PROBLEMA.-

El eje mostrado, sometido a las cargas indicada; tienes dos cojinetes auto alienantes

Solución

CÁLCULOS ANALÍTICOS

Reacciones en los dos soportes

R1=4680.311284

R2=2599.688716

Diagrama de Fuerza Distribuida

e1=16 cm; Ep=10 N /mm; Ex=20 mm/cm

Se toma a e1 = 16 cm para trazar la respectivas pendientes y relacionarlo con el Diagrama Cortante

Diagrama de Cortante

Escala

EQ=e1.Ep.Ex=20.10.16=3200 N/ cm

Constante de integración

R1=4680.311284

R2=2599.688716

P=5010 N

Para el cálculo de del Diagrama de momento utilizamos e2=16 cm para trazaras las pendiente

Diagrama de momento

Escala:

EM = e2.EQ.Ex

EQ=3200 N/ cm

e2=16 cm

Ex=20 mm/cm

Constante de Integración

M0=60200 N-mm.

Dado a este momento tendremos un pequeño salto para el momento a los 144 cm del eje

Gráfico del momento reducido

Escala

E´M=3.49x10-7

Ex=20 mm/cm

Hacemos una tabla para el cálculo de los momentos de inercia de las secciones del eje.

Tendremos un caso especial para el cálculo del Momento de inercia para el eje en forma de tronco de cono. En este tipo de caso tomaremos Diámetros medios previamente calculados para así tomar un momento de Inercia por cada Diámetro medio tomado.

En las otras secciones el momento de Inercia se mantiene Constante.

SecciónINERCIA(I)

Distancia(Y)

Escala M(N-mm/cm)

Momento EM

M. Elasticidad Pascal (E*I)

M/(E*I)

X1 ф=40125663,

706 0,65 102400 66560 3,00E+113,00E

+112,22E

-07

X2 ф=50306796,

158 3,75 102400 384000 3,00E+113,00E

+111,28E

-06

x3 ф=70117858

8,12 4,1 102400 419840 3,00E+113,00E

+111,40E

-06

X5 ф=60636172,

512 2,7 102400 276480 3,00E+113,00E

+119,22E

-07

X6 ф=55449180,

254 0,83 102400 84992 3,00E+113,00E

+112,83E

-07EJE CÓNICO

X31 ф=52,16

363345,871 4,51 102400 461824 3,00E+11

3,00E+11

1,54E-06

X32 ф=56,48

499515,134 5,2 102400 532480 3,00E+11

3,00E+11

1,77E-06

X33 ф=61,44

699479,074 5,79 102400 592896 3,00E+11

3,00E+11

1,98E-06

X34 ф=67,04

991530,142 4,9 102400 501760 3,00E+11

3,00E+11

1,67E-06

Podemos ahora escalarlo para poder graficar el Momento reducido

M/(E*I) ESCALA EM` Distancia(Y)X1 2,22E-07 3,49E-07 6,36E-01X2 1,28E-06 3,49E-07 3,67E+00X4 1,40E-06 3,49E-07 4,01E+00X5 9,22E-07 3,49E-07 2,64E+00X6 2,83E-07 3,49E-07 8,12E-01

EJE CÓNICO X31 1,54E-06 3,49E-07 4,41E+00X32 1,77E-06 3,49E-07 5,09E+00X33 1,98E-06 3,49E-07 5,66E+00X34 1,67253E-06 3,49E-07 4,79E+00

Con los datos obtenidos y tomando como referencia la gráfica de momento podemos realizar la gráfica del momento reducido que va a tener algunos saltos por el motivo de que el momento de Inercia va ir variando

Ahora que tenemos el gráfico del momento reducido podemos hacer una integración gráfica para construir el gráfico de la pendiente tomando como referencia 8 cm

Diagrama de la Pendiente

Escala

E´M=3.49x10-7

Ex=20 mm/cm

e3= 8 cm

EѲ=5.584x10-5 rad/cm

Ahora teniendo la gráfica de la de la pendiente pero es necesario calcular la constante de integración de la pendiente que lo haremos en la siguiente tabla

CÁLCULO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN DE LA PENDIENTE ai bi ai*biX1 10 0,03 0,3X2 35 0,21 7,35X3 35 0,82 28,7X4 27 1,48 39,96X5 27 2,08 56,16X6 35 2,76 96,6X7 35 3,42 119,7X8 30 3,89 116,7X9 30 4,2 126X10 40 4,45 178X11 10 4,53 45,3Suma Xi 314 814,77b0´ 2,594808917

Con este b´0= obtenemos el nuevo de eje horizontal para la gráfica de la pendiente

El siguiente paso es hallar la Deformada a partir de la pendiente haciendo una aproximación gráfica tomando como base a 4 cm

Diagrama de la Deformada

Ex=20 mm/cm

e3= 4 cm

EѲ=5.584x10-5 rad/cm

Ev= 4.4672x10-3 mm/cm

Constante de Integración

V0=0 (apoyo rígido)

a) Gráfica de la Deformada

b) Ahora tenemos que encontrar la flecha máxima y su ubicación. En este caso se dará en la intersección de b ´o y la pendiente que en este caso lo podemos ubicar en el eje cónico a 151.59 mm y tiene como valor 10.951x10-3 mm/cm

c) Para el cálculo del Esfuerzo máximo Trabajamos con la gráfica de momento Ya que el Esfuerzo está dado

σ=( MEI )EY=MYI

Realizamos la siguiente tabla para evaluar las variaciones de los puntos en la gráfica .

Sección

ESFUERZO MÁXIMO Factor conver.INERCIA(I) Distancia(Y) Momento EM ESFUERZO 0,129

X1 ф=40 125663,706 20 66560 10,593353 1,366542539X2 ф=50 306796,158 25 384000 31,291135 4,036556421x3 ф=70 1178588,12 35 419840 12,4677992 1,608346096X5 ф=60 636172,512 30 276480 13,0379729 1,681898509X6 ф=55 449180,254 27,5 84992 5,20343443 0,671243041

EJE CÓNICOX31 ф=52,16 363345,871 26,08 461824 33,1484981 4,276156255X32 ф=56,48 499515,134 28,24 532480 30,1036629 3,883372511X33 ф=61,44 699479,074 30,72 592896 26,0390422 3,359036443X34 ф=67,04 991530,142 33,52 501760 16,9626666 2,188183988

Obteniendo los siguientes datos tendríamos la gráfica del esfuerzo Tomando como base al gráfico de momento.

Al disponer de esta gráfica obtenemos el esfuerzo máximo a los 90 cm del eje y al esfuerzo 7,11. Convirtiendo a esfuerzo con la escala trabajada en este caso tendríamos un esfuerzo de 55.11 N/ mm2. Este esfuerzo máximo lo encontramos en el punto final de la segunda sección de diámetro 50 Siendo esta una de las sección de tener menor inercia tiende a producir más esfuerzo pero con la gráfica corroboramos nuestra hipótesis.

CONCLUSIONES

-Este método utilizado es una aproximación gráfica ya que nos permiten obtener integrales gráficamente pero siempre trae consigo un porcentaje de error que se puede ir corrigiendo con una mayor toma de puntos para el trazado de sus pendientes al gráfico consecuente.

En este caso se toma una cantidad modesta de puntos para no obtener un gráfico recargado y sea difícil su visualización.

-Tener en cuenta los momentos como constantes de integración en el gráfico ya que estos nos darán pequeños saltos a la escala adecuada.

-La flecha máxima lo ubicamos en la sección del eje cónico ya que en esa misma ubicación recae previamente un momento máximo como el punto de inflexión de la PENDIENTE.

-En el esfuerzo máximo tiende ubicarse en el de menor momento de inercia y en este caso se corroboró gráficamente que lo encontramos en la segunda sección.