Profesor de Matemática; Especialista en Planificación y Evaluación

1

PROLOGO

La guía práctica que utilizarán los alumnos, refleja en forma sencilla y útil los

objetivos del programa de matemática del 10mo semestre de Educación de Adultos.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los participantes

una guía que, mediante lo practico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje

dentro y fuera del aula.

Los Teques, Mayo del 2003

2

Agradecimientos:

Por su valiosa colaboración en revisar, corregir y anexar planteamientos y

ejercicios:

Prof. Miguel Carmona

Especialmente a:

A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U.E.P.”Gran Aborigen

U.E.N.”Teresa de la Parra

U . N . E . O . P . E .M

3

CONTENIDO

- Sistema de Coordenadas............4.- Definir el plano real como una biyección entre el conjunto R y el sistema de Coordenadas rectangulares..........5.- Representar puntos en el plano.............6.- Representar gráficamente la función afín............7.- Establecer la ecuación de la recta..............8.- Calcular la pendiente de la recta......9,10.- Calcular la distancia entre dos puntos........11,12,13.- Establecer el concepto de Sistemas de ecuaciones lineales y solución del sistema ...........13.- Resolver gráficamente Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas...13,14.- Analizar la solución de Sistemas de ecuaciones mediante interpretación geométrica.......15,16.- Resolver analíticamente sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas ........................................ 17,18,19,20.- Definir vector.......20.- Identificar los elementos de un vector.......20.- Determinar gráficamente las componentes de un vector........21,22.- Realizar gráficamente la adición de vectores........22,23.- Aplicar gráficamente las propiedades de la adición con vectores en el plano...24,25.- Producto de un escalar por un vector.........26,27,28.- Establecer el Sistema de coordenadas rectangulares...........28.- Realizar ejercicios de proyecciones ortogonales.......29,30.- Establecer la traslación de figuras planas como una aplicación........31.- Identificar los elementos de la traslación............31.- Efectuar traslaciones de figuras planas.........32.- Efectuar la composición de traslaciones......33,34.- Establecer la rotación de figuras planas como una aplicación.........35,36.- Establecer la simetría axial de figuras planas como una aplicación........37.-Efectuar la simetría axial de figuras planas..........38.- Evaluar las traslaciones, rotaciones y simetrías como isometrías.........39.- Establecer la congruencia de figuras planas.........40.- Criterios de congruencia de triángulos..........40,41.- Bibliografía..........42

4

Sistema de Coordenadas.

Definiciones:

a.- Un punto: es un ente matemático que no tiene dimensiones.

b.- Una recta: es un ente matemático que solamente tiene longitud y está formado por

infinitos puntos, por lo tanto, una recta es un conjunto de puntos.

Cuando se dan dos puntos sobre la recta: * * a b

Se anota: ab recta “ab”

c.- Plano: es un ente matemático que solamente tiene longitud y anchura, y está

formado por infinitos puntos, por lo tanto, un plano es un conjunto de puntos, y una

recta es un subconjunto del plano que las contiene.

Sistema de Coordenadas

Y

II I

X

III IV

Los ejes de coordenadas se llaman OX y OY y dividen el plano en cuatro

subconjuntos llamados cuadrantes.

5

Definir el plano real como una biyección entre el conjunto R y el sistema de

coordenadas rectangulares.

Se dice que hay relación en el plano, ya que hay que buscar la forma de unir dos

puntos de dos rectas dadas.

Ejemplo:

L’

0 L

Trazamos por un punto (p) cualquiera, rectas paralelas dadas, cuyos puntos de corte

son (a y b)

L’

b p

0 a L

Se observa que el par (a, b) representan rectas reales del mismo origen, entonces

(a, b) ε R x R.

Los números reales (a y b) se llaman coordenadas de punto (p).

6

Representar puntos en el plano:

a.- Situar los puntos a(2,5) ; b(2,1) ; c(-1,-4) ; d(3,-5)

y

5

4

3

2

1

x

-2 -1 0 1 2 3-1

-2

-3

-4

Ejercicios: Representar los siguientes puntos:

1.- a(2,-6) ; b(-2,-6) ; c(8,-3) ; d(5,9)

2.- a(-4,7) ; b(-2,4) ; c(1,6) ; d(-5,8)

3.- a(6,7) ; b(-8,2) ; c(-4,8) ; d(3,-9)

4.- a(-4,-7) ; b(7,12) ; c(-7,0) ; d(-3,5)

5.- a(-4,-7) ; b(7,3) ; c(-4,7) ; d(-6,0)

6.- a(12,4) ; b(4,9) ; c(-3,7) d(9,5)

7.- a(12,4) , b(-5,-6) ; c(6,8) ; d(-9,-3)

8.- a(3,4) ; b(2,-7) ; c(-1,1) ; d(4,9)

7

Representar gráficamente la función afín.

Son las funciones de la forma f: x R en donde x es un subconjunto de R(x R).

Variable: es una letra que representa indistintamente cualquiera de los elementos de

un conjunto de números. A este conjunto se le llama dominio de la variable.

Ejemplo: Representar y = 2x donde x = -2,-1,0,1,2

y

x = -2--------- y = 2(-2) = -4

x = -1---------y = 2(-1) = -2 4

x = 0---------y = 2(0) = 0 3

x = 1---------y = 2(1) = 2 2

x = 2---------y = 2(2) = 4 1

x

-2 -1 0 1 2

-1

-2

-3

-4

Ejercicios: Representar gráficamente las siguientes funciones: donde: x =-2,-1,0,1,2

1.- y = 2 –x 2.- y = 3x – 2 3.- y = 4x + 5

4.- y = 5 – 2x 5.- y = x + 4 6.- y = 6x - 2 2

7.- y = 2x + x 8.- y = 5x + 2 9.- y = 4x -1 2

8

Establecer la ecuación de la recta.

y – y1 = y2 – y1 . (x – x1) x2 – x1

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las

rectas 3x – 2y = 0 y 4x + 3y = - 17 y pasa por el punto (3,4).

3x – 2y = 0 3 3x – 2y = 0 9x – 6y = 0

4x + 3y = -17 2 4x + 3y = -17 8x + 6y = -34 17x =-34

x = -34 x = -2 calculamos y: 3x – 2y = 0 17 3(-2) - 2y = 0

-6 – 2y = 0 y = 6

-2

y = -3

Calculo de la ecuación: x1 = -2 y – (-3) = 4 – (-3) . (x – (-2)) y1 = -3 3 – (-2) x2 = 3 y2 = 4 y + 3 = 4 + 3 . (x + 2)

3 + 2

y + 3 = 7 (x + 2) 5

5y + 15 = 7x + 14

-7x + 5y + 1 = 0

9

Ejercicios: Hallar la ecuación de la recta en :

1.- 2x + y = 4 2.- 2x + y = 4

3x + 2y = 1 3x + 2y = -1

3.- 2x + 4 y = 2 4.- 3x – y = 5

x + 2y = 4 2x + y = 10

Haz de Rectas: por un punto de un plano se pueden trazar infinitas rectas. Al conjunto

formado por estas infinitas rectas que pasan por el mismo punto se le llama haz de

rectas.

a

.

10

Calcular la pendiente de la recta

Ecuación: y – y1 = m(x – x1) donde la pendiente es: m = y2 – y1

x2 – x1

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a 3 y pasa por la

intersección de las rectas 2x + y = -2 y x + 3y = -11

2x + y = -2 1 2x + y = -2 2x + y = -2

x + 3y = -11 -2 x + 3y = -11 -2x – 6y = 22

-5y = 20

y = 20-5

y = -4

Calculo de x: 2x + y = -2 x = -2 -y x = -2 + 4 2 2

x = 1 entonces: m = 3 y – (-4) = 3(x –1) x1 = 1 y1 = -4 y + 4 = 3x –3

3x – y = -3 –4

3x – y + 7 = 0

11

Ejercicios: Hallar la pendiente en las ecuaciones:

1.- 2x + y = 4 m = 2 2.- 3x – 2y = -1 m = 4

3x + 2y =-1 2x + y = 4

3.- 2x – 3y = 1 m = 3 4.- x + y = 1 m = 5

3x – 2y = -1 x – y = 2

Calcular la distancia entre dos puntos.

Cuando al medir dos segmentos obtenemos el mismo número, los segmentos son

congruentes.

Cuando al medir dos segmentos obtenemos números diferentes, los segmentos son

diferentes.

Para hallar la distancia “d” del punto P1 a P2 utilizamos el Teorema de Pitágoras;

ya que la d(P1,P2) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son :

(x2 – x1) y (y2 – y1) .

y

y2 P2=(x2,y2)

y1

P1(x1,y1) x2 – x1

x1 x2 x

12

Formula: d(P1,P2) = (x2 – x1)² + (y2 – y1)²

Ejemplo: Ubica los puntos en el plano y calcula el perímetro de :

P1(3,2) P2(1,-1) P3(3,0)

d(P1,P2) = (1-3)² + (-1-2)² = (-2)² + (-3)² = 4 + 9 = 13

d(P2,P3) = (3-1)² + (0+1)² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5

d(P3,P1) = (3-3)² + (2-0)² = 0² + 2² = 4 = 2

y

P1(3,2)

2

1

0 1 2 3 x

-1 P3(3,0)

P2(1,-1)

13

Ejercicios: Representa los siguientes puntos:

1.- P1(2,4) P2(-2,5) P3(2,5) 2.- P1(3,-2) P2(-2,4) P3(-1,2)

3.- P1(-3,6) P2(2,1) P3(-3,6) 4.- P1(-4,7) P2(-4,8) P3(2,4)

5.- P1(5,8) P2(1,2) P3(-4,7) 6.- P1(5,6) P2(3,5) P3(-1,4)

Establecer el concepto de Sistemas de Ecuaciones Lineales y solución del sistema.

Se llama solución de una ecuación lineal con dos incógnitas, al conjunto formado

por los pares de valores de las incógnitas que sustituidas en la ecuación la transforman

en una identidad.

Resolver gráficamente Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.

Ejemplo: Resolver gráficamente el sistema:

3x – 2y = -1 x =(1,3) Despejamos y: 3x – 2y = -1

2x + y = 4 x =(0,-1) y = 3x + 1 2

Sustituimos x por 1:

y = 3(1) + 1 y = 3 + 1 y = 4 y = 2 2 2 2

A(1,2)

14

Sustituimos x por 3: y = 3(3) + 1 y = 9 + 1 y = 10 y = 5 2 2 2

B(3,5)

Despejamos y en la otra ecuación: 2x + y = 4 y = 4 – 2x

Sustituimos x por 0: y = 4 – 2(0) y = 4 –0 y = 4 C(0,4)

Sustituimos x por –1

y = 4 – 2(-1) y = 4 + 2 y = 6 D(-1,6)

y

6 C 5 B

4 D

3

2 A

1

-1 0 1 2 3 x

Ejercicios: Resolver gráficamente los sistemas:

1.- 2x + y = 4 2.- 2x – 7y = 6 3.- 2x – 3y = 1

3x + 2y=-1 4x – 3y = 2 3x + 4y =10

15

Analizar la solución de Sistemas de Ecuaciones mediante interpretación geométrica.

a.- Sistema Incompatible: se dice que el sistema es incompatible cuando entre todas las

soluciones de la primera ecuación y todas las soluciones de la segunda, no hay solución

común.

La representación gráfica de este sistema son dos rectas paralelas.

y L

L’

x

b.- Sistema Indeterminado: se dice que el sistema es indeterminado ya que todas las

soluciones de la primera ecuación sean exactamente iguales a todas las soluciones de la

segunda, o sea las ecuaciones son equivalentes.

La representación gráfica de este sistema es una línea recta.

y

x

16

c.- Sistema Determinado: se dice que el sistema es determinado, ya que entre todas las

soluciones de la primera ecuación y todas las soluciones de la segunda, solamente haya

una solución común.

La representación gráfica de este sistema son dos rectas que se cortan.

y L

L’

x

Resolver analíticamente Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.

a.- Método de Reducción: Este método es algebraico y consiste en hacer las

transformaciones necesarias para que el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

se transforman en una ecuación con una incógnita para lo cual nos apoyamos en las

siguientes propiedades:

a.1.- Si una ecuación la multiplicamos o dividimos por un número resulta una ecuación

equivalente(tiene las mismas soluciones).

a.2.- Si sumamos o restamos miembro a miembro dos ecuaciones resulta una ecuación

equivalente a estas.

17

Ejemplo: Resolver x + 2y = 8 -2 x + 2y = 8

2x + y = 7 1 2x + y = 7

-2x – 4y = -16

2x + y = 7

-3y = -9 Calculamos x en cualquier ecuación:

y = -9/-3 x + 2y = 8

y = 3 x + 2(3) = 8

x + 6 = 8 x = 8 – 6 x = 2

Ejercicios:

1.- 3x – y = 5 2.- 2x – 2y = 10 3.- 4x + y = -12

2x + y =10 3x + 2y = 10 2x – 3y = 1

4.- 5x – 2y = -2 5.- 2x + y = -2 6.- 3x – 2y = 2

x – 2y = 2 x + 3y = -11 3x + 4y =22

b.- Método de Sustitución: También es algebraico y consiste en despejar una de las

incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación.

18

Ejemplo: Resolver x – 5y = 8 despejamos x: x – 5y = 8

-7x + 8y = 25 x = 8 +5y

Sustituimos en la otra ecuación -7x + 8y = 25 -7(8 + 5y) + 8y = 25

-56 – 35y + 8y = 25

-35y + 8y = 25 + 56

-27y = 81

y = 81/-27 = y = -3

encontramos el valor de x: x = 8 + 5y x = 8 + 5(-3)

x = 8 – 15

x = - 7

Ejercicios:

1. - 2x + y = 3 2.- x + y = 1 3.- 5x + 2y = 3

x + y = 8 x – y = 1 2x + 3y =-1

4.- 5x – y = 0 5.- 4x – 5y = 3 6.- 2x – 2y = 10

2x + y = 1 3x – 3y = -3 3x + 2y = 10

c.- Método de Igualación: también es algebraico y consiste en despejar la misma

incógnita en cada una de las ecuaciones para después igualar sus valores.

19

Ejemplo: Resolver: 2x + 1 = y 4(2x + 1) = 5y5 4

8x + 4 = 5y 2x – 3y = -8 8x – 5y = -4

sustituimos la x en las dos ecuaciones: 8x – 5y = -4 = x = -4 + 5y 8

2x – 3y = -8 = x = -8 + 3y 2

igualamos los valores de x: -4 + 5y = -8 + 3y = 2(-4 + 5y) = 8(-8 + 3y) 8 2

-8 + 10y = -64 + 24y

10y – 24y = -64 + 8

-14y = -56

y = -56/-14

y = 4

sustituimos y en la segunda ecuación: 2x – 3y =-8 2x –3(4) = -8

2x – 12 = -8

x = -8 +12 2

x = 4/2 = x = 2

20

Ejercicios:

1.- 2x + y = 3 2.- x + y = 5 3.- 2x – 7y = 10

4x + 4y = 8 x – y = 0 4x - y = -6

4.- 2x - y = -6 5.- 5x + 2y = 3 6.- 8x – 4y = 9

x + y = 1 2x + 3y =-1 6x + 2y = 7

Definir Vector: vector es un segmento orientado. En la matemática moderna, vector es

una generalización del concepto geométrico o físico del mismo en el espacio ordinario

de tres dimensiones.

Identificar los elementos de un Vector:

a.- Módulo: es el número positivo que representa la longitud del vector.

ab su módulo es / ab /

b.- Sentido: el sentido está indicado por la punta de la flecha colocada en el extremo dl

vector.

c.- Dirección: la determina la recta soporte y puede ser vertical, horizontal e inclinada

u oblicua.

d.- Punto de Aplicación: lo determina el punto donde comienza el vector.

21

Determinar gráficamente los componentes de un vector:

Los componentes de un vector, es el punto que tiene como abscisa la diferencia de

las abscisas y como ordenadas las diferencias de las ordenadas de los puntos que

forman el extremo y el origen.

Ejemplo: Calcular las componentes del vector ab , donde a = (4 , -2) ; b = (3,6)

ab = ( x2 – x1 , y1 –y2 ) ab = (3 – 4, 6-(-2)) ab = (-1,8)

x = -1 ; y = 8 y

8

7

6

5

4

3

2

1 x

-1 1

Ejercicios: Hallar los componentes de los vectores:

1) a = (4,8) ; b = (-3,5) 2) a = (-3,-2) ; b = (4,-1)

3) a = (5,9) ; b = (-4,6) 4) a = (7,5) ; b = (6,4)

5) a = (5,-4) ; b = (2,8) 6) a = (5,-9) ; b = (6,5)

22

Realizar gráficamente la adición de Vectores:

Regla del Paralelogramo:

Dados los vectores a y b de la figura. Determinar a + b

a b

a.- Trasladamos los vectores hasta que coincidan sus puntos de aplicación.

b.- Dibujamos el vector.

c.- Se aplica la regla.

b

a

23

Ejercicios: Aplica la regla del paralelogramo en los siguientes vectores:

a)

x y

b) a

b

c) p

q

24

d) a

b

Suma de Vectores:

Ejemplo: Sumar los vectores a = (3,-6) ; b = (-2,8)

a + b = ( 3 – 2, -6 + 8) = (1,2)

y

2

1

x

-1 1

25

Aplicar gráficamente las propiedades de la adición con vectores en el plano.

a) Asociativa: a = (xa , xb) ; b = (xb , xb) ; c = (xc , yc)

( a + b ) + c = a + ( b + c ) a + b + c

Ejemplo: Dados los vectores a = ( 2,5) ; b = (-6,-2) ; c = ( -1,3)

( a + b ) + c = (2 +(-6),5+(-2)) + (-1,3)

(-4,3) + (-1,3) = (-4+(-1),3+3) = (-5,6)

y

6

5

4

3

2

1

-5 -4 -3 - 2 -1 0 x

26

b) Conmutativa: a = ( xa , ya) ; b = ( xb , yb) dónde: a + b = b + a

Ejemplo: Dados los vectores a = (2,5) y b = (-6,-2)

a + b = (2 +(-6),5+(-2)) = (-4,3)

b + a = (-6+2,-2+5) = (-4,3)

y

4

3

2

1

-4 -3 -2 -1 0 x

27

c) Elemento Neutro: a = (x,y) ; 0 = (0,0) dónde: a + 0 = 0 + a = a

Ejemplo: Dados los vectores a = (2,5) y 0 = (0,0)

a + 0 = (2+0,5+0) = (2,5) y

0 + a = (0+2,0+5) = (2,5)

5

4

3

2

1 x

0 1 2

d) Vector Opuesto: a = (x,y) opuesto -a = (-x,-y)

a + (-a) = { x +(-x),y + (-y)} = (0,0) = 0

Ejemplo: Dado a = (2,5) Hallar el opuesto

a + (-a) = { 2+(-2),5+(-5)} = (0,0)

Producto de un escalar por un vector.

Se define el producto escalar por un vector, como el producto de uno de los vectores

por la proyección del otro sobre él.

28

Ejemplo: Dados los vectores a = (3,2) y b = (1,4). Hallar su producto escalar tomando

como base i , j .

a = 3 i + 2 j y b = i + 4 j

a . b = 3 . 1 + 2 . 4 = 3 + 8 = 11

Ejemplo: Dados d = (1/3,2/5) y e = (2,3) . Hallar: d . e

d . e = (1/3 . i + 2/5 . j ) (2 . i + 3 . j ) = (1/3 . 2 + 2/5 . 3) = (2/3 + 6/5)

Ejercicios:

Suma y representa los siguientes vectores:

1) a = (2,5) ; b = (2,7) 2) a = (-3,-6) ; b = (-4,-4)

3) x = (2,6) ; y = (-5,-9) 4) a = (4,7) ; b = (-3,-9) ; c = (5,8)

Aplica la propiedad conmutativa en los siguientes vectores:

1) a = (-2,5) ; b = (12,8) 2) a = (4,6) ; b = (-3,-6)

3) x = (4,8) ; y = (2,1) 4) p = (6,9) ; q = (-4,-2)

Aplica la propiedad asociativa en los siguientes vectores:

1) a = (2,6) ; b = (11,15) ; c = (-5,-8) 2) a = (2,7) ; b = (-1,-4) ; c = (-4,-7)

3) x = (2,9) ; y = (-5,-3) ; z = (4,8) 4) p = (6,9) ; q = (2,5) ; t = (6,10)

Aplica el elemento neutro y opuesto en los siguientes vectores:

1) a = (2,6) 2) b = (4,7) 3) c = (4,9) 4) d = (-4,7)

5) x = (-3,6) 6) y = (-6,8) 7) b = (6,12) 8) p = (7,21)

29

Hallar el producto escalar de los vectores:

1) a = (3,2) ; b = (4,8) 2) c = (-2,8) ; d = (4,9)

3) x = (5,5) ; y = (9,6) 4) p = (6,4) ; q = (6,3)

Establecer el Sistema de Coordenadas Rectangulares:

Cuando las rectas secantes del plano son perpendiculares, el sistema cartesiano se

llama rectangular u ortogonal.

y

0 x

Los ejes de coordenadas se llaman 0X y 0Y y dividen al plano en cuatro

subconjuntos llamados cuadrantes.

La recta 0X se llama ejes de las abscisas.

La recta 0Y se llama ejes de las ordenadas.

30

Realizar ejercicios de proyecciones ortogonales.

En la proyección ortogonal las proyecciones son perpendiculares a la recta sobre la

que se proyecta, no es necesario indicar la dirección perpendicular a dicha recta.

Ejemplo: Proyectar la figura sobre la recta D.

a b

c d

D

Ejercicios: Realizar las proyecciones de las siguientes figuras:

a ) a c

b d

31

b)

p

c) f

d) s

32

Establecer la traslación de figuras planas como una aplicación.

Se denomina traslación de vector ab a una aplicación del plano en si mismo, de tal

manera que a un punto cualquiera p ε π tal que el vector pp´, sea equipolente con el

vector ab .

Vector equipolente: son los que tienen igual módulo, dirección y sentido.

Identificar los elementos de la traslación.

Una traslación se cumple, si existen los elementos:

a.- Un punto forma otro punto.

b.- Una recta se transforma en una paralela.

c.- Un segmento se transforma en paralelo y congruente.

d.- Un ángulo se transforma en congruente.

Efectuar traslaciones de figuras planas.

a) Trasladar la figura:

a

b c

33

b) Trasladar la figura:

c) Trasladar la figura

d) Trasladar la figura

34

Efectuar la composición de traslaciones.

b c

t1 t2

a d

Se representan dos traslaciones de vectores ab y cd sobre abc.

De la figura se deduce que:

a.- Se transformó la figura abc en su imagen a’ b’ c’ según el vector ab.

b.- Se transformó la figura a’ b’ c’ en su imagen a” b” c” según el vector cd.

La traslación que transforma la figura abc en la figura a” b” c” se le denomina

traslación compuesta de las traslaciones ab y cd.

Ejercicios: Efectúa las siguientes composiciones de traslaciones:

1) p1

a b

p2

c d

35

2)

a b

c d x1 x2

3)

a t1

d

b c t2

4) a

s1

b c

d s2

36

Establecer la rotación de figuras planas como una aplicación.

Dado un punto cero y un ángulo orientado β, se denomina rotación de centro 0 y

ángulo β a una aplicación del plano π en sí mismo, de tal manera que a cada punto p ε π

se le hace corresponder otro punto p’ ε π tal que los segmentos 0p y 0’p’ sean

congruentes, así cómo los ángulos p ó p’ y ángulo β.

Efectuar la rotación de figuras planas.

Ejemplo:

b’

a c’

c

a’

b

37

Ejercicios: Efectuar la rotación de las siguientes figuras:

1)

a b

c d *

2) a b

*

c

d

a c

3)

d *

b e

38

Establecer la simetría axial de figuras planas como una aplicación.

En la simetría axial se cumple:

a) Un punto se transforma en un punto.

b) Una recta se transforma en otra recta no paralela.

c) Un segmento se transforma en un segmento no paralelo, pero congruente.

d) Un ángulo se transforma en un ángulo congruente.

Efectuar la simetría axial de figuras planas.

Ejemplo:

a c

d’ b’

*

b d

c’ a’

39

Ejercicios: Efectuar las simetrías de las siguientes figuras:

1) a b

*

c d

2) a b

*

c d

3) a

c d *

b e

40

Evaluar las traslaciones, rotaciones y simetrías como isometrías.

a) La simetría axial es una isometría.

b) El compuesto de dos simetrías centrales, en una traslación.

c) El compuesto de dos simetrías axiales de ejes paralelos es una traslación.

d) El compuesto de dos simetrías axiales de ejes concurrentes, es una rotación de

centro, el punto de corte de los ejes, y de ángulo doble al formado por los ejes.

Establecer la congruencia de figuras planas.

Dos figuras planas son congruentes cuando es posible establecer una isometría

(traslación, giro o simetría) entre ellas.

Los elementos que coinciden entre dos figuras congruentes, se denominan elementos

homólogos.

Dos figuras congruentes tienen la misma extensión y la misma medida.

a b a’ b’

c d c’ d’

a’ es homólogo de a b’d’ es homólogo de bd

b´ “ “ “ b c’d’ “ “ “ cd

a´b´ “ “ “ ab c’ “ “ “ c

a’c’ “ “ “ ac d’ “ “ “ d

41

Establecer los criterios de congruencia de triángulos.

Un triángulo consta de seis elementos, tres lados y tres ángulos y si dos triángulos

son congruentes, significa que superpuestos coinciden.

a) Primer Criterio: dos ángulos son congruentes si tiene sus tres lados

congruentes.

b) Segundo Criterio: dos triángulos son congruentes, si tienen un lado congruente y

los ángulos adyacentes a este lado también son congruentes.

c) Tercer Criterio: dos triángulos son congruentes, si tienen un ángulo congruente

comprendido entre dos lados congruentes.

Ejemplo:

Construir un triángulo abc con los siguientes datos:

c

ab = 6 cm

bc = 5 cm 4 cm 5 cm

ca = 4 cm

a b

6 cm

42

Ejercicios: Construir triángulos con los siguientes datos:

1) ab = 5 cm 3) ab = 5 cm

ac = 2 cm bc = 4 cm

bc = 4,5 cm β abc = 60°

2) ab = 4 cm 3) ab = 6 cm

ac = 4 cm bc = 4 cm

bc = 6,5 cm β abc = 80°

43

BIBLIOGRAFIA

NAVARRO, E………………………………………………Matemática 8vo Grado .Distribui-

dora Zacarias. Caracas.

Venezuela. 1987.

SARABIA, José y BARRAGÁN, Fernando...................Matemática 7mo. Grado. Ediciones

CO-BO. Caracas. Venezuela.1993.