CP: TRANSFORMACIONES

CP_7

Prof. José Juan Aliaga Maraver

Transformaciones

• Homografias y correlaciones

• Análisis de transformaciones

• Clasificación

• Estudio

• Aplicaciones

• Producto de transformaciones

Homografias

• Una homografía es una transformación que conserva la naturaleza de los elementos transformados.– Un punto se transforma en otro punto – Una recta se transforma en otra recta – Un plano se transforma en otro plano

Correlaciones

• Una correlación es una transformación que NO conserva la naturaleza de los elementos transformados.– Un punto se puede transformar en una recta

o plano, pero no en otro punto – Una recta se puede transformar en un punto

o plano, pero no en otra recta – Un plano se puede transformar en una recta o

punto, pero no en otro plano

Homografias y correlaciones

RR11

RR22

rr22

22

HomografíaHomografía

CorrelaciónCorrelación

{{

•Transformaciones: Análisis

• Definición de la transformación

• Transformación de elementos básicos

• ¿Mantiene la forma? (es Semejante)

• ¿Conserva los ángulos (es Conforme )?

• ¿Es involutiva?

• Propiedades

• Aplicaciones principales

• Ángulos

FF

FF

rr11 rr22

rr11

ss11

ss 22

rr 22

??

??

Conserva Conserva ParalelismoParalelismo

ConservaConserva ConformidaConformidadd

F: TransformaciónF: Transformación

Involución

• Una transformación convierte un elemento P1 en P2.

PP11 PP22 = Q= Q11

FF

QQ22

FF FF

= Q= Q22

INVOLUCIÓINVOLUCIÓNN

NO NO INVOLUCIÓNINVOLUCIÓN

• Si al aplicar la transformación a P2= Q1 (perteneciente Q1 al primer conjunto) se obtiene P1

diremos que es involutiva.

Movimientos

• No modifican ni forma ni tamaño

• Permiten situar una figura de forma y tamaño conocidos (Posición)

• No son involutivos

• Cada recta y su transformada son paralelas

•Traslación

• 2 grados de libertad en el plano– dirección– magnitud

• No es involutiva• Cada recta y su transformada son

paralelas• Ej: “Puente de anchura no despreciable,

sobre el amazonas, a igual distancia de dos pueblos”

•Giro

• 3 grados de libertad en el plano– centro de giro O(x,y)– ángulo de giro α

• Ej: “Situar un triangulo equilátero entre tres líneas paralelas”

• Ej: “Situar un triangulo equilátero entre tres circunferencias concéntricas”

• Determinar la circunferencia que pasa por un punto dado y es tangente a dos circunferencias concéntricas

• Simetrías

• Conserva el tamaño

• Son involutivas• Clasificación

– Centrales– Axiales

OOPP11 PP22

== ==

eePP11 PP22

== ==

Situar un segmento MN de magnitud conocida, situando sus extremos M y N respectivamente sobre las rectas a y b dadas de forma que sea paralelo a la dirección d.

CP_7P_01Traslación

M N

a

b

d

Situar un segmento MN de magnitud conocida, situando sus extremos M y N respectivamente sobre la recta a y la circunferencia c dadas, de forma que sea paralelo a la dirección d.

CP_7P_02Traslación

M N

a

c

d

Situar un segmento MN de magnitud conocida, situando sus extremos M y N respectivamente sobre las circunferencias c1 y c2 dadas, de forma que sea paralelo a la dirección d.

CP_7P_03Traslación

M N

c1

d c2

• Ej:vvPP

vvQQ

QQPP

Dos moviles se encuentran en los puntos P y Q con velocidades vP y vQ respectivamente en un instante dado.

Determinar la mínima distancia a la que se encontraran los 2 moviles y las posiciones que ocuparan en el momento en que se produzca esta situación

CP_7P_04Traslación

Situar un triangulo equilátero entre tres líneas paralelas

CP_7P_05Giro

PP

RR11

RR22

¿Hay mas soluciones ?

Determinar las circunferencias que pasan por el punto P y son tangentes a las circunferencias concéntricas c1 y c2

CP_7P_06Giro

Situar un segmento con cada uno de sus extremos situados sobre una circunferencia, siendo el punto M su centro

MM

CP_7P_07Simetrías

Mesa de billar: Determinar la trayectoria de la bola A para impactar con la B:

a) rebotando en una banda

b) rebotando en dos bandas

CP_7P_08Simetrías

A

B

ββββ

NNQQ

PP

Un láser (luz direccional) se encuentra situada en el punto P.

• Determinar su orientación para que al incidir sobre el espejo se refleje sobre el sensor Q.

CP_7P_09Simetrías

ββββ

NN

QQ

PP

Vigilancia de un perímetro. Un láser (luz direccional) se encuentra situada en el punto P.

• Determinar la orientación de un espejo en E, para que al incidir la luz sobre él se refleje sobre el sensor Q.

CP_7P_10Simetrías

EE