cu antica

Cap. 2. Aplicaciones M.C. 1

CAPITULO 2. Aplicacin de la mecnica cuntica a la resolucin de problemas fsicos sencillos

1) Partcula en un foso de potencial infinito (caja de una dimensin)

I II III

V(x)= V(x)=

V(x)=0

X=0 x=l

Ec. [1.21]: )()()(m2 2

2

xExxVdx

x =+)(2dh

0)())((m 222

=+)( xxVEdx

x

h

2d

Zonas I, III.: 0)x()E(m 2

dx

xd22

2

====++++))))((((h

[2.1]

0 )x(dx

xd2

2

====))))(((( 2

2

dx

)x(d1)x(

==== I(x) = III(x) = 0

Zona II: 0)x( Em 2

dx

xd22

2

====++++))))((((h

[2.2]

Ecuacin diferencial, homognea, lineal de segundo orden y de coeficientes constantes. Solucin:

hh /)2(

2

/)2(

1

2/12/1xmEixmEi

IIecec

+= [2.3]

hh

xB

xAx

II

2mEsen

2mEcos )( += [2.4]

La funcin de estado debe ser continua

x = 0 I(0) = II(0) = 0 (0)= A cos[0] + B sen[0] = A =0

(x)= B sen

x

mE

h

2 [2.5]

x = l II(l)= III(l) = 0 (l)= B sen h

mE2l = 0

0mE2l

sen ====h

pipipipi==== n mE2lh

(n = 1, 2, )


n = 0 no es vlido, ya que /2mE h = 0 anula la funcin [2.5]

n l E m 2h

4 2222

2

pipipipi====pipipipi

2

22

l m 8

n hE ==== ( n = 1, 2, ) [2.6]

Slo los valores de energa de [2.6] permiten que (x) sea continua en x = l (Cuantizacin de la energa).

l

x nsen B)x(

pipipipi==== ( n = 1, 2, ) [2.7]

La cte B se calcula normalizando la funcin.

dx)x( 2 = 12

lBdx

l

x nsen B 2

l

0

22

========

pipipipi

l

x nsen

l

2)x(

pipipipi==== ( n = 1, 2, ) [2.8]

4(x) 24 )(x

E4=16E1

3(x) 23 )(x

E3=9E1

2(x) 22 )(x

E2=4E1

1(x) 21 )(x

E1

0 x l 0 x l

Principio de correspondencia de Bohr: en el lmite de nmeros cunticos elevados, los resultados proporcionados por la mecnica cuntica tienden a los de la mecnica clsica.


Ejemplo 2.1. Son las funciones de estado tipo [2.8] funciones propias del operador impulso? Solucin:

(x) ctel

x ncos

l i

n

l

x nsen

l

2

xi)x(px

pipipipipipipipi====

pipipipi

==== hh

no es funcin propia. Ejemplo 2.2. Calcule el valor promedio del impulso en un estado propio cualquiera de H . Solucin: De acuerdo con el tercer postulado (ec. [1.10]) y puesto que (x) est normalizada.

0dxl

x nsen

l

2

xil

x nsen

l

2p

l

0

x ====

pipipipi

pipipipi

>=>=>=>=


3) Partcula en un foso de potencial finito (caja de una dimensin)

I II III IV V= V=0 V0

0 l1 l2

Zona III (V(x) = V0 ) 0)x()VE(m 2

dx

)x(d022

2

====++++h

[2.10]

Ecuacin diferencial que tiene solucin anloga a [2.3].

Si E > V0 partcula libre Si E < V0

III(x) 0

II(l1) = III(l1) (condicin de entorno)

Efecto tnel: La partcula ha atravesado la barrera de potencial, aun cuando su energa E es menor que la barrera de potencial Vo.

Probabilidad de penetracin: P = 1/(1+G)

G = )1( 61

)ee( 2D/LD/L

D = )EV(m2 0

h = E/V0 [2.11]

La probabilidad de que ocurra depende de la altura (potencial), de la anchura de la barrera y de la masa de la partcula.

Evidencias experimentales: desintegracin nuclear por emisin de partculas a, reacciones de transferencia electrnica y protnica, microscopio de efecto tnel (1981).

m=me=9,109.10-31 Kg, E=1000 cm-1,V=2000 cm-1 =0,5; D= 5,54.10-9 m

Anchura Probabilidad

1 0.9997

10 0.9681 100 0,1026

hh

hh

/x))EV(m2(III

/x))EV(m2(IIIIII

/x)mE2(iII

/x)mE2(iIIII

2/10

2/10

2/12/1

ebea

ebea

++++====

++++====


4) Partcula en una caja de tres dimensiones

z

V(x,y,z) = 0 (0


f

"f+

g

"g+

p

"p+

2

E m 2

h= 0

f

"f= -

g

"g-

p

"p-

2

E m 2

h [2.13]

El primer miembro slo depende de x y el segundo no depende de x, as que el primer y el segundo miembro deben ser constantes. Anlogamente para g y p.

E = Ex + Ey + Ez

Sustituyendo en [2.12] y descomponiendo:

f

"f +

2xE m 2

h= 0 [2.14]

g

"g +

2

yE m 2

h= 0 [2.15]

p

"p +

2zE m 2

h= 0 [2.16]

Ecuacin diferencial parcial de tres variables [2.12] se ha convertido en tres ecuaciones diferenciales ordinarias, cuyas soluciones son anlogas a la ya vista en el primer apartado.

a

x nsen

a

2)x(f x

pipipipi====

2

2x

2

xa m 8

n hE ==== ( nx = 1, 2, )

b

y nsen

b

2)y(g y

pipipipi====

2

2y

2

yb m 8

n hE ==== ( ny = 1, 2, )

c

z nsen

c

2)z(p z

pipipipi====

2

2z

2

yc m 8

n hE ==== ( nz = 1, 2, )

La energa total y funcin de onda del sistema son:

++++++++====

2

2z

2

2y

2

2x

2

c

n

b

n

a

n

m 8

hE [2.17]

c

x nsen

b

x nsen

a

x nsen

c b a

8)z,y,x( zyx

pipipipipipipipipipipipi==== [2.18]

La condicin de normalizacin es:

1 dz |p(z)| dy |g(y)| dx |f(x)| dz dy dx|)z,y,x(|c

0

2b

0

2a

0

2

-

2========

Si la caja es un cubo ( a = b = c )

(((( ))))2z2y2x22

nnna m 8

hE ++++++++====


Las energas permitidas para el sistema:

nx ny nz 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 E(8ma2/h2) 3 6 6 6 9 9 9

Estados (211), (121) y (112) son degenerados (grado de degeneracin = 3)

Representacin de y de 2 para los primeros estados de una partcula en una caja cuadrada (2 dimensiones) 5) Oscilador armnico

V(x) x k)x(Fdx

dV========

x m 2 x k 2/1)x(V 2222 pipipipi========

2/1)m/k)(2/1( pipipipi====

) t sen(2 ax ++++pipipipi==== Am 2 Ak 2/1VTE 2222 pipipipi========++++==== -a a x

El hamiltoniano es igual a:

====pipipipi++++==== 22

2

22222

2

22

x dx

d

m2 - x m 2

dx

d

m2 - H

hh ( /m 2 hpipipipi==== )

La ecuacin de Schrdinger del sistema es:

0 (x) xmE2

dx

)x(d 2222

2

====

++++

h

[2.19]


Ecuacin diferencial homognea, lineal, de segundo orden y coeficientes no constantes. Se puede demostrar que la solucin es del tipo:

xc e f(x) e (x)0n

nn

/2x-/2x- 22

====

======== [2.20]

Cuando n tiende a infinito, la funcin tambin tiende a infinito. Para que esto no ocurra el sumatorio no puede tener un nmero infinito de sumandos. Esto se cumple cuando:

0 E m 2 v 2 -2 ====++++ h m 2 1)(2v E m 2 -1-2 hh pipipipi++++====

++++==== h

2

1vE v ( v = 0, 1, 2, ) [2.21]

Las funciones propias del oscilador armnico son:

2/x-vvv

2

e )(xH N )x( ==== (v = 0, 1, ) [2.22]

Nv es la constante de normalizacin.

Polinomios de Hermite (Hv , v es un nmero entero)

v

yvyv

vdy

ed e )1()y(H

2

2

====

[2.23]

v Hv 0 1 1 2y 2 4y2 - 2 3 8y3 - 12y 4 16y4 - 48y2 + 12 5 32y5 - 160y3 + 120y 6 64y6 - 480y4 + 720y2 -120

Los polinomios de Hermite satisfacen las ecuaciones:

H"

- 2yH'+ 2vH

= 0

dy H H e v'vy2

= 0 (si v v')


= pipipipi1/2 2v v! (si v = v') [2.24]

La frmula de recurrencia es:

Hv+1

= 2yHv - 2vHv-1

Ejemplo 2.4. Halle la constante de normalizacin de las funciones de onda del oscilador armnico. Solucin:

Segn la condicin de normalizacin, 1dx )x( v*v ====

1dx e )x(H e )x(HN 2/xv2/x

v2v

22

====

1dx e )x(H )x(HN2x

vv2v ====

y = x1/2

; dy = 1/2 dx 1dy e )y(H )y(H N2y

vv1/2-2

v ====

de acuerdo con [2.24] 1 v! 2 N v1/2-1/22v ====pipipipi

1/4-1/2v )/( )v! (2 N pipipipi==== [2.25]

Las funciones propias del oscilador armnico son:

2/x-vvv

2

e )(xH N )x( ==== (v = 0, 1, )

e 2/x-1/4

0

2

pipipipi

====

ex 4

2/x-1/43

1

2

pipipipi

====

e 1) - x (2 4

2/x-21/4

2

2

pipipipi

====

e 3x) - x (2 9 2/x-3

1/43

3

2

pi

=


v 2

10

2 h

1

0

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