 124,950 Kg 0.85 350 7.65 30 67,254.34 Kg 2 6.45 4,200 54,180 Kg 98,175 26,775 67,254.34 54,180 246,384.34 Kg 12 0.9871 18,026.16 213,523.47 Kg 2 3.87 4,200 32,508 Kg 213,523.47 32,508 246,031.47 Kg 246,384.34 Kg Las resultantes de compresión y tracción siguen siendo diferentes pero lo suficientemente parecidas para aceptar el valor de como el correcto y con el que entonces, podremos calcular el momento resistente de la sección. 0.90 98,175 20.63 2.5 26,775 20.63 5 2.5

67,254.34 20.63 10 7.652 54,180 58.6 20.63213,523.47 65 20.63 7.5 32,508 65 20.63 6.1

0.90 1,779,912.75 351,555.75 457,665.78 2,057,214.60 7,872,610.341,244,081.16 0.9 13,763,040.38 12,386,736.34 Kg cm 123,867.36 Kg m El valor antes calculado de debe de ser comparado con el valor el momento máximo para determinar si la sección es buena y suficiente para dar el servicio que de ella se espera en cualquiera de los escenarios de carga investigados.


Límites del refuerzo: El Reglamento de las construcciones hondureño CHOC‐2008 establece en sus artículos 2.18.8 y 2.18.9 los siguientes límites: Relación de refuerzo no presforzado a refuerzo presforzado utilizada en el cálculo de momento resistente de una sección:

0.36

Además, cantidad de refuerzo presforzado y no presforzado deberá ser adecuada para desarrollar una carga factorizada de por lo menos 1.2 veces la carga de agrietamiento calculada en base al módulo de rotura , es decir: 1.2 2.18.8.3 Donde / / / , , son los índices de refuerzo para secciones con alas, donde b deberá ser el ancho del alma.

es el área del refuerzo presforzado en la zona de tracción.

es la distancia de la fibra extrema en compresión al centroide del refuerzo presforzado. es el esfuerzo en el acero de presfuerzo.

1.99


es la distancia del eje centroidal de la sección total, ignorando el refuerzo, a la fibra extrema en tracción.

es el momento de inercia de la sección total de hormigón respecto del eje centroidal ignorando el refuerzo Diseño a la flexión basado en el balance de carga: El presforzar miembros mediante tendones curvos o atirantados tiene el efecto de introducir un juego de cargas transversales equivalentes y estas pueden tratarse simplemente como cualquier otra carga externa para los fines de cálculo de los momentos o las deflexiones. Cada perfil particular para el tendón produce su propio y único juego de fuerzas transversales equivalentes. El concepto de carga equivalente ofrece un método alternativo parta la determinación de la fuerza pretensora y de la excentricidad requerida. Puede establecerse la fuerza pretensora y el perfil de forma tal que las cargas exteriores que actuarán sean contrarrestradas exactamente por las fuerzas transversales que resultan del presfuerzo. El resultado neto para este juego particular de cargas exteriores, es que la viga está sujeta solamente a compresión axial y no tiene momento flector. Más aún, si todas las fuerzas externas son de naturaleza sostenida, tal como lo es la fuerza pretensora, el miembro no tendrá deflexión vertical. La selección de la carga a balancearse debe de ser una decisión del proyectista, generalmente la carga balanceada que se escoge es la suma de la carga propia y la carga muerta super impuesta aunque se puede incluir una porción de la carga viva. Consideremos una viga simplemente apoyada como las que se muestra en la figura 10, la viga debe de diseñarse para una carga balanceada consistente en su peso propio w0, más la carga permanente super impuesta wd y alguna pequeña porción kb de la carga viva prevista wl. Como la carga externa es uniformemente distribuida, resulta razonable adoptar un tendón que tenga forma parabólica y es fácilmente demostrable que un tendón parabólico producirá una carga uniformemente distribuida hacia arriba igual a: 8

Donde es la magnitud de la fuerza pretensora e es la flecha máxima del tendón

Figura 10


Si la carga hacia abajo se iguala exactamente a la carga hacia arriba proveniente del tendón, estas dos cargas se cancelan y no se produce ningún esfuerzo de flexión, tal y como se muestra en los diagramas de esfuerzos de la figura 11. Los esfuerzos de flexión debidos a la excentricidad del presfuerzo son iguales y opuestos a los esfuerzos de flexión que provienen de las fuerzas externas. El esfuerzo neto resultante es una compresión uniforme igual a la producida por la fuerza axial , excluyendo la consideración de los efectos dependientes del tiempo, la viga no presentaría deflexiones verticales.

Figura 11

Si se quita o se incrementa la carga viva, aparecerán esfuerzos de flexión y deflexiones debidas a las cargas no balanceadas. Los esfuerzos debidos a la carga diferencial deben de calcularse y superponerse a la compresión axial con el objeto de obtener los esfuerzos netos para el estado desbalanceado. Ejemplo: Una viga postensada debe de diseñarse para soportar una carga uniformemente distribuida con un claro de 10.00m tal como se ilustra en la figura 12. Adicionalmente a su peso propio, debe de soportar una carga permanente de 225 Kg/m y una carga viva de servicio de 900 Kg/m. La resistencia del hormigón a los 28 días es 280 Kg/cm2 y al momento de la transferencia de la fuerza pretensora será de 210Kg/cm2. Las pérdidas del presfuerzo se estimaron en 20% de . Bajo la suposición de que la cuarta parte de la carga viva será sostenida durante un período de tiempo substancial, se usará un valor de 0.25 para en la determinación de la carga balaceada. Peso propio 0.25 0.50 2,400 240 Kg/m 240 225 0.25 900 690 Kg/m

Figura 12


Considerando el mínimo recubrimiento del hormigón hasta el centroide del acero igual a 10cm, la máxima excentricidad que puede usarse para la sección tentativa de 50cm es 15 cm. Se usará un tendón parabólico para producir una reacción del tendón hacia arriba uniformemente distribuida. Para equilibrar las cargas sostenidas hacia abajo, la fuerza pretensora después de ocurridas las pérdidas se calcula mediante:

. 57,500 Kg

La fuerza pretensora inicial vale: , . 71,875.00 Kg

Para el estado de carga balanceada, el hormigón estará sujeto a un esfuerzo de compresión uniforme igual a: , 46.00 Kg/cm2

En el caso de que la carga viva considerada (225 Kg/m) se removiera, tendrían que superponerse a los esfuerzos que resultan de la carga neta hacia arriba. El módulo de sección para la viga tentativa es 10,416.67 cm3 y el momento desbalanceado es: 2,812.50 Kg‐m

Entonces los esfuerzos de flexión no balanceados en las fibras superior e inferior de la viga serán: , . , . 26.99 Kg/cm2

Y de esta manera los esfuerzos netos son: 46 26.99 19.00 Kg/cm2 46 26.99 72.99 Kg/cm2 Similarmente, en el caso que la carga viva actuara en su totalidad, los esfuerzos deberán superponerse a

de la misma manera. . 8,437.50 Kg‐m

, ., . 80.99 Kg/cm2

46 80.99 126.99 Kg/cm2 46 80.99 34.99 Kg/cm2


ESFUERZOS DE ADHERENCIA, LONGITUD DE TRANSFERENCIA Y LONGITUD DE DESARROLLO En las vigas de hormigón presforzado existen ciertas fuerzas actuando, las cuales tienden a producir el deslizamiento de los tendones a través del hormigón que los rodea. Esto produce esfuerzos de adherencias o esfuerzos cortantes que actúan en la cara de contacto entre el acero y el hormigón. La tendencia al deslizamiento es resistida mediante una combinación de adhesión, fricción y adherencia mecánica entre los dos materiales. Existen dos tipos de esfuerzos de adherencia a considerar: Esfuerzos de adherencia por flexión y Esfuerzos de adherencia por transferencia. Los esfuerzos de adherencia por flexión surgen debido al cambio en la tensión provenientes de las diferencias en el momento flector entre dos secciones adyacentes y son proporcionales a la razón de cambio del momento flector, por lo tanto a la fuerza cortante, para una ubicación determinada a lo largo del claro. Si el miembro de hormigón se encuentra sin agrietar, la magnitud de los esfuerzos de adherencia por flexión es muy baja, después del agrietamiento los esfuerzos de adherencia por flexión son más altos y pueden calcularse empleando las mismas expresiones que se desarrollaron para miembros de hormigón reforzado. El esfuerzo de adherencia por flexión no necesita ser considerado en el diseño de vigas de hormigón presforzado, ni antes ni después del agrietamiento. Aún cuando pudiera ocurrir una falla local por adherencia, no puede presentarse una falla general mientras se proporcione un anclaje en los extremos adecuado para el tendón, bien sea mediante un anclaje mecánico o el empotre obtenido por los cables embebidos. Para las vigas pretensadas, cuando se libera la fuerza del gato, la fuerza pretensora se transfiere del acero al hormigón cerca de los extremos del miembro mediante la adherencia a través de una distancia que se conoce como la longitud de transferencia. Dentro de esta longitud, el crecimiento del esfuerzo es gradual desde cero hasta el nivel de presfuerzo efectivo, como se muestra en la figura 13. Ocurrirá algún deslizamiento entre el hormigón y el acero. Un corte del cable repentino en los extremos de la viga normalmente sumirá ligeramente al cable dentro del hormigón, pero este deslizamiento está confinado en los extremos del tendón, restableciéndose la estabilidad mediante la combinación de la fricción y la adherencia mecánica. La longitud de transferencia depende de varios factores incluyendo el esfuerzo de tensión del acero, la configuración de la sección transversal del acero, la condición en que se encuentre la superficie del acero y la rapidez con que se libere la fuerza del gato. Basándose en las pruebas efectuadas en cables de presfuerzo, el presfuerzo efectivo puede suponerse que actúa a través de una longitud de transferencia medida desde el extremo del miembro igual a:

. (cm)


El reglamento CHOC‐2008 no requiere que se revisen los esfuerzos de adherencia por flexión para los miembros pretensados ni postensados, pero para los cables pretensados se requiere que la totalidad de la longitud de desarrollo dada por la expresión mostrada a continuación, se proporcione más allá de la sección crítica por flexión. 14,200 2.12.9.1

Donde es el esfuerzo en el acero de presfuerzo a la resistencia nominal en Kg/cm2 y es esfuerzo efectivo en el acero de presfuerzo en Kg/cm2. La investigación puede limitarse a aquellas secciones más cercanas a los extremos del miembro que son requeridas a desarrollar toda su resistencia a la flexión bajo la carga última especificada.

Figura 13

ZONAS DE ANCLAJE En vigas de hormigón presforzado, la fuerza pretensora se introduce como una carga concentrada, que actúa a menudo sobre una relativamente pequeña parte del peralte total del miembro. Para vigas postensadas con anclajes mecánicos, la carga se aplica en la cara extrema, en tanto que para vigas pretensadas, se introduce de una manera algo más gradual a través de la longitud de transferencia. En cualquier caso, la distribución del esfuerzo de compresión en el hormigón llega a ser lineal, adecuándose a la requerida por la excentricidad total de las cargas aplicadas, solo hasta después de una distancia del extremo de la viga aproximadamente igual a su peralte. La transición del esfuerzo longitudinal de compresión, de su estado concentrado al linealmente distribuido, produce esfuerzos de tracción transversales (verticales) que pueden conducir al agrietamiento longitudinal del miembro. La configuración y magnitud de los esfuerzos en el hormigón dependen de la localización y distribución de las fuerzas concentradas aplicadas por los tendones. Se han realizado numerosos estudios empleando los métodos de elementos finitos y de la teoría clásica de la elasticidad y la fotoelasticidad y los resultados típicos son como los mostrados en la figura 14. La viga se carga uniformemente a través de una altura igual a h/8 con una excentricidad de 3h/8. Las líneas de contorno que se muestran en la


figura 14 se han dibujado a través de los puntos que tienen igual tensión transversal, con coeficientes que expresan la relación del esfuerzo transversal a la compresión longitudinal promedio. Típicamente se encuentran elevados esfuerzos de fracturación a lo largo del eje de la carga a una corta distancia dentro de la zona extrema y elevados esfuerzos de astillamiento localizados en la cara cargada. Estos esfuerzos serán menos severos para vigas pretensadas en donde la carga se introduce gradualmente por adherencia, que para vigas postensadas en las que se aplica en la cara extrema, pero en cualquier caso despreciar la tensión transversal puede conducir a una situación de peligro o falla prematura.

Figura 14

Un diseño racional del refuerzo para las zonas extremas debe de reconocer la probabilidad de ocurrencia del agrietamiento horizontal. Si se proporciona refuerzo vertical adecuado en forma tal que se restrinjan las grietas a unos cuantos centímetros de longitud y con un ancho de un centésimo de centímetro o menos, entonces estas grietas no afectarán el desempeño de la viga tanto bajo cargas de servicio como hasta su resistencia última. Normalmente ellas no se alargarán o ensancharán como consecuencia de la aplicación adicional de cargas en el miembro, ya que para las vigas pretensadas y para las postensadas con adherencia, la tensión en el tendón en las zonas extremas no se incrementa apreciablemente cuando se aplican las cargas. En consecuencia el diseño del refuerzo en las zonas extremas puede basarse en las condiciones obtenidas para el presfuerzo inicial, empleando el esfuerzo permisible para los estribos el cual es suficientemente bajo como para que los espesores de las grietas sean suficientemente pequeños. Para los miembros pretensados, basándose en las pruebas de laboratorio efectuadas por P.C.A., Marshall y Mattock propusieron una expresión muy simple para el diseño del refuerzo en las zonas extremas. La tensión total en el anillo se expresa en función de la fuerza pretensora total longitudinal

mediante: 0.0106

Donde es el peralte total de la viga y es la longitud de transferencia. Las pruebas indican que el esfuerzo en el anillo varía aproximadamente en forma lineal desde un máximo cercano a la cara exterior hasta cero cerca del extremo de la grieta. Así, si es el esfuerzo permisible en el anillo cuando la fuerza

pretensora inicial se aplica, el esfuerzo promedio en los anillos puede tomarse como y el área

transversal total necesaria de los anillos está dada por: 2 0.0106


0.021

En las pruebas se ha encontrado que un esfuerzo admisible 1,400 Kg/cm2 produce grietas con espesores aceptablemente pequeños. La longitud de transferencia puede calcularse mediante la expresión antes apuntada para ese efecto o puede suponerse como 50 veces en diámetro nominal del cable. El refuerzo requerido con un área debe distribuirse uniformemente a lo largo de una longitud igual a h/5 medida desde la cara extrema de la viga y para control más eficiente del agrietamiento, el primer anillo deberá colocarse lo más cerca posible de la cara extrema. La expresión para derivada experimentalmente, no se aplica a miembros postensados, para los cuales la fuerza pretensora se aplica en o cerca de las caras extremas del miembro en lugar de hacerlo mediante los esfuerzos de adherencia a través de la longitud de transferencia. Para los miembros postensados, Gergely y Sozen desarrollaron un método basándose en las condiciones de equilibrio de la zona de anclaje agrietada, con el fin de limitar la longitud y el ancho de las grietas horizontales.

Figura 15

En la figura 15 se muestra la región extrema de una viga postensada para la cual la fuerza pretensora se aplica como una carga concentrada en la cara extrema, con una excentricidad desde el centroide del hormigón. A una cierta distancia de la cara extrema, la distribución del esfuerzo de compresión es lineal tal y como se muestra en la misma figura. Conociendo el máximo momento flector a resistirse, las fuerzas y pueden calcularse, si es que la distancia entre dichas fuerzas puede ser estimada. Para las vigas postensadas, se debe de proporcionar anillos a una distancia /2 desde la cara extrema para resistir pudiéndose hallar fácilmente el centro de gravedad de las fuerzas en esos anillos. Deberá estimarse la ubicación de , generalmente se supone que actúa a una distancia de la cara extrema. Consecuentemente, la fuerza de tensión a ser resistida mediante los anillos extremos es donde es el máximo momento flector a ser resistido y es la distancia de la cara extrema al centroide del acero vertical en la distancia /2:

El área total requerida de refuerzo de acero es:

Donde es el esfuerzo permisible escogido sobre la base de control de agrietamiento.


Ejemplo: Debe de diseñarse el refuerzo de las zonas extremas de una viga postensada rectangular como se muestra en la figura 16. Se aplica una fuerza pretensora inicial 113,378.68 Kg mediante dos tendones que tienen una excentricidad de 25 cm los cuales producen esfuerzos longitudinales en el hormigón que varían linealmente desde una compresión de 135.8274 Kg/cm2 en la fibra inferior hasta una tracción de 41.34 Kg/cm2 en la fibra superior. Se usarán anillos verticales cerrados tal como de muestra en la misma figura con un esfuerzo permisible de 2,100 Kg/cm2

Figura 16

Para fines de cálculo de la viga, se dividirá esta en incrementos de altura de 5cm y se supondrá que el esfuerzo en el hormigón al centro de cada incremento actúa uniformemente en toda la altura de dicho incremento. Los valores se muestran en la figura 17.


Figura 17: Distribución de esfuerzos (Kg/cm2)

Figura 18: Momentos resultantes (Ton‐cm)

La figura 18 muestra los momentos resultantes a lo largo de la altura de la viga. El momento máximo encontrado es de 758,441.37 Kg‐cm en una distancia desde la cara extrema de /2 80/2 40 cm por lo que el centroide será 20 cm, de manera que la máxima tensión a resistir es: , . 12,640.69 Kg

, . , 6.02 cm2

El área de un anillo #3 cerrado es 2*0.71=1.42 cm2, de manera que se requieren 6.02/1.42=4.24 anillos, digamos 5 anillos. El primer anillo se colocará a 5cm de la cara extrema seguido por 4 anillos espaciados

0

10

20

30

40

50

60

70

80

‐150 ‐100 ‐50 0 50 100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

‐1,000 ‐800 ‐600 ‐400 ‐200 0 200 400


a 9cm dentro de la distancia de /2 40 cm lo que ubica el centroide del acero a 5 22.5 cm y

se supuso 20 cm. Un segundo momento de signo opuesto de 259,503.20 Kg‐cm se muestra en la gráfica de la figura 18, para esta, la tensión asociada será: , . 4,325.05 Kg

, ., 2.06 cm2

Lo que requiere 2.06/1.42 1.45, digamos 2 anillos adicionales para un total de 7 anillos que deberán colocarse dentro de desde la cara extrema, de manera que pueden espaciarse a 9 cm como los anteriores. Los resultados son ligeramente diferentes a la propuesta inicial, por lo que será necesario refinar el detalle. CORTANTE No sería ni económico ni seguro diseñar vigas de hormigón presforzado de tales proporciones que solo el hormigón sea el que proporcione toda la resistencia al cortante. El refuerzo del alma sin presforzar se emplea de la misma manera general tal y como se usa en vigas de hormigón reforzado. Tal acero en el alma no solo aumenta la resistencia al cortante de las vigas, sino que también garantiza que la falla sea más dúctil, en el caso de que exista una severa sobrecarga que produzca falla por cortante. La fluencia del refuerzo del alma, acompañada por el amplio agrietamiento del hormigón dará alguna alarma de peligro. Se requiere por lo menos una cantidad mínima de refuerzo en el alma en todas las vigas presforzadas. Con poca frecuencia se usa el presfuerzo diagonal o vertical en las almas de las vigas. Aún cuando esto brinda la ventaja de que pueden eliminarse completamente las grietas y los esfuerzos verticales de tracción en el hormigón bajo cargas de servicio, tales métodos no son económicos con la excepción de casos poco frecuentes. Adicionalmente, existe gran dificultad práctica en el control de la tracción en el acero, debido a las grandes pérdidas por los deslizamientos en los anclajes de los tendones cortos. La transferencia de fuerzas cortantes a través de la sección diagonalmente agrietada de una viga con refuerzo en el alma puede comprenderse estudiando la figura 19. Esta muestra las fuerzas que actúan en una parte de la viga entre la sección diagonalmente agrietada y el apoyo adyacente. Los estribos en “U” se muestran con un espaciamiento . Por razones que ya se establecieron, el análisis se basará en las cargas factorizadas, cuando se supone que el miembro se halla en un estado correspondiente al inicio del colapso.


Debido al presfuerzo de compresión longitudinal en el hormigón, la pendiente de la grieta diagonal es por lo general, considerablemente más pequeña que 45º. Aquí se supone algo conservadoramente, que la proyección horizontal de la grieta tiene una longitud igual al peralte efectivo de la viga medido al centro del centroide del tendón en la sección de interés. Entonces, si el espaciamiento del refuerzo en el alma en la dirección del eje del miembro es , el número de estribos “U” que atraviesan la grieta diagonal es / . Por lo que la contribución total de los estribos para la transferencia del cortante a través de la sección agrietada es:

Donde es el área total del acero de un estribo, esto es dos veces el área de la sección transversal de la varilla para el caso típico de un estribo “U”. Si el centroide del tendón atraviesa la sección de interés con una inclinación , entonces el tendón transmite una fuerza cortante igual a la componente vertical de la fuerza pretensora. Aún cuando la fuerza en el tendón aumenta a medida que se sobrecarga el miembro, se supondrá conservadoramente, que tiene un valor igual al presfuerzo efectivo , así la componente vertical es:

Una tercera contribución a la transferencia del cortante proviene de la resistencia friccionante a lo largo de las superficies naturalmente rugosas formadas por la grieta. Aún cuando la grieta será perpendicular a la dirección de la tracción principal, de tal forma que no deberán preveerse desplazamientos por cortante, se ha confirmado por las pruebas que después del agrietamiento ocurre una redistribución significativa de las fuerzas internas, de tal forma que existe una tendencia al deslizamiento relativo de las caras de la grieta. Esta es resistida por la rugosidad de la superficie y por la trabazón del agregado. La fuerza resistente asociada con la trabazón del agregado actúa sobre el cuerpo libre en la dirección representada en la figura 19 y su componente es . Finalmente el hormigón en la zona de compresión sin agrietar arriba de la grieta diagonal, proporciona una fuerza resistente . Igualando a cero la suma de todas las fuerzas verticales de la figura 19, se obtiene la expresión para la resistencia nominal al cortante:


No obstante la intensiva investigación durante un período de años, las magnitudes individuales de las contribuciones de y son desconocidas. Las especificaciones para el cortante de acuerdo con el reglamento CHOC‐2008 indica que el diseño debe basarse en el miembro cargado con un estado de sobrecarga hipotético, con las cargas muertas calculadas y las vivas de servicio multiplicadas por los usuales factores de sobrecarga, excepto cuando se especifique otra cosa. El diseño de las secciones transversales sometidas a cortante debe basarse en la relación:

Donde es la fuerza cortante aplicada bajo cargas factorizadas; es la resistencia nominal de la sección al cortante y es el factor de reducción de la resistencia tomado igual a 0.85 para cortante.. La resistencia nominal al cortante se calcula de la expresión:

Donde es la resistencia nominal al cortante proporcionada por el hormigón y

es la resistencia nominal al cortante proporcionada por el refuerzo para cortante. Se supone que la primera sección crítica para el cortante se encuentra a la distancia /2 desde la cara del apoyo y las secciones que se encuentran a menos de /2 se diseñan para el cortante calculado para /2. Esta especificación reconoce el efecto benéfico de la compresión vertical en el hormigón producida por la reacción. En circunstancias especiales, aquellos beneficios no se obtienen y el cortante en la cara del apoyo puede llegar a ser crítico. El valor de debe de calcularse de acuerdo con el menor de los valores calculados para y de acuerdo con lo siguiente: 0.16 2.11.4.2.1

Donde es la fuerza cortante en la sección debido a la carga muerta factorizada; es la fuerza cortante factorizada en la sección debido a la aplicación de cargas externas que ocurren simultáneamente con que a su vez, es el momento máximo factorizado en la sección debido a la aplicación de las cargas externas y es el momento que causa agrietamiento flexionante en la sección debido a la aplicación de las cargas externas. 1.6 2.11.4.2.1

Donde es el esfuerzo debido a la carga muerta no factorizada, en la fibra extrema de la sección donde el esfuerzo de tracción es causado por la aplicación de las cargas externas; es el esfuerzo de compresión en el hormigón debido solamente a las fuerzas del presfuerzo efectivo (después de deducir todas las pérdidas de presfuerzo) en la fibra extrema de la sección donde el esfuerzo de tracción es causado por la aplicación de las cargas externas.


0.93 0.3 2.11.4.2.2

Donde es el esfuerzo de compresión en el hormigón (después de deducir todas las pérdidas de presfuerzo) en el centroide de la sección transversal que resiste la aplicación de cargas externas; es la componente vertical de la fuerza efectiva de presfuerzo en la sección. En las ecuaciones anteriores (2.11.4.2.3), deberá se la distancia de la fibra extrema en compresión al centroide del acero o 0.8 , la que sea mayor. Cuando se emplea refuerzo por cortante perpendicular al eje del miembro, su contribución a la resistencia al corte es:

Pero el valor de no debe de tomarse mayor que 8 (2.11.5.6.4) La resistencia total nominal al cortante se halla sumando las contribuciones del acero y del hormigón:

Y De la cual:

El área requerida para la sección transversal de un estribo , puede calcularse mediante una adecuada trasposición de términos:

Normalmente para los casos prácticos de diseño, el proyectista escogerá un tamaño tentativo de estribo, para el cual se el espaciamiento requerido:

En todos los miembros de hormigón presforzado, debe de proporcionarse por lo menos una cierta área mínima de refuerzo cortante cuando la fuerza cortante factorizada total es mayor que la mitad de la resistencia al cortante proveniente del hormigón y además observando los requerimientos establecidos en el capítulo para las zonas sísmicas. Ejemplo: La viga “I” mostrada en la figura 20, debe de soportar una carga muerta sobrepuesta de 515 Kg/m y una carga viva de servicio de 1,815 Kg/m en forma adicional a su peso propio de 376.73 Kg/m. Debe de


fabricarse con un hormigón de 350 Kg/cm2 y se presfuerza usando tendones de alambres múltiples con un 18,979.63 Kg/cm2, con una fuerza efectiva 130,612 Kg. Hállese el espaciamiento requerido para los estribos verticales en un punto a 3.00m del apoyo izquierdo, si 4,200 Kg/cm2 para el acero de los estribos.

Figura 20

Las propiedades de la sección de hormigón sin agrietar son: 1,569.72 cm2 1,007,371.29 cm4 25.33 cm La profundidad del tendón en la parte central del claro es 62.23cm y la excentricidad 21.51 cm desde una distancia de 6.00m del apoyo. La excentricidad comienza a hasta cero en los apoyos. Así pues, la excentricidad en la sección de interés es 19.3 cm La profundidad d correspondiente es 40.72 19.3 60.02 cm y de acuerdo con el reglamento, la profundidad efectiva para los cálculos de cortante se supondrá igual a 0.8 0.8 74 59.20 cm, de manera que, de acuerdo con el artículo 2.11.4.2.3, el valor de 60.02 cm Utilizando las expresiones antes estudiadas, Para la sección de interés, el esfuerzo en el hormigón en la fibra inferior debido solamente al presfuerzo es: 1 ,, . 1 . .. 166.30 Kg/cm2

El momento por peso propio y el cortante en 3.00 m son respectivamente:


. 1,200 300 508,585.50 Kg‐cm

3.7673 , 300 1,130.19 Kg

El momento produce un esfuerzo de tracción en la fibra inferior de la viga de: , . ., , . 16.80 Kg/cm2

Entonces, 1.6 , , . . 1.6√350 166.30 16.80 =13,585,969.53 Kg‐cm

El cortante y el momento en la sección a 3.00m del apoyo, provenientes de la carga muerta sobrepuesta de 515 Kg/m y de la carga viva de 1,815 Kg/m son respectivamente: 1.4 515 1.7 1,815 , 300 1,141,950.00 Kg‐cm

. . , 1,200 300 416,543,221.00 Kg‐cm

De manera que: 0.16

0.16√350 12.7 60.02 1,130.19 , , . , , . 13,585,969.53 40,657.69 Kg

La resistencia nominal al cortante para agrietamiento por cortante en el alma se halla así: ,, . 83.21 Kg/cm2

La componente vertical de la fuerza pretensora efectiva será: 130,612 . 8,402.71 Kg

Entonces, 0.93√350 0.3 83.21 12.7 60.02 8,402.71 40,693.09 Kg En el presente caso, de acuerdo con el artículo 2.11.4.2, el agrietamiento por flexión‐cortante rige el diseño, de manera que:


40,657.69Kg La fuerza cortante total en 3.00m, bajo cargas factorizadas es: 1.4 376.73 515 1.7 1,815 . 3.00 14.499.87 Kg

Luego, el exceso de cortante, 0.00 ya que 14.499.87 Kg 0.85 40,657.69 34,559.04 Kg Por lo que no requiere refuerzo y solo habrá necesidad de colocar el refuerzo mínimo requerido por el reglamento.

curso de presforzado

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