Profesor de Matemática Especialista en Planificación y Evaluación

LF 03220025103327 ISBN 980-345-249-5

1

PROLOGO

La guía práctica que utilizarán los alumnos, refleja en forma sencilla y útil los

objetivos del programa de matemática de 11VO Semestre.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los alumnos un

instrumento que, mediante lo practico de sus ejercicios facilite el proceso de

aprendizaje dentro y fuera del aula.

Los Teques, Mayo del 2003

2

Agradecimientos:

Por su valiosa colaboración en revisar, corregir y anexar planteamientos y ejercicios:

Prof. Miguel Carmona Especialmente a: A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U.E.P.”Gran Aborigen

U.E.N.”Teresa de la Parra

U . N . E . O . P . E .M

3

CONTENIDO .- Elementos del conjunto Irracional............4

.- Números Irracionales.......4

.- Conjunto de los N° reales............4

.- Aproximaciones reales.........4

.- Expresiones decimales..............5,6

.- Fracción generatriz............7

.- Operaciones con N° reales................8,9,10,11,12

.-Ejercicios...........13,14,15

.- Radicales...........16,17,18,19,20,

.- Representar intervalos...............20,21

.- Inecuaciones............22

.- Ejercicios............2324,25

.- Estadística.........26,27,28,29,30,31,32,33,34

.- Bibliografía........35

4

Conjunto de los N° Irracionales:

Los números decimales que no podemos expresar exactamente por números

racionales, son los que corresponden a los números decimales con infinitas cifras no

periódicas y que se denominan números irracionales n a Q , Q ∩ I = 0

Números Irracionales:

3,8 . es una expresión decimal limitada, por lo tanto es un N° irracional, no es racional.

5,4343 : es una expresión decimal periódica, por lo tanto es un N° racional.

Π = 3,141592654 : es irracional, pués no tiene parte decimal que se repite.

√2 = 1,4142135562 : es irracional, pues no tiene parte decimal que se repita.

Conjunto de los N° Reales:

Los números Reales es el conjunto formado por la unión de los N° racionales (Q) y

los irracionales (I), y se anota con la letra R.

R = Q U I y Q ∩ I = 0

Podemos escribir: N Z Q R es decir: los N° naturales son un subconjunto de los

enteros, a su vez subconjunto de los racionales, a su vez subconjunto de los reales.

Aproximaciones racionales de N° reales:

Cuando se trabaja con N° reales, no siempre se utilizan todas las cifras decimales,

por lo tanto, utilizamos algunas de ellas para dar una mejor aproximación por defecto o

exceso.

5

Por defecto: aproximación un poco menor de un número.

Ejemplos: a) 2 = (1,4)2 = 1,96

(1,41)2= 1,9881

(1,414)2= 1,999396

b) 3= (1,6)2 = 2,56

(1,61)2= 2,5921

(1,616)2= 2,611456

Por exceso: aproximación un poco mayor de un número.

Ejemplo: a) 2 = (1,415)2 = 2,002225

(2,231)2= 4,977361

(2,232)2= 4,981824

Expresiones Decimales:

Decimal Mixta: en una expresión decimal periódica mixta, hay parte decimal que no se

repite y parte decimal que se repite siempre. El período no comienza en las décimas. El

no período lo forman las cifras comprendidas entre la coma y el período.

Ejemplo: 2,56363 2 = parte entera

5 = ante-período

6363 = período

6

Ejercicios: 5/12 = 0,4166 Parte entera:_____

Ante-período:______

Período. ______

5/6 = 0 ,8 33 Parte entera:____

Ante-período:____

Período:____

Decimal Pura: en una expresión decimal pura el período empieza en la primera

cifra decimal. El período viene dado por el grupo de cifras que siempre se repite.

Ejemplo: 3,4646 Parte entera: 3

Período: 4646

Expresión generatriz decimal pura o limitada:

Si tenemos un N° decimal con número limitado de cifras decimales, su fracción

generatriz será la que tenga:

a) Como numerador, la parte entera seguida de las cifras decimales, prescindiendo

de la coma.

b) Como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales

tenga.

7

Ejemplo: Calcular la fracción generatriz f = 3, 4

10f = 10 x 3,4 = 34, 4

-f = -1 x 3,4 = -3, 4

9f 31

f = 31

9

Expresión generatriz mixta o ilimitada:

Si tenemos un N° decimal con infinitas cifras, periódico mixto, su fracción

generatriz será la que tenga:

a) Como numerador, la parte entera seguida del no-período y del

período(prescindiendo de la coma) menos la parte entera seguida del no-

período (prescindiendo de la como)

b) Como denominador, tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de

tantos ceros como cifras tenga el no-período.

Ejemplo: Calcular la fracción generatriz f = 3,5 21

1000f = 1000 x 3,5 21 = 3521, 21

-10f = -10 x 3,5 21 = -35, 21

990f 3486

f = 3486

990

8

Suma de números reales:

Para efectuar cualquier adición de números reales, basta sustituir cada sumando

dado por su correspondiente número racional de acuerdo a la mejor aproximación

decimal propuesta.

Ejemplo: Sumar: 3/8 + 5 + 8,360 = 0,375 + 2,236 + 8,360

= 10,971

Resta de N° reales:

Ejemplos:

1) Resolver 5,34 – 3,24 = 2,10

2) Resolver 6 – 1,3 – 0,3 = 2,44 – 1,3 – 0,3 = 0,84

Representación gráfica de un N° irracional:

Representar gráficamente el número 2

Como 12 + 12 = ( 2)2, de acuerdo con el Teorema de Pitágoras, podemos construir

un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1.

Para ello, trazaremos una recta “L” y sobre ella tomamos como base un cateto

cuyos extremos son 0 y 1, la altura es el otro cateto de longitud 1. Se traza la

hipotenusa 0A igual a 2 .

Luego, con abertura de compás igual a 0A y centro en 0 se traza el arco AA.

El punto de intersección A’ del arco con la recta representa el irracional 2.

9

A

2

1 A’ -1 0 1 2 2 Ejemplo: Representar x = 13 13 = 22 + 32 = x2 = 22 + 32 = x = 22 + 32 x = 4 + 9 x = 13 = 3,6 13 0 1 2 3 4 5 6 Producto de N° reales:

Para multiplicar N° reales con una aproximación de “n” cifras decimales:

a) Se escribe la mejor aproximación con “n” cifras decimales de cada factor.

b) Se efectúa el producto.

c) El resultado se da solamente con “n” cifras decimales.

10

Ejemplos:

1) Resuelve 5 . 1,34 . 1,34 = 2,23 . 1,34 . 1,34

3 2 1,41 3 1,41 1,41

= 0,74 . 0,95 . 0,95 = 0,66

Propiedades de la multiplicación de N° reales:

1) Conmutativa: a . b = b . a

Resuelve: 1) 4,5 . 3,6 = 2) 6/4 . 3,5 = 3) 5 . 3 =

2) Asociativa: a . b . c = a . (b . c) = (a . b) . c

Resuelve: 1) 5,4 . 5,3 . 3 = 2) 4 . 6,4 . 7/2 =

3) Distributiva: a . { b c} = a . b a . c

Resuelve: 1) 3 . { 3,5 + 4} 2) 4/6 . { 6 + 2,5}

Raíz enésima de un N° real:

n a = b = signo radical

a = cantidad sub-radical

n = índice de la raíz

b = raíz n-sima de a

Si a y b son números reales y “n” un número natural, se dice que “b” es la raíz

enésima de “a” si cumple que bn = a (a 0 y b 0 cuando “n” es par ).

n a = b bn = a

11

Cálculo de raíces cuadradas:

Ejemplo:

1) Sea calcular 625

a) Formamos grupos de dos cifras, de derecha a izquierda. El último grupo puede tener

1 ó 2 cifras. 6 . 25

b) Se extrae 6 con un error menor que la unidad: 6 = 2

625 2

c) Se eleva al cuadrado el 2 y se resta de 6 : 6 – 4 = 2

6 . 25 2

-4

2 d) Se coloca a la derecha del resto el grupo siguiente al 6(25) y se separa una cifra a

partir de la derecha.

6 . 25 2

-4

22.5

e) Se toma el doble de 2 que es 4 y se coloca debajo de él.

6.25 2

-4 4

22.5

12

f) Se divide 22:4 y el resultado 5 se coloca a la derecha del 2 y del 4.

6.25 25 Se efectúa 45 x 5 y se resta de 225

-4 45 x 5 =225

22.5

- 22.5

0

13

EJERCICIOS

Identifica los números racionales e irracionales:

a) 34,3458______ b) 5,3434________ c) 2/7 _______

d) 6/8 _______ e) 56,2 _______ f) 2,02003______

g) 7 ______ h) 3 ______ i) ℮ = 2,71828______

Determina, para cada número real que se especifica, si la aproximación

que se da es por defecto o por exceso:

a) 3,31 de ℮√11 _____ b) 2,3 de √ 5 ______

c) 3,2 de π ________ d) 2,45 de 6,25 _____

e) 3,17 de √10 ______ f) 1,12 de 1,25_______

Resuelve el racional y determina si la expresión decimal es mixta o pura,

y sus partes:

a) 5/13 b) 81/4 c) 24/5 d) 125/90

e) 20/12 f) 2/7 g) 11/20 h) 10/3

i) 52/99 j) 6/12

14

Calcular la fracción generatriz de los siguientes decimales:

a) f=3,456 b) f=44 ,28 c) f= 35,285 d) f= 59,4

e) f= 126,835 f) f= 23,567 g) f= 30,54 h) f=349,34

Suma los siguientes N° reales:

a) 5/4 + 3/6 + √3/2 b) √4/3 + 2,36 + √7

c) 7,52 + √6 + 2 d) 6 + 1,28 + 0,34

2 3 4

Aplica las propiedades de la suma de N° reales:

a) Conmutativa 3 + √7 b) Conmutativa √8 + 9

4 2

c) Asociativa 5 + 1,34 + √3 d) Asociativa √8 + 4 + 0,32

2 3

e) Elemento neutro 2,382 + √2 + 3 + 0 =

5 7

f) Elemento simétrico √2 + 3 = g) Elemento simétrico 3 + 8 =

5 2

15

Problemas de suma y resta de N° reales:

a) Un terreno mide 32.000m2. Se dividirá en 5 partes. La primera 2/5 de la

longitud; la segunda ¼; la tercera 2/5; la cuarta 1/5 y la quinta 1/8.

¿ Cuántos metros corresponde a cada parte?

b) Una torta pesa 4 kg. Se dividirá entre Luis 2/5; Pedro 1/5; Julio 2/7 y

Javier 2/9. ¿ Cuantos kg le tocó a cada uno?

c) La distancia entre dos ciudades es de 356 km. Si un vehículo parte de una

ciudad hacia la otra, y hace el siguiente recorrido: la primera hora recorre

1/9 de la distancia; la segunda hora 2/5; la tercera hora 1/5; y la cuarta

hora 2/7. ¿ Qué distancia recorrió el vehículo?

Representa los N° irracionales:

a) √25 b) √29 c) √34 d) √45 e) √41

f) √52 g) √58 h) √61 i) √32 j) √74

Hallar la raíz cuadrada de los siguientes números:

a) Sea calcular √123 b) Sea calcular √2345

c) Sea calcular √1345 d) Sea calcular √2763

e) Sea calcular √354 f) Sea calcular √276

16

Radicación en R:

La radicación consiste en hallar números que elevados a 2 ‘o elevados a 3, den el

número expuesto en la parte sub-radical. Si es elevado a 2 se llamará raíz cuadrada, y

si es elevado a 3 se llamará raíz cúbica.

Simplificación de radicales:

Para simplificar radicales, se divide su índice y el exponente de la parte sub-radical

por el mismo número.

Ejemplo: Simplificar √125 = 125 = 53

6√53 = 6/3 √5

Ejemplo: Simplificar 4 9a2b2 = 9 = 32

= 4 (3ab)2 = 3ab

Suma y sustracción de radicales semejantes:

Ejemplos:

1) 4 √3 + 5 √3 = 4 + 5 √3 = 9 √3

2) √5 + 3 √5 = 3 + 1 √5 = 4 √5

3) 3 √15 - 2 √15 = 3 –2 √15 = √15

4) 15 √x - 2 √x = 13 √x

17

Multiplicación de radicales del mismo índice:

Para multiplicar radicales del mismo índice, se escribe el índice común y se

multiplican las partes sub-radicales.

Ejemplos:

1) 3 2 . 3 3 = 3 6

2) 5 3a2 . 5 2a4 = 5 6a6

Multiplicación de radicales con diferente índice:

Regla:

a) Se halla el mínimo común índice de todos los índices.

b) Se multiplica el índice y el exponente de cada uno de ellos por el cociente que resulta

de dividir dicho mínimo por el índice respectivo.

Ejemplo:

1) 3 a2 . b = m.c.i (3,2) = 6

6/3 a2 . 6/2 b = 6 (a2)2 . b3 6 a4 b3

18

División de Radicales con igual índice:

Para dividir radicales del mismo índice, se escribe el índice común y se dividen las

partes sub-radicales.

Ejemplo:

1) 3 6 = 3 6 = 3 2

3

3 2

2) 3 4a2b = 3 4a2b = 3 2a

2ab

3 2ab

División de radicales con diferente índice:

1) 3 a2 . 5 = m.c.i (3,24) = 12

4 ab2

12 (a2)4 . 12 56 = 12 a8 . 56 = 12 56 . a5

a3 . b6 b6

12 (ab2)3

19

Potencia de radicales:

Potencia de un radical: para elevar un radical a una potencia, se eleva la parte sub-

radical a dicha potencia.

m a n = m an

Raíz de un radical: se halla la raíz de la misma parte sub-radical con índice igual al

producto de los índices.

m n a = m.n a

Racionalización de expresiones radicales monomias:

Se multiplica el numerador y el denominador por una raíz del mismo índice que la

del denominador y una parte sub-radical, cuyas letras y números llevan exponentes que

sumados con los que ya tiene el denominador, nos de el índice o un múltiplo de él.

Ejemplo: Racionalizar a . 5 a2 =

5 a3. 5 a2

a 5 a2 = a 5 a2 = 5 a2

5 a5 a

20

Racionalización de expresiones radicales binomias:

En este caso, generalmente las raíces son cuadradas, por lo tanto se multiplica el

numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador.

Ejemplo: Racionalizar 2 . 2 - 2 =

2 + 2 2 - 2

2 (2 - 2 ) = 2(2 - 2 ) = = 2(2 - 2 ) = 2 - √2

(2)2 – (√2)2 4 – 2 2

Representar intervalos:

Sean a y b dos números reales cualesquiera tales que a < b . A cada uno de estos

números le corresponde un punto de la recta real.

a b

A B

Al conjunto de los números comprendidos en a y b se le llama intervalo, que en la

recta real se interpreta como el segmento comprendido entre los puntos a y b.

Intervalo cerrado: cuando los extremos se incluyen. a , b ó a ≤ x ≤ b

Intervalo abierto: cuando los extremos se excluyen. a , b ó a < x < b

21

Ejemplos Representar gráficamente

1) 3 , 6 ∩ -5 , 8

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

entonces 3 , 6

2) -3 , 5 ∩ 2 ,

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

entonces 2 , 5

22

Inecuaciones:

Una inecuación es todo valor que sustituido en lugar de la incógnita, la transforma

en una desigualdad del mismo sentido. Generalmente la solución de una inecuación es

una semirrecta.

Ejemplo: Resolver la inecuación 3x + 2 ≥ 14

x ≥ 14 – 2 = x ≥ 12 = x ≥ 4

3 3

0 1 2 3 4 5

5 ,

23

EJERCICIOS

Simplificar las siguientes expresiones radicales:

1) 10 243 2) 6 8a3 b3 3) 4 9a2 + 6ab + b2

4) 5 32a10b15 5) 4 256x8y4z12 6) 3 216a3b6c15

Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales semejantes:

1) 5 √a + 3 √a 2) 6√x + 3√x 3) 14 √6 + 2 √6

4) 10 √5 - 2 √5 5) 8 √c - 4 √c 6) 4 √3 + 2 √3 - √3

Efectúa los productos de radicales:

1) 3 x2 . 3 x3 2) 4 2x3y2 . 4 3x2

3) 5 3a2b3c . 5 a2b3 4) 6 4a2b3x . 6 a2b2x2

5) 3 4a2b3x . 6 a2b2x2 6) 4 2x2y3 . 5 3x3

24

Resuelve las divisiones de radicales:

1) 4 2x2 2) 3 6a2b3 3) 5 10a3b4c8

4 2x 3 2ab2 5 5a2b2

4) 3 3x2y4 5) 2x2y4 . 3 a2x3 6) 4 6 x3y4

4 3

x2y3 a2y2 3xy

Resuelve las siguientes potencias:

3 2

1) 4 a2b 2) 3 2a2b 3) 3a2 3 ab2 2

c2

4) 5 3 a2 5) 5 3 6) 3 a 4 b

√ a

25

Racionalizar las siguientes expresiones:

1) x5 2) ab 3) 2 4) 3 a2b

3 x2 4 a3b 3 2ab2 c

5) 5 6) 2 7) 2 + 3

5 + 5 3 - 2 5 - 2

Representa gráficamente los siguientes intervalos:

1) -2,3 ∩ 2,6 2) -1,3 ∩ 0,2

3) -4,6 ∩ -2,4 4) 0,7 ∩ 5,8

Resuelve las siguientes inecuaciones:

1) 3x + 6 ≤ 4 2) 4x – 2x +3 ≤ 7 3) x + 3x – 5 ≥ 7

2

4) x + x – 4 ≤ 2 5) 3x + 6 ≥ 18 6) 4(x + 3) – 5 ≥ -1

2

26

Estadística:

Es una ciencia que tiene por objeto tomar una decisión , basados en la recopilación,

organización, presentación y análisis de datos. La Estadística es descriptiva, deductiva

(nos lleva a una sola solución), todo esto es basado en una investigación con el fin de

llegar a una conclusión.

La parte de la estadística que trata de describir y analizar los datos sin sacar

conclusiones se llama estadística descriptiva.

La parte de la estadística que trata de dar soluciones y conclusiones para los cuales

son válidas, se llama estadística inductiva o inferencial.

Muestra: Es una parte del universo. Si una muestra es representativa de una

población, se pueden deducir importantes conclusiones acerca de ésta, a partir del

análisis de la misma.

Población: Es una colección de datos con características especiales (cualidad) de

un grupo de individuos o de un grupo de objetos, como por ejemplo: altura de las

personas, peso, objetos, etc. Una población puede ser finita o infinita.

Variable: Una variable es un símbolo, tal como x, y h, etc, que puede tomar un valor

cualquiera de un conjunto determinado de ellos, llamado dominio de la variable.

Variable continua: Una variable es continua si la variable puede tomar cualquier

valor entre dos valores dados.

27

Variable discreta: Si la variable no puede tomar cualquier valor entre dos valores

cualquiera.

Frecuencia relativa (fr): La frecuencia relativa de una clase es la frecuencia de la

clase dividida por el total de frecuencias de todas las clases y se expresa generalmente

como porcentaje.

Frecuencia acumulada absoluta (faa): La frecuencia total de todos los valores

menores que el limite real superior de clase de un intervalo de clase dado, se conoce

como frecuencia acumulada hasta ese intervalo inclusive.

Frecuencia relativa acumulada (fra): La frecuencia relativa acumulada o frecuencia

porcentual acumulado es la frecuencia acumulada dividida por la frecuencia total.

28

Probabilidad Estadística: Cuando un fenómeno se produce al azar y desconocemos

las causas que lo producen y tampoco se puede predecir los resultados obtenidos,

dichos fenómenos los llamamos aleatorios o se dice que suceden al azar. Esto se conoce

con el nombre de probabilidad.

P = CF casos favorables CP casos posibles Ejemplos: 1.- Calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara. P = 1 lo que significa 0,5 x 100% = 50% 2 2.- Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado salga el N° 5. P = 1 lo que significa 0,16 x 100% = 16,6% 6 Ejercicios: Hallar la probabilidad de que: a.- Al lanzar dos dados salga el N° 4 y 6.

b.- Al lanzar dos monedas salga cara y sello.

c.- Al meter la mano en un envase que contiene una ficha azul, dos rojas y una verde,

salga una azul y una roja.

d.- Al lanzar una moneda y un dado salga sello y 3.

29

Tipos de Gráficos:

1.- Gráfico de Barras:

45kg

pesos 40kg

35kg

30kg

25kg

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Personas

2.- Gráfico Circular:

30

3.- Gráfico de Líneas:

20

15

notas 10

05

01

5 10 15 20

alumnos

4.- Gráfico de puntos:

5000 *

4000 *

Bolívares 3000 *

2000 *

1000 *

01 05 10 15 20

Compradores

31

Ejemplo: Con la siguiente tabla de distribución, hacer el gráfico de barras:

Intervalos frecuencia clase frecuencia acumulada

01 - 05 6 6

06 - 10 8 14

11 - 15 4 18

16 - 20 5 23

8

7

6

5

Frecuencia 4

3

2

1

01 05 10 15 20

Intervalos

32

Ejemplo: Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico circular

Clases frecuencias punto medio frecuencia acumulada

01-05 5 3 5

06-10 6 8 11

11-15 4 13 15

16-20 7 18 22

Ejercicios: Con los siguientes datos, hacer un gráfico de barras

Intervalos frecuencias Punto medio P . m x f

001-002 6

003-004 8

005-006 7

007-008 4

33

Hallar la probabilidad de que:

a) Al lanzar dos dados y una moneda salga: 3,4 y cara.

b) Al lanzar tres dados salga: 3,6,5.

c) Al lanzar cuatro dados y dos monedas salga:1,6,4,3,cara y sello.

d) En un recipiente que contiene 3 metras azules, 2 metras rojas y 5 metras

verdes, al meter la mano sacar una azul y dos rojas.

e) En el siguiente cuadro numérico al lanzar un dardo, que posibilidad hay de

Acierte el N° 4.

4 5 8 9 1 0 3

12 4 7 10 23 13 43

32 89 45 54 78 98 46

27 37 4 60 100 48 41

96 3 12 76 1 0 52

34

Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras,

uno de líneas y uno circular.

Clases frecuencias punto medio f. acumulada

00-06 5

07-13 7

14-20 4

21-27 8

Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras y

uno de puntos:

Intervalos frecuencias punto medio p. m x f

1 – 10 5

11 - 20 8

21 – 30 6

31 - 40 9

35

BIBLIOGRAFIA

NAVARRO, E………………………………..Matemática 9no Grado. Distribuidora

Zacarias. Caracas Venezuela.1987.

SARABIA, José y BARRAGÁN, Fernando. Matemática 9no Grado. Ediciones

CO-BO. Caracas. Venezuela. 1993