LA DERIVADA

INTRODUCCIÓN

El cálculo diferencial trata del estudio del cambio de una cantidad cuando otra cantidad que está relacionada con la primera varía.Por ejemplo Si se aumenta la temperatura de un gas contenido en un recipiente hermético la presión del gas sobre las paredes del recipiente aumenta o si aumentamos nuestro consumo diario de azucares probablemente aumente la insulina en sangre.

CONCEPTOTASA DE CAMBIO PROMEDIO

Normalmente se piensa que una de las variables es función de la otra. Esto es y = f (x) .Habrá puntos de la gráfica de la función donde suben más que en otros puntos y otrosincluso bajan.Una manera de medir la relación entre los cambios de dos variables relacionadas es a través de la tasa o razón de cambio promedio

Observaciones:

1) Cuando el cambio en y, D y, es positivo se habla del incremento de y2) La tasa de cambio promedio es un cociente de cambios ó un cociente de diferencia.3) La tasa de cambio promedio es conocida también como la razón de cambio promedio. La tasa de cambio puede ser positiva y esto corresponde cuando el cambio en y es positivo al pasar de un punto x1 a un punto x2 ( x1 < x2 ) o puede ser negativo y esto corresponde al caso en que y disminuye o decrece.

EJEMPLO 1

El tamaño de una población está modelada por P(t) = 5000 + 500t - 50t 2 donde t es el número de años después del 2001. Calcule la razón de cambio promedio de a) t = 2 a t = 4 . b) t = 2 a t = 3 y c) t = 2 a t = 2 1/ 2 .

SOLUCIÓN

RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO E INSTANTÁNEO

Suponga que un objeto parte de un punto siguiendo un movimiento rectilíneo. Sea y = d(t) la función desplazamiento hasta el momento t, esta función es conocida también como la función posición. El incremento: d(t2 ) - d(t1 ) es la distancia recorrida por el objeto desde el tiempo t1 hasta el tiempo t 2 y la razón de cambio promedio desde t1 hasta el tiempo t 2 está dada por:

Ejemplo 2Suponga que el desplazamiento de un móvil hasta el tiempo t está dado por la ecuación d(t) = 64+4t2 metros, donde t está medido en segundos. Determinar la velocidad promedio durante los tiempos de a) t = 2 a t = 4 . b) t = 2 a t = 3 y c) t = 2 at = 2 1 / 2.

Velocidad instantánea

Partiendo del ejemplo anterior con d(t) = 64+4t2 Se requiere conocer la velocidad del móvil en el instante t = 2 segundos. Para obtenerla consideraremos:

CONCEPTO DE DERIVADA

ACTIVIDAD

ACTIVIDAD

Referencias: