control de procesos quÍmicos - prof. juan rodriguez · 4 diagrama de bloques la representación...

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICERRECTORADO BARQUISIMETO

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA

CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS

Prof: Ing. (MSc).

Juan Enrique Rodríguez C.

1 Octubre, 2013

Índice

Diagrama de bloques

Comportamiento dinámico de sistemas de segundo orden

Tiempo muerto

2

3


Diagrama de bloques

4

Diagrama de bloques

La representación gráfica de las funciones de transferencia por medio de diagramas de bloques

es una herramienta muy útil en el control de proceso. En general, los diagramas de bloques

constan de cuatro elementos básicos: flechas, puntos de sumatoria, puntos de derivación y

bloques; en la figura se ilustran estos elementos, de cuya combinación se forman todos los

diagramas de bloques.

En la siguiente tabla, se muestran algunas reglas del algebra de los diagramas a bloques, las

cuales son importantes siempre que se requiere simplificar los diagramas de bloques.

5

Diagrama de bloques

6

Diagrama de bloques

Ejemplo 1: Las flechas y los bloques de la figura inicial represente la expresión matemática:

sCsR*sGsE*sGsM cc

Ejemplo 2: Las flechas y los bloques de la siguiente figura represente la expresión matemática:

Solución:

7

Diagrama de bloques

Reduciendo la figura anterior, aplicando cada uno de los pasos, tenemos

Aplicando una nueva reducción, tenemos

Obteniendo, así la siguiente expresión:

sX*1GsX*G-G*GsY 241213

8



9


Los sistemas con comportamiento dinámico de primer orden no son los únicos encontrado en un

proceso químico. Una salida puede cambiar, bajo la influencia de una entrada, de una manera

drásticamente diferente a la de un sistema de primer orden, siguiendo la dinámica de orden

superior.

¿Qué es un sistema de segundo orden?

Un sistema de segundo orden es uno cuya salida, y(t), es descrito por la solución de una ecuación

diferencial de segundo orden. Por ejemplo, la siguiente ecuación describe un sistema lineal de

segundo orden:

tfa

by

a

a

dt

dy

a

a

dt

yd

a

a

tenemos,a entre términoslos todosdividimosy 0,a Si

tbfyadt

dya

dt

yda

00

0

0

1

2

2

0

2

00

012

2

2

Donde:

sistema del esimplement o io,estacionar estadoen Ganancia a

bK

iento)amortiguam deFactor :( a

a2

sistema) del oscilación de natural Periodo:( a

aτ

0

p

0

1

0

22

tfKydt

dy2ζ

dt

ydτ

Entonces

p2

22

10


En términos de variables de desviación, y tomando que las condiciones iniciales son cero, la

transformación en Laplace obtenida es de la siguiente forma:

12ζsτ

K

sF'

sY'sG

sF'K12ζsτ*sY'

sF'KsY'sY'2ζsY'sτ

FsFKYsYYsY*s2ζYsYsτ

sFKsYsY*s*2ζsY*sτ

22

p

p

22

p

22

0p000

22

p

22

s

s

s

La gran mayoría de los sistemas de segundo – o más – orden encontrados en una planta química

provienen de procesos de multicapacidad o el efecto de los sistemas de control de procesos. Muy

rara vez nos encontraremos sistemas dinámicos con segundo orden o superior inherentemente

apreciables.

Respuesta Dinámica de un sistema de segundo orden:

Este análisis nos proporcionará todas las características dinámicas fundamentales de un sistema

de segundo orden.

11


Para un cambio escalón unitario en la entrada f(t):

12ζsτ*

KsY'

22

p

ss

Los dos polos de la función de transferencia de segundo orden se dan por la raíces del polinomio

característico, los cuales son:

21

2p

2

2

2

1

22

ps*ps*s

τ

K

sY'

: tantoloPor

τ

1ζ

τ

ζpy

τ

1ζ

τ

ζp

:son ellos Y

01s2ζsτ

τ

Y la forma de la respuesta y(t) dependerá de la ubicación de los dos polos, pl y p2, en el plano

complejo. Por lo tanto podemos distiguir tres casos:

12


Caso A: Cuando ζ> 1, tenemos dos polos distintos y real.

Caso B: Cuando ζ = 1, tenemos dos polos iguales (multipolar).

Caso C: Cuando ζ <1, tenemos dos polos complejos conjugados.

Casos A y B: La respuesta se ha graficado en la figura para varios valores de ζ, ζ> l. Se le conoce

como respuesta sobreamortiguada y se parece un poco a la respuesta de un sistema de primer

orden a una entrada escalón unitario. Sin embargo, cuando se compara con una respuesta de

primer orden nos damos cuenta de que el sistema se retrasa inicialmente y entonces su respuesta

es bien lenta.

13


Caso C: La respuesta se ha graficado en la figura, para diversos valores del factor de amortiguamiento,

ζ. Podemos observar lo siguiente:

1. La respuesta subamortiguada es inicialmente más rápida que la críticamente amortiguadas o

sobreamortiguado, que se caracterizan por ser lentas.

2. Aunque la respuesta subamortiguada es inicialmente más rápido y alcanza su valor final rápido, no

permanecer allí, comienza a oscilar con la disminución de la amplitud progresivamente. Este

comportamiento oscilatorio hace que una respuesta subamortiguado sea distinta de todas las anteriores.

3. El comportamiento oscilatorio se hace más pronunciado con menores valores del factor de

amortiguamiento.

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Características de una respuesta subamortiguada

Vamos a utilizar como referencia la respuesta subamortiguada que se muestra en la figura, con el

fin de definir los términos empleados para describir una respuesta amortiguada.

i) Sobrepaso: es la relación A / B, donde B es el último valor de la respuesta y A es la cantidad

máxima por la cual la respuesta es superior a su valor final. El sobrepaso o sobreimpulso es una

función de ζ, y se puede demostrar que está dada por la siguiente expresión:

21e

B

A

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ii) Relación de asentamiento: es la relación C / A (es decir, la proporción de las cantidades por

encima del valor final de dos picos sucesivos). El índice de asentamiento, se puede demostrar que

estar relacionado con el factor de amortiguamiento ζ a través de la ecuación:

21

2

eA

C

iii) Período de oscilación, T: El periodo de oscilación, viene expresado mediante:

clo)(tiempo/ci ,1

2T

2

p

Otro término relacionado con el periodo de oscilación, es la frecuencia cíclica, w, que es:

mpo)(ciclo/tie ,1

211

2

p

Tw

Otro dos términos son el periodo de oscilación natural, es la frecuencia cíclica natural:

p

npn2π

1y 2πT

w

Frecuentemente, también se usa la siguiente expresión para funciones de segundo orden:

1s2ζs

K

sX

sYsG

n

2

n

2

p

ww

16


iv) Tiempo de subida, ts : Este término se utiliza para caracterizar la velocidad con la que un

sistema subamortiguado responde. Se define como el tiempo requerido para la respuesta alcance

su valor final por primera vez, también es conocido como tiempo de elevación.

v) Tiempo de respuesta, tr: La respuesta de un sistema subamortiguado alcanzará su valor

último de una manera oscilatoria como t ∞. A efectos prácticos, se ha acordado considerar que

la respuesta alcanza su valor final cuando llegue a estar dentro del ±5% de su valor final y se

queda allí. También es conocido como el tiempo de asentamiento.

Ejemplo: Dos tanques en serie no interactivo

En la Figura se muestra tal sistema. Las funciones de transferencia para los dos tanques son:

1sτ

K

sF'

sh'sGy

1sτ

K

sF'

sh'sG

p2

p2

1

22

p1

p1

i

11

(Compruébelo)

17


La función de transferencia global entre la entrada externa f1(t) y y2(t) es:

1sτ1sτ

K

sF'

sh'

sF'1sτ1sτ

Ksh'

tenemosndosimplifica Entonces,

K

1*sF'*

1sτ

K*

1sτ

Ksh'

sh' dosustituyen

K

1*sh'*

1sτ

Ksh'

R

h'F'y RK :como Pero

sF'*1sτ

Ksh'y sF'*

1sτ

Ksh'

p2p1

p2

i

2

i

p2p1

p2

2

1P

i

p1

p1

p2

p2

2

1

1P

1

p2

p2

2

1

1111p

1

p2

p2

2i

p1

p1

1

18


p2p1 τ

t

p2

τ

t

p1

p1p2

p22

p0

22

p0

p2

0

p0p2p1

2

p0p2p1

e*τe*τ*ττ

11Kth'

1s2ζsτ

KsG

anteriorecuación la de Entonces,

τ2τ τ; ττ*τ

Sea

La ecuación anterior indica la relación entre la entrada externa, Fi(t), y la salida final, h’2(t), es la

de un sistema sobreamortiguado de segundo orden. Ahora, aplicando la transformada inversa nos

encontramos con:

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Ejemplo: Dos tanques en serie interactivo

En la figura se muestra tal sistema. Las funciones de transferencia para los dos tanques son:

0h*R

Rh*

R

R1

dt

dhR*A

F*Rhhdt

dhR*A

Entonces

R

hFy

R

hhF

flujo al lineal aresistenci Asumiendo

FFdt

dhA ; FF

dt

dhA

1

1

22

1

2222

i1211

11

2

22

1

211

212

21i1

1

20


0sh'*R

R1s*R*Ash'*

R

R

sF'*Rsh'sh'*1s*R*A

Laplace de ada transformla Aplicando,

F-FF'y hhh' ; hhh'

:Donde

0h'*R

Rh'*

R

R1

dt

dh'*R*A

F'*Rh'h'dt

dh'*R*A

do,Sustituyen

0h*R

Rh*

R

R1

F*Rh-h

:es sistema, el para ioestacionar estado El

2

1

2221

1

2

i12111

i,0ii2,0221,011

1

1

22

1

2222

i1211

11

1,0

1

22,0

1

2

i,012,01,0

21


s'F*1s*5τs*2τ

Rsh'

s'F*

1s2R*R

τ3τ s*2τ

Rsh'

s'F*

1sR*R

τ2τ τs*2τ* τ

Rsh'

:entonces 2, tanquedel dinámica la de estudio el requiere sey

ττ2τy R*2R ;AA que supongamos ejemplo, de modoA

s'F*1sR*A τ τs*τ* τ

Rsh'

s'F*1sR*A τ τs*τ* τ

RRs*τ*R sh'

R*Ay R*A sea

: tenemos(s),h'y (s)h' a respectocon ecuaciones las oResolviend

i

p

22

p

22

i

1

1

p

p

22

p

22

i

2

1

p1

p1p1

2

p1p1

22

pp2p11221

i

21p2p1

2

p2p1

22

i

21p2p1

2

p2p1

21p21

1

22p211p1

21

22


pp

pp

τ*0,4384

t

τ*4,562

t

2

τ*0,4384

t

τ*4,562

t

22

ii

i

pp

22

e*0,11e*1,111tF'

ó

e*0,11e*1,111*Rth'

: tenemosLaplace, de inversa ada transformlacon y

1/ssF' tantolopor ,tF'en unitario paso elen cambioun para Ahora,

lo)(compruebe s'F*1s**0,4384*1s**4,562

Rsh'

: tenemosr,denominado alión factorizac Aplicando

23


Tiempo Muerto

24

Tiempo Muerto En todos los ejemplos de modelado discutidos en las secciones anteriores se ha supuesto que cada

vez que se lleva a cabo un cambio en una de las variables de entrada (perturbaciones, variables

manipuladas), su efecto se observa instantáneamente en las variables de estado y las salidas. Por

lo tanto cada vez que la composición de la alimentación, CAi, o la temperatura de alimentación,

Ti, o la temperatura del refrigerante, la TCi, el cambio o el efecto del cambio se hace sentir

inmediatamente.

Por lo contrario a nuestra experiencia física, que dicta que cada vez que una hay un cambio en la

variable de entrada de un sistema, hay un intervalo de tiempo (corto o largo) durante el cual no se

observa ningún efecto sobre los resultados del sistema. Este intervalo de tiempo se denomina

tiempo muerto o retardo de transporte, o retardo puro o lag distancia-velocidad.

Considérese el proceso que se muestra en la figura, en este caso, lo que interesa es conocer cómo

responde T1(t) a los cambios en la temperatura de entrada y ambiente.

25

Tiempo Muerto

Para un cambio en escalón de la temperatura de entrada Ti(t). El intervalo entre el momento en

que el disturbio entra al proceso y el tiempo en que la temperatura Tl(t) empieza a responder se

conoce como tiempo muerto. Lo cual se ilustra; gráficamente en la figura siguiente:

26

Tiempo Muerto

El tiempo muerto es parte integral del proceso y, consecuentemente, se debe tomar en cuenta en

las funciones de transferencia que relacionan T1(t) con Ti(t) y Ts(t). La ecuación del teorema de

traslación real expresa que la transformada de Laplace de una función con retardo es igual al

producto de la transformada de Laplace de la función, sin retardo, por el término e–st0. El término

e–st0 es la transformada de Laplace del puro tiempo muerto y, por tanto, si lo que interesa es la

respuesta de T1(t) a los cambios en Ti(t) y Ts(t), se deben multiplicar las funciones de

transferencia, por e–st0 o

1τs

e*K

sT

sTy

1τs

e*K

sT

sT 00 st

2

s

1

st

1

i

1

La figura, muestra la respuesta de los sistemas de primer y segundo orden con el tiempo muerto a

un cambio de paso en la entrada.

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