DERIVADA

DERIVADALa derivada es el resultado de un limite. Geométricamente la derivada se define como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto establecido.

¿?Fácil¿?

h→0

La definición de una función derivada es:

Si el limite no existe la función no es derivable en el punto establecido.

h→0 A medida que h tiende a cero la

recta secante se aproxima a la recta tangente.

recuerda

CONCEPTOS RELACIONADOS (DERIVADA)

Recta tangente: es una recta que tiene un punto común con una curva o función.

En la grafica se muestra el

ejemplo de la recta tangente.

Se puede observar que solo existe un

punto de intersección

Pendiente de una recta: esta definida como el cambio o diferencia en el eje vertical dividido por el respectivo cambio o diferencia en el eje horizontal (relación de cambio)

Recuerda que

Recta secante: es una recta que interseca dos o más puntos de una curva o circunferencia.

Continuamos… con una demostración geométrica

1. a) Usando la definición, calcula la derivada de f(x)=  en x =2.

 b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)=  en el punto de abscisa x =2,

Solución (a)

f’(2)= = x→2 x→2

= x→2

• (Se ha simplificado el factor x-2 que estaba en el numerador y el denominador)

a) Se verifica f(2)= 0  y por lo tanto:

Solución (b) b) La ecuación de la recta tangente a la

gráfica de f en el punto (a, f(a)) tiene la expresión:

(Ya que la derivada en el punto de abscisa x = a, es la pendiente de la recta tangente en el punto (a, f(a))

y- f(a)=f’(a)(x-a)

En este caso f(a)=f(2)=0 y f’(2)=1/4

• Con lo q sustituyendo en este caso te queda:

Despejando  y = (1/4)x -2 (su ecuación explícita)

Y -0 = (1/4)(x-2)

(ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto  (2, 0)),

Ejercicio (Derivada)Calcular la derivada de la

siguiente función. f(x) = x+2

Solución

Reemplazamos la función en la ecuación

h→0

Asi… = h→0  

h→0

Luego, cancelamos

=

h→0 = Lim 1 =

1h→0

f´(x) = 1

VELOCIDAD MEDIADada una función se llama

velocidad media.

En el intervalo al valor obtenido de la siguiente expresión

Por ejemploSi X entonces,

Donde:h= b-ab= a+h

EJERCICIOHallar la T.V (Tasa de Variación)

de la función en el intervalo

En forma de pregunta:¿Cómo cambia f(x) cuándo x cambia de -1 a 2?

a b

SOLUCIÓN

recuerda que : b= a+h entonces la ecuación quedaría

así…

1. se halla f(b), se reemplaza el valor de b en la ecuación dada en el ejercicio

Se resuelve

12-10+1 = 3

f(2) = 3

2. se halla f(a), se reemplaza el valor de a en la ecuación dada en el ejercicio

Se resuelve

3+5+1 = 9

f(-1) = 9

Luego, de haber hallado f(b) y f(a), se aplica la formula

Conclusión: Cuando x cambia de -1 a 2 la función decrece 6 unidades

GRACIAS POR

SU ATENCIÓN

POR:LINDA BUELVASLILIBETH CHAPARROANGIE GONZALEZ

GRADO 11GIMSABER