PRÁCTICA 3Espacios vectoriales

Vamos a dar ahora un sistema axiomático que tiene como ejemplos, entre otros, a losespacios R2, R3,..., Rn. La ventaja de dar un sistema axomático es que los resultadosdemostrados en los mismos valdrán a la vez en todos los ejemplos, esto es, a partir de losaxiomas dados se demuestran teoremas, que serán válidos cada vez que se verifiquen losaxiomas.

Definición

Un espacio vectorial real es un conjunto V, a cuyos elementos llamaremos vectores,provisto de dos operaciones:

1. la suma �: a cada par de elementos �v,w� de V les asigna el elemento v � wde V,

2. el producto . por escalares: a cada número real � y cada elemento v de V lesasisgna el elemento �.v de V. (En general pondremos �v en lugar de �.v -esto es,no escribimos el puntito ¨.¨.)Imaginemos por ejemplo que nuestro conjunto V es R2: sabemos sumarlos ymultiplicarlos por un escalar. En R2 resulta claro que v � w � w � v. Lo mismo sipensáramos que v y w son vectores de R3, o de un Rn cualquiera. Otraspropiedades básicas son comunes a estos espacios. Las que tomamos comoaxiomas son las siguientes -se aconseja ir interpretando cada propiedad enR2 y en R3:

a. Si v1, v2 y v3 son vectores, entonces �v1 � v2� � v3 � v1 � �v2 � v3�-asociativa.

b. Si v1 y v2 son vectores, entonces v1 � v2 � v2 � v1 -conmutativa.

c. Existe un elemento 0 -que llamaremos origen -que es neutro para lasuma: 0 � v � v � 0, cualquiera sea el vector v. Esto es, hay unelemento neutro para la suma.

d. Para cada vector v, existe otro vector, -que notaremos �v y llamaremosel opuesto- que verifica: v � ��v� � 0. Observación: pondremos “v � v” enlugar de “v � ��v�”.

e. Para todo vector v se verifica: 1.v � v.

f. Si � es un número real y v y w son vectores, entonces��v � w� � �v � �w.

g. Si � y � son números reales y v es un vector, entonces�� � ��v � �v � �v.

h. Si � y � son números reales y v es un vector, entonces ����v � ���v�.

Ejemplos:

1. Al interpretar cada propiedad en R2, se ve que R2 con la suma y el productopor escalares que conocemos de la práctica 1 es un espacio vectorial. En estecaso, los vectores son los puntos del plano. Es usual pensarlos también comoflechas:

x

y

(x,y)

x

y

R2

v

Si queremos representar la suma de vectores, podemos ver que es la misma quevimos en la práctica 1, y que el vector suma se obtiene como antes: aplicando laregla del paralelogramo. La multiplicación por escalares también coincide con lohecho en la práctica 1. En particular, la suma de un vector v con su opuesto es elvector nulo:

x

y

(x,y)

x

y

R2

v

(x,y)

v

0

En R2 calculemos

a. 3�1,�1� � �3,�3�,

b. 2�5,4� � �10,8�,

c. 3�1,�1� � 2�5,4� � �3,�3� � �10,8� � �13,5�.

2. También Rn, con la suma de vectores y el producto por escalares quehemos definido en la práctica 1, es un ejemplo de espacio vectorial. Por ejemplo,en R5: 2�1,2,4,0,�1� � ��2,1,0,5,1� � �0,5,8,5,�1�.

Observación

El espacio vectorial que definimos es real porque los escalares son números reales.Como son los únicos a los que haremos referencia, diremos simplemente “espaciovectorial” en lugar de espacio “vectorial real”.

Combinaciones lineales

Sea V un espacio vectorial, y v1, v2, ...,vr vectores.Si w es un vector que se puede escribir como w � �1v1 � �2v2 �. . .��rvr, decimos

entonces que w se puede escribir como combinación lineal de los vectores v1,v2, . . . ,vr.

Ejemplos

1. En el plano:

a. �2,3� es una combinación lineal del vector �4,6� ya que �2,3� � 12 �4,6�.

Obviamente también es �4,6� una combinación lineal del vector �2,3� yaque �4,6� � 2�2,3�.

b. �2,3� es una combinación lineal de los vectores �1,0� y �0,1� ya que�2,3� � 2�1,0� � 3�0,1�.

c. �2,3� es una combinación lineal de los vectores �1,0�, �0,1� y �2,5� yaque �2,3� � 2�1,0� � 3�0,1� � 0�2,5�.

d. �2,3� no es una combinación lineal del vector �1,0� ya que�2,3� � ��1,0� no se verifica para ningún valor de �.

2. En el espacio:

a. Escribamos tres combinaciones lineales de los vectores �1,1,2� y�2,2,0�: por ejemplo 3�1,1,2� � 4�2,2,0�, 3�1,1,2� � �2,2,0�,0�1,1,2� � 0�2,2,0�.

b. Veamos si el vector �0,0,1� se puede escribir como combinación linealde los vectores �1,1,2� y �2,2,0�, esto es, si hay escalares � y � talesque �0,0,1� � ��1,1,2� � ��2,2,0� � �� � 2�,� � 2�, 2��.La igualdad entre dos vectores significa igualdad de cada una de suscoordenadas, esto es:

0 � � � 2�

0 � � � 2�

1 � 2�

.

Resolviendo el sistema vemos que � � 12 y � � �1

4 es solución.Podemos escribir entonces: �0,0,1� � 1

2 �1,1,2� � 14 �2,2,0�.

Subespacios

Sabemos que R2 es un espacio vectorial. Son ejemplos de subconjuntos en R2:

x

y

x

y

x

y

Sin embargo, no cualquier subconjunto será objeto de nuestro interés. Buscaremoscuáles son aquéllos en los que, si nos restringimos a trabajar ahí, podemos seguirsumando y multiplicando por escalares, y que el resultado esté en el subconjunto con elque estamos trabajando . Pensemos por ejemplo que nos quedamos con el círculo:

la suma de dos vectores que están dentro del círculo puede "caer afuera" del subconjuntoque estamos considerando: en este caso, el círculo.

Claramente, si queremos poder seguir haciendo nuestras cuentas, y que tengan lasmismas propiedades que en cualquier espacio vectorial, debemos pedir que nuestrosubconjunto verifique que:

1. El elemento neutro de la � está en el subconjunto. (O sea, el vector nuloestá en el subespacio.)

2. Si dos vectores v y w están en el subconjunto, su suma v � w también loestá.

3. Si v es un vector del subconjunto, entonces para cualquier escalar �, �v estáen el subconjunto.

Diremos que un subconjunto S � V que verifica las propiedades 1. 2 y 3 es unsubespacio del espacio vectorial V.

Esto es, los subespacios son los conjuntos no vacíos tales que cualquier combinaciónlineal de elementos del conjunto es también un elemento del conjunto.

Ejemplos

Subespacios de R2

1. Si S es un subespacio de R2, por la propiedad 1 de subespacios, el vectornulo tiene que ser un elemento de S. Tomemos S � �0�. Las propiedades 2 y 3se verifican trivialmente pues 0 � 0 � 0 y �0 � 0. Esto significa que �0� es unsubespacio.

2. Sabemos que el vector nulo debe estar un todo subespacio. Veamos quépasa si hay algo más. Supongamos entonces que v � S, y que v � 0. Por lapropiedad 3, si v está en el subespacio, entonces �v también debe estarlo.Tomemos S � �X � R2/X � �v,� � R�, esto es, S es el conjunto de los múltiplosdel vector v -para abreviar, S : �v o bien, S � ��v�. Para que efectivamente seaun subespacio, debe cumplirse la propiedad 2. Pero si sumamos dos vectoresque están en la recta que pasa por el origen y tiene dirección v, el vector sumatambién está en esa misma recta: �1v � �2v � ��1 � �2�v. Esto significa que ��v�es un subespacio.

3. Si S es un subespacio de R2 que tiene un vector no nulo, también contienela recta que pasa por el origen de dirección v. Supongamos ahora que en S hayotro vector w que no está en esa recta. Por la propiedad 3, �w también debe estaren el subespacio, y por la propiedad 2, �v � �w también está en S. Veamosgeométricamente que así podemos escribir cualquier vector del plano, de dondeel subespacio S es todo el espacio.

x

y

v

w

v

w

l

m

l mv + w

Tenemos entonces que todos los subespacios posibles de R2 son:

S � �0�

S � ��v�

S � R2

�1�

�2�

�3�

.

Los subespacios (1) y )(3) -nulo y todo- se llaman triviales. Los únicos subespacios notriviales del plano son entonces las rectas que pasan por el origen.

Subespacios de R3

Haciendo una inspección parecida a la anterior se puede ver que los subespacios de R3

son: los triviales -el nulo y todo el espacio-, las rectas que pasan por el origen y los planosque pasan por el origen. Esto es, todos los subespacios posibles de R3 son:

S � �0�

S � �X � �v�

S � �X � �v � �w�,v y w no colineales.

S � R3

�1�

�2�

�3�

�4�

Subespacios de Rn

Si bien no podemos graficar Rn, analíticamente se puede ver fácilmente -usando laspropiedades que definen un subespacio- que todos los subespacios son:

S � �0�

S � �X � �1v1 � �2v2 �. . .��rvr�.

S � Rn.

�1�

�2�

�3�

Definiciones

Sea V un espacio vectorial.

1. Si w es un vector que se puede escribir como w � �1v1 � �2v2 �. . .��rvr

decimos que w se puede escribir como combinación lineal de los vectoresv1,v2, . . . ,vr.

2. Si S � �X � �1v1 � �2v2 �. . .��rvr�, decimos que los vectores v1,v2, . . . ,vr

generan S. También decimos que �v1,v2, . . . ,vr� es un conjunto de generadoresde S.Una notación abreviada de este hecho es escribir: S � �v1,v2, . . . ,vr �. Estosignifica que S es el subespacio formado por todas las combinaciones lineales delos vectores v1,v2, . . . ,vr.

Atención con la notación ! No confundir �v1,v2, . . . ,vr� y �v1,v2, . . . ,vr �: en elprimer caso nos estamos refiriendo al conjunto de r vectores v1,v2, . . . ,vr, elsegundo caso es un conjunto infinito: son todas las combinaciones lineales de losvectores v1,v2, . . . ,vr; notemos además que �v1,v2, . . . ,vr� no es un subespacio y�v1,v2, . . . ,vr � sí lo es.

Ejemplos

1. En R2

a. S � ��0,1��. Si un vector �x,y� está en el subespacio, debe ser�x,y� � �1�0,1�. Es decir, S es el eje y.

b. S � ��0,1�,�0,3��. Si un vector �x,y� está en el subespacio, debe ser�x,y� � �1�0,1� � �2�0,3�. Pero �0,3� � 3�0,1�. Reemplazando,obtenemos: �x,y� � �1�0,1� � 3�2�0,1� �(usando propiedades de las

operaciones de un espacio vectorial) ��1 � 3�2��0,1� � ��0,1�-abreviando � � �1 � 3�2-. Entonces, ahora también S es el eje y.

c. S � ��1,2�� es la recta que pasa por el origen y el punto �1,2�, ya que si�x,y� está en el subespacio, debe ser �x,y� � �1�1,2�.

2. En R3

a. S � ��0,1,0��. Si un vector �x,y,z� está en el subespacio, debe ser�x,y,z� � �1�0,1,0�. Es decir, S es el eje y.

b. S � ��1,0,0�,�0,1,0��. Si un vector �x,y,z� está en el subespacio, debeser �x,y,z� � �1�1,0,0� � �2�0,1,0� � ��1,�2, 0�. En otros términos, lacondición para estar en S es tener la tercera coordenada nula (las dosprimeras pueden tomar cualquier valor y no están relacionadas entresí). Entonces, un vector �x,y,z� está en el subespacio si y sólo si essolución del sistema �z � 0.

3. En general, hemos visto qué forma tienen los subespacios de Rn: o sontriviales, o son de la forma S � �X � �1v1 � �2v2 �. . .��rvr�.En todos los casos, se pueden pensar como soluciones de un sistema linealhomogéneo (en lugar de escribir primero el sistema y buscar la solución en formaparamétrica, hacemos ahora al revés: primero damos la solución en formaparamétrica y luego escribimos el sistema).Entonces, todo subespacio de Rn se puede expresar como los �x1,x2, . . . ,xn� quesatisfacen el sistema

S �

a11x1 � a12x2 �. . .�a1nxn � 0

a21x1 � a22x2 �. . .�a2nxn � 0

. . .

am1x1 � am2x2 �. . .�amnxn � 0

o dando su forma paramétrica S � �X � �1v1 � �2v2 �. . .��rvr� .

El subespacio S � �0� es la única solución de un sistema determinado de nxn. (¿Puededecir Ud. de qué sistema es solución el subespacio: S � R3?)

Ejemplos

1. En R3, hallar generadores de los subespacios

a. S1 : �x1 � x2 � 0

b. S2 : �x1 � x2 � x3 � 0

c. S3 :x1 � x2 � x3 � 0

x2 � x3 � 0

2. En R3, estudiar el conjunto de soluciones de �x1 � x2 � 1

Soluciones

1. En general, el procedimiento es el mismo que el que utilizábamos paraescribir las soluciones de los sistemas en forma paramétrica (práctica 2).

a. Observemos que ya sabemos que, en el espacio, el conjunto desoluciones del sistema �x1 � x2 � 0 es un plano. Para escribir laecuación paramétrica del mismo despejamos x1 � x2. Obtenemos queX es un punto del plano si X � �x2,x2,x3� � x2�1,1,0� � x3�0,0,1�. Estonos dice que los puntos de S1 son todas las combinaciones lineales delos vectores �1,1,0� y �0,0,1�. (De la ecuación paramétrica, obtenemoslos generadores.) Entonces, S1 � ��1,1,0�,�0,0,1�� .

b. Ahora, x1 � �x2 � x3. X es un punto de S2 siX � ��x2 � x3,x2,x3� � x2��1,1,0� � x3��1,0,1�. Entonces,S2 � ���1,1,0�,��1,0,1�� .

c. De la segunda ecuación tenemos que x2 � �x3. Reemplazando en laprimera, x1 � 2x3. X es un punto de S3 si X � �2x3,�x3,x3� � x3�2,�1,1�.Entonces, S3 � ��2,�1,1�� .

2. Si escribimos las soluciones del sistema �x1 � x2 � 1 en forma paramétrica,obtenemos que X es solución si �x1,x2,x3� � x2�1,1,0� � x3�0,0,1� � �1,0,0�. Esteconjunto no es un subespacio (por ejemplo, no se verifica la condición 1. desubespacios: �0,0,0� no verifica la ecuación x1 � x2 � 1). Podemos pensarlo comoun subespacio ¨trasladado¨: S1 � �1,0,0� .

Observemos que, en general, la solucion de un sistema lineal es un subespciosólo en el caso en que el sistema sea homogéneo.

Más ejemplos

1. El conjunto ��3,2�,��1,1�� genera R2: debe averiguarse si todo vector delplano se puede poner como combinación lineal de los vectores �3,2�,��1,1� o no.Consideremos entonces �x,y� en R2. Buscamos � y � tales que �x,y� � � �3,2� ����1,1�. Pero esto equivale a

x � 3� � �

y � 2� � �.

Debemos entender que x e y son los "datos" y las incógnitas del sistema son losparámetros � y �.Tenemos que resolver entonces este sistema de dos ecuaciones con dosincógnitas.Sumando ambas ecuaciones, tenemos que x � y � 5�, luego: x�y

5 � � .

Reemplazando en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtendremos �. Porejemplo, en la segunda: y � 2� x�y

5 � � �. De aquí, � � � 25 x � 3

5 y .

Entonces, vemos que

�x,y� �x � y

5�3,2� � � 2

5x � 3

5y ��1,1�.

Por ejemplo: si x � 2 e y � 3, tenemos que �x,y� � � 2�35 � �3,2� �

�� 25 2 � 3

5 3���1,1� � �3,2� � ��1,1�. Para cada valor que le demos a �x,y�, hemosencontrado cómo escribirlo como combinación lineal de �3,2� y ��1,1�.

El procedimiento para saber si un vector es combinación lineal de otros dados engeneral es equivalente a resolver un sistema lineal. Éste puede ser compatible oincompatible: en el primer caso, habremos encontrado cómo escribir el vectordado como combinación lineal de los otros, en el segundo no hay solución.

2. El conjunto ��1,0,0�,�0,1,0�,�0,0,1�� genera R3, ya que todo X se puedeescribir como X � �x,y,z� � x�1,0,0� � y�0,1,0� � z�0,0,1�.

3. Encontrar sistemas de generadores deS � �x � R3 : 3x1 � 2x2 � 0, 4x1 � x2 � x3 � 0�.Observemos que el subespacio dado es el conjunto de soluciones del sistema:

S �3x1 � 2x2 � 0

4x1 � x2 � x3 � 0.

S es una recta que pasa por el origen. Encontrar generadores equivale a buscarla solución paramétrica del sistema, pues si la escribimos como �v, resulta que ves un generador de S.De la primera ecuación, tenemos que x2 � 3

2 x1 .

Reemplazando en la segunda ecuación: 4x1 �32 x1 � x3 � 0, de donde x3 � 11

2 x1

-no nos hizo falta triangular porque era claro que podíamos despejar x2 y x3 enfunción de x1.Entonces, un X está en S si X � �x1, 3

2 x1, 112 x1�. Luego, X � x�1, 3

2 , 112 �, de donde

v � �1, 32 , 11

2 � es un generador de S. Podemos tomar otro generador: por ejemplo

w � �2,3,11�, o w´ � ��2,�3,�11�, etc. Observemos que es S � �1, 32 , 11

2 � y

también es S � ��2,3,11�� .

4. ��2,4�� � ��1,2��: los múltiplos del �2,4� y los de �1,2� son los mismos: si�x,y� � ��2,4�, entonces �x,y� � 2��1,2�, y si �x,y� � ��1,2�, entonces�x,y� � 1

2 ��2,4�.En general: �a,b� � ��c,d�� si �a,b� � ��c,d�.

5. De la misma manera, se puede ver, por ejemplo, que ��2,4,6�� � ��1,2,3��,��1,0,3�,�2,4,6�� � ��1,0,3�,�1,2,3��, ��1,0,3�,�2,4,6�� � ��3,0,9�,�1,2,3��, etc.

6. Decidir si R3 � ��1,�1,1�; �0,1,1�; �0,0,1�; �1,2,1��.

Sabemos que ��1,�1,1�; �0,1,1�; �0,0,1�; �1,2,1�� es un subespacio, lo que queremos veres si es todo el espacio. Para esto, debe verse si cualquier vector �x,y,z� puede escribirsecomo combinación lineal de los vectores dados. Estamos buscando, para cada �x,y,z�,escalares �1, �2, �3, �4, que verifiquen:

�x,y,z� � �1�1,�1,1� � �2�0,1,1� � �3�0,0,1� � �4�1,2,1�.

Entonces:

�x,y,z� � ��1 � �4,��1 � �2 � 2�4,�1 � �2 � �3 � �4�.

Igualando coordenada a coordenada, tenemos el sistema de tres ecuaciones con cuatroincógnitas:

x � �1 � �4

y � ��1 � �2 � 2�4

z � �1 � �2 � �3 � �4

.

Para resolver, planteamos la matriz ampliada:

1 0 0 1 �x

�1 1 0 2 �y

1 1 1 1 �z

Triangulamos, haciendo F2 � F2 � F1, F3 � F3 � F1 :

1 0 0 1 �x

0 1 0 3 �x � y

0 1 1 0 � � x � z

Un paso más: hacemos F3 � F3 � F2 y obtenemos

1 0 0 1 �x

0 1 0 3 �x � y

0 0 1 �3 � � 2x � y � z

La matriz ampliada que obtuvimos está asociada a un sistema compatible, para cualquiervalor de x, y, z. De acá inferimos que R3 sí está generado por los vectores dados, ya quepara cualquier valor de �x,y,z�, el sistema tendrá solución. .Podemos observar además que el sistema es indeterminado: tiene infinitas soluciones.En particular, podemos hacer �4 � 0, �1 � x, �2 � x � y y �3 � �2x � y � z.Entonces:

�x,y,z� � x�1,�1,1� � �x � y��0,1,1� � ��2x � y � z��0,0,1� � 0.�1,2,1�.

Vemos que el vector �1,2,1� "no se necesita" para generar el espacio, si ya tenemos ennuestro conjunto de generadores los tres anteriores. En particular, utilizando la cuentaanterior para �x,y,z� � �1,2,1�, como x � 1, y � 2, z � 1, resulta�1,2,1� � 1�1,�1,1� � 3�0,1,1� � 3�0,0,1� � 0.�1,2,1�.

Lo que debemos hacer ahora es especificar las condiciones que hacen que se puedagenerar un subespacio sin vectores "de más".Observemos que la última expresión la podemos escribir como0 � ��1,2,1� � 1�1,�1,1� � 3�0,1,1� � 3�0,0,1�. Esto motiva la definición que daremos en elpróximo párrafo.

Dependencia e independencia linealDado un espacio vectorial V y un conjunto de vectores �v1,v2, . . . ,vr� en V, decimos que

el conjunto es linealmente dependiente -o l.d.- si existen números �1,�2, . . . ,�r no todosiguales a cero tales que �1v1 � �2v2 �. . .��rvr � 0.

En caso contrario, el conjunto es linealmente independiente -o l.i.

Ejemplos

1. Como 0 � ��1,2,1� � 1�1,�1,1� � 3�0,1,1� � 3�0,0,1�, el conjunto��1,2,1�,�1,�1,1�,�0,1,1�,�0,0,1�� es ld. En este caso, �1 � �1, �2 � 1, �3 � 3 y�4 � �3.

2. El conjunto ��1,�4�,��2,8�� es l.d. porque como ��2,8� � �2�1,�4� resultaque ��2,8� � 2�1,�4� � 0. En este caso, �1 � 1, �2 � 2.Observemos que si S � ��1,�4��, entonces S � ��1,�4�,��2,8�� � ���2,8��. (Losvectores que son múltiplos de �1,�4� son los mismos que los que se obtienencomo combinación lineal de �1,�4� y ��2,8�.)

3. El conjunto ��0,1,1�,�1,0,1�� es l.i.: si �1�0,1,1� � �2�1,0,1� � �0,0,0�entonces:

�2 � 0

�1 � 0

�1 � �2 � 0

.

La única combinación lineal que verifica �1�0,1,1� � �2�1,0,1� � �0,0,0� estomando �1 � 0, �2 � 0.(Observemos que si por ejemplo �1 � 0, podríamos despejar �0,1,1�, siendo:�0,1,1� � � �2

�1�1,0,1�, los vectores serían colineales.)

4. El conjunto ��0,1,1�,�1,0,1�,�2,1,3�� es l.d. pues el vector �2,1,3� está en elplano generado por ��0,1,1�,�1,0,1��: �2,1,3� � �0,1,1� � 2�1,0,1�.

Regla práctica :

Una manera sencilla de ver que ��1,0,1�,�0,1,1�,�2,1,3�� es l.d.es disponer los vectoresdados como si fueran filas de una matriz. Recordemos que para operar entre filas de unamatriz, se pueden multiplicar por un escalar, y sumarlas; todo como si fueran vectores.Esta similitud es aprovechada ahora para el cálculo. Veamos cómo funciona en el caso dequerer ver si el conjunto dado arriba es l.d. o l.i.Dispongamos las filas en una matriz, pero ahora en lugar de designarlas como F i,ponemos v i y vamos indicando al costado de la matriz las operaciones que vamoshaciendo:

1 0 1

0 1 1

2 1 3

v1

v2

v3

�

1 0 1

0 1 1

0 1 1

v1

v2

v3 � 2v1

�

1 0 1

0 1 1

0 0 0

v1

v2

v3 � 2v1 � v2

De la última fila, obtenemos que �2v1 � v2 � v3 � �0,0,0�. El conjunto es l.d., siendo �1 � �2,�2 � �1, �3 � 1. Observemos que: v3 � 2v1 � v2, y que si S � ��1,0,1�,�0,1,1�,�2,1,3��entonces S � ��1,0,1�,�0,1,1��.

El conjunto ��1,0,1�,�0,1,1�� es l.i. pues la matriz1 0 1

0 1 1ya está triangulada y

ninguna fila es nula.

Ejemplos

Determinar si los siguientes conjuntos de vectores son l.i.:

1. ��3,1,1�; �1,0,1�; �2,1,3��.

2. ��0,0,1�; �2,2,3�; �1,1,1��.

3. ��3,2,�1,0�; �2,5,4,1�; �2,2,2,2�; �1,0,1,0��.

Resolvemos.

1. Disponemos los vectores en una matriz y triangulamos:

3 1 1

1 0 1

2 1 3

v1

v2

v3

�

1 0 1

3 1 1

2 1 3

v1

v2

v3

�

1 0 1

0 1 �2

0 1 1

v2

v1 � 3v2

v3 � 2v2

�

1 0 1

0 1 �2

0 0 3

v2

v1 � 3v2

v3 � 2v2 � �v1 � 3v2�

.

Hemos terminado de triangular y ninguna fila es nula, el conjunto dado es l.i. .Triangulando "de manera inversa " podríamos recuperar la matriz original a partirde la última: las combinaciones lineales de los vectores �3,1,1�; �1,0,1�; �2,1,3�son las mismas que las combinaciones lineales de los vectores�1,0,1�,�0,1,�2�,�0,0,3�. Esto es:

��3,1,1�; �1,0,1�; �2,1,3�� � ��1,0,1�,�0,1,�2�,�0,0,3��.

En general, si disponemos como filas de una matriz los vectores dados, operandoentre las filas obtendremos otro conjunto de vectores que genera el mismosubespacio.

2. Para acortar los pasos, pongamos al vector �1,1,1� en la primera fila:

1 1 1

2 2 3

0 0 1

.

Triangulando, obtenemos:

1 1 1

0 0 1

0 0 1

�

1 1 1

0 0 1

0 0 0

.

Por una cuestión de comodidad, no hemos escrito a qué vector corresponde cadafila. Igualmente podemos contestar: el conjunto dado es l.d. pues la última fila esnula. Si "seguimos el rastro " de nuestras cuentas, podemos concluir que elvector �0,0,1� es combinación lineal de los demás, luegoS � ��1,1,1�,�2,2,3�,�0,0,1�� � ��1,1,1�,�2,2,3��.En realidad, pocas veces importa cómo se puede escribir el vector que ocupabael lugar de la fila que se anula en función de los otros, por este motivo, en generalno escribiremos los vectores v i al costado de la matriz.

3. Triangulamos la matriz en cuyas filas están los vectores dados -comoejercicio, indicar cuáles son las operaciones que se van efectuando:

3 2 �1 0

2 5 4 1

2 2 2 2

1 0 1 0

�

1 0 1 0

2 5 4 1

2 2 2 2

3 2 �1 0

�

1 0 1 0

0 5 2 1

0 2 0 2

0 2 �4 0

�

1 0 1 0

0 2 0 2

0 5 2 1

0 2 �4 0

�

1 0 1 0

0 1 0 1

0 5 2 1

0 2 �4 0

�

1 0 1 0

0 1 0 1

0 0 2 �4

0 0 �4 �2

�

1 0 1 0

0 1 0 1

0 0 2 �4

0 0 0 �10

Luego, el conjunto dado es l.i. .

BasesSabemos que

S � ��1,1,1�,�2,2,3�,�0,0,1�� � ��1,1,1�,�2,2,3��

puesto que

�0,0,1� � �2�1,1,1� � �2,2,3�.

Con el conjunto de vectores ��1,1,1�,�2,2,3�� alcanza para generar S, pero no con��1,1,1�� ni con ��2,2,3��. El conjunto ��1,1,1�,�2,2,3�� es una base de S.

En general, dado un espacio vectorial V, un subespacio S de V y un conjunto devectores �v1,v2, . . . ,vr� en V, decimos que el conjunto es una base de S si

1. S � �v1,v2, . . . ,vr � y

2. �v1,v2, . . . ,vr� es l.i.

La idea es generar S de la manera más económica, y esto se consigue tomando un

conjunto de generadores que además sea l.i.

Ejemplos :

1. En R2: el conjunto ��1,0��0,1�� es una base de R2: generan todo el plano,ya que cualquier �x,y� se puede escribir como combinación lineal de �1,0� y �0,1�:

�x,y� � x�1,0� � y�0,1�

y claramente ��1,0�,�0,1�� es un conjunto l.i.

2. En R3: ��1,0,0�,�0,1,0�,�0,0,1�� es una base de R3:

�x,y,z� � x�1,0,0� � y�0,1,0� � z�0,0,1�.

3. En Rn: ��1,0, . . . ,0�,�0,1, . . . ,0�,�0,0, . . . ,1�� es una base de Rn. Ésta se llamabase canónica.

Propiedades

1. Sea S un subespacio de un espacio vectorial V. Si �v1,v2, . . . ,vr� y�w1,w2, . . . ,ws� son dos bases de S, entonces r � s.Esto quiere decir que todas las bases de un mismo subespacio tienen la mismacantidad de vectores. Este número se llama la dimensión del subespacio, y lonotaremos dim�S�.En particular, dim�R2� � 2, dim�R3� � 3, ..., dim�Rn� � n. (Basta contar la cantidadde vectores que tienen las respectivas bases canónicas:)

Por definición, para verificar que un conjunto es base de un subespacio,sabemos que hay que verificar dos propiedades: la de generar y la de serlinealmente independiente. Sin embargo, si por algún motivo conocemos deantemano la dimensión de ese subespacio, basta con verificar sólo una de lasdos. Esto es lo que dicen las propiedades 2. y 3:

2. Sea S un subespacio de un espacio vectorial V de dimensión r. Si�v1,v2, . . . ,vr� es l.i., entonces �v1,v2, . . . ,vr� es una base de S.

3. Sea S un subespacio de un espacio vectorial V de dimensión r. Si�v1,v2, . . . ,vr� es un conjunto de generadores de S, entonces �v1,v2, . . . ,vr� es unabase de S.Es útil recordar estas propiedades al hacer los ejercicios. Esto es, si conocemosla dimensión de un subespacio, para ver que un conjunto es base del mismobastará con ver que es l.i o conjunto de generadores.

Ejercicios

1. Decidir si los siguientes conjuntos son bases de R2:

a. ��1,0��

b. ��1,0�,��1,1�,�1,1��

c. ��1,0�,��1,1��.

2. Hallar una base y la dimensión de los siguientes subespacios:

a. S � �X � R3 / x1 � x2 � x3 � 0�

b. S � X � R4 /

x1 � x2 � x4 � 0

x1 � 2x4 � 0

x3 � x4 � 0

.

3. Hallar base y dimensión de S � ��1,0,2�; ��5,1,1�; ��3,1,5��.

Soluciones

1. Sabemos que la dimensión de R2 es 2, por lo tanto, todas las bases tienenque tener 2 vectores. Los conjuntos a. y b. están entonces descartados. Veamos

qué pasa con ��1,0�,��1,1��: es un conjunto l.i. porque1 0

�1 1�

1 0

0 1.

En particular, de acá vemos que ��1,0�,��1,1�� � ��1,0�,�0,1�� � R2. Entonces,además de ser l.i., generan todo el espacio.Luego, ��1,0�,��1,1�� es una base de R2 .

a. Sabemos encontrar un conjunto de generadores de S, buscando lasolución del sistema expresada en forma paramétrica. Para eso,despejamos x1 � x2 � x3, de donde cada X � S es de la formaX � �x2 � x3,x2,x3� � x2�1,1,0� � x3��1,0,1�.De acá concluimos que ��1,1,0�,��1,0,1�� es un conjunto degeneradores.Y como son l.i.: ��1,1,0�,��1,0,1�� es una base.

b. De la misma manera que en el caso anterior, buscamos la soluciónparamétrica del sistema. Para esto, escribimos la matriz ampliada ytriangulamos:

1 �1 0 1

1 0 0 2

0 0 1 1

�

1 �1 0 1

0 1 0 1

0 0 1 1

Reconstruimos el sistema (no confundir esta matriz con la quearmamos con los vectores para ver l.i.).

x1 � x2 � x4 � 0

x2 � x4 � 0

x3 � x4 � 0

Resolvemos: de la tercera ecuación obtenemos: x3 � �x4 y de lasegunda: x2 � �x4 .

Reemplazamos en la primera: x1 � ��x4� � x4 � 0, entonces: x1 � �2x4 .

La solución paramétrica es X � ��2x4,�x4,�x4,x4� � x4��2,�1,�1,1�.Luego, ���2,�1,�1,1�� es una base de S : es un conjunto degeneradores y es l.i.

2. Tenemos como dato que ��1,0,2�; ��5,1,1�; ��3,1,5�� es un conjunto degeneradores. Son l.i.:

1 0 2

�5 1 1

�3 1 5

�

1 0 2

0 1 11

0 1 11

�

1 0 2

0 1 11

0 0 0

Entonces ��1,0,2�; ��5,1,1�; ��3,1,5�� � ��1,0,2�; �0,1,11�� y como

��1,0,2�; �0,1,11�� es l.i., ��1,0,2�; �0,1,11�� es una base de S, y dim�S� � 2.Los conjuntos ��1,0,2�; ��5,1,1��, ��1,0,2�; ��3,1,5��,���5,1,1�; ��3,1,5�� son l.i. ysus elementos son vectores de S. Además, ��1,0,2�; ��5,1,1�� genera S, ya que

1 0 2

�5 1 1

�3 1 5

�

1 0 2

0 1 11

0 0 0

�

1 0 2

�5 1 1

0 0 0

y como es l.i., ��1,0,2�; ��5,1,1�� es base de S.En general: cualquier subconjunto l.i. de S de 2 vectores será una base, puesgenerará el mismo subespacio.

Lo mismo que para cualquier subespacio: si conocemos la dimensión, basta ver que unconjunto de vectores es l.i. para concluir que este conjunto es base.

Ejercicios

1. Hallar dos bases distintas de S � ��1,�1,1,0�; �0,1,2,1��.

2. Dado S � �X � R4 : x1 � x2 � 0 , x2 � x3 � x4 � 0�,

a. hallar, si es posible, una base de S que contenga el vectorv � �0,0,�1,1�,

b. hallar una base de S que no contenga el vector v � �0,0,�1,1�,

c. hallar, si es posible, una base de S que contenga el vectorv � �0,1,1,�1�.

3. Hallar los valores de a y b para que ��1,0,a�; �3,b, 1�� sea una base deS � �X � R3 : x1 � 2x2 � x3 � 0�.

4. En R3, sea S � ��1,�3,2�; �3,1,0�; �1,7,k��. Determinar los valores de k � Rpara los cuales el subespacio S tiene dimensión 2.

5. Sean v1 � �2,�1,�1,0�, v2 � �1,0,0,0�, v3 � �0,1,1,0�, v1 � �2,2,2,2�. Hallaruna base de S � �v1,v2,v3,v4� que no contenga ni a v1, ni a v2, ni a l.i.v3 ni a v4.

6. Expresar, si es posible, �4,�1,1� como combinación lineal de �0,1,1�, �2,0,1�

y �2,1,2� de dos maneras distintas.

7. Decidir si existe algún valor k � R tal que ��k,k, 1�; �3,�k,�1�� es base delsubespacio S � �X � R3/x1 � 3x3 � 0�. Justificar.

8. Sea S � �X � R4/x1 � x3 � 2x4 � 0�. Decidir cuáles de los siguientesconjuntos son base de S:

a. C1 � ��1,0,1,0�; �2,0,0,�1�; �0,1,0,0��.

b. C2 � ��0,0,2,1�; ��1,0,1,1��.

c. C3 � ��1,1,1,0�; �1,0,1,0�; �2,1,2,0��.

9. Determinar a para que el vector �1,3,a, 2� pertenezca al subespacioS � ��1,�1,1,�1�,�2,2,0,1��.

10. Determinar a para que el vector �a, 2a, 3� pertenezca al subespacioS � ��1,1,�3�,�0,�1,3�.

11. Dado S � �x � R4 : 2x1 � x2 � x3 � 0� encontrar un vector v no nulo de S quepertenezca a W � ��1,1,�2,�2�,�0,2,�1,�1��.

12. Extender, si es posible, los siguientes conjuntos a una base del espaciovectorial que los contiene:

a. ��1,�2��

b. ��1,1,0��

c. ��1,1,0�,�2,2,0��

d. ��1,1,0�,�2,2,3��

Soluciones

1. ��1,�1,1,0�; �0,1,2,1�� es un conjunto de generadores de S, como además

-verificar- es un conjunto l.i., entonces ��1,�1,1,0�; �0,1,2,1�� es una base de S .Para buscar otra base, hay que encontrar dos vectores l.i. que sean combinaciónlineal de v1 � �1,�1,1,0� y v2 � �0,1,2,1�.Por ejemplo: �2v1,�v2�, �v1 � v2,v1 � v2�, etc. Entonces:los conjuntos: ��2,�2,2,0�,�0,�1,�2,�1�� y ��1,0,3,1�; �1,�2,�1,�1�� son bases de S .

2.

a. Hallemos primero una base cualquiera del subespacio dado para vercuál es su dimensión.

Es S �x1 � x2 � 0

x2 � x3 � x4 � 0. Como el sistema está triangulado,

podemos empezar a despejar variables. De la segunda ecuaciónobtenemos: x4 � �x2 � x3 .De la primera, x1 � x2 , de donde la solución paramétrica del sistemaes: X � �x2,x2,x3,�x2 � x3� � x2�1,1,0,�1� � x3�0,0,1,�1�.

Entonces, ��1,1,0,�1�,�0,0,1,�1�� es un sistema de generadores, ycomo es un conjunto l.i. -verificar-, es una base. Pero el ejercicio pideque el vector �0,0,�1,1� pertecezca a la base. No confundir,��1,1,0,�1�,�0,0,1,�1�� es un conjunto de dos elementos, y �0,0,�1,1�no es ninguno de ellos. Pero como �0,0,�1,1� � ��0,0,1,�1�, entonces��1,1,0,�1�,�0,0,1,�1�� � ��1,1,0,�1�,�0,0,�1,1��. Luego,

��1,1,0,�1�,�0,0,�1,1�� también es una base y contiene al vector �0,0,�1,1� .

b. Recordemos que en particular una base es un sistema de generadores,por lo cual estamos buscando dos vectores v1 y v2 que verifiquen quetodo vector del subespacio se pueda escribir: X � �1v1 � �2v2.Sabemos que X � �1�1,1,0,�1� � �2�0,0,�1,1�, pero ahora no podemosusar el vector �0,0,�1,1� para generar. Pero -por ejemplo-X � �1�1,1,0,�1� � ���2��0,0,1,�1�, de donde ��1,1,0.�1�,�0,0,1,�1�� esun conjunto de generadores y no contiene el vector �0,0,�1,1�.Es inmediato ver que también es un conjunto l.i.. Entonces

��1,1,0,�1�,�0,0,1,�1�� también es una base y no contiene al vector �0,0,�1,1� .Observemos que podríamos haber tomado cualquier múltiplo no nulodel vector �0,0,�1,1� en el lugar de �0,0,1,�1�, obteniendo el mismoresultado.

c. Todos los vectores que están en una base de un subespacio son enparticular elementos de ese subespacio. Como el vector �0,1,1,�1� noverifica la primera ecuación deS � �X � R4 : x1 � x2 � 0 , x2 � x3 � x4 � 0� -ya que 0 � 1 � 0-

entonces no hay ninguna base de S que contenga al vector �0,1,1,�1� .

3. Observemos que S es un plano en R3 -una ecuación lineal en el espacio-.Por esto, dim(S� � 2. Entonces, una base es un conjunto de dos vectores paralos que se verifica que están en S y son l.i.Para que los vectores dados estén en S, deben verificar la ecuación de definición

de S, esto es:1 � 2.0� a � 0

3 � 2b � 1 � 0. De acá obtenemos que a � �1 y b � 2.

Falta ver que ��1,0,�1�; �3,2,1�� es l.i., pero esto vale pues1 0 �1

3 2 1�

1 0 �1

0 2 4.

4. Es ��1,�3,2�; �3,1,0�; �1,7,k�� un conjunto de generadores, si fuera l.i. ladimensión del subespacio sería 3. Como ��1,�3,2�; �3,1,0�� es l.i., podríamos verque �1,7,k� es combinación lineal de �1,�3,2� y �3,1,0�.

Si no, directamente triangulamos

1 �3 2

3 1 0

1 7 k

. Es

1 �3 2

3 1 0

1 7 k

�

1 �3 2

0 10 �6

0 10 k � 2

�

1 �3 2

0 10 �6

0 0 k � 4

.

Luego, debe ser k � �4.

5. Primero hallamos una base de S para ver la dimensión. Para esotriangulamos la matriz

2 �1 �1 0

1 0 0 0

0 1 1 0

2 2 2 2

�. . . .�

2 �1 �1 0

0 1 1 0

0 0 0 2

0 0 0 0

.

Entonces, la dimensión de S es 3 y el conjunto �v1,v2,v3� es una base de S. Perocomo no queremos que contenga ninguno de los vectores dados, tomamos porejemplo �2v1, 3v2,�v3� como base de S. Otra solución posible es

���2,1,1,0�,�0,1,1,0�,�0,0,0,2�� es una base de S, pues es un conjunto degeneradores -ver la triangulación anterior- y además es un conjunto l.i.Obviamente, no contiene ninguno de los vectores dados.

6. Si triangulamos la matriz

0 1 1

2 0 1

2 1 2

4 �1 1

v1

v2

v3

v4

y llegamos a una matriz con

última fila nula, tendremos escrito v4 como combinación lineal de v1, v2 y v3

(escribimos la columna de vectores

v1

v2

v3

v4

para, con las mismas cuentas, obtener

la combinación lineal buscada). Es

0 1 1

2 0 1

2 1 2

4 �1 1

v1

v2

v3

v4

�

2 0 1

0 1 1

0 1 1

0 �1 �1

v2

v1

v3 � v2

v4 � 2v2

Con un paso más, vemos que v4 � 2v2 � v1 � 0, de donde v4 � �v1 � 2v2 .Podríamos intentar triangular de otra forma para conseguir otra expresión. Sepropone hacerlo como ejercicio.Otra manera de resolver es usando directamente la definición de combinaciónlineal: se buscan escalares �, �, � que verifiquen:

�4,�1,1� � ��0,1,1� � ��2,0,1� � ��2,1,2�.

Esto equivale a resolver el sistema:

4 � 2� � 2�

�1 � � � �

1 � � � � � 2�

.

Si el sistema fuera incompatible, �4,�1,1� no sería combinación lineal de losvectores dados, pero a partir de lo hecho antes sabemos que no es así. Elsistema es compatible.Si fuera determinado la solución encontrada arriba sería la única posible, y sifuera indeterminado, habría infinitas maneras de expresarlo como combinaciónlineal de �0,1,1�, �2,0,1� y �2,1,2�.Resolvamos el sistema para ver en qué situación estamos:

0 2 2 � 4

1 0 1 � � 1

1 1 2 � 1

�

1 0 1 � � 1

0 2 2 � 4

1 1 2 � 1

�

1 0 1 � � 1

0 2 2 � 4

0 1 1 � 2

�

1 0 1 � � 1

0 1 1 � 2

0 0 0 � 0

Reconstruimos el sistema:

� � � � �1

� � � � 2

Podemos poner entonces: � � �1 � �, � � 2 � �. El sistema es indeterminado, ytodas las maneras de escribir el vector �4,�1,1� como combinación lineal de�0,1,1�, �2,0,1� y �2,1,2� son:

�4,�1,1� � ��1 � ���0,1,1� � �2 � ���2,0,1� � ��2,1,2�.

Por ejemplo, si � � 0, obtenemos la solución dada arriba. Le damos otro valor a �para completar la respuesta, por ejemplo � � 1 y obtenemos:

�4,�1,1� � �2�0,1,1� � �2,0,1� � �2,1,2�.

7. Primero observemos que S � �X � R3/x1 � 3x3 � 0� es un plano en R3, luegosu dimensión es 2, con lo cual una base de S es un conjunto de dos vectores

�v1,v2� que verifican:v1 � S

v2 � S, y �v1,v2� debe ser l.i. Por la primera

condición, usando la ecuación de definición del subespacio, tenemos que:k � 3 � 0

3 � 3 � 0. Entonces k � �3.

Debemos ver ahora si el conjunto ���3,�3,1�; �3,3,�1�� es l.i.: no lo es, pues�3,3,�1� � ���3,�3,1�. Entonces, el único valor de k que sirve para que se cumplala primera condición no sirve para que se cumpla la segunda. Entonces,para ningún valor de k, el conjunto ��k,k, 1�; �3,�k,�1�� es base del subespacio S .

8. Primero buscamos una base de S para ver cuál es su dimensión: comox1 � x3 � 2x4, la solución paramétrica del sistema es:�x3 � 2x4,x2,x3,x4� � x2�0,1,0,0� � x3�1,0,1,0� � x4��2,0,0,1�.Entonces,��0,1,0,0�,�1,0,1,0�,��2,0,0,1�� es un conjunto de generadores de S, y

como es l.i., la dimensión de S es 3. El conjunto C2 no es una base de S , puestiene sólo dos vectores.El conjunto C1 es una base de S , pues es un conjunto de tres vectores de S-verificar, y es l.i.:

1 0 1 0

2 0 0 �1

0 1 0 0

�

1 0 1 0

0 0 �2 �1

0 1 0 0

�

1 0 1 0

0 1 0 0

0 0 �2 �1

.

El conjunto C3 no es una base de S pues es l.d.: �2,1,2,0� � �1,1,1,0� � �1,0,1,0�.

9. Buscamos a para que el vector v � �1,3,a, 2� pertenezca al subespacioS � ��1,�1,1,�1�,�2,2,0,1��. Esto significa que el vector v debe ser combinaciónlineal de �1,�1,1,�1� y �2,2,0,1�. Utilizando la regla práctica dada anteriormente,

basta con armar la matriz

1 �1 1 �1

2 2 0 1

1 3 a 2

y ver cuáles son las condiciones

sobre a para que al triangular(sin cambiar la última fila de lugar, ésta se conviertaen 0 0 0 0 . Es

1 �1 1 �1

2 2 0 1

1 3 a 2

�F2�F2�2F1

F3�F3�F1

1 �1 1 �1

0 4 �2 3

0 4 a � 1 3

�F3�F3�F2

1 �1 1 �1

0 4 �2 3

0 0 a � 1 0

Luego, el vector v � �1,3,a, 2� pertenece al subespacio S si y sólo si a � �1.

10. Ahora, buscamos a para que el vector v � �a, 2a, 3� pertenezca al subespacioS � ��1,1,�3�,�0,�1,3�. El procedimiento es el mismo que en el ejercicio anterior.

Tenemos que triangular la matriz

1 1 �3

0 �1 3

a 2a 3

.

a. Si a � 0, la matriz ya está triangulada. En este caso es:

1 1 �3

0 �1 3

0 0 3

, y el vector v � �0,0,3� no pertenece al subespacio S

pues no se puede escribir como combinación lineal de los generadoresde S.

b. Si a � 0 debemos triangular:

1 1 �3

0 �1 3

a 2a 3

�F3�F3�aF1

1 1 �3

0 �1 3

0 a 3 � 3a

�F3�F3�aF2

1 1 �3

0 �1 3

0 0 3� 6a

Entonces, el vector v � �a, 2a, 3� pertenece a S si y sólo si 3 � 6a � 0,esto es, si a � � 1

2 .Observemos que en realidad no hacía falta separar el estudio en loscasos a. y b. ya que al operar no se multiplicaba la fila transformada pora, sino otra. La respuesta es:v � �a, 2a, 3� pertenece a S si y sólo si a � � 1

2 .

11. Buscamos un vector v no nulo de S � �x � R4 : 2x1 � x2 � x3 � 0� quepertenezca a W � ��1,1,�2,�2�,�0,2,�1,�1��.Ya que v es un vector de W, se debe poder escribir como combinación lineal delos generadores de W. Pongamos entonces

v � ��1,1,�2,�2� � ��0,2,�1,�1�.

Hallar v es encontrar � y �.Sabemos que v debe estar en S, esto es, debe verificar la ecuación de S. Como

v � ��,� � 2�,�2� � �,�2� � ��

entonces, reemplazando en la ecuación de S,

2� � �� � 2�� � ��2� � �� � 0.

Luego,

� � � � 0.

Esto significa que si en ��,� � 2�,�2� � �,�2� � �� le damos valores a � y � demanera que se cumpla � � � � 0, estaremos cumpliendo simultáneamente lascondiciones impuestas para estar en ambos subespacios -hemos encontradoentonces S �W-. El ejercicio nos pide hallar uno de esos vectores. Por ejemplo,podemos tomar � � 1 y � � �1, obteniendo v � �1,�1,�1,�1� .

12. Entendamos primero qué es lo que se está pidiendo. Extender un conjuntodado a una base de un espacio vectorial V (o de un subespacio S) significaencontrar una base de V (o de S) que contenga el conjunto dado.

a. En este caso el conjunto dado es ��1,�2�� y el espacio vectorial es R2.Lo que se quiere hacer es encontrar una base de R2 que contenga elvector �1,�2�. Para esto, como sabemos que la dimensión de R2 es dos,basta con encontrar un vector v tal que ��1,�2�,v� sea l.i. Por ejemplo,el conjunto ��1,�2�,�0,1�� es una base de R2 que extiende a ��1,�2�� .

b. Ahora, como la dimensión de R3 es tres, buscamos dos vectores v y wtal que ��1,1,0�,v,w� sea l.i. Por ejemplo, v � �1,0,0�, w � ��0,0,1�.Verifiquemos que efectivamente ��1,1,0�,�1,0,0�,�0,0,1�� es l.i.Para eso triangulamos:

1 1 0

1 0 0

0 0 1

�F2�F2�F1

1 1 0

0 �1 0

0 0 1

.

Como esta última matriz está triangulada y no tiene ninguna fila deceros, el conjunto de tres vectores ��1,1,0�,�1,0,0�,�0,0,1�� es l.i., y porlo tanto es una base de R3. Entonces,el conjunto ��1,1,0�,�1,0,0�,�0,0,1�� es una base de R3 que extiende a ��1,1,0�� .

c. Como ��1,1,0�,�2,2,0�� ya tiene dos elementos, debe buscarse unvector v tal que ��1,1,0�,�2,2,0�,v� sea l.i. Pero como ��1,1,0�,�2,2,0��es l.d. -ya que �2,2,0� � 2�1,1,0�-, cualquiera sea v el conjunto��1,1,0�,�2,2,0�,v� es l.d. Entonces,no se puede extender ��1,1,0�,�2,2,0�� a una base de R3 .

d. ��1,1,0�,�2,2,3�� es l.i:

1 1 0

2 2 3�F2�F2�2F1

1 1 0

0 0 3

A partir de la matriz que está triangulada es más fácil elegir un vector vtal que ��1,1,0�,�2,2,3�,v� sea l.i. Por ejemplo,

��1,1,0�,�2,2,3�,�0,1,0�� es una base de R3 que extiende a ��1,1,0�,�2,2,3�� .