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7/17/2019 Control Guide

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Taller Control • Octubre 2015 • 4.2.3 - 4.2.4

I. Ejercicio Control 4.2.3

ess = lims→∞ e(t) (1)

e(t) = L−1{E(s)} (2)

ess = limt→∞ e(t) = lim

s→0s · E(s) (3)

ess = lims→0

s · E0(s) · R(s) (4)

ess = lims→0

s · E0(s) · K s · K P (5)

ess = lims→0

s · 1

1 + 9.92040.06401·s+1

· 1s · K P (6)

ess = lims→0

1

1 + 9.92040.06401·s+1

· K P = 0.100802 · K P (7)

ess = 0.1 (8)

0.1 = 0.100802 · K P (9)

0.1

0.100802 = K P = 0.992 (10)

1




II. Ejercicio Control 4.2.4.

Sistemas de segundo orden

Y (s)

R(s) =

ω2n

s2 + 2 ·ωn · ζ + ω2n

(11)

Para una entrada escalón

Y (s) = ω2

n

(s2 + 2 · ωn · ζ + ω2n) · s (12)

2




Cuando 0 < ζ < 1 Desarrollando el polinomio

Y (s)

R(s) =

ω2n

(s + ζωn + j · ωd) · (s + ζωn − j ·ωd) (13)

donde:

ωd = ωn2

1− ζ 2 (14)

Utilizando fracciones parciales:

Y (s) = 1

s − s + ζ · ωn

(s + ζ ·ωn)2 −ω2d

+ ζ ·ωn

(s + ζ · ωn)2 + ω2d

(15)

Transformando al tiempo:

L−1 s + ζ ·ωn

(s + ζ

·ωn)2

−ω2

d = e−ζ ·ωn·t · cos(ωd · t) (16)

L−1

ωd

(s + ζ ·ωn)2 − ω2d

= e−ζ ·ωn·t · sin(ωd · t) (17)

Se obtiene finalmente:

y(t) = 1 − e−ζ ·ωn ·t2

1− ζ 2·ωd · t + tan−1

2

1− ζ 2

ζ

(18)

y(t) = 1 − e−ζ ·ωn ·t2

1− ζ 2

·ωd · t + tan−1

2

1− ζ 2

ζ

(19)

Cuando ζ = 1

Y (s) = ω2

n

(s2 + ω2n) · s (20)

Transformado al tiempo:

y(t) = 1 − e−ωn ·t · (1 + ωn · t) (21)

Cuando ζ > 1

Y (s) = ω2

n

(s + ωn

·ζ + ωn

· 2 1− ζ 2)

·(s + ωn

·ζ

−ωn

· 2 1− ζ 2)

(22)

Transformando al dominio del tiempo

y(t) = 1 + 1

2 · 2 ζ 2 − 1 · (ζ + 2

ζ 2 − 1)

· e−( 2√

ζ 2−1)·ωn ·t− 1

2 · 2 ζ 2 − 1 · (ζ − 2

ζ 2 − 1)

· e−( 2√

ζ 2−1)·ωn·t

(23)

Para el caso evaluado

3




La función de transferencia respectiva:

G0(s) = 154.982 · K P

s2 + 15.623 · s + 154.982 · K P (24)

Como se observa, K P cambia la frecuencia natural del sistema, por tanto, a partir de estaganancia, es posible adecuar el tiempo de asentamiento para el sistema de control. Sin embargo,esto no es cierto para todos los tipos de respuesta transitoria, como se verá a continuación.

Para sistemas subamortiguados:

ts = 4.5

ζ · ωn(25)

Donde ζ · ωn es una constante, para el caso evaluado.

Para sistemas críticamente amortiguados:

ts = 4 ·ωn (26)

Siendo ζ = 1, por tanto, sólo existirá un tiempo de asentamiento.

Para sistemas sobreamortiguados:

ts = 4 · 2 ζ 2 − 1 ·ωn = 4 · 2

ζ 2 · ω2

n − ω2n (27)

Con esta última, es posible ver que aunque la expresiÃsn ζ ·ωn sea constante para este caso,se puede modificar el tiempo de asentamiento al cambiar la frecuencia natural del sistema.

Para un tiempo de 2.5 s :

2.5 = 4

· 2 7.81152

−7.8115

ζ

2

(28)

ζ = 1.003216 (29)

K P = 2.792√

154.982= 0.22414 (30)

4




III. Ejercicio 4.4.1

G0(s) = 9.9204

0.06401 · s + 1 (31)

IV. Ejercicio 4.4.2

El controlador es de la forma:

5




C(s) = K C ·

1 + 1

T i · s

(32)

El sistema de control está descrito por:

Calculando la función de transferencia del sistema de control:

G(s) =

K C ·

1 + 1T i·s

·

9.92040.06401·s+1

1 + K C

·1 + 1

T i

·s ·

9.92040.06401

·s+1

(33)

G(s) =

154.9578·K C ·(T i ·s+1)s·(s+15.62012)·T i

1 + 154.9578·K C·(T i ·s+1)s·(s+15.62012)·T i

(34)

G(s) = 154.9578 · K C · (T i · s + 1)

s2 + 154.9578 · (K C + 0.1008024) · T i · s + 154.9578 · K C (35)

Donde es posible observar que, siendo la función de transferencia de la planta:

G0(s) = K Pτ · s + 1

(36)

La función característica del sistema de control resulta:

G(s) = K C · K P · (T i · s + 1)T i · τ · s2 + T i · (1 + K C · K P) · s + K C · K P (37)

Siendo el polinomio característico:

P(s) = s2 + (1 + K C · K P)

τ · s +

K C · K Pτ · T i (38)

Como es conocido, la forma general del polinomio característico es:

P(s) = s2 + 2 · ζ ·ωn · s + ω2n (39)

De tal manera que los polos se encuentren ubicados en:

λ1,2 = −ζ ·ωn ± j · ωn · 2

1− ζ 2 (40)

De las ecuaciones anteriores, es posible obtener:

K C = 2 · ζωn · τ − 1

K P(41)

T i = ω2

n · τ 2 · ζωn · τ − 1

(42)

6




Con los cálculos anteriores, es posible hallar que:

Gl(s) = (2 · ζ ·ωn − 1

τ ) · s + ω2n

s2 + 2 · ζ ·ωn · s + ω2n

(43)

Aunque el método de ubicación de polos descrito para sistemas de segundo órden, nocontempla en su topología uno o más ceros, se utilizará para dar una aproximación al resultadoesperado.

MP = e−π ·ζ

2√ 1−ζ 2 (44)

ζ = 0.646 (45)

ts = 3.2

ζ · ωn

(46)

ωn = 9.91

rad

s

(47)

Con estos parámetros, es posible obtener el valor de las constantes proporcional e integral parael controlador:

K C = 1.1898 (48)

T i = 0.5326 (49)

7




Como se observa, no es posible realizar una sintonizaciÃsn adecuada para el sistema con elmétodo usado, por tanto, se realizará un ajuste manual, resultando:

K C = 1.5898 (50)

T i = 0.5326 (51)

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