notasfabian.files.wordpress.comconceptos b´asicos de vectores en rn teorema (ejer. 9 del...

Conceptos básicos de Vectores en Rn

Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n números reales, lacual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aqúı xk lo llamamos k-ésima componente del vector x .

Algebra lineal Básica



x =

x1x2...xn

.

Aqúı xk lo llamamos k-ésima componente del vector x .¿Cual seŕıa el vector vector nulo o vector cero?




x =

x1x2...xn

.

Aqúı xk lo llamamos k-ésima componente del vector x .

EJEMPLOS: El vector x =

51035

es un vector de R4 y su primera,

segunda, tercera y cuarta componentes son 5, 10,−3 y 5, en eseorden.




x =

x1x2...xn

.

Aqúı xk lo llamamos k-ésima componente del vector x .EJEMPLOS: Los vectores

e1 =

10...0

, e2 =

01...0

, · · · , en =

00...1

son vectores de Rn. A estos vectores los llamamos vectorescanónicos de Rn




x =

x1x2...xn

.

Aqúı xk lo llamamos k-ésima componente del vector x .¿Cuando dos vectores son iguales?



Geométricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretarcomo puntos;



Geométricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretarcomo puntos;

En las aplicaciones f́ısicas, es importante que pensemos en un vector,no como un punto, sino como algo que tiene magnitud, dirección ysentido. Estos vectores los llamaremos vectores libres.



[SUMA] Dados u =

u1u2...un

y v =

v1v2...vn

, definimos

u + v =

u1 + v1u2 + v2

...un + vn



[PRODUCTO POR ESCALAR] Dados u =

u1u2...un

y λ ∈ R , definimos

λu =

λu1λu2...

λun



[RESTA] Definimos u − v

u − v = u + (−v)

PR = OR − OP .



Teorema (Ejer. 9 del Taller2Parte A)

Sean u, v y w vectores de Rn y sean α, β dos números reales. Entonces

1 u + v ∈ Rn. Ley clau para +.2 (u + v) + w = u + (v + w). Ley asoc para +

3 u + v = v + u. Ley conm. para +

4 Existe un único vector z ∈ Rn tal que u + z = z + u = u(z = 0).Ley mod para la suma

5 Para cada u, existe un único vector p ∈ Rn tal queu + p = p + u = 0 (p = -u). Existencia del opuesto para suma.

6 αu ∈ Rn. Ley clau para el producto por escalar7 α(u + v) = αu + αv. Ley dist del producto por escalar resp +

8 (α+ β)u = αu + βu. Ley dist del producto por escalar respecto a +de escalares.

9 (αβ)u = α(βu) = β(αu). Ley asoc respecto al producto porescalares

10 αu = 0, si y solo si, α = 0 ó u = 0.



Coloquio de Matemáticas:

Lunes 16 de febrero a las 11:00 am.Salón: 202-405”‘El residuo sobre funciones meromorfas con polos lineales del punto devista de la geometŕıa en conos”’Profesora Sylvie PaychaInstituto de MatemáticasUniversidad de Potsdam



Definición (Combinación Lineal)

Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector

v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk

lo llamamos combinación lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A losescalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinaciónlineal.

EJEMPLO: Sean u =

(

−12

)

y v =

(

25

)

y w =

(

3−2

)

. Calculemos la

combinación lineal de ellos dada por 3u − v + 2w .



Definición (Combinación Lineal)

Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector

v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk

lo llamamos combinación lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A losescalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinaciónlineal.

EJERCICIO ¿los vectores

−1340

y

20−1

son combinaciones lineales

de

10−2

y

−52−3

?.



Definición (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := {v |v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , λi ∈ R} = Gen{v1, v2, . . . , vk}

V es generado por v1, v2, . . . , vk ; además, a {v1, v2, . . . , vk} lo llamamosconjunto generador de V .







EJEMPLO: Si V = Gen{u, v}, entonces 2u +√5v , 0, u, 3v , u − v son

vectores de V .

EJERCICIO ¿El vector

302

pertenece a Gen

101

,

00−1

?.







EJERCICIO Demuestre que Gen{e1, e2, . . . , en} = Rn.EJERCICIO Determine Gen{e1, e3} si ei ∈ R3.EJERCICIO Determine Gen{v} si v es cualquier vector no nulo.







EJERCICIO Determine un conjunto generador de

V =

3r − sr + 5s

r

, r , s ∈ R



Definición (Conjunto l.i.)

Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente silos únicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0

son todos cero.





λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0

son todos cero.

EJERCICIO: Demostremos que

13−2

,

−1−54

,

1−20

, es un

conjunto l.i.





λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0

son todos cero.

EJERCICIO: Demostremos que

13−2

,

−123

,

21−5

, es un

conjunto l.d.EJERCICIO: Demuestre que todo conjunto de Rn que contenga al vector0 es un conjunto l.d.



Definición (Producto escalar )

Dados u =

u1...un

y v =

v1...vn

de Rn, definimos u · v el producto escalar

entre u y v, como el escalar dado por

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn




Dados u =

u1...un

y v =

v1...vn



u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

EJERCICIO: Dados

21−5

,

130

,

−2−1−1

, Calcule

u · v , u · w , v · w , (3u) · v , (u + v) · w y v · u.




Dados u =

u1...un

y v =

v1...vn



u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

EJERCICIO: Suponga que un fabricante produce cuatro art́ıculos. La

demanda para los art́ıculos está dada por d =

30204010

. Los precios

unitarios para los articulos están dados por el vector p =

20151840

. Si

satisface su demanda. ¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?




Dados u =

u1...un

y v =

v1...vn



u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

Teorema (Ejer. 50 del Taller2ParteB)

Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces1 u · v = v · u. Ley conm para ·.2 u · (v + w) = u · v + u · w. Ley dist3 α(u · v) = (αu) · v = u · (αv).4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.



Definición (Norma)

Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como la ráız cuadrada deu · u; es decir,

‖u‖ =√u · u =

√

u21+ · · ·+ u2

n





‖u‖ =√u · u =

√

u21+ · · ·+ u2

n

EJERCICIO: Dados u =

21−5

, y los puntos P =

523

, Q =

1−13

,

Calcule ‖u‖ y ‖PQ‖,





‖u‖ =√u · u =

√

u21+ · · ·+ u2

n

Teorema

Dados los vectores u, v ∈ Rn, y λ ∈ R tenemos que(a) ‖λu‖ = |λ|‖u‖(b) ‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)(c) ‖u − v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖. La igualdad se obtiene, si y solo si, u = λv para

algún λ ∈ R. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.(e) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖. La igualdad se cumple, si y solo si, u = λv

con λ ≥ 0. Desigualdad triangular.



(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0




0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)

donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadrático con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .





donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadrático con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .Como a ≥ 0, la gráfica de p(x) es una parábola cóncava haćıa arriba convértice en el semiplano superior. Recordando que el vértice de p(x) es(

− b2a, c − b2

4a

)






− b2a, c − b2

4a

)

entonces

0 ≤ c − b2

4a= ‖v‖2 − 4(u · v)

2

4‖u‖2






− b2a, c − b2

4a

)

entonces

0 ≤ c − b2

4a= ‖v‖2 − 4(u · v)

2

4‖u‖2

Además, si u = λv entonces

|u · v | = |λv · v | = |λ||v · v | = |λ|‖v‖2 = |λ|‖v‖‖v‖= ‖λv‖‖v‖ = ‖u‖‖v‖



Definición (Ángulo entre vectores)

Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el ángulodeterminado por u y v como el menor giro positivo.





OBS: Dados dos vectores u y v no nulos, siempre podemos construir untriángulo como el de la siguiente figura





Al aplicar el T. del Coseno a este triángulo, tenemos

‖u − v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v + ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ

Entoncescos θ =

u · v‖u‖‖v‖





Al aplicar el T. del Coseno a este triángulo, tenemos

‖u − v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v + ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ

Entoncescos θ =

u · v‖u‖‖v‖

EJEMPLO: Calcule el ángulo de u =

1−1−11

y v =

1−1−1−1



Definición (Proyección ortogonal)

Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyección ortogonal de vsobre u como el vector

proyuv =( v · u‖u‖2

)

u

Llamamos a vc = v − proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.



Definición (Proyección ortogonal)

Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyección ortogonal de vsobre u como el vector

proyuv =( v · u‖u‖2

)

u

Llamamos a vc = v − proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.

EJEMPLOS: Halle la proyuv y la componente vectorial de v ortogonal au (Esto es vc), para cada uno de los siguientes casos:

(a) u =

1−1−1

y v =

1−11

(b) u = e1 y v =

2−103

proyvu =( v · u‖v‖2

)

v


Producto Ax

Las columnas de las matrices son vectores de Rm, m son las filas de lamatriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesión(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como

A = [a1 a2 . . . an] ai son las columnas de A.


Producto Ax



Definición

Sea A una matriz, cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an de Rm,

y sea x un vector de Rn, cuyas componentes son x1, x2, . . . , xn.Definimos el producto matricial Ax como la combinación lineal

Ax = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan.


Producto Ax



Definición

Sea A una matriz, cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an de Rm,

y sea x un vector de Rn, cuyas componentes son x1, x2, . . . , xn.Definimos el producto matricial Ax como la combinación lineal

Ax = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan.

EJEM: Dado A =

−1 0 32 1 13 5 −2

y x =

013

, tenemos

Ax = 0

−123

+ 1

015

+ 3

31−2

=??


Teorema (Propiedades del producto Ax)

Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR

m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces

a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)

DEM: (a)





a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)

DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn).





a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)

DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) ypor tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,

A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an





a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)


A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan





a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)


A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan=(

x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)

+(

y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)





a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)



x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)

+(

y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)

= Ax + Ay





a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)



x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)

+(

y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)

= Ax + Ay

Observe que el sistema lineal

{

3x − 2y + z = −2x − 3z = 1





a) A(x + y) = Ax + Ay

b) A(λx) = λ(Ax)



x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)

+(

y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)

= Ax + Ay

Observe que el sistema lineal

{

3x − 2y + z = −2x − 3z = 1

⇔ x(

3

1

)

+y

(−20

)

+z

(

1

−3

)

=

(−21

)

⇔(

3 −2 11 0 −3

)

xyz

=

(

−21

)


Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b

son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales


Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b


Teorema (Equivalencia de conceptos- Ejer. 34 del Taller2ParteB)

Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vectorde Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:


Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b




El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.


Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b




El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de Rn, tal que Ax = b.


Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b





El vector b es combinación lineal de las columnas de A.


Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b






El vector b pertenece al conjunto generado por las columnas de A.


Observe que

[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b






El vector b pertenece al conjunto generado por las columnas de A.

Definición (Espacio nulo)

El espacio nulo de una matriz A esta dado por

NA = {x ∈ Rn : Ax = 0}


Dada A =

−1 0 32 1 13 5 −2

determinemos si los vectores u =

(

−27

)

,

v =

12−3

y w =

−31−5

se encuentran en NA.


Dada A =

−1 0 32 1 13 5 −2


(

−27

)

,

v =

12−3

y w =

−31−5


OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solución única, i.e. x = 0.


Dada A =

−1 0 32 1 13 5 −2


(

−27

)

,

v =

12−3

y w =

−31−5



Teorema (Propiedades del espacio nulo)

Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar,tenemos que:

(a) x + y ∈ NA (b) λx ∈ NA

DEM


Dada A =

−1 0 32 1 13 5 −2


(

−27

)

,

v =

12−3

y w =

−31−5





(a) x + y ∈ NA (b) λx ∈ NA

DEM Puesto que x , y ∈ NA, Ax = 0 y Ay = 0;


Dada A =

−1 0 32 1 13 5 −2


(

−27

)

,

v =

12−3

y w =

−31−5





(a) x + y ∈ NA (b) λx ∈ NA

DEM Puesto que x , y ∈ NA, Ax = 0 y Ay = 0; entonces,(a) A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0, por tanto, x + y ∈ NA.(b) A(λx) = λ(Ax) = λ0 = 0, de donde, concluimos que λx ∈ NA.Ix = x donde I es la matriz n × n dada por [e1 e2 · · · en] y x ∈ Rn


Definición (Espacio columna)

Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espaciocolumna de A como el conjunto

CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algún x ∈ Rn}.





OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,

CA = Gen{a1, a2, . . . , an}

donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.






CA = Gen{a1, a2, . . . , an}


EJEM Dada A =

−1 22 11 −1

determinemos si

47−1

,

504

se

encuentran en CA.






CA = Gen{a1, a2, . . . , an}


EJEM Dada A =

−1 22 11 −1

determinemos si

47−1

,

504

se

encuentran en CA.

M.Aum =

−1 2 4 52 1 7 01 −1 −1 −4

M.Esc =

−1 2 4 50 5 15 100 0 0 −1






CA = Gen{a1, a2, . . . , an}


EJEM Dada A =

−1 22 11 −1

determinemos si

47−1

,

504

se

encuentran en CA.

M.Aum =

−1 2 4 52 1 7 01 −1 −1 −4

M.Esc =

−1 2 4 50 5 15 100 0 0 −1

Entonces 1ro SI, 2do NOAlgebra lineal Básica

Teorema (Propiedades del espacio columna)

Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:

(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA




(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA

DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c .




(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA

DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c . Entonces,

(1). b + c = Ax + Ay = A(x + y), por tanto, b + c ∈ CA.

(2). λb = λ(Ax) = A(λx), de donde concluimos que λb ∈ CA.




(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA

DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c . Entonces,

(1). b + c = Ax + Ay = A(x + y), por tanto, b + c ∈ CA.

(2). λb = λ(Ax) = A(λx), de donde concluimos que λb ∈ CA.

Corolario (1)

si el vector u es solución del sistema Ax = b y el vector v es solución delsistema homogéneo asociado (Ax = 0), entonces (u + v) es solución delsistema Ax = b.

DEMA(u + v) = Au + Av = b + 0 = b.


Corolario (2)

Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solución del sistema homogéneo asociado Ax = 0.


Corolario (2)


Corolario (3)

Sea u solución del sistema Ax = b, entonces v es solución del sistemaAx = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solución del sistemahomogéneo asociado Ax = 0.


Corolario (2)


Corolario (3)


DEM Sea v una solución del sistema Ax = b, entonces h = v − u essolución del sistema homogéneo asociado (Coro 2) y por tantov = h + u. La otra implicación es el resultado del Coro 1.


Corolario (2)


Corolario (3)


Corolario (4)

Un sistema Ax = b que tiene más de una solución, tiene infinitassoluciones.


Corolario (2)


Corolario (3)


Corolario (4)

Un sistema Ax = b que tiene más de una solución, tiene infinitassoluciones.

DEM Sean u y v dos soluciones diferentes del sistema Ax = b. Por elCoro 2, h = u − v 6= 0 es solución del sistema homogéneo asociadoAx = 0. Por el Propiedades de NA, αh, ∀α ∈ R, también es solución delsistema homogéneo, lo que nos indica que el sistema homogéneo tieneinfinitas soluciones. Por el Coro 3, w = αh + u es también solución delsistema Ax = b. Aśı que, el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones.


Rectas, Planos e Hiperplanos

DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que larecta que contiene a P y tiene dirección d es

el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d .


Rectas, Planos e Hiperplanos

DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que larecta que contiene a P y tiene dirección d es

el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d . Al vector d lo llamamos vector director de la recta.

x − p = td ⇒ x = p + td


Formas de expresar una recta

Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta

x = p + td

x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn




x = p + td


Al despejar t de cada ecuación e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d ,

x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn

dnsiempre que di 6= 0




x = p + td



x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn


EJEM Dada la ecuación vectorial L :(

x1x2x3

)

=

(

2−13

)

+ t

(

−105

)

1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.




x = p + td



x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn



x1x2x3

)

=

(

2−13

)

+ t

(

−105

)

1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.

2 Determine si R =

(

3−1−2

)

y S =

(

4−10

)

pertenecen a la recta L.




x = p + td



x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn



x1x2x3

)

=

(

2−13

)

+ t

(

−105

)

1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.2 Halle un vector d que sea un vector director de la recta L y verifique

que el vector PQ, de (a), es paralelo a d .


EJEM. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos

P =

−1201

Q =

21−11



P =

−1201

Q =

21−11

DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2



P =

−1201

Q =

21−11


EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.

1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =

3−21

y Q =

530

y

L2 es la recta con ecuación vectorial

xyz

=

0−43

+ t

410−2



P =

−1201

Q =

21−11


EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.

1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =

3−21

y tiene vector

dirección v =

23−1

y L2 es la recta que pasa por los puntos

Q =

0−21

y P =

231


Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en común.




DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y sólo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.





EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:

1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =

321

y Q =

130

y L2

es la recta con ecuación vectorial

xyz

=

5−41

+ t

22−2





EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:

1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =

0−20

y tiene vector

dirección v =

13−1

y L2 es la recta que pasa por los puntos

Q =

1−21

y R =

23−1


Ejercicios

Halle la ecuación vectorial y las ecuaciones simétricas de las rectas:

1 La recta que pasa por los puntos

P =

−1201

Q =

21−11


Ejercicios



P =

−1201

Q =

21−11

2 L2 es la recta con ecuación vectorial

xyz

=

0−43

+ t

410−2


Ejercicios



P =

−1201

Q =

21−11

2 L2 es la recta con ecuación vectorial

xyz

=

0−43

+ t

410−2

3 L2 es la recta que pasa por los puntos Q =

0−21

y P =

231


PLANOS

DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c , d ∈ Rn diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinación lineal de los vectores c y d , es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d .


PLANOS

DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c , d ∈ Rn diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinación lineal de los vectores c y d , es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d .

Observe que PX = tc + sd con t, s ∈ R. Ahora si x = OX y p = OP ,entonces para t, s ∈ R

x − p = tc + sd x = p + tc + sdEsta es la ecuación vectorial del plano.


Ecuaciones del plano

PREG: ¿Cuáles son las ecuaciones paramétricas del plano?




x = p + tc + sd

x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn




x = p + tc + sd


EJEM. Dadas las ecuaciones paramétricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2

1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.




x = p + tc + sd



1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del

plano P




x = p + tc + sd




plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?




x = p + tc + sd




plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?

4 ¿Los puntos M =

221−2

N =

64−9−2

se encuentran en el plano P?.



EJEM. Encontremos una ecuación vectorial del plano que contiene los

puntos P =

(

−253

)

, Q =

(

0−21

)

y R =

(

20−3

)



EJEM. Encontremos una ecuación vectorial del plano que contiene los

puntos P =

(

−253

)

, Q =

(

0−21

)

y R =

(

20−3

)

El plano que contiene los puntos P , Q y R tiene como vectores directoresa d1 = PQ y d2 = PR .


Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinación lineal de los vectoresdirectores del otro plano.



DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinación lineal de los vectoresdirectores del otro plano.

Teorema (Planos iguales- Ejer. 71 Taller2ParteB)

Dos planos son iguales, si y solo si, los dos planos son paralelos y tienenal menos un punto común



DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela alplano P, si y sólo si, el vector d es combinación lineal de c1 y d1.




Teorema (Inclusión de una recta en un plano)

Una recta está totalmente incluida en un plano de Rn, si y solo si, larecta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un puntoen común.






DEM: pd L ⊂ P ⇔ L||P y P ∩ L 6= ∅.Sea L : P + td , t ∈ R y P : Q + rc1 + sd1, r , s ∈ R.






DEM: pd L ⊂ P ⇔ L||P y P ∩ L 6= ∅.Sea L : P + td , t ∈ R y P : Q + rc1 + sd1, r , s ∈ R.⇒:Si L ⊂ P entonces P ∈ P (P ∩ L 6= ∅). Entonces otra ecuaciónvectorial de P es P + rc1 + sd1. Además, como P + td ∈ L ∀t ∈ Rentonces P + td = P + r0c1 + s0d1, t ∈ R. En particular, si t = 1tenemos d = r0c1 + s0d1, es decir, d ∈ Gen{c1, d1}. Por lo tanto, L||P.






DEM: pd L ⊂ P ⇔ L||P y P ∩ L 6= ∅.Sea L : P + td , t ∈ R y P : Q + rc1 + sd1, r , s ∈ R.⇐:Si L||P y ∃M ∈ P ∩ L. Entonces existen α, β ∈ R tales qued = αc1 + βd1. Ahora, note que L : M + td ∀t ∈ R y P : M + rc1 + sd1,r , s ∈ R. Demostremos que L ⊂ P. Para ello, sea X ∈ L entoncesX = M + t0d = M + t0(αc1 + βd1) = M + r0c1 + s0d1 lo que implica queX ∈ P.






EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:

xyz

=

0−21

+ t

0−21

+ s

20−3






EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:

xyz

=

0−21

+ t

0−21

+ s

20−3

PREG: Existe otra recta contenida

en P? Cuántas rectas contenidas en P existen? Ejer. 75 Taller2ParteC


Rectas y planos ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano convectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal alplano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.


Ejercicios

1. Determine si la recta L:

xyz

=

2−13

+ t

2−7−2

es paralela a P:

xyz

=

0−21

+ r

0−21

+ s

20−3

. Rta: No

2. Determine si la recta L que contiene los puntos P =

1−11

y

Q =

403

es ortogonal al plano P:

xyz

=

5−23

+ r

0−21

+ s

20−3

. Rta: Śı


Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n.

.


Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

.


Hiperplanos


PX · n = 0.

Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuación

(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)

es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.


Hiperplanos


PX · n = 0.



es la ecuación del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuación la llamamos ecuación normal del hiperplano.


Hiperplanos


PX · n = 0.




PORQUE

(x − p) · n = 0 equivalentemente l1x1 + l2x2 + · · ·+ lnxn = d (2)

donde con d = l1p1+ l2p2+ · · ·+ lnpn = n ·p.


Hiperplanos


PX · n = 0.




PORQUE

(x − p) · n = 0 equivalentemente l1x1 + l2x2 + · · ·+ lnxn = d (2)

donde con d = l1p1+ l2p2+ · · ·+ lnpn = n ·p.A esta ecuación la llamamosecuación general del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.


Hiperplanos


PX · n = 0.





Hiperplanos


PX · n = 0.




-Hiperplanos en R son puntos-Hiperplanos en R2 son rectas (Ejer. 87 Taller2parteC)-Hiperplanos en R3 son planos.


Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

EJEM Hallemos una ecuación del hiperplano que pasa por el punto

P =

2−351

y es ortogonal al Eje X .




P =

2−351


SOL: Un vector que tiene la dirección del Eje X es e1.Aśı que una ecuaciónpara este plano es

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

ó equivalentemente, x − 2 = 0 ó x = 2.




P =

2−351



0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)


DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.




P =

2−351



0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)



EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R4 que pasa por el

origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.




P =

2−351



0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)





SOL: Una ecuación del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.




P =

2−351



0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)





SOL: Una ecuación del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?Ejer. 82 Talle2parteC



DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y sólo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.




EJEM: Encontremos una ecuación del hiperplano H1 de R5 que pasa porel origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.





SOL: Aqúı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =

10002

.






10002

. Como un

punto de H1 es el origen, su ecuación es

(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.






10002

. Como un

punto de H1 es el origen, su ecuación es

(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.

PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?Ejer.85 Taller2ParteC


Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u × v , el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)


Producto vectorial


(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)



u× v =(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣


Producto vectorial


(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)



u× v =(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣


∣

∣

∣

∣

∣

∣

Teorema (Propiedades-Ejer. 88 del Taller2ParteC)

Si u, v y w son vectores de R3 y λ es un escalar, entonces:

1) u× v = −v× u 2) u× (v+ w) = u× v+ u× w3) (u+ v)× w = u× w+ v× w. 4) λ(u× v) = (λu)× v = u× (λv)5) u× 0 = 0× u = 0. 6) u× u = 0.7) u× (v× w) = (u · w)v− (u · v)w. 8) (u× v) · u = (u× v) · v = 0.9) u · (v× w) = w · (u× v)


Producto vectorial


(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)



u× v =(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣


∣

∣

∣

∣

∣

∣

DEM Prop. 8

u× v · u =(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

·(

u1u2u3

)


Producto vectorial


(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)



u× v =(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣


∣

∣

∣

∣

∣

∣

DEM Prop. 8

u× v · u =(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

·(

u1u2u3

)

= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3= 0

De manera análoga u× v · v = 0


Producto vectorial


(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)



u× v =(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣


∣

∣

∣

∣

∣

∣

-El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:

(e1 × e2)× e2 6= e1 × (e2 × e2)


Producto vectorial


(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)



u× v =(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣


∣

∣

∣

∣

∣

∣

-El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:

(e1 × e2)× e2 6= e1 × (e2 × e2)

-Note que e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1 y e3 × e1 = e2


Producto vectorial


(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)



u× v =(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣


∣

∣

∣

∣

∣

∣


Teorema

Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el ángulo entre losvectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial

DEM

‖u× v‖2 =


Teorema



DEM

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v


Teorema



DEM

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2


Teorema



DEM

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)= ‖u‖2‖v‖2sin2θ


Teorema



DEM

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)= ‖u‖2‖v‖2sin2θ

‖u× v‖ ≤ ‖u‖‖v‖


Corolario

Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y sólo si, u× v = 0.


Corolario


DEM: ⇒ si u es paralelo a v, v = λu, entonces,

u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0

.


Corolario


DEM: ⇐ Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0, pero‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ ahora, como u, v 6= 0 entonces sinθ = 0, por lotanto θ = 0 ó θ = π, lo que implica que los vectores u y v son paralelos.


Corolario


Corolario

El área del paralelogramo cuyos lados no paralelos están dados por losvectores u y v de R3 está dada por la magnitud del producto vectorial deellos, es decir, ‖u× v‖.


Corolario


Corolario

El área del paralelogramo cuyos lados no paralelos están dados por losvectores u y v de R3 está dada por la magnitud del producto vectorial deellos, es decir, ‖u× v‖.

DEM: Observe que h, la altura del paralelogramo, está dada porh = ‖u‖ sin θ y el área del paralelogramo, es base por altura, tenemos

A = ‖v‖h = ‖v‖‖u‖ sin θ = ‖u × v‖


Corolario

El volumen del paraleleṕıpedo cuyas aristas no paralelas están dadas porlos vectores u, v y w de R3 está dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.

DEM:


Corolario


DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w


Corolario



Observemos que h, la altura del paraleleṕıpedo, es la norma del vector

proyv×wu =u · (v × w)‖v × w‖2

v × w

Vol=(área del paral)(altura)=‖v × w‖ h=‖v × w‖ |u · (v × w)|‖v × w‖ = |u·(v×w)|


Corolario



Corolario

Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares, si y sólo si, u · (v×w) = 0


Teorema (Ecuación normal del plano en R3)

El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c yd, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal an = c × d, son iguales.




DEM: ⊆ Sea X ∈ P. Entonces existen α, β ∈ R tal que PX = αc + βd .Luego,

PX · n = (αc + βd) · (c × d) = αc · (c × d) + βd · (c × d) = 0

por lo tanto, PX⊥n, de donde, concluimos que X ∈ H.




DEM: ⊇ Sea X ∈ H. Entonces PX · (c × d) = 0 por el corolario anteriortenemos que PX , c y d son coplanares. Como c y d no son paralelos yson vectores distintos de cero entonces existen α, β ∈ R tal que

PX = αc + βd .

Luego, X ∈ P.


Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)

Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.P1||P2, si y sólo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.P1⊥P2, si y sólo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.


Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)

Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.P1||P2, si y sólo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.P1⊥P2, si y sólo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.

EJEM: Determine si el plano P1 que contiene el punto P =

−253

y

tiene vectores directores c1 =

27−2

y d1 =

4−5−6

es paralelo o es

ortogonal al plano P2 definido por 3x − z = 4.


Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)

Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vectornormal n ∈ R3.

L||P, si y sólo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.L⊥P, si y sólo si, d ||n; es decir, d = λn.


Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)

Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vectornormal n ∈ R3.

L||P, si y sólo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.L⊥P, si y sólo si, d ||n; es decir, d = λn.

EJEM: Determine si la recta L :

xyz

=

2−13

+ t

2−7−2

es paralela u

ortogonal al plano P que contiene al punto M =

5−23

y tiene vectores

directores c1 =

0−21

y d1 =

20−3

.


QUIZ 1

1 Deduzca una fórmula para determinar la distancia más corta delpunto P(x0, y0) a la recta L cuya ecuación es ax + by + d = 0

2 Determine si los siguientes planos son ortogonales o paralelos alhiperplano H : x1 + x2 − 2 = x4

x = 1 + t − 2sy = −3s + 2tz = 1− t + sw = 2 + t

x =

1−150

+ s

−2010

+ t

−201−4

x = 2− ty = −2s + 1z = 1 + t + sw = −t − 2s − 2

3 Teniendo en cuenta la siguiente propiedad x · (y × z) = z · (x × y)demuestre la identidad de Lagrange. Es decir,

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2


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