condiciones iniciales

Capítulo 3

CONDICIONES INICIALES

3.1. SENTIDO DENTRO DEL CONJUNTO, OB-JETIVOS E IMPORTANCIA

En la solución de la ecuación diferencial ordinaria (de orden n) que relaciona laexcitación con la respuesta aparecen n constantes, cuya evaluación exige el cono-cimiento de la respuesta deseada y de sus derivadas temporales de orden superiorhasta la (n − 1)−ésima en un cierto instante de referencia (t = 0). El Ingeniero nopuede suponer arbitrariamente estos valores (conocidos como condiciones iniciales)como lo hace el matemático.

Además, algunos de los elementos de una red pueden tener “historias” independien-tes entre sí antes de conformarla (por ejemplo, haciendo parte de otros circuitosantes de la interconexión, la cual se hace mediante interruptores que cambian deposición o de estado, es decir, se cierran si estaban abiertos o se abren si estabancerrados). Se define t = 0− como el instante antes de realizar la conmutación yt = 0+ como el inmediatamente después de hacerla. Se denomina circuito pre-vio el que, en general, alcanza el estado estacionario con los interruptores en lasposiciones mostradas o en cierto estado (abiertos o cerrados). Al que se obtienedespués de la conmutación, es decir, después de la acción simultánea e instantá-

nea de todos los interruptores del circuito previo, cada uno de los cuales o cambiade posisción o de estado, es decir, si estaba cerrado se abre o si estaba abiertos secierra, se le conoce como circuito conmutado.

1

david

Resaltado

2 CONDICIONES INICIALES

Los objetivos de este capítulo son los siguientes:

I Presentar y justificar un método sistemático para determinar el valor de lasrespuestas y de sus derivadas temporales de orden superior en el instante dereferencia (t = 0+) suponiendo conocido el estado energético en t = 0+.

II Describir un método general y sistemático para determinar el estado ener-gético en t = 0+ de circuitos arbitrarios, suponiendo conocido el estadoenergético inicial en t = 0−.

III Determinar el estado energético inicial en t = 0− a partir de:

(a) Las expresiones en función del tiempo para voltajes en capacitores ycorrientes en inductores que se presentan en el estado estacionario en elcircuito previo.

(b) de una descripción precisa del instante de la conmutación.

IV Describir e ilustrar la aplicación de un método para obtener cualquier res-puesta del estado estacionario rss(t) [corriente (de malla o de enlace) o voltaje(de nodo o de rama)] que prevalecen después de que ha transcurrido “mucho”tiempo, conocidas como de régimen permanente, es decir,

rss(t) = limt→∞

r(t) (3.1)

para obtener los voltajes en todos los capacitores y las corriente en todos losinductores del circuito previo.

3.2. ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN ESTADOESTACIONARIO

3.2.1. DEFINICIÓN

Frecuentemente en ingeniería el interés primario en la solución de un problema esdeterminar el comportamiento de circuitos después de que ha transcurrido “mucho”tiempo. Las respuestas que se presentan bajo estas condiciones se denominan odefinen como las de “estado estacionario” (designadas también por algunosautores como de “régimen permanente”).

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA Ingeniería Eléctrica Alvaro Acosta M.

3.2. ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN ESTADO ESTACIONARIO 3

Fácilmente se puede verificar que, en general1, todas las raíces de las ecuacio-nes características de las ecuaciones diferenciales de todas las respuestas de redesformadas exclusivamente de elementos pasivos que contengan por lo menos un ele-mento resistivo no redundante2 tienen parte real negativa3. Una consecuencia deeste hecho (ver apéndice B) es que para cada respuesta

limt→∞

rh(t) = 0 (3.2)

donde rh(t) es la solución de la ecuación diferencial homogénea.

Se puede definir entonces la respuesta del estado estacionario rss(t) de la siguientemanera:

rss(t) = limt→∞

r(t) = rp(t)

donde rp(t) es la solución particular de la ecuación diferencial.

3.2.2. EJEMPLO 3.1

v(t)

R R

R

C1

C2

L1 L2

L3

vC1

vC2

iL1

iL2

iL3

(a)

1

2

3

4

5

6

7

8

R

C

L1v(t)

R R

L2

L3

(b)

Figura 3.1 Circuito del Ejemplo 3.1 y su correspondiente gráfico orientado

Los parámetros del circuito de la figura 3.1(a), cuyo gráfico orientado se muestra

1Es decir, como se verá más adelante, hay casos muy particulares en los que no se cumple.2Además de las fuentes independientes cuya ubicación en el circuito es arbitraria en cuanto nocontradiga las leyes de Kirchhoff.

3A menos que se mencione explícitamente lo contrario, se supone en lo sucesivo que todos loscircuitos cumplen esta condición. Se exceptúan de esta regla la clase especial de circuitos que sedescriben en la sección 3.3.4.

Alvaro Acosta M. Ingeniería Eléctrica UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA


en la Figura 3.1(b), son los siguientes:

R1 = 3 Ω C1 = 300 µ C2 = 1, 500 µ

L1 = 6 · 0 mH L2 = 1 · 5 mH L3 = 3 · 0 mH

M12 = 1 · 0 mH M13 = 2 · 0 mH (3.3)

Nótese que en el gráfico orientado C1 y C2 se han agrupado en un elemento equi-valente C = 250 µ.

(a) Obtener las ecuaciones diferenciales para las corrientes de enlace;

(b) Hallar los voltajes y corrientes de régimen permanente en todos los elementosalmacenadores de energía (con los sentidos de referencia sugeridos en el gráficoorientado de la Figura 3.1(b)) en cada uno de los siguientes casos:

i v(t) = 24 V

ii v(t) = 86 Sen(103t + 53,13·)

El conjunto linealmente independiente de ecuaciones integro-diferenciales que des-cribe completamente el comportamiento de la red en función de corrientes de enlacede acuerdo al gráfico orientado de la Figura 3.1(b), después de derivar las ecua-ciones en las que aparecen integrales e introducir la notación operacional (2-87),es:

6 + 4 · 5 × 10−3D 6 + ·0 × 10−3D 36 + 3 · 0 × 10−3D 6 + 6 · 0 × 10−3D 3

3D 3D 6D + 4000

i4

i7

i8

=

11D

(3.4)

Resolviendo (3.4) se obtiene:

i4 =(9 · 0 × 10−3D + 12)

∆(D)i7 =

(4 · 5 × 10−3D + 6)∆(D)

i8 =(18 × 10−6D2 + 13 · 5 × 10−3D)

∆(D)∆(D) = 108 × 10−6D2 + 193 · 5 × 10−3D + 108 (3.5)

donde se ha simplificado D tanto en numerador como denominador ya que unade las ecuaciones había sido derivada. Se puede verificar fácilmente que todas las


david

Resaltado


raíces de la ecuación característica, ∆(D) = 0, en (3.5), tienen parte real negativa.Las soluciones particulares de (3.5), para cada caso, se muestran en la tabla 3.1

De los resultados de la Tabla 3.1 se pueden obtener también los siguientes resulta-dos:

(a) Para v(t) = 86 Sen(103t + 53 · 13):

vL1ss(t) = 40 Cos 103t vL2ss(t) =403

Cos 103t vL3ss(t) =803

Cos 103t

vC1ss(t) =1003

Sen(103t + 16,26) vC2ss(t) =203

Sen(103t + 16,26)

(3.6)

(b) Para v(t) = V = 24 V :

vL1ss(t) = vL2ss(t) = vL3ss(t) = 0 V

iC1ss(t) = iC2ss(t) = 0 A

iL1ss(t) + iL2ss(t) = 4 A (a)

vC1ss(t) + vC2ss(t) = 12 V (b) (3.7)

Los resultados obtenidos en la tercera columna de la Tabla 3.1 y en la ecuación(3.6) se pueden generalizar de la siguiente manera:

v(t) ⇒ V = 24 V 86Sen(103t + 53 · 13)

i4p(t) = iL2ss(t) ⇒ 83

A203

Sen 103t A

i7p(t) = iL1ss(t) ⇒ 43

A103

Sen 103t A

i8p(t) = iCss(t) ⇒ 0 A 10 Sen(103t + 106 · 26) A

Tabla 3.1 Corrientes de enlace del estado estacionario en el Ejemplo 3.1



“Las corrientes y voltajes que se presentan en el estado estacionario encircuitos que contengan por lo menos un elemento resistivo no redun-dante, excitado por una fuente independiente sinusoidal, son tambiénsinusoidales de la misma frecuencia angular y presentan una diferenciaentre ellas en la amplitud y en el ángulo de fase que cuantifica el retardoo adelanto de unas con respecto a otras en la ocurrencia de sus valoresmáximos o mínimos o en los cruces por cero con la misma pendiente”.

Los resultados obtenidos en la segunda columna de la Tabla 3.1 y en la ecuación(3.7) se pueden generalizar de la siguiente manera:

En general,4 “cuando una red contiene por lo menos un elemento resistivono redundante y fuentes independientes de valor constante, los capaci-tores se comportan en el estado estacionario como circuitos abiertos(corriente nula) y los inductores como corto-circuitos (voltaje cero)”.5

Así por ejemplo, reemplazando en el circuito de la Figura 3.1(a) los capacitores porcircuitos abiertos y los indductores por corto-circuitos, como se muestra en la Figura3.2 y resolviendo el circuito resistivo resultante, se pueden obtener directamentelos mismos resultados de la ecuación (3.7), sin necesidad de obtener las ecuacionesdiferenciales ni resolverlas para las soluciones particulares.

R R

R

C1

C2

L1 L2

L3

vC1

vC2

iL1

iL2

iL3

V

Figura 3.2 Circuito Para hallar respuestas de estado estacionario del circuito dela Figura 3.1(a) excitado con fuente de valor constante

En la solución del circuito resistivo resultante debe tenerse en cuenta que:

4Es decir, casi siempre. Las excepciones se describen en el numeral 3.2.45Nótese, sin embargo, que la energía almacenada en ellos es diferente de cero ya que existe unacorriente (6= 0) a través de los inductores y un voltaje (6= 0) en terminales de los capacitores.



(a) la corriente a través de cualquier resistor en serie con un capacitor es tambiénnula, y, por lo tanto, el voltaje a través del resistor también es nulo (vR =R iR), por lo que dicho resistor se puede reemplazar también por un corto-circuito.

(b) los inductores corto-circuitados disminuyen el número de nodos y no existeningún método para plantear un conjunto de ecuaciones que describa el com-portamiento de una red en el que una de las variables sea la corriente a travésde un corto-circuito. De la solución del circuito resistivo resultante se puedenobtener las corrientes y/o voltajes en los resistores.

Las anteriores observaciones permiten concluir que la solución de este circuito resis-tivo permite obtener únicamente la suma algebraica de los voltajes en capacitoresconectados en serie y de las corrientes a través de inductores en paralelo. Para de-terminar los valores individuales se requieren ecuaciones adicionales que se obtienenaplicando los siguientes criterios:

3.2.3. ECUACIONES AUXILIARES

CORTES FORMADOS EXCLUSIVAMENTE DE CAPACITORES

Como en este caso también se cumple que la suma algebraica de las corrientes através de los elementos del corte es nula se puede re-escribir la siguiente ecuaciónpara la correspondiente superficie:

∑

k

ik(t) = 0 ⇒∫ t

−∞

∑

k

ik(τ)dτ =∑

k

∫ t

−∞

ik(τ)dτ =∑

k

qk(t) =∑

k

Ckvk(t) = 0 ∀ t

(3.8)

donde se ha aplicado que la integral de una suma es la suma de las integrales asícomo también la definicón C =

q

v⇒ q = C v. (3.8) establece que la siguiente LEY

GENERAL: “cuando un corte está formado exclusivamente de capacito-res la suma algebraica de sus cargas es igual a cero en todo instante”.En la aplicación de (3.8) debe tenerse en cuenta que el signo de cada término lodefine el sentido de referencia de cada vk(t).

La aplicación de (3.8) al caso particular de una secuencia de n capacitores conecta-dos en serie como los mostrados en la Figura 3.3 se resume en las ecuaciones (3.9)y (3.10).


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Resaltado

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Resaltado

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Resaltado

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Resaltado

david

Resaltado

david

Resaltado


vab(t)

a

b

iab(t)

v1 v2 vk vn

C1 C2 Ck

Cn

Figura 3.3 Aplicación de (3.8) al caso de capacitores en serie

vab(t) =n∑

k=1

vk(t) vk(t) =1

Ck

∫ t

−∞

iab(τ)dτ =qk(t)Ck

(3.9)

De (3.9) y dado que en una conexión serie la corriente es la misma para todos loselementos se concluye que:

qk(t) =∫ t

−∞

iab(τ)dτ = C1v1(t) = C2v2(t) = · · · = Cnvn(t)(3 − 14b) (3.10)

En palabras (3.10)) se puede expresar “capacitores en serie toman la mis-ma carga”. Nótese que en consecuencia los de menor capacitancia toman mayorvoltaje.

EJEMPLO 3.2

Obtener los voltajes (con los sentidos de referencia indicados) para el circuito dela Figura 3.4, cuyos parámetros son los de la ecuación (3.11)

V1 = 12 V V2 = 24 V C1 = 30 µF

C2 = 30 µF C3 = 270 µF C4 = 45 µF

C5 = 90 µF C6 = 45 µF C7 = 90 µF (3.11)

El circuito de la Figura 3.4 tiene elemento resistivo no redundante y está excitadopor fuentes de valor constante por lo cual cada capacitor se puede reemplazar porcircuito abierto y cada resistor en serie con un capacitor por un corto-circuito comose muestra en la figura 3.5.


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Resaltado

david

Resaltado

david

Resaltado

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Resaltado

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Resaltado

david

Resaltado


C4

C5

vC4

vC5

C6

C7 vC7

vC6

C1 C2

vC1 vC2

C3

vC3

V1

V2

1 2

3 4

5 6

0

R1

R2

Figura 3.4 Circuito del Ejemplo 3.2

Se debe realizar un gráfico orientado en el que es obligatorio que las fuentesindependientes de voltaje se tomen como ramas, y conveniente que lossentidos de referencia de los voltajes a través de los capacitores coincidancon los del enunciado del problema, como se ilustra en el de la Figura 3.6.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff

(

∑

jvj(t) = 0

)

a los anillos independientes

se obtiene:

vC1ss + vC4ss + vC5ss − 12 = 0

vC2ss − 24 − vC7ss − vC6ss = 0

vC3ss + vC7ss − vC5ss = 0 (3.12)

donde se ha reemplazado v8 = V1 = 12 V v9 = V2 = 24 V vk = vCk k =1, 2, · · · , 7

Aplicando (3.8) a los cortes independientes correspondientes a las ramas que seancapacitores (identificados mediante las letras S en el gráfico orientado de la Figura3.6) se completa el conjunto linealmente independiente, es decir,

S1 : −C1 vC1ss + C4 vC4ss = 0

S2 : C2 vC2ss + C6 vC6ss = 0

S5 : −C1 vC1ss + C3 vC3ss + C5 vC5ss = 0

S7 : C2 vC2ss + C7 vC7ss − C3 vC3ss = 0 (3.13)


david

Resaltado

david

Resaltado


C4

C5

vC4

vC5

C6

C7 vC7

vC6

C1C2

vC1 vC2

C3

vC3

V1

V2

1 2

3 4

5 6

0

R1

R2

Figura 3.5 Circuito para hallar la respuesta del estado estacionario del circuitode la Figura 3.4.

1 2

3

4

5

6

78 9

1 2

3

4

5 6

0

4

S1

S5

S6

S7

Figura 3.6 Gráfico orientado del circuito del Ejemplo 3.2

Reemplazando en (3.13) los valores (3.11) y resolviendo el sistema lineal de ecua-



ciones que resulta de las ecuaciones (3.12) y (3.13) se obtiene:

vC1ss = 7 · 5 V vC2ss = 13 · 5 V vC3ss = 1 · 0 V

vC4ss = 5 · 0 V vC5ss = −0 · 5 V vC6ss = −9 · 0 V

vC7ss = −1 · 5 V (3.14)

ANILLOS FORMADOS EXCLUSIVAMENTE DE INDUCTORES

De la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff

(

∑

jvj(t) = 0

)

a dichos anillos se

obtiene:

∑

k

vk(t) = 0 ⇒∫ t

−∞

∑

k

vk(τ)dτ =∑

k

∫ t

−∞

vk(τ)dτ =∑

k

φk(t) = 0 ∀ t (3.15)

donde se ha aplicado que la integral de una suma es la suma de las integrales así

como también la definicón Lk =φk

ik

⇒ φk = L ik (ver definición (1.29). Cuando

los inductores pertenecen a un grupo acoplado los flujos magnéticos se obtienende ~φL(t) = [L]~iL(t), donde [L] es la matriz simétrica de inductancias propias ymutuas, ~φL(t) es el vector de flujos magnéticos asociados6 (ver ecuación (1.33 ).

(3.15) establece la siguiente LEY GENERAL: “Cuando un anillo está forma-do exclusivamente de inductores (algunos de los cuales podrían estarinductivamente acoplados) la suma algebraica de los flujos magnéticosasociados a ellos es igual a cero en todo instante”

La Figura 3.7 muestra un conjunto de n inductores sin acoplamiento mutuo entreellos conectados en paralelo. Aplicando (3.15) a este caso particular se obtiene:

iLk(t) =1

Lk

∫ t

−∞

vab(τ) dτ =φk(t)Lk

⇒∫ t

−∞

vab(τ) dτ = φk(t) = Lk iLk(t) k = 1, 2, · · · , n (3.16)

L1 iL1 = L2 iL2 = · · · = Lk iLk = · · · = Ln iLn

6con sentidos de referencia obtenidos mediante la aplicación de la regla de la mano derecha unavez definidos los del vector de corrientes ~iL(t)


david

Resaltado


iL1 iL2 iLk iLn

a

b

vab(t) L1 L2 Lk Ln

Figura 3.7 Conjunto de n inductores conectados en paralelo

Aplicando (3.15) y (3.8) al circuito de la Figura 3.2, se obtiene:

−C1 vC1ss(t) + C2 vC2ss(t) = 0

⇒ −300 × 10−6 vC1ss(t) + 1500 × 10−6 vC2ss(t) = 0 (a)

φL1(t)φL2(t)φL3(t)

=

6 1 21 1 · 5 02 0 3

× 10−3

iL1ss(t)iL2ss(t)iL3ss(t)

φL1(t) − φL2(t) − φL3(t)

⇒ 6 · 0 iL1ss(t) + 3 · 0 iL2ss(t) = 3 · 0 iL1ss(t) + 4 · 5 iL2ss(t) (b) (3.17)

donde en (3.17)(b) se ha tenido en cuenta que iL2ss(t) = iL3ss(t).

Resolviendo los sistemas simultáneos de ecuaciones (3.7)(b) y (3.17)(a) se obtienenlos valores individuales vC1ss(t) = 2 V y vC2ss(t) = 10 V . Similarmente resolviendo

los sistemas simultáneos de ecuaciones (3.7)(a) y (3.17)(b) se obtiene iL1ss(t) =43

A

e iL2ss(t) = iL3ss(t) =83

A (Ver Tabla 3.1).

3.2.4. EXCEPCIONES

Las condiciones de que un circuito esté excitado por fuentes independientes de valorconstante y tenga un elemento resistivo no redundante, por sí mismas, no garantizanque se puedan reemplazar los inductores por un corto-circuito y los capacitores porcircuitos abiertos para obtener las respuestas del estado estacionario. Es decir, ellasson condiciones necesarias, pero no suficientes.


david

Resaltado

david

Resaltado

3.3. CIRCUITO PROPIO E IMPROPIO 13

Los inductores que hagan parte de trayectorias cerradas que contengan por lo menosuna fuente independiente de voltaje de valor constante y exclusivamente inducto-res no se pueden reemplazar por un corto circuito. Sin embargo, los inductoresde una trayectoria cerrada formada exclusivamente por inductores sepueden reemplazar por corto-circuitos.

Similarmente, los capacitores que hagan parte de cortes que contengan por lo menosuna fuente independiente de corriente de valor constante y exclusivamente capacito-res no se pueden reemplazar por un circuito abierto (ver ejercicio 3.3). Sin embargo,los capacitores de un corte formado exclusivamente por capacitores sepueden reemplazar por circuitos abiertos.

Se aclara que las situaciones descritas anteriormente son muy hipotéticas o teó-ricas por cuanto es imposible construir en la práctica bobinas que no presentenresistencia interna lo que se modela colocándo ésta en serie con el parámetro pre-dominante inductancia. Así mismo todos los capacitores presentan fugas que semodelan mediante una resistencia en paralelo con el parámetro capacitancia.

3.3. CIRCUITO PROPIO E IMPROPIO

Se define como anillo impropio a una trayectoria cerrada formada exclusivamentede capacitores o exclusivamente de capacitores y fuentes independientes de voltaje.

Similarmente se define como corte impropio a uno formado exclusivamente deinductores o de inductores y fuentes independientes de corriente de la misma fre-cuencia angular Un circuito que tenga un anillo impropio o un corte impropio sedice que es impropio. Se define un circuito propio como uno que no contiene nianillos ni cortes impropios.

3.4. ESTADO ENERGÉTICO

Se define el estado energético de un circuito como el conjunto de variables quedeterminan la energía almacenada en él, es decir, los voltajes en los capacitores ylas corrientes en los inductores. De las ecuaciones (1.27) Y (1.28) , válidas para L yC constantes mayores que cero, puede verse que variaciones bruscas (instantáneas)en las corrientes a través de los inductores y de voltajes en capacitores, significarían,respectivamente, voltajes en inductores y corrientes en capacitores infinitos [y portanto potencias, [ver ecuación (1.XX)].Si se recuerda que la teoría de circuitos sirve


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Resaltado

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Resaltado


para hacer modelos matemáticos que permiten hacer análisis y predicciones sobreaparatos reales, parece lógico suponer que la naturaleza no se comporta de estamanera. Se puede concluir entonces que la cantidad de energía almacenada en uncircuito no cambia bruscamente. Sin embargo, como se verá más adelante, este esun postulado válido únicamente para circuitos propios y ha sido confirmado por laobservación experimental.

Si se supone que

i Cada elemento almacenador adquiere su estado energético independientemen-te de todos los demás, es decir, cada uno tiene historias diferentes.

ii En un cierto instante que se toma como referencia (t = 0+) dichos elementosentran formar parte de una interconexión ARBITRARIA.

iii La red así formada es un circuito impropio.

entonces es lógico suponer que en cumplimiento de las leyes de Kirchhoff (válidaspara ∀ t ≥ 0+) los voltajes en los capacitores de trayectorias impropias y las co-rrientes en los inductores de cortes impropios7 en t = 0+, en general, deben asumirvalores diferentes a los que tenían un instante antes de realizar la interconexión (queen los sucesivo se identificará por t = 0−). Las ecuaciones (1.27) y (1.28) sugierenque si se presentan estos cambios instantáneos se debe a un aceleramiento intensode las cargas en los capacitores (corrientes muy elevadas) o de los flujos magnéticosen los inductores (voltajes muy grandes) que según la electrodinámica obliga a quese produzca emisión de energía al espacio (radiación), razón por la cual la energíaalmacenada en t = 0− no es igual a la que queda en t = 0+. Se acostumbra formu-lar matemáticamente estos cambios instantáneos introduciendo la función impulsounitario que se define por sus propiedades de la siguiente manera:

δ(t) =

0 ∀t 6= 0∫

∞

−∞δ(t) dt = 1

∫

∞

−∞

f(t) δ(t − t0) dt = f(t0) (3.18)

Se puede redefinir entonces el estado energético inicial, es decir, las corrientes através de inductancias que hagan parte de cortes impropios o de las mutuamente

7


3.5. ENUNCIADO TÍPICO DE UN PROBLEMA DE CIRCUITOS 15

acopladas a ellos y los voltajes en capacitores que formen anillos impropios de lasiguiente manera:

iL(0+) = i[(0−) +1L

∫ 0+

0−

vL(x)dx vC(0+) = vC(0−) +1C

∫ 0+

0−

iC(x)dx

= iL(0−) +1L

∫ 0+

0−

KL δ(x)dx = vC(0−) +1C

∫ 0+

0−

KC δ(x)dx

= iL(0−) +KL

L= vC(0−) +

KC

C(3.19)

Las ecuaciones (2.4), (2.5) y (2.6) toman entonces la siguiente forma:

iL(t) =1L

∫ t

−∞

vL(x)dx = iL(0+) +1L

∫ t

0+vL(x)dx

~iL(t) =~iL(0+) + [L]−1∫ t

0+~vL(x)dx

vC(t) =1C

∫ t

−∞

iC(x)dx = vC(0+) +1C

∫ t

0+iC(x)dx (3.20)

3.5. ENUNCIADO TÍPICO DE UN PROBLE-MA DE CIRCUITOS

Se da un circuito (que se denominará “previo”) que alcanza el estado estacionario8

y en un instante que se toma como referencia (t = 0) y que se describe con precisióncomo se ilustra en la subsección 3.6.1, se conforma otro por la acción simultáneade algunos interruptores que cambian de posición o de estado (que por lo tantose denominará “conmutado”). Se pide encontrar una respuesta total (no solola correspondiente a la solución particular, de la misma frecuencia angular, sinotambién la solución a la homogénea de la ecuación diferencial que la relaciona conla excitación).

8casi siempre excitado mediante fuente sinusoidal



3.6. DETERMINACIÓN DEL ESTADO ENER-GÉTICO EN t = 0-

3.6.1. DESCRIPCIÓN DEL INSTANTE DE LA CONMU-TACIÓN

Como se estudió en la sección 3.2, todas las respuestas de régimen permanente deun circuito que tenga por lo menos un elemento resistivo no redundante excitadomediante una fuente independiente sinusoidal son también sinusoidales de la mismafrecuencia angular y difieren entre sí únicamente en la amplitud y el ángulo de fasedel que depende el retraso o adelanto de unas con respecto a otras. La descripciónprecisa del instante en el que ocurre la conmutación se hace escogiendo una de lasrespuestas y(t) (la corriente o voltaje en una cualquiera de las puertas), la cualpuede expresarse de cualquiera de las siguientes formas

y(t) = Am Sen(wt + α) = Am Cos(wt + β) − π ≤ α, β ≤ π β = α − π

2(3.21)

donde tanto α como β son valores algebraicos, es decir, pueden ser valores mayoreso menores que cero.

La acción de los interruptores se produce cuando esta señal se encuentra en cual-quiera de los siguientes casos:

(1) y(t) vale 0 y está creciendo.

(2) y(t) tiene un valor positivo dado p (> 0) y está creciendo.

(3) y(t) = Am es máximo.

(4) y(t) tiene un valor positivo dado p (> 0) y está decreciendo.

(5) y(t) vale cero y está decreciendo.

(6) y(t) tiene un valor negativo dado n (< 0) y está decreciendo.

(7) y(t) = −Am es mínimo (máximo negativo).

(8) y(t) tiene una valor negativo dado n (< 0) y está creciendo.


3.6. DETERMINACIÓN DEL ESTADO ENERGÉTICO EN T = 0- 17

CASO y(t) = Am Sen(wt ± α) y(t) = Am Cos(wt ± βα)

1 wtc ± α = 0 wtc ± β =

−π

23π

2

2 wtc ± α = ArcSen(

p

Am

)

wtc ± β =

−ArcCos(

p

Am

)

2π − ArcCos(

p

Am

)

3 wtc ± α =π

2wtc ± β = 0

4 wtc ± α = π − ArcSen(

p

Am

)

wtc ± β = ArcCos(

p

Am

)

5 wtc ± α = π wtc ± β =π

2

6 wtc ± α = π + ArcSen

(

|n|Am

)

wtc ± β = π − ArcCos

(

|n|Am

)

7 wtc ± α =

−π

23π

2

wtc ± β = ±π

8 wtc ± α =

2π − ArcSen

(

|n|Am

)

−ArcSen

(

|n|Am

) wtc ± β = π + ArcCos

(

|n|Am

)

Tabla 3.2

Es importante recordar que los términos “creciendo“ y “decreciendo” se deben en-tender en un sentido algebraico. Así por ejemplo, una cantidad negativa que amedida que transcurre (se incrementa) el tiempo se hace más negativa está decre-ciendo (pendiente negativa), aunque su valor absoluto está creciendo. Similarmente,una cantidad negativa que cuando se incrementa el tiempo se hace menos negativaestá creciendo (pendiente positiva) aunque su valor absoluto está decreciendo.

En la Tabla 3.2 se muestra, para cada uno de los casos enunciados, una expresiónde la que se puede obtener wt = wtc, que identifica el instante en el que ocurre laconmutación. Para verificar los resultados indicados en dicha Tabla debe tenerse



en cuenta el criterio de que 0 ≤ ArcSen

(

|k|Am

)

≤ π

2se cuenta a partir de un cruce

por cero y que 0 ≤ ArcCos

(

|k|Am

)

≤ π

2se cuenta a partir de un máximo de la

onda sinusoidal. El estado energético en t = 0− se obtiene reemplazando en lasexpresiones analíticas del tiempo para las corrientes en cada inductor y para losvoltajes a través de cada capacitor wt = wtc.

3.6.2. EJEMPLO 3.3

Hallar el estado energético del circuito del Ejemplo 3.1 cuando iL1 vale − 8/3 Ay está creciendo, suponiendo los sentidos de referencia del gráfico orientado de laFigura 3.1.

Las expresiones analíticas en función del tiempo de las respuestas de régimen per-manente son las de la tercera columna de la Tabla 3.1 y la ecuación (3.6). Elinstante en el que se efectúa la conmutación corresponde, de acuerdo a la Tabla3.2 al caso 8, al definido por eje wtc = −53 · 13 (o dado su carácter periódico awtc = −306 · 87). Reemplazando cualquiera de éstos valores en las expresionesde la ecuación (3.6) y la Tabla 3.1 se puede calcular el siguiente estado energéticoinicial en t = 0−.

iL1(0−) = −83

A iL2(0−) = iL3(0−) = −163

A

vC1(0−) = −20 V vC2(0−) = −4 V (3.22)

Reemplazando (3.22) en

3.7. CAMBIO DE REFERENCIA

Cuando una fuente independiente de tipo sinusoidal de la forma e(t) = Am Sen(wt+α) = Am Cos(wt + β), β = α − π

2hace parte tanto de la red que alcanza el estado

estacionario (Circuito Previo) como del circuito vigente después de la conmutación(Circuito Conmutado) y se toma como referencia (t = 0) el instante en el queocurre ésta, es necesario modificar la función del tiempo para dicha fuente inde-pendiente ya que, en el instante de la conmutación ni su valor instantáneo ni su


3.7. CAMBIO DE REFERENCIA 19

pendiente (derivada temporal de primer orden) se alteran debido a los cambios enla estructura topológica de la red conectada a sus terminales producidos por loscambios de posición o de estado de los interruptores. Es decir, si en el instante dela conmutación la onda tenía un valor, positivo o negativo, y estaba creciendo odecreciendo continúa haciéndolo de acuerdo a su ley sinusoidal sin alterar su am-plitud, ni su frecuencia angular. Lo anterior equivale, en un plano en el que el ejehorizontal representa la variable independiente tiempo t o ésta multiplicada poruna constante w (wt), a un traslado del eje vertical en el valor wt = wtc, obtenidoanteriormente.

La Figura 3.8 muestra los casos posibles tanto para los valores instantáneos comopara la pendiente de excitación sinusoidal que se enumeran a continuación.

x

ek(x) = AmkSen(x)

(2)

(3)(4) (5)

(6) (7)

(8)

(8)(6)

(7)

x

ez(x) = AmkSen(x + δ)

−π−

3π4

−

π2 −

π4

0 π4 −

π2

3π4

π 5π4

3π2

7π4

2π 9π4

5π2

11π4

3π

−δ

x = ωt + α

x = ωt + α

Figura 3.8 Ilustración del cambio de referencia

(1) ez(0) = 0 y está creciendo.

(2) ez(0) = p > 0 y está creciendo.

(3) ez(0) = Am (es máximo).



(4) ez(0) = p > 0 y está decreciendo.

(5) ez(0) = 0 y está decreciendo.

(6) ez(0) = n < 0 y está decreciendo.

(7) ez(0) − Am (Es mínimo o máximo negativo).

(8) ez(0) = n < 0 y está creciendo.

Teniendo en cuenta que ni su amplitud Am ni su frecuencia angular w se modifican,la nueva expresión para la fuente independiente es de la forma ez(t) = Am Sen(wt+

δ) = Am Cos(wt + φ) − π ≤ φ = δ − π

2≤ π, en cuyo caso el problema se reduce

entonces a la determinación de δ o φ de a partir del valor instantáneo la funciónque describe el voltaje o la corriente a través de ella en el circuito previo e(t) en

el instante de la conmutación e(t)

∣

∣

∣

∣

∣ wt = wtc= e(wtc) = k = ez(0) y del signo

de su derivada temporal de primer ordend

dte(t)

∣

∣

∣

∣

∣ wt = wtc=

dez

dt(0) =

> 0< 0

para saber si en dicho instante está creciendo o decreciendo (para determinar elcuadrante de δ o de φ). Nótese que ez(0) = e(t)|wt=wtc

= k puede ser positivo,negativo o cero y que sólo se requiere el signo y no el valor de la primera derivadaen dicho instante de la conmutación. Por lo tanto, en el instante de la conmutaciónez(t) puede asumir uno y solo uno de los 8 casos enunciados anteriormente, es decir,

La Tabla 3.3 muestra las expresiones para la evaluación de δ y φ. Al compararcon los resultados mostrados en la Tabla 3.2 se puede establecerse que los se-gundos miembros de las correspondientes ecuaciones son idénticos y que en algu-nos casos se les ha sumado o restado 2π a los valores calculados con el criterio

de que 0 ≤ ArcSen

(

|k|Am

)

≤ π

2se cuenta a partir de un cruce por cero y que

0 ≤ ArcCos

(

|k|Am

)

≤ π

2se cuenta a partir de un máximo de la onda sinusoidal.

3.7.1. EJEMPLO 3.4

Después de que el circuito de la Figura 3.9, cuyos parámetros son los de la ecuación(3.3) con v(t) = 86 Sen(103t + 53,13·), ha alcanzado el estado estacionario con elinterruptor S en la posición a, éste se pasa instantáneamente a la posición b en



fx(t) ⇒ Am Sen(wt + δ) − π ≤ δ ≤ π Am Cos(wt + φ) − π ≤ φ ≤ π

1 δ = 0 φ =

−π

23π

2

2 δ = ArcSen(

p

Am

)

φ =

−ArcCos(

p

Am

)

2π − ArcCos(

p

Am

)

3 δ =π

2φ = 0

4 δ = π − ArcSen(

p

Am

)

φ = ArcCos(

p

Am

)

5 δ = π φ =π

2

6 δ =

π + ArcSen

(

|n|Am

)

−π + ArcSen

(

|n|Am

) φ = π − ArcCos

(

|n|Am

)

7 δ =

−π

23π

2

φ = π

8 δ =

2π − ArcSen

(

|n|Am

)

−ArcSen

(

|n|Am

) φ =

π + ArcCos

(

|n|Am

)

−π + ArcCos

(

|n|Am

)

Tabla 3.3 Expresión para las fuentes independientes sinusoidales que hacen partetanto del circuito previo como del conmutado



un instante en que iC1 vale 8 A y está creciendo. Tomando este instante comoreferencia (t = 0) hallar:

(a) El estado energético un instante antes de la conmutación;

(b) La expresión para la fuente independiente en el circuito conmutado.

v(t)

R R

R

C1

C2

L1L2

L3

vC1

vC2

iL1

iL2

iL3

a

t=0


ANÁLISIS DEL CIRCUITO PREVIO

El circuito con el interruptor S en la posición a, es el mismo del Ejemplo 3.1. Porlo tanto, la ecuación (3.6) y la tercera columna de la Tabla 3.1 da las expresionespara las corrientes en todos los inductores y los voltajes en todos los capacitores,necesarios para determinar el estado energético un instante antes de la conmuta-ción.

DETERMINACIÓN DEL ESTADO ENERGÉTICO EN t = 0−

Fácilmente se puede demostrar que el instante de la conmutación descrito en elEjemplo 3.3 es equivalente al descrito en el Ejemplo 3.4, razón por la cual el estadoenergético en t = 0− es el definido en la ecuación (3.22). Es decir,



iC1(t) = i8p(t) = 10Sen(103t + 106 · 26)

iC1(0−) = 8A = 10Sen(103tc + 106 · 26)

103tc + 106 · 26 = ArcSen( 8

10

)

=

53 · 13 Creciendo180 − 53 · 13 Decreciendo

103tc = 53 · 13 − 106 · 26 = −53 · 13 (3.23)

Reemplazando 103tc = 53 ·13 −106 ·26 = −53 ·13 de (3.23) en las expresiones enfunción del tiempo para los voltajes en los capacitores [(3.6)] y en las mostradas paralas corrientes en los inductores de la 3.1 (tercera columna) se obtiene el siguienteestado energético en t = 0−.

vC1(0−) = −20 V vC2(0−) = −4 V ∴ vC(0−) = vC1(0−) + vC2(0−) = −24 V

iL1(0−) = −83

A iL2(0−) = −163

A iL3(0−) = −163

A (3.24)

CAMBIO DE REFERENCIA

Reemplazando 103t = 103tc = −53 · 13 en v(t) se obtiene el valor de vx(0) y del

signo de la derivadad

dtv(t)

∣

∣

∣

∣

∣

103t=103tc=−53·13

se sabe si en el instante de la conmuta-

ción la fuente independiente está creciendo o decreciendo. En nuestro caso se tienenlos siguientes valores:

vx(0) = v(t)|103t=103tc=−53·13 = 86Sen(−53 · 13 + 53 · 13) = 0 V

d

dtvx(t)

∣

∣

∣

∣

∣

t=0

=d

dtv(t)

∣

∣

∣

∣

∣

103t=103tc=−53·13

= 86 × 103 Cos(−53 · 13 + 53 · 13) = 1 > 0

(3.25)

Es decir, (3.25) en palabras: “en el momento de la conmutación (t = 0) la fuenteindependiente v(t) vale cero y está creciendo”, lo que equivale al primer caso de laTabla 3.3. Por lo tanto, si se supone vx(t) = 86 Sen(103t + δ) entonces δ = 0 quees equivalente a vx(t) = 86 Cos(103t − π

2), es decir, φ = −π

2.



Una forma alternativa de obtener la expresión para vx(t) es despla-zando el eje vertical de v(t) en wtc lo cual equivale a “sumarle” wtc alángulo de fase de v(t). Es decir,

vx(t) = 86 Sen[103t + 53 · 13 + (−53 · 13)] = 86 Sen 103t (3.26)

En la Figura 3.10 se muestran las gráficas de algunas del las respuestas del circuitoprevio en el estado estacionario. Nótese que mientras la escla del eje horizontal esla misma para todas ellas la del eje vertical para las corrientes se ha afectado enfactor de 5.

103t

v(t)=86Sen(103t+53.13o)

iC(t)=10Sen(103t+106.26o)

vC2(t)=(20/3)Sen(103t+16.26o)

iiL2(t)=(20/3)Sen(10

3t+16.26o)

t=0

Figura 3.10 Respuestas de estado estacionario del circuito previo del Ejemplo 3.4para ilustrar el cambio de referencia.


3.8. ESTADO ENERGÉTICO UN INSTANTE DESPUÉS DE LA CONMUTACIÓN 25

3.8. MÉTODO SISTEMÁTICO PARA DETER-MINAR EL ESTADO ENERGÉTICO UNINSTANTE DESPUÉS DE LA CONMU-TACIÓN (t = 0+)

Los elementos almacenadores de energía adquieren ésta cuando hacen parte decircuitos (que pueden ser independientes entre sí) que alcanzan su estado estacio-nario. Después de que ha transcurrido “mucho” tiempo, en un instante que debeser definido claramente (t = 0−), como consecuencia de la acción simultánea einstantánea de algunos interruptores se interconectan en otra red que tiene unaestructura topológica diferente. Se describe a continuación un método sistemáticopara determinar el estado energético un instante inmediatamente después de laconmutación (que se identificará por t = 0+).

1. (a) Para cada capacitor que no haga parte de trayectorias cerrada impropiasaplicar el principio de continuidad de los voltajes. Es decir,

vCk(0+) = vCk(0−) (3.27)

(b) Para cada inductor que no pertenezca a ningún corte impropio y queno esté acoplado a otros que hagan parte de cortes impropios aplicar elprincipio de continuidad en las corrientes a través de ellos. Es decir,

iLj(0+) = vLj(0−) (3.28)

2. Para determinar los voltajes en los capacitores que hagan parte de trayectoriascerradas impropias en t = 0+ se procede de la siguiente manera:

(a) Se obtiene un circuito reducido reemplazando todos los inductores, re-sistores, fuentes de corriente y las fuentes de voltaje y capacitores que nohagan parte de trayectorias cerradas impropias por circuitos abiertos.

(b) Se hace un gráfico orientado del circuito reducido (es recomendable quelos sentidos de referencia de los voltajes en los capacitores sean idénticosa los que se eligieron para determinarlos o especificarlos en t = 0− ynecesario que las fuentes de voltaje formen parte del árbol).

(c) Se plantean las ecuaciones que resultan de:



i Aplicar la segunda ley de Kirchhoff

(

∑

jvj(t) = 0

)

a los anillos in-

dependientes en t = 0+.

ii Aplicar a los cortes independientes que no incluyan fuentes de vol-taje del circuito reducido la LEY DE LA CONSERVACIÓNDE LA CARGA que establece que “la suma algebraica de lacarga almacenada en los capacitores que pertenecen a cual-quier corte no puede cambiar instantáneamente”, es decir,

∑

k

qk(0+) =∑

k

qk(0−)

∑

k

Ck vCk(0+) =∑

k

Ck vCk(0−) (3.29)

iii Se resuelve el conjunto de ecuaciones simultáneas planteadas en i yen ii para los vCk(0+)

3. Para determinar las corrientes en t = 0+ a través de inductores que haganparte de cortes impropios o de inductores que aunque no hagan parte decortes impropios estan mutuamente acoplados a otros que hacen parte decortes impropios, se procede de la siguiente manera:

(a) Se obtiene un circuito reducido reemplazando por corto-circuitos todoslos capacitores, resistores, fuentes de voltaje, fuentes de corriente e in-ductores que no hagan parte de cortes impropios y que tampoco esténmutuamente acoplados a otros que sí hagan parte de cortes impropios.

(b) Se hace un gráfico orientado del circuito reducido (es recomendable quelos sentidos de referencia de las corrientes en los inductores sean idénticosa los que se eligieron para determinarlas o especificarlas en t = 0− ynecesario que las fuentes de corriente se elijan como enlaces).


i Aplicar la primera ley de Kirchhoff(

∑

k

ik(t) = 0)

a los cortes inde-

pendientes para expresar las corrientes de rama en función de lasde enlace en t = 0+.

ii Aplicar a los anillos independientes que no incluyan fuentes de co-rriente del circuito reducido la LEY DE LA CONTINUIDAD



DEL FLUJO MAGNÉTICO que establece que “la suma al-gebraica de los flujos magnéticos en los inductores que per-tenecen a cualquier trayectoria cerrada no puede cambiarinstantáneamente”, es decir,

∑

k

φ(0+) =∑

k

φ(0+)

φk = Lk iLk = ~φk = [L] ~iLk ∀ t (3.30)

iii Se resuelve el conjunto de ecuaciones simultáneas planteadas en i yen ii para los iLk(0+)

Se puede verificar que Las corrientes en los inductores de un corte impropio que

hace parte tanto del circuito previo como del conmutado no cambian en el instante

de la conmutación.

3.8.1. EJEMPLO 3.5

Las ecuaciones (3.31) y (3.32) son, respectivamente, los parámetros y el estadoenergético en t = 0− del circuito de la Figura 3.11. Determinar el estado energéticoinicial inmediatamente después de la conmutación (t = 0+).

vx(t) = 10Cos t V vy(t) = 5Sen t V im(t) = 2 e−3t A

in(t) = 5 e−t A C = 3 F C1 = C3 = C4 = 1 F

C2 = C5 = 2 F L = 20 H L1 = 2l H

L3 = 3 H L2 = M12 = 1 H L4 = 5 H

R1 = R2 = 10 Ω R3 = 100 Ω (3.31)

vC(0−) = 5 V vC1(0−) = 10 V vC2(0−) = 10 V

vC3(0−) = 20 V vC4(0−) = 14 V vC5(0−) = −7 V

iL(0−) = 1 A iL1(0−) = 1 A iL2(0−) = 2 A

iL3(0−) = 16 A iL4(0−) = 8 A (3.32)



C3

vC3R1 C

vC

L1

L2

R3

vy(t)L

C4 vC3

iL1

iL2

R2

in(t)C5

vC5

C1

vC1

vx(t) C2 vC2

im(t)M

iL

iL4

iL3L3

1

5

43

6

2

7

8

9

10

11

Figura 3.11 Circuito impropio de Ejemplo de la subsección 3.8.1.

1. Puesto que C no forma parte de alguna trayectoria cerrada impropia ni L dealgún corte impropio, se puede aplicar (3.27) y (3.28):

vC(0+) = vC(0−) = 5 V iL(0+) = iL(0−) = 1 A

(a) Ya que vx(t), C1, C2, C3, C4 y C5 forman parte de trayectorias cerradasimpropias se obtiene el circuito reducido de la Figura 3.12(a). (Nóteseque todos los demás elementos se han reemplazado por circuitos abier-tos).

(b) En el gráfico orientado del circuito reducido de la Figura 3.12(b) lossentidos de referencia de los voltajes en los capacitores se son idénticosa los que se utilizaron para especificarlos en t = 0− y la fuente de voltajese han elegido como rama. Nótese que vk = vCk 1 ≤ k ≤ 5.


i De la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff

(

∑

jvj(t) = 0

)

en

t = 0+ a los anillos independientes del circuito reducido se obtiene:

vC1(0+) + vC2(0+) − vx(0+) = 0

vC2(0+) + vC3(0+) + vC5(0+) − vC4(0+) = 0 (3.33)



C3

vC3

C4 vC3

C5

vC5

C1

vC1

vx(t)C2 vC2

1

2

6

93

(a) (b)

1

23 9

6

1

2

3

4

5

6

Figura 3.12 Circuito reducido para obtener los voltajes en los capacitores quehacen partes de trayectorias impropias en el Ejemplo de la sección3.8.1 y su correspondiente gráfico orientado

ii Aplicando el principio de continuidad de la carga en t = 0+ a loscortes correspondientes a las ramas 2, 4 y 5 se obtiene:

C2 vC2(0+) − C1 vC1(0+) − C3 vC3(0+) =

C2 vC2(0−) − C1 vC1(0−) − C3 vC3(0−)

C3 vC3(0+) + C4 vC4(0+) = C3 vC3(0−) + C4 vC4(0−)

C5 vC5(0+) − C3 vC3(0+) = C5 vC5(0−) − C3 vC3(0−) (3.34)

iii (3.33) y (3.34) constituyen un conjunto linealmente independien-te de ecuaciones cuyas incógnitas son vC1(0+), vC2(0+), vC3(0+),vC4(0+) y vC5(0+) y en las que se puede reemplazar (3.31) y (3.32)y tener en cuenta que vx(0+) = v6(0+) = 10 V , una vez resuelto elcual se obtiene:

vC1(0+) = 4 V vC2(0+) = 6 V vC3(0+) = 18 V

vC4(0+) = 16 V vC5(0+) = −8 V (3.35)

2. (a) Como im(t), L1, L2, L3 y L4 forman parte de cortes impropios, reempla-zando todo lo demás por corto-circuitos se obtiene el circuito reducido



de la Figura 3.13(a). (Nótese que todos los demás elementos se hanreemplazado por corto-circuitos).

(b) La figura 3.13(b) muestra el gráfico orientado del circuito reducido en elque se ha elegido la fuente de corriente como enlace y se ha respetado lossentidos de referencia especificados para describir el estado energéticoinicial en t = 0−. Nótese que iLk = ik 1 ≤ k ≤ 4.

L1 L2

iL1

iL2

im(t)

MiL4

iL3

L3

1 5

4

32 7

8

9

L4

6

(a)

12 3

4

55

(b)

4

8

1 532 7 96

Figura 3.13 Circuito reducido para obtener las corrientes en los inductores quehacen parte de cortes impropios del ejemplo de la subsección 3.8.1 ysu correspondiente gráfico orientado

(c) i Aplicando la primera ley de Kirchhoff(

∑

k

ik(t) = 0)

a los cortes

independientes en el instante t = 0+ se obtiene:

iL1(0+) − iL1(0+) − im(0+) = 0

iL3(0+) − iL4(0+) = 0 (3.36)

ii Antes de aplicar la ley de continuidad de flujos a los anillos inde-pendientes del circuito reducido es conveniente tener las expresionespara los flujos magnéticos:[

φL1

φL2

]

=

[

L1 −M−M L2

] [

iL1

iL2

]

φL3 = L3 iL3 φL4 = L4 iL4

(3.37)Aplicando el principio de continuidad del flujo magnético a los ani-llos independientes que no incluyen fuentes de corriente se obtiene:


david

Resaltado

david

Resaltado

david

Resaltado

3.9. RESPUESTA Y SUS DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR EN t = 0+ 31

φL1(0+) + φL1(0+) = φL1(0−) + φL2(0−)

φL3(0+) + φL4(0+) = φL3(0−) + φL4(0−) (3.38)

Reemplazando (3.37) en (3.38) se obtiene:

(L1 − M)iL1(0+) + (−M + L2)iL2(0+) =

(L1 − M)iL1(0−) + (−M + L2)iL2(0−)

L3iL3(0+) + L4iL4(0+) =

L3iL3(0−) + L4iL4(0−) (3.39)

iii (3.36) y (3.39) constituyen un conjunto linealmente independien-te de ecuaciones cuyas incógnitas son iL1(0+), iL2(0+), iL3(0+) eiL4(0+) y en el que se puede reemplazar (3.31) y (3.32) y tener encuenta im(0+) = i5(0+) = 2 A, una vez resuelto el cual se obtiene:

iL1(0+) = 1 A iL2(0+) = −1 A

iL3(0+) = 11 A iL4(0+) = 11 A (3.40)

3.9. MÉTODO SISTEMÁTICO PARA DETER-MINAR EL VALOR DE UNA RESPUES-TA DESEADA Y DE SUS DERIVADAS TEM-PORALES DE ORDEN SUPERIOR UN INS-TANTE DESPUÉS DE LA CONMUTACIÓNSUPONIENDO CONOCIDO EL ESTADOENERGÉTICO INICIAL EN DICHO INS-TANTE (t = 0+)

3.9.1. DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO

I Hacer un gráfico orientado seleccionando la mayor cantidad de fuentes decorriente y de inductores como enlaces y la mayor cantidad de capacitores,fuentes de voltaje y resistores como ramas.



II Se plantea un conjunto de ecuaciones generales integro-diferenciales lineal-mente independiente que describa completamente el comportamiento del cir-cuito válido para t ≥ 0+

(a) En función de corrientes de enlace si la respuesta deseada es una co-rriente (de enlace o de malla), descomponiendo, en las ecuaciones pri-mitivas, el voltaje a través de cada capacitor de la siguiente manera:

vC(t) = vC(0+) +1C

t∫

−∞

iC(τ)dτ [Ver ecuación (3.20)].

(b) En función de voltajes de rama si la respuesta deseada es un voltaje(de rama o de nodo), descomponiendo, en las ecuaciones primitivas, lacorriente en cada inductor de la siguiente manera: iL(t) = iL(0+) +1L

t∫

−∞

vL(τ)dτ o~iL(t) =~iL(0+) + [L]−1t∫

−∞

~vL(τ)dτ [Ver ecuación (3.20)].

III Se evalúan en t = 0+ las ecuaciones obtenidas en II. Recuérdese que en esteinstante:

(a) Las fuentes independientes tienen un valor definido (constante) i(t)|t=0+ =i(0+) o v(t)|t=0+ = v(0+).

(b) Cuando se ha planteado el CEGIDLI en función de corrientes de enlace,las corrientes a través de los inductores que se han elegido como enlacestienen un valor definido por su estado energético inicial iLk(0+).

(c) Cuando se ha planteado el CEGIDLI en función de voltajes de rama,los voltajes en los capacitores que se han elegido como ramas tienen unvalor definido por su estado energético inicial vCj(0+).

(d) El valor de las variables función de las cuales se ha descrito el circuito yel de sus derivadas temporales de primer orden desconocidas9 se denotanpor

ix(0+) ydix

dt(0+) Corrientes de enlace

vy(0+) ydvy

dt(0+) Voltajes de rama (3.41)

Si el número de incógnitas es mayor que el de ecuaciones del CEGIDLI puedeser necesario complementarlo de la siguiente manera:

9corrientes de enlace que no correspondan a inductores ó voltajes de rama que no correspondana capacitores



1 Si el CEGIDLI es en función de corrientes de enlace: Para cada inductorque se haya elegido como rama plantear la primera ley de Kirchhoff(

∑

k

ik(t) = 0)

al corte independiente que le corresponde y evaluarla en

t = 0+. Algunas veces cuando el corte es impropio puede ser útil derivarla ecuación y evaluarla en t = 0+.

2 Si el CEGIDLI es en función de voltajes de rama: Para cada capacitorque se haya elegido como enlace plantear la segunda ley de Kirchhoff(

∑

jvj(t) = 0

)

al anillo independiente que le corresponde y evaluarla en

t = 0+. Algunas veces cuando el anillo es impropio puede ser útil derivarla ecuación y evaluarla en t = 0+.

Nótese que si se escoge el mayor número de inductores y de fuentes de co-rriente como enlaces y la mayor cantidad de capacitores y fuentes de voltajecomo ramas se disminuye el número de incógnitas.

IV Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales simultáneas obtenido en III.

V Si se desean o se requieren derivadas de segundo orden y/o primeras derivadasdesconocidas se derivan las ecuaciones obtenidas en el paso II y, cuando seel caso, las ecuaciones complementarias del paso III, (válidas para t ≥ 0), lascuales no pierden generalidad, se evalúan en t = 0+ reemplazando en ellas lassoluciones encontradas en IV y se resuelve el conjunto de ecuaciones lineales

resultante para losdix

dt(0+) y

d2ix

dt2(0+) ó

dvy

dt(0+) y

d2vy

dt2(0+).

VI El proceso descrito en V se puede continuar hasta obtener las derivadas delorden deseado.

VII Si la respuesta deseada es una corriente de malla se expresan éstas comocombinación lineal de las de enlace, para lo cual se puede:

(a) considerar primero los elementos que hacen parte de la malla exterioreligiendo primero los que también son enlaces y después los que tambiénlas ramas:

i Si el elemento de la malla exterior es un enlace la ecuación toma laforma ±ik = imx, donde k identifica el enlace en el gráfico orientadoy x la malla.

ii Si el elemento exterior es una rama distinguida en el gráfico orienta-do con el número p se expresa la corriente a través de ella en función


david

Resaltado

david

Resaltado

david

Resaltado

david

Resaltado

david

Resaltado

david

Resaltado

david

Resaltado


de las de enlace (aplicando equilibrio de corrientes al corte que lecorresponde) en cuyo caso la ecuación toma la forma

ip =∑

k

±ik = ±ir (3.42)

donde todas las ik son enlaces y r identifica una malla.

(b) Expresar la corriente total a través de cada uno de los elementos que se-paran una malla que tenga un elemento de la malla exterior y otra mallainterna, en función de las corrientes de malla de las mallas adyacentes,escogiendo primero los que sean enlaces y reemplazando las expresionespara las corrientes de malla obtenidas en (a). Cuando el elemento esuna rama se debe expresar la corriente a través de ella en función de

corrientes de enlace aplicando la primera ley de Kirchhoff(

∑

k

ik(t) = 0)

al corte que le corresponde.

VII Si la respuesta deseada es un voltaje de nodo se deben expresar éstos enfunción de los de rama. Recordar que si el gráfico es conectado existe unatrayectoria entre cada nodo y el de referencia formada exclusivamente deramas.

EJEMPLO 3.6

El estado energético inicial del circuito mostrado en la Figura 3.14 es

iL1(0+) = IL10 iL2(0+) = IL20 vC(0+) = VC0 (3.43)

Hallard2i6

dt2(0+),

d2i7

dt2(0+), y

d2i8

dt2(0+)

Si se describe el circuito de la Figura 3.14(a) mediante las corrientes de enlacedefinidas en la Figura 3.14(b) se obtiene:



L2

C

R

L1

R1v(t)

r iL1

iL2vC

im3

12

3

4

5

12

3

4

5

6 6

12

3

4

5

6M

im1im2

R

8

7

(a) (b)

Figura 3.14 Circuito del Ejemplo 3.6 y su correspondiente gráfico orientado

ri6 + R(i6 − i7) + R(i6 + i8) = v(t)

Mdi8

dt+ L2

di7

dt+ v4(0+) +

v4(0+) +1C

∫ t

0+[i7(τ) + i8(τ)]dτ

− R(i6 − i7) = 0

∀ t ≥ 0+

L1di8

dt+ M

di7

dt+

v4(0+) +1C

∫ t

0+[i7(τ) + i8(τ)]dτ

+ R(i6 + i8) − R1i8 = 0

(3.44)

No se plantean ecuaciones auxiliares ya que ningún inductor se ha elegido comorama.

Evaluando (3.44) en t = 0+, y teniendo en cuenta que en dicho instante:

i8(0+) = IL10 7(0+) = IL20 v4(0+) = VC0 (3.45)

se obtiene:

r + 2R 0 0−R L2 MR M L1

i6(0+)

di7

dt(0+)

di8

dt(0+)

=

v(0) + R(IL20 − IL10)

−VC0 − RIL20

−VC0 − (R + R1)IL10

(3.46)


david

Resaltado


donde se aplica que∫ 0+

0+ [i7(τ) + i8(τ)]dτ = 0.


i6(0+) =v(0+) + R(IL20 − IL10)

(r + 2R)

di7

dt(0+)

di8

dt(0+)

=1

L1L2 − M2

L1 −M

−M L2

−VC0 − RIL20 + R

(

v(0) + RIL20 − RIL10

r + 2R

)

−VC0 − (R + R1)IL10 − R

(

v(0) + RIL20 − RIL10

r + 2R

)

(3.47)

Derivando (3.44) se obtiene:

(r + 2R)di6

dt− R

di7

dt+ R

di8

dt=

dv

dt

Md2i8

dt2+ L2

d2i7

dt2− R

(

di6

dt− di7

dt

)

+i7 + i8

C= 0

L1d2i8

dt2+ M

d2i7

dt2+ R

(

di6

dt+

di8

dt

)

+i7 + i8

C+ R1

di6

dt= 0

∀ t ≥ 0+ (3.48)

Evaluando (3.48) en t = 0+

r + 2R 0 0

−R L2 M

R M L1

di6

dt(0+)

d2i7

dt2(0+)

d2i8

dt2(0+)

=

dv

dt(0) + R

[

di7

dt(0+) − di8

dt(0+)

]

−i7(0+) + i8(0+)C

− Rdi7

dt(0+)

−i7(0+) + i8(0+)C

− (R + R1)di8

dt(0+)

(3.49)

Reemplazando (3.47) en (3.49) se obtiene un conjunto simultáneo de ecuaciones

del que se obtienen expresiones paradi6

dt(0+),

d2i7

dt(0+) y

d2i8

dt(0+)

Derivando la primera de las ecuaciones (3.48) y evaluando en t = 0+ se obtiene:

(r + 2R)d2i6

dt2(0+) − R

d2i7

dt2(0+) + R

d2i8

dt2(0+) =

d2v

dt2(0+) (3.50)


3.10. CHEQUEO DE LAS RESPUESTAS Y CONCLUSIÓN 37

de la cual se puede hallard2i6

dt(0+)

De la inspección del circuito y del gráfico orientado de la Figura 3.14 se puedeobtener:

i6

i3

i5

=

i6

i6 + i8

i6 − i7

=

im1

im2

−im3

⇒

im1

im2

im3

=

1 0 01 0 1

−1 1 0

i6

i7

i8

(3.51)

Observaciones:

(a) El problema se simplifica cuando los parámetros del circuito tienen valoresnuméricos definidos.

(b) Generalmente, para circuitos simples, los conjuntos lineales homogéneos deecuaciones simultáneas se pueden resolver por sustituciones sucesivas.

3.10. CHEQUEO DE LAS RESPUESTAS Y CON-CLUSIÓN

La solución de la ecuación diferencial de orden n que relaciona una respuesta conlas excitaciones independientes exige la evaluación de n condiciones iniciales, es

decir, r(0+),dr

dt(0+), · · · ,

dn−1r

dtn−1(0+).

El procedimiento discutido permite determinar también sin necesidad de resolver la

ecuación diferencial obtenerdn

dtn(0+) y aún derivadas temporales de orden superior

a la n-ésima en t = 0+. El valor numérico dedn

dtn(0+) obtenido aplicando el

procedimiento descrito debe coincidir con el que se obtiene resolviendocompletamente la ecuación diferencial (de orden n), lo cual implica hallaruna función del tiempor r(t), derivándola n veces y evaluándola en t = 0.

En la sección 3.12 se muestra un ejemplo completo en el que se ilustra la aplicaciónde todos los conceptos discutidos en este capítulo.



3.11. CONSTANTES DE TIEMPO Y SU IN-TERPRETACIÓN FÍSICA

Considérese el circuito serie R−L excitado por una fuente de voltaje ideal de valorconstanteV , como se muestra en la Figura 3.15(a). El interruptor S se cierra en uninstante de referencia (a partir del cual se empieza el conteo de tiempo t = 0+).Un instante antes de cerrarse S (en t = 0−) el estado energético es cero, es decir,la energía almacenada en el inductor y por lo tanto la corriente a través de él [verecuación (1.22)] son nulas. Por cuanto el circuito es propio.

iL(0−) = iL(0+) = 0 (3.52)

V

Figura 3.15 Circuito serie R − L y R − C serie excitado con fuente de voltaje devalor constante para ilustrar el concepto de Çonstante de Tiempo

El problema anterior se puede formular también de la siguiente manera: El circuitomostrado alcanza el estado estacionario con el interruptor S abierto (circuito pre-vio), el cual se cierra en un instante que se toma como referencia (t = 0). Hallari(t) y vL(t) (con los sentidos de referencia indicados).

En el circuito conmutado (con el interruptor S cerrado) la ecuación diferencial parai(t) es la siguiente10:

Ri + Ldi

dt= V ∀ t ≥ 0+ (3.53)

10después de hacer gráfico orientado, plantear CEGIDLI en función de corrientes de enlace yobtener la ecuación diferencial como se describe en el capítulo anterior.


3.11. CONSTANTES DE TIEMPO Y SU INTERPRETACIÓN FÍSICA 39

cuya solución es de la forma:

i(t) =V

R+ Ke−

RL

t ∀ t ≥ 0+ (3.54)

donde K se escoge de modo que (3.54) satisfaga la condición inicial (3.52). Es decir,

i(0+) =V

R+ K = 0 (3.55)

Reemplazando K obtenida de (3.55) en (3.54) se obtienen las siguientes respuestas:

i(t) =V

R

(

1 − e−RL

t)

vL(t) = Ldi

dt= V e−

RL

t ∀ t ≥ 0+ (3.56)

Nótese que aunque i(0+) = 0 vL(0+) = Ldi

dt(0+) 6= 0. Además, en el estado

estacionario las respuestas de régimen permanente son las siguientes:

iss(t) = limt→∞

i(t) =V

RvLss(t) = lim

t→∞

vL(t) = 0 (3.57)

Los resultados de (3.57) se pueden obtener también reemplazando el inductor porun corto circuito y resolviendo el circuito resistivo que resulta ya que está exci-tado por fuente de valor constante y tiene por lo menos un elemento resistivo noredundante.

Análogamente se puede demostrar que la corriente a través de un circuito serie R−Cexcitado con una fuente de voltaje ideal de valor constante V , como el mostrado enla Figura 3.15(b), con estado energético inicial nulo, es decir vC(0−) = vC(0+) =0 V es:

i(t) =V

Re−

1

RCt vC(t) = V

(

1 − e−1

RCt)

∀ t ≥ 0+ (3.58)



Nótese que aunque vC(0+) = 0, iC(0+) = CvC

dt(0+) 6= 0. Obsérvese también que

en el estado estacionario las respuestas de régimen permanente son las siguientes:

iss(t) = limt→∞

i(t) = 0 vCss(t) = limt→∞

vC(t) = V (3.59)

Los resultados de (3.59) se pueden obtener también reemplazando el capacitorpor un circuito abierto y resolviendo el circuito resistivo que resulta ya que estáexcitado por fuente de valor constante y tiene por lo menos un elemento resistivono redundante.

Se puede verificar que las expresiones T =L

Ry T = RC tienen dimensiones de

tiempo (ver problema 3.1) y se acostumbra definirlas como las “constantes detiempo” y se designan con la letra T . Introduciendo esta notación, las ecuaciones(3.56) y (3.58) toman la forma general:

fx(t) = F0

(

1 − e−tT

)

fy(t) = G0e−tT ∀ t ≥ 0+ (3.60)

t

T0 1 2 3 4

fx(t)F0

= 1 − e−tT 0 · 0 0 · 63 0 · 86 0 · 95 0 · 982

fy(t)G0

= e−tT 1 · 0 0 · 37 0 · 14 0 · 05 0 · 018

Tabla 3.4 Ilustración del significado de la constante de tiempo de un circuito deprimer orden

La Tabla 3.4 muestra los valores de fx(t)F0

y fy(t)G0

, de la ecuación (3.60), en funciónde t

T. Se puede notar que “la constante de tiempo es aquel valor para el

cual la respuesta o bien asume el 63 % del valor final o decae hasta el37 % de su valor inicial”.

Se acostumbra suponer que después de 4 constantes de tiempo el circuito ha alcan-zado el estado estacionario, ya que en este instante la respuesta difiere del valor derégimen permanente en menos del 2 %. La Figura 3.16 muestra las curvas de lasecuaciones (3.60).


3.12. EJEMPLO 3.7 (COMPLETO: DOMINIO DEL TIEMPO) 41

tT

f ( tT )

0 1 2 3 4

0

0.25

0.367

0.5

0.632

0.75

1fx(t)F0

= 1− e−tT

fyG0

= e−tT

Figura 3.16 Gráficas de las ecuaciones (3.60)

Vale la pena hacer notar que los circuitos discutidos contienen solamente un ele-mento almacenador de energía y que existe una relación directa entre su constantede tiempo y la única raíz de la ecuación característica de la ecuación diferencial.Por lo tanto, es de esperarse que haya varias constantes de tiempo en circuitos conmás de un elemento almacenador de energía debido a la relación entre el númerode éstos y el orden de la ecuación diferencial.

3.12. EJEMPLO 3.7 (COMPLETO: Dominio delTiempo)

El circuito de la Figura 3.17, con los parámetros de la ecuación (3.61), alcanza elestado estacionario con el interruptor S en la posición a. Cuando:

(a) iL3 vale −4 A y está creciendo;

(b) vC vale 12 V y está creciendo;

(c) vL3 vale 24 V y está creciendo;

(d) vL4 vale 6 V y está creciendo;



el interruptor S conmuta instantáneamente a la posición b. Tomando este instantecomo referencia (t = 0), hallar la expresión en función del tiempo para:


R1 = 5 Ω I = 10 A L1 = 6 mH

L2 = M12 = 3 mH L3 = 16 mH L4 = 9 · 4 mH

M34 = 4 mH C = 500 µF

R = 3 Ω v(t) = 25 Cos(500t − 36 · 87) (3.61)

1. iL1(t) ∀ t ≥ 0+

2. iL2(t) ∀ t ≥ 0+

3. vC(t) ∀ t ≥ 0+

4. iL3(t) ∀ t ≥ 0+

3.12.1. ANÁLISIS DE LOS CIRCUITOS PREVIOS:

EXCITADO CON FUENTE DE VALOR CONSTANTES

La Figura 3.18 muestra el circuito excitado con la fuente de valor constante y suequivalente donde se han reemplazado los inductores por corto-circuitos ya que elcircuito contiene elemento resistivo no redundante.



I R1L1 L2

iL1 iL2

Figura 3.18 Circuito previo excitado con fuente de valor constante

[

φL1

φL2

]

= 10−3 ×[

6 −3−3 3

] [

iL1

iL2

]

φL1 − φL2 = 0 ∴9 iL1 − 6 iL2 = 0 (a)iL1 + iL2 = 10 A (b)

⇒ iL1 = 4 A = iL1(0−)iL2 = 6 A = iL2(0−)

(3.62)

EXCITADO CON LA FUENTE SINUSOIDAL (CORRIENTES DE EN-LACE)

1. La Figura 3.19 muestra el circuito previo excitado con fuente sinusoidal y sucorrespondiente gráfico orientado.

Figura 3.19 Circuito previo con exciación sinusoidal



2. ECUACIONES PRIMITIVAS [reemplazando los valores de la ecuación (3.61)][

v3

v4

]

= 10−3

[

16 49 · 4

]

d

dt

[

i3

i4

]

v1 = v(t) v5 = v5(0) + 2000∫ t

0 −i3(τ)dτ v2 = 3 i3 (3.63)

3. CONJUNTO LINEALMENTE INDEPENDIENTE

v3 − v1 + v2 − v5 (3.64)

4. Reemplazando (3.63) en (3.64) y teniendo en cuenta que i4(t) = 0 ∀ t ∴

di4

dt= 0 se obtiene el CEGIDLI

16 × 10−3 di3

dt+ 3i3 − v5(0) − 2000

∫ t

0i3(τ)dτ = v(t) ∀ t ≥ 0 (3.65)

5. Derivando (3.65) se obtiene la siguiente ecuación diferencial

16 × 10−3 d2i3

dt2+ 3

di3

dt+ 2000i3 =

dv

dt(3.66)

cuya solución particular se obtiene suponiendo una respuesta de la forma su-gerida en (3.67) y reemplazándola con sus derivadas temporales en la ecuacióndiferencial lineal ordinaria (edlo) (3.66)

i3p = A Sen 500t + B Cos 500t ×2000di3p

dt= 500A Cos 500t − 500B Sen 500t ×3

d2i3p

dt2= −(500)2A Sen 500t − (500)2B Cos 500t ×16 × 10−3 (3.67)

v(t) = 25 Cos(500t − 36 · 87) = 20 Cos 500t + 15 Sen 500t

d

dtv(t) = −10000 Sen 500t + 7500 Cos 500t

(3.68)



Reemplazando (3.67) y (3.68) en (3.66) se obtiene:

(2000A − 1500B − 4000A)Sen 500t = 10000 Sen 500t(2000B + 1500A − 4000B)Cos 500t = 7500 Cos 500t

A = 5B = 0

(3.69)

Reemplazando (3.69) en (3.67) y en (3.63) se obtienen las siguientes respues-tas en el estado estacionario:

i3p = iL3ss(t) = 5Sen 500t

i4p = iL4ss(t) = 0 =

v5p = −2000∫

i3p(t) dt = vCss(t) = 20Cos 500t

v3p = vL3ss = 16 × 10−3 di3p

dt= 40Cos 500t

v4p = vL4ss = 4 × 10−3 di3p

dt= 10Cos 500t (3.70)

3.12.2. DESCRIPCIÓN DEL INSTANTE DE LA CON-MUTACIÓN Y DETERMINACIÓN DEL ESTA-DO ENERGÉTICO EN t = 0−

(a) iL3 vale −4 A y está creciendo;

−4 = 5 Sen 500tc

500tc = ArcSen(−4

5

)

=

−53 · 13 Creciendo ∗−(180 − 53 · 13) Decreciendo

(3.71)

(b) vC vale 12 V y está creciendo;

12 = 20 Cos 500tc ∴ 500tc = ArcCos(12

20

)

=

−53 · 13 Creciendo ∗53 · 13 Decreciendo

(3.72)



(c) vL3 vale 24 V y está creciendo;

24 = 40 Cos 500tc ∴ 500tc = ArcCos(24

40

)

=


(3.73)

(d) vL4 vale 6 V y está creciendo;

6 = 10 Cos 500tc ∴ 500tc = ArcCos( 6

10

)

=


(3.74)

Comparando (3.71), (3.72), (3.73) y (3.74) se puede notar que todos los casos serefieren al mismo instante de conmutación y, por lo tanto, el estado energético inicialen t = 0− se obtiene reemplazando en las expresiones (3.70) para las corrientes entodos los inductores y los voltajes en todos los capacitores 500t = 500tc = −53 ·13,es decir,

iL3(0−) = −4 A iL4(0−) = 0 A vC(0−) = 12 V (3.75)

3.12.3. CAMBIO DE REFERENCIA

Evaluando v(t) y el signo ded

dtv(t) para 500t = 500tc = −53 · 13 se obtiene

respectivamente, el valor de vx(0) y si en el instante de la conmutación la fuenteestá creciendo o decreciendo. Es decir,

v(t)

∣

∣

∣

∣

∣ 500t = −53 · 13= 25 Cos(−53 · 13 − 36 · 87) = vx(0) = 0

d

dtv(t)

∣

∣

∣

∣

∣ 500t = −53 · 13= −25 × 500Sen(−53 · 13 − 36 · 87) =

dvx

dt(0) > 0

(3.76)

La expresión para una función sinusoidal que en vale t = 0 vale 0 y está creciendo,de amplitud Am = 25 V y frecuencia angular w = 500 rad/seg, suponiendo unaexpresión de la forma Am = Am Sen(wt + α) es:



vx(t) = 25 Sen 500t (3.77)

3.12.4. DETERMINACIÓN DE ESTADO ENERGÉTICOEN t = 0+

Puesto que el circuito conmutado es impropio el estado energético en t = 0+ esdiferente al ya determinado para t = 0− en las ecuaciones (3.62) y (3.75), exceptopor el voltaje en el capacitor ya que no hay anillos impropios, es decir,

vC(0+) = vC(0−) = 12 V (3.78)

La Figura 3.20 muestra el circuito reducido y su correspondiente gráfico orientadoen el que se ha seguido la recomendación de elegir los sentidos de referencia igualesa los que sirvieron para especificar el estado energético en t = 0−

Figura 3.20 Circuito reducido y gráfico orientado correspondiente

Las expresiones para los flujos magnéticos asociados con los inductores son lassiguientes:



[

φL1

φL2

]

= 10−3

[

6 −3−3 3

] [

iL1

iL2

]

∴

[

φL1(0−)φL2(0−)

]

=

[

66

]

× 10−3

[

φL3

φL4

]

= 10−3

[

16 44 9 · 4

] [

iL3

iL4

]

∴

[

φL3(0−)φL4(0−)

]

=

[

−64−16

]

× 10−3

(3.79)

donde se ha reemplazado (3.62) y (3.75).

Aplicando la Primera ley de K.(

∑

k

ik(t) = 0)

en el nodo b evaluada en t = 0+, y

la ley de continuidad de flujos magnéticos en los anillos independientes formadosexclusivamente por inductores se obtiene el siguiente sistema lineal de ecuaciones:

iL1(0+) + iL2(0+) − iL4(0+) = 0 (a)

φL1(0+) + φL4(0+) = φL1(0−) + φL4(0−)

6iL1(0+) − 3iL2(0+) + 4iL3(0+) + 9 · 4iL4(0+)) = −10 (b)

φL2(0+) + φL4(0+) = φL2(0−) + φL4(0−)

−3iL1(0+) + 3iL2(0+) + 4iL3(0+) + 9 · 4iL4(0+) = −10 (c)

φL3(0+) = φL3(0−)

16iL3(0+) + 4iL4(0+) = −64 (d) (3.80)

cuya solución para las ecuaciones (a), (b), (c) y (d) en (3.80) es la siguiente:

iL1(0+) = 0 · 2667 A iL2(0+) = 0 · 4 A

iL3(0+) = −4 · 1667 A iL4(0+) = 0 · 6667 A (3.81)

3.12.5. CONJUNTO DE ECUACIONES GENERALESINTEGRO-DIFERENCIALES LINEALMENTE IN-DEPENDIENTE (CEGIDLI) Y ECUACIONES DI-FERENCIALES DEL CIRCUITO CONMUTADO

La Figura 3.21 muestra el circuito conmutado con su correspondiente gráfico orien-tado y será descrito en función de corrientes de enlace:



L1 L2

L4

L3

RC

vx(t)

Figura 3.21 Circuito conmutado y su correspondiente gráfico orientado

ECUACIONES PRIMITIVAS

[

v1

v2

]

= 10−3

[

6 −3−3 3

]

d

dt

[

i1

i2

] [

v3

v4

]

= 10−3

[

16 44 9 · 4

]

d

dt

[

i3

i4

]

v5 = v5(0+) − 2000∫ t

0[i1(τ) + i2(τ) + i3(τ)]dτ v6 = 3(i1 + i2 + i3)

v7 = vx(t) (3.82)

donde se han expresado las corrientes de rama en función de las de enlace: i6 =−i5 = i1 + i2 + i3

CONJUNTO LINEALMENTE INDEPENDIENTE

Aplicando la Segunda Ley de K.

(

∑

jvj(t) = 0

)

a los anillos independientes del

gráfico orientado de la Figura 3.21 se obtiene:

v1 − v7 + v6 − v5 + v4 = 0

v2 − v7 + v6 − v5 + v4 = 0

v3 − v7 + v6 − v5 = 0 (3.83)

Reemplazando (3.82) en (3.83) se obtiene el CEGIDLI del circuito conmutado:



10−3

(

6di1

dt− 3

di2

dt

)

− vx(t) + 3(i1 + i2 + i3)+

−

v5(0+) − 2000∫ t

0[i1(τ) + +i2(τ) + i3(τ)]dτ+

+10−3

[

4di3

dt+ 9 · 4

(

di1

dt+

di2

dt

)]

= 0

10−3

(

−3di1

dt+ 3

di2

dt

)

− vx(t) + 3(i1 + i2 + i3)+

−

v5(0+) − 2000∫ t

0[i1(τ) + i2(τ) + i3(τ)]dτ

+

+10−3

[

4di3

dt+ 9 · 4

(

di1

dt+

di2

dt

)]

= 0 ∀ t ≥ 0+

10−3

[

16di3

dt+ 4

(

di1

dt+

di2

dt

)]

− vx(t) + 3(i1 + i2 + i3)+

−

v5(0+) − 2000∫ t

0[i1(τ) + i2(τ) + i3(τ)]dτ

+

−

v5(0+) − 2000∫ t

0[i1(τ) + i2(τ) + i3(τ)]dτ

= 0

(3.84)

Derivando (3.84), introduciendo la notación operacional y expresando en formamatricial, se obtiene:

15 · 4 × 10−3D2 + 3D + 2000 6 · 4 × 10−3D2 + 3D + 20006 · 4 × 10−3D2 + 3D + 2000 12 · 4 × 10−3D2 + 3D + 2000

4 × 10−3D2 + 3D + 2000 4 × 10−3D2 + 3D + 2000(3.85)

4 × 10−3D2 + 3D + 20004 × 10−3D2 + 3D + 200016 × 10−3D2 + 3D + 2000

i1

i2

i3

=

DDD

vx(t)




i1 =7 · 2 × 10−5D2vx(t)

∆(D)i2 =

1 · 08 × 10−4D2vx(t)∆(D)

i3 =9 · 0 × 10−5D2vx(t)

∆(D)(3.86)

∆(D) = 2 · 16 × 10−6D3 + 8 · 1 × 10−4D2 + 0 · 54D

donde se ha dividido tanto numerador como denominador por D3 ya que las 3ecuaciones del CEGIDLI (3.84) fueron derivadas.

3.12.6. CONDICIONES INICIALES

Las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias (3.87) son de grado 3 por lo que lasolución completa requiere la evaluación de cada respuesta y el sus derivadas deprimer y segundo orden en el instante de referencia t = 0+.

Evaluando el CEGIDLI (3.84) en t = 0+ y expresando en forma matricial seobtiene:

15 · 4 × 10−3 6 · 4 × 10−3 4 × 10−3

6 · 4 × 10−3 12 · 4 × 10−3 4 × 10−3

4 × 10−3 4 × 10−3 16 × 10−3

di1

dt(0+)

di2

dt(0+)

di3

dt(0+)

=

−3

111

[i1(0+) + i2(0+) + i3(0+)] +

111

v5(0+) +

111

vx(0+) (3.87)

Reemplazando (3.77) [vx(0+)], (3.78) [v5(0+)] y (3.81) [i1(0+), i2(0+) e i3(0+)] en(3.87) y resolviendo, se obtiene:

di1

dt(0+) = 749 · 99 A/s

di2

dt(0+) = 1125 · 1 A/s

di3

dt(0+) = 937 · 49 A/s (3.88)

Derivando el CEGIDLI (3.84) se obtiene:



10−3

(

6d2i1

dt− 3

d2i2

dt

)

− dvx

dt+ 3

(

di1

dt+

di2

dt+

di3

dt

)

− −2000[i1 + i2 + i3] +

+10−3

[

4d2i3

dt2+ 9 · 4

(

d2i1

dt2+

d2i2

dt2

)]

= 0

10−3

(

−3d2i1

dt2+ 3

d2i2

dt2

)

− dvx

dt+ 3

(

di1

dt+

di2

dt+

di3

dt

)

− −2000[i1 + i2 + i3] +

+10−3

[

4d2i3

dt2+ 9 · 4

(

d2i1

dt2+

d2i2

dt2

)]

= 0 ∀ t ≥ 0+

10−3

[

16d2i3

dt2+ 4

(

d2i1

dt2+

d2i2

dt2

)]

− dvx

dt+ 3

(

di1

dt+

di2

dt+

di3

dt

)

+

− −2000[i1 + i2 + i3] = 0(3.89)

Evaluando (3.89) en t = 0+ y expresando en forma matricial se obtiene:

15 · 4 × 10−3 6 · 4 × 10−3 4 × 10−3

6 · 4 × 10−3 12 · 4 × 10−3 4 × 10−3

4 × 10−3 4 × 10−3 16 × 10−3

d2i1

dt2(0+)

d2i2

dt2(0+)

d2i3

dt2(0+)

= −3

111

[

di1

dt(0+)

+di2

dt(0+) +

di3

dt(0+)

]

− 2000

111

[i1(0+) + i2(0+) + i3(0+)] +

111

dvx

dt(0+)

(3.90)

Reemplazando (3.77), (3.81) y (3.88) en (3.90) y resolviendo, se obtiene:

d2i1

dt2(0+) = 3 · 6873 × 105 a/seg2

d2i1

dt2(0+) = 5 · 5313 × 105 a/seg2

d2i1

dt2(0+) = 4 · 6091 × 105 a/seg2 (3.91)



3.12.7. SOLUCIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES

SOLUCIONES PARTICULARES

Cuando se ensayan soluciones de la forma irp(t) = A Sen 500t + B Cos 500t, r =1, 2, 3, el primer miembro de las ecuaciones diferenciales que se obtendrían de(3.87) son de la misma forma para todas las variables. Es decir,

irp(t) = A Sen 500t + B Cos 500t

dirp

dt= 500 (A Cos 500t − B Sen 500t) × 0 · 54

d2irp

dt2= 5002 (−A Sen 500t − B Cos 500t) × 8 · 1 × 10−4

d3irp

dt3= 5003 (−A Cos 500t + B Sen 500t) × 2 · 16 × 10−6

r = 1, 2, 3

(2 · 16 × 53 B − 8 · 1 × 52 A − 54 × 5B) Sen 500t+

(−2 · 16 × 53 A − 8 · 1 × 52 B + 54 × 5A) Cos 500t

(−202 · 5 A)Sen 500t + (−202 · 5 B)Cos 500t (3.92)

Los segundos miembros de las ecuaciones diferenciales para cada una de las res-puestas tomarían las siguientes formas:

vx(t) = 25 Sen 500t

dvx

dt= 53 × 102 Cos 500t

d2vx

dt2= 54 × 104 Sen 500t

−7 · 2 × 10−5 × 54 × 104 Sen 500t = −450 Sen 500t ⇒ i1p

−1 · 08 × 10−4 × 54 × 104 Sen 500t = −675 Sen 500t ⇒ i2p

−21 · 0 × 10−5 × 54 × 104 Sen 500t = −1312 · 5 Sen 500t ⇒ i3p

(3.93)

Es decir, las constantes de las soluciones particulares se obtienen entonces igualandolo obtenido en (3.92) para el primer miembro de la ecuación diferencial con lo



correspondiente para cada respuesta obtenido para el segundo miembro en (3.93).Es decir,

A =−450

−202 · 5= 2 · 2222 B = 0 i1p(t) = iL1p(t)

A =−675

−202 · 5= 3 · 3333 B = 0 i2p(t) = iL2p(t)

A =−562 · 5−202 · 5

= 2 · 7778 B = 0 i3p(t) = iL3p(t) (3.94)

SOLUCIONES A LAS HOMOGÉNEAS

Las raíces de la ecuación característica son las siguientes:

∆(D) = 2 · 16 × 10−6D3 + 8 · 1 × 10−4D2 + 0 · 54D = 0

D1 = 0D2 = α + jβ α = −187 · 5D3 = D∗

2 = α − jβ β = 463 · 51(3.95)

Por lo tanto, la forma de las soluciones homogéneas y sus derivadas toman lasiguiente forma:

irh(t) =3∑

k=1

Ckr eDkt = C1r + eαt (C2rSen βt + C3rCos βt)

d

dtirh(t) = αeαt (C2rSen βt + C3rCos βt) + eαtβ (C2rCos βt − C3rSen βt)

d2

dt2irh(t) = α2eαt (C2rSen βt + C3rCos βt) + αeαtβ (C2rCos βt − C3rSen βt) +

βαeαt (C2rCos βt − C3rSen βt) + eαtβ2 (−C2rSen βt − C3rCos βt) r = 1, 2, 3(3.96)

SOLUCIÓN TOTAL: EVALUACIÓN DE CONSTANTES

Sumando a cada una de las ecuaciones (3.96) las correspondientes soluciones par-ticulares (3.93), evaluando en t = 0+ tanto las respuestas como sus derivadastemporales de primer y segundo orden, se obtiene:


david

Resaltado


ir(0+) = C1r + C3r + irp(0+)dir

dt(0+) = αC3r + βC2r +

d

dtirp(0+) r = 1, 2, 3

d2ir

dt2(0+) = (α2 − β2)C3r + (2αβ)C2r +

d2

dt2irp(0+) (3.97)

Reemplazando (3.95) en (3.97) y expresando en forma matricial se obtiene:

1 0 10 463 · 51 −187 · 50 −1 · 7382 × 105 −1 · 7969 × 105

C1r

C2r

C3r

=

ir(0+)

dir

dt(0+)

d2ir

dt(0+)

−

irp(0+)

dirp

dt(0+)

d2irp

dt(0+)

r = 1, 2, 3 (3.98)

Reemplazando las condiciones iniciales para las respuestas totales (3.81), (3.88) y(3.91) para construir el primer término del segundo miembro en (3.98) y, además,los valores (3.94) de las soluciones particulares en (3.92) para calcular el segun-do término del segundo miembro en (3.98) y expresando en forma matricial, seobtienen los siguientes sistemas lineales de ecuaciones:

1 0 10 463 · 51 −187 · 50 −1 · 7382 × 105 −1 · 7969 × 105

C11

C21

C31

=

0 · 2667749 · 993 · 6873 × 105

−

01111 · 11110

1 0 10 463 · 51 −187 · 50 −1 · 7382 × 105 −1 · 7969 × 105

C12

C22

C32

=

0 · 39991125 · 15 · 5313 × 105

−

01666 · 66670

1 0 10 463 · 51 −187 · 50 −1 · 7382 × 105 −1 · 7969 × 105

C13

C23

C33

=

−4 · 1667937 · 494 · 6091 × 105

−

01388 · 88890

(3.99)

cuyas soluciones son

C11 = 1 · 1999 C12 = 1 · 8001 C13 = −3 · 0002

C21 = −1 · 1566 C22 = −1 · 7348 C23 = −1 · 4458

C31 = 0 · 9332 C32 = −1 · 4001 C33 = −1 · 1667 (3.100)


Es decir,

ir(t) = C1r + eαt (C2r Sen βt + C3r Cos βt) + irp(t)

i1(t) = 1 · 1999 + eαt (−1 · 1567 Sen βt + 0 · 9332 Cos βt) + 2 · 2222 Sen ωt

i2(t) = 1 · 8001 + eαt (−1 · 7348 Sen βt − 1 · 4001 Cos βt) + 3 · 3333 Sen ωt

i3(t) = −3 · 0002 + eαt (−1 · 4458 Sen βt − 1 · 1667 Cos βt) + 2 · 7778 Sen ωt

α = −187 · 5 β = 463 · 51 ω = 500 (3.101)

Bibliografía

[1] ACOSTA M. Alvaro, CALLE T. Jorge E. y GIRALDO B. Di-dier,“Introducción al Análisis de Circuitos Eléctricos” , UniversidadTecnológica de Pereira, 1987.

[2] KINARIWALA, Barath y otros, “linear circuits and computation” , JohnWilley and sons, New York, 1973.

[3] VAN VALKENBURG, M.E., ”Análisis de redes“ , Limusa, México, 1979.

[4] CHAN, Shu Park y otros, “Analysis of linear networks and systems” ,Abbison Wesley,1972.

56

3.13. EJERCICIOS 57

3.13. EJERCICIOS

3.1 Demostrar que:

(a)L

Ry RC tienen dimensiones de tiempo

(b) ip(t) = ASenwt + BCoswt = C Sen(wt + α) = CCos(wt + β), donde

C =√

A2 + B2, α = ArcTan(

B

A

)

y β = α − π

2

P 3.2 Cada uno de los circuitos mostrados en la Figura P.3.1 alcanzan el estadoestacionario con el interruptor S abierto, el cual se cierra en cierto instanteque se toma como referencia t = 0. Hallar i(t), vC(t) y vL(t) para cada caso.Suponer que un instante antes de la conmutación vC(0−) = 0.

Figura P.3.1 Circuitos para el Ejercicio 3.2

P 3.3 El estado energético inicial del circuito mostrado en la Figura P.3.2 es nulo.El interruptor S se abre en un instante que se toma como referencia (t = 0+).Hallar vC2(t) y su valor en estado estacionario. (Nótese de los resultados que,aunque el circuito contiene un elemento resistivo no redundante y la fuentede corriente I es de valor constante, C2 no se comporta como un circuitoabierto en estado estacionario).

P 3.4 Después de que el circuito de la Figura P.3.3 ha alcanzado el estado estacio-nario con el interruptor S abierto, éste se cierra instantáneamente. Tomando



Figura P.3.2

este instante como referencia (t = 0+) hallar expresiones para

Figura P.3.3

im1(0+) im2(0+) im3(0+)dim1

dt(0+)

im2

dt(0+)

im3

dt(0+)

d2im1

dt2(0+)

d2im2

dt2(0+)

d2im3

dt2(0+) (3.102)

P 3.5 El circuito de la Figura P.3.4 alcanza el régimen permanente con el interruptorS cerrado. En un instante que se toma como referencia (t = 0+), S se abre.Hallar v10(0+), v20(0+) y v30(0+).


3.13. EJERCICIOS 59

Figura P.3.4

Figura P.3.5

P 3.6 El circuito mostrado en la Figura P.3.5 alcanza el estado estacionario conel interruptor S abierto, el cual se cierra cuando el voltaje en el inductor esmínimo (máximo negativo). Tomando este instante como referencia (t = 0+):

Hallar:

(a) i(0+) ydi

dt(0+), sin resolver la ecuación diferencial que describe el cir-

cuito válida ∀t ≥ 0+.



(b) i(t) ∀t ≥ 0+ y evaluardi

dt(0+) y comparar con el resultado obtenido en

(a).

i(t)

r

C1

C2

R1

vC1

vC2

iL

R

1

2

3

0

12

3

0

1

2

3

4

567

8

Figura P.3.6

P 3.7 Para el circuito y gráfico orientado mostrados en la Figura P.3.6 suponer elsiguiente estado energético inicial

vC(0+) = VC0 vC1(0+) = VC10 vC2(0+) = VC20

iL(0+) = IL0 iL1(0+) = IL10 iL2(0+) = IL20 (3.103)

(3.104)

Determinard2v10

dt2(0+)

d2v20

dt2(0+)

d2v30

dt2(0+) (3.105)

P 3.8 Para el circuito y gráfico orientado mostrados en la Figura P.3.7 determinar:

d~vn

dt2(0+)

d~vR

dt2(0+)

d~iL

dt2(0+)

d~im

dt2(0+)

~vn =

v10

v20...vN0

~vR =

v1

v2...vN

~iL =

iN+1

iN+2...iB

~im =

im1

im2...imL

(3.106)


3.13. EJERCICIOS 61

L2L1

R C

M iL2iL1

vC

v(t)

12

3

0

1

2 3

4 5

im1im2

1 2 3

0

Figura P.3.7

donde ~vn es el vector de voltajes de nodo, ~vR es el vector de voltajes de rama,~iL es el vector de corrientes de enlace e~im es el vector de corrientes de malla.

P 3.9 Determinar las condiciones iniciales necesarias para resolver las ecuacionesdiferenciales obtenidas en el Ejercicio P 2.9 suponiendo estado energéticoinicial nulo y resolverlas para las siguientes excitaciones correspondientes:

FIGURA EXCITACIÓNP.2.14(a) v1(t) =

√5 Cos 2t v2(t) =

√5 Sen 2t

P.2.14(b) v1(t) =√

5 Cos 2t

P.2.14(c) v2(t) =√

5 Sen 2t

P.2.14(d) y P.2.14(e) v(t) =√

5 Sen 2tP.2.14(f) y P.2.14(g) i(t) = 0 · 5 Sen(104t − 36 · 87)

P 3.10 Sean ra(t), rb(t), rc(t), rd(t), re(t), rf(t) y rg(t) las soluciones obtenidas en elejercicio P 3.9. Establecer las siguientes comparaciones y verificar que:

ra(t) = rb(t) + rc(t) Teorema de superposiciónrd(t) = re(t) Teorema de reciprocidad Irf (t) = rg(t) Teorema de reciprocidad II

P 3.11 El circuito de la Figura P.3.8(a) está desenergizado. El interruptor S se colocaen la posición a y el circuito alcanza el estado estacionario, después de lo cualS se pasa a la posición b. Tomando este instante como referencia (t = 0),hallar:



(a) vC1(0−) e i(t)

(b) vC1(t), vC2(t) y vC3(t)) ∀t ≥ 0+

(c) La energía almacenada en:

i t = 0−ii t = 0+

iii Explique cualquier diferencia entre los resultados obtenidos en i y ii

Figura P.3.8

Figura P.3.9


3.13. EJERCICIOS 63

P 3.12 El circuito de la Figura P.3.8(b) está desenergizado. El interruptor S se colocaen la posición a y el circuito alcanza el estado estacionario, después de lo cualS se pasa a la posición b. Tomando este instante como referencia (t = 0),hallar:

Figura P.3.10

(a) iL1(0−) e v(t)

(b) iL1(t), iL2(t) e iL3(t)) ∀t ≥ 0+

(c) La energía almacenada en:

i t = 0−ii t = 0+

iii Explique cualquier diferencia entre los resultados obtenidos en i y ii

P 3.13 Después de que el circuito ilustrado en la Figura P.3.9 alcanza el estadoestacionario con el interruptor S cerrado éste se abre. Tomando este instantecomo referencia (t = 0+), hallar i(t) ∀t ≥ 0+.

P 3.14 El circuito mostrado en la Figura P.3.10 tiene los siguiente parámetros:

C1 = 1 F C2 = 2 F C3 = 1 F

L1 = 1 H L2 = 2 H M = 1 H

R = 1000 Ω v(t) = 100 Sen 4t V i(t) = 2 Cos 3t A



El estado energético inicial inmediatamente antes de la conmutación en t =0− es

vC1(0−) = 0 V vC2(0−) = 5 V vC3(0−) = 10 V

iL1(0−) = 2 A iL2(0−) = 1 A

(3.107)

Determinar el estado energético inicial inmediatamente después de la conmu-tación (t = 0+).


condiciones iniciales

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