UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS

22 de Junio de 2016

Examen de Fısica Cuantica I

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Los alumnos que se presentan a toda la asignatura tienen que hacer todo el examen. Son 180puntos normalizables a 10. Pero si no se hace ningun problema las cuestiones contaran como maximo75 y no 90 puntos.

Alumnos que se presentan solo al segundo parcial: C1, C2, P1, P2. Son 120 puntos normalizablesa 10.

En ambos casos, hay cuestiones y problemas. Las cuestiones no necesitan justificacion, solo escribiren el espacio o recuadro dispuesto. Los problemas sı necesitan respuestas justificadas, como siempre.Algunas ayudas estan al final de los enunciados.

C1 [20 puntos] Un sistema tiene funcion de ondas

ψ =1

2√4π

+ aY 11 +

i

2Y −1

1+

1√6Y 22 .

a) Calcular la constante a para que este normalizado b) Si se mide Lz hallar las probabilidadesde obtener 0, h,−h,−2h. c) Suponga que al medir Lz se ha encontrado el valor h. ¿En queestado se queda el sistema tras la medida?

a =

Las probabilidades son, respectivamente:

El estado del sistema tras obtener h es:

C2 [10 puntos] Encontrar los niveles de energıa de una partıcula de masa m que se mueve en elpotencial unidimensional

V (x) =

{ ∞, x ≤ 0,1

2mω2x2, x > 0.

En =

C3 [15 puntos] Usted descubre un sistema con un operador B tal que [H,B] = bB, siendo Hel Hamiltoniano del sistema y b una constante no nula con dimensiones de energıa. ¿Que seconcluye acerca del espectro de H? Respuesta:

C4 [30 puntos] Una partıcula que se mueve en un potencial unidimensional esta en un estadoestacionario cuya funcion de onda es

u(x) =

{

0, |x| > a,

A(

1 + cosπx

a

)

, |x| ≤ a,

siendo A y a constantes reales. a)¿Es u(x) un estado fısicamente aceptable como funcion deonda? Explique (son dos lıneas). b) Encontrar A para que u(x) este normalizada. c) Calcular〈P 2〉 en este estado, y ∆uP .

a)

b) c)

A2 = 〈P 2〉 = ∆uP =

C5 [15 puntos] Sin calcular las integrales, probar que el valor medio del operador

X2P 3 + 3XP 3X + P 3X2

en cualquier autofuncion de un pozo infinito entre −a y a es cero. (Son pocas lıneas). Re-spuesta:

P1 [40 puntos] Una partıcula de masa m se mueve en el potencial

V (x) =

∞, x ≤ 0,0, 0 < x < a,V0, x > a,

donde V0 es una constante positiva (finita, por supuesto). La partıcula lleva una energıa Econ 0 < E < V0.

i) Escribir la solucion de la ecuacion de Schrodinger con las amplitudes y numero de ondask en cada trozo del potencial. Escribir tambien la relacion de conservacion que cumplen loscuadrados de los numeros de ondas.

ii) Pegar con continuidad los distintos trozos y llegar a una relacion para la energıa. Estarelacion esta escrita en terminos de k’s y es adimensional. Es una ecuacion trascendente.

iii) Mostrar con un dibujo como obtener las energıas (no hay que calcularlas). Notacion:

α0 =√

2mV0a2/h2.

iv) A la vista del dibujo contestar sin ambiguedad a las dos siguientes preguntas: a) ¿Haysiempre un estado ligado con independencia del valor de V0 y de a? b) ¿cuantos estados liga-

dos hay siπ

2< α0 <

7π

2?

P2 [50 puntos] i) Mostrar que 〈[Lz, Lx Ly]〉 se anula en cualquier autoestado de Lz. De esteresultado deducir, evaluando [Lz, Lx Ly], que 〈L2

x〉 = 〈L2y〉 en cualquier estado propio de Lz.

ii) Dado un estado Y ml en el que Lz tiene autovalor mh y L2 tiene autovalor l(l + 1) h2,

calcular 〈L2x〉=〈L2

y〉. iii) Considerese un rotador con momentos de inercia I1, I2, I3 descrito porel Hamiltoniano

H =L2x

2I1+L2y

2I2+L2z

2I3.

Encontrar el valor esperado de H sobre los estados Y ml y decir en que cambia este valor medio

si se intercambian I1 e I2. iv) Si I1 = I2 = I3, encontrar la degeneracion en la energıa de losestados con l = 3. v) Si I1 = I2 = I pero I3 = (1+ ε) I, cuantos estados l = 3 tienen la mismaenergıa y cual es esta en funcion de ε? (que puede tomar pequeno para usar series de potencias)

Usted puede necesitar (o no) alguno de los siguientes datos:

En la siguiente lista de armonicos esfericos, θ, ϕ son los angulos polar y azimutal, respectiva-mente, de las coordenadas esfericas. Asterisco significa el complejo conjugado.

Y 00 =

1√4π, Y 0

1 =

√

3

4πcos θ, Y 1

1 = −√

3

8πsin θ ei ϕ, Y −1

1= −Y 1

1

∗

,

Y 02 =

√

5

4π

(

3

2cos2 θ − 1

2

)

, Y 12 = −

√

15

8πsin θ cos θ ei ϕ, Y −1

2= −Y 1

2

∗

,

Y 22 =

1

4

√

15

2πsin2 θ e2 i ϕ, Y −2

2= Y 2

2

∗

.

L+ Yml =

√

l(l + 1)−m(m+ 1) h Y m+1

l , L− Yml =

√

l(l + 1) +m(−m+ 1) h Y m−1

l .