INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIORDE ALVARADOINGENIERA INDUSTRIALMateria:FISICASemestre-Grupo:4to SEMESTREProducto Acadmico:INVESTIGACIONTema:Componentes Rectangulares de una Fuerza en el espacioPresenta:VIDAA PEA JOSE FRANCISCO, Docente:FABIAN CAMACHO ZEVERINO LERDO DE TEJADA, VER COMPONENTES RECTANGULARESDE UNA FUERZA EN EL ESPACIO.Una fuerza F en el espacio tridimensional se puede descomponer en componentes rectangulares Fx , Fy y Fz. Denotado por: Una fuerza de F se puede descomponer en una componente vertical Fy y una componente horizontal Fh ; esta operacin , se lleva acabo en el plano OBAC siguiendo las reglas desarrolladas en la primera parte de este capitulo. *Las componentes escalares correspondientes son: Fy= F cos y Fh= F sen y *Fh se puede descomponer en dos componentes rectangulares Fx y Fz a lo largo de las ejes x y z , respectivamente. Una fuerza de F se puede descomponer en una componente verticalDe esta forma, se obtiene las siguientes expresiones para las componentes escalares de Fx y Fz:Fx= Fh cos = F sen y cos Fz= Fh sen = F sen y sen La fuerza dada F se descompone en tres componentes vectoriales rectangulares :Fx, Fy y Fz.Aplicando el teorema el teorema de Pitgoras a los tringulos OBA y OCD:F= (OA) =(OB)+(BA)=Fy + FhF= (OC) =(OD)+(DC)=Fx + FzEliminando Fh de estas dos escalares y resolviendo para F, se obtiene la siguiente relacin entre la magnitud de F y sus componentes escalares rectangulares : _______________F= Fx + Fy + FzProblemas de vectores en el espacio.1.- Una fuerza de 500 N forma ngulos de 60, 45, y 120 con los ejes x, y, y z respectivamente. Encuentre las componentes Fx, Fy, y Fz de la fuerza.A) Fx = F cos x = Fx = 500 N x cos 60Fx = 500 N x 0.5 = 250 N.Fy = F cos y = Fy = 500 N x cos 45Fy = 500 N x 0.7071 = 354 N.Fz = F cos z = Fz = 500 N x cos 120Fz = 500 N x -0.5 = -250 N.Este ltimo resultado es importante. Siempre que una componente tenga un ngulo obtuso, la componente tendr un signo negativo y viceversa.2.- Una fuerza tiene las componentes Fx= 20 lb, Fy = -30 lb, Fz = 60 lb. Determine la magnitud de la fuerza resultante F, y los ngulos x, y y z. _______________ F= Fx + Fy + Fz ________________________F =(20 lb)2 + (-30 lb)2 + (60 lb)2 _____________________________F =400 lb + 900 lb + 3600 lb ________F = 4900 lb F = 70 lb.b) cos x = Fx/F x = 20 lb/70 lb = 0.2857.x = cos-1 0.2857 = 73.4.cos y = Fy/F y = - 30 lb/70 lb = -0.4285y = cos -1 -0.4285 = 115.4.cos z = Fz/F z = 60 lb/70 lb = 0.8571.z = cos-1 0.8571 = 31.3.- Una fuerza en el espacio, tiene un valor de 2500 N, y sus componentes Fx = -1060 N, Fy= +2120 N, Fz = +795 N. Calcular los ngulos de dicha fuerza, con respecto a los ejes x, y, y z (x, y, z).Cos x = Fx/F =- 1060 N/2500 N = - 0.424x = cos-1 - 0.424 = 115.1.Cos y = Fy/F = 2120 N/2500 N = 0.848.y = cos-1 0.848 = 32.Cos z = Fz/F = 795 N/2500 N = 0.318z = cos-1 0.318 = 71.5.4.- Determine la magnitud y direccin (x, y, z) de la fuerza F= (260 N)i-(320 N)j+(800 N)k. ____________F = Fx + Fy + Fz ___________________________F = (260 N)2 + (-320 N)2 + (800 N)2 ____________________________F= 67600 N + 102400 N + 640000 N ________F = 810000 NF = 900 N.b) cos x = Fx/F x = 260 N/900 N = 0.2888. x = cos-1 0.2888 = 73.2 .cos y = Fy/F y = - 320 N/900 N = -0.3555 y = cos-1 0.3555 = 110.8.cos z = Fz/F z = 800 N/900 N = 0.8888z = cos-1 0.8888 = 27.3 .5.- Determine la magnitud y direccin de la fuerza F, (cosenos directores) (x, y, z) dada por la ecuacin: F= (320 N)i+(400 N)j-(250 N)k. ____________F = Fx + Fy + Fz ___________________________F = (320 N)2 + (400 N)2 + (- 250 N)2 ____________________________F= 102400 N + 160000 N + 62500 N ________F = 324900F = 570 Nb) cos x = Fx/F x = 320 N/570 N = 0.5614. x = cos-1 0.5614 = 55.8 .cos y = Fy/F y = 400 N/570 N = 0.7017 y = cos-1 0.7017 = 45.4 .cos z = Fz/F z = -250 N/576 N = - 0.4340. z = cos-1 -0.4340 = 116 .6.- El tirante de una torre, est anclado por medio de un perno en A. La tensin en dicho cable es de 2500 Newtons. Determine las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza que acta sobre el perno, conociendo que dx = -40 m, dy = +80 m, dz = +30 m..A. Fx=-1060 N, Fy= +2120 N, Fz= 795 N ____________d = dx + dy + dz _______________________d = (-40m)2 + (80 m)2 + (30 m)2 ____________________________________d = 1600 m2 + 6400 m2 + 900 m2. ________d = 8900 m2.d = 94.33 mFx = dx F dFx = - 40 m (2500 N) 94.33 mFx = - 0.4240 (2500) = -1060 N.Fy = dy F dFy = 80 m (2500 N) 94.33 mFy = 0.8480 (2500) = 2120 N.Fz = dz F dFy = 30 m (2500 N) 94.33 mFy = 0.3180 (2500) = 795 N.7.- Una fuerza acta en el origen de un sistema coordenado en la direccin dada por los ngulos y=55 y z=45. Sabiendo que la componente de la fuerza en x (Fx)= -500 lb, determine a) las otras componentes (Fy y Fz) y la magnitud de la fuerza y b) el valor de x.Lo primero que hay que hallar es el ngulo faltante es decir en este caso x. cos2 x + cos2 y + cos2z= 1 despejando cos2 x tenemos:cos2 x= 1- (cos2 y + cos2z).Sustituyendo valores: cos2 x = 1 - (cos2 55+ cos2 45)cos2 x= 1 - (0.3289+0.5)= 1-(0.8289)= 0.1711. Este resultado es el resultado del coseno cuadrado de x, por lo tanto se le saca la raz cuadrada para obtener el valor del coseno de x: ______cos x= 0.1711 = 0.4136.Una vez obtenido el valor del coseno de x (0.4136) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fx, tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva. con la ecuacin:Fx = F cos x. despejando F tenemos: F= Fx/cos xSustituyendo valores: F= 500 lb /0.4136 = 1209 lb.Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar las otras dos componentes de la fuerza Fy y Fz con las ecuaciones ya conocidas: Fy= Fcosy y Fz= Fcos z.Sustituyendo valores: Fy= 1209 N x cos 55 F y= 1209 N x 0.5735Fy= +694 NFz= 1209 N x cos 45 F= 1209 N x 0.7071= +855 lb.Finalmente se halla el valor del ngulo x, mediante la siguiente ecuacin:Fx= Fcos x. Despejando cos x= Fx/F. Sustituyendo valores tenemos: cos x= -500 lb/1209 lb= cos x= -0.4135. x= cos-1 -0.4135. x= 114.4.Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ngulo respectivo ser obtuso y viceversa.Recapitulando: las respuestas son:Fy= +694 lb, Fz= +855 lb, b) F= 1209 lb, c) x= 114.48.- Una fuerza acta en el origen de un sistema coordenado en la direccin, definida por los ngulos, x=69.3 y z=57.9. Sabiendo que la componente y de la fuerza es de Fy = -174 lb, determine: a) el ngulo y, b) las componentes Fx y Fz de la fuerza y la magnitud de la fuerza F.Lo primero que hay que hallar es el ngulo faltante es decir en este caso y. cos2 x + cos2 y + cos2z= 1 despejando cos2 y tenemos:cos2 y= 1- (cos2 x + cos2z).Sustituyendo valores: cos2 y = 1 - (cos2 69.3+ cos2 57.9)cos2 y= 1 - (0.1249 + 0.2823)= 1-(0.4072)= 0.5928. Este resultado es el coseno cuadrado de y, por lo tanto se le saca la raz cuadrada para obtener el valor del coseno de x: ______cos x= 0.5928 = 0.7699.Una vez obtenido el valor del coseno de y (0.7699) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fy, tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva. con la ecuacin:Fy = F cos y. despejando F tenemos: F= Fy/cos ySustituyendo valores: F= 174 lb /0.7699 = 226 lb.Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar las otras dos componentes de la fuerza Fx y Fz con las ecuaciones ya conocidas: Fx= Fcosx y Fz= Fcos z.Sustituyendo valores: Fx= 226 lb x cos 69.3 Fx= 226 lb x 0.3534Fx= 79.9 lbFz= 226 lb x cos 57.9 Fz = 226 lb x 0.5313 =120.1 lb.Finalmente se halla el valor del ngulo y, mediante la siguiente ecuacin:Fy= Fcos y. Despejando cos y= Fy/F. Sustituyendo valores tenemos: cos y= -174 lb/226 lb= cos y= -0.7699 y= cos-1 -0.7699. y= 140.3.Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ngulo respectivo ser obtuso y viceversa.Recapitulando: las respuestas son:Fx= 76.9 lb, Fz= 120.1 lb, b) F= 226 lb, c) y= 140.39. Una fuerza acta en el origen de un sistema coordenado en la direccin definida por los ngulos x=70.9,y y=144.9. Sabiendo que la componente z de la fuerza es de Fz = -52 lb, determine: a) el ngulo z y b) las componentes restantes (Fx y Fy) y la magnitud de la fuerza F.A. a) 118.2, b)Fx=36 lb, Fy=-90 lb, F=110 lbLo primero que hay que hallar es el ngulo faltante es decir en este caso z. cos2 x + cos2 y + cos2z= 1 despejando cos2 z tenemos:cos2 z= 1- (cos2 x + cos2y).Sustituyendo valores: cos2 z = 1 - (cos2 70.9+ cos2 144.9)cos2 z= 1 - (0.1070 + 0.6693)= 1-(0.7763)= 0.2237. Este resultado es el coseno cuadrado de z, por lo tanto se le saca la raz cuadrada para obtener el valor del coseno de z: ______cos z= 0.2237 = 0.4729.Una vez obtenido el valor del coseno de z (0.4729) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fz, tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva, con la ecuacin:Fz = F cos z. despejando F tenemos: F= Fz/cos ySustituyendo valores: F= 52 lb /0.4729 = 110 lb.Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar las otras dos componentes de la fuerza Fx y Fy con las ecuaciones ya conocidas: Fx= Fcosx y Fy= Fcos y.Sustituyendo valores: Fx= 110 lb x cos 70.9 Fx= 110 lb x 0.3272Fx= 36 lbFy= 110 lb x cos 144.9 Fy = 110 lb x - 0.8181 = - 90 lb.Finalmente se halla el valor del ngulo z, mediante la siguiente ecuacin:Fz= Fcos z. Despejando cos z= Fz/F. Sustituyendo valores tenemos: cos z= - 52 lb/110 lb= cos z= -0.4727 z= cos-1 -04727. z= 118.2.Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ngulo respectivo ser obtuso y viceversa.Recapitulando: las respuestas son:Fx= 36 lb, Fy= - 90 lb, b) F= 110 lb, c) z= 118.2Componentes rectangulares de una fuerzaPara determinar los componentes rectangulares de una fuerza se hace uso de la trigonometra del triangulo rectngulo simple, aplicando el conocimiento del teorema de Pitgoras.Los mtodos trigonomtricos pueden mejorar la precisin y la rapidez para encontrar los componentes de un vector. En la mayora de los casos es, es til utilizar ejes x y e imaginarios cuando se trabaja con vectores en forma analtica.Los componentes de un vector en trminos de magnitud F y su direccinEn el planoTodo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se les denominacomponentes.Cuando lascomponentesforman un ngulo recto, se les llamacomponentes rectangulares.Las componentes rectangulares de una fuerza en el plano, son todos los vectores coplanares que se encuentran delimitados por las coordenadas X e Y.Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relacionesEn el espacioUna fuerza F en el espacio tridimensional se puede descomponer en componentes rectangulares Fx , Fy y Fz. Denotado por:Una fuerza de F se puede descomponer en una componente vertical Fy y una componente horizontal Fh.*Las componentes escalares correspondientes son:Fy= F cos y Fh= F sen y *Fh se puede descomponer en dos componentes rectangulares Fx y Fz a lo largo de las ejes x y z respectivamente.Condiciones de equilibrio, primera Ley de Newton.Existe una condicin de equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas externas que actan sobre el objeto es cero. Cada fuerza externa se equilibra con la suma de todas las dems fuerzas externas cuando existe equilibrio.La condicin para que un cuerpo este en equilibrio es:La ecuacin representa un enunciado matemtico de la primera condicin de equilibrio:"Un cuerpo se encuentra en estado de equilibrio traslacional si, y solo si. La suma vectorial de las fuerzas que actan sobre el es igual a cero".Primera Ley de NewtonUn cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilneo uniforme, a menos que una fuerza externa no equilibrada actu sobre el.Fuerzas en equilibrioIndependientemente del orden en que se sumen los vectores, su resultante siempre es cero. El extremo del ultimo vector siempre termina en el origen del primer vector. Equilibrio de la partcula en el plano y en el espacioUna partcula se encuentra en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas que actuan sobre la partcula, es igual al vector nulo.Primera Condicin de EquilibrioUn cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional si y solo si la suma vectorial de las fuerzas que actan sobre el es igual a cero.Matemticamente esta ley se expresa con la ecuacin:Fx= 0 y Fy= 0.Segunda Condicin de Equilibrio"Para que un cuerpo est en equilibrio de rotacin, la suma de los momentos o torcas de las fuerzas que actan sobre l respecto a cualquier punto debe ser igual a cero.Matemticamente esta ley se expresa con la ecuacin:M=0.M= M1 + M2 + M3 + Mn= 0.=0. =1 +2 +3 + n = 0.EjemploUna pelota de 100 N suspendida de un cordel es tirada hacia un lado por otro cordel B y mantenida de tal forma que el cordel A forme un ngulo de 30 con la pared vertical. Dibuje el diagrama de cuerpo libre y encuntrese las tensiones en los cordeles A y B de acuerdo a la siguiente figura.diagrama de cuerpo libreSolucin:Pasando - A cos60 del otro lado de la igualdad con diferente signo:Fx = B = A cos60 Fx = B = A (0.5).Fy = A sen 60 = 100 N. Fy = A (0.8660) = 100 N.Despejar A:A =100 N= 115.47 Newtons. 0.8660ecuacin 1: B = A (0.5).B = 115.47 N x 0.5 = 57.73 Newtons.Resultado= A= 115.47 Newtons. Y B = 57.73 Newtons.