conjunto s

Lgica Matemtica y Conjuntos

Juan Carlos Damin Sandoval

Universidad San Martin de Porres

Marzo del 2014

J.C.Damin . S (USMP) Lgica Matemtica y Conjuntos Marzo del 2014 1 / 25

Contenido

1 Conjuntos


Teora de Conjuntos

CONJUNTOS1. Notacin2. Determinacin de un Conjunto3. Conjunto Numrico4. Conjunto Especiales5. Relaciones entre Conjuntos6. Operaciones7. Nmero de Elementos de un Conjunto.


Idea Intuitiva de un conjunto

Intuitivamente por conjunto se tiene la idea de pluralidad (coleccin,agrupacin), unidad y nulidad de objetos homogneos o heterogneoscon posibilidades reales o abstractas, que reciben el nombre deelementos.

NotacinPara representar un conjunto se utilizan letras Maysculas, talescomo A , B , C ... sus elementos se denotan con letras minsculas yse separan mediante punto y coma.

EjemploA = {e; u; c ; a; l ; i ; p; t; o}


Relacin de Pertenencia

Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa elsmbolo : Se lee : pertenece a

EjemploSea A = {a; e; i ; o; u}a A, i A, x / A

Determinacin de ConjuntosExtensin:Cuando se nombra a cada uno de sus elementos.Comprensin:Cuando existe una propiedad o condicin que escomn a todos sus elementos.


Ejemplos

1.-A = {1; 3; 5; 7; 9}2.-B = {x/x es un dia de la semana}

Conjuntos NumricosNmeros Naturales:N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; . . .}Nmeros Enteros:Z = {. . . ;2;1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; . . .}Nmeros Racionales:Q = {x/ x = ab ; a Z ; b Z ; b 6= 0}Nmeros Irracionales:I = {. . .3;2; pi; e; . . .}Nmeros Reales:R = Q I


I


Conjuntos Especiales

FinitoEs un conjunto que tiene un nmero limitado de elementos.

InfinitoEs cuando sus diferentes elementos no se pueden contar.

UnitarioEs todo conjunto que consta de un solo elemento.

Vaco o NuloEs aquel conjunto que no tiene elementos y se denota por: {} .

UniversalConjunto referencial que contiene a todos los elementos de losconjuntos dados. Se representa por la letra U .J.C.Damin . S (USMP) Lgica Matemtica y Conjuntos Marzo del 2014 8 / 25

Relaciones entre Conjuntos

Conjuntos IgualesSon los que tienen exactamente los mismos elementos.

Conjuntos DiferentesDos conjuntos son diferentes si al menos uno de sus elementos noson iguales.

Conjuntos DisjuntosSon los que no tienen ningn elemento en comn.

Inclusin y SubconjuntosSe dice que un conjunto A est en otro B, s y solo s, todos loselementos de A pertenecen a B. es decir:A B x A x B.


Conjunto Potencia

Conjunto PotenciaEs el conjunto formado por todos los subconjuntos del conjuntodado. Se denota por:P(A)

ObservacinPara encontrar el nmero de elementos del conjunto potencia seutiliza lo siguiente:

n[P(A)] = 2n(A)

Donde n(A) es el nmero de elementos del conjunto A.


EJERCICIOS

EJERCICIOSDeterminar por extensin los conjuntos.1. A = {x2 5x/x Z , 2 < x < 6}2. B = {2x2 + 9x 5 = 0/x Z}3. C = {x/x = 2n n N x < 38}4. D = {x Z/4x 13x = 32}5. E = { 2x2+1/x Z ,2 x 5}6. F = {x R/x +4x + 1 = 5}

Determinar por compresin los conjuntos1. A = {1; 4; 9; 16; 25; . . .}2. B = {2; 23; 25; 27}3. C = {19 ; 111 ; 113 ; 115 ; 117 ; 119 ; 121}4. D = {7;3; 1; 5; 9}


Operaciones Entre Conjuntos

Unin o Reunin de ConjuntosConjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A a B.A B = {x/x A x B}

A BA

B A B

A B A B B A B


Propiedades1. A B = B A, propiedad conmutativa.2. A (B C) = (A B) C , propiedad asociativa.3. A = A4. A U = U5. A A = A6. Si A B A B = B

Ejemplosean los conjuntos A = {x N/x impar ; 2 < X < 13}B = {2x 1/x N ; 2 < x 7}Determinar: A B



Interseccin de ConjuntosSe forma con los elementos comunes de A y de B.A B = {x/x A x B}

AB

AXBB

AXB=A

A B

AXB=f

A

Dos conjuntos son Disjuntos si A B = , Adems siempre secumple que A =


Propiedades1. A B = B A, propiedad conmutativa.2. A (B C) = (A B) C , propiedad asociativa.3. A = 4. A U = A5. A A = A

Ejemplosean los conjuntos A = {x N/x impar ; 2 < X < 13}B = {2x + 1/x N ; 2 < x < 6}Determinar: A B



Diferencia de ConjuntosSe forma con los elementos que pertenecen a A pero no a B.A B = {x/x A x / B}

A B

A - B

A

B

A-B=f

A B

A-B=A


Propiedades1. A B 6= B A2. A A = 3. A = A4. A = 5. Si A B A B =

Ejemplosean los conjuntos A = {x N/x impar ; 2 < X < 13}B = {2x + 1/x N ; 2 < x < 6}Determinar: A B



Diferencia SimtricaSe forma con los elementos que pertenecen a A o a B pero no a lainterseccin.AB = (A B) (A B) o AB = (A B) (B A)

A B

A B


Propiedades1. AB = BA2. AA = 3. A = A4. (AB)C = A(BC)

Ejemplosean los conjuntos A = {x N/x impar ; 2 < X < 13}B = {2x + 1/x N ; 2 < x < 7}Determinar: AB



Complemento de ConjuntosEs lo que falta al conjunto para ser igual al universal(U). Si elconjunto es A, su complemento se denota por AA = U A = {x/x U x / A}

U

A 'A


Propiedades1. U = 2. = U3. (A) = A4. (A B) = A B 5. (A B) = A B 6. A B = A B

EjemploSi U = {x N/0 < x < 11}; A = {1; 2; 3; 4; 5};B = {x U/x = 2k , k U}Determinar: A B y A B


Nmero de Elementos de un Conjunto

Nmero de Elementos de un ConjuntoAl nmero de elementos de un conjunto se le llama: Cardinalidad deun Conjunto y se denota as:Para un conjunto A se tiene n(A) card(A)

Propiedades1. Si A y B son conjuntos disjuntos:n(A B) = n(A) + n(B)2. Si A y B son conjuntos

cualesquiera:n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)3. Si A, B y C son conjuntos cualesquiera tales que

A B C 6= , entonces:n(A B C) =n(A)+n(B)+n(C)n(AB)n(AC)n(BC)+n(ABC)


EJERCICIOS

Ejercicios1. Si los conjuntos A y B son tales que:

n(A B) = 30,n(A B) = 12 y n(B A) = 10; hallarn(A) + n(B)

2. Dados los conjuntos A y B, se conoce que n(A) = 15;n(B) = 17 y n(A B) = 25Encuentre:n(A B)

3. Si A y B son conjuntos finitos y se sabe que:A B = {x}, n(A B) = 7, n[P(A B)] = 510 + n[P(A B)]Encuentre el nmero de elementos del conjunto A.


EJERCICIOS

Ejercicios1. Encuestando a un grupo de jvenes acerca de su ocupacin se

obtuvo:1/2 trabajan;2/5 estudian; 1/5 no trabajan ni estudian;10 trabajan y estudian. Cuntos trabajan pero no estudian?.

2. En una encuesta a 150 jvenes acerca de tres bebidas gaseosasA, B y C result que 46 beban A, 36 beban B, 28 beban C , 20beban A y B,18 beban A y C , 16 beban B y C , y 10 beban lastes. cuntos:a)No beban ninguna de ellas?. b)Beben slo A? c)Beben sloB?d)Beben slo C? e)No beben A ni B? f)Beben A o B?


Bibliografa LAZARO CARRION, MOISES; Lgica y teora de conjuntos.Editorial Moshera Lima 2009 FIGUEROA ROBERTO, Matemtica Bsica. Editorial San Marcos.Lima 2004 ESPINOZA RAMOS,E.(2002). Matemtica Bsica. EditorialServicios Grficos JJ. Per."VERA G. CARLOS, Matemtica Bsica. Editorial Moshera Lima2009.


Conjuntos

conjunto s

Documents