Profesor de Matemática, Especialista en Planificación y Evaluación

LF 03220025103327ISBN 980-345-249-5

1

PROLOGO

La guía práctica que utilizarán los alumnos, refleja en forma sencilla y útil los

objetivos del programa de matemática del 12VO semestre de Educación de Adultos.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los participantes

una guía que, mediante lo practico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje

dentro y fuera del aula.

Los Teques, Mayo del 2003

2

Agradecimientos:

Por su valiosa colaboración en revisar, corregir y anexar planteamientos y

ejercicios:

Prof. Miguel Carmona

Especialmente a:

A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U.E.P.”Gran Aborigen

U.E.N.”Teresa de la Parra

U . N . E . O . P . E .M

3

CONTENIDO

.- Sistema de Coordenadas..........4

.- Definir el plano real como una biyección entre el conjunto R y el sistema de coordenadas rectangulares............5.- Representar puntos en el plano.............6.- Representar gráficamente la función afín.............7.- Haz de rectas, distancia entre dos puntos..........8,9,10.- Establecer el concepto de Sistemas de ecuaciones lineales y solución del sistema ............10.- Resolver gráficamente Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.....11,12.- Analizar la solución de Sistemas de ecuaciones mediante interpretación geométrica..............12,13,14.- Resolver analíticamente sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas....14,15, 16,17.- Función Cuadrática.......18,19.- Ecuación de Segundo Grado.........20,21.- Ecuación Irracional..............22,23.- Definir vector.........23.- Identificar los elementos de un vector............23.- Determinar gráficamente las componentes de un vector.............24.- Realizar gráficamente la adición de vectores.............25,26.- Aplicar gráficamente las propiedades de la adición con vectores en el plano..27,28,29.- Producto de un escalar por un vector.......29,30,31.- Concepto de base, dimensión, vector colineal...........31,32.- Vector ortogonal, independencia y dependencia lineal, longitud o norma del vector..............33.- Sistema de Coordenadas..........34.- Teorema de Pitágoras, Teorema de Euclides..............35,36,37,38,39.- Bibliografía...........40

Sistema de Coordenadas.

4

Definiciones:

a.- Un punto: es un ente matemático que no tiene dimensiones.

b.- Una recta: es un ente matemático que solamente tiene longitud y está formado por

infinitos puntos, por lo tanto, una recta es un conjunto de puntos.

Cuando se dan dos puntos sobre la recta: * * a b

Se anota: ab recta “ab”

c.- Plano: es un ente matemático que solamente tiene longitud y anchura, y está

formado por infinitos puntos, por lo tanto, un plano es un conjunto de puntos, y una

recta es un subconjunto del plano que las contiene.

Sistema de Coordenadas

Y

II I

X

III IV

Los ejes de coordenadas se llaman OX y OY y dividen el plano en cuatro

subconjuntos llamados cuadrantes.

5

Definir el plano real como una biyección entre el conjunto R y el sistema de

coordenadas rectangulares.

Se dice que hay relación en el plano, ya que hay que buscar la forma de unir dos

puntos de dos rectas dadas.

Ejemplo:

L’

0 L

Trazamos por un punto (p) cualquiera, rectas paralelas dadas, cuyos puntos de corte

son (a y b)

L’

b p

0 a L

Se observa que el par (a,b) representan rectas reales del mismo origen, entonces

(a,b) ε R x R.

Los números reales (a y b) se llaman coordenadas de punto (p).

6

Representar puntos en el plano:

a.- Situar los puntos a(2,5) ; b(2,1) ; c(-1,-4) ; d(3,-5)

y

5

4

3

2

1

x

-2 -1 0 1 2-1

-2

-3

-4

Ejercicios: Representar los siguientes puntos:

1.- a(2,-6) ; b(-2,-6) ; c(8,-3) ; d(5,9)

2.- a(-4,7) ; b(-2,4) ; c(1,6) ; d(-5,8)

3.- a(6,7) ; b(-8,2) ; c(-4,8) ; d(3,-9)

4.- a(-4,-7) ; b(7,12) ; c(-7,0) ; d(-3,5)

5.- a(-4,-7) ; b(7,3) ; c(-4,7) ; d(-6,0)

6.- a(12,4) ; b(4,9) ; c(-3,7) d(9,5)

7.- a(12,4) , b(-5,-6) ; c(6,8) ; d(-9,-3)

8.- a(3,4) ; b(2,-7) ; c(-1,1) ; d(4,9)

7

Representar gráficamente la función afín.

Son las funciones de la forma f: x R en donde x es un subconjunto de R(x R).

Variable: es una letra que representa indistintamente cualquiera de los elementos de

un conjunto de números. A este conjunto se le llama dominio de la variable.

Ejemplo: Representar y = 2x donde x = -2,-1,0,1,2

y

x = -2--------- y = 2(-2) = -4

x = -1---------y = 2(-1) = -2 4

x = 0---------y = 2(0) = 0 3

x = 1---------y = 2(1) = 2 2

x = 2---------y = 2(2) = 4 1

x

-2 -1 0 1 2

-1

-2

-3

-4

Ejercicios: Representar gráficamente las siguientes funciones: donde: x =-2,-1,0,1,2

1.- y = 2 –x 2.- y = 3x – 2 3.- y = 4x + 5

4.- y = 5 – 2x 5.- y = x + 4 6.- y = 6x - 2 2

7.- y = 2x + x 8.- y = 5x + 2 9.- y = 4x -1

8

Haz de Rectas: por un punto de un plano se pueden trazar infinitas rectas. Al conjunto

formado por estas infinitas rectas que pasan por el mismo punto se le llama haz de

rectas.

a

.

Calcular la distancia entre dos puntos.

Cuando al medir dos segmentos obtenemos el mismo número, los segmentos son

congruentes.

Cuando al medir dos segmentos obtenemos números diferentes, los segmentos son

diferentes.

Para hallar la distancia “d” del punto P1 a P2 utilizamos el Teorema de Pitágoras;

ya que la d(P1,P2) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son :

(x2 – x1) y (y2 – y1) .

9

y

y2 P2=(x2,y2)

y1

P1(x1,y1) x2 – x1

x1 x2 x

Formula: d(P1,P2) = (x2 – x1)² + (y2 – y1)²

Ejemplo: Ubica los puntos en el plano y calcula el perímetro de :

P1(3,2) P2(1,-1) P3(3,0)

d(P1,P2) = (1-3)² + (-1-2)² = (-2)² + (-3)² = 4 + 9 = 13

d(P2,P3) = (3-1)² + (0+1)² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5

d(P3,P1) = (3-3)² + (2-0)² = 0² + 2² = 4 = 2

10

y

P1(3,2)

2

1

0 1 2 3 x

-1 P3(3,0)

P2(1,-1)

Ejercicios: Representa los siguientes puntos:

1.- P1(2,4) P2(-2,5) P3(2,5) 2.- P1(3,-2) P2(-2,4) P3(-1,2)

3.- P1(-3,6) P2(2,1) P3(-3,6) 4.- P1(-4,7) P2(-4,8) P3(2,4)

5.- P1(5,8) P2(1,2) P3(-4,7) 6.- P1(5,6) P2(3,5) P3(-1,4)

Establecer el concepto de Sistemas de Ecuaciones Lineales y solución del sistema.

Se llama solución de una ecuación lineal con dos incógnitas, al conjunto formado

por los pares de valores de las incógnitas que sustituidas en la ecuación la transforman

en una identidad.

11

Resolver gráficamente Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.

Ejemplo: Resolver gráficamente el sistema:

3x – 2y = -1 x =(1,3) Despejamos y: 3x – 2y = -1

2x + y = 4 x =(0,-1) y = 3x + 1 2

Sustituimos x por 1:

y = 3(1) + 1 y = 3 + 1 y = 4 y = 2 2 2 2

A(1,2)

Sustituimos x por 3: y = 3(3) + 1 y = 9 + 1 y = 10 y = 5 2 2 2

B(3,5)

Despejamos y en la otra ecuación: 2x + y = 4 y = 4 – 2x

Sustituimos x por 0: y = 4 – 2(0) y = 4 –0 y = 4 C(0,4)

Sustituimos x por –1

y = 4 – 2(-1) y = 4 + 2 y = 6 D(-1,6)

12

y

6 C 5 B

4 D

3

2 A

1

-1 0 1 2 3 x

Ejercicios: Resolver gráficamente los sistemas:

1.- 2x + y = 4 2.- 2x – 7y = 6 3.- 2x – 3y = 1

3x + 2y=-1 4x – 3y = 2 3x + 4y =10

Analizar la solución de Sistemas de Ecuaciones mediante interpretación geométrica.

a.- Sistema Incompatible: se dice que el sistema es incompatible cuando entre todas las

soluciones de la primera ecuación y todas las soluciones de la segunda, no hay solución

común.

La representación gráfica de este sistema son dos rectas paralelas.

13

y L

L’

x

b.- Sistema Indeterminado: se dice que el sistema es indeterminado ya que todas las

soluciones de la primera ecuación sean exactamente iguales a todas las soluciones de la

segunda, o sea las ecuaciones son equivalentes.

La representación gráfica de este sistema es una linea recta.

y

x

c.- Sistema Determinado: se dice que el sistema es determinado, ya que entre todas las

soluciones de la primera ecuación y todas las soluciones de la segunda, solamente haya

una solución común.

La representación gráfica de este sistema son dos rectas que se cortan.

14

y L

L’

x

Resolver analíticamente Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.

a.- Método de Reducción: Este método es algebraico y consiste en hacer las

transformaciones necesarias para que el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

se transforman en una ecuación con una incógnita para lo cual nos apoyamos en las

siguientes propiedades:

a.1.- Si una ecuación la multiplicamos o dividimos por un número resulta una ecuación

equivalente(tiene las mismas soluciones).

a.2.- Si sumamos o restamos miembro a miembro dos ecuaciones resulta una ecuación

equivalente a estas.

15

Ejemplo: Resolver x + 2y = 8 -2 x + 2y = 8

2x + y = 7 1 2x + y = 7

-2x – 4y = -16

2x + y = 7

-3y = -9 Calculamos x en cualquier ecuación:

y = -9/-3 x + 2y = 8

y = 3 x + 2(3) = 8

x + 6 = 8 x = 8 – 6 x = 2

Ejercicios:

1.- 3x – y = 5 2.- 2x – 2y = 10 3.- 4x + y = -12

2x + y =10 3x + 2y = 10 2x – 3y = 1

4.- 5x – 2y = -2 5.- 2x + y = -2 6.- 3x – 2y = 2

x – 2y = 2 x + 3y = -11 3x + 4y =22

b.- Método de Sustitución: También es algebraico y consiste en despejar una de las

incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación.

16

Ejemplo: Resolver x – 5y = 8 despejamos x: x – 5y = 8

-7x + 8y = 25 x = 8 +5y

Sustituimos en la otra ecuación -7x + 8y = 25 -7(8 + 5y) + 8y = 25

-56 – 35y + 8y = 25

-35y + 8y = 25 + 56

-27y = 81

y = 81/-27 = y = -3

encontramos el valor de x: x = 8 + 5y x = 8 + 5(-3)

x = 8 – 15

Ejercicios:

1. - 2x + y = 3 2.- x + y = 1 3.- 5x + 2y = 3

x + y = 8 x – y = 1 2x + 3y =-1

4.- 5x – y = 0 5.- 4x – 5y = 3 6.- 2x – 2y = 10

2x + y = 1 3x – 3y = -3 3x + 2y = 10

17

c.- Método de Igualación: también es algebraico y consiste en despejar la misma

incógnita en cada una de las ecuaciones para después igualar sus valores.

Ejemplo: Resolver: 2x + 1 = y 4(2x + 1) = 5y5 4

8x + 4 = 5y 2x – 3y = -8

8x – 5y = -4

sustituimos la x en las dos ecuaciones: 8x – 5y = -4 = x = -4 + 5y 8

2x – 3y = -8 = x = -8 + 3y 2

igualamos los valores de x: -4 + 5y = -8 + 3y = 2(-4 + 5y) = 8(-8 + 3y) 8 2

-8 + 10y = -64 + 24y

10y – 24y = -64 + 8

-14y = -56

y = -56/-14

y = 4

sustituimos y en la segunda ecuación: 2x – 3y =-8 2x –3(4) = -8

2x – 12 = -8

x = -8 +12 2

x = 4/2 = x = 2

18

Ejercicios:

1.- 2x + y = 3 2.- x + y = 5 3.- 2x – 7y = 10

4x + 4y = 8 x – y = 0 4x - y = -6

4.- 2x - y = -6 5.- 5x + 2y = 3 6.- 8x – 4y = 9

x + y = 1 2x + 3y =-1 6x + 2y = 7

Función Cuadrática: se llama función cuadrática a toda función real de variable

real, definida de la siguiente manera: f(x) = Ax2 + B x + C, donde A ,B, C sin números

reales y A ≠ 0. Es decir:

F : R R x f(x) = Ax2 + B x + C

Ejemplo: Dado f(x) = 3x2 dónde x = -2,-1,0,1,2

x f(x) = 3x2 y

-2 3(-2)2= 3. 4 12

-1 3(-1)2 = 3 .1 3

0 3(0)2 = 3 . 0 0

1 3(1)2 = 3 . 1 3

2 3(2)2 = 3 .4 12

19

Representación gráfica: f(x)

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-2 -1 0 1 2 x

Ejercicios: Todos estos ejercicios con los valores: x = - 2 , -1 , 0 , 1 , 2

a) f(x)= 3 + x2 b) f(x)= x2 + 2 c) f(x)= 2x2 – 1

d) f(x)= 6x2 – 2 e) f(x)= 2 + x2 f) f(x)= 10 – x2

3

g)f(x) = x2 + 6 h) f(x)= 4x2 – x i) f(x)= x2 + 5x

2

20

Ecuación de Segundo Grado:

Una ecuación de segundo grado y variable x es una igualdad de la forma:

Ax2 + B x + C = 0 ; A ≠ 0

Resolución de la ecuación de segundo grado:

Hallar los ceros o raíces de una función cuadrática equivale a resolver la ecuación

de segundo grado.

Los valores de “x” que anulan a la función cuadrática, se llaman ceros de la función

o raíces de la ecuación.

En las gráficas cuando la función es cero, la curva corta al eje de las “x”, por lo

tanto una ecuación de segundo grado puede tener dos raíces, una o ninguna.

Resolver una ecuación de segundo grado es hallar él o los valores de”x “ que lo

transforman en una identidad.

Fórmula: x = - b ± b2 – 4 . a . c

2 . a

La formula se llama resolvente de una ecuación de 2do grado, la cual permite hallar

directamente las raíces de la ecuación, sin más que sustituir en dicha resolvente los

valores de A, B y C..

21

Ejemplo: Resolver x2 – 5x + 6 = 0 donde: a = 1

b = -5

c = 6

x = -(- 5) ± (-5)2 – 4 . 1 . 6 x = 5 ± 25 - 24

2 . 1 2

x1 = 5 + 1 x1 = 5 + 1 x1 = 6 x1 = 3

2 2 2

x2 = 5 – 1 x2 = 4 x2 = 2

2 2

Ejercicios:

1) x2 + 3x – 10 = 0 2) - x2 + x + 12 = 0 3) 2x2 + 5x – 3 = 0

4) 3x2 – x – 2 = 0 5) 6x2 + x – 1 = 0 6) –4x2 + 5x + 6 = 0

7) x2 + 4x + 3 = 0 8) x2 – 5x + 4 = 0 9) 2x2 + 0x – 8 = 0

22

Ecuación Irracional:

Son aquellas en que la incógnita se encuentra bajo el signo radical. Para resolver

una ecuación irracional se aísla su raíz, pasando al otro miembro la “x”, y finalmente

se eleva al cuadrado los dos miembros de la ecuación, para destruir la raíz.

Ejemplo: Resolver x + 25 – x2 = 7

Pasamos al otro miembro la x : 25 – x2 = 7 – x

Elevamos al cuadrado los dos miembros : ( 25 – x2 )2 = (7 – x)2

Producto notable: 25 – x2 = 49 – 14x + x2 donde: a2 – 2ab + b2

2x2 – 14x + 24 = 0 ecuación de segundo grado :

x = -(-14) ± (14)2 – 4 . 2 . 24 x1 = 14 ± 196 - 192

2 . 2 4

x1 = 14 + 2 x1 = 4 x2 = 14 – 2 x2 = 3

4 4

Ejercicios:

a) 4x – 3 - x + 6 = x – 3 b) x + 40 – x2 = 8

c) x + 26 – x2 = 6 d) x + 65 – x2 = 9

23

e) x + 16 – x2 = 4 f) 3 + x – 8 = 14 – x

g) x + 20 – x2 = 6 h) 4 + x – 7 = 13 – x

Definir Vector: vector es un segmento orientado. En la matemática moderna, vector es

una generalización del concepto geométrico o físico del mismo en el espacio ordinario

de tres dimensiones.

Identificar los elementos de un Vector:

a.- Módulo: es el número positivo que representa la longitud del vector.

ab su módulo es / ab /

b.- Sentido: el sentido está indicado por la punta de la flecha colocada en el extremo dl

vector.

c.- Dirección: la determina la recta soporte y puede ser vertical, horizontal e inclinada

u oblicua.

d.- Punto de Aplicación: lo determina el punto donde comienza el vector.

24

Determinar gráficamente los componentes de un vector:

Los componentes de un vector, es el punto que tiene como abscisa la diferencia de

las abscisas y como ordenadas las diferencias de las ordenadas de los puntos que

forman el extremo y el origen.

Ejemplo: Calcular las componentes del vector ab , donde a = (4 , -2) ; b = (3,6)

ab = ( x2 – x1 , y1 –y2 ) ab = (3 – 4, 6-(-2)) ab = (-1,8)

x = -1 ; y = 8 y

8

7

6

5

4

3

2

1 x

-1 1

Ejercicios: Hallar los componentes de los vectores:

1) a = (4,8) ; b = (-3,5) 2) a = (-3,-2) ; b = (4,-1)

3) a = (5,9) ; b = (-4,6) 4) a = (7,5) ; b = (6,4)

5) a = (5,-4) ; b = (2,8) 6) a = (5,-9) ; b = (6,5)

25

Realizar gráficamente la adición de Vectores:

Regla del Paralelogramo:

Dados los vectores a y b de la figura. Determinar a + b

a b

a.- Trasladamos los vectores hasta que coincidan sus puntos de aplicación.

b.- Dibujamos el vector.

c.- Se aplica la regla.

b

a

Ejercicios: Aplica la regla del paralelogramo en los siguientes vectores:

a)

x y

26

b) a

b

c) p

q

d) a

b

27

Suma de Vectores:

Ejemplo: Sumar los vectores a = (3,-6) ; b = (-2,8)

a + b = ( 3 – 2, -6 + 8) = (1,2)

y

2

1

x

-1 1

Aplicar gráficamente las propiedades de la adición con vectores en el plano.

a) Asociativa: a = (xa,xb) ; b = (xb,xb) ; c = (xc,yc)

( a + b ) + c = a + ( b + c ) a + b + c

Ejemplo: Dados los vectores a = ( 2,5) ; b = (-6,-2) ; c = ( -1,3)

( a + b ) + c = (2 +(-6),5+(-2)) + (-1,3)

(-4,3) + (-1,3) = (-4+(-1),3+3) = (-5,6)

28

y

6

5

4

3

2

1

-5 -4 -3 - 2 -1 0 x

b) Conmutativa: a = ( xa,ya) ; b = ( xb,yb) dónde: a + b = b + a

Ejemplo: Dados los vectores a = (2,5) y b = (-6,-2)

a + b = (2 +(-6),5+(-2)) = (-4,3)

b + a = (-6+2,-2+5) = (-4,3)

y

4

3

2

1

-4 -3 -2 -1 0 x

29

c) Elemento Neutro: a = (x,y) ; 0 = (0,0) dónde: a + 0 = 0 + a = a

Ejemplo: Dados los vectores a = (2,5) y 0 = (0,0)

a + 0 = (2+0,5+0) = (2,5) y

0 + a = (0+2,0+5) = (2,5)

5

4

3

2

1 x

0 1 2

d) Vector Opuesto: a = (x, y) opuesto -a = (-x,-y)

a + (-a) = { x +(-x), y + (-y)} = (0,0) = 0

Ejemplo: Dado a = (2,5) Hallar el opuesto

a + (-a) = { 2+(-2),5+(-5)} = (0,0)

Producto de un escalar por un vector.

Se define el producto escalar por un vector, como el producto de uno de los vectores

por la proyección del otro sobre él.

30

Ejemplo: Dados los vectores a = (3,2) y b = (1,4). Hallar su producto escalar tomando

como base i , j .

a = 3 i + 2 j y b = i + 4 j

a . b = 3 . 1 + 2 . 4 = 3 + 8 = 11

Ejemplo: Dados d = (1/3,2/5) y e = (2,3) . Hallar d . e

d . e = (1/3 . i + 2/5 . j ) (2 . i + 3 . j ) = (1/3 . 2 + 2/5 . 3) = (2/3 + 6/5)

Ejercicios:

Suma y representa los siguientes vectores:

1) a = (2,5) ; b = (2,7) 2) a = (-3,-6) ; b = (-4,-4)

3) x = (2,6) ; y = (-5,-9) 4) a = (4,7) ; b = (-3,-9) ; c = (5,8)

Aplica la propiedad conmutativa en los siguientes vectores:

1) a = (-2,5) ; b = (12,8) 2) a = (4,6) ; b = (-3,-6)

3) x = (4,8) ; y = (2,1) 4) p = (6,9) ; q = (-4,-2)

Aplica la propiedad asociativa en los siguientes vectores:

1) a = (2,6) ; b = (11,15) ; c = (-5,-8) 2) a = (2,7) ; b = (-1,-4) ; c = (-4,-7)

3) x = (2,9) ; y = (-5,-3) ; z = (4,8) 4) p = (6,9) ; q = (2,5) ; t = (6,10)

Aplica el elemento neutro y opuesto en los siguientes vectores:

1) a = (2,6) 2) b = (4,7) 3) c = (4,9) 4) d = (-4,7)

5) x = (-3,6) 6) y = (-6,8) 7) b = (6,12) 8) p = (7,21)

31

Hallar el producto escalar de los vectores:

1) a = (3,2) ; b = (4,8) 2) c = (-2,8) ; d = (4,9)

3) x = (5,5) ; y = (9,6) 4) p = (6,4) ; q = (6,3)

Concepto de Base:

Como cualquier vector en el plano puede expresarse como una combinación lineal de

otros vectores no colineales constituyen una base del conjunto de los vectores de dicho

plano.

El par ordenado (1,0) y (0,1) generalmente se llama base canónica de V2, y se

denominan: i = (1,0) y j = (0,1).

Ejemplo: sea a = (x,y)

x . i = x (1,0) = (x , 0)

y . j = y (0,1) = (0 , y)

sumando expresiones: x . i + y . j = (x , 0) + (0 , y) = (x , y) entonces:

a = x i + y j

Concepto de Dimensión:

Puede haber muchas bases, pero todas ellas están formadas por dos vectores, por lo

cual se dice que el plano tiene dimensión dos.

Vector combinación lineal de otros vectores:

En forma general, un vector u se dice que es combinación lineal de los vectores a

y b , si existen números reales p y q, tales que u = p . a + q . b

32

Vectores colinelaes:

Son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes son

proporcionales, es decir, uno es combinación lineal del otro.

Ejemplo: Dado el vector a = (3,4) y los vectores no colineales b = (-1,0) y c = (-3,5)

expresar a como una combinación lineal de b y c.

a = p . b + q . c (3,4) = p(-1,0) + q(-3,5)

(3,4) = (-p,0) + (-3q,5q)

(3,4) = (-p – 3q, 0 + 5q) 3 = - p – 3q

4 = 0 + 5q

despejamos q: 4 = 5q q = 4/5

despejamos p: 3 = - p – 3q p = - 12/5 - 3

p = -27/5

empleamos una combinación: a = -27 b + 4 c

5 5

Ejercicios:

1) Dado el vector a = (1,4) y los vectores no colinelaes b = (3,2) y c = (-1,-2)

expresar a como una combinación lineal de b y c.

2) Expresar el vector a = (-1,2) como una combinación lineal de los vectores

b = (3,4) y c = (3,9).

33

Vector Ortogonal: son aquellos cuyas rectas soportes son perpendiculares.

Independencia lineal de vectores: cualquier vector puede expresarse como una

combinación lineal de dos vectores no colineales.

Dependencia lineal de vectores: son donde existe una relación directa entre dos

vectores dados inicialmente.

Longitud o norma de un vector:

Módulo: / a / = x2 + y2

Ejemplo: Hallar el modulo o longitud del vector a = (3,4)

/ a / = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = / a / = 5

Ejercicios:

1) a = ( √5 , √20) 2) b = ( √9 , √40)

3) c = (5,7) 4) d = (2/6 , 3/4)

5) e = (1 , √15) 6) f = (0 , 5)

34

Establecer el Sistema de Coordenadas Rectangulares:

Cuando las rectas secantes del plano son perpendiculares, el sistema cartesiano se

llama rectangular u ortogonal.

y

0 x

Los ejes de coordenadas se llaman 0X y 0Y y dividen al plano en cuatro

subconjuntos llamados cuadrantes.

La recta 0X se llama ejes de las abscisas.

La recta 0Y se llama ejes de las ordenadas.

35

Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la

suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

B Los puntos A, B, y C del plano determi-

nan un triángulo rectángulo y sus lados

están formados por los vectores AB= a

y AC = b . La diferencia de estos vec-

tores es el vector CB = a – b .

A C

El producto escalar es CB . CB = ( a – b ) . ( a – b )

Ejemplo: Los catetos de un triángulo rectángulo miden respectivamente 3 m y 4 m.

Hallar el valor de la hipotenusa.

B / CB / 2 = / BA /2 + / CA /2

x2 = (4m)2 + (3m)2

4 m x x2 = 16m2 + 9m2

x = 25 m2

x = 5 m

A 3 m C

36

Primer Teorema de Euclides:

En un triángulo rectángulo, la longitud de un cateto al cuadrado, es igual al

producto de la longitud de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre ella.

/ AB /2 = / AC / . / AD / .

Segundo Teorema de Euclides:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la altura correspondiente a

la hipotenusa, es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos

sobre dicha hipotenusa. / BD /2 = / AD / . / DC /.

Ejemplos:

1) En el triángulo rectángulo B, BD es la perpendicular a la hipotenusa AC. Se

conocen AB = 8m y AD = 2m, se pide el valor de la hipotenusa AC.

B

A D C

Aplicamos el 1er Teorema:

/ AB /2 = AD . AC AC = AB2

AD

/ AC / = ( 8m)2 AC = 64m2 AC = 32 m

2m 2m

37

2) Los puntos ABC determinan un triángulo rectángulo en B y BD es la

perpendicular a la hipotenusa. Se conocen AD = 4m y DC = 8 m. Hallar el valor de

BD.

B Aplicamos el segundo Teorema.

A D C

/ BD /2 = AD . DC = / BD / = 4m . 8m

/ BD / = 32m = 25m = 4 2m

Ejercicios: Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, aplicando el Teorema

correspondiente:

1) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 m y uno de sus catetos 6 m.

Hallar el valor del otro cateto.

B

10 m solución: 8 m

X

A 6 m C

38

2) ABC es un triángulo rectángulo en B y BD es la perpendicular a la hipotenusa

AC . Se conocen AD = 3m , DC = 6m . Hallar AB.

B

Solución: 3 3

A D C

3) El triángulo ABC es rectángulo en B y BD es la perpendicular a la

hipotenusa. Se conocen AB = 10 m y AD = 5 m . Hallar: BC.

B

x solución: 300

10 m

A 5 m C

39

4) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:

A

Solución: x1= -5

x + 1 x x2 = 1

B x + 2 C

5) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:

A

5

2 solución: x = 1

C x B

6) Dado el triángulo rectángulo, calcular: AD y DC.

B solución: DC = 2,49 m

AD = 1,12 m

2 m 3m

A D C

40

BIBLIOGRAFIA

NAVARRO, E……………………………………Matemática para 9no Grado. Distribuido-

ra Zacarías. Caracas. Venezuela. 1987.

MENDIOLA, Esteban.................................... Matemática 9no Grado. Editorial Biosfera

Caracas. Venezuela. 5ta Edición. 1993.

EDITORIAL EXCELENCIA........................... Problemario de 9no. Caracas. Venezuela.

1998.