Profesor de Matemática; Especialista en Planificación y Evaluación.

LF 03220025103327ISBN 980-345-249-5

1

Prologo

El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos del 9no Semestre, refleja en forma

sencilla y práctico los objetivos básicos del programa de Matemática.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un

instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje

dentro y fuera del aula.

Los Teques, Mayo del 2003

2

Agradecimientos:

Por su valiosa colaboración en revisar, corregir y anexar planteamientos y

ejercicios:

Prof. Miguel Carmona

Especialmente a:

A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Liceos apreciados: U.E.P.”Gran Aborigen

U.E.N.”Teresa de la Parra

U . N . E . O . P . E .M

3

Contenido

.- Función Constante............4

.- Suma y producto de funciones constantes...........5,6

.- Función Idéntica...........6,7

.- Polinomios. Valor numérico............8,9

.- Suma, resta, multiplicación y división de Polinomios.........10,11,12,13,14,15,16

.- Productos Notables.........17,18

.- Factorización.........20,21,22,23

.- Ecuaciones con una incógnita..........24,25,26,27

.- Bibliografía............28

4

Función Constante de Q en Q:

Denominamos función constante de Q en Q a toda función que asocia a cada elemento

de Q un elemento constante también de Q.

Se anota f: Q Q tal que f(x) = a siendo a є Q un elemento fijo.

Ejemplo:

1.- Dada la función f: Q Q tal que f(x) = 2, determinar las imágenes de los

siguientes elementos: 1 ; -2, 1/3 y 10

Para x = 1 f(x) = 2 ; f(1) = 2

Para x = -2 f(x) = 2 ; f(-2) = 2

Para x = 1/3 f(x) = 2 ; f(1/3) = 2

Para x = 10 f(x) = 2 ; f(10) = 2

Se puede observar que todos los elementos de x, tienen la misma imagen que es 2 por

eso la función se denomina constante.

Representación Sagital

Q Q

1

-2

1/3 2

10

5

Suma y Producto de Funciones Constantes:

La suma de dos funciones constantes f y g es otra función que se anota (f + g).

Sean f y g las funciones constantes definidas así:

F : Q Q tal que f(x) = a1 ; x Q

g : Q Q tal que g(x) = a2 ; x Q

La función suma (f + g)(x) se define así:

(f + g) : Q Q tal que (f + g)(x) = f(x) + g(x)

El producto de dos funciones constantes f y g es otra función que se anota (f . g).

Sean f y g dos funciones definidas así:

f : Q Q tal que f(x) = a1 ; x Q

g : Q Q tal que g(x) = a2 ; x Q

La función producto (f . g) se define así:

(f . g) : Q Q tal que (f . g)(x) = f(x) . g(x)

Ejemplos:

1.- Dadas las funciones f(x)=1 y g(x) = 4 definidas de Q en Q, determinar la función

suma y función producto.

(f + g)(x) = f(x) + g(x) sustituyendo (f + g)(x)= 1 + 4 = 5

(f . g)(x) = f(x) . g(x) sustituyendo (f . g)(x)= 1 . 4 = 5

6

Ejercicios: Dadas las funciones f(x)= 2 ; g(x)= -1 ; h(x)= 6 ; t(x)= ½ definidas

de Q en Q, determinar: 1) (f + g)(x) 2) (f . g)(x)

3) (f + h)(x) 4) (f . h)(x)

5) (f + t)(x) 6) (f . t)(x)

7) (g + h)(x) 8) (g . h)(x)

9) (g + t)(x) 10) (g . t)(x)

Función Idéntica de Q en Q:

Denominamos función idéntica de Q en Q, a la función que asocia a cada elemento de

Q el mismo elemento de Q.

La función idéntica se anota con la letra I, por lo tanto:

I : Q Q tal que I(x) = x ; x Q

Ejemplo:

1) Dada la función Idéntica I(x)=x definida de Q en Q, determinar las imágenes de

los siguientes elementos: 1, -2, ½, 3.

Para x = 1 I(x) = x ; I(1)=1

Para x = -2 I(x) = x ; I(-2)=-2

Para x = 1/2 I(x) = x ; I(1/2)=1/2

Para x = 3 I(x) = x ; I(3)=3

7

Representación Sagital

Q Q

1 1

-2 - 2

½ ½

3 3

Sumas y Productos de Funciones Idénticas:

Suma:

(I + I)(x)= I(x) + I(x) = x + x = 2x

(I + I + I)(x)= I(x) + I(x) + (I)(x) = x + x + x = 3x etc.

Producto:

(I . I)(x) = I(x) . I(x) = x . x = x2

Ejemplos:

1) Dada la función idéntica I(x) = x, definida de Q en Q. Determinar cada una de las

siguientes expresiones para el elemento 5.

a) (I + I)(x) b) (I . I)(x) c) (I + I + I)(x)

Resoluciones:

a) (I + I)(x) = (I + I)(5) = 2 . 5 = 10

b) (I . I)(x) = (I . I)(5) = 52 = 25

c) (I + I + I)(x) = (I + I + I)(5) = 3 . 5 = 15

8

Polinomios:

Se denomina función o simplemente polinomio a toda función que se obtiene

combinando sumas y productos de funciones idénticas y constantes.

P(x) = A0 + A1x + A2x² A3x³......An

A0 = término independiente.

x = variable.

A0, A1, A2, A3... = coeficientes del polinomio

Polinomio nulo: es el que tiene todos los coeficientes nulos.

Polinomio constante: es el que tiene todos los coeficientes nulos, menos el término

independiente.

Monomio: es el polinomio que tiene todos los coeficientes nulos, menos uno de ellos.

Binomio: polinomio que consta de dos términos.

Trinomio: polinomio que consta de tres términos.

Grado de un Polinomio: se denomina grado de un polinomio al mayor exponente de la

variable.

a.- p(x) = 2 + 3x + 5x² segundo grado

b.- q(x) = 3x³ - 4x + 9 tercer grado

9

Completar Polinomios: un polinomio es completo, cuando los exponentes de la variable

se suceden de unidad en unidad desde el término de mayor grado hasta el término

independiente.

Ordenar Polinomios: un polinomio está ordenado cuando se suceden de unidad en

unidad.

Decreciente: cuando los exponentes están ordenados de mayor a menor.

Creciente: cuando los exponentes de la variable están ordenados de menor a mayor.

Valor Numérico de un Polinomio: es el número que se obtiene cuando se sustituye en el

polinomio, la variable por su valor y se efectúan las operaciones indicadas.

Ejemplo: Dado P(x)= 2x² + 3 dónde x = 3

P(3) = 2(3)² + 3 = p(3) = 2.9 + 3 = p(3) = 18 + 3 p(3) = 21

Ejercicios:

1.- p(x) = 2x –4 dónde x = 3

2.- q(x) = 4x + x² dónde x = 2

3.- t(x) = x³ -2 dónde x = 4

4.- p(x) = 3x² + 2x dónde x = 3

5.- q(x) = x³ + 4x – 2 dónde x = 3

6.- p(x) = 4x –x + 5 dónde x = 2

10

Adición de Polinomios:

Se denomina polinomio suma de otros dos, al polinomio que resulta de escribir los

polinomios sumandos uno a continuación del otro, enlazados por el signo (+).

Regla para sumar polinomios:

1.- Se ordenan en forma creciente o decreciente, y cuando sea incompleto, se completa con

ceros.

2.- Se coloca uno debajo del otro, quedando términos semejantes en columnas.

Ejemplo: En forma entera:

P(x) = 5x³ + 4x² - 6x + 8

Q(x) = 3x² - 4x + 3

5x ³ +7x²-10x +11

Ejemplo: En forma racional:

P(x) = 2/2x² - 3/5x + 4/3 operaciones:

Q(x) = 3/2x + 5/4 -3 + 3 = -6+15 = 9 2/2x+9/10x+31/12 5 2 10 10

4 + 5 = 16+15 = 31 3 4 12 12

11

Ejercicios:

Dados los polinomios: p(x) = 2x3 + 6x2 – 5x +8 ; q(x) = 2x4 – 2x3 + 4x2 – 2x + 6

t(x) = 5x3 + 6x2 – 2x + 1 ; r(x) = 2/5x2 – 3/2x + 6/3 ; s(x) = 3/6x2 + 5/4x – 7/2 ;

h(x) = 2/5x2 + 3/4x – 7/4

Hallar la suma de los polinomios:

1.- p(x) + q(x) 2.- p(x) + t(x) 3.- q(x) + t(x)

4.- r(x) + s(x) 5.- r(x) + h(x) 6.- s(x) + h(x)

Propiedades de la Adición de Polinomios:

a.- La adición de dos polinomios siempre resulta otro polinomio, por lo tanto es una ley de

composición interna.

b.- La adición de polinomios es conmutativa.

c.- Es asociativa.

d.- El elemento neutro para la adición es el polinomio nulo.

e.- El polinomio simétrico de p(x) es –p(x).

f.- Todos los polinomios son regulares para la adición.

Conmutativa: p(x) + q(x) = q(x) + p(x)

Ejercicios:

a.- p(x) = 2x2 – 3x + 8 ; q(x) = 5x2 + 6x – 5

b.- p(x) = 3x3 + 4x2 - 6x + 7 ; q(x) = 3x2 + 8x – 7

c.- p(x) = 6x2 + 6x – 10 ; q(x) = 5x2 + 4x – 6

d.- p(x) = 12x2 – 4x – 8 ; q(x) = 6x2 + 7x – 6

12

Asociativa: p(x) + q(x) + h(x) = p(x) + q(x) + h(x)

Ejercicios:

a.- p(x) = 2x2 + 3x – 6 ; q(x) = 3x2 + 4x – 8 ; h(x) = 2x –6

b.- p(x)= 7x2 – 5x + 8 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 3x + 6

c.- p(x) = 7x2 + 6x – 4 ; q(x) = 9x2 + 8x – 6 ; h(x) = 4x –9

d.- p(x) = 11x – 7 ; q(x) = 4x2 + 3x – 6 ; h(x) = 4x – 10

Elemento Neutro: p(x) + 0 = 0 + p(x)

Ejercicios:

a.- p(x) = 5x2 + 3x – 6 c.- p(x) = 8x2 – 3x + 2

b.- q(x) = 4x2 – 6x + 5 d.- q(x) = 7x2 + 6x – 12

Elemento Simétrico: p(x) + -p(x)

Ejercicios:

a.- p(x) = 5x2 – 3x + 8 c.- p(x) = 3x3 – 8x2 + 4x – 2

b.- q(x) = 2x2 - 7x + 9 d.- q(x) = -3x3 – 4x2 + 8x + 9

13

Sustracción de Polinomios:

Para restar un polinomio p(x) otro polinomio q(x), le sumamos a p(x) el simétrico, es

decir –q(x). P(x) – q(x) = p(x) + -q(x) p(x) = minuendo

q(x) = sustraendo

Ejercicios:

a.- p(x) = 3x + 8 ; q(x) = -5x –4 c.- p(x) = 3x2–5x + 8 ; q(x) = 6x + 8

b.- p(x) = -5x2 – 5x + 6 ; q(x) = 4x – 8 d.- p(x) = 4x2 – 8x + 9 ; q(x) = 3x2 –7x + 6

Multiplicación de Polinomios:

El producto de dos funciones polinomios, es otra función polinomio formada por la

suma algebraica de los productos parciales de cada término de uno de ellos por todos los

de la otra.

Ejemplo: En forma Entera:

Dado p(x) = 2x2 – 5x + 6 ; q(x) = x2 – 3x + 5 . Hallar: p(x) . q(x)

q(x) = x2 - 3x + 5

p(x) =2x2 – 5x + 6

2x4 – 6x3 + 10x2

- 5x3 + 15x2 – 25x

6x2 – 18x + 30

2x2 – 11x3 + 31x2 – 43x + 30

14

Ejemplo: En forma Racional:

p(x) = 2/3x2 + 4/6x –3/2

q(x) = 2/5x +4/3 operaciones:

4 x3 + 8 x2 – 6 x 8 + 8 = 312 15 30 10 30 9 270

8 x2 + 16 x – 12 - 6 + 16 = 52 9 18 6 10 18 180

4 x3 + 312 x2 + 52 x -12 15 270 180 6

Ejercicios : Hallar la multiplicación de los siguientes polinomios:

1.- p(x) = 3x2 + 5x –5 ; q(x) = 4x – 8

2.- p(x) = 4x2 + 6x + 6 ; q(x) = 2x + 2

3.- p(x) = 2x3 + 5x2 – 7x + 3 ; q(x) = 3x – 7

4.- p(x) = 6x2 + 8x – 4 ; q(x) = 3x + 7

5.- p(x) = 4x3 + 6x2 – 9x + 9 ; q(x) = 3x – 6

6.- p(x) = 3/4x2 + 6/3x – 5/2 q(x) = 4/4x – 6/2

7.- p(x) = 4/6x2 + 7/3x + 2/5 q(x) = 3/6x – 7/2

8.- p(x) = 5/3x2 + 1/2x + 3/2 q(x) = 2/4x + 8/2

Propiedades de la Multiplicación de Polinomios:

a.- En la multiplicación de dos polinomios, siempre resulta otro polinomio, por lo tanto; es

una ley de composición interna.

b.- Es conmutativa.

c.- Es asociativa.

d.- El polinomio constante I, es el elemento neutro para la multiplicación.

15

e.- El elemento absorbente es el elemento nulo.

f.- Todos los polinomios excepto el nulo son regulares.

g.- Es distributiva respecto a la adición y sustracción de polinomios.

h.- El grado del polinomio producto, es igual a la suma de los grados de los polinomios

factores.

Ejercicios: Calcular las siguientes propiedades:

1.- Conmutativa: p(x) . q(x) = q(x) . p(x)

a.- p(x) = 2x + 4 ; q(x) = 3x – 2

b.- p(x) =4x – 6 ; q(x) = 5x + 6

c.- p(x) = 4x2 – 6x + 8 ; q(x) = 3x – 7

d.- p(x) = 6x2 – 7x + 6 ; q(x) = 6x – 2

2.- Asociativa: p(x) . q(x) . h(x) = p(x) . q(x) . h(x)

a.- p(x) = 3x –5 ;, q(x) = 4x – 8 ; h(x) = 5x + 3

b.- p(x) = 4x – 6 ; q(x) = 2x + 7 ; h(x) = 5x – 1

c.- p(x) = 4x2 + 6x – 5 ; q(x) = 4x + 3 ; h(x) = 5x – 1

d.- p(x) = 7x + 8 ; q(x) = 4x2 – 7x + 2 ; h(x) = 3x – 4

16

3.- Distributiva: p(x) . q(x) ± h(x) = p(x) . q(x) ± p(x) . h(x)

a.- p(x) = 3x + 4 ; q(x) = 4x – 9 ; h(x) = 3x + 2

b.- p(x) = 4x + 5 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 5x + 12

c.- p(x) = 5x + 8 ; q(x) = 7x – 1 ; h(x) = 6x + 1

d.- p(x) = 6x – 8 ; q(x) = x + 5 ; h(x) = 5x – 2

4.- Elemento Neutro: p(x) . 1 = 1 . p(x)

a.- p(x) = 5x2 + 3x – 6 c.- p(x) = 4x2 – 6x + 5

b.- q(x) = 6x – 8 d.- h(x) = 4x3 – 5x2 + 7x – 2

División de Polinomios:

D(x) = d(x) . c(x) + r(x) D(x) = dividendo

d(x) = divisor

c(x) = cociente

r(x) = residuo

Ejercicios:

a.- Dividir (6x2 + 7x + 2) : (2x + 3) e.- Dividir (20x2 + 10x – 5) : (5x + 5)

b.- Dividir (4x3 + 4x2 – 29x + 21) : (2x – 3) f.- Dividir (10x2 + 13x – 2) : (5x – 1)

c.- Dividir (3x2 + 8x + 6) : (3x + 2) g.- Dividir (4x3 – 2x2 – x + 1) : (2x –3)

d.- Dividir (x4 – x2 – 2x – 1) : (x2 – x – 1) h.- Dividir (5/2x2 + 2/2x – 1/3) : (1/2x+3/5)

17

Productos Notables:

Se denomina productos notables, a determinados productos que cumplen reglas fijas,

por lo tanto, su resultado puede escribirse directamente sin necesidad de efectuar la

multiplicación.

Casos:

1.- Cuadrado de una Suma: el cuadrado de una suma de dos términos es igual al cuadrado

del primero más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Ejemplo: (3a + 2ab)2 = (3a)2 + 2 (3a).(2ab) + (2ab)2

9a2 + 12a2 + 4a2 b2

Ejercicios: a.- (5x2 y + 2ª2 x)2 = c.- (4p5 q4 + 8p2 )2 =

b.- (3x3 + 5y3 )2 = d.- (7a3 + 9b4 )2=

2.- Cuadrado de una Diferencia: el cuadrado de la diferencia de dos términos, es igual al

cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del

segundo.

(a – b)2 = a2 - 2ab + b2

Ejercicios: a.- (a – 2b)2 = c.- (2x2 y – y2 x)2 =

b.- ( 3a2 - 7b4 )2 = d.- (4a4 b3 -7a5 )2 =

18

3.- Suma por Diferencia: la suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia

de sus cuadrados. El cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo

término.

(a + b) . (a – b) = a2 – b2

Ejercicios:

a.- (4x2 y + 3) . (4x2 y – 3)= c.- (2a3 b4 + 5p) . (2a3 b4 – 5p)=

b.- (3x3 – 2y) . (3x3 + 2y)= d.- (6x3 + 8y6 ) . ( 6x3 – 8y6 )=

4.- Producto de la Forma: el resultado es siempre un trinomio cuyas características son:

a.- El 1er término es el cuadrado del término común.

b.- El 2do término es el término común multiplicado por la suma algebraica de lostérminos

no comunes.

c.- El 3er término es el producto de los términos no comunes.

(x + a) . (x + b) = x2 + (a + b)x + a . b

Ejercicios:

a.- (m + 4) . (m - 2)= b.- (a2 - 4) . (a2 – 3) c.- (x + 4) . (x + 6)=

d.- (a + 7) . (a + 9)= e.- (b + 5).(b + 8)= f.- (q + 7).(q + 4)=

19

5.- Cubo de la Suma de dos Términos: el cubo de la suma de dos términos, es igual al cubo

del primero más tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el

primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

Ejercicios:

a.- (3a + 5b)3 = b.- (6x3 + 7y)3 = c.- (4ª2 b + 3x)3 =

6.- Cubo de la Diferencia de dos Términos: el cubo de la diferencia de dos términos, es

igual al cubo del primero menos tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más

tres veces el primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 - b3

Ejercicios:

a.- (3a – 9x5 )3 = b.- (7ab3 – 6x )3 = c.- ( 2a2 - 4y)3 =

20

Factorización de Polinomios:

Es el proceso que permite transformar un polinomio en el producto indicado de dos o

más factores.

Casos de Factorización:

Para descubrir que factores intervienen en la formación de un polinomio, se procede

por tanteos, por lo tanto, en forma general no es fácil transformar un polinomio en el

producto indicado de dos o más factores, porque no todos los polinomios son factorizables,

sin embargo, cuando el polinomio presenta una determinada forma, se puede factorizar

con ayuda de un conjunto de reglas:

a.- Factor común.

b.- Binomios en forma de diferencia de cuadrados.

c.- Trinomio cuadrado perfecto.

d.- Trinomios de la forma x2 + ax + b.

e.- Por agrupación de términos semejantes.

a.- Factor Común:

Es el polinomio donde todos sus términos tienen el mismo factor. Este factor común,

puede ser un número, una letra, o la composición de números y letras.

Cuando un polinomio tiene factor común, se puede factorizar así: se escribe el factor

común multiplicando a un paréntesis dentro del cual se escriben los cocientes que resultan

de dividir cada término entre el factor común.

21

Ejemplo: factorizar 3x4 + 6x3 + 2x f.c= x

x(3x3 + 6x2 + 2)

Ejercicios:

a.- 3x4 + 7x3 – 7x2 + 8x b.- 5a3 + 7a2 – 9a c.- 3a 5 b4 + 2 a4 b3

d.- 6x3 y3 + x2 y – 9xy e.- 4a6 b5 + 6a5 b4 – 8a3 b2

b.- Factorización en forma de Diferencia de Cuadrados:

Cuando un binomio está formado por una diferencia de cuadrados; es decir, que cada

término tiene raíz cuadrada, su factorización es igual al producto de dos paréntesis

formados por la suma y por la diferencia de dichas raíces.

Ejemplo: Factorizar 4a2 - b2 4 raíz = 2

a2 = a (2a + b) . (2a – b)

b2 = b

Ejercicios:

a.- 1 – 36x2 y6 b.- 36 – x2 c.- 25x2 – 64b2 x6

d.- 1 – 4x6 e.- 1 - 9b2 x6 f.- 16a2 - 1 4 25 100 4

c.- Factorización de Trinomios Cuadrados Perfectos:

Se denomina trinomio cuadrados perfectos al que se origina de elevar al cuadrado un

binomio.

22

Regla para factorizar trinomios:

a.- Se ordena el trinomio con relación a una de sus letras y se tiene que cumplir que el

primero y el tercer término tengan el mismo signo y tengan raíz.

b.- Se obtienen las raíces del 1er y 3er término.

c.- Se escriben estas raíces separadas por el signo del 2do término dentro de un paréntesis

elevado al cuadrado.

d.- Se tiene que cumplir que el doble del producto de las raíces sea igual al segundo

término.

Ejemplo: Factorizar x2 + 14xy + 49y2

Raíz del primero: x2 = x

Raíz del tercero : 49y2 = 7y

Doble producto de las raíces: 2.x.7y = 14xy2

Resultado = ( x + 7y)

Ejercicios:

a.- x2 - 6x + 9 b.- -x2 + 6x – 9 c.- 12x2 + x4 + 36

d.- 16a6 + b4 – 2a3 b3 e.- x2 + y2 – xy f.- x2 + 10 16 4

23

d.- Factorización Trinomio de la Forma x2 + ax +b

Características:

a.- El coeficiente del 1er término es 1.

b.- El 1er término está formado por una letra o varias, elevadas a una potencia par.

c.- El 2do término está formado por el producto de un número que multiplica la raíz del

1ero.

d.- El 3er término es un número.

Ejemplo: Factorizar x2 + 7x + 10 x . x = x2

2 + 5 = 7 (x + 2) . (x + 5)

2 . 5 = 10

Ejercicios:

a) x2 + 10x – 24 b) a2 – 5a - 24 c) x2 + 11x – 12

d) y2 + 15y + 36 e) a2 - 6a - 40 f) a2 + 11a + 24

24

Ecuaciones de primer grado con una incógnita en Q.

Es toda igualdad en que hay una cantidad desconocida, denominada incógnita, y que

solamente se verifica para determinados valores de dichas incógnitas.

Se conoce también la ecuación de primer grado cuando x tiene como exponente 1.

Ejercicios:

a) Resolver 5x – 3 = 6 resp. x = 9/5

b) Resolver 2x + 4 = 5x – 3 resp. x = 7/3

c) Resolver 6x – 2 + x = 4 + 3x – 2 resp. x = 1

d) Resolver (2x – 3x) – (5x – 1) = 3x – {2 + (x + 1)} resp. x = 2/6

e) Resolver 3(x – 1) = - 2 resp. x = 1/3

f) Resolver 3 – 4 (x – 2) = 5( -x + 3) – 2x resp. x = 4/3

g) Resolver 5 – x = x resp. x = 6

3 2

h) Resolver x + 1 - x – 3 = 1 resp. x = 29/6

5 2 4

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Problemas que conducen a ecuaciones de primer grado:

Expresiones usuales para el planteamiento de problemas:

1) La suma de dos números........................................................ x + y

2) El doble de un N°................................................................... 2x

3) El triple de un N°.................................................................. 3x

4) El doble de un N° más el triple de otro................................ 2x + 3y

5) Dos N° consecutivos............................................................. x + (x + 1)

6) Un N° par............................................................................. 2x

7) Dos N° pares consecutivos................................................... 2x + (2x + 2)

8) Tres N° pares consecutivos................................................. 2x + (2x + 2) + (2x + 4)

9) El opuesto de un N°........................................................... – x

10) El exceso de dos N°............................................................. x – y

11) Un N° excede a otro en ocho unidades.............................. x = y + 8

12) Un N° excede a su opuesto en cuatro unidades................. x = -x + 4

13) Un N° impar........................................................................ 2x + 1

14) Dos N° impares consecutivos............................................. (2x + 1) + (2x + 3)

15) La semisuma de dos N°...................................................... x + y

2

16) El exceso de un N° y su cuadrado...................................... x – x2

17) El doble producto de la suma de dos N°............................ 2(x + y)

18) El producto de dos N° menos su diferencia...................... xy – (x – y)

19) El producto de dos N°........................................................ xy

20) La mitad de un N°............................................................. x

2

21)El semi producto de dos N°................................................ xy

2

26

22)El doble producto de dos N°.............................................. 2xy

23)El consecutivo de un N° entero........................................ x + 1

24)Un n° entero que precede a otro....................................... x – 1

25)La diferencia de los cuadrados de dos N°........................ x2 – y2

26)El cuadrado de la suma de dos N°................................... (x + y)2

27)Los cuatro quintos de un N°............................................ 4 x

5

27

Problemas:

1) Cinco veces el valor de un N° más su mitad, es igual a 22. Determinar el N°.

Resp: x = 4

2) La diferencia entre 21 y seis veces el valor de un N°, es igual a la diferencia entre

27 y ocho veces el valor del N°. Determinar el N°. Resp. x = 3

3) La suma de dos N° es 30 y uno de ellos es el triple del otro menos dos. Hallar los

N°. Resp. x = 8 ; x = 22

4) La suma de las edades de tres personas es 57 años. La mayor, es diez años mayor

que la menor, y la del medio cinco años menor que la mayor. Determinar la edad

de cada una. Resp. x1 = 14 ; x2 = 19 ; x3 = 24

5) Pedro obtuvo en un examen, 2 puntos más que Juan. Si la nota de ambos sumaban

32 puntos. ¿ Cual fue la nota obtenida por Juan?. Resp. x = 15 puntos.

6) A una persona le preguntaron la edad que tenía y contestó: “La mitad, el tercio y la

cuarta parte de mis años, suman los años que tengo más tres.”¿Qué edad tenía?.

Resp. x = 36 años

7) Si el doble de la edad que tiene María le quitamos el cuádruplo de la que tenía hace

seis años, resultará su edad actual. ¿ Que edad tiene? Resp. x = 8

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BIBLIOGRAFÍA

NAVARRO, E......................................................Matemática 8vo . Grado. Distribuidora

Zacarías. Caracas. Venezuela. 1987.

SARABIA, José y BARRAGÁN, Fernando......Matemática 7mo . Grado. Ediciones:

CO-BO. Caracas. Venezuela. 1993.