Probabilidad y

Estadstica

ProbabilidadConceptos como probabilidad, azar, aleatorio son tan viejos como la misma civilizacin.

Y es que a diario utilizamos el concepto de probabilidad:Quiz llueva maanaProbablemente llegaremos tardeSeguramente tendr notable en Mtodos Matemticos para la Fsica ...

Pero, qu es la probabilidad ?

Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...

Interpretacin clsica de probabilidad:esta interpretacin esta basada en la idea de eventos igualmente posibles (probables).

Ejemplo. Si existen n posibles resultados, todos ellos con la misma posibilidad de que ocurran, entonces la probabilidad de cada evento es 1/n

Pero, el concepto de igualmente probable est basado en el concepto de probabilidad que queremos definir !Qu hacemos cuando los eventos no son igualemente probables?

Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...Probabilidad como frecuencia de sucesos:

Aqu la probabilidad se obtiene a travs de la frecuencia relativa, si el proceso se repitiera muchas veces bajo las mismas condiciones.

Pero, cunto es mucho?Qu significa condiciones similares ?

Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...

Interpretacin subjetiva de laprobabilidad:

Esta es la probabilidad que una persona asigna a los posibles eventos de una situacin. El juicio para la asignacin de probabilidades est basada en creencias o informacin del individuo.

Obviamente, aqu la probabilidad cambia de persona a persona.

Teora de Probabilidades

Aqu veremos/desarrollaremos una teora de probabilidades sin considerar las controversias respecto a la interpretacin de lo que es una probabilidad.

Por supuesto, la teora que veremos es formalmente correcta y podr utilizarse para la asignacin de valores de probabilidad en problemas reales.

Conceptos preliminares

Un experimento es cualquier proceso, real o hipottico, cuyo posible resultado puede identificarse de antemano.

Un evento es un conjunto bien definido de los posibles resultados de un experimento.

Teora de conjuntosAlgunas definiciones:

Espacio muestral: es la coleccin de todos los posibles resultados de un experimento.Denotaremos por S al espacio muestral.

Un posible resultado x de S se dice que es un miembro del espacio muestral y se denota como

Teora de conjuntos

Cuando un experimento se realiza y se dice que un evento ha ocurrido, significa que el resultado del experimento satisface las condiciones que especifican a ese evento.

Cada evento puede considerarse como un subconjunto del espacio muestral

Teora de conjuntos

Ejemplo: Dado de seis caras (once again)

Espacio muestral (lanzamiento de un dado) S

Sea A el evento de obtener un nmero par:

Teora de conjuntosSea B el evento de obtener un nmero mayor o igual que 2

Se dice que un evento A est contenido en otro evento B, si cada resultado que perte-ce al subconjunto que define a A, tambin pertenece al subconjunto que define B:

o bien

Teora de conjuntosConjunto vaco

Algunos eventos son imposibles de obtener.

Por ejemplo, obtener un nmero negativo al lanzar undado. Es decir, el evento est definido por un subconjunto deS sin resultados. A este subconjunto de S se le llama conjunto vaco y se denota por:

Para un evento arbitrario A es lgicamente correcto decir que cada elemento del pertenece a A:

Teora de conjuntos

Un conjunto es contable si hay una correspondencia uno a uno de sus elementos con los nmeros naturales {1,2,3, ...}.

Un conjunto es incontable si no es finito ni contable

Conjuntos finitos e infinitos

El nmero de elementos de un conjunto puede ser finito o infinitos

Un conjunto infinito puede ser a su vez contable o incontable

Diagramas de Venn

Una representacin grfica de los resultados de un experimento son los diagramas de Venn

Diagramas de Venn

Diagramas de Venn

Regiones:i) Resultados que pertenecen al evento A, pero no al evento Bii) Resultados que pertencen al evento B, pero no al evento Aiii) Resultados que pertenecen a ambos eventos A y Biv) Resultados que no pertenecen ni a A ni a B

Teora de conjuntos

Algunas relaciones entre las operaciones de unin e interseccin: Conmutatividad Asociatividad Distributividad Idempotencia

Teora de conjuntos

Leyes de Morgan:

HomeworkUn experimento consiste en escoger al azar un nmero entero entre 0 y 9 (incluyendo ambos nmeros). Sean A, B y C los eventos definido por

Encontrar los elementos de los siguientes eventos

Teora de probabilidades

Teora de Probabilidades

Queremos asignar un valor/nmero Pr(A) a cada evento de A en un espacio muestral S.

Pr(A) indicar la probabilidad de que se evento ocurra.

Teora de probabilidadesAxioma 1. Para cada A en un espacio muestral S,

Axioma 2. Para un espacio espacio muestral S

Axioma 3. Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes

Para una serie infinita de eventos disjuntos asumimos que

Teora de Probabilidades

Definicin matemtica de probabilidad:

Una probabilidad en un espacio muestral S es una especificacin de nmeros Pr(A) que satisfacen los axiomas 1, 2 y 3

Teora de ProbabilidadesAlgunos teoremas:

1)

2) Para cada serie finita de eventos disjuntos

3) Para cada evento A

Teora de probabilidades

6) Para dos eventos A y B

4) Si entonces

5) Para cada evento A

Teora de probabilidades

Ejemplo:Un paciente visita al mdico por un dolor de garganta y fiebre. Despus de examinar al paciente, el mdico piensa que el paciente sufre o una infeccin bacteriana, o una de tipo viral. El doctor decide que hay una probabilidad de 0.7 que el paciente tenga una infeccin bacteriana y una probabilidad de 0.4 que la persona tenga una infeccin viral.Cul es la probabilidad de que el paciente tenga ambos tipos de infeccin?

Teora de probabilidades (espacio muestral simple)

Un espacio muestral se le llama simplesi la probablidad asignada a cada posible resultado

es 1/nSi un evento A en este espacio contiene m resultados, entonces

Teora de probabilidades (espacio muestral simple)

Similarmente, sea el nmero de resultados de unevento A y el nmero total de resultados del espacio muestral. Entonces

Ahora, si A y B son dos eventos en S:

Teora de probabilidades Ejercicio:

Calcule la probabilidad de obtener un as o una espada/pica de un paquete de cartas

Teora de probabilidadesEjercicio: supongamos que se lanzan 3 monedas simultneamente. Cul es la probabilidad de obtener 2 caras?

Nmero posible de eventos (C:cara, R:cruz):1- C C C2- R C C3- C R C4- C C R5- C R R6- R C R7- R R C8- R R R

Teora de probabilidades

Ejercicio: calcule la probabilidad de obtener un as o una espada/pica o un nmero par {2,4,6,8,10}

Solucin:Sea A el evento de obtener un asSea B el evento de obtener una espada/picaSea C el evento de obtener un nmero par

Se nos pide entonces calcular

Teora de probabilidades

que est dada por:

Mtodos de conteo

Para espacios muestrales simples es muy importante saber contar el nmero de resultados posibles de un evento y el nmero de resultados posibles del espacio muestral, pues de aqu podemos calcular la probabilidad de un evento dado

- Multiplicacin

- Permutacin

- Combinacin

Mtodos de conteoMultiplicacin

Regla de multiplicacin.Si en un experimento tenemos que:i) el experimento se realiza en dos partesii) la primera parte tiene m posibles resultados: y, no importando cuales sean estos resultados, la segunda parte del experimento tiene n resultados:

Cada resultado del espacio muestral est dado por la pareja y S est dado por:

Mtodos de conteo

De aqu que el espacio muestral tiene mxn resultados

Mtodos de conteo

Ejemplo: Lanzamiento de dos dados. Como cada dado tiene 6 posibles resultados, el nmero total de posibles resultados es 6x6=36Por supuesto, la regla de multiplicacin puede extenderse a experimentos con ms de dos partes.Si un experimento tiene k partes (k>2), tal que la i-sima parte del experimento tiene posibles resultados. Entonces el tamao del espacio muestral es

Ejemplo:Lanzamiento de 6 monedas.

Como cada parte del experimento tiene 2 posibidades (cara o cruz) tenemos entonces que el nmero total de posibles resultados es

2x2x2x2x2x2 = 64

Mtodos de conteo

Permutaciones

Una permutacin es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto.

Entonces nos preguntamos de cuntas formas n objetos distintos pueden arreglarse/acomodarse (?)

Mtodos de conteoRespuesta:

Si ahora seleccionamos solamente k elementos (uno a la vez) de los n, entonces vimos que:

Mtodos de conteo

Ejemplo: Sea

Cules son las permutaciones de 2 elementos tomados del conjunto anterior ?

Respuesta:

Conteo con reemplazamiento

Considerando ahora un experimento en que una bola, seleccionada de una caja con n bolas, se regresa a la misma caja. A este proceso se le llama muestreo con reemplazamiento.Si se hace un total de k selecciones, el espacio muestral S contiene todos los vectores de la formaComo existen n posibles resultados para cada una de las selecciones, el nmero total de vectores en S es

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