Conjuntos

Sean A, B y C conjuntos cualesquiera, y U el conjunto universal. Valen las siguientes propiedades:

1. Igualdad: A = B ↔ (∀x), (x ∈ A ↔ x ∈ B).

a) A = A Propiedad reflexiva de la igualdad

b) A = B ⇒ B = A Propiedad simetrica de la igualdad

c) (A = B ∧B = C) ⇒ A = C Propiedad transitiva de la igualdad

2. Inclusion: A ⊆ B ↔ (∀x), (x ∈ A → x ∈ B).

a) ∅ ⊆ A ⊆ U

b) A ⊆ A Propiedad reflexiva de la inclusion

c) A ⊆ B ∧B ⊆ A ⇔ A = B Propiedad antisimetrica de la inclusion

d) (A ⊆ B ∧B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C Propiedad transitiva de la inclusion

3. Union: A ∪B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}.a) A ∪ A = A, A ∪ ∅ = A, A ∪U = U

b) A ∪B = B ∪ A La union es conmutativa

c) (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) La union es asociativa

d) A ⊆ A ∪B

e) A ∪B = A ⇔ B ⊆ A

f ) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) La union es distributiva respecto a la interseccion

4. Interseccion: A ∩B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}.a) A ∩ A = A, A ∩ ∅ = ∅, A ∩U = A

b) A ∩B = B ∩ A La interseccion es conmutativa

c) (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) La interseccion es asociativa

d) A ∩B ⊆ A

e) A ∩B = A ⇔ A ⊆ B

f ) A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C) La interseccion es distributiva respecto a la union

5. Diferencia: A−B = {x/x ∈ A ∧ x 6∈ B}.a) A− A = ∅, A− ∅ = A, A−U = ∅, ∅ − A = ∅, U− A = Ac

b) Puede ocurrir que A−B 6= B − A La diferencia no es conmutativa

c) Puede ocurrir que (A−B)−C 6= A−(B−C) La diferencia no es asociativa

d) (A−B)− C = (A− C)−B

e) A−B ⊆ A

f ) A−B = A ⇔ A ∩B = ∅

6. Diferencia simetrica: A4B = {x/(x ∈ A ∧ x 6∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x 6∈ A)}.

a) A4A = ∅, A4∅ = A, A4U = Ac

b) A4B = B4A La diferencia simetrica es conmutativa

c) (A4B)4C = A4(B4C) La diferencia simetrica es asociativa

d) A4B ⊆ A ∪B

e) A4B = A ⇔ B = ∅

7. Complemento: Ac = {x/x 6∈ A}.a) (Ac)c = A, ∅c = U, Uc = ∅b) Ac ∪ A = U, Ac ∩ A = ∅c) (A ∪B)c = Ac ∩Bc

(A ∩B)c = Ac ∪Bc Leyes de De Morgan

8. Conjunto de Partes: P(A) = {B/B ⊆ A}.a) A ∈ P(A), ∅ ∈ P(A), P(∅) 6= ∅b) A ⊆ B ⇔ P(A) ⊆ P(B)

c) P(A ∪B) ⊇ P(A) ∪ P(B)

P(A ∪B) = P(A) ∪ P(B) ⇔ (A ⊆ B ∨B ⊆ A)

d) P(A ∩B) = P(A) ∩ P(B)